Chapitre 10 : Mécanique des fluides

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1 Chapitre 10 : Mécanique des fluides

2 1. Pression hydrostatique Les fluides regroupent gaz et liquides. En général, on considère des fluides incompressibles. Ce n est plus le cas en thermodynamique. Un objet immergé subit une pression de toutes parts. force normale! Par définition : p = F. n A = F A Unité : Pascal (Pa)

3 Exemples : - punaise F paire action-réaction p 1 pression différentes p 1 p 2 p 2 F - pression atmosphérique : force = poids de l air p = Pa = 1013 hpa = 1 atm - vide : p =0Pa

4 Fakir :

5 2. Effet de la profondeur Colonne de fluide incompressible en équilibre : p 0 A V = Ah Newton selon la verticale : p 0 A + mg = pa mg pa p 0 A + ρgv = pa p 0 + ρgh = p La pression ne dépend que de la profondeur. A B C D p A = p B = p C = p D

6 Loi de Pascal : toute pression supplémentaire se transmet à tout le fluide. p 0 p = p 0 + ρgh h p Vérins hydrauliques : F 1 F 2 p 1 p 2 p 1 = F 1 A 1 = F 2 A 2 = p 2

7 Estimer l épaisseur de l atmosphère si colonne d air homogène : h = p 0 ρg h = km

8 3. Mesurer la pression Manomètre : Baromètre : vide h h h h hauteur = différence de pressions p h = p l + ρgh expérience de Torricelli p 0 = ρgh une pression étalon!

9 Expérience de Torricelli h = 760 mm Anciennes unités : 1 atm = 760 mm de Hg 1 hpa = 1 mb 1torr = 1/760 atm

10 4. Principe d Archimède - Flottabilité Origine : B cube de fluide en équilibre il doit exister une force B qui équilibre mg si cube de métal, les forces sont différentes m g p h cette force B provient du fluide environnant p g p d p g = p d (pas de force latérale) p b = p h + ρgh (force dirigée vers le haut) B =(p b p h )A = ρgha = ρgv p b B = ρgv B = poussée d Archimède = poids du fluide déplacé par l objet

11 Coule ou flotte? bilan des forces : mg B =(ρ ρ f )gv bois métal B B m g m g ρ<ρ f flotte ρ>ρ f coule En surface : volume total = volume immergé + volume émergé B mg B =0 m g ρgv tot ρ f gv im =0 ρ ρ f = V im V tot

12 Iceberg : ρ eau =1000kg/m 3 ρ glace =917kg/m 3 V i V tot =0.917

13 Bateaux :

14 Problème du glaçon qui fond : avant après h? Le niveau d eau ne varie pas! Application : fonte des glaces aux pôles.

15 5. Dynamique des fluides Types d écoulement : - laminaire : la vitesse en chaque point est constante au cours du temps. On peut définir des lignes de courant. - turbulent : la vitesse en chaque point de l écoulement varie au cours du temps. Fluide idéal : - écoulement laminaire : vitesse stationnaire en un point - non-visqueux : pas de perte d énergie - incompressible : densité unique - irrotationnel : pas de tourbillon

16 6. Equation de continuité Pipe-line : x 2 v 2 x v 1 1 tranches de fluide : x 1 = v 1 t x 2 = v 2 t m 1 = ρa x 1 m 2 = ρa x 2 fluide incompressible : m 1 = m 2 A 1 v 1 = A 2 v 2 Débit : Av = Q L équation de continuité est donc une équation de conservation du débit.

17 Exemples : - bouchons la vitesse augmente dans le rétrécissement! - seringues v p section piston > section aiguille v s v p v s

18 Filet du robinet : Les particules d eau sont en chute libre : v = v 0 + gt

19 7. Equation de Bernoulli Tranches : x 2 z 2 z 1 v 2 x v 1 1 travail : énergie cinétique : énergie potentielle : W 1 = p 1 A 1 x 1 = p 1 V W 2 = p 2 A 2 x 2 = p 2 V K = 1 2 mv mv2 1 U = mgz 2 mgz 1 W 1 + W 2 =(p 1 p 2 )V W = U + K (p 1 p 2 )V = 1 2 ρv v ρv v2 1 + ρv gz 2 ρv gz 1 p ρv2 + ρgz = C

20 Loi de Torricelli : v =0 v Bernoulli : ρgh = 1 2 ρv2 v = 2gh c est une simple chute libre!

21 Effet Venturi Bernoulli simplifié : p = 1 2 ρ v2 Une dépression se crée là où le fluide s écoule rapidement. Expérience : balle de ping-pong : Adhésion : flux d air

22 Portance des ailes d avions : F vh v b <v h v b p b >p h v h v b v b v h Tempêtes et toitures : F vent

23 Tube de Venturi : p 1 p v 2 1 v 2 v 1 p 1 v 1 <v 2 p 1 >p 2 aspiration Application : approcher le vide 10 2 atm Autre application : sprays

24 8. Viscosité Définition : en écoulement laminaire, des couches de fluide de surface S glissent les unes sur les autres : force de frottement entre les couches. v z v =0 frottement : F f = ηs v z gradient de vitesse v z Les frottements visqueux impliquent une dissipation d énergie. Unités de la viscosité : [Pa s]

25 Valeurs typiques de la viscosité : fluide air eau huile η [Pa s] ρ [kg/m 3 ] miel verre fondu Loi de Poiseuille : débit dans un tube cylindrique L d Q = π 8 p η d 4 L profil de vitesse parabolique

26 Frottement visqueux : Un objet sphérique placé dans un fluide en écoulement laminaire subit une force. F =6πηRv loi de Stokes Chute dans un fluide visqueux : vitesse limite

27 Turbulence : les tourbillons produisent une chute de pression force de frottement supplémentaire : F = C ρ 2 Av2 C est le coefficient de résistance qui varie de 0.05 à 1.3 Nombre de Reynolds : rapport des forces de frottement turbulence/laminaire Re = ρvd η - écoulement laminaire si Re < 1 - écoulement turbulent si Re > 1

28

29 Ronds de fumée : Etna, Sicile. enroulement!

30 Autres anneaux : dans l eau! dauphins PMMH, ESPCI, Paris.

31 9. Tension superficielle Définition : F F =2γl force par unité de longueur Origine à l échelle moléculaire : déficit en énergie de cohésion a γ U 2a 2 énergie par unité de surface

32 Valeurs typiques : l eau a une tension superficielle élevée! liquid huile γ [N/m] 0,021 eau + savon 0,030 glycérol 0,063 eau 0,072 mercure 0,500 l ajout de savon diminue Forme idéale des fluides : sphère A volume équivalent, la sphère minimise la...

33 Instabilité de Plateau-Rayleigh : cylindre R V 0 = πr 2 L = n 4 3 πr3 = V n instabilité λ S n = n 4πr2 S 0 2πRL gouttes r r> 3 2 R condition de Plateau Un cylindre de liquide se décompose spontanément pour former des goutelettes.

34 Expérience du bateau : γ γ Objet au repos eau eau+savon γ γ F Déplacement de l objet eau La tension superficielle peut induire des mouvements.

35 Objets en surface : punaise vue du dessus vue du dessous Insectes surfeurs : gerris remigis

36 Loi de Laplace : forces capillaires = forces de pression p = 2γ R Bulle de savon : deux interfaces : p = 4γ R

37 Loi de Laplace généralisée : courbure p = γ ( 1 R + 1 ) R = γc caténoïde : surface à courbure nulle

38 Adhésion capillaire : chateaux de sable

39 Contact liquide/solide : forme sphérique flaque Angle de contact : quelle que soit la taille de la goutte air γ jonction triple : air, liquide, solide liquide θ solide mouillant : non-mouillant : θ<90 interaction forte solide /liquide θ>90 interaction faible solide/liquide

40 Exemples typiques : système angle de contact eau/verre 15 eau/parafine 115 mercure/verre 140 Surfaces superhydrophobes : l eau glisse sur ces surfaces - vêtements imperméables - pare-brises des voitures - etc...

41 Montée capillaire : γ θ θ γ h m g force capillaire = poids de la colonne de liquide 2πRγ cos θ = f = ρgv = ρg πr 2 h h = 2γ cos θ ρgr Loi de Jurin Remarque : Pour un liquide non-mouillant, le liquide descend dans le tube!

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