Eléments de Relativité générale

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Eléments de Relativité générale"

Transcription

1 Eléments de Relativité générale par Gilbert Gastebois 1. Notations 1.1 Unités En relativité générale on adopte certaines conventions sur les unités pour simplifier les formules : On prend la vitesse de la lumière c = 1 Le temps est multiplié par c, il s'exprime en m les vitesses sont divisées par c, elles n'ont donc pas d'unité GM est divisé par c², GM s'exprime en m Les énergies sont divisées par c², elles s'expriment en kg Le moment cinétique est divisé par c, il s'exprime en kg m Grâce à ces conventions, beaucoup des grandeurs les plus utiles s'expriment en m. 1.2 La métrique de l'espace-temps Dans l'espace temps plat de la relativité restreinte, l'écart ds entre deux évènements vaut ds² = dt² - dx² - dy² - dz² (certains auteurs utilisent les signes inverses, il n'y a pas de consensus en ce domaine... ) On peut le réécrire comme ds² = g tt dt² + g tx dtdx + g ty dtdy + g tz dtdz + g xt dxdt + g xx dx² + g xy dxdy + g xz dxdz + g yt dydt + etc. ( 16 termes à additionner) avec g tt = 1 g xx = -1 g yy = -1 g zz = -1 et g ij = si i j. La matrice représentant g est diagonale car seuls les éléments de la diagonale sont non nuls Bien sûr, dans l'espace-temps plat, c'est une complication inutile, mais dans l'espace-temps courbe de la relativité générale, c'est très utile. En relativité générale, on utilise en général les coordonnées sphériques : t, r, q et f car elles sont particulièrement bien adaptées au voisinage d'une sphère. L'ensemble des g ij constitue un tenseur symétrique (g ij = g ji ). C'est le tenseur métrique. 1.3 Notation indicielle Ecrire explicitement une somme de 16 termes n'est pas très gérable, aussi Einstein a-t-il inventé une notation très pratique ( même si elle est un peu abstraite ). Il écrit : ds² = g mn dx m dx n chaque lettre grecque représente les quatre coordonnées x m ou x n représentent t, r, q et f Quand une même lettre grecque se trouve en indice et en exposant, cela signifie qu'il faut additionner les 4 termes obtenus en remplaçant la lettre par t, r, q et f. Dans l'expression précédente, il y a donc bien une somme de 4x4 = 16 termes car m et n apparaissent tous les deux en indice et en exposant, Le produit scalaire d'un quadri-vecteur A s'écrit A² = A m g mn A n Dans l'espace-temps plat, cela donne A² = A t ² - A x ² - A y ² - A z ² Il ne reste que 4 termes non nuls sur les 16 car g tt = 1 g xx = -1 g yy = -1 g zz = -1 et g ij = si i j. Par exemple, le produit scalaire de la quadri-vitesse u² = u t ² - u x ² - u y ² - u z ² est u² = 1/(1 - v²) - v x ²/(1 - v²) - v y ²/(1 - v²) - v z ²/(1 - v²) = (1 - (v x ² + v y ² + v z ²))/(1 - v²) = 1 Ce résultat établi dans un espace-temps plat reste valable dans les espaces quelconques. u² = 1 est une relation utile que l'on réutilisera plus tard.

2 2. La métrique de Schwartzschild En 1916, un an après qu'einstein eut publié sa théorie de la relativité générale et qu'il ait établi son équation générale, Schwartzschild, alors qu'il combattait dans les tranchées où il sera tué quelques semaines plus tard, trouva une solution de l'équation s'appliquant au voisinage d'une concentration sphérique de masse sans rotation. En pratique, la théorie s'applique bien à une étoile normale en rotation lente comme le Soleil et même à une étoile à neutrons ou à un trou noir qui ne sont pas en rotation ultrarapide. Cette solution est la métrique de Schwartzschild : ds² = (1-2GM/r) dt² - 1/(1-2GM/r) dr² - r² dq ² - r²sin²q df ² donc g tt = (1-2GM/r) g rr = - 1/(1-2GM/r) g qq = - r² g ff = - r²sin²q tous les autres termes sont nuls, la métrique est donc diagonale. Autour d'une sphère immobile, le mouvement est indépendant de q, On peut donc simplifier en se plaçant dans le plan équatorial q = p/2, on a alors g ff = - r² et dq = ds² = (1-2GM/r) dt² - 1/(1-2GM/r) dr² - r² df² Autour d'une sphère immobile, les g mn doivent être indépendants du temps et de f 3. Equation des géodésiques Le principe fondamental de la relativité générale est qu'un objet placé près d'une masse suit une trajectoire «naturelle» appelée géodésique qui dépend de la métrique de l'espace-temps, elle-même déterminée par la présence de la masse. On utilise le principe de moindre temps : Pour aller d'un point A à un point B, un mobile suit la trajectoire qui demande un temps extrémal entre les deux points. Ce principe est général en mécanique et a donné la méthode du lagrangien. ds² = g mn dx m dx n B S = ds = (g mn dx m /dt dx n /dt) 1/2 dt t est une variable temps qui varie de à 1 entre A et B A Cette relation définit le lagrangien L tel que 1 S = L dt donc L = ds/dt = ( g mn dx m /dt dx n /dt) 1/2 1 Le principe de moindre temps amène à l'équation de Lagrange pour chaque coordonnée : d(dl/dx a ' )/dt - dl/dx a = en posant x a ' = dx a /dt g mn ne dépend que des variables et pas de leur dérivée donc dl/dx a ' = 1/(2L) ( g an x n ' + g ma x m ' ) ( dx m '/dx a ' vaut 1 si m = a et sinon ) g étant symétrique g ma = g am donc g an x n ' = g ma x m ' et dl/dx a ' = 1/L ( g an dx n /dt ) = g an dx n /ds car 1/L = dt/ds dl/dx a = 1/(2L) ( g mn / x a dx m /dt dx n /dt ) = ½ ( g mn / x a dx m /ds dx n /dt) car 1/L = dt/ds On obtient donc d(g an dx n /ds)/dt ½ ( g mn / x a dx m /ds dx n /dt) = En multipliant les deux membres par dt/ds, on élimine t et on obtient : d(g an dx n /ds)/ds ½ ( g mn / x a dx m /ds dx n /ds) = C'est l'équation des géodésiques. En fait, 4 équations, une par coordonnée a, chacune pouvant contenir jusqu'à 24 termes... Leur résolution permet de déterminer le mouvement d'un objet autour d'une étoile.

3 4. Précession du périhélie autour d'une étoile sphérique immobile 4.1 Equations différentielles du mouvement Equation des géodésiques : d(g an dx n /ds)/ds ½ ( g mn / x a dx m /ds dx n /ds) = On utilise la métrique de Schwartzschild pour q = p/2 donc dq/ds = g tt = (1-2GM/r) g rr = - 1/(1-2GM/r) g qq = - r² g ff = - r² g mn = pour m n Prenons a = t d(g tt dt/ds)/ds = car g mn est diagonale et indépendante du temps donc g tt dt/ds = e ( e = constante. e est alors l'énergie relativiste par kg du mobile) dt/ds = e/(1-2gm/r) Prenons a = f d(g ff df/ds)/ds = car g mn est diagonale et indépendante de f donc g ff df/ds = - K ( K = constante. K est alors le moment cinétique par kg du mobile ) df/ds = K /r² Prenons a = r et sachant que dq/ds = d(g rr dr/ds)/ds - ½ dg tt /dr (dt/ds)² - ½ dg rr /dr (dr/ds)² - ½ dg ff /dr (df/ds)² = dg rr /dr (dr/ds)² + g rr d²r/ds² - ½ (dg tt /dr (dt/ds)² + dg rr /dr (dr/ds)² + dg ff /dr (df/ds)²) = g rr d²r/ds² = - ½ dg rr /dr (dr/ds)² + ½ (dg tt /dr (dt/ds)² + dg ff /dr (df/ds)²) En développant et en utilisant les expressions de dt/ds et de df/ds, on obtient : d²r/ds² = GM/(r²(1-2GM/r)) (dr/ds)² - GMe²/(r²(1-2GM/r)) + K²/r 3-2K²GM/r 4 Espérer trouver une solution à cette équation semble illusoire, pourtant on peut facilement éviter l'obstacle en utilisant la relation u² = 1 u² = u m g mn u n = 1 = g tt (dt/ds)² + g rr (dr/ds)² + g qq (dq/ds)² + g ff (df/ds)² g rr (dr/ds)² = 1 - g tt e²/(1-2gm/r)² - g ff (df/ds)² car dq/ds = (dr/ds)² = GM/r + e² - r²(1-2gm/r)(df/ds)² = GM/r + e² - K²(1-2GM/r)/r² (dr/ds)² = e² GM/r - K²/r² + 2GMK²/r 3 ( 1 ) On dérive par rapport à s 2 dr/ds d²r/ds² = - 2GM/r² dr/ds + 2K²/r 3 dr/ds 6GMK 2 /r 4 dr/ds d²r/ds² = - GM/r² + K²/r 3-3GMK 2 /r 4 ( 2) avec df/ds = K /r² Ces deux équations permettent de trouver numériquement la position du mobile en fonction du temps propre s Remarque : On peut maintenant, si on le souhaite, entrer les expressions ( 1 ) et ( 2) dans l'équation obtenue plus haut et vérifier que tout va bien. C'est une manière de confirmer que l'expression u² = 1 est bien correcte dans un espace courbe.

