Physique quantique et physique statistique

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1 Physique quantique et physique statistique 7 blocs 11 blocs Manuel Joffre Jean-Philippe Bouchaud, Gilles Montambaux et Rémi Monasson nist.gov Crédits : J. Bobroff, F. Bouquet, J. Quilliam

2 Les enseignants du cours de physique quantique Enseignant Laboratoire Adel Bilal Laboratoire de Physique Théorique (ENS) Giulio Biroli Institut de Physique Théorique (CEA) Frédéric Chevy Laboratoire Kastler Brossel (ENS) Maxime Dahan Institut Curie Emilian Dudas Centre de Physique Théorique (X) Karyn Le Hur Centre de Physique Théorique (X) Luca Perfetti Laboratoire des Solides Irradiés (X) Laurent Sanchez-Palencia Laboratoire Charles Fabry (Institut d Optique) Pascale Senellart Laboratoire de Photonique et de Nanostructures (CNRS) Jean-Eric Wegrowe Laboratoire des Solides Irradiés (X) Manuel Joffre Laboratoire d Optique et Biosciences (X)

3 Ressources pédagogiques Jean-Louis Basdevant & Jean Dalibard Chapitres 1 à 16 (sauf 15 et 9.2) - Diapos et simulations présentées en amphi - Questionnaires en ligne (chaque semaine avant lundi 23h59) Participation au QCM contribue à la note de PC (avec Devoirs à la Maison et participation en PC) - Boîtiers de vote électronique

4 Question sur l état d un système physique On considère le ket associé à un état physiquement acceptable pour un système décrit par l hamiltonien. La relation est-elle toujours vraie? 1. Oui. 2. Oui, dès lors que est indépendant du temps. 3. Non.

5 Les principes de la physique quantique Etat quantique d un système - Mesure Commutation des observables Evolution temporelle Chapitres 5 et 7

6 1. Etat quantique d un système Mesure

7 Principe 1 A chaque système physique est associé un espace de Hilbert approprié L état du système est défini par un vecteur normé appelé ket Base hilbertienne TF Cas du mouvement d une particule ponctuelle

8 Rappels sur la notation de Dirac Bra Bracket Ket Soit un opérateur linéaire agissant dans Elément de matrice Vecteur ligne Matrice carrée Vecteur colonne

9 Projecteur sur le ket est un opérateur. est un projecteur. est le projecteur sur l état

10 Point de vue matriciel

11 La relation de fermeture

12 Exemples d espaces de Hilbert Système Espace de Hilbert Etat quantique Particule ponctuelle Ensemble de deux particules (ex : H) Vibration d une molécule diatomique Etat de polarisation d un photon Moment magnétique d une particule Espace de dimension 2??

13 Principe 2 : Mesure d une grandeur physique Une grandeur physique A est représentée par un opérateur auto-adjoint (ou hermitien) appelé observable. Les valeurs propres de sont réelles. Théorème spectral : Les vecteurs propres de constituent une base de Le résultat d une mesure de est l une des valeurs propres de. Si le système est dans l état, la probabilité de mesurer est Après la mesure de, le système est projeté dans l état

14 Effet de la dégénérescence des espaces propres Cas non dégénéré Cas dégénéré Dimension espace propre = 1 Dimension espace propre = Probabilité de mesurer Projecteur Etat après mesure

15 2. Commutation des observables Algèbre non commutative : en général,

16 Quelques règles utiles sur les commutateurs Définition Un commutateur sert à remettre à l «endroit» un produit de deux opérateurs Bilinéarité du commutateur Par exemple : Commutateur entre un produit d opérateurs et un autre opérateur

17 Observables qui ne commutent pas Il est impossible de connaître précisément à la fois A et B. Relation d incertitude de Heisenberg (PC) Si on prépare le système dans un état associé à une incertitude Da sur la grandeur A, alors la relation d incertitude impose une borne inférieure sur l incertitude Db de la grandeur B dans cet état. Si on mesure la grandeur A avec une précision Da, alors la relation d incertitude impose une borne inférieure sur l incertitude Db de la grandeur B dans l état du système après la mesure. Exemple (exercice)

18 Observables qui commutent Il existe une base propre commune à et (exercice) Soit un système dans l état On mesure A et on obtient a m. On mesure B et on obtient b n. Après les mesures successives des grandeurs A et B, le système est dans un état tel que A et B sont connues avec certitude : Da = 0, et Db = 0.

19 Ensemble Complet d Observables qui Commutent Les observables et forment un Ensemble Complet d Observables qui Commutent (ECOC) si et seulement si : Les espaces propres communs à et, associés à des couples de valeurs propres (a m,b n ), sont non dégénérés. On dit aussi que leur base propre commune est unique. Une mesure de A donnant la valeur a m et une mesure de B donnant la valeur b n permettent de préparer le système dans l état La notion d ECOC se généralise aisément au cas d un ensemble de trois observables ou plus.

20 Exploiter une invariance du système On considère un système invariant par parité On introduit l opérateur parité : Les valeurs propres de sont +1 et -1. Etats symétriques (ou pairs) Etats anti-symétriques (ou impairs) L invariance par parité du système se manifeste par (exercice) On en déduit qu il existe une base propre commune à et On peut donc chercher les états propres de symétriques ou anti-symétriques. sous la forme d états

21 Piège harmonique à deux dimensions On peut chercher une base propre commune à et Les états propres de sont de la forme Les états propres communs à et sont de la forme

22 3. Evolution temporelle

23 Principe 3 : Evolution temporelle En l absence de mesures, l évolution du vecteur d état par l équation de Schrödinger est donnée L opérateur est l Hamiltonien. C est l observable énergie. Equation différentielle linéaire du 1 er ordre. où est un opérateur linéaire appelé l opérateur d évolution. On montre que est unitaire (exercice) : Pour un système isolé, l Hamiltonien est indépendant du temps:

24 Evolution temporelle d un système isolé Pour un système isolé, il est fructueux de rechercher les états propres de puis de développer sur cette base propre: avec

25 Opérateur d évolution pour un système isolé vérifie bien l équation :

26 Evolution temporelle suite à une mesure d énergie Dans un puits infini, on effectue une mesure d énergie qui donne la valeur E 2. Après la mesure, la position moyenne de la particule dans le puits : 1. oscille à la fréquence E 1 /h, 2. oscille à la fréquence E 2 /h, 3. oscille à la fréquence (E 2 - E 1 )/h, 4. n oscille pas. E 3 E 2 E 1

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28 En résumé Principe 1 : Principe 2 : mesure Principe 3 : Mesure dans le cas dégénéré (utilisation des projecteurs) Relation d incertitude de Heisenberg Il existe une base propre commune à et Opérateur d évolution