Stabilisation des systèmes bilinéaires fractionnaires

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Stabilisation des systèmes bilinéaires fractionnaires"

Transcription

1 Sbilision des sysèmes bilinéires frcionnires Ibrhim N Doye,, Michel Zsdzinski, Nour-Eddine Rdhy, Mohmed Drouch Cenre de Recherche en Auomique de Nncy, UMR 739 Nncy-Universié, CNRS IUT de Longwy, 86 rue de Lorrine 544 Cosnes e Romin, Frnce. Lboroire Physique e Mériux Microélecronique Auomique e Thermique Universié Hssn II, Fculé des Sciences Ain-Chock BP : 5366 Mrif, Csblnc, Mroc. Résumé Ce ricle rie de l sbilision des sysèmes bilinéires frcionnires pr l pproche de l nouvelle générlision du lemme de Gronwll-Bellmn. L uilision de cee nouvelle pproche perme de monrer sous cerines hypohèses déques, qu on peu grnir une sbilision sympoique pr reour d é sique e pr reour de sorie sique des sysèmes bilinéires frcionnires. L méhodologie es illusrée pr l inermédiire d un exemple numérique. Mos-clés Sysèmes bilinéires frcionnires, nouvelle générlision du lemme de Gronwll-Bellmn, reour d é sique, reour de sorie sique, sbilision sympoique. I. Inroducion Beucoup de vris sysèmes dynmiques son mieux crcérisés pr un modèle dynmique d ordre non enier, bsé en générle sur l noion de différeniion ou d inégrion de l ordre non enier. Les sysèmes frcionnires ou d ordre non enier son ussi sbles que leurs homologues, les sysèmes d ordre enier. En effe, du fi que les sysèmes frcionnires son d une pr, pour l plupr considérés comme des sysèmes à mémoire qui son générlemen plus sbles comprés ux sysèmes d ordre enier e d ure pr, du fi qu ils ffichen une dynmique beucoup plus sophisiquée, ce qui présene une grnde impornce pr exemple dns le domine de l communicion sécurisée. Récemmen, le problème de l synchronision choique éé nurellemen éendue ux sysèmes frcionnires en rison des pplicions nombreuses e poenielles en physique des lsers, des réceurs chimiques, de l communicion sécurisée e de l biomédecine. Le clcul rdiionnel én bsé sur l différeniion e l inégrion d ordre enier. Le concep du clcul frcionnire le poeniel énorme de chnger l mnière don nous voyons, modélisons, e commndons l nure uour de nous. L rison principle de l usge fréquen des modèles d ordre enier éi l bsence des méhodes de soluion pour des équions frcionnires ou d ordre non enier. Acuellemen, un bon nombre de méhodes pour l pproximion de l dérivée e de l inégrle frcionnire peu êre fcilemen employé dns diverses pplicions nommen en héorie du conrôle nouveux conrôleurs e modèles de sysèmes frcionnires en héorie de circuis élecriques frcnces, en héorie de condenseur ec... D illeurs, quelques éudes héoriques e expérimenles monren que cerins sysèmes élecrochimiques [], hermiques [] e viscoélsiques [3] son régis pr des équions différenielles à dérivées non enières. L uilision de modèles clssiques bsés sur une dérivion enière n es donc ps ppropriée. Des modèles bsés sur des équions différenielles à dérivées non enières on, à ce effe, éé développés [4]. Pr illeurs, l quesion de l sbilié es rès imporne surou en héorie du conrôle. Dns le cs de l commnde des sysèmes d ordre frcionnire, il y beucoup de défis e des problèmes non résolus liés à l héorie de l sbilié els que l sbilié robuse, l sbilié inerne, l sbilié à enrée bornée e à sorie bornée ec... L objecif de ce ppier es d éudier l sbilision pr reour d é sique e pr reour de sorie sique des sysèmes bilinéires frcionnires non homogènes. L pproche nurelle pour celà, es l uilision de l prie linéire du sysème, pour monrer que sous cerines hypohèses déques, il es possible de conrôler le sysème globl pr reour d é sique e pr reour de sorie sique, en uilisn l nouvelle générlision du lemme de Gronwll-Bellmn. L preuve du lemme de Gronwll- Bellmn sndrd ou clssique e son uilision dns l héorie des sysèmes non linéires peuven êre rouvés dns [5], [6], [7] e quelques générlisions de ce lemme dns [8], [9]. Des définiions de bse du clcul frcionnire, en priculier, l foncion de Mig-Leffler, son présenées d bord dns l secion II. Puis, dns l secion III, on présene l définiion de l sbilié des sysèmes dynmiques d ordre frcionnire commensurble en men en exergue les différenes régions de sbilié. Dns l secion IV, on propose d éudier l sbilision sympoique des sysèmes bilinéires frcionnires ou d ordre non enier pr reour d é sique e pr reour de sorie sique en uilisn une nouvelle générlision du lemme de Gronwll-Bellmn. Un exemple numérique es uilisée dns l secion V pour illusrer nos résuls. L nouvelle générlision du lemme es prouvée églemen dns l nnexe. Noions. x = x T x e A = λ mx A T A son, respecivemen l norme euclidienne de veceur e l norme specrle de mrice où λ mx A T A es l vleur propre mximle de l mrice symérique A T A. f i es l ième composne du veceur f.