4 6 Y (km) X (km) -2 GM = 1,479 km r = 5 km v =,14 = 42 km/s K = r v = 7 km La trajectoire ne se referme pas. Le périhélie avance à chaque tour d'un angle de Stabilité des trajectoires On peut réécrire l'équation (1) différemment : ½ (e² - 1) = ½ (dr/ds)² - GM/r + K²/(2r²) - GMK²/r 3 = E m ou E m = E c r + V p r E c r = ½ (dr/ds)² étant l'énergie cinétique radiale/kg et V p r = - GM/r + K²/(2r²) - GMK²/r 3 étant le potentiel gravitationnel apparent E m est alors l'énergie mécanique/kg En mécanique Newtoniène on a : E m = ½ (dr/ds)² - GM/r + K²/(2r²) La différence vient du dernier terme qui devient négligeable quand r >> GM V pr,6,5,4,3,2,1 r (km) -, ,2 -,3 -,4 GM = 1,479 km r = 56 km v =,116 = 348 km/s K = r v = 6,5 km E m = -,2 r min = 13,8 km r max = 56,1 km r l = 5,95 km r c = 23 km correspond à : E m c = -,295

5 Si Em <, il peut y avoir une trajectoire stable autour de l'astre, le mobile se rapprochant au plus près à r min et s'éloignant au plus à r max. Si Em >=, le mobile est libéré de l'astre. Si r < r l, il n'y a plus d'orbite stable, le mobile spirale vers r =. Ce cas n'est possible que si r l est supérieur au rayon de l'astre et cela n'arrive que pour un trou noir. Il n'y a pas d'équivalent en mécanique Newtonnienne où il y a toujours une orbite stable. Si E m est égale au minimum de V p r, E c r est alors toujours nulle, ce qui correspond à une trajectoire circulaire de rayon r c = K²/(2GM) + (K 4 /(2GM)² - 3K²) 1/2 C'est la raison qui fait que les disques de poussières autour des étoiles ( ou les anneaux de Saturne ) deviennent circulaires au fur et à mesure qu'ils perdent de l'énergie ( même chose qu'en mécanique Newtoniène ). 4.3 Equation différentielle de la trajectoire (dr/ds)² = e² GM/r - K²/r² + 2GMK²/r 3 ( relation 1 ) On change de variable u = 1/r dr/ds = - r² du/ds = - r² du/df df/ds = - r² du/df K /r² = - K du/df K²(du/df)² = e² GM u - K²u² + 2GMK²u 3 On dérive par rapport à f et on divise par K² 2 du/df d²u/df² = 2GM/K² du/df - 2u du/df + 6GMu 2 du/df d²u/df ² + u = GM/K² + 3GMu 2 Si u est très petit ( r >> GM ) on peut négliger le dernier terme et on obtient alors d²u/df ² + u = GM/K² qui est l'équation obtenue en mécanique classique Newtonnienne. Sa solution est l'équation d'une ellipse. 4.4 Précession du périastre d²u/df ² + u = GM/K² + 3GMu 2 Cette équation n'a pas de solution analytique, on ne peut la résoudre que numériquement. Cependant pour une trajectoire quasi-circulaire de «rayon» très supérieur à GM, on peut la résoudre par la méthode des perturbations. On cherche d'abord la solution pour une trajectoire circulaire pour laquelle u = u c = constante donc d²u c /df² = et u c = GM/K² + 3GMu c 2 Pour une trajectoire quasi-circulaire, u = u c (1 + h) h << 1 h dépendant de f d²u/df² = u c d²h/df² = GM/K² + 3GM u c 2 + 6GMu c ² h - u c - h u c ( on néglige le terme en h²) On simplifie et il reste : d²h/df² + (1-6GM/r c )h = avec u c = 1/r c La solution est évidente, c'est la fonction sinusoïdale : h = h sin(w f + D ) avec w = (1-6GM/r c ) 1/2 Quand le mobile a décrit une orbite complète, w f + D a augmenté de 2p donc w f 2 + D = w f 1 + D + 2p f 2 - f 1 = 2p/w = 2p (1 + 3GM/r c ) car r c >> GM donc f 2 - f 1 = 2p + 6p GM/r c le périhélie avance donc de d = 6p GM/r c On a 1/r m = 1/r c + h et 1/r M = 1/r c - h donc 1/r m + 1/r M = 2/r c La théorie Newtoniène valable dans cette approximation donne : r m = a(1-e) et r M = a(1+e) a : demi grand-axe et e : excentricité de l'ellipse En remplaçant, on obtient r c = a(1 - e²) donc d = 6p GM/(a(1 - e²)) à chaque orbite En unités SI, on a d = 6p GM/(a(1 - e²)c²)

6 Précession du périhélie de Mercure : Au milieu du XIX ème siècle, on savait que le périhélie de Mercure se décalait lentement de 575 '' d'arc par siècle. En tenant compte de l'influence des autres planètes et du léger aplatissement du Soleil, Le Verrier put expliquer l'essentiel de l'écart, 532 '' d'arc, mais il manquait 43'' qui ne trouvaient pas d'explication. On imagina même qu'il y avait peut-être une planète inconnue entre le Soleil et Mercure, mais on ne la trouva pas et le problème resta pendant jusqu'en 1915 quand Einstein publia sa théorie. Pour Mercure, on a : GM = 1,479 km T = 87,97 jours a = 57,9.1 6 km e =,26 d = 6p GM/(a(1 - e²)) = 5, rd = 2, =,137 '' d'arc pour 87,97 jours on obtient alors bien d = 43 '' d'arc par siècle. On raconte que lorsqu'einstein fit ce calcul et qu'il trouva ce résultat, il fut tellement enthousiasmé qu'il resta plusieurs jours dans un état second. On peut le comprendre... C'était le Nobel assuré! Et en effet, il le reçut en 1921 pour sa théorie de... l'effet photoélectrique! 5. L'horizon des évènements du trou noir Il n'échappe à personne qu'il y a quelque chose d'étrange dans la métrique de Schwartzschild, si r = 2GM, g rr tend vers l'infini! Et g tt =. On a ainsi dt/ds qui tend vers l'infini. Qu'est-ce tout cela peut bien signifier? D'abord, c'est une situation qui ne peut se rencontrer que pour un trou noir, les autres astres ayant un rayon supérieur à 2GM, ce rayon correspond à ce qu'on appelle l'horizon des évènements du trou noir. Le fait que g rr tende vers l'infini est dû au choix de coordonnées fait par Schwartzschild. On peut choisir d'autres coordonnées qui font disparaître la singularité, d'ailleurs, l'équation ( 2) : d²r/ds² = - GM/r² + K²/r 3-3GMK 2 /r 4 ne présente aucune singularité pour r = 2GM. Donc il ne s'y passe rien de dramatique. Si vous vous trouvez, ce que je vous déconseille, dans un vaisseau spatial qui traverse l'horizon d'un trou noir et que vous n'avez pas été déchiqueté par les forces de marée - choisissez un trou noir supermassif -, vous ne remarquerez aucune discontinuité. En revanche comme dt/ds tend vers l'infini, cela signifie que dt tend vers l'infini, c'est à dire que le temps mesuré par un observateur très éloigné, s'écoule de moins en moins vite. Il vous verra vous approcher de plus en plus lentement de l'horizon du trou noir. En même temps, la période de la lumière sera elle aussi de plus en plus grande et donc la longueur d'onde se décalera vers le rouge pour finir par devenir invisible, on a l apparent = l/(1-2gm/r) 1/2. Il vous verra très lentement devenir de plus en plus sombre pour finir par disparaître à sa vue puisque l apparent tend vers l'infini quand r tend vers 2GM. Que se passe-t-il pour le voyageur qui a franchi l'horizon? Pour r < 2GM, gtt < et grr >. Donc, en quelque sorte, les rôles de t et de r s'inversent, r acquiert les propriétés du temps et notamment celle de ne pouvoir rester fixe et celle de ne pouvoir évoluer que dans un seul sens. On ne peut donc pas rebrousser chemin, de même qu'à l'extérieur de l'horizon, on ne peut pas remonter le temps. On ne peut même pas rester immobile, la seule chose qui puisse arriver, c'est de se diriger vers le centre en r =. Rien ne peut donc se diriger vers l'extérieur, même la lumière, tout doit se diriger vers le centre. C'est pour cela que l'astre est noir. Cependant le rayon du disque noir vu par un observateur très éloigné, n'est pas 2GM, mais (27) 1/2 GM! ( Voir 6.2 )

