Équations différentielles et systèmes dynamiques. M. Jean-Christophe Yoccoz, membre de l'institut (Académie des Sciences), professeur

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Équations différentielles et systèmes dynamiques. M. Jean-Christophe Yoccoz, membre de l'institut (Académie des Sciences), professeur"

Transcription

1 Équations différentielles et systèmes dynamiques M. Jean-Christophe Yooz, membre de l'institut (Aadémie des Sienes), professeur La leçon inaugurale de la haire a eu lieu le 28 avril Le ours a ensuite porté sur quelques exemples de dynamique faiblement hyperbolique. Considérons un difféomorphisme f d'une variété M et une partie ompate K de M qui est invariante par f. On dit que K est hyperbolique si le fibré tangent à M au-dessus de K se sinde ontinument en deux fibrés invariants, le fibré stable et le fibré instable, les veteurs du fibré stable étant exponentiellement ontratés dans les temps positifs tandis que les veteurs du fibré instable le sont dans les temps négatifs. Cette notion est à la base d'une théorie des systèmes (fortement, ou uniformément) hyperboliques, développée dans les années 60 par Anosov, Sinaï, Smale, Palis et leurs ollaborateurs. On a rappelé brièvement les prinipales propriétés d'un difféomorphisme f au voisinage d'une partie ompate K invariante et hyperbolique. Le difféomorphisme est expansif, 'est-à-dire que deux orbites distintes se séparent au ours du temps d'une distane déterminée. Il possède la propriété de pistage : une suite de points où haun est très voisin de l'image du préédent est uniformément prohe d'une vraie orbite. Il y a ontinuation hyperbolique : si g est un autre difféomorphisme, voisin de f, on peut trouver une partie ompate L de la variété, voisine de K, invariante par g et hyperbolique, sur laquelle la dynamique de g est onjuguée de elle de f sur K. Dans l'analyse de la dynamique d'un difféomorphisme f sur une partie ompate K, invariante et hyperbolique, les variétés stables (et instables) loales et globales des points de K jouent un rôle fondamental. Elles s'obtiennent par intégration du fibré stable. On dit que la partie ompate K, invariante et hyperbolique, jouit d'une struture de produit loal si l'intersetion des variétés stable et instable loales de deux points prohes de K appartient enore à K. Lorsque les points de K sont

2 de plus réurrents par haînes dans K, le théorème de déomposition spetrale de Smale permet de dérire ainsi la dynamique de f sur K : ette partie se déompose en une union finie d'ensembles basiques deux à deux disjoints ; haun de es ensembles basiques est lui-même déomposé en parties p ompates disjointes, p p invariantes par et f permutées yliquement par f, sur lesquelles est topolo- f giquement mélangeant. La restrition d'un difféomorphisme f à un ensemble basique K jouit de propriétés topologiques permettant un reours effiae à la dynamique symbolique et à ses modèles, les déalages de type fini. Considérons d'abord une situation non inversible : une appliation ontinue f d'un espae métrique ompat K dans lui-même, qui est expansive, possède la propriété de pistage et est transitive ; l'ensemble D des points de K dont l'orb est dense dans K est alors une partie δ dense G de K. On peut onstruire des partitions de Markov pour (K,f) : 'est par définition une semi-onjugaison d'un déalage transitif de type fini à f, qui est surjetive, ontinue et injetive dessus de D. Dans un adre inversible, on suppose que l'homéomorphisme f d'un espae métrique ompat K est expansif,transitif et jouit de la propriété de produit loal ; l'ensemble D est alors formé des points dont les deux demi-orbites sont denses. On onstruit également dans e as des partitions de Markov, mais la démonstration est plus déliate. L'essentiel du ours a ensuite été onsaré à la présentation de deux lasses d'exemples : dans un adre non inversible, les polynômes quadratiques : réels P x x 2 +, pour les valeurs du paramètre onsidérées par Jakobson au début des années 80 ; et dans un adre inversible, beauoup plus déliat, les appliation de Hénon, pour les valeurs des paramètres onsidérées par Benediks et Carleson à la fin des années 80. Ces lasses d'exemples exhibent une roissane exponentielle des dérivées aratéristique de l'hyperboliité, mais ne s'intègrent néanmoins pas dans le adr de la théorie évoquée i-dessus : la roissane n'a pas lieu partout, mais seuleme presque partout, et n'est pas uniforme ; la dynamique n'est pas tout à fai expansive. L'objet du ours était d'étudier les propriétés de es lasses d'exemples d'un façon suffisamment oneptuelle, l'objetif reherhé à terme étant de bâtir une théorie de systèmes (faiblement) hyperboliques qui les englobe et permettrait aussi de traiter d'autres exemples enore mal ompris, en partiulier dans un adre onservatif. Disutons d'abord le as des polynômes quadratiques réels. On s'intéresse à la partie ompate invariante formée K des points d'orbite bornée. On suppose que

