Échangeurs de chaleur à contact direct

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1 Échangeurs de chaleur à contact direct par Alain BRICARD Ingénieur du Conservatoire National des Arts et Métiers Ingénieur de Recherche au Centre d Études Nucléaires de Grenoble et Lounès TADRIST Docteur ès Sciences Physiques Directeur de Recherches au Centre National de la Recherche Scientifique Institut Universitaire des Systèmes Thermiques Industriels de Marseille 1. Concept de base... BE Qu est-ce qu un échangeur de chaleur à contact direct? Comment réaliser un ECD Grandeurs caractéristiques des ECD Dimensionnement Modélisation globale des ECD surfaciques et volumiques Modélisation locale des ECD volumiques Échange de chaleur à contact direct liquide-liquide Mise en œuvre et performances Calcul d un ECD liquide-liquide Échange de chaleur à contact direct gaz-solide Différents types de contacteurs à particules solides Contacteur à pluie de particules Échangeur régénérateur Lits fluidisés Échange de chaleur avec transition de phase liquide à solide Granulométrie des systèmes dispersés avec changement d état liquide solide Domaines d applications Échange de chaleur avec transition de phase liquide à vapeur Échange en évaporation Échange en condensation Échange en ébullition Pour en savoir plus... Doc. BE A coté des échangeurs de chaleur conventionnels qui assurent un transfert de chaleur au travers d une paroi matérielle entre deux fluides à des températures différentes, on trouve toute une gamme de dispositifs industriels où la paroi d échange est supprimée : tours de refroidissement, échangeurs récupérateurs solide-gaz, contacteurs gaz-liquide pour le chauffage d eau à partir d effluents gazeux, humidificateurs d air, condenseurs à bulles et barométriques... Les échangeurs à contact direct restent cependant assez peu répandus du fait de contraintes intrinsèques et d une méconnaissance des comportements hydrodynamique et thermique de ces systèmes où interviennent des processus physiques complexes (milieux multiphases en écoulement avec ou sans change- Techniques de l Ingénieur, traité Génie énergétique BE

2 ÉCHANGEURS DE CHALEUR À CONTACT DIRECT ment d état). Il est bien clair que les échangeurs à contact direct ne sont pas une panacée, mais dans certains cas spécifiques ils constituent une alternative intéressante car ils offrent la possibilité de réduire le coût d investissement et d accroître les performances d échange par rapport à un échangeur classique. On présente ici les bases nécessaires à la compréhension et au dimensionnement des échangeurs thermiques fonctionnant sur le principe du contact direct ; mode de transfert de chaleur au demeurant courant dans la nature, puisqu il intervient, en particulier, dans le cycle de l eau entre la terre et l atmosphère par évaporation et condensation, dans la formation de brouillard et de neige dans l atmosphère, dans la gélification de l eau des rivières et dans la solidification de la lave, etc... Pour les notations et symboles, se reporter en fin d article (p. 29). 1. Concept de base 1.1 Qu est-ce qu un échangeur de chaleur à contact direct? C est un échangeur sans paroi matérielle de séparation entre deux fluides qui circulent à co ou contre-courant (figure 1). L absence de paroi est une caractéristique intrinsèque de l échange, ou bien est recherchée pour améliorer certaines qualités propres de l échangeur. L interface des deux fluides va se présenter sous deux aspects : Fluide froid Fluide chaud Transmission de la chaleur à travers une paroi Phase dispersée Entrée Sortie Phase continue stagnante Phase continue au repos Paroi Fluide froid Fluide chaud Transmission de la chaleur à travers l'interface Entrée phase continue Sortie phase continue Sortie phase dispersée Entrée phase dispersée Phase continue en écoulement Figure 1 Procédés de transfert de chaleur entre fluides Interface les phases sont séparées par une interface continue ou par une interface rendue discontinue par l interposition de nombreux obstacles : c est le contact direct surfacique ; les phases s interpénètrent de façon homogène par dispersion d un fluide ou de particules au sein de l autre fluide : c est le contact direct volumique. Les échangeurs de chaleur à contact direct ECD sont ainsi présents dans les opérations de transfert de chaleur et de masse entre un gaz et un liquide réalisées, par exemple, dans les humidificateurs et les tours de refroidissement d eau. On les trouve dans les contacteurs gaz-solide tels les échangeurs récupérateurs et les échangeurs régénérateurs, et bien sûr comme condenseurs dont l utilisation remonte au tout début du XX e siècle. Ils interviennent aussi dans certaines applications avec des fluides encrassants ou corrosifs et dans des systèmes où l écart de température entre les fluides est minimisé en créant une aire interfaciale d échange élevée ; cette grandeur représentant la surface d échange disponible par unité de volume d échangeur. On convient d écrire tout couple de fluides en citant d abord la phase continue (gaz-solide désigne la dispersion d un solide dans un gaz). Suivant les applications et les domaines de température de travail, tous les couples de fluides non miscibles et chimiquement inertes peuvent être envisagés ; un fluide pouvant conserver son état physique au cours du transfert de chaleur ou se présenter successivement sous plusieurs états (figure 2) Avantages et inconvénients La mise en contact des deux phases conduit aux caractéristiques suivantes : un coefficient d échange thermique global élevé ; une aire interfaciale importante quasi gratuite et modulable dans une certaine fourchette ; les risques d entartrage et de corrosion reportés sur l enveloppe externe réalisée dans une simple cuve ou colonne ; une perte de pression faible ; la disparition des dilatations différentielles ; une diminution potentielle du coût d investissement du fait de la simplicité de l échangeur. L échange de chaleur entre le fluide dispersé et la phase continue se ramène à considérer deux conductances thermiques en série : l une convective entre le milieu continu et l interface, l autre convective ou conductive suivant la nature fluide ou solide de la phase dispersée. Deux coefficients d échange exprimés en W/(m 2 K), l un BE Techniques de l Ingénieur, traité Génie énergétique

3 ÉCHANGEURS DE CHALEUR À CONTACT DIRECT Gaz Solide Gaz Solide Transfert de chaleur sans changement d'état N oublions pas les applications citées précédemment et les procédés industriels pour le chauffage et le refroidissement de solides granulaires ou pulvérulents (fabrication du ciment, du verre, grillages des minéraux...) par l intermédiaire des échangeurs à lits fluidisés. Le contact direct intervient aussi dans les condenseurs à jets ou à bulles et dans bien d autres dispositifs d échange de chaleur qui seront décrits dans les chapitres suivants. Enfin, les échangeurs à contact direct sont présents dans le stockage et le déstockage de l énergie principalement sous forme de chaleur sensible dans les régénérateurs. Gaz Figure 2 États physiques possibles des fluides en contact externe h c entre le fluide continu et l interface et l autre interne h d entre le fluide dispersé et l interface, sont ainsi définis : = (1) K s h d h c La disparition du terme de conductance thermique de paroi (λ/e), qui apparaissait dans la formulation du coefficient d échange surfacique global K s d un échangeur classique [46], exprimant la proportionalité entre la densité de flux ϕ (W/m 2 ) et l écart de température local entre le fluide chaud (supposé ici représenter la phase continue) et le fluide froid (supposé représenter la phase dispersée), ϕ = K s (T c T d ) (2) va évidemment dans le sens d un accroissement du flux, surtout quand on sait que la conductance d une paroi d acier doux d épaisseur 2 mm passe de W/(m 2 K) à moins de 500 W/(m 2 K) lorsqu il s y dépose une épaisseur équivalente de tartre. De même, la fragmentation de l interface, en accroissant considérablement l aire interfaciale, conduit à augmenter le flux de chaleur. Le revers est que le transfert parasitaire de masse d un fluide à l autre n est en règle générale pas nul car, d une part la non-miscibilité parfaite entre les fluides est rarement réalisée sauf dans le cas particulier d un contact gaz-solide, et d autre part il est difficile d annuler complètement l entraînement hydrodynamique (séparation totale des fluides après l échange). Notons que dans certains cas, ce transfert de matière associé au transfert de chaleur est recherché (tours de refroidissement d eau...). Autre contrainte, les fluides se retrouvent à la même pression imposant par-là même des conditions d utilisations restrictives inhérentes à leurs propriétés physiques Domaines d applications De façon générale, les échangeurs à contact direct trouvent leurs applications dans l exploitation de sources encrassantes et corrosives, géothermie, dessalement de l eau de mer, refroidissement de gaz et condensation de vapeurs dans les opérations de raffinage où les problèmes de perte de pression et d entartrage interdisent l emploi d échangeurs tubulaires. Ils sont aussi bien adaptés à la valorisation de rejets thermiques dans les secteurs industriels sensibles au prix de l énergie, notamment pour la récupération de chaleur latente et de chaleur sensible sur des rejets gazeux ou des fumées : contacteurs gaz-solide pour les températures élevées, contacteurs liquide-gaz pour les basses et moyennes températures. Gaz Solide Solide Transfert de chaleur avec changement d'état d'une phase 1.2 Comment réaliser un ECD? Dans la pratique, il faut réaliser un contact intime entre les deux fluides de façon à créer une aire interfaciale élevée. On n envisage ici que les dispositifs qui utilisent la seule force de gravité pour assurer l écoulement de la phase dispersée ; les contacteurs fonctionnant avec un apport d énergie : agitation mécanique, pulsation, force centrifuge, détente... concernent presque exclusivement le transfert de matière Contact direct surfacique Une configuration type est le film ruisselant ; elle est généralement utilisée pour réaliser une évaporation ou une condensation. Le transfert de chaleur est augmenté lorsque l interface est perturbée, augmentation due à l amélioration du coefficient d échange et à l accroissement de la surface. C est pourquoi, le génie chimique utilise des colonnes à plateaux et/ou à garnissage pour réaliser les contacts liquide-liquide, liquide-gaz et gaz-solide (figure 3). La colonne à plateaux constitue un ensemble d étages entre lesquels les deux phases circulent plus ou moins séparément, les plateaux pouvant être perforés. Dans la colonne à garnissage, le contact, réalisé par l intermédiaire d un empilement de corps tortueux, est discontinu avec une surface d échange et un temps de séjour des phases considérablement augmentés. Ces configurations sont utilisées dans certains dispositifs d échange et de récupération de chaleur, mais elles sont surtout à la base de la réalisation des contacteurs effectuant les opérations de transferts de matière distillation, absorption, extraction liquide/liquide et liquide/solide, séchage... qui s accompagnent pratiquement toujours d un transfert d énergie thermique. Ces contacteurs sont décrits dans le traité relatif au Génie des Procédés et dans l ouvrage de Perry [1] Contact direct volumique Le principe consiste à injecter un corps en mouvement dans une phase continue en circulation. Ce sont typiquement la colonne à pluie de particules avec un solide ou un liquide dispersé dans un courant gazeux ascendant ou descendant et la colonne à pulvérisation liquide-liquide constituée d une enceinte tubulaire verticale avec le disperseur placé en haut ou en bas de colonne selon les valeurs des masses volumiques des deux liquides. La surface d échange résultante entre les deux phases est modulable, car elle dépend directement de la taille et de la concentration des entités dispersées : particules, gouttes, bulles. Le principal défaut de ce type de contacteur est la difficulté à réaliser une circulation des deux phases proche de l écoulement piston (figure 4), c est-à-dire une progression de ces phases par tranches parallèles et indépendantes avec une diffusion axiale de la chaleur, par les tourbillons, négligeable : les tourbillons ne faisant qu assurer l homogénéité transversale de la veine fluide. L intérêt de l écoulement piston est d autoriser, par principe, une forte efficacité d échange. Techniques de l Ingénieur, traité Génie énergétique BE