7 6. Déflexion de la lumière 6.1 Equation différentielle du mouvement d'un photon La caractéristique du photon est que l'intervalle ds est nul. Il faut donc adapter les formules obtenues au paragraphe précédent. Prenons dt/ds = e/(1-2gm/r), on la remplace par dt/df df/ds = e/(1-2gm/r) donc dt/df = r²e/(1-2gm/r)/k car df/ds = K/r² df/dt = K/e (1-2GM/r)/r² On pose K/e = b ( b est alors le paramètre d'impact du photon, c'est la distance qui sépare la direction à l'infini du photon, du centre de l'étoile.) df/dt = (1-2GM/r) b/r² ds² = = g tt dt² + g rr dr² + g qq dq² + g ff df² On se place à nouveau dans le plan équatorial à q = p/2, on a alors = g tt dt² + g rr dr² + g ff df² On divise par dt² : g rr (dr/dt)² = - g tt - g ff (df/dt)² df/dt = (1-2GM/r) b/r² donc g rr (dr/dt)² = - g tt - g ff (1-2GM/r)² b²/r 4 g tt = (1-2GM/r) g rr = -1/(1-2GM/r) g ff = - r² (dr/dt)² = (1-2GM/r)² - (1-2GM/r) 3 b²/r 2 ( 3 ) On dérive l'expression par rapport à t et on divise par 2 dr/dt d²r/dt² = 2GM(1-2GM/r)/r² - 3GM(1-2GM/r)²b²/r 4 + (1-2GM/r) 3 b²/r 3 avec df/dt = (1-2GM/r) b/r² Ces deux équations permettent de trouver numériquement la position du photon en fonction du temps t 1 Y (km) 5 X (km) GM = 1,479 km b = 7,694 km r mini = 4,554 km Le rayon lumineux fait le tour du trou noir -1

8 6.2 Condition de capture de la lumière par un trou noir On reprend la relation (3) : (dr/dt)² = (1-2GM/r)² - (1-2GM/r) 3 b²/r 2 = (1-2GM/r)²(1 - (1-2GM/r)b²/r 2 ) Quand la lumière s'approche au plus près, avant de s'éloigner, r est minimum donc dr/dt = donc (1-2GM/r)b²/r 2 = 1 ou 1/b² = 1/r² - 2GM/r 3 On note 1/r² - 2GM/r 3 = V pr V pr passe par un maximum pour dv pr /dr =, ce qui donne r = 3GM, on a alors V prmax = 1/(27 GM²) 1/2 b critique = 1/(V prmax ) = (27) 1/2 GM Si b < b critique, dr/dt ne s'annule jamais et la lumière est capturée par le trou noir. La lumière est donc capturée si b < (27) 1/2 GM. Aucune lumière se dirigeant vers cette zone ne peut être observée de l'extérieur donc R = (27) 1/2 GM est le rayon apparent du trou noir pour un observateur éloigné. V pr (km -2 ),2,15,1 V pr = 1/r² - 2GM/r 3 GM = 1,479 km b critique = (27) 1/2 GM = 7,685 km r critique = 3GM = 4,437 km,5 -,5 r (km) b = 1 km ( b -2 =,1 km -2 ) r mini = 7,914 km b = 7,5 km ( b -2 =,178 km -2 ) Le rayon est capturé 6.3 Equation différentielle de la trajectoire d'un photon On reprend la relation (3) : (dr/dt)² = (1-2GM/r)² - (1-2GM/r) 3 b²/r 2 = (dr/df)² (df/dt)² = (dr/df)² (1-2GM/r)² b²/r 4 donc (dr/df)² = r 4 /b² - (1-2GM/r) r² = r 4 /b² - r² + 2GM r On change de variable, on pose u = 1/r donc du/df = -u² dr/df on obtient ainsi : 1/u 4 (du/df)² = 1/(b²u 4 ) - 1/u² + 2GM/u ou (du/df)² = 1/b² - u² + 2GMu 3 On dérive l'expression par rapport à f 2 du/df d²u/df² = - 2u du/df + 6GMu 2 du/df d²u/df² + u = 3GMu 2 Si u est toujours très petit ( b >> GM ) on a d²u/df² + u = dont la solution est une droite comme il se doit.

9 6.4 Trajectoire pour les faibles déflexions Si la lumière est très peu déviée, on peut utiliser une méthode perturbative autour de la ligne droite. Pour la ligne droite, on a donc d²u d /df² + u d = dont la solution est u d = 1/r m sinf r m est alors la distance minimale d'approche qui vaut pratiquement b pour les petites déviations, donc u d = 1/b sinf On pose u = 1/b (sinf + h) donc d²u/df² = - 1/b sinf + 1/b d²h/df² donc - 1/b sinf + 1/b d²h/df² + 1/b sinf + 1/b h = 3GM/b² sin²f ( on néglige les autres termes car b >> GM et h <<1 ) d²h/df² + h = 3GM/b sin²f qu'on peut linéariser en : d²h/df² + h = 3/2 GM/b (1 - cos (2f)) Solution de l'équation : On a une équation d'oscillateur harmonique forcé dont la solution est une sinusoïde de pulsation égale à la pulsation de «l'excitateur» : w = 2 plus un terme constant. On prend donc h = A + B cos (2f) - 4 B cos (2f) + A + B cos (2f) = 3/2 GM/b - 3/2 GM/b cos (2f) A = 3GM/(2b) B = GM/(2b) h = GM/(2b) (3 + cos (2f)) u = 1/b (sin f + GM/(2b) (3 + cos (2f))) A -, u = et f = - q comme q est très petit, on prend sin(-q) = - q et cos(-2q) = 1 On obtient q = 2GM/b Comme on a la même déviation pour +, la déviation totale d vaut 2q, donc d = 4GM/b En unités SI, on a d = 4GM/(bc²) Déviation par le bord du soleil : GM = 1,479 km b = R = 7 km d = 8, rd = 4, = 1,74 '' d'arc. Cette valeur fut mesurée avec beaucoup de difficultés et donc avec une assez grande incertitude par Eddington au cours d'une éclipse de Soleil en 1919 grâce au décalage apparent de la position des étoiles qui se trouvaient très près du bord du Soleil. Malgré sa relative imprécision, cette mesure largement médiatisée fit d'einstein une star internationale. Un journal titra même que le professeur Einstein avait déplacé les étoiles...