2 II. Définiions préliminires A. Définiion de l dérivée frcionnire Dns ce ppier, les symboles de l dérivion frcionnire on éé normlisés comme sui [], [] d α D α = d α, α >, α = α, α < où D α représene l opéreur de dérivion d ordre α, es l limie inférieure e l limie supérieure de ce opéreur de dérivion frcionnire. Dns ce qui sui, on pose =, lors l opéreur D α es remplcé pr D α. L formulion suivne des dérivées frcionnires die dérivée u sens de Cpuo es souven uilisée puisque s rnsformée de Lplce condui à des condiions iniiles qui prennen l même forme que pour les sysèmes à dérivée d ordre enier vec des inerpréions physiques clires. L dérivée u sens de Cpuo es définie pr [], [] : d α f d α = Γn α d n fτ d n, n α<n τ α n+ vec n IN e α IR +, où Γ es l foncion Gmm Euler. L inerpréion physique e l résoluion des équions différenielles frcionnires on éé lrgemen riées dns [], []. Dns l résoluion des équions différenielles e nlyiques, l uilision de l echnique de rnsformion de Lplce es souven nécessire e joue un rôle imporn dns l résoluion des équions à dérivée frcionnire. L rnsformée de Lplce de l dérivée frcionnire u sens de Cpuo de l équion es donnée pr : n D α fe s d = s α Lf s α k f k = 3 k= où s C es l opéreur de Lplce. En considérn que oues les condiions iniilles son nulles l équion 3 peu êre réduie à d α f L d α = s α Lf. 4 L iniilision ppropriée es églemen crucile dns l résoluion e l compréhension des équions ou sysèmes frcionnires. Ainsi, on dope générlemen l noion pour l cuslié rrogne de l foncion ou du sysème pour ou α < cd α f = d α f + d α f, vec c = < 5 où d α f es l dérivée d ordre α qui peu s écrire sous l forme suivne d α f = d fτ d Γ α τ α 6 e où d α f = Ψα, f,,, es une foncion iniile définie pr d α f=ψα, f,,, = d fτ d Γ α τ α 7 B. Définiion de l foncion de Mig-Leffler à deux prmères L foncion de Mig-Leffler es une générlision de l foncion exponenielle, elle es souven uilisée dns l résoluion des problèmes physiques décris pr des équions à dérivée ou inégrle frcionnire. Elle es églemen connue pour voir un nombre fini de zéros réels, ce qui es pplicble à de nombreux problèmes physiques. L foncion de Mig-Leffler à deux prmères es définie pr l relion suivne [], [3] : où E α,β z = k= E α, z = z k, α >, β > 8 Γαk + β k= z k Γαk + E αz es l foncion de Mig-Leffler à un seul prmère. L rnsformée de Lplce de l foncion de Mig- Leffler à deux prmères peu s écrire : où e s αk+β E k α,β α d = sα β k! s α k+ 9 E k α,β = dk d k E α,β. Lemme : [4] Si α <, β un nombre réel choisi rbiriremen, γ es el que.5απ < γ < min[π, πα] e C > es un réel consn, lors E α,β z C, γ rgz π, z. + z Pour une mrice de n-dimension, nous obenons le corollire suivn Corollire : [5] Si A C n n e α <, β es un nombre réel choisi rbiriremen, γ es el que απ < γ < min[π, πα] e θ > es un réel consn, lors θ E α,β A + A, γ rgλ ia π, i =... n où θ =mxc, P P C, λ i A es l ième vleur propre de l mrice A, P es une mrice de rnsformion non singulière donnée pr l forme cnonique de Jordn de l C mrice A, + A mx C i i n + λ i, où C e C i son des consnes posiives. III. Sbilié des sysèmes linéires frcionnires Dns l héorie de l sbilié des sysèmes linéires à emps invrin, nous svons bien qu un sysème es sble si les rcines du polynôme crcérisique son négives ou à pries réelles négives si elles son complexes conjugés donc siuées sur l moiié guche du pln complexe. Pr illeurs, dns le cs des sysèmes frcionnires linéires à emps invrin, l définiion de l sbilié es différene des sysèmes d ordre enier. En effe, l noion inéressne es que les sysèmes frcionnires ou d ordre non enier peuven bel e bien voir des rcines dns l moiié droie du pln complexe.