3 α < 1/4, de sorte que possède P deux points fixes qu'on notera β, ave α et <β. Lorsque < -2, le point ritique 0 n'appartient de P pas à ; Kla partie K est hyperbolique (les dérivées des itérés roissent uniformément exponentiellement vite sur ) K et la dynamique de sur P K est onjuguée au déalage omplet sur deux symboles. La situation onsidérée par Jakobson est elle où le paramètre est voisin de -2, mais stritement supérieur à -2. L'ensemble est alors K égal à l'intervalle [-β,+β], et ontient don le point ritique 0. Cependant, pour la plupart de telle valeurs du paramètre, il y a enore presque partout roissane sur K exponentielle des dérivées des itérés du polynôme. On a d'abord dégagé la notion, essentielle à nos yeux, de paramètre régulier : onsidérons l'intervalle entral [+α,-α]et A = un entier n > 0 ; on dira qu'un n intervalle J est régulier d'ordre n si restreint l'itéré P à un voisinage approprié Ĵ de J est un difféomorphisme sur un voisinage  de A (indépendant de n, J) qui envoie J sur A ; on dira que le paramètre est régulier si le omplémentaire de l'union des intervalles réguliers d'ordre n a une mesure de Lebesgue exponentiellement petite en n. Lorsque le paramètre est régulier, on est à même de donner une desription satisfaisante de la dynamique de P. Considérons en effet la famille J des intervalles réguliers maximaux ontenus dans A ; ils sont d'intérieurs deux à deux disjoints, et leur union W est de mesure pleine dans A. On onstruit une appliatio de Bernoulli Τ : W A dont la restrition à un intervalle J e J d'ordre Nj, est Nj l'itéré. P Cette appliation est uniformément hyperbolique, et elle préserve une mesure sur A ayant une densité analytique par rapport à la mesure de Lebesgue. Pour revenir à P, il faut effetuer un hangement de temps, qui est ontrôlé par l'hypothèse de régularité sur le paramètre. Le point ruial est ensuite de montrer que la plupart des paramètres > -2, prohes de -2, sont réguliers (ils forment un ensemble de Cantor, dont la mesure de Lebesgue relative dans [-2, -2 + ε] tend vers 1 lorsque proède en deux étapes : εtend vers 0). On 1. on introduit une notion de paramètre fortement régulier, et on montre qu'un paramètre fortement régulier est régulier ; 2. on démontre que les paramètres fortement réguliers forment un ensemble de mesure positive (et même de grande mesure relative). La propriété d'être fortement régulier porte sur l'orbite du point ritique : s'agitde pouvoir itérer infiniment Τ le par premier retour du point ritique dans A, ave des branhes qui ne sont en moyenne pas trop ompliquées. Une analyse ombinatoire soigneuse permet alors d'obtenir l'estimation de mesure reherhée. Pour le deuxième point, on transfère ette estimation dans l'espae des paramètres un argument de grandes déviations permettant ensuite de onlure.

4 Dans la fin du ours, s'estefforé on d'étudier de façon similaire la famille des appliations de Hénon, lorsque le jaobien b est suffisamment petit. Pour le valeurs des paramètres onsidérées, l'appliation b, possède H deux points fixes, qui se trouvent sur la diagonale, et qu'on notera à nouveau β. On s'intéresse αet à l'ensemble Λ des points d'orbite (positive et négative) bornée ; 'est aussi l'ensemble des points dont l'orbite négative est ontenue dans [ β, le β] 2. arré La notion de retangle régulier joue ii le rôle des intervalles réguliers du unidimensionnel. Un tel retangle a des ôtés vertiaux qui sont des segments de la variété stable du point fixe α et des ôtés horizontaux qui s'envoient sous u itération onvenable sur des segments ontenus [-β, dans β] x {-3, +3}. L'ordre d'un retangle régulier est maintenant onstitué d'une paire d'entiers, essenti lement le nombre d'itérations positives et négatives néessaires pour revenir une taille marosopique. Il ne semble malheureusement pas simple de définir ii diretement la notion de paramètre régulier : la raison en est l'absene d'une mesure naturelle su l'attrateur Λ (la mesure de Lebesgue dans le as unidimensionnel) si l'on ne fait pas d'hypothèse sur les paramètres. On est don onduit à définir diretement la notion de paramètre fortement régulier. s'agità Il nouveau de ontrôler la réurrene du lieu ritique. Mais on se heurte ii à une autre diffiulté : le ritique n'est pas défini a priori, par une propriété loale portant sur une s itération de l'appliation. Ce lieu ritique n'est en fait préisément défini pour les paramètres fortement réguliers, en onsidérant une infinité d'itération un nombre fini d'itérations ne permet de le loaliser que de façon approximative Par ailleurs, e lieu est en fin de ompte un ensemble de Cantor, de petit dimension. On est don obligé de mettre en plae une proédure indutive plus ompliquée que dans le as unidimensionnel. L'objetif est à nouveau de onstruire une appliation T, dont le domaine est la réunion dénombrable et disjointe de retangles réguliers ouvrant l'essentiel de la partie Λ, entrale et dont de la restrition à haque retangle est un itéré approprié de H. L'appliation T jou d'une hyperboliité uniforme qui permet de onstruire une mesure invariante naturelle, dite mesure de Sinaï-Bowen-Ruelle. L'étude de l'espae des paramètres est assez semblable au as unidimensionnel, reposant sur un argument de grandes déviations. J.-C. Y. PUBLICATIONS Ave JaobPALIS, On the arithmeti sum of regular Cantor sets, Ann. Inst. Henri Poinaré, Vol. 14, n 4, (1997). Ave StefanoMARMI et PierreMOUSSA, The Brjuno funtions and their regularity properties, Commun. Math. Phys. 186, (1997).

5 CONFÉRENCES À L'ÉTRANGER Otobre 1996 février 1997 : ours hebdomadaire («Nahdiplomvorlesung») «Weakly hyperboli dynamis» ΤΗ à l'e de Zurih. 23 mai 1997 et 26 mai 1997 : une onférene à l'université M Gill (Beatty Leture) et une onférene à l'université de Montréal. 14 juillet-18 juillet : oorganisateur d'un olloque «Dynamishe Systemen» à Oberwolfah (Allemagne). 5 août-15 août : une onférene dans le adre du Congrès international de Systèmes dynamiques, IMPA, Rio de Janeiro, Brésil. 5 septembre : une onférene dans le adre du olloque «Siene, Nature et Soiété», Université de São Paulo, Brésil.

MACROS MINITAB POUR LE CALCUL DES COURBES D'EFFICACITÉ DES CARTES DE CONTRÔLE DE SHEWHART R. PALM * 1. Introduction

MACROS MINITAB POUR LE CALCUL DES COURBES D'EFFICACITÉ DES CARTES DE CONTRÔLE DE SHEWHART R. PALM * 1. Introduction Statistique Informatique Mathématique appliquées Novembre 3 MACROS MINITAB POUR LE CALCUL DES COURBES D'EFFICACITÉ DES CARTES DE CONTRÔLE DE SHEWHART R. PALM * 1. Introdution Les artes de ontrôle sont

Plus en détail

Production statistique: passage d une démarche axée sur les domaines à une démarche axée sur les processus

Production statistique: passage d une démarche axée sur les domaines à une démarche axée sur les processus Nations Unies Conseil éonomique et soial Distr. générale 31 mars 2015 Français Original: anglais ECE/CES/2015/26 Commission éonomique pour l Europe Conférene des statistiiens européens Soixante-troisième

Plus en détail

Problème 4 : étude de solutions tampon de ph

Problème 4 : étude de solutions tampon de ph ème OI Épreuve de séletion 5 PRÉ : étude de solutions tampon de ph I. Préparation. L aide éthanoï que est noté OH. À la température onsidérée, le pk du ouple OH/O est égal à,7. On prépare une solution

Plus en détail

3. Veuillez indiquer votre effectif total :

3. Veuillez indiquer votre effectif total : 1 Métiers du marketing et de la ommuniation Questionnaire préalable d assurane Préambule Le présent questionnaire préalable d assurane Marketing et Communiation a pour objet de réunir des informations

Plus en détail

Coordination : Jean-Denis Poignet, responsable de formation

Coordination : Jean-Denis Poignet, responsable de formation athématiques 6 e Livret de orrigés Rédation : laudine lbin-vuarand Niole antelou arie-jo Quéffele arie-frane Lefèvre ar Le rozler oordination : Jean-enis Poignet, responsable de formation e ours est la

Plus en détail

Centrales Villageoises Photovoltaïques

Centrales Villageoises Photovoltaïques Centrales Villageoises Photovoltaïques Projet Centrales Villageoises Photovoltaïques Optimisation du raordement életrique et gestion du réseau sur le village de : - Les Haies Rédateur Nom Fontion Damien

Plus en détail

Informatique TP 4 & 5. Chaînes de Markov. Partie 1 : exemple introductif

Informatique TP 4 & 5. Chaînes de Markov. Partie 1 : exemple introductif Informatique TP 4 & 5 ECS2 Lyée La Bruyère, Versailles Chaînes de Markov Partie 1 : exemple introdutif Exerie 1 : épidémiologie On modélise l évolution d une maladie en lassant les individus en trois groupes

Plus en détail

Sous la direction de : Michel PONCY Yves GUICHARD Marie-Christine RUSSIER

Sous la direction de : Michel PONCY Yves GUICHARD Marie-Christine RUSSIER PROGRAMME 0 Sous la diretion de : Mihel PONCY Yves GUICHARD Marie-Christine RUSSIER Jean-Louis BONNAFET René GAUTHIER Yvette MASSIERA Denis VIEUDRIN Jean-François ZUCCHETTA Sommaire CHAPITRE CHAPITRE CHAPITRE

Plus en détail

La volatilité accrue du prix de l électricité pour les ménages belges

La volatilité accrue du prix de l électricité pour les ménages belges La volatilité arue du prix de L'éLetriité pour Les ménages belges La volatilité arue du prix de l életriité pour les ménages belges Une analyse basée sur les aratéristiques spéifiques de la fixation des

Plus en détail

Image d un intervalle par une fonction continue

Image d un intervalle par une fonction continue DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction

Plus en détail

B CHIFFRES CLÉ S FONDATION INSA DE LYON

B CHIFFRES CLÉ S FONDATION INSA DE LYON F O N D AT I O N I N S A D E LY O N Près de 11 millions d euros levés en 4 ans auprès de 16 entreprises méènes et partenaires 5 Chaires réées pour une dotation globale de plus de 2 millions d euros une

Plus en détail

Avis de convocation. Assemblée générale mixte de PagesJaunes Groupe. le 26 avril 2007 à 17 heures à la Maison de la Chimie

Avis de convocation. Assemblée générale mixte de PagesJaunes Groupe. le 26 avril 2007 à 17 heures à la Maison de la Chimie Avis de onvoation Assemblée générale mixte de PagesJaunes Groupe le 26 avril 2007 à 17 heures à la Maison de la Chimie 28 bis, rue Saint-Dominique - 75007 Paris sommaire Comment partiiper à l Assemblée

Plus en détail

10. Trigonométrie. - 1 - Trigonométrie du triangle quelconque. 10.1 La mesure de l angle

10. Trigonométrie. - 1 - Trigonométrie du triangle quelconque. 10.1 La mesure de l angle - 1 - Trigonométrie du triangle quelonque 10.1 La mesure de l angle 10. Trigonométrie Les quatre unités prinipales de mesure d'un angle géométrique sont le degré, le radian, le grade et le tour. Le degré

Plus en détail

Coordination : Jean-Denis Poignet, responsable de formation

Coordination : Jean-Denis Poignet, responsable de formation Mathématiques e Livret de orrigés Rédation : Niole Cantelou Sophie Huvey Hélène Leoq Fabienne Meille Françoise Raynier Philippe Nadeau Jean-Denis Poignet Coordination : Jean-Denis Poignet, responsable

Plus en détail

TS 7 De la rotation de Saturne à la structure de ses anneaux

TS 7 De la rotation de Saturne à la structure de ses anneaux FICHE Fihe à destination des enseignants Type d'atiité TS 7 De la rotation de Saturne à la struture de ses anneaux Atiité expérimentale Notions et ontenus du programme de Terminale S Effet Doppler. Compétenes

Plus en détail

Dynamique et fractals

Dynamique et fractals Dynamique et fractals Arnaud Chéritat Toulouse III Dynamique et fractals p.1/25 Dynamiques Dynamique discrète, continue. Champs de vecteurs, dynamique hamiltonienne. Dynamique réelle, dynamique complexe

Plus en détail

Équilibres de phases de mélanges

Équilibres de phases de mélanges Équilibres de phases de mélanges Paternité - Pas d'utilisation Commeriale - Partage des Conditions Initiales à l'identique : http://reativeommons.org/lienses/by-n-sa/2.0/fr/ Table des matières Table des

Plus en détail

TD2 Fonctions mesurables Corrigé

TD2 Fonctions mesurables Corrigé Intégration et probabilités 2012-2013 TD2 Fonctions mesurables Corrigé 0 Exercice qui avait été préparé chez soi Exercice 1. Soit (Ω, F, µ) un espace mesuré tel que µ (Ω) = 1. Soient A, B P (Ω) deux sousensembles

Plus en détail

Mines Ponts, Physique 1 MP

Mines Ponts, Physique 1 MP Mines Ponts, Physique 1 MP Satellites de téléommuniation Conours 7 1 Satellites sur orbite irulaire 1. La relation fondamentale de la dynamique en mouvement uniforme sur une orbite irulaire impose G M

Plus en détail

Forme juridique Noms et adresses des filiales à assurer. Date de création ou début de l activité Description PRÉCISE de vos activités

Forme juridique Noms et adresses des filiales à assurer. Date de création ou début de l activité Description PRÉCISE de vos activités 1 Métiers du onseil en entreprise Questionnaire préalable d assurane Identiiation du proposant Raison soiale Adresse de la soiété Site web Code APE Code SIREN Forme juridique Noms et adresses des filiales

Plus en détail

Projet INF242. Stéphane Devismes & Benjamin Wack. Pour ce projet les étudiants doivent former des groupes de 3 ou 4 étudiants.

Projet INF242. Stéphane Devismes & Benjamin Wack. Pour ce projet les étudiants doivent former des groupes de 3 ou 4 étudiants. Projet INF242 Stéphane Devismes & Benjamin Wak Pour e projet les étudiants doivent former des groupes de 3 ou 4 étudiants. 1 Planning Distribution du projet au premier ours. À la fin de la deuxième semaine

Plus en détail

Assistance à la navigation automobile par temps de brouillard

Assistance à la navigation automobile par temps de brouillard Assistane à la navigation automobile par temps de brouillard Niolas Hautière Rahid Belaroussi Jean-Philippe Tarel Laboratoire Exploitation Pereption Simulateurs et Simulations Université Paris-Est, INRETS-LCPC

Plus en détail

ESDEP GROUPE DE TRAVAIL 4B PROTECTION INCENDIE

ESDEP GROUPE DE TRAVAIL 4B PROTECTION INCENDIE ESDEP GROUPE DE TRAVAIL 4B PROTECTION INCENDIE Exemples 4B Caluls de résistane au feu Fihier : L4B-5.do OBJECTIF Familiariser le onepteur à des méthodes simples de alul de résistane au feu et d'épaisseur

Plus en détail

Chapitre IV- Induction électromagnétique

Chapitre IV- Induction électromagnétique 37 Chapitre IV- Indution életromagnétique IV.- Les lois de l indution IV..- L approhe de Faraday Jusqu à maintenant, nous nous sommes intéressés essentiellement à la réation d un hamp magnétique à partir

Plus en détail

Programme de mathématiques TSI1

Programme de mathématiques TSI1 Programme de mathématiques TSI1 1. PROGRAMME DE DÉBUT D ANNÉE I. Nombres complexes et géométrie élémentaire 1. Nombres complexes 1 2. Géométrie élémentaire du plan 3 3. Géométrie élémentaire de l espace

Plus en détail

Proposition de conditions quantitatives Normes provisoires 2.0 Septembre 2015

Proposition de conditions quantitatives Normes provisoires 2.0 Septembre 2015 Proposition de onditions quantitatives Normes provisoires 2.0 Septembre 2015 Sommaire Proposition de onditions quantitatives Normes provisoires 2.0... 1 Contexte... 2 Critères d éligibilité pour l épargne

Plus en détail

X-infos. L AcTUALITé DE LA SPL-XDEMAT > N 2 MARS 2014. Tous a vos agendas! Sommaire. Édito. Édito. Tous à vos agendas!

X-infos. L AcTUALITé DE LA SPL-XDEMAT > N 2 MARS 2014. Tous a vos agendas! Sommaire. Édito. Édito. Tous à vos agendas! X-infos L ATUALITé DE LA SPL-XDEMAT > N 2 MARS 2014 Édito Tous a vos agendas! La soiété SPL-Xdemat s apprête à vivre pour la première fois de sa jeune existene, les életions muniipales. Et ompte tenu du

Plus en détail

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés 2012-2013 1 Petites questions 1) Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? 2) Si F et G sont deux tribus, est-ce que F G est toujours une tribu?

Plus en détail

DOSSIER DE CANDIDATURE

DOSSIER DE CANDIDATURE www.suplog.fr Tél. 01 43 13 53 34 ontat@supdelog.fr DOSSIER DE CANDIDATURE ENSEIGNEMENT SUPÉRIEUR Collez votre photo NE PAS REMPLIR CE CADRE RÉSERVÉ AU SERVICE DES ADMISSIONS Date de réeption dossier :

Plus en détail

convention de partenariat 2009-2012

convention de partenariat 2009-2012 onvention de partenariat 2009-2012 Convention de partenariat Entre d une part, l Université de Bourgogne représentée par sa Présidente, Madame Sophie Béjean, et désignée i-après par l Université, dûment

Plus en détail

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.

Plus en détail

Equipe Technique Régionale des Formations d Entraîneurs

Equipe Technique Régionale des Formations d Entraîneurs Equipe Tehnique Régionale des Formations d Entraîneurs Ligue d Athlétisme des Pays de la Loire FORMATIONS DES ENTRAINEURS 2013 / 2014 Chers entraîneurs éduateurs, «Plus que le talent, est l envie qui ompte»

Plus en détail

Professionnels de l art by Hiscox Questionnaire préalable d assurance

Professionnels de l art by Hiscox Questionnaire préalable d assurance Professionnels de l art by Hisox Questionnaire préalable d assurane Votre interlouteur: Buzz Assurane Servie lients - BP 105 83061 Toulon Cedex prodution@buzzassurane.om La ommunauté des olletionneurs

Plus en détail

Estimation Temps Réel des Etats Dynamiques d un Véhicule Automobile

Estimation Temps Réel des Etats Dynamiques d un Véhicule Automobile stimation emps éel des tats Dynamiques d un Véhiule Automobile Sébastien Plane o ite this version: Sébastien Plane. stimation emps éel des tats Dynamiques d un Véhiule Automobile. Automatique obotique.

Plus en détail

Géométrie dans l Espace Courbes de niveau

Géométrie dans l Espace Courbes de niveau Géométrie dans l Espae Courbes de niveau Christophe ROSSIGNOL Année solaire 008/009 Table des matières 1 Quelques rappels 1.1 Coordonnées d un point, d un veteur................................. 1. Colinéarité

Plus en détail

Travaux dirigés. Résolution numérique des équations diérentielles ordinaires. Département MIDO année 2013/2014 Master MMDMA

Travaux dirigés. Résolution numérique des équations diérentielles ordinaires. Département MIDO année 2013/2014 Master MMDMA Université Paris-Dauphine Méthodes numériques Département MIDO année 03/04 Master MMDMA Travaux dirigés Résolution numérique des équations diérentielles ordinaires Exercice. Pour α > 0, on considère le

Plus en détail

Forme juridique Noms et adresses des filiales à assurer. Date de création ou début de l activité Description PRÉCISE de vos activités

Forme juridique Noms et adresses des filiales à assurer. Date de création ou début de l activité Description PRÉCISE de vos activités 1 Servies à la personne by Hisox Questionnaire préalable d assurane Identifiation du proposant Raison soiale Adresse de la soiété Site web Code APE Code SIREN Forme juridique Noms et adresses des filiales

Plus en détail

Personnel Pour chaque diagnostiqueur, veuillez fournir les informations suivantes : Date de la formation. Formation (durée)

Personnel Pour chaque diagnostiqueur, veuillez fournir les informations suivantes : Date de la formation. Formation (durée) 1 Diagnosti Immobilier by Hisox Questionnaire préalable d assurane Identifiation du proposant Raison soiale Adresse de la soiété Site web Code APE Code SIREN Forme juridique Date de réation : Possédez-vous

Plus en détail

Modélisation numérique du glissement de terrain de Super Sauze par voie de photogrammétrie aérienne. Rapport de Stage

Modélisation numérique du glissement de terrain de Super Sauze par voie de photogrammétrie aérienne. Rapport de Stage Eole Nationale Supérieure des Arts et Industries de Strasbourg Modélisation numérique du glissement de terrain de Super Sauze par voie de photogrammétrie aérienne Rapport de Stage Deuxième Année de Formation

Plus en détail

Exemples de solutions acoustiques

Exemples de solutions acoustiques Exemples de solutions aoustiques RÉGLEMENTATON ACOUSTQUE 2000 Janvier 2014 solement aux bruits aériens intérieurs et niveau de bruit de ho Traitement aoustique des parties ommunes Bruits d équipements

Plus en détail

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion

Plus en détail

Forme juridique Noms et adresses des filiales à assurer. Date de création ou début de l activité Description PRÉCISE de vos activités

Forme juridique Noms et adresses des filiales à assurer. Date de création ou début de l activité Description PRÉCISE de vos activités 1 Métiers de la séurité by Hisox Questionnaire préalable d assurane Identifiation du proposant Raison soiale Adresse de la soiété Site web Code APE Code SIREN Forme juridique Noms et adresses des filiales

Plus en détail

Bureau d études techniques by Hiscox Questionnaire préalable d assurance

Bureau d études techniques by Hiscox Questionnaire préalable d assurance Bureau d études tehniques by Hisox Questionnaire préalable d assurane Bureau d études tehniques by Hisox Questionnaire préalable d assurane Identifiation du proposant Raison soiale Adresse de la soiété

Plus en détail

est diagonale si tous ses coefficients en dehors de la diagonale sont nuls.

est diagonale si tous ses coefficients en dehors de la diagonale sont nuls. Diagonalisation des matrices http://www.math-info.univ-paris5.fr/~ycart/mc2/node2.html Sous-sections Matrices diagonales Valeurs propres et vecteurs propres Polynôme caractéristique Exemples Illustration

Plus en détail

CRÉATEUR D ENTREPRISE

CRÉATEUR D ENTREPRISE GUIDE POUR AGIR Comment s imaginer CRÉATEUR D ENTREPRISE JE BÂTIS MON PROJET PROFESSIONNEL Ave le soutien du Fonds soial européen Créer une entreprise... pourquoi pas moi? Chaque année, plus de 270.000

Plus en détail

SELECTIONNER ENTREPRISES

SELECTIONNER ENTREPRISES GUIDE POUR AGIR Comment SELECTIONNER les ENTREPRISES JE DÉMARCHE LES ENTREPRISES Ave le soutien du Fonds soial européen Pourquoi séletionner ertaines entreprises? Toutes les entreprises de votre seteur

Plus en détail

NCCI : Calcul d'assemblages de pieds de poteaux encastrés

NCCI : Calcul d'assemblages de pieds de poteaux encastrés NCCI : Calul d'assemblages de pieds de poteaux enastrés Ce NCCI fournit les règles relatives au alul d'assemblages de pieds de poteaux enastrés. Ces règles se ontentent de ouvrir la oneption et le alul

Plus en détail

Pour les illustrations, le texte contient des liens y référant. Il ne me reste plus qu'à vous souhaiter bonne lecture.

Pour les illustrations, le texte contient des liens y référant. Il ne me reste plus qu'à vous souhaiter bonne lecture. 1 of 11 24/03/2005 10:08 Je vous livre mon dossier de TIPE 1998. Le principe du TIPE (Travail Individuel Personalisé Encadré) est de faire faire un peu de recherche de documents aux élèves de Math. Spé,

Plus en détail

Forme juridique Noms et adresses des filiales à assurer. Date de création ou début de l activité Description PRÉCISE de vos activités

Forme juridique Noms et adresses des filiales à assurer. Date de création ou début de l activité Description PRÉCISE de vos activités 1 RC Professionnelle by Hisox Questionnaire préalable d assurane Identifiation du proposant Raison soiale Adresse de la soiété Site web Code APE Code SIREN Forme juridique Noms et adresses des filiales

Plus en détail

Questionnaire à destination des associations de LANNION

Questionnaire à destination des associations de LANNION Questionnaire à destination des assoiations de LANNION Ce questionnaire a pour objetif de mieux erner le profil atuel du monde assoiatif de LANNION. Il est rapide, faile à remplir.. et vos réponses nous

Plus en détail

Rédigé par un élève de Terminale S à l'aide de ses livres de maths (Indice, Bordas), ses cours, toute sa peine, et son stress pour le bac! J.

Rédigé par un élève de Terminale S à l'aide de ses livres de maths (Indice, Bordas), ses cours, toute sa peine, et son stress pour le bac! J. Rédigé par un élève de Terminale S à l'aide de ses livres de maths (Indice, Bordas), ses cours, toute sa peine, et son stress pour le bac! J. FAIVRE s de cours exigibles au bac S en mathématiques Enseignement

Plus en détail

CONTACTER TÉLÉPHONE. Comment. une entreprise, un employeur par GUIDE POUR AGIR JE RECHERCHE DES OFFRES D EMPLOI ET J Y RÉPONDS

CONTACTER TÉLÉPHONE. Comment. une entreprise, un employeur par GUIDE POUR AGIR JE RECHERCHE DES OFFRES D EMPLOI ET J Y RÉPONDS GUIDE POUR AGIR Comment CONTACTER une entreprise, un employeur par TÉLÉPHONE JE RECHERCHE DES OFFRES D EMPLOI ET J Y RÉPONDS Ave le soutien du Fonds soial européen Le téléphone est-il un outil effiae dans

Plus en détail

Comment évaluer la qualité d un résultat? Plan

Comment évaluer la qualité d un résultat? Plan Comment évaluer la qualité d un résultat? En sienes expérimentales, il n existe pas de mesures parfaites. Celles-i ne peuvent être qu entahées d erreurs plus ou moins importantes selon le protoole hoisi,

Plus en détail

DES DISTRIBUTIONS DE PROBABILITÉ SINGULIÈRES. Marc BARBUT 1

DES DISTRIBUTIONS DE PROBABILITÉ SINGULIÈRES. Marc BARBUT 1 Math. Sci. hum / Mathematics and Social Sciences (48 e année, n 9, 2(2), p. -8) DES DISTRIBUTIONS DE PROBABILITÉ SINGULIÈRES Marc BARBUT RÉSUMÉ Ce texte n a rien d original. Son objectif est seulement

Plus en détail

Champs d hyperplans. En particulier son rang en un point p, qui est le double du plus grand entier k tel que

Champs d hyperplans. En particulier son rang en un point p, qui est le double du plus grand entier k tel que Champs d hyperplans Un champ d hyperplans coorientable (resp. coorienté) sur une variété V m est le noyau ξ d une 1-forme différentielle non singulière α bien définie à multiplication près par une fonction

Plus en détail

Forme juridique Noms et adresses des filiales à assurer. Date de création ou début de l activité Description PRÉCISE de vos activités

Forme juridique Noms et adresses des filiales à assurer. Date de création ou début de l activité Description PRÉCISE de vos activités 1 Portage Salarial pour les métiers du Conseil by Hisox Questionnaire préalable d assurane Identifiation du proposant Raison soiale Adresse de la soiété Site web Code APE Code SIREN Forme juridique Noms

Plus en détail

Programme de Première

Programme de Première BAC TECHNO STAV 66 I. Algèbre Programme de Première Objectif 1 - Effectuer de manière autonome des calculs numériques ou algébriques, résoudre des équations ou inéquations en vue de résoudre des problèmes

Plus en détail

Continuité d une fonction de plusieurs variables

Continuité d une fonction de plusieurs variables Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs

Plus en détail

NOTATIONS PRÉLIMINAIRES

NOTATIONS PRÉLIMINAIRES Pour le Jeudi 14 Octobre 2010 NOTATIONS Soit V un espace vectoriel réel ; l'espace vectoriel des endomorphismes de l'espace vectoriel V est désigné par L(V ). Soit f un endomorphisme de l'espace vectoriel

Plus en détail

Développements limités. Notion de développement limité

Développements limités. Notion de développement limité MT12 - ch2 Page 1/8 Développements limités Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle de R non vide et non réduit à un point. I Notion de développement limité Dans tout ce paragraphe, a désigne un

Plus en détail

Métiers de la sécurité Questionnaire préalable d assurance

Métiers de la sécurité Questionnaire préalable d assurance Métiers de la séurité Questionnaire préalable d assurane Métiers de la séurité Questionnaire préalable d assurane Identifiation du proposant Raison soiale Adresse de la soiété Site web Code APE Code SIREN

Plus en détail

Commencer. Guide d'installation rapide FAX-2840 / FAX-2845 FAX-2940. de l'appareil et vérification des composants. Remarque

Commencer. Guide d'installation rapide FAX-2840 / FAX-2845 FAX-2940. de l'appareil et vérification des composants. Remarque Guide d'installation rapide Commener FAX-2840 / FAX-2845 FAX-2940 Lisez tout d'aord le Guide de Séurité du Produit, puis passez au Guide d'installation rapide (le présent guide) pour installer et onfigurer

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)

Plus en détail

TOPOLOGIE. une partie X d'un métrique est dite bornée ssi il existe une boule contenant X ; définition : diamètre : diam(x)=min{ r R

TOPOLOGIE. une partie X d'un métrique est dite bornée ssi il existe une boule contenant X ; définition : diamètre : diam(x)=min{ r R TOPOLOGIE 1) DISTANCE, ESPACES MÉTRIQUES a : distances : d'après le cours de M. Nicolas Tosel professeur en MP* au Lycée du Parc, Lyon Année 2004 2005 une distance est une application d de E dans R + telle

Plus en détail

Table des matières. Inteférences non localisées de deux ondes totalement cohérentes. S.Boukaddid Optique MP2

Table des matières. Inteférences non localisées de deux ondes totalement cohérentes. S.Boukaddid Optique MP2 .Boukai Optique P Inteférenes non loalisées e eux ones totalement ohérentes Table es matières 1 Interférene entre eux ones lumineuses 1.1 éfinition....................................... 1. uperposition

Plus en détail

1 Introduction à l effet Doppler.

1 Introduction à l effet Doppler. Introdution à l effet Doppler Ph. Ribière ribierep@orange.fr Merredi 9 Novembre 2011 1 Introdution à l effet Doppler. Vous avez tous fait l expériene de l effet Doppler dans la rue, lorsqu une ambulane,

Plus en détail

Cahier de textes Mathématiques

Cahier de textes Mathématiques Cahier de textes Mathématiques Mercredi 6 janvier : cours 2h Début du chapitre 12 - Convergence de suites réelles : 12.1 Convergence de suites : suites convergentes, limites de suites convergentes, unicité

Plus en détail

Tourisme Pro by Hiscox Questionnaire préalable d assurance

Tourisme Pro by Hiscox Questionnaire préalable d assurance Tourisme Pro by Hisox Questionnaire préalable d assurane Tourisme Pro by Hisox Questionnaire préalable d assurane Identifiation du proposant Raison soiale Adresse de la soiété Site web Code APE Code SIREN

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables

Plus en détail

La Variation de Vitesse au cœur des applications. industrielles. p.1

La Variation de Vitesse au cœur des applications. industrielles. p.1 Le magazine Shneider Eletri de l'enseignement tehnologique et professionnel Mai 005 p. Historique p. La ommande vetorielle des moteurs asynhrones p.3 La ommande vetorielle dans les appliations industrielles

Plus en détail

Résolution d équations non linéaires

Résolution d équations non linéaires Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique

Plus en détail

Calculs approchés d un point fixe

Calculs approchés d un point fixe M11 ÉPREUVE COMMUNE DE TIPE 2013 - Partie D TITRE : Calculs approchés d un point fixe Temps de préparation :.. 2 h 15 minutes Temps de présentation devant les examinateurs :.10 minutes Dialogue avec les

Plus en détail

LES CONDITIONS D EMBAUCHE DE L ARTISTE DANS LE CHAMP DE L ACTION CULTURELLE. mardi 15 septembre 2009 La Passerelle Saint-Brieuc

LES CONDITIONS D EMBAUCHE DE L ARTISTE DANS LE CHAMP DE L ACTION CULTURELLE. mardi 15 septembre 2009 La Passerelle Saint-Brieuc LES CONDITIONS D EMBAUCHE DE L ARTISTE DANS LE CHAMP DE L ACTION CULTURELLE mardi 15 septembre 2009 La Passerelle Saint-Brieu Sommaire LE CONTRAT DE TRAVAIL...3 LA REMUNERATION : PAIEMENT AU CACHET, PAIEMENT

Plus en détail

Tourisme Pro by Hiscox Questionnaire préalable d assurance

Tourisme Pro by Hiscox Questionnaire préalable d assurance Tourisme Pro by Hisox Questionnaire préalable d assurane Tourisme Pro by Hisox Questionnaire préalable d assurane Identifiation du proposant Raison soiale Adresse de la soiété Site web Code APE Code SIREN

Plus en détail

Le compte satellite des institutions sans but lucratif

Le compte satellite des institutions sans but lucratif Institut des omptes nationaux Le ompte satellite des institutions sans ut luratif 2000-2001 Contenu de la puliation Le ompte satellite des institutions sans ut luratif (ISBL) est élaoré d après les définitions

Plus en détail

Xd3d Version 7.72 (8 Jan 99)

Xd3d Version 7.72 (8 Jan 99) Xd3d Version 7.72 (8 Jan 99) Visualisation de maillages 2D et 3D et de surfaes 3D sous X François JOUVE 1 1 Introdution xd3d est un outil graphique apable de visualiser des maillages bi et tridimensionnels,

Plus en détail

Le corps R des nombres réels

Le corps R des nombres réels Le corps R des nombres réels. Construction de R à l aide des suites de Cauchy de nombres rationnels On explique brièvement dans ce paragraphe comment construire le corps R des nombres réels à partir du

Plus en détail

Groupes symétriques et alternés

Groupes symétriques et alternés Groupes symétriques et alternés Table des matières 1 Groupe S n 2 2 Cycles 4 2.1 Dénition.................................. 4 2.2 Décomposition d'une permutation..................... 5 3 Classes de conjugaison

Plus en détail

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1 . Sous-ensembles de R n et fonctions (suite) 1 Nappes paramétrées Si f une fonction de deux variables, son graphe est une surface incluse dans R 3 : {(x, y, f(x, y)) / (x, y) R 2 }. Une telle surface s

Plus en détail

La protection différentielle dans les installations électriques basse tension

La protection différentielle dans les installations électriques basse tension Juin 2001 La protetion différentielle dans les installations életriques basse tension Ce guide tehnique a pour objetif de mettre en évidene les prinipes de fontionnement des protetions différentielles

Plus en détail

Connaître les impacts d une inondation

Connaître les impacts d une inondation ANTICIPER Après vous être informé sur les risques menaçants vos prohes et vos biens, vous devez évaluer les dommages potentiels afin d antiiper la rise et diminuer ses effets. Connaître les impats d une

Plus en détail

Quelles différences y a-t-il entre coqs d origine et coqs introduits par la suite?

Quelles différences y a-t-il entre coqs d origine et coqs introduits par la suite? Quelles différenes y a-t-il entre oqs d origine et oqs introduits par la suite? Le prolème Pour l élevage-souhe, les reproduteurs de poulet à hair ont fait l ojet d une séletion intensive onernant la vitesse

Plus en détail

NCCI : Modèle de calcul pour les pieds de poteaux articulés Poteaux en I en compression axiale

NCCI : Modèle de calcul pour les pieds de poteaux articulés Poteaux en I en compression axiale NCCI : Modèle de alul pour les pieds de poteaux artiulés Poteaux en I en Ce NCCI présente les règles permettant de déterminer soit la résistane de alul, soit les dimensions requises des plaques d'assise

Plus en détail

Votre dossier d adhésion

Votre dossier d adhésion MSH INTERNATIONAL pour le ompte Votre dossier d adhésion Vous avez besoin d aide pour ompléter votre dossier d adhésion? Contatez-nous au +33 (0)1 44 20 48 77. Adhérent Bulletin d adhésion Titre : Mademoiselle

Plus en détail

sd K 75 sd K 100 sd K 150

sd K 75 sd K 100 sd K 150 sd K 75 sd K 00 sd K 50 Notie d installation et d emploi de l Option Super Confort sd K 75, sd K 00 sd K 50 Sommaire Page Présentation...2 Dimensions, desription...3 Conditions d installation...4 Montage

Plus en détail

I. Objectifs et capacités valables pour l'ensemble du programme

I. Objectifs et capacités valables pour l'ensemble du programme PROGRAMME de Maths TERMINALE STI Spécialité Génie Mécanique, Civil, Energétique, des Matériaux D après le BO de l Education Nationale I. Objectifs et capacités valables pour l'ensemble du programme 1.

Plus en détail

Les bifurcations de l application logistique

Les bifurcations de l application logistique Les bifurcations de l application logistique Seigneur Agathe sous la direction de Rechtman Ana Septembre 01 1 Table des matières Introduction 3 1 Historique de l application logistique 4 Conjugaison topologique

Plus en détail

n N = u N u N+1 1 u pour u 1. f ( uv 1) v N+1 v N v 1 1 2 t

n N = u N u N+1 1 u pour u 1. f ( uv 1) v N+1 v N v 1 1 2 t 3.La méthode de Dirichlet 99 11 Le théorème de Dirichlet 3.La méthode de Dirichlet Lorsque Dirichlet, au début des années 180, découvre les travaux de Fourier, il cherche à les justifier par des méthodes

Plus en détail

DocumentHumain. Confidentiel. Disposition de fin de vie

DocumentHumain. Confidentiel. Disposition de fin de vie Confidentiel Disposition de fin de vie DoumentHumain Mes volontés juridiquement valables onernant ma vie, mes périodes de souffrane, les derniers moments de mon existene et ma mort Institut interdisiplinaire

Plus en détail

La mesure de Lebesgue sur la droite réelle

La mesure de Lebesgue sur la droite réelle Chapitre 1 La mesure de Lebesgue sur la droite réelle 1.1 Ensemble mesurable au sens de Lebesgue 1.1.1 Mesure extérieure Définition 1.1.1. Un intervalle est une partie convexe de R. L ensemble vide et

Plus en détail

GLMA201 - ALGÈBRE LINÉAIRE ET ANALYSE 2-2013-2014 CONTRÔLE CONTINU 2

GLMA201 - ALGÈBRE LINÉAIRE ET ANALYSE 2-2013-2014 CONTRÔLE CONTINU 2 GLMA -4 GLMA - ALGÈBRE LINÉAIRE ET ANALYSE - -4 CONTRÔLE CONTINU Durée : h Tout doument ou lultrie est interdit Il ser tenu ompte de l lrté et de l préision de l rédtion Il est importnt de justifier hune

Plus en détail

Le transfert de chaleur entre deux fluides s effectue à travers un tube d acier de diamètres intérieur/extérieur 18 / 21 mm.

Le transfert de chaleur entre deux fluides s effectue à travers un tube d acier de diamètres intérieur/extérieur 18 / 21 mm. PROBLÈMES CORRIGÉS Il n est pas de problème u une absene de solution ne inisse par résoudre. Aphorisme attribué à Henri QUEUILLE PROBLÈME N : Coeiient d éhange Énoné Le transrt de haleur entre deux luides

Plus en détail

Projet de traitement d'image - SI 381 reconstitution 3D d'intérieur à partir de photographies

Projet de traitement d'image - SI 381 reconstitution 3D d'intérieur à partir de photographies Projet de traitement d'image - SI 381 reconstitution 3D d'intérieur à partir de photographies Régis Boulet Charlie Demené Alexis Guyot Balthazar Neveu Guillaume Tartavel Sommaire Sommaire... 1 Structure

Plus en détail

BACCALAURÉAT BLANC 2013

BACCALAURÉAT BLANC 2013 BACCALAURÉAT BLANC 203 Série S Corrigé Exercice. a) On traduit les données de l énoncé et on représente la situation par un arbre pondéré. PF ) = 2, PF 2) = 3, P F ) = 5 00 = 20, P F 2 ) =,5 00 = 3 3,5,

Plus en détail

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie Chapitre 7 - ests d hypothèses Lexique anglais - français Constats - terminologie - onepts de base tests ests onernant une moyenne - variane onnue - variane inonnue - ourbe aratéristique - n =? est de

Plus en détail

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante

Plus en détail

FICHE DE RÉVISION DU BAC

FICHE DE RÉVISION DU BAC Introduction Pré-requis : Etude de fonctions dérivées logarithmes et exponentielles continuité Plan du cours 1. Intégrales 2. Primitives 1. Intégrales A. Aire sous la courbe Méthode des rectangles : Pour

Plus en détail

Modélisation d'une boucle diphasique à pompage capillaire pour utilisation spatiale

Modélisation d'une boucle diphasique à pompage capillaire pour utilisation spatiale DOSSIER Modélisation d'une boule diphasique à pompage apillaire pour utilisation spatiale The modelling ofa two-phase apillary pumped loop for use zn spae par T. Tjiptahardja, M. Amidieu, B. Moshetti Aerospatiale

Plus en détail

Texte Agrégation limitée par diffusion interne

Texte Agrégation limitée par diffusion interne Page n 1. Texte Agrégation limitée par diffusion interne 1 Le phénomène observé Un fût de déchets radioactifs est enterré secrètement dans le Cantal. Au bout de quelques années, il devient poreux et laisse

Plus en détail

Applications linéaires

Applications linéaires Applications linéaires I) Applications linéaires - Généralités 1.1) Introduction L'idée d'application linéaire est intimement liée à celle d'espace vectoriel. Elle traduit la stabilité par combinaison

Plus en détail