10 6.5 Le mirage gravitationnel Une source lumineuse lointaine ( un quasar par exemple ) placée derrière une accumulation de matière ( un ensemble de galaxies ), voit sa lumière déviée de part et d'autre et donne ainsi deux images ( ou plus si l'accumulation n'est pas sphérique ) sur le ciel. C'est le phénomène de mirage gravitationnel, Nous allons étudier la déviation par une masse sphérique. S position apparente de S S O D E Tous les angles sont petits donc les tangentes sont assimilables à l'angle. Ainsi OS = Da OS ' = Dq SS ' = (D D E ) d et b = D E q OS ' = OS + SS ' donc Dq = Da + (D D E ) d avec d = 4GM/b = GM/(D E q) q = a + 4(1 D E /D)GM/(D E q) q² - aq - 4(1/D E 1/D)GM = Equation du second degré dont la solution est q = a/2 ± (a²/4 + 4(1/D E 1/D)GM) 1/2 En unités SI, on a : q = a/2 ± (a²/4 + 4(1/D E 1/D)GM/c²) 1/2 Il y a deux solutions, on voit donc bien deux images de S de part et d'autre de la position réelle de la source S. Le mirage gravitationnel est double. Remarque : Si la source S est parfaitement alignée avec la masse déflectrice (a = ), on obtient un mirage circulaire de diamètre apparent q = 2 ((1/D E 1/D)GM) 1/2 En pratique, la masse déflectrice n'est jamais sphérique et on n'obtient que des morceaux d'anneau qu'on appelle anneaux d'einstein. Exemple : Prenons un quasar distant de 2 milliards d'a.l situé derrière un amas d'une cinquantaine de galaxies distantes de 1 milliard d'a.l, on obtient un angle q voisin de,5 ( 1/1 du diamètre lunaire ) 7. Relativité générale et GPS D Le système de positionnement du GPS ( Global Positioning System ) est basé sur la comparaison entre le moment d'émission d'un signal par un satellite et le moment de sa réception au sol. Il est donc crucial que les horloges placées dans le satellite et celles situées au sol soient parfaitement synchronisées. Le problème est que la fréquence propre de l'horloge du satellite n'est plus la même que celle du sol à cause de son altitude et de sa vitesse, il faut donc faire des corrections. Le satellite est placé sur une orbite circulaire, r = constante donc dr/ds = à l'altitude h R rayon de la Terre

11 On a dt = e/(1 2GM/r) ds donc le rapport entre la période T à l'infini et la période propre vaut : T/T p = e/(1 2GM/r) avec ½ (e² - 1) = ½ (dr/ds)² - GM/r + K²/(2r²) - GMK²/r 3 r >> GM et dr/ds = donc en faisant un développement limité, e = (1-2GM/r + K²/r² - GMK²/r 3 ) 1/2 = 1 - GM/r + K²/(2r²) On néglige le terme en 1/r 3 Au sol, on a r = R et on néglige K donc T/T = e/(1-2gm/r) = (1 - GM/R)/(1-2GM/R) Dans le satellite, on a T/T s = e/(1 2GM/r) = (1 - GM/r + K²/(2r²))/(1-2GM/r) Sur l'orbite circulaire, K = r v donc T/T s = (1 - GM/r + v²/2)/(1-2gm/r) Pour un satellite en orbite circulaire, la théorie Newtoniène valable dans cette approximation donne v² = GM/r donc T/T s = (1 - ½ GM/r)/(1-2GM/r) T /T s = ((1 - ½ GM/r)/(1-2GM/r))/((1 - GM/R)/(1-2GM/R)) r et R << GM, on peut donc faire un développement limité : T /T s = (1 - ½GM/r)(1 + 2GM/r)(1 + GM/R)(1-2GM/R) T /T s = (1 - ½GM/r + 2GM/r)(1 + GM/R - 2GM/R) = (1 + 3/2 GM/r)(1 - GM/R) T /T s = 1 + 3/2 GM/r - GM/R (T -T s )/T s = 3/2 GM/r - GM/R En unités SI : (T -T S )/T S = 3/2 GM/(rc²) - GM/(Rc²) r = R + h Si h << R (T - T s )/T s = 3/2 GM/(R + h) - GM/R = 3/2 GM/R - 3/2 GMh/R² - GM/R (T - T s )/T s = ½ GM/R - 3/2 GMh/R² GM = gr²/c² ( g étant l'intensité de la pesanteur au sol g = 9,8 m/s², on repasse en unités SI ) (T - T s )/T s = ½ gr/c² - 3/2 gh/c² Exemple : R = 637 km g = 9,8 m/s² h = 4 km c = m/s (T - T s )/T s = ½ gr/c² - 3/2 gh/c² = 2, Cela semble très faible, pourtant en une journée, 864 s, l'écart vaut 24,5 µs ce qui correspond à une erreur de 7 km!! Il faut donc bien compenser l'écart. Bibliographie : Relativité générale de Thomas Moore (De boeck) Leçons sur la gravitation de Richard Feynman (Odile Jacob Sciences)

POLY-PREPAS Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux. - Section Audioprothésiste / stage i-prépa intensif -

POLY-PREPAS Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux. - Section Audioprothésiste / stage i-prépa intensif - POLY-PREPAS Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux - Section Audioprothésiste / stage i-prépa intensif - 70 Chapitre 8 : Champ de gravitation - Satellites I. Loi de gravitation universelle : (

Plus en détail

DYNAMIQUE DE FORMATION DES ÉTOILES

DYNAMIQUE DE FORMATION DES ÉTOILES A 99 PHYS. II ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE,

Plus en détail

I - Quelques propriétés des étoiles à neutrons

I - Quelques propriétés des étoiles à neutrons Formation Interuniversitaire de Physique Option de L3 Ecole Normale Supérieure de Paris Astrophysique Patrick Hennebelle François Levrier Sixième TD 14 avril 2015 Les étoiles dont la masse initiale est

Plus en détail

L éther et la théorie de la relativité restreinte :

L éther et la théorie de la relativité restreinte : Henri-François Defontaines Le 16 octobre 2009 L éther et la théorie de la relativité restreinte : Univers absolu ou relatif? Imaginaire ou réalité? «Ether : PHYS. Anc. Fluide hypothétique, impondérable,

Plus en détail

Université de Caen. Relativité générale. C. LONGUEMARE Applications version 2.0. 4 mars 2014

Université de Caen. Relativité générale. C. LONGUEMARE Applications version 2.0. 4 mars 2014 Université de Caen LMNO Relativité générale C. LONGUEMARE Applications version.0 4 mars 014 Plan 1. Rappels de dynamique classique La force de Coulomb Le principe de moindre action : lagrangien, hamiltonien

Plus en détail

Chapitre 9 : Applications des lois de Newton et Kepler à l'étude du mouvement des planètes et des satellites

Chapitre 9 : Applications des lois de Newton et Kepler à l'étude du mouvement des planètes et des satellites I- Les trois lois de Kepler : Chapitre 9 : Applications des lois de Newton et Kepler à l'étude du mouvement des planètes et des satellites Les lois de Kepler s'applique aussi bien pour une planète en mouvement

Plus en détail

G.P. DNS02 Septembre 2012. Réfraction...1 I.Préliminaires...1 II.Première partie...1 III.Deuxième partie...3. Réfraction

G.P. DNS02 Septembre 2012. Réfraction...1 I.Préliminaires...1 II.Première partie...1 III.Deuxième partie...3. Réfraction DNS Sujet Réfraction...1 I.Préliminaires...1 II.Première partie...1 III.Deuxième partie...3 Réfraction I. Préliminaires 1. Rappeler la valeur et l'unité de la perméabilité magnétique du vide µ 0. Donner

Plus en détail

La notion de temps. par Jean Kovalevsky, membre de l'institut *

La notion de temps. par Jean Kovalevsky, membre de l'institut * La notion de temps par Jean Kovalevsky, membre de l'institut * Introduction : le temps classique Nous avons de la notion de temps une connaissance primaire, vivant dans un présent coincé entre un passé

Plus en détail

Oscillations libres des systèmes à deux degrés de liberté

Oscillations libres des systèmes à deux degrés de liberté Chapitre 4 Oscillations libres des systèmes à deux degrés de liberté 4.1 Introduction Les systèmes qui nécessitent deux coordonnées indépendantes pour spécifier leurs positions sont appelés systèmes à

Plus en détail

Chapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques

Chapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques Chapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques Savoir-faire théoriques (T) : Écrire l équation différentielle associée à un système physique ; Faire apparaître la constante de temps ; Tracer

Plus en détail

8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles. f : R 2 R (x, y) 1 x 2 y 2

8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles. f : R 2 R (x, y) 1 x 2 y 2 Chapitre 8 Fonctions de plusieurs variables 8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles Définition. Une fonction réelle de n variables réelles est une application d une partie de R

Plus en détail

La Mesure du Temps. et Temps Solaire Moyen H m.