3 L sbilié des sysèmes frcionnires éé éudiée dns [6], [7], où des condiions nécessires e suffisnes on éé obenues donnn lieu u héorème suivn : Théorème : [6], [7] Considérons le sysème linéire frcionnire d ordre commensurble suivn : D α x = Ax + Bu y = Cx < α < x = x x IR n, u IR m, y IR p. Soi σa = {λ,..., λ n }. Le sysème es sble si es seulemen si : rgλ i > απ, λ i σa, i =... n D près, ce héorème de l sbilié, il en découle les différenes régions ou zones sbles e insbles, voir figure. Im sble sble sble sble sble sble insble α π α π insble Fig.. Régions de sbilié des sysèmes d ordre frcionnires vec <α< Re IV. Sbilision des sysèmes bilinéires frcionnires Considérons le sysème bilinéire frcionnire décri pr le modèle suivn : D α x =A x + u i A i x + Bu < α < y = Cx x=x 3 où x IR n es le veceur d é, u IR m es le veceur des enrées, y IR p représene le veceur de sorie, u i es l ième coordonnée de u, A i es l mrice ssocieé à l coordonnée u i, A, B e C son des mrices consnes de dimensions ppropriées. A. Sbilision pr reour d é sique Le bu de cee secion es d éudier le problème de l sbilision sympoique pr reour d é sique du sysème bilinéire frcionnire 3 vec C = I n. Hypohèse : Supposons qu il exise une mrice gin L elle que l relion du corollire soi sisfie, c es à dire, l mrice A es remplcée pr l mrice à = A + BL vec β =, e que rgλ i à απ > pour ou i =,..., n. L sbilision sympoique du sysème bilinéire frcionnire 3 vec C = I n es donnée pr le héorème suivn. Théorème : Sous l hypohèse, le sysème 3 vec C = I n conrôlé pr le reour d é suivn u = Lx 4 es sympoiquemen sble si es seulemen si oues les vleurs propres de l mrix à = A +BL son à prie réelles négives e si l é iniil x sisfi l relion suivne α à x < θ. 5 L A i De plus, l é du sysème x es borné en norme comme sui θ x + à α x. 6 θ L x A i α à + à Preuve : En uilisn l rnsformée de Lplce du sysème 3 e l relion 4 vec C = I n, nous obenons l équion suivne m Xs=I n s s α à α x +L A i xlx i 7 où à = A + BL. Puis, en ppliqun l rnsformée inverse de Lplce de l équion 7, obenue d une pr grâce à l rnsformée inverse de l foncion de Mig-Leffler à deux prmères, e d ure pr, en uilisn l inégrle de convoluion, on obien l églié suivne x=e α, Ãα x m + τ α E α,αã τα A i xτlxτ i 8 en ppliqun ensuie l norme des deux côés de l équion 8 e en uilisn le corollire, on obien l inéglié suivne x θ x + Ãα + θ m ou d une mnière équivlene A i L τ α + à τα xτ 9 x θ x + + θ m A i L τ α à α + à xτ. τα En uilisn insi le lemme 3 de l nouvelle générlision du lemme de Gronwll-Bellmn e en considérn r= θ x θ A i L τ α, fτ= + à α + Ã. τα