4 ÉCHANGEURS DE CHALEUR À CONTACT DIRECT Gaz Gaz Gaz Gaz Gaz Gaz Gouttes Film Garnissage Gaz Gaz Gaz Gaz Bulles Plateaux Figure 3 Divers types de contacteurs Entrée phase continue T Écoulement piston la longueur au diamètre de la virole) ou si le fluide continu est en régime très turbulent (profil de vitesses du fluide continu relativement plat sur la plus grande partie de la section du tube), l écoulement est un compromis entre l écoulement piston et l écoulement parfaitement mélangé. L ensemble des phénomènes conduisant à une diffusion axiale de la chaleur ou de la concentration est regroupé sous le vocable de dispersion axiale. L T Écoulement partiellement mélangé L /D croissant Les contacteurs comprenant un garnissage ou plusieurs étages d échange sont moins sensibles à la dispersion axiale, ainsi que les échangeurs volumiques à cocourant dont le mode d échange est par principe un mélange local des deux phases (figure 5). Entrée phase dispersée T Écoulement parfaitement mélangé Figure 4 Profils de température suivant le degré de mélange des fluides Si l écoulement est parfaitement mélangé, les tourbillons l emportent alors largement sur la vitesse globale entraînant l égalisation des températures des deux phases (figure 4). En pratique, sauf si le contacteur possède un élancement important (rapport de L Courbes supérieures : phase continue Courbes inférieures : phase dispersée Création et évolution d une dispersion À part les cas d une dispersion de particules solides ou d un film liquide ruisselant, la mise en contact direct commence par la création des entités dispersées. La dispersion doit conduire à une taille optimale pour satisfaire à des conditions d écoulement et de transfert thermique. Il existe de nombreuses manières pour réaliser la dispersion d un liquide. Les pulvérisateurs sont bien adaptés aux ECD avec une phase continue gazeuse. Ils permettent une distribution uniforme du liquide couvrant le diamètre entier de l ECD : les caractéristiques du jet, le diamètre moyen et la distribution de tailles sont donnés par le constructeur en fonction de la pression d injection. Les atomiseurs ultrasoniques génèrent des brouillards de gouttelettes extrêmement fines. On peut aussi créer des gouttes à partir d un cône en rotation [1]. Lorsque la phase continue est liquide, les disperseurs consistent le plus souvent en une canalisation cylindrique ou un plateau per- BE Techniques de l Ingénieur, traité Génie énergétique

5 ÉCHANGEURS DE CHALEUR À CONTACT DIRECT Sortie phase légère Entrée phase dense Fluide caloporteur froid et particules Entrée phase légère Sortie phase dense Fluide caloporteur Stockage des particules Séparation par gravité Séparation par tamisage Eau Azote gazeux Gouttes d'eau Azote liquide Azote gazeux à -188 C Gaz comprimé Co-courant Mélange local de phases (homogénéisation des vitesses des fluides et de la température de la phase continue) Contre-courant Pas de mélange local eau ensemencée en particules d'aluminium q V d = 60 L/h, qv c = 500L/h Azote liquide Billes de glace Azote liquide à -196 C Vis d'archimède Pistolet de projection Billes de glace Figure 5 Visualisation d un écoulement liquide-liquide foré de nombreux trous : la taille des gouttes obtenues est de l ordre de quelques millimètres (0,5 à 5 mm). 1 Arrivée des fluides Échangeur à contact direct colonne - réservoir Séparation par vis d'archimède Stockage de Projection billes de glace L évolution de la taille des entités fluides par fragmentation et par coalescence est susceptible d entraîner des modifications de l écoulement polyphasé. Une revue bibliographique détaillée de ces phénomènes complexes est donnée par Kolev [2]. Figure 6 Techniques de séparation des phases après l échange 1.3 Grandeurs caractéristiques des ECD Séparation des phases après l échange D une apparente simplicité, les ECD posent le problème de la séparation des phases après l échange thermique. La séparation avec un fluide continu gazeux est relativement simple et s effectue dans un cyclone en sortie de l échangeur, que la phase dispersée soit solide ou liquide. De même, la séparation d une phase continue liquide et d une phase dispersée gazeuse est aisée grâce à la très grande différence des masses volumiques. La séparation d une phase continue liquide et d une phase dispersée liquide est réalisée par la coalescence de la phase dispersée sur une interface de décantation située en partie haute ou basse de la colonne suivant les valeurs respectives des masses volumiques des deux phases. La séparation d une phase dispersée solide et d une phase continue liquide nécessite des moyens plus lourds, la séparation s effectuant par tamisage sur un plan incliné ou par une vis d Archimède (figure 6). Les définitions et formules de bases sont données dans ce paragraphe. Elles permettront de quantifier les écoulements, les transferts de chaleur et les performances thermohydrauliques des ECD Concentration volumique et aire interfaciale Soient les volumes de contrôle d échangeurs surfacique et volumique construits sur la section d écoulement de hauteur dz (figures 7 et 8), la concentration volumique β, appelée encore taux de rétention ou taux de vide en milieu gaz-liquide, est définie soit comme la fraction du volume de contrôle occupée par la phase dispersée, volume de la phase dispersée β = volume de contrôle (3) Techniques de l Ingénieur, traité Génie énergétique BE

6 ÉCHANGEURS DE CHALEUR À CONTACT DIRECT Aire spécifique d'échange a ( m m ) 3 dz T d (z) q md T c (z) T d (z + dz ) z T c (z + dz ) Figure 7 Volume de contrôle d un ECD surfacique Section droite d'écoulement A (m 2 ) q mc co-courant Garnissage contre-courant Pour la définition des symboles, se reporter au tableau des notations et symboles en fin d'article Section droite d'écoulement A (m 2 ) L aire interfaciale (m 2 /m 3 ) représente la surface d échange disponible des particules en mouvement dans le volume de contrôle de l échangeur : S a = --- (5) V Pour les ECD de type volumique, où l on peut accéder au diamètre moyen de la dispersion, l aire interfaciale est plus volontiers exprimée en fonction de la concentration volumique β, 6 a = β (6) d 32 le diamètre moyen des particules étant en général basé sur le diamètre de Sauter d 32 i = 1 d 32 = n d 2 i n i i = 1 n i étant le nombre d entités de diamètre d i Vitesses des phases n d 3 i n i Du taux de rétention et du débit-volume q V (m 3 /s) de chacune des deux phases, on détermine les vitesses (m/s) absolues moyennes des deux phases u d et u c dans un repère fixe, q Vd q Vd U u d = = = d A d βa β (7) Concentration phase dispersée q Vd q Vc U u c = = = c A c ( 1 Ð β)a 1 Ð β (8) U c et U d étant les vitesses apparentes de chacune des deux phases U = U d + U c la vitesse apparente du mélange. Entités dispersées dz T c (z) T d (z) u d (z) Remarque Par convention, le sens positif correspond au mouvement de la phase dispersée sous l effet de la résultante des forces motrices dans un repère fixe ; les grandeurs sont définies algébriquement. Le débit-masse, le débit-volume et les vitesses de la phase dispersée sont toujours positifs. u c (z) contre-courant co-courant z T c (z ) T d (z + dz ) Pour la définition des symboles, se reporter au tableau des notations et symboles en fin d'article Figure 8 Volume de contrôle d un ECD volumique soit comme le rapport de l aire occupée par la phase dispersée A d dans la section d écoulement à l aire totale A de cette section, A β = d (4) A On peut démontrer formellement l équivalence des deux expressions si la répartition est supposée uniforme et isotrope. Vitesse relative La vitesse relative de la phase dispersée par rapport à la phase continue s exprime par : u r = u d u c (9) Vitesse et densité de flux de diffusion La vitesse de diffusion représente la vitesse relative de chacune des phases par rapport à un plan perpendiculaire à l écoulement qui se déplace à la vitesse apparente U, u cu = u c U u du = u d U (10) le flux volumique (m/s) relatif à la vitesse de diffusion s exprimant par : U J c = ( 1 Ð β)u cu = ( 1 Ð β) ( u c Ð U) = ( 1 Ð β) c Ð 1 Ð β U Ð U c d J d = βu du = β( u d Ð U) = U d ( 1 Ð β) Ð βu c = Ð J c = ÐU d ( 1 Ð β) + βu c (11) BE Techniques de l Ingénieur, traité Génie énergétique