La Mesure du Temps. et Temps Solaire Moyen H m. La Mesure du Temps Unité de temps du Système International. C est la seconde, de symbole s. Sa définition actuelle a été établie en 1967 par la 13 ème Conférence des Poids et Mesures : la seconde est la

Plus en détail

COTTAZ Céline DESVIGNES Emilie ANTHONIOZ-BLANC Clément VUILLERMET DIT DAVIGNON Nicolas. Quelle est la trajectoire de la Lune autour de la Terre?

COTTAZ Céline DESVIGNES Emilie ANTHONIOZ-BLANC Clément VUILLERMET DIT DAVIGNON Nicolas. Quelle est la trajectoire de la Lune autour de la Terre? COTTAZ Céline DESVIGNES Emilie ANTHONIOZ-BLANC Clément VUILLERMET DIT DAVIGNON Nicolas Quelle est la trajectoire de la Lune autour de la Terre? Terminale S1 Lycée Elie Cartan Olympiades de Physiques 2003-2004

Plus en détail

Erratum de MÉCANIQUE, 6ème édition. Introduction Page xxi (milieu de page) G = 6, 672 59 10 11 m 3 kg 1 s 2

Erratum de MÉCANIQUE, 6ème édition. Introduction Page xxi (milieu de page) G = 6, 672 59 10 11 m 3 kg 1 s 2 Introduction Page xxi (milieu de page) G = 6, 672 59 1 11 m 3 kg 1 s 2 Erratum de MÉCANIQUE, 6ème édition Page xxv (dernier tiers de page) le terme de Coriolis est supérieur à 1% du poids) Chapitre 1 Page

Plus en détail

TS Physique Satellite à la recherche de sa planète Exercice résolu

TS Physique Satellite à la recherche de sa planète Exercice résolu P a g e 1 Phsique atellite à la recherche de sa planète Exercice résolu Enoncé Le centre spatial de Kourou a lancé le 1 décembre 005, avec une fusée Ariane 5, un satellite de météorologie de seconde génération

Plus en détail

La gravitation universelle

La gravitation universelle La gravitation universelle Pourquoi les planètes du système solaire restent-elles en orbite autour du Soleil? 1) Qu'est-ce que la gravitation universelle? activité : Attraction universelle La cohésion

Plus en détail

Galiléo. Galiléo : le système européen de positionnement par satellite

Galiléo. Galiléo : le système européen de positionnement par satellite Galiléo Voici quelques informations sur une situation concrète où le caractère relatif du temps est à prendre en compte. Plutôt que sur le système américain GPS, pourquoi ne pas travailler autour du système

Plus en détail

Chapitre 0 Introduction à la cinématique

Chapitre 0 Introduction à la cinématique Chapitre 0 Introduction à la cinématique Plan Vitesse, accélération Coordonnées polaires Exercices corrigés Vitesse, Accélération La cinématique est l étude du mouvement Elle suppose donc l existence à

Plus en détail

Chapitre 1 Cinématique du point matériel

Chapitre 1 Cinématique du point matériel Chapitre 1 Cinématique du point matériel 7 1.1. Introduction 1.1.1. Domaine d étude Le programme de mécanique de math sup se limite à l étude de la mécanique classique. Sont exclus : la relativité et la

Plus en détail

3 Approximation de solutions d équations

3 Approximation de solutions d équations 3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle

Plus en détail

Principes de la Mécanique

Principes de la Mécanique Chapitre 1 Principes de la Mécanique L expérience a montré que tous les phénomènes observés dans la nature obéissent à des lois bien déterminées. Ces lois peuvent être, en plus, déterministes ou indéterministes.

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Maths MP Exercices Fonctions de plusieurs variables Les indications ne sont ici que pour être consultées après le T (pour les exercices non traités). Avant et pendant le T, tenez bon et n allez pas les

Plus en détail

DIFFRACTion des ondes

DIFFRACTion des ondes DIFFRACTion des ondes I DIFFRACTION DES ONDES PAR LA CUVE À ONDES Lorsqu'une onde plane traverse un trou, elle se transforme en onde circulaire. On dit que l'onde plane est diffractée par le trou. Ce phénomène

Plus en détail

TD 9 Problème à deux corps

TD 9 Problème à deux corps PH1ME2-C Université Paris 7 - Denis Diderot 2012-2013 TD 9 Problème à deux corps 1. Systèmes de deux particules : centre de masse et particule relative. Application à l étude des étoiles doubles Une étoile

Plus en détail

TD1 PROPAGATION DANS UN MILIEU PRESENTANT UN GRADIENT D'INDICE

TD1 PROPAGATION DANS UN MILIEU PRESENTANT UN GRADIENT D'INDICE TD1 PROPAGATION DANS UN MILIEU PRESENTANT UN GRADIENT D'INDICE Exercice en classe EXERCICE 1 : La fibre à gradient d indice On considère la propagation d une onde électromagnétique dans un milieu diélectrique

Plus en détail

Les objets très lointains

Les objets très lointains Les objets très lointains Lorsque les étoiles sont proches il est possible de mesurer la distance qui nous en sépare par une méthode dite abusivement directe, la trigonométrie, qui permet de déduire les

Plus en détail

TP 03 B : Mesure d une vitesse par effet Doppler

TP 03 B : Mesure d une vitesse par effet Doppler TP 03 B : Mesure d une vitesse par effet Doppler Compétences exigibles : - Mettre en œuvre une démarche expérimentale pour mesurer une vitesse en utilisant l effet Doppler. - Exploiter l expression du

Plus en détail

Sujet proposé par Yves M. LEROY. Cet examen se compose d un exercice et de deux problèmes. Ces trois parties sont indépendantes.

Sujet proposé par Yves M. LEROY. Cet examen se compose d un exercice et de deux problèmes. Ces trois parties sont indépendantes. Promotion X 004 COURS D ANALYSE DES STRUCTURES MÉCANIQUES PAR LA MÉTHODE DES ELEMENTS FINIS (MEC 568) contrôle non classant (7 mars 007, heures) Documents autorisés : polycopié ; documents et notes de

Plus en détail

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy

Plus en détail

Celestia. 1. Introduction à Celestia (2/7) 1. Introduction à Celestia (1/7) Université du Temps Libre - 08 avril 2008

Celestia. 1. Introduction à Celestia (2/7) 1. Introduction à Celestia (1/7) Université du Temps Libre - 08 avril 2008 GMPI*EZVI0EFSVEXSMVIH%WXVSTL]WMUYIHI&SVHIEY\ 1. Introduction à Celestia Celestia 1.1 Généralités 1.2 Ecran d Ouverture 2. Commandes Principales du Menu 3. Exemples d Applications 3.1 Effet de l atmosphère

Plus en détail

Cours IV Mise en orbite

Cours IV Mise en orbite Introduction au vol spatial Cours IV Mise en orbite If you don t know where you re going, you ll probably end up somewhere else. Yogi Berra, NY Yankees catcher v1.2.8 by-sa Olivier Cleynen Introduction

Plus en détail

Le second nuage : questions autour de la lumière

Le second nuage : questions autour de la lumière Le second nuage : questions autour de la lumière Quelle vitesse? infinie ou pas? cf débats autour de la réfraction (Newton : la lumière va + vite dans l eau) mesures astronomiques (Rœmer, Bradley) : grande

Plus en détail

Exercices. Sirius 1 ère S - Livre du professeur Chapitre 15. Champs et forces. Exercices d application. 5 minutes chrono!