4 On peu vérifier que l inéglié 4 du lemme 3 es bien vérifiée, c es à dire l b l inéglié peu s écrire sous l forme θ x + Ã τ α rs l fs d s > θ A i L τ α où d une mnière équivlene + Ã >, > 3 τα θ τ L x A i α >, >, + Ã τ α + Ã τ α 4 vérifions minenn que l inéglié suivne es bien sisfie θ L x A i Φ >, > 5 où Φ = τ α + Ã τ α. 6 + Ã τ α L inégrle dns 6 peu êre décomposer en une somme de deux inégrles Φ = + τ α + Ã τ α + Ã τ α τ α + Ã τ α 7 + Ã τ α vec < α < e τ τ pour ou τ [, ], on obien τ α + Ã τ α + Ã τ α τ α + Ã τ α 8 + Ã τ α de même, < α < e τ τ pour ou τ [, ], on τ α + Ã τ α + Ã τ α = τ α + Ã τ α + Ã τα + Ã η α d η, 9 + Ã η α η α en subsiun τ pr η. En uilisn les deux relions 8 e 9, l relion 6 peu êre réécrie comme sui τ Φ = α + Ã τ α + Ã τ α = τ α cee dernière es équivlene à 3 + Ã τ α Φ = α Ã. 3 + Ã À prir de l équion 3, on monre que Φ > si > e l relion suivne θ L x A i Φ dns l inéglié 5 es minimle qund end vers l infini. Pr illeurs, l inéglié 5 es sisfie si l é iniil x vérifie l condiion 5. À prir de l équion, on pplique le lemme 3 de l nouvelle générlision du lemme de Gronwll-Bellmn e on obien l inéglié suivne θ x + Ã α x θ L x A i Φ 3 qui vérifie bien l inéglié 6 énoncée dns le héorème. Enfin, on vérifie bien que si le emps end vers l infini, x converge vers zéro, ce qui implique que l soluion du sysème frcionnire es sympoiquemen sble. B. Sbilision pr reour de sorie sique Dns cee secion, on chercher églemen à éudier le problème de l sbilision sympoique pr reour de sorie sique du sysème bilinéire d ordre frcionnire 3. Pour celà, nous supposons que l é du sysème bilinéire d ordre frcionnire es priellemen mesurble e nous considérons oujours le sysème bilinéire frcionnire défini dns 3. Hypohèse : Supposons qu il exise une mrice gin K elle que l relion du corollire soi sisfie c es à dire l mrice A es remplcée pr l mrice A = A + BKC vec β =, e que rgλi A > απ pour ou i =,..., n e A IR n n. Remrque : Il n es ps éviden de déerminer le gin K de l hypohèse dns le cs d un reour de sorie sique, ceci mène rès souven ux problèmes d opimision non convexes ciés dns [8] : il n exise ps de condiions nécessires e suffisnes sur les mrices données A, B e C elles que le gin K sisfi le corollire. Dns l liérure, beucoup d ueurs on conribué e proposé des lois de commnde pr reour de sorie sique sur les sysèmes linéires voir [9], [] e références incluses.

5 L sbilision sympoique du sysème bilinéire frcionnire 3 conrôlé pr un reour de sorie sique es donnée pr le héorème suivn. Théorème 3 : Sous l hypohèse, le sysème 3 conrôlé pr le reour de sorie sique suivn u = Ky 33 es sympoiquemen sble si es seulemen si oues les vleurs propres de l mrix A = A + BKC son à prie réelles négives e si l é iniil x vérifie l relion suivne x < α A θ. 34 KC A i De plus, l é du sysème x es borné en norme comme sui x θ KC x m α A θ x + A α A i + A. 35 Preuve : L preuve du héorème 3 es donnée pr l preuve du héorème en remplçn, respecivemen, à = A + BL e L pr A = A + BKC e KC. V. Exemple numérique Prenons le sysème bilinéire frcionnire insble suivn { D α x = A x + A ux + Bu < α < 36 x = x vec A = [ ], A = [ ], B = [ Pour simplifier, nous consruisons le conrôleur d é linéire ou gin L = [ ] el que rgλ i à απ > e que les vleurs propres de l mrice à = A o +BL soien égles à,. Ainsi, l condiion du héorème én sisfie. On conclu donc que l soluion du sysème bilinéire frcionnire conrôlé pr un reour d é sique es sympoiquemen sble. Les résuls de l simulion son donnés pr l figure vec θ =.5 ; x = [ ] T e <α<. VI. Conclusion Dns ce ricle, on monré que sous cerines condiions déques, on pouvi sbiliser sympoiquemen pr reour d é sique e pr reour de sorie sique le sysème bilinèire frcionnire en uilisn l pproche d une nouvelle générlision du lemme de Gronwll- Bellmn, cee dernière éé prouvée dns l nnexe. Les résuls de simulion on illusré l efficcié de cee pproche e de l méhode de conrôle proposée. ] x α =. α =. α =.3 α =.4 α =.5 α =.6 α =.7 α =.8 α =.9 α = emps [s] Fig.. Sbilision pr reour d é sique du sysème bilinéire frcionnire vec <α< Annexe : Nouvelle générlision du Lemme de Gronwll-Bellmn Lemme Lemme de Gronwll-Bellmn [7] p 9 [5] p 5 Soi f, g e k, foncions inégrbles e définies de IR + IR, g, k, g L, gk es inégrble sur IR +. Si u : IR + IR sisfi u f + g lors u f + g kτuτ, 37 kτfτ exp ksgs d s,. τ 38 Corollire : [8] Soi k : IR + IR, inégrble sur IR + e k e c foncion posiive monoone e décroissne. Si u : IR + IR + sisfi lors u c + u c exp kτuτ, 39 kτ,. 4 Lemme 3 Générlision du lemme de Gronwll-Bellmn Soi, b IR, < b, r > une foncion posiive décroissne, l > un enier, f : [, b] IR + une foncion inégrble elle que, α, β [, b], α < β, on i β α fs d s > x : [, b] IR + une foncion bornée elle qu on i x r + lors, sous l hypohèse suivne l fsxs l d s. 4 rs l fs d s > 4