7 ÉCHANGEURS DE CHALEUR À CONTACT DIRECT Tableau 1 Valeurs de l indice n de Zaki en fonction du nombre de Reynolds des particules Re p < 0,2 0,2 < Re p < < Re p < 500 Re p > 500 n 4,65 20 d p = n 4,4 18 d p = Rep Ð 0,03 n = 4,4Re Ð 0,1 D D p n = 2,4 Nous verrons plus loin que ces grandeurs sont reliées de façon semi-empirique au taux de rétention, à la taille moyenne des particules et aux débits-volume des deux phases par une relation de la forme : J c = f(β, propriétés physiques, carte d écoulement) Mouvement des particules Aux faibles valeurs du taux de rétention, inférieures à 1 %, les particules sont considérées en simple translation sans interactions dans le fluide en circulation. La résolution de l équation du mouvement d une particule rigide, soumise à la gravité et à la force de traînée, ρ du d d ( ρ (12) dt d Ð ρ c ) g C ( d ρ u d Ð u c ) u d Ð u c = Ð c d 32 avec ρ c et ρ d masses volumiques des phases continue et dispersée, C d coefficient de traînée. montre que la vitesse limite est atteinte pour une distance petite devant la longueur de l échangeur. La vitesse relative est alors la vitesse limite de chute en milieu infini au repos u r, u r u 4 r (13) 3 -- ( ρ c Ð ρ d )g = d 32 ρ c C d le coefficient de traînée C d de la particule rigide étant fonction du nombre de Reynolds de la particule, soit par exemple : Du système d équations (11), on déduit aisément une relation entre le taux de rétention et les vitesses des deux phases. D après Wallis [5], l indice n est voisin de 2 pour les écoulements de bulles dans un liquide ; pour des particules ou des gouttes, l indice n est donné par : 4,7 [ 1 + 0,15 Re 0,687 n p ] = (16) 1 + 0,253 Re 0,687 p La relation (15) est équivalente à celle formulée par Richardson et Zaki [6] dans leurs essais de sédimentation et de fluidisation, u r = u r ( 1Ðβ) n Ð 1 (17) mais les valeurs de l indice n, en fonction du nombre de Reynolds de la particule, sont légèrement différentes (tableau 1) Régimes d écoulement dans un ECD volumique L hydrodynamique d un écoulement dispersé se caractérise par la possibilité d obtenir plusieurs régimes opératoires différents pour un même couple de débits volumiques des deux phases. Ces régimes sont représentés de façon relativement simple à partir du diagramme de Wallis (figure 9) qui montre la variation de la densité de flux de diffusion en fonction du taux de rétention ; la densité de flux de diffusion étant exprimée par la relation (15) et par la droite d équation (11) passant par les points (β = 0, J d = U d ), (β = 1, J d = U c ). 24 C d = ( 1 + 0,15 Re 0,687 Re p ) + p ρ Re c u r d 32 p = Re µ p < 3, c 0, , Re Ð 1,16 p (14) J d -- U c (cas 3) On trouvera dans l ouvrage de Clift et al. [3] diverses expressions équivalentes du coefficient de traînée. Un calcul itératif sur les relations précédentes permet de déterminer la vitesse relative. Remarque Une particule fluide en mouvement dans un autre fluide peut avoir un comportement différent de celui d une particule rigide. On trouvera dans la littérature [4] des corrélations spécifiques donnant la vitesse limite et le coefficient de frottement pour les systèmes avec une interface déformable. La vitesse limite de chute dépend de la concentration de la phase dispersée. Une approche simple pour relier ces deux variables consiste à utiliser un modèle d écoulement semi-empirique où le profil des vitesses obéit à une loi imposée. Le modèle monodimensionnel de Wallis (1969) relie la densité de flux de diffusion au taux de rétention par la relation : J c = u r β ( 1Ðβ) n (15) U d 0 β lâche β dense 1 β -- U c (cas 2) -- U c (cas 1) -- U c (cas 4) J d Figure 9 Diagramme de Wallis pour les écoulements particulaires [5] Techniques de l Ingénieur, traité Génie énergétique BE

8 ÉCHANGEURS DE CHALEUR À CONTACT DIRECT Le lit mixte apparaît pour une stabilisation de l interface lit dense/lit lâche à une position déterminée, obtenue par l égalisation des débits d entrée et de sortie de la phase continue, c est-à-dire en réalisant le régime permanent. Lit dense Coefficient d échange thermique volumique La difficulté à appréhender l aire interfaciale, surtout pour les ECD surfaciques, conduit à la définition d un coefficient d échange thermique volumique global. À partir des relations (1), (2) et (3), écrivons le bilan de la puissance élémentaire (ou flux thermique élémentaire dφ) échangée entre les deux fluides à travers l élément de contacteur en supposant que la chaleur est cédée par le fluide continu : Lit lâche dφ = K s (z)[t c (z) T d (z)]ds(z) = K s (z)a(z)[t c (z) T d (z)]dv(z) (19) Le bilan enthalpique des deux fluides en écoulement stationnaire sur cet élément de contrôle fournit la relation supplémentaire, dφ = q mc [ H c ( z) Ð H c ( z + dz) ] = q md [ H d ( z) Ð H d ( z + dz) ] (20) Figure 10 Lit lâche et lit dense dans la même colonne [7] En écoulement à cocourant ascendant de bulles ou de gouttes, les vitesses apparentes U d et U c sont positives, la droite coupe la courbe en un seul point dont l abscisse correspond à un écoulement de type lit lâche (cas 1) ; il en est de même en écoulement cocourant descendant de gouttes ou de particules. En écoulement à contre-courant avec la phase dispersée circulant vers le haut, suivant les débits respectifs des deux phases, il est possible d obtenir deux solutions qui correspondent au lit lâche et au lit dense (cas 2). Si l on augmente la vitesse apparente de la phase continue, la droite devient tangente à la courbe (cas 3) ; ce cas limite correspond au phénomène d engorgement. Il y a alors inversion du sens de circulation de la phase dispersée, ce point de fonctionnement est instable. En écoulement à contre-courant descendant de la phase dispersée plus légère que la phase continue, ou ascendant de particules plus denses que la phase continue, il n y a pas de solution (cas 4). La ligne d engorgement d un écoulement à contre-courant est définie par les équations : du c du d = (18) dβ Ud dβ Uc Dans la pratique, il convient de se placer à au moins 10 % des conditions d engorgement pour éviter des écoulements instables. Pour une dispersion de bulles dans un liquide, les points de fonctionnement à la transition lit lâche/lit dense se confondent et ne peuvent être considérés au sens strict comme les états d engorgement car les bulles coalescent et la modification de la vitesse relative repousse à une valeur plus élevée l engorgement. Le lit lâche (figure 10) se caractérise par un faible taux de rétention et une vitesse relative de la phase dispersée plus élevée. L obtention de ce régime implique que la vitesse d évacuation des gouttes hors de la colonne soit supérieure à leur vitesse de formation dans la phase transitoire d établissement. Le lit dense (figure 10) apparaît lorsque la vitesse d extraction des particules est inférieure à leur vitesse de formation. L accumulation est alors possible et il se produit un empilement serré de gouttes pouvant, quand elles sont déformables, dépasser la valeur limite de 73 % d un empilement hexagonal compact de sphères solides. Le processus commence au niveau de la zone d injection et se propage le long de la colonne. avec q m débit-masse. où on choisit de prendre comme variable l enthalpie massique H au lieu de la température pour tenir compte d un éventuel changement d état de la phase dispersée. Le volume de l échangeur nécessaire au transfert d un flux Φ, connaissant les températures d entrée et de sortie des fluides circulant à co où à contre-courant, s obtient en intégrant l équation (19) : (21) Globalement, le volume d échange ne peut être calculé que si on définit une température moyenne caractéristique et un coefficient d échange volumique global constant K V = ak s déterminé à cette température. Dans la pratique, on écrit, Φ V = (22) K V T ML en exprimant la différence de températures moyennes des deux fluides par l écart moyen logarithmique calculé en fonction des valeurs de températures à l entrée et à la sortie : (23) avec l indice e pour l entrée et l indice s pour la sortie de l échangeur. Les mesures expérimentales des températures, du flux et du volume de l échangeur permettent de déterminer ce coefficient d échange volumique global. Il dépend donc de la géométrie de l échangeur et du couple de fluides : Perte de pression dφ V = K s a( T Ð c T d ) ( T ) T z = 0 Ð ( T ) z = L ML = ( T ) z = 0 ln ( T ) z = L ( T ) z = 0 = T ce Ð T ds ( T ) z = L = T cs Ð T de Φ K V = V T ML (24) En pratique dans un ECD de type volumique, les pertes de pression par accélération et par frottement sont négligeables devant la BE Techniques de l Ingénieur, traité Génie énergétique

9 ÉCHANGEURS DE CHALEUR À CONTACT DIRECT perte de pression par gravité. La perte de pression est ainsi égale au poids du mélange diphasique dans la colonne d échange : dp = g (( 1Ðβ)ρ dz c + βρ d ) (25) Pour les échangeurs de type surfacique, la perte de pression est exprimée à partir de corrélations spécifiques [8], s appuyant sur différentes théories (théorie des canaux ou des particules) Efficacité de l échangeur Elle est définie comme le rapport de la puissance thermique réellement transférée à la puissance maximale transférable dans les mêmes conditions de fonctionnement : q md [ H d ( T ds ) Ð H d ( T de )] E = min { q mc [ H c ( T ce ) Ð H c ( T de )];q md [ H d ( T ce ) Ð H d ( T de )]} (26) Cette relation générale s applique aux échangeurs où interviennent des transferts de chaleur avec ou sans changement d état des fluides. 2. Dimensionnement On distingue deux types d approches pour le calcul hydraulique et thermique d un ECD : une approche globale basée sur l utilisation de l écart moyen logarithmique de température (DTLM) et du coefficient d échange volumique. Ce coefficient permet de s affranchir de la méconnaissance ou de la difficulté à appréhender la surface d échange effective entre les phases et de la nature de l écoulement. L approche s applique aux deux types d ECD, mais nous la regarderons comme la méthode spécifique de dimensionnement des échangeurs surfaciques dont l hydraulique est particulièrement complexe ; une approche locale basée sur l écriture des bilans de quantité de mouvement et d énergie des deux fluides dans un volume de contrôle construit sur la section d écoulement. Le calcul est ensuite étendu à l ensemble de l échangeur maillé suivant un réseau à une dimension avec une prise en compte éventuelle du phénomène de dispersion axiale : recirculations locales des fluides. L approche s applique uniquement aux ECD volumiques dont la topologie de l écoulement est mieux connue, puisqu il s agit d une circulation, sous l effet de la gravité, de particules de nature solide, liquide et/ou gazeuse réparties de façon plus ou moins homogène dans une phase continue. Les méthodes thermohydrauliques multidimensionnelles, de plus en plus utilisées dans le cas des échangeurs classiques, ne sont pas encore bien adaptées à ces systèmes polyphasés. Remarquons que dans le cas où le taux de rétention et le coefficient d échange surfacique sont constants sur l ensemble du contacteur, des solutions analytiques sont possibles ( 3.2). Dans les deux cas, le bilan thermique est écrit en ne comptabilisant que les termes de grandeurs importants ; sont négligés le terme de conduction dans la phase continue, le terme de travail des forces de pression, ainsi que les effets de dissipation visqueuse. Le système est considéré comme adiabatique vis-à-vis de l extérieur. 2.1 Modélisation globale des ECD surfaciques et volumiques Le volume de l échangeur est déterminé par la relation (22). L échange thermique s effectue en principe à contre-courant et la V hauteur du contacteur est déduite d une relation du type L = --- = f A (équipement) qui est fonction de l équipement utilisé. Pour un échangeur de type volumique, l aire de la section d écoulement est déterminée à partir de conditions sur les vitesses obtenues avec la relation (18) afin de prévenir l entraînement ; on en déduit le taux de rétention et la longueur d échange. Pour un échangeur de type surfacique, l aire d écoulement est en général une donnée initiale du problème. La hauteur de l échangeur est calculée à partir de corrélations qui utilisent les concepts de plateaux théoriques et d efficacité de transfert d un plateau. Fair [8] (1972) donne un ensemble de corrélations qui permettent le dimensionnement thermique et hydraulique (engorgement, entraînement, perte de pression) d ECD de types surfaciques et volumiques de géométries particulières (colonnes à plateaux, colonnes à pulvérisations, colonnes à garnissage, cyclones, pipeline...). Ces ECD sont utilisés principalement en pétrochimie comme désurchauffeur de gaz et de vapeurs pour des raisons économiques ou pour s affranchir du problème de l encrassement : désurchauffe du gaz avec échange uniquement en chaleur sensible ; désurchauffe du gaz avec vaporisation du fluide de refroidissement ; désurchauffe et condensation partielle de la vapeur ; condensation totale de la vapeur. Deux types de calculs sont envisageables pour la caractérisation de l échangeur : la détermination du volume d échange connaissant la puissance échangée et les températures d entrée et de sortie des fluides ; la détermination des températures de sortie des fluides connaissant leur température d entrée et le volume de l échangeur. Pour le premier cas, le déroulement du calcul est schématiquement le suivant : Échangeur surfacique Utilisation d'une corrélation donnant la hauteur du contacteur Détermination de la température moyenne caractéristique à partir des températures entrées / sorties relation 23 Calcul du coefficient d'échange volumique à partir d'une corrélation spécifique Calcul du volume relation 22 Échangeur volumique Calcul du taux de rétention à l'engorgement, relation 18 Détermination d'une section d'écoulement prévenant l'entraînement Calcul de la hauteur du contacteur Techniques de l Ingénieur, traité Génie énergétique BE

10 ÉCHANGEURS DE CHALEUR À CONTACT DIRECT Dans le deuxième cas, le problème est itératif, car on ne peut pas trouver directement une température moyenne caractéristique des fluides. Les corrélations dépendent de la géométrie de l échangeur, du couple de fluides utilisés, et de la présence éventuelle d un transfert simultané de masse (condensation ou évaporation) ; il convient donc de se placer dans les mêmes conditions opératoires pour dimensionner correctement l échangeur. la goutte avec circulation interne sans changement d état ; la goutte entièrement mélangée avec ou sans changement d état, caractérisée par une résistance thermique interne nulle ; la goutte «rigide» et la goutte avec un changement d état liquide solide, caractérisée par une résistance thermique interne de type conductif. Le profil de température de la particule est obtenu à partir de l équation de la chaleur : 2.2 Modélisation locale des ECD volumiques Équations de bilan de l énergie des deux phases avec R rayon courant d une particule, λ d ρ H d d t R R 2 R 2 λ T d = d R (31) conductivité thermique de la phase dispersée, qui, en relation avec la condition de surface, À partir de ces bilans, on pourra accéder à la section d écoulement, à la longueur d échange total, au profil de température de chacune des deux phases mais aussi à la surface d échange. T d Ð λ d = h R R = R c [T d ( R p,z) Ð T c ( z)] p (32) Bilan sur le volume de contrôle On considère un écoulement de particules et de fluide continu dont les vitesses respectives et le taux de rétention sont supposés constants sur le volume de contrôle (figure 8). Le bilan thermique pour chacune des deux phases s écrit dans le cas général du régime transitoire : Accumulation d'énergie = Pour la phase continue, il vient : Adz ( 1Ð β) ( ρ c H c) = A( 1 Ð β) [( ρ c u c H (27) t c ) z Ð ( ρ c u c H c ) z + dz ] + dφ avec t le temps. Soit en remplaçant la variable enthalpie par celle de la température dans le cas où il n y a pas de changement d état sur le fluide continu : ρ c c pc ( 1 Ð β)adz T c ( t,z) (28) t + u Tc( t,z) = dφ c z avec c pc capacité thermique massique de la phase continue. Le flux échangé couplant les équations d énergie des deux phases est compté positif pour le fluide qui s échauffe et négatif pour le fluide qui se refroidit. Il est calculé à partir de la relation (19). Pour la phase dispersée, l équation de bilan s exprime : ρ d βadz H d u H d + (29) t d = dφ z Son écriture détaillée dépend d un changement d état éventuel et du mode de transfert dans cette phase. Exemple : en régime permanent, dans le cas d un échange de chaleur de type convectif sans changement d état de la phase dispersée qui s écoule et se refroidit dans un fluide continu, l équation (29) devient : dt d ( z) 6 ρ d c pd q Vd = Ð βak (30) dz d s ( z) ( T d ( z) Ð T c ( z) ) 32 le coefficient d échange surfacique étant alors déterminé par la relation (1) dont nous expliciterons les termes dans le paragraphe On distingue ainsi : Énergie entrant par convection _ Énergie sortant par convection Apport de chaleur + intérieur au volume avec h c coefficient d échange de la phase continue, permet de calculer l évolution de la température de surface de la particule et le flux échangé. Remarque : la résolution des équations précédentes écrites sous forme réduite, en posant T d ( R,t) Ð T c ( z) h θ et Bi c R = = p T d ( R p,0) Ð T c ( z) λ d Dispersion axiale L écoulement piston des deux phases n est jamais réalisé (recirculations des phases, distribution du taux de rétention, effets d entrée et de sortie...). Ces phénomènes, dépendant essentiellement de la géométrie de la colonne et du régime d écoulement, sont modélisés en introduisant une conductivité thermique apparente λ a dans la phase continue. Ce qui conduit à ajouter le terme de conduction axiale suivant dans l équation (27) de l énergie de la phase continue, qui s écrit encore après réarrangement : (33) fait apparaître le nombre de Biot. Une solution particulièrement simple apparaît lorsque la température externe T c est constante et que Bi < 0,1. Le refroidissement ou le réchauffage de la particule sont alors uniformes suivant la loi : h c θ = exp Ð t ρ d c pd Ð A( 1Ðβ)λ T c a z z A( 1Ðβ)λ T c Ð Ð a z d 32 z + dz soit ( 1Ðβ) Aλ a dz 2 T c z 2 λ a ρ c c pc ( 1 Ð β)adz T c ρ c c pc z 2 (34) (35) BE Techniques de l Ingénieur, traité Génie énergétique

11 ÉCHANGEURS DE CHALEUR À CONTACT DIRECT Remarque : on a fait apparaître la diffusivité axiale apparente (m 2 /s), dite encore diffusivité turbulente : λ D a = a (36) ρ c c pc La diffusivité axiale peut être calculée par la corrélation de Zhelenyaak et Landau [9] relative à une phase dispersée de nature solide, liquide, ou gazeuse, D a 6,5 µ c = Re (37) ρ 0,987 h β 0,814 µ 3,89 c où le nombre de Reynolds Re h est basé sur la vitesse absolue de la phase dispersée, la viscosité de la phase continue et le diamètre hydraulique suivant, D( 1 Ð β) D h = , D β + 1 d p la viscosité moyenne étant donnée par : µ µ c + µ = d 2 -- µ 3 c + µ d Coefficients d échange thermique (38) (39) Ces coefficients interviennent dans l expression de dφ ( 1.3.4) qui apparaît dans les bilans d énergie [équations (27) et (28)] Coefficient d échange thermique externe L analyse théorique de la résistance de la phase continue dans le cas de la sphère rigide conduit à une relation donnant le nombre de h Nusselt Nu c d c = p en fonction des nombres de Reynolds et de λ c Prandtl de l écoulement libre. La relation s applique aussi à une sphère solide, liquide ou gazeuse en mouvement dans un fluide, le nombre de Reynolds étant alors défini à partir de la vitesse relative des particules. Les valeurs du nombre de Nusselt correspondant à différents cas de dispersion sont donnés dans le tableau Coefficient d échange thermique interne Système sans changement d état Les valeurs du nombre de Nusselt ou du coefficient d échange sont données dans le tableau 3. Système avec changement d état de la phase dispersée Solidification d une goutte : une goutte plongée dans un liquide à une température inférieure à sa température de solidification T f se refroidit et cristallise. Il faut alors déterminer l évolution de la température de surface de la particule ( 5). Vaporisation par ébullition d une goutte : une goutte plongée dans un milieu de température supérieure à sa température de saturation se vaporise par ébullition. On suppose que la goutte a une température homogène (sa température de saturation) et que le coefficient d échange interne est très grand devant le coefficient d échange externe. 3. Échange de chaleur à contact direct liquide-liquide 3.1 Mise en œuvre et performances Les colonnes à pulvérisation ont été surtout utilisées comme échangeur de chaleur en géothermie et pour le dessalement de l eau de mer afin de s affranchir du dépôt de tartre sur les parois des échangeurs tubulaires classiques. La figure 11 présente le schéma de principe d un dispositif de dessalement intégrant deux ECD liquide-liquide : Tableau 2 Expressions du coefficient d échange thermique externe dans les cas classiques Particule solide ou liquide [10] Particule liquide avec évaporation [11] Particule gazeuse [12] Dispersion liquide-liquide (globale) [13] Vaporisation entité goutte-bulle (globale) [14] Vaporisation entité goutte-bulle (locale) [15] (1) avec γ demi-angle d ouverture de la phase vapeur dans la goutte diphasique Nu c = 2 + 0,79 Re1 2 p Pr Re 2000 c < < p Nu c = 2 + 0,6 Re1 2 p Pr1 3 0 Re 1000 c < < p Nu c = 0,37 Re0,6 p Pr 1 3 c Nu c = 0,156 Re1 2 p Pr 1 3 c Nu c = 0,272 Re1 2 p Pr 1 2 c Nu c = 0,4629 Re1 3 p Pr 1 3 γ 0,5 sin 2γ c ( Ð ( )) 0,67 Tableau 3 Expressions du coefficient d échange thermique interne sans changement d état de la phase dispersée Particule rigide voir Goutte avec recirculation interne (théorie) [16] Goutte avec recirculation interne (expérience) [13] Goutte entièrement mélangée (goutte de taille élevée et de faible viscosité) h 0,00375 Re d Pr d ρ d d d p u r = 1 µ Re d = > 1000 d u d µ c Nu d = 0,0178 Re0,95 d Pr 0,22 c h d infini Techniques de l Ingénieur, traité Génie énergétique BE

12 ÉCHANGEURS DE CHALEUR À CONTACT DIRECT Eau de mer froide Eau douce chaude Huile froide Huile chaude Eau douce froide Rejet saumure Figure 11 Colonne à pulvérisation liquide-liquide : schéma de principe d un dispositif pour le dessalement de l eau de mer l eau de mer est réchauffée par contact direct avec une huile chaude ; la vapeur produite par autovaporisation dans des chambres de détente est condensée par une pluie d eau douce venant d étages plus froids ; l eau douce est ensuite refroidie par contact direct avec une huile froide. Le contact intime entre les gouttes liquides (ou les bulles si dispersion liquide-gaz) dans la phase continue liquide n est possible que dans la mesure où les propriétés de l interface des deux phases permettent de conserver une structure stable. En pratique, l écart entre les masses volumiques doit être de 200 kg/m 3 et la tension interfaciale de l ordre de 0,03 N/m. Dans certains cas, il faut recourir à un dopage par un élément tensioactif pour limiter la coalescence. On retiendra que pour les systèmes hydrocarbures-eau, il est préférable de disperser l hydrocarbure. La nature de la paroi de l échangeur et du disperseur est à prendre en considération, ce dernier devant être mouillé préférentiellement par la phase continue. Des fonctionnements stables ont été obtenus avec des couples eau-liquide organique dans des colonnes allant jusqu à 300 mm de diamètre. Dans ces contacteurs, les gouttes sont formées à partir d ajutages cylindriques. On distingue trois régimes d écoulement (figure 12) en fonction du nombre de Reynolds Re n construit sur la vitesse d injection u n, le diamètre de l injecteur d n et avec les propriétés physiques de la phase injectée. Les relations données ci-après restent valables dans le cas de la dispersion d un liquide dans une phase continue gazeuse. Régime goutte à goutte (Re n < 300) Dans ce régime, les gouttes se forment directement au niveau du disperseur et sont de tailles relativement homogènes. Pour les vitesses d injection non nulles, la relation proposée par Scheele et Meister [17] permet d estimer le volume des gouttes de diamètre d g : σπd V g f n 20µ c q Vd d n 4ρ d q Vd u n ,5 σρ d q2 V d d2 n = + Ð + ρg ρgd2 g 3 ρg ρ 2 g 2 avec u n et σ tension superficielle de la goutte. 3σ d n Ð ρ d d n d g (40) Le facteur f fonction de d n /2a est donné dans le tableau 4 ; a est 2σ la constante de Laplace d expression a = g ρ Tableau 4 Valeur de f en fonction du rapport d n /2a d n /2a 0 0,05 0,1 0,2 0,3 0,4 f 1 0,9 0,81 0,75 0,71 0,68 Régime laminaire (300 < Re n < 3000) Au delà de cette vitesse, il y a formation d un jet de liquide qui se déstabilise et se fracture en gouttes dont la taille d g est une fonction de la longueur d onde λ de l instabilité (distance entre deux ventres). Nous retiendrons que la longueur d onde dépend du diamètre du jet d j et de la structure du jet qui, avec la croissance de la vitesse est axisymétrique, sinueux ou hélicoïdal. L augmentation de la vitesse d injection conduit à un jet de longueur maximal se fracturant en gouttes de tailles «assez» uniformes, vitesse que Christiansen et Hixon [18] évaluent à partir de l expression, d j u n 2, σ = d n d j ( 0,514ρ d + 0,472ρ c ) (41) BE Techniques de l Ingénieur, traité Génie énergétique

13 ÉCHANGEURS DE CHALEUR À CONTACT DIRECT Goutte à goutte Jet laminaire Jet turbulent où le coefficient X est une fonction du diamètre de l injecteur et des propriétés physiques de la phase dispersée. Le transfert de chaleur se révèle plus important en régime de lit dense que dans le régime de lit lâche : le faible coefficient d échange surfacique est compensé par l accroissement de la surface d échange entre les phases (on atteint une aire interfaciale de m 2 /m 3 pour un diamètre moyen des particules de 3 mm, le taux de rétention expérimental étant de l ordre de 60 %). Le coefficient d échange volumique s en trouve accru dans des proportions de deux à trois pour un même rapport de débit de capacité thermique des deux phases. Dans le cas du couple eau-kérozène, Loutaty [19] a obtenu des coefficients d échange volumiques variant de 20 à 80 kw/(m 3 K) avec des efficacités comprises entre 0,4 et 0,85 en lit lâche et de 100 à 180 kw/(m 3 K) avec des efficacités supérieures à 0,8 pour le lit dense. Plass et al. [20] donnent pour les couples eaucomposés organiques les relations suivantes [en kw/(m 3 K)] : Re n < < Re n < 3000 Re n > 3000 K V = 837,4[ β Ð 18 exp( Ð 0,75R)] + 16,2] pour 0,05 < β < 0,2 KV = 233 β pour β < 0,05 (44) avec q Vd R = q Vc 3.2 Calcul d un ECD liquide-liquide Soit une colonne à dispersion avec un écoulement piston à contre-courant des deux phases, la phase dispersée plus légère étant injectée en bas de colonne à la cote z = 0. Les équations (28) et (30) s écrivent en supposant la chaleur apportée par la phase continue et le coefficient d échange surfacique constant : Axisymétrique Sinueux Hélicoïdal q Vc ρ c c pc dt c ( z) A dz q Vd ρ d c pd dt d ( z) = A dz 6 = Ð βk d s [ T c ( z) Ð T d ( z) ] βk d s [ T c ( z) Ð T d ( z) ] 32 (45) Re n croissant Figure 12 Allures d un jet cylindrique en fonction du nombre de Reynolds du jet et qui, associée aux relations empiriques suivantes, permet d estimer le diamètre des gouttes en fonction de la contraction du jet : d g 2d j d n d , n d n = + 0,1 pour < 0,785 d j ( σ g ρ) 1 2 ( σ g ρ) 1 2 d n d ,51 n d n = ,12 pour > 0,785 (42) d j ( σ g ρ) 1 2 ( σ g ρ) 1 2 Régime turbulent (Re n > 3000) La distribution en taille présente dans ce régime un spectre à large bande, les gouttes prenant naissance à la surface latérale du jet à partir des vortex situés près de l interface et à l extrémité du jet. À mesure que la vitesse d injection augmente, la longueur du jet diminue progressivement et on parvient à l atomisation du liquide à l orifice de l injecteur. La taille des gouttes est une fonction de la vitesse : ln (d g ) = X ln (U n ) (43) T c Ð T de T Posons, Z = z L θ c d T de = θ et T ce Ð T d = Ð de T ce Ð T de introduisons le nombre d unités de transfert de la phase continue NUT c et le rapport des débits de capacité thermique des deux fluides r : β K d s LA 32 NUT c r ρ d c p d q Vd = = ρ c c pc q Vc ρ c c pc q Vc Le système d équations (45) devient, 0 θ 1 dθ c + dz NUT c ( θ c Ð θ d ) = 0 dθ d NUT c Ð ( θ dz r c Ð θ d ) = 0 θ dz = 0 = = = cz 1 (46) (47) et admet plusieurs solutions (tableau 5). Dans le tableau sont présentées les températures réduites des deux phases et l efficacité d échange E (on notera que le nombre d unités de transfert NUT c est exprimé en valeur absolue dans le tableau 5). Techniques de l Ingénieur, traité Génie énergétique BE

14 ÉCHANGEURS DE CHALEUR À CONTACT DIRECT Tableau 5 Solutions du système en écoulement piston à contre-courant r = 1 r 1 Z NUT θ c + 1 c = NUT c NUT θ c Ce ( CZ Ð 1) + 1 c = NUT c Ce ( C Ð 1) C = NUT c ( 1Ð1 r) Z NUT θ c NUT d = θ c Ce ( CZ Ð 1) d = NUT c 1 + NUT c Ce ( C Ð 1) E = θ dz = 1 = 1 Ð θ cz = 1 NUT r 1 E c ( e C Ð 1) < = NUT c Ce ( C Ð 1) 1 r > 1 E = NUT c Ce ( C Ð 1) La prise en compte de la dispersion axiale [relation (35)] dans l équation de l énergie de la phase continue fait apparaître le nombre de Péclet, q Vc L Pe = AD a (48) qui mesure l importance du transfert de chaleur convectif devant celui par la conduction apparente. Le modèle piston-dispersion conduit finalement au système d équations suivant : d2 θ c dθ c Ð NUT Pe dz 2 dz c ( θ c Ð θ d ) = 0 Exemple : soit une dispersion à contre-courant de kérozène dans de l eau chaude avec les données suivantes : débit dispersé : 5,92 x 10 5 m 3 /s ; débit continu : 2,13 x 10 5 m 3 /s ; diamètre des gouttes : 3,25 mm ; diamètre de la colonne : 0,074 m ; longueur de la colonne : 1,2 m ; température entrée eau : 61,5 C ; température entrée kérosène : 21,5 C (lit lâche) et 9,7 C (lit dense) ; rapport des débits de chaleur égal à 1 ρ c = 995 kg/m 3, ρ d = 790 kg/m 3, c pc = kj/(kg K), c pd = kj/(kg K. Un calcul itératif sur les relations (13) et (14) donne la vitesse limite et le nombre de Reynolds des particules qui permet de déterminer l indice n à partir de la relation (16) et du tableau 1. On en déduit la vitesse relative avec la relation (17) : u r = 0,112 (1 β) 2,39 Zaki [6] u r = 0,112 (1 β) 2,87 Wallis [5] Les tracés de la courbe β = f(j c ) (figure 13), relatifs aux deux expressions de la vitesse relative, donne pour la vitesse apparente 2,13 10 U c = Ð5, deux valeurs possibles du π 0,074 2 = ( ) 4 4,95 10Ð 3 m s taux de rétention (tableau 7). Le taux de rétention calculé avec l indice de Wallis s écarte fortement de l expérience en régime de lit dense. Les coefficients d échange relatifs aux phases continue et dispersée sont déterminés respectivement par les relations de Moresco et Marshall [13] et sont portées dans le tableau 8 ainsi que les nombres d unités de transfert et de Péclet. Les efficacités d échange thermique sont portées dans le tableau 9. En régime de lit lâche, l efficacité mesurée est comprise entre les valeurs estimées par les deux formalismes ; en régime de lit dense, l utilisation du modèle avec dispersion axiale est injustifiée car les effets de recirculations sont fortement atténués. β Ð dθ d dz + Z = 1 Z = 0 NUT c ( θ r c Ð θ d ) = 0 dθ d = Pe( 1Ðθ dz cz = 1 ) dθ c = 0 ( θ dz dz = 0 = 0) (49) 0,8 0,6 Vitesse débitante choisie expérimental indice de Zaki indice de Wallis Les conditions aux limites en Z = 1 et Z = 0, dites de Danckwerts [21], traduisent la continuité du flux à la sortie et à l entrée de l échangeur. Le nombre de Péclet traduit quantitativement l écart à l écoulement piston parfait correspondant à Pe (effet conductif négligeable), l écoulement parfaitement mélangé correspondant à Pe 0 (effet conductif apparent très grand). Le système donne une solution analytique relativement simple pour r = 1 (tableau 6). L expérience montre que l on a intérêt à mettre en œuvre des échangeurs de rapport L/D élevé, ce qui a pour effet d augmenter le nombre de Péclet (on notera que le nombre d unités de transfert NUT c et le nombre de Péclet Pe sont exprimés en valeur absolue dans le tableau 6). 0,4 0, ,5 1 1,5 2 --J C (cm / s) Figure 13 Variation du taux de rétention pour le système eau-kérosène BE Techniques de l Ingénieur, traité Génie énergétique

15 ÉCHANGEURS DE CHALEUR À CONTACT DIRECT Tableau 6 Solutions du système avec dispersion axiale (r = 1) en contre-courant 1 Pe θ c = --- ( Pe + NUT S c ) NUT NUT c + ( Pe + NUT c ) Pe Z + Pe exp( Ð ( Pe + NUT c )Z) c 1 θ d = --- [ NUT S c + ( Pe + NUT c ) Pe Z Ð NUT c exp( Ð ( Pe + NUT c )Z)] ( Pe + NUT E c ) + NUT c [ 1 Ð exp( Ð ( Pe + NUT c ))] = Pe ( Pe + NUT c ) 1 + Pe NUT c + NUT [ 1 Ð exp( Ð ( Pe + NUT ))] c c Pe avec S = ( Pe + NUT c ) 1 + Pe NUT c + NUT [ 1 Ð exp( Ð ( Pe + NUT ))] c c Tableau 7 Comparaisons des valeurs de taux de rétentions et de vitesses relatives mesurées et estimées Régime Taux de rétention Vitesse relative d écoulement Expérience Zaki Wallis Zaki Wallis Expérience Lit lâche 0,2 0,17 0,2 7,2 cm/s 5,9 cm/s 7,5 cm/s Lit dense 0,62 0,57 0,42 1,5 cm/s 2,34 cm/s 3,52 cm/s Tableau 8 Coefficients d échanges thermiques, nombres d unités de transfert et nombres de Péclet estimées β h c (W/m 2 K) h d (W/m 2 K) K s (W/m 2 K) NUT c Pe 0, ,72 1,92 0, ,73 9,81 Tableau 9 Comparaisons des valeurs d efficacité mesurées et estimées Efficacité Expérience Écoulement piston Dispersion axiale Lit lâche 0,71 0,79 0,63 Lit dense 0,86 0,85 0,79 4. Échange de chaleur à contact direct gaz-solide 4.1 Différents types de contacteurs à particules solides On peut définir le type de contacteur et le mode de transport de la matière dans le contacteur [22], suivant la valeur de la vitesse relative u r par rapport à la vitesse limite de chute µ r et la vitesse minimale de fluidisation u mf (tableau 10). Pour rappel, la vitesse minimale de fluidisation représente la vitesse apparente du fluide nécessaire pour sustenter le solide et lui donner des propriétés relativement analogues à celles d un fluide [48]. Elle peut être déduite de la relation simplifiée suivante : Re mf = 31, ,0425 Ar Ð 31,6 (50) reliant le nombre de Reynolds construit sur cette vitesse, le diamètre de Sauter et les propriétés physiques de la phase gazeuse, au nombre d Archimède : d 3 Ar p ρ c ( ρ d Ð ρ c )g = µ c 2 (51) Techniques de l Ingénieur, traité Génie énergétique BE

16 ÉCHANGEURS DE CHALEUR À CONTACT DIRECT Tableau 10 Classement des contacteurs gaz-solide Solides chauds Configuration Type d échangeur Mode de transport Empilement Régénérateur statique u r = 0 Régénérateur mobile Gravité u r = u r Lit dense Lit fixe u r < u mf Mouvement de grille Lit vibrofluidisé u r < u mf Vibration Lit fluidisé u mf < u r < u r Fluidisation Rotatif Gravité et rotation Lit lâche Rotatif Gravité et rotation Pluie de particules : Gravité u r < u r u r = u r contre-courant cocourant Cascade de cyclone Transport pneumatique Air chaud Air froid Solides refroidis Ce nombre adimensionnel prend en compte les effets des forces de gravité et de frottement. Les dispositifs cités dans le tableau 10 sont surtout des réacteurs, à l exception des ECD à pluie de particules et des lits fluidisés que l on utilise aussi comme échangeurs de chaleur. Ces échangeurs sont caractérisés par de bonnes performances d échange mais ils sont volumineux. 4.2 Contacteur à pluie de particules Figure 14 Échangeur Saturne à pluie de particules (TNEE) Déstockage Stockage Courant réchauffé Courant chaud Ouvert Le solide tombe en pluie à contre-courant du gaz avec un faible taux de rétention (figure 14). La surface de contact entre les particules et le gaz pour ce type d échangeur, dont la concentration en particules n excède pas quelques pour-cent, varie entre m 2 /m 3 et 120 m 2 /m 3 pour des particules de tailles comprises respectivement entre 100 µm et 2,5 mm ; la vitesse du gaz est de l ordre de quelques mètres par seconde. L approche de dimensionnement décrite pour les échangeurs liquide-liquide peut être étendue aux ECD à pluie de particules, avec une petite complication cependant, car la résistance thermique de la particule est variable. La température de surface des particules est donc estimée à partir des équations (31) et (32), et l équation de l énergie de la phase continue est discrétisée sur la hauteur de l échangeur avec des conditions aux limites appropriées. L ajout d un garnissage interne permet de répartir de façon uniforme le solide dans la section de la colonne et de réduire la dispersion axiale : l échangeur peut être considéré comme une succession de tronçons élémentaires. Courant froid Air chaud Régénérateur Combustible a principe Cuve du four Fumées Fermé 4.3 Échangeur régénérateur Un échangeur régénérateur est défini comme un échangeur où la chaleur transite du fluide chaud au fluide froid (gaz) par l intermédiaire d une masse accumulatrice fixe ou en mouvement (solide), d où la distinction entre régénérateur statique et régénérateur mobile. Les régénérateurs statiques sont très répandus en sidérurgie et dans l industrie du verre (figure 15). Les fluides chaud et froid circulent alternativement sur une matrice solide ordonnée ou en vrac ; l assemblage de deux dispositifs permet un fonctionnement quasicontinu comme échangeur. Le remplissage en vrac, avec des solides de petites dimensions assure évidemment une surface d échange Déstockage Air froid Figure 15 Échangeurs régénérateurs statiques Stockage Fumées refroidies b application : four de fusion dans l'industrie du verre très importante, mais ces dispositifs sont très sensibles à l encrassement. L échangeur à billes en lit mobile (figure 16) s apparente à un échangeur à pluie de particules ; sa principale limitation réside dans le mélange inévitable des fluides froid et chaud. BE Techniques de l Ingénieur, traité Génie énergétique

17 ÉCHANGEURS DE CHALEUR À CONTACT DIRECT Organe moteur assurant la circulation des billes Température de sortie du gaz Température d'entrée des particules Billes T 1 = T cs Tde Fumées refroidies Lit 1 T 1 T 2 T 1 q Vd Lit 2 T 2 Fumées chaudes Air préchauffé Billes Lit n--1 T n--1 T n--1 T n--2 T n T n--1 Lit n T n T n Air froid T ce q Vc Figure 16 Échangeur à billes en lit mobile 4.4 Lits fluidisés La configuration et la stabilité d un lit fluidisé dépendent de l écart de masse volumique du solide et du gaz et de la taille moyenne des particules [47]. L excellent contact gaz/particules est mis aussi à profit dans les lits fluidisées inertes ou actifs pour filtrer et neutraliser certaines particules (suie) ou des gaz nocifs (SO 2, NO x...) sur des fumées. On distingue différentes conceptions d échangeurs à lits fluidisés Lits minces et épais L épaisseur du lit inférieure à 0,25 m pour les lits minces atteint 1 m pour les lits épais, la vitesse des gaz varie de quelques dizaines de centimètres à quelques mètres par seconde. Pour une concentration volumique de particules de 50 %, et des diamètres de 0,1 mm et de 2,5 mm, les surfaces spécifiques atteintes sont respectivement de m 2 /m 3 et m 2 /m 3. Ces grandes surfaces de contact associées aux valeurs de coefficients d échange thermique atteintes dans les lits fluidisés conduisent à de grands nombres d unités de transfert et à l égalité des températures locales des particules et du gaz : une valeur pessimiste du coefficient d échange thermique est donnée par la relation de Rowe et al. [10]. Sur un étage de fluidisation peu profond et peu étendu transversalement, le lit est ainsi pratiquement isotherme. La température du gaz est uniforme à la sortie et égale à la température du lit, c est-à-dire à la température de sortie du solide. Cette condition implique que le volume du lit est tel que le temps de séjour d une particule soit bien supérieur au temps correspondant à son refroidissement entre sa température d entrée et sa température de sortie Échangeur à plusieurs étages La mise en place de plusieurs étages assure un accroissement de l efficacité thermique globale de récupération (figure 17). Les équa- Figure 17 Lit fluidisé à plusieurs étages tions de bilan thermique, sur le plateau d entrée des particules, noté 1, et sur le plateau de sortie, noté n, donnent : q md c pd ( T de Ð T 1 ) = q mc c pc ( T 1 Ð T 2 ) (52) q md c pd ( T n Ð 1 Ð T n ) = q mc c pc ( T n Ð T ce ) (53) L élimination des températures intermédiaires permet d exprimer T les efficacités d échange pour les particules E de Ð T d = ds et pour T de Ð T ce T le fluide E cs Ð T c = ce, en fonction du rapport des débits de capacité thermique r des deux phases : T de Ð T ce i = n i n E d r i = 1 r i Ð 1 = + (54) i = 1 i = 1 i = n i n E c r i = r 1 r i Ð 1 = + (55) i = 1 i = 1 Si l efficacité recherchée sur l un des fluides est E et si l on connaît un des deux débits, on trouve facilement la valeur de r et le débit de fluide Lit fluidisé indirect Un faisceau de tubes est immergé dans un lit de particules (figure 18) et transfère la chaleur vers un fluide (gaz, eau/vapeur...) qui traverse les tubes. Le coefficient d échange global entre la paroi d échange et le lit est calculé à partir des relations suivantes : aux diamètres des particules inférieurs à 0,1 mm, où le renouvellement des particules en contact avec la surface est importante, on utilise la relation : Nu max = 0,88 Ar 0,213 (56) lorsque la taille des particules est supérieure à 0,8 mm et la pression statique élevée, le transfert convectif est prépondérant et est la somme de deux termes : Techniques de l Ingénieur, traité Génie énergétique BE

18 ÉCHANGEURS DE CHALEUR À CONTACT DIRECT 1 m 2 m Figure 18 Faisceau de tubes dans un lit fluidisé Particules fluidisées une composante agissant sur l échange de chaleur particule/ surface : Nu gaz = 0,86 Ar 0,39 d1 2 p (57) avec d p en m une composante agissant sur l échange de chaleur particule/ particule : Nu p = 0,843 Ar 0,15 (58) Le rayonnement entre le gaz et les particules n est en général pas pris en compte car il ne devient significatif que pour les températures très élevées ( 700 C). Dans la pratique d après Lybaert (22), on prend les 80 % de la valeur maximale fournie par la relation (56) ou par la somme des relations (57) et (58), ces relations restant valables sur des faisceaux dont le pas des tubes est supérieur à deux fois leur diamètre. Une approche de type global permet alors de dimensionner l échangeur. 5. Échange de chaleur avec transition de phase liquide à solide Le principe de fonctionnement d un ECD avec changement d état liquide solide de la phase dispersée est analogue à celui d un échangeur liquide-liquide, mais le régime d écoulement est de type lit lâche avec un taux de rétention faible pour éviter la solidification au niveau de l injecteur et sur la virole. L utilisation de ce type d échangeur nécessite sur le plan de l exploitation des moyens technologiques plus importants, notamment en ce qui concerne le traçage (chauffage) de l injecteur maintenu à une température supérieure à la température de la phase continue, la séparation des phases et l évacuation de la phase solidifiée hors de l échangeur (paragraphe 1.2.4). 5.1 Granulométrie des systèmes dispersés avec changement d état liquide solide La phase dispersée est le plus souvent créée à partir de jets en régime turbulent qui entraînent une granulométrie à large spectre en taille. Les cristallites formées en sortie de la colonne d échange résultent de divers processus : une désintégration du jet en goutte ; une évolution de la taille des gouttes par coalescence et/ou fragmentation et le blocage de ces phénomènes par la solidification (figure 6). Pour un couple de fluide donné et une géométrie fixée, la distribution en taille des cristallites est une fonction des grandeurs suivantes : p(d ) = f(u n, d n, T d T f, T f T c ) (59) La relation est complexe et seule une approche expérimentale peut mettre en évidence l influence de ces divers paramètres. Les essais sur divers couples de fluides montrent une prépondérance de la vitesse d injection sur les autres paramètres pour u n > 2,5 m/s. Le diamètre moyen mesuré est supérieur au diamètre donné par la relation de Christiansen et Hixon [18]. Dans le cas d une dispersion avec changement d état liquide-solide dans un gaz, le diamètre moyen des particules est voisin de la valeur calculée par les corrélations classiques. Cela est dû au fait que la concentration volumique est toujours faible (< 1 %) pour ces couples, limitant ainsi le phénomène de coalescence. La loi log-normale donne une bonne approximation de la fonction de distribution des diamètres de gouttes d g mesurés expérimentalement. La fonction de distribution présente un écart type σ/d g de l ordre de 40 % pour les systèmes huile-sels fondus. Remarque La distribution en taille (d indice i) induit une distribution de la vitesse relative u ri et aux faibles concentrations le taux de rétention s écrit : 1 β = β i = --- A i q Vdi q i Vc u ri A c ( 1 Ð β) (60) Au niveau du dimensionnement de l échangeur, l hypothèse d une distribution de taille avec ou sans distribution de vitesses des particules n affecte pratiquement pas le calcul ; en revanche, il faut tenir compte de la distribution de taille dans l équation d énergie. La particule présente un front mobile de solidification à température constante égale à la température de fusion (en l absence de surfusion) dont la progression est régie par l équation (32) et par l équation de bilan sur l interface liquide-solide : ρ d h dr s f λ dt ds (61) dt ds λ dt dl = Ð dr dl dr R = R s avec R s rayon de l interface liquide-solide dans la goutte, indices ds et dl pour dispersé-solide et dispersé-liquide. Le système n a pas en général de solution analytique et nécessite une résolution numérique [49] pour calculer la variation de la température de surface T p de la particule en fonction du temps et déterminer le flux échangé entre la phase continue et la particule. En écoulement à cocourant, la modélisation basée sur l hypothèse d un écoulement piston donne une représentation correcte des flux locaux quel que soit le couple de fluides (huile-sels, eaucorps organiques). En revanche, dans le cas de l écoulement à contre-courant, les valeurs simulées s écartent des valeurs mesurées et surestiment l efficacité d échange et le flux dans la zone d injection [23] [24] [25]. L inhomogénéité de l écoulement dans la colonne est semble-t-il réduite lors que le degré de turbulence de la phase continue augmente, mais il subsiste un écart simulation-expérience au niveau des flux locaux, ce qui confirme la non-validité d un écoulement piston des deux phases à contre-courant sur des dispositifs BE Techniques de l Ingénieur, traité Génie énergétique

19 ÉCHANGEURS DE CHALEUR À CONTACT DIRECT Charbon pulvérisé Air réchauffé Foyer Chaudière Cheminée Fumées chaudes Sel fondu Installation de traitement du sel Pulvérisation du sel Zone de solidification Air froid Transfert des particules solides Zone de fusion La mise en œuvre avec un fluide caloporteur gazeux est simple et les champs d application existants ou potentiels plus vastes : cristallisation de la soude sous forme de pastilles, fabrication de billes de calcium, de plombs de chasse, lyophilisation, etc. L échange entre un sel et de l hélium à 1 bar comme fluide caloporteur conduit à une puissance volumique de 0,2 MW/m 3. On peut citer encore comme applications : la désulfuration de fumées avec une installation expérimentale mise au point, au début des années 1970, par Atomic International au USA (figure 19). L anhydride sulfureux est absorbé chimiquement par l eutectique de carbonates (LiCO 3 -Na 2 CO 3 - K 2 CO 3 ) dans une tour où les gouttes dispersées liquides de carbonales à 450 C sont d abord solidifiées à contre-courant d une circulation d air, puis refondues au contact des fumées à désulfurer issues de la chaudière ; une machine de décapage ou de décontamination de surfaces par des billes de glace. Les billes obtenues par congélation superficielle dans un ECD azote gazeux-eau sont ensuite solidifiées à cœur par trempe dans un bain d azote liquide puis projetées par l intermédiaire d un pistolet à dépression sur la surface à nettoyer (figure 20). Figure 19 Schéma de principe d un système échangeur épurateur pour chaudière de centrale thermique avec un rapport d aspect (L/D) inférieur à 15 pour les systèmes liquide-solide et liquide-liquide. De façon pratique, pour limiter le phénomène de recirculation de la phase continue en écoulement à contre-courant, il convient de mettre en œuvre un contacteur avec un grand rapport d aspect. Le fonctionnement à cocourant élimine cet inconvénient. Le taux de rétention est plus faible mais la diminution du diamètre des particules permet de conserver une surface spécifique d échange élevée et de minimiser la hauteur d échange. 5.2 Domaines d applications Bien qu utilisé depuis longtemps dans les procédés métallurgiques, le transfert de chaleur par contact direct, associé au changement d état liquide-solide de la phase dispersée, s est plus particulièrement révélé au niveau de la recherche et du développement au cours des années 1970, avec pour objectif de pallier certains problèmes spécifiques du stockage de l énergie thermique sous forme d enthalpie de fusion. La récupération de cette énergie, résultant de la solidification autour de tubes immergés dans le matériau fusible, s effectue en régime transitoire et s avère inadéquate dans le cas où la chaleur doit être restituée à un niveau thermique voisin de la température de fusion [26]. a appareil de projection Seule la suppression de la paroi permet de s affranchir de cet écran thermique qui va croissant et qui est d autant plus pénalisant que la conductivité thermique des calostockeurs est faible [1 à 5 W/(m K) pour les sels fondus, matériaux à forte enthalpie de fusion 80 à kj/kg]. Par ailleurs, la forte variation volumique lors du changement d état engendre des résistances de contact par décollement entre la phase solide et la paroi et des déformations plastiques pouvant conduire à la rupture des parois. Avec un ECD, la puissance volumique atteinte avec le couple eau/paradichlorobenzène est de 0,6 MW/m 3 avec un coefficient d échange volumique de 30 kw/(m 3 K) pour un taux de rétention de 4 % ; le couple huile/ sels autorise une puissance volumique de 4 MW/m 3. Le stockage thermique par enthalpie de fusion, selon ce concept, n a cependant pas fait l objet de développement industriel. b média Figure 20 Procédé Cryoclin Linde Gaz (procédé breveté CEA) Techniques de l Ingénieur, traité Génie énergétique BE

20 ÉCHANGEURS DE CHALEUR À CONTACT DIRECT 6. Échange de chaleur avec transition de phase liquide à vapeur La génération ou la condensation d une vapeur par contact direct, au demeurant courantes dans la nature, sont souvent utilisées de façon anodine dans de nombreuses applications. Nous pouvons citer en exemple l évaporation et la condensation de l eau, le chauffage de lait par la condensation directe de vapeur d eau, la pulvérisation et l évaporation de gouttelettes d eau pour tempérer l air ambiant, le séchage de solides, l ébullition pour séparer des liquides... Nous allons étudier successivement ces trois mécanismes qui mettent en jeu la transition de phase liquide-vapeur. 6.1 Échange en évaporation Mécanisme et relations de base Lorsque l agitation thermique dans un liquide devient importante, il se produit un départ des molécules sous forme de vapeur à l interface liquide-vapeur, dont la vitesse massique est donnée par : m ú M v v 1 2 = ( p 2πRT l Ð p v ) (62) avec R constante des gaz parfaits, M v masse molaire du liquide, p l et p v respectivement pression du liquide et de la vapeur au-dessus du liquide. Si l évaporation se produit dans une enceinte fermée, les molécules de vapeur s accumulent et se condensent et la pression de la vapeur augmente. Si l espace est ouvert les molécules de vapeur se déplacent par diffusion et par convection dans la phase gazeuse constituée du mélange air-vapeur. En régime permanent, la vitesse massique de la vapeur, dans un repère fixe suivant la direction verticale, peut se séparer en deux termes [27] : un terme convectif x v ( m ú v + m ú air) qui rend compte du mouvement d ensemble des deux fluides ; un terme de diffusion D dc v Ð c qui se superpose au mouvement précédent (loi de Fick) dz : m ú v D dc v = Ð c x dz v ( m ú v + m ú air) (63) avec D c (m 2 /s) coefficient de diffusion moléculaire de la vapeur d eau dans l air ou inversement, c v (kg/m 3 ) concentration massique de la vapeur dans le mélange, x v fraction molaire de la vapeur dans le mélange. En remplaçant les concentrations par les pressions partielles, le mélange air-vapeur étant supposé idéal, c est-à-dire sans interaction chimique, la relation (63) devient : m ú v D M v c dp v p v = Ð ( m RT dz p v + m ú air) (64) Envisageons le cas simple de la diffusion de la vapeur dans une couche stagnante d air et une petite surface d évaporation, le système étant à température et à pression constantes; l expression (64) devient : dont l intégration donne la densité de flux massique de vapeur diffusée à travers la couche d air d épaisseur (z 2 z 1 ) : et en posant : la relation (65) s écrit : m ú D c v M v 1 p dp v = Ð v Ð RT dz p m ú v D M v c p p Ð p v2 = ln RT z 2 Ð z 1 p Ð p v1 En remarquant que p p v2 = p air2 et p p v1 = p air1 p p air1 Ð p air2 airln = p air2 ln p air1 (65) m ú v D M v c p = Ð ( p (66) RT ( z 2 Ð z 1 )p v1 Ð p v2 ) airln En réalité, le processus d évaporation est plus complexe que celui régi par l équation (66), car l évaporation s effectue dans un courant d air et il existe un écart de température entre le liquide et l air ambiant. Le gradient de pression partielle de la vapeur dans l air et le gradient de température entraîne un transfert simultané de chaleur et de masse. On simplifie le problème en considérant au-dessus de l interface liquide/air, une sous couche laminaire, suivi d une couche tampon et du courant turbulent. La vitesse massique de la vapeur évaporée est donnée par : m ú v k M v = c (67) RT ( pvi Ð p ) vgaz avec k c (m/s) le coefficient de transfert de masse relatif à la concentration. La densité de flux de chaleur ϕ associée au transfert de masse est alors la somme d un terme de chaleur sensible et d un terme de chaleur latente : ϕ = H lv k M v c ( pv1 Ð p RT v2 ) + h gaz ( T 1 Ð T 2 ) (68) avec T 1 et T 2 respectivement température du liquide et de l air en circulation, h gaz coefficient d échange thermique en présence du transfert de masse. En régime turbulent, ce coefficient est relié au coefficient d échange de chaleur du gaz par l analogie de Chilton-Colburn : h gaz Sc 23 / = ρ air c pair k c Pr air (69) η Les nombres de Schmidt, Sc = air ; et de Prandtl ne dépendent D v que des propriétés physiques du liquide et du gaz vecteur, le rapport de ces deux nombres définissant le nombre de Lewis : Sc α Le = = air (70) Pr D v Dans le cas du mélange eau-air, fortuitement l expérience montre que le nombre de Lewis est voisin de 1 si la température de l eau n excède pas 50 C, ce qui permet de simplifier l écriture de la relation (68) pour ce couple particulier. On peut poursuivre la simplification en introduisant l enthalpie de l air humide [50]. BE Techniques de l Ingénieur, traité Génie énergétique