Exercices. Sirius 1 ère S - Livre du professeur Chapitre 15. Champs et forces. Exercices d application. 5 minutes chrono! Exercices Exercices d application 5 minutes chrono 1. Mots manquants a. scalaire b. aimants/courants c. aiguille aimantée d. électrostatique. e. uniforme/ parallèles. f. la verticale/la Terre g. gravitation/la

Plus en détail

FORMATION DES PERSONNES-RESSOURCES EN SCIENCE ET TECHNOLOGIE LE CYCLE DU JOUR ET DE LA NUIT (CYCLE DIURNE)

FORMATION DES PERSONNES-RESSOURCES EN SCIENCE ET TECHNOLOGIE LE CYCLE DU JOUR ET DE LA NUIT (CYCLE DIURNE) FORMATION DES PERSONNES-RESSOURCES EN SCIENCE ET TECHNOLOGIE LE CYCLE DU JOUR ET DE LA NUIT (CYCLE DIURNE) Pierre Chastenay astronome Planétarium de Montréal Source : nia.ecsu.edu/onr/ocean/teampages/rs/daynight.jpg

Plus en détail

= 1 si n = m& où n et m sont souvent des indices entiers, par exemple, n, m = 0, 1, 2, 3, 4... En fait,! n m

= 1 si n = m& où n et m sont souvent des indices entiers, par exemple, n, m = 0, 1, 2, 3, 4... En fait,! n m 1 épartement de Physique, Université Laval, Québec Pierre Amiot, 1. La fonction delta et certaines de ses utilisations. Clientèle Ce texte est destiné aux physiciens, ingénieurs et autres scientifiques.

Plus en détail

Comprendre l Univers grâce aux messages de la lumière

Comprendre l Univers grâce aux messages de la lumière Seconde / P4 Comprendre l Univers grâce aux messages de la lumière 1/ EXPLORATION DE L UNIVERS Dans notre environnement quotidien, les dimensions, les distances sont à l échelle humaine : quelques mètres,

Plus en détail

Chap 8 - TEMPS & RELATIVITE RESTREINTE

Chap 8 - TEMPS & RELATIVITE RESTREINTE Chap 8 - TEMPS & RELATIVITE RESTREINTE Exercice 0 page 9 On considère deux évènements E et E Référentiel propre, R : la Terre. Dans ce référentiel, les deux évènements ont lieu au même endroit. La durée

Plus en détail

Session de Juillet 2001. Durée 2 H Documents interdits.

Session de Juillet 2001. Durée 2 H Documents interdits. Session de Juillet 2001 Durée 2 H Documents interdits. Exercice 1 : Oscillations forcées de dipôles électriques Lors d une séance de travaux pratiques, les élèves sont conduits à étudier les dipôles en

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples

Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples 45 Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples Les espaces vectoriels considérés sont réels, non réduits au vecteur nul et

Plus en détail

DM n o 8 TS1 2012 Physique 10 (satellites) + Chimie 12 (catalyse) Exercice 1 Lancement d un satellite météorologique

DM n o 8 TS1 2012 Physique 10 (satellites) + Chimie 12 (catalyse) Exercice 1 Lancement d un satellite météorologique DM n o 8 TS1 2012 Physique 10 (satellites) + Chimie 12 (catalyse) Exercice 1 Lancement d un satellite météorologique Le centre spatial de Kourou a lancé le 21 décembre 200, avec une fusée Ariane, un satellite

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables

Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables PC*2 2 septembre 2009 Avant-propos À part le théorème de Fubini qui sera démontré dans le cours sur les intégrales à paramètres et qui ne semble pas explicitement

Plus en détail

Repérage d un point - Vitesse et

Repérage d un point - Vitesse et PSI - écanique I - Repérage d un point - Vitesse et accélération page 1/6 Repérage d un point - Vitesse et accélération Table des matières 1 Espace et temps - Référentiel d observation 1 2 Coordonnées

Plus en détail

Seconde Sciences Physiques et Chimiques Activité 1.3 1 ère Partie : L Univers Chapitre 1 Correction. Où sommes-nous?

Seconde Sciences Physiques et Chimiques Activité 1.3 1 ère Partie : L Univers Chapitre 1 Correction. Où sommes-nous? Où sommes-nous? Savoir où nous sommes dans l Univers est une question fondamentale à laquelle les scientifiques de toutes les époques ont apporté des réponses, grâce aux moyens qui étaient les leurs. Pour

Plus en détail

DURÉE DU JOUR EN FONCTION DE LA DATE ET DE LA LATITUDE

DURÉE DU JOUR EN FONCTION DE LA DATE ET DE LA LATITUDE DURÉE DU JUR E FCTI DE LA DATE ET DE LA LATITUDE ous allons nous intéresser à la durée du jour, prise ici dans le sens de période d éclairement par le Soleil dans une journée de 4 h, en un lieu donné de

Plus en détail

TD de Physique n o 1 : Mécanique du point

TD de Physique n o 1 : Mécanique du point E.N.S. de Cachan Département E.E.A. M FE 3 e année Phsique appliquée 011-01 TD de Phsique n o 1 : Mécanique du point Exercice n o 1 : Trajectoire d un ballon-sonde Un ballon-sonde M, lâché au niveau du

Plus en détail

MESURE ET PRECISION. Il est clair que si le voltmètre mesure bien la tension U aux bornes de R, l ampèremètre, lui, mesure. R mes. mes. .

MESURE ET PRECISION. Il est clair que si le voltmètre mesure bien la tension U aux bornes de R, l ampèremètre, lui, mesure. R mes. mes. . MESURE ET PRECISIO La détermination de la valeur d une grandeur G à partir des mesures expérimentales de grandeurs a et b dont elle dépend n a vraiment de sens que si elle est accompagnée de la précision

Plus en détail

Une réponse (très) partielle à la deuxième question : Calcul des exposants critiques en champ moyen

Une réponse (très) partielle à la deuxième question : Calcul des exposants critiques en champ moyen Une réponse (très) partielle à la deuxième question : Calcul des exposants critiques en champ moyen Manière heuristique d'introduire l'approximation de champ moyen : on néglige les termes de fluctuations

Plus en détail

La détermination de l accélération d une sphère métallique à l aide de 21 mesures pendant un parcours dans le plan incliné enregistré par le MOTU 828

La détermination de l accélération d une sphère métallique à l aide de 21 mesures pendant un parcours dans le plan incliné enregistré par le MOTU 828 La détermination de l accélération d une sphère métallique à l aide de 21 mesures pendant un parcours dans le plan incliné enregistré par le MOTU 828 de Dr Franz Raemy septembre 2010 Introduction de l

Plus en détail

Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables

Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Guy Desaulniers Département de mathématiques et de génie industriel École Polytechnique de Montréal Automne 2014 Table des matières

Plus en détail

SYSTEMES LINEAIRES DU PREMIER ORDRE

SYSTEMES LINEAIRES DU PREMIER ORDRE SYSTEMES LINEIRES DU PREMIER ORDRE 1. DEFINITION e(t) SYSTEME s(t) Un système est dit linéaire invariant du premier ordre si la réponse s(t) est liée à l excitation e(t) par une équation différentielle

Plus en détail

MECANIQUE DU POINT. y e y. z e z. ] est le trièdre de référence. e z. où [O, e r. r est la distance à l'axe, θ l'angle polaire et z la côte

MECANIQUE DU POINT. y e y. z e z. ] est le trièdre de référence. e z. où [O, e r. r est la distance à l'axe, θ l'angle polaire et z la côte I) Cinématique du point matériel: 1) Référentiel: MECANIQUE DU POINT L ensemble de tous les systèmes d axes de coordonnées liés à un même solide de référence S constitue un repère Soit une horloge permettant

Plus en détail

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité

Plus en détail

La vie des étoiles. La vie des étoiles. Mardi 7 août

La vie des étoiles. La vie des étoiles. Mardi 7 août La vie des étoiles La vie des étoiles Mardi 7 août A l échelle d une ou plusieurs vies humaines, les étoiles, que l on retrouve toujours à la même place dans le ciel, au fil des saisons ; nous paraissent

Plus en détail

Comment dit-on qu'une étoile est plus vieille qu'une autre ou plus jeune qu'une autre?

Comment dit-on qu'une étoile est plus vieille qu'une autre ou plus jeune qu'une autre? Comment dit-on qu'une étoile est plus vieille qu'une autre ou plus jeune qu'une autre? Comment peut-on donner un âge à l'univers? Dans l'univers, il y a beaucoup de choses : des étoiles, comme le Soleil...

Plus en détail

Le Soleil. Structure, données astronomiques, insolation.

Le Soleil. Structure, données astronomiques, insolation. Le Soleil Structure, données astronomiques, insolation. Le Soleil, une formidable centrale à Fusion Nucléaire Le Soleil a pris naissance au sein d un nuage d hydrogène de composition relative en moles

Plus en détail

MÉCANIQUE PHQ 310. David Sénéchal. Département de physique Faculté des sciences Université de Sherbrooke

MÉCANIQUE PHQ 310. David Sénéchal. Département de physique Faculté des sciences Université de Sherbrooke MÉCANIQUE II PHQ 310 David Sénéchal Département de physique Faculté des sciences Université de Sherbrooke 25 juin 2015 2 Table des matières 1 Mécanique de Lagrange 9 1.1 Équations de Lagrange........................................

Plus en détail

POLY-PREPAS Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux. - Section Orthoptiste / stage i-prépa intensif -

POLY-PREPAS Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux. - Section Orthoptiste / stage i-prépa intensif - POLY-PREPAS Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux - Section Orthoptiste / stage i-prépa intensif - 1 Suite énoncé des exos du Chapitre 14 : Noyaux-masse-énergie I. Fission nucléaire induite (provoquée)

Plus en détail

F411 - Courbes Paramétrées, Polaires

F411 - Courbes Paramétrées, Polaires 1/43 Courbes Paramétrées Courbes polaires Longueur d un arc, Courbure F411 - Courbes Paramétrées, Polaires Michel Fournié michel.fournie@iut-tlse3.fr http://www.math.univ-toulouse.fr/ fournie/ Année 2012/2013

Plus en détail

Fonctions de deux variables. Mai 2011

Fonctions de deux variables. Mai 2011 Fonctions de deux variables Dédou Mai 2011 D une à deux variables Les fonctions modèlisent de l information dépendant d un paramètre. On a aussi besoin de modéliser de l information dépendant de plusieurs

Plus en détail

Ludovic Grossard. Chapitre VI Polarisation de la lumière. Chapitre VI. Département Mesures Physiques, IUT du Limousin Université de Limoges

Ludovic Grossard. Chapitre VI Polarisation de la lumière. Chapitre VI. Département Mesures Physiques, IUT du Limousin Université de Limoges Chapitre VI Polarisation de la lumière Ludovic Grossard Département Mesures Physiques, IUT du Limousin Université de Limoges 1 Dénition 2 Types de polarisation 3 Polariseurs / analyseurs 4 Les lames de

Plus en détail

La magnitude des étoiles

La magnitude des étoiles La magnitude des étoiles 1.a. L'éclat d'une étoile L'éclat d'une étoile, noté E, est la quantité d'énergie arrivant par unité de temps et par unité de surface perpendiculaire au rayonnement. Son unité

Plus en détail

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........

Plus en détail

OM 1 Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables

OM 1 Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables PCSI 2013 2014 Certaines partie de ce chapitre ne seront utiles qu à partir de l année prochaine, mais une grande partie nous servira dès cette année.

Plus en détail

SYSTEME DE PARTICULES. DYNAMIQUE DU SOLIDE (suite) Table des matières

SYSTEME DE PARTICULES. DYNAMIQUE DU SOLIDE (suite) Table des matières Physique Générale SYSTEME DE PARTICULES DYNAMIQUE DU SOLIDE (suite) TRAN Minh Tâm Table des matières Applications de la loi de Newton pour la rotation 93 Le gyroscope........................ 93 L orbite

Plus en détail

Chapitre 6 : les groupements d'étoiles et l'espace interstellaire

Chapitre 6 : les groupements d'étoiles et l'espace interstellaire Chapitre 6 : les groupements d'étoiles et l'espace interstellaire - Notre Galaxie - Amas stellaires - Milieu interstellaire - Où sommes-nous? - Types de galaxies - Interactions entre galaxies Notre Galaxie

Plus en détail

La relativité générale est quelquefois considérée

La relativité générale est quelquefois considérée Relativité et interactions fondamentales La relativité générale et la spirale infernale des étoiles binaires compactes La théorie relativiste de la gravitation, très bien vérifiée par les tests classiques

Plus en détail

Examen d informatique première session 2004

Examen d informatique première session 2004 Examen d informatique première session 2004 Le chiffre à côté du titre de la question indique le nombre de points sur 40. I) Lentille électrostatique à fente (14) Le problème étudié est à deux dimensions.

Plus en détail

TP oscilloscope et GBF

TP oscilloscope et GBF TP oscilloscope et GBF Ce TP est évalué à l'aide d'un questionnaire moodle. Objectif : ce travail a pour buts de manipuler l oscilloscope et le GBF. A l issu de celui-ci, toutes les fonctions essentielles

Plus en détail

III. Transformation des vitesses

III. Transformation des vitesses 9 III Transformation des vitesses La transformation de Lorentz entraîne de profondes modifications des règles de cinématique: composition des vitesses, transformation des accélérations. 1. Règle de composition

Plus en détail

Chapitre 7 - Relativité du mouvement

Chapitre 7 - Relativité du mouvement Un bus roule lentement dans une ville. Alain (A) est assis dans le bus, Brigitte (B) marche dans l'allée vers l'arrière du bus pour faire des signes à Claude (C) qui est au bord de la route. Brigitte marche

Plus en détail

Cours de Mécanique du point matériel

Cours de Mécanique du point matériel Cours de Mécanique du point matériel SMPC1 Module 1 : Mécanique 1 Session : Automne 2014 Prof. M. EL BAZ Cours de Mécanique du Point matériel Chapitre 1 : Complément Mathématique SMPC1 Chapitre 1: Rappels

Plus en détail

THEORIE DE LA RELATIVITE RESTREINTE : NOTION DE TEMPS PROPRE, DE TEMPS IMPROPRE ET DE SIMULTANEITE

THEORIE DE LA RELATIVITE RESTREINTE : NOTION DE TEMPS PROPRE, DE TEMPS IMPROPRE ET DE SIMULTANEITE THEORIE DE LA RELATIVITE RESTREINTE : NOTION DE TEMPS PROPRE, DE TEMPS IMPROPRE ET DE SIMULTANEITE. Introduction Dans la compréhension de la relativité restreinte (RR par la suite), beaucoup de difficultés

Plus en détail

Ondes gravitationnelles de basses fréquences et relativité

Ondes gravitationnelles de basses fréquences et relativité Ondes gravitationnelles de basses fréquences et relativité numérique Jérôme Novak LUTH : Laboratoire de l Univers et de ses THéories CNRS / Université Paris 7 / Observatoire de Paris F-92195 Meudon Cedex,

Plus en détail

3 - Description et orbite d'un satellite d'observation

3 - Description et orbite d'un satellite d'observation Introduction à la télédétection 3 - Description et orbite d'un satellite d'observation OLIVIER DE JOINVILLE Table des matières I - Description d'un satellite d'observation 5 A. Schéma d'un satellite...5

Plus en détail

INTRODUCTION À L ANALYSE FACTORIELLE DES CORRESPONDANCES

INTRODUCTION À L ANALYSE FACTORIELLE DES CORRESPONDANCES INTRODUCTION À L ANALYSE FACTORIELLE DES CORRESPONDANCES Dominique LAFFLY Maître de Conférences, Université de Pau Laboratoire Société Environnement Territoire UMR 5603 du CNRS et Université de Pau Domaine

Plus en détail

Mathématiques appliquées à l informatique

Mathématiques appliquées à l informatique Mathématiques appliquées à l informatique Jean-Etienne Poirrier 15 décembre 2005 Table des matières 1 Matrices 3 1.1 Définition......................................... 3 1.2 Les différents types de matrices.............................

Plus en détail

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. 1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le

Plus en détail

10 leçon 2. Leçon n 2 : Contact entre deux solides. Frottement de glissement. Exemples. (PC ou 1 er CU)

10 leçon 2. Leçon n 2 : Contact entre deux solides. Frottement de glissement. Exemples. (PC ou 1 er CU) 0 leçon 2 Leçon n 2 : Contact entre deu solides Frottement de glissement Eemples (PC ou er CU) Introduction Contact entre deu solides Liaisons de contact 2 Contact ponctuel 2 Frottement de glissement 2

Plus en détail

RELATIONS DES CONTACTS HERTZIENS

RELATIONS DES CONTACTS HERTZIENS RELATIONS DES CONTACTS HERTZIENS 2004-203 Frédy Oberson et Fred Lang LES RELATIONS DES CONTACTS HERTZIENS Lorsque deux solides non conformes sont mis en contact 2, ils se touchent initialement en un point

Plus en détail

Forces et Interactions

Forces et Interactions Février 2013 Cours de physique sur les Forces et les Interactions page 1 1 Objectifs Forces et Interactions Le but de ce cours est d'introduire la notion de force et d'étudier la statique, c'est-à-dire

Plus en détail

Le planimètre polaire

Le planimètre polaire Le planimètre polaire Document d accompagnement des transparents. Bruno eischer Introduction Dans mon exposé à La Rochelle, ou au séminaire de l IREM de Besançon, j ai volontairement consacré une longue

Plus en détail

Physique: 1 er Bachelier en Medecine. 1er juin 2012. Duree de l'examen: 3 h. Partie 1: /56. Partie 2 : /20. Nom: N ō carte d étudiant:

Physique: 1 er Bachelier en Medecine. 1er juin 2012. Duree de l'examen: 3 h. Partie 1: /56. Partie 2 : /20. Nom: N ō carte d étudiant: Nom: Prénom: A N ō carte d étudiant: Physique: 1 er Bachelier en Medecine 1er juin 2012. Duree de l'examen: 3 h Avant de commencer a repondre aux questions, identiez-vous en haut de cette 1ere page, et

Plus en détail

Cinétique et dynamique des systèmes de solides

Cinétique et dynamique des systèmes de solides Cinétique et dynamique des systèmes de solides Page 2/30 CINÉTIQUE des systèmes matériels... 3 1.) Notion de masse...3 2.) Centre de masse d'un ensemble matériel...4 3.) Torseurs cinétique et dynamique...6

Plus en détail

LA FORCE CENTRIFUGE. En effet, cette force tend à expulser les voitures en dehors d un virage serré.

LA FORCE CENTRIFUGE. En effet, cette force tend à expulser les voitures en dehors d un virage serré. LA ORCE CENTRIUGE Introduction La force centrifuge est assez connue du public, elle fait d ailleurs l objet d une question pouvant être posée pour l obtention du permis de conduire. En effet, cette force

Plus en détail

Représentation des nombres entiers et réels. en binaire en mémoire

Représentation des nombres entiers et réels. en binaire en mémoire L3 Mag1 Phys. fond., cours C 15-16 Rep. des nbs. en binaire 25-09-05 23 :06 :02 page 1 1 Nombres entiers 1.1 Représentation binaire Représentation des nombres entiers et réels Tout entier positif n peut

Plus en détail

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et

Plus en détail

Calculs approchés d un point fixe

Calculs approchés d un point fixe M11 ÉPREUVE COMMUNE DE TIPE 2013 - Partie D TITRE : Calculs approchés d un point fixe Temps de préparation :.. 2 h 15 minutes Temps de présentation devant les examinateurs :.10 minutes Dialogue avec les

Plus en détail

RESULTATS de MESURES et PRECISION

RESULTATS de MESURES et PRECISION Licence de physique, parcours Physique appliquée aux Sciences de la Vie et de la Planète Année 2005-2006 RESULTATS de MESURES et PRECISION Fascicule à lire avant de commencer les Travaux Pratiques Sommaire

Plus en détail

Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire

Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la Programmation Linéaire. 5 . Introduction Un programme linéaire s'écrit sous la forme suivante. MinZ(ou maxw) =

Plus en détail

Orbites et coniques : Constructions à la ficelle

Orbites et coniques : Constructions à la ficelle Orbites et coniques : Constructions à la ficelle Yves A. Delhaye 10 mai 2015 15 :21 Résumé Le lien entre les orbites des astres dans le système solaire et les coniques est établi. La définition des coniques

Plus en détail

Chapitre 11. Séries de Fourier. Nous supposons connues les formules donnant les coefficients de Fourier d une fonction 2 - périodique :

Chapitre 11. Séries de Fourier. Nous supposons connues les formules donnant les coefficients de Fourier d une fonction 2 - périodique : Chapitre Chapitre. Séries de Fourier Nous supposons connues les formules donnant les coefficients de Fourier d une fonction - périodique : c c a0 f x dx c an f xcosnxdx c c bn f xsinn x dx c L objet de

Plus en détail

A retenir : A Z m n. m noyau MASSE ET ÉNERGIE RÉACTIONS NUCLÉAIRES I) EQUIVALENCE MASSE-ÉNERGIE

A retenir : A Z m n. m noyau MASSE ET ÉNERGIE RÉACTIONS NUCLÉAIRES I) EQUIVALENCE MASSE-ÉNERGIE CP7 MASSE ET ÉNERGIE RÉACTIONS NUCLÉAIRES I) EQUIVALENCE MASSE-ÉNERGIE 1 ) Relation d'équivalence entre la masse et l'énergie -énergie de liaison 2 ) Une unité d énergie mieux adaptée 3 ) application 4

Plus en détail

BTS Mécanique et Automatismes Industriels. Équations différentielles d ordre 2

BTS Mécanique et Automatismes Industriels. Équations différentielles d ordre 2 BTS Mécanique et Automatismes Industriels Équations différentielles d ordre, Année scolaire 005 006 . Définition Notation Dans tout ce paragraphe, y désigne une fonction de la variable réelle x. On suppose

Plus en détail

INTRODUCTION À LA THÉORIE DE STABILITÉ DES SYSTÈMES CONSERVATIFS

INTRODUCTION À LA THÉORIE DE STABILITÉ DES SYSTÈMES CONSERVATIFS INTRODUCTION À LA THÉORIE DE STABILITÉ DES SYSTÈMES CONSERVATIFS David Ryckelynck Centre des Matériaux, Mines ParisTech David.Ryckelynck@mines-paristech.fr Bibliographie : Stabilité et mécanique non linéaire,

Plus en détail

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1 . Sous-ensembles de R n et fonctions (suite) 1 Nappes paramétrées Si f une fonction de deux variables, son graphe est une surface incluse dans R 3 : {(x, y, f(x, y)) / (x, y) R 2 }. Une telle surface s

Plus en détail

Table des matières. Listings. 1 Tests Algorithmique et Matlab. Travaux pratiques - E.D.O. Travail individuel et personnel. Sup'Galilée Année 2014-2015

Table des matières. Listings. 1 Tests Algorithmique et Matlab. Travaux pratiques - E.D.O. Travail individuel et personnel. Sup'Galilée Année 2014-2015 Energétique I Méthodes Numériques II Sup'Galilée Année -5 Travaux pratiques - E.D.O. Groupes B à B6 Travail individuel et personnel Table des matières Tests Algorithmique et Matlab Résolution numérique

Plus en détail

M6 MOMENT CINÉTIQUE D UN POINT MATÉRIEL

M6 MOMENT CINÉTIQUE D UN POINT MATÉRIEL M6 MOMENT CINÉTIQUE D UN POINT MATÉRIEL OBJECTIFS Jusqu à présent, nous avons rencontré deux méthodes pour obtenir l équation du mouvement d un point matériel : - l utilisation du P.F.D. - et celle du

Plus en détail

Sur les vols en formation.

Sur les vols en formation. Sur les vols en formation. Grasse, 8 Février 2006 Plan de l exposé 1. Missions en cours et prévues 2. Le problème du mouvement relatif 2.1 Positionnement du problème 2.2 Les équations de Hill 2.2 Les changements

Plus en détail

Introduction à la relativité générale

Introduction à la relativité générale Introduction à la relativité générale Bartolomé Coll Systèmes de référence relativistes SYRTE - CNRS Observatoire de Paris Introduction à la Relativité Générale Préliminaires Caractère théorique (formation)

Plus en détail