6 on x l Preuve 3 : L inéglié 4 s écri x r + r. 43 rs l l fs d s fsxs l xs d s en ppliqun le lemme de Gronwll-Bellmn clssique, [6], [7], on obien l inéglié suivne x r exp fsxs l d s 44 ou d une mnière equivlene x l r l exp l fsxs l d s. 45 Muliplions l inéglié précédene pr l f, on obien l fx l l r l f exp l fsxs l d s qui peu s écrire sous l forme l fx l exp l fsxs l d s 46 l r l f 47 en uilisn l primiive de l foncion exponenielle, l inéglié 47 devien d exp l d en inégrn de à, on rouve exp l fsxs l d s l r l f 48 fsxs l d s l rs l fs d s. 49 Noons que l consne d inégrion es égle à lorsqu on choisi =. si l inéglié 4 es vérifiée, on exp l fsxs l d s l Les inégliés 45 e 5 impliquen x l r l l. 5 rs l fs d s rs l fs d s d où x l r. 5 rs l l fs d s Références [] R. Drling nd J. Newmn, On he shor behviour of porous inercion elecrodes, J. of he Elecrochemicl Sociey, vol. 44, pp , 997. [] J. Bgli, L. L. Ly, A. O. J.C. Bsle, nd O. Cois, He flux simion hrough invered non ineger idenificion models, vol. 39, pp ,. [3] C. R. Sermen, Synhèse d un isoleur d ordre non enier fondé sur une rchiecure rborescene d élémens viscoélsiques qusi-ideniques. PhD hesis, Universié Bordeux, Frnce,. [4] O. Cois, A. Ousloup, E. Bgli, nd J. L. Bgli, Non ineger model from modl decomposiion for ime domin sysem idenificion, in Proc. IFAC Symposium on Sysem Idenificion, Sn Brbr, USA,. [5] C. Desoer nd M. Vidysgr, Feedbck Sysems Inpu-Oupu Properies. New York : Elecricl Sciences. Acdemic Press, 975. [6] B. Pchpe, A noe on Gronwll-Bellmn inequliy, J. of Mhemicl Anlysis nd Applicions, vol. 44, pp , 973. [7] M. Vidysgr, Nonliner Sysems Anlysis. Englewood Cliffs, New Jersey : Prenice Hll, nd ed., 993. [8] B. Pchpe, On some generlizions of Bellmn s lemm, J. of Mhemicl Anlysis nd Applicions, vol. 5, pp. 4 5, 975. [9] N. El Almi, Anlyse e Commnde Opimle des Sysèmes Bilinéires Disribués. Applicions ux Procédés Energéiques. PhD hesis, Univesié de Perpignn, Frnce, 986. Docor d E. [] K. Oldhm nd J. Spnier, The Frcionl Clculus : Theory nd Applicion of Differeniion nd Inegrion o Arbirry Order. New York : Acdemic Press, 974. [] S. Ds, Funcionl Frcionl Clculus for Sysem Idenificion nd Conrols. Heidelberg : Springer, 8. [] I. Podlubny, Geomeric nd physicl inerpreion of frcionl inegrion nd frcionl differeniion, Frcionl Clculus & Applied Anlysis, vol. 5, pp ,. [3] A. Kilbs, H. Srivsv, nd J. Trujillo, Theory nd Applicions of Frcionl Differenil Equions, vol. 4 of Norh- Hollnd Mhemics Sudies. Amserdm : Elsevier, 6. [4] I. Podlubny, Frcionl Differenil Equions. New York : Acdemic, 999. [5] X. Wen, Z. Wu, nd J. Lu, Sbiliy nlysis of clss of nonliner frcionl-order sysems, IEEE Trns. Circ. Sys. II : Express Briefs, vol. 55, pp. 78 8, 8. [6] D. Mignon, Sbiliy resuls for frcionl differenil equions wih pplicions o conrol processing, in Proc. IEEE- IMACS Sys. Mn Cyber. Conf., Lille, Frnce, 996. [7] D. Mignon, Recen resuls in frcionl differenil sysems heory, Tech. Rep. 96C4, École Nionle Supérieure des Télécommunicions, Frnce, 996. [8] M. Fu, Pole plcemen vi sic oupu feedbck is NP-hrd, IEEE Trns. Au. Conr., vol. 49, pp , 4. [9] V. Syrmos, C. Abdllh, P. Doro, nd K. Grigoridis, Sic oupu feedbck : survey, Auomic, vol. 33, pp. 5 37, 997. [] L. El Ghoui, F. Ousry, nd M. Aï Rmi, A cone complemenry linerizion lgorihm for sic oupu-feedbck nd reled problems, IEEE Trns. Au. Conr., vol. 4, pp. 7 76, 997.

Planche 2. z ), où γ = 1 µ/σ2 ; ou encore :

Planche 2. z ), où γ = 1 µ/σ2 ; ou encore : Plnche Exercice 1 On considère un mrché nncier de ux d'inérê r e une cion de dynmique risque neure ds = S µd + σdw, S = x Soi une brrière hue ; on considère une opion brrière Up In qui délivre l'cion S

Plus en détail

Exemples de résolutions d équations différentielles

Exemples de résolutions d équations différentielles Exemples de résoluions d équaions différenielles Table des maières 1 Définiions 1 Sans second membre 1.1 Exemple.................................................. 1 3 Avec second membre 3.1 Exemple..................................................

Plus en détail

Les circuits électriques en régime transitoire

Les circuits électriques en régime transitoire Les circuis élecriques en régime ransioire 1 Inroducion 1.1 Définiions 1.1.1 égime saionnaire Un régime saionnaire es caracérisé par des grandeurs indépendanes du emps. Un circui en couran coninu es donc

Plus en détail

TD/TP : Taux d un emprunt (méthode de Newton)

TD/TP : Taux d un emprunt (méthode de Newton) TD/TP : Taux d un emprun (méhode de Newon) 1 On s inéresse à des calculs relaifs à des remboursemens d empruns 1. On noera C 0 la somme emprunée, M la somme remboursée chaque mois (mensualié), le aux mensuel

Plus en détail

Présentation groupe de travail

Présentation groupe de travail Présenaion groupe de ravail Sofiane Saadane jeudi 23 mai 2013 Résumé L aricle sur lequel on ravaille [LP09] présene un problème de bandi à deux bras comporan une pénalié. Nous commencerons par présener

Plus en détail

2. Quelle est la valeur de la prime de l option américaine correspondante? Utilisez pour cela la technique dite de remontée de l arbre.

2. Quelle est la valeur de la prime de l option américaine correspondante? Utilisez pour cela la technique dite de remontée de l arbre. 1 Examen. 1.1 Prime d une opion sur un fuure On considère une opion à 85 jours sur un fuure de nominal 18 francs, e don le prix d exercice es 175 francs. Le aux d inérê (coninu) du marché monéaire es 6%

Plus en détail

Texte Ruine d une compagnie d assurance

Texte Ruine d une compagnie d assurance Page n 1. Texe Ruine d une compagnie d assurance Une nouvelle compagnie d assurance veu enrer sur le marché. Elle souhaie évaluer sa probabilié de faillie en foncion du capial iniial invesi. On suppose

Plus en détail

LASTO Appuis élastomère

LASTO Appuis élastomère LASTO Appuis élsomère LASTