Nécessité de prendre en compte des termes d ordre G 3 pour mesurer γ à 10 8 près

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1 Néessité de prendre en ompte des termes d ordre G 3 pour mesurer γ à 10 8 P. Teyssandier Observatoire de Paris Dépt SYRTE/CNRS-UMR 8630UPMC P. Teyssandier ( Observatoire de Paris Dépt SYRTE/CNRS-UMR Néessité de 8630UPMC prendre en ompte ) des termes d ordre G 3 pour mesurer γ à

2 Introdution Mesures de γ fondées sur la fontion de transfert de temps (à la réeption) (FTT) donnant le temps de parours t B t A d un rayon lumineux entre x A et x B : t B t A = T r (x A t B x B ) x B x A + fontion de retard On sait que γ 1 < qqs 10 5 (Bertotti et al 003; Verma et al 013) Possible violation de la RG : γ 1 < 0 dans l intervalle (Damour & Lilley 008) Plusieurs projets pour mesurer γ 1 à 10 8 dans le Système solaire : LATOR ASTROD ODYSSEY SAGAS GAME... Problème : à quel ordre en G faut-il onnaître t B t A? Réponse : soit en G soit en G 3! Cela dépend des paramètres utilisés. P. Teyssandier ( Observatoire de Paris Dépt SYRTE/CNRS-UMR Néessité de 8630UPMC prendre en ompte ) des termes d ordre G 3 pour mesurer γ à

3 Interêt de la fontion de transfert de temps Synhronisation d horloges éloignées. Traking Doppler et transferts de fréquenes : ν B = (g 00 + g 0i β i + g ij β i β j ) 1/ A ν A (g 00 + g 0i β i + g ij β i β j ) 1/ B ( ). où β A/B = ( β i A/B) = 1 dx i A/B dt 1 T r t B β B. xb T r 1 + β A. xa T r Diretion d un rayon lumineux en x A et x B (astrométrie) : ( ) ( ) li li la = = xa T r lb = = x B T r l 0 l A 0 B 1 T r t B où l α = g αβ dx β /dλ le long du rayon. P. Teyssandier ( Observatoire de Paris Dépt SYRTE/CNRS-UMR Néessité de 8630UPMC prendre en ompte ) des termes d ordre G 3 pour mesurer γ à 10 8

4 Expression de la métrique Champ engendré par un orps entral à symétrie sphérique statique de masse M : ds = A(r)(dx 0 ) B 1 (r) δ ij dx i dx j m = GM/ A(r) = 1 m r + β m r 3 β m 3 3 r 3 + β m 4 4 r 4 + n=5 ( 1) n n n β m n n r n B 1 (r) = 1 + γ m r + 3 ɛm r + 1 γ m 3 3 r γ m 4 4 r 4 + (γ n 1) mn r n. n=5 En RG : β = β 3 = β 4 = β 5 = = γ = ɛ = γ 3 = γ 4 = = 1. = Développement de T en puissanes de G : t B t A = T (x A x B ) = x B x A + T (n) (x A x B ). n=1 P. Teyssandier ( Observatoire de Paris Dépt SYRTE/CNRS-UMR Néessité de 8630UPMC prendre en ompte ) des termes d ordre G 3 pour mesurer γ à

5 Expression de T jusqu à l ordre G 3 Plusieurs méthodes onduisent au mêmes résultats pour n = 1 3: où T (1) (x A x B ) = (1 + γ)m T () (x A x B ) = m x B x A r A r B ( 1 T (3) (x A x B ) = m3 r A r B r A ( ) ra + r B + x B x A ln r A + r B x B x A [ κ aros µ (1 + γ) 1 µ 1 + µ ) [ xb x A κ 3 (1 + γ)κ aros µ (1 + µ) 1 µ + 1 r B (Shapiro 1964) ] (Le Ponin et al 004) + (1 + γ)3 1 + µ (Linet & Teyssandier 013; Teyssandier 014) κ = (1 + γ) β ɛ κ 3 = κ β(1 + γ) β γ 3 ] µ = n A.n B n A = x A r A n B = x B r B. P. Teyssandier ( Observatoire de Paris Dépt SYRTE/CNRS-UMR Néessité de 8630UPMC prendre en ompte ) des termes d ordre G 3 pour mesurer γ à

6 Termes de renforement jusqu à l ordre G 3 Cas où x A et x B ont des diretions presqu opposées (i.e. µ 1) : o B N AB A o n A P AB o O n B expressions asymptotiques : T (n) (x A x B ) T (n) enh (x A x B ) ave ( ) T (1) enh (x (1 + γ)m 4rA r B A x B ) = ln T () enh (x A x B ) = (1 + γ) m (r A + r B ) T (3) enh (x A x B ) = 4 (1 + γ)3 m 3 (r A + r B ) r r A r B r ( ra r B r ). = termes de renforement (onfirmation de Ashby & Bertotti 010). 5 P. Teyssandier ( Observatoire de Paris Dépt SYRTE/CNRS-UMR Néessité de 8630UPMC prendre en ompte ) des termes d ordre G 3 pour mesurer γ à 10 8

7 Appliation au système solaire Détermination de γ dans un sénario du type CASSINI : r A 5 au r B 1 au Formule de Shapiro = T 1 (1) γ T R r 5R = 1 µs T (1) enh 103 µs γ T 0.5 ps P. Teyssandier ( Observatoire de Paris Dépt SYRTE/CNRS-UMR Néessité de 8630UPMC prendre en ompte ) des termes d ordre G 3 pour mesurer γ à

8 Appliation au système solaire Dans ette onfiguration (durées données en ps) : r /R T (1) S T (1) J T () enh T κ () T (3) enh Conlusion: T (3) enh Soleil. doit être pris en ompte pour les rayons passant très du On note que T (3) enh peut être plus grand que l effet gravitomagnétique du premier ordre : T (1) S (1+γ)GS 4 r l effet du moment quadrupolaire : T (1) J (1+γ)m J R r P. Teyssandier ( Observatoire de Paris Dépt SYRTE/CNRS-UMR Néessité de 8630UPMC prendre en ompte ) des termes d ordre G 3 pour mesurer γ à

9 Disussion Cette irruption du 3ème ordre en G est paradoxale. En effet t B t A = 1 [ r A r P + ] r B r P [ (1 + γ)m + ln (r A + r A r P )(r B + r B r P ) ra r P rb r P r + + P r A + r P r B + r P { [ + m κ aros r P + aros r ] [ P (1 + γ) ra r P rb r P r P r A r B 4 r A + r P r B + r P ( ) 3/ ( ) ]} 3/ ( ) ra r P rb r P m 3 + O r A + r P r B + r P r. P ] Supposons r A = r B = 1 au et r P = R (terme d ordre 0 = 499 s) : Terme d ordre 1 : 139 µs Terme d ordre : 16 ps = Auun effet de renforement Terme d ordre 3 < 1 fs = Négligeable; auun effet de renforement P. Teyssandier ( Observatoire de Paris Dépt SYRTE/CNRS-UMR Néessité de 8630UPMC prendre en ompte ) des termes d ordre G 3 pour mesurer γ à

10 Disussion Comment peut-on surmonter ette ontradition apparente? On peut montrer que r P où les q n sont définis par et r sont liés par [κ (1 + γ) q ] m { r P = r 1 (1 + γ q 1 ) m 1 r 1 ] m [κ 3 κq 1 + (1 + γ) 3 q 1 q 3 r 3 + r } q n = ( r ) n 1 µ T (n) (r A r B µ). m r µ Substituant e développement dans l expression of t B t A i-dessus on obtient t B t A = x B x A + T (1) (x A x B ) + T () (x A x B ) + T (3) enh (x A x B ) + ertains des termes en G 3 tous négligeables. P. Teyssandier ( Observatoire de Paris Dépt SYRTE/CNRS-UMR Néessité de 8630UPMC prendre en ompte ) des termes d ordre G 3 pour mesurer γ à

11 Disussion Si µ 1 ra r B q 1 (1 + γ) r A + r B q q1 q 3 q1. 3 ra r B r r A = r B = 1 au r R r A = 50 au r B = 1 au r R = q = r P r 630 km = q = r P r 140 km = r P et r sont signifiativement différents en quasi-onjontion. A omparer ave (1 + γ)m 3 km. P. Teyssandier ( Observatoire de Paris Dépt SYRTE/CNRS-UMR Néessité de 8630UPMC prendre en ompte ) des termes d ordre G 3 pour mesurer γ à

12 Conlusion Pour déterminer γ 1 à 10 8 : On peut se ontenter d aller en G si on utilise t B t A = T (r A r B r P ); Par ontre il faut développer T (x A x B ) jusqu à l ordre G 3. La même onlusion vaut pour la mesure de la déviation gravitationnelle de la lumière au voisinage du Soleil ave la préision 1µas (f. Hees et al 013 et Teyssandier 013). Problème analogue pour Gaia dans le as d un rayon rasant Jupiter (Klioner & Zshoke 010 et Teyssandier 01). P. Teyssandier ( Observatoire de Paris Dépt SYRTE/CNRS-UMR Néessité de 8630UPMC prendre en ompte ) des termes d ordre G 3 pour mesurer γ à

13 Referenes Ashby N & Bertotti B 010 Class. Quantum Grav Bertotti B Iess L & Tortora P 003 Nature Damour T & Lilley M 008 String Theory Gravity and Experiment Les Houhes Summer Shool in Theoretial Physis Session 87; arxiv: v1 Hees A Bertone S & Le Ponin-Lafitte C 013 Journées 013 (poster) Hees A Bertone S & Le Ponin-Lafitte C 014 arxiv: John R W 1975 Exp. Teh. Phys Klioner S A & Zshoke S 010 Class. Quantum Grav Le Ponin-Lafitte C Linet B & Teyssandier P 004 Class. Quantum Grav Linet B & Teyssandier P 00 Phys. Rev. D Linet B & Teyssandier P 013 Class. Quantum Grav Minazzoli O & Chauvineau B 011 Class. Quantum Grav Shapiro I I 1964 Phys. Rev. Lett Teyssandier P& C. Le Ponin-Lafitte 008 Class. Quantum Grav Teyssandier P 01 Class. Quantum Grav Teyssandier P 013 arxiv: Teyssandier P 014 à paraître dans les Brumberg Festshrifts ed. par S Kopeikin Velma A K Fienga A Laskar J Manhe H & Gastineau M 013 arxiv: v P. Teyssandier ( Observatoire de Paris Dépt SYRTE/CNRS-UMR Néessité de 8630UPMC prendre en ompte ) des termes d ordre G 3 pour mesurer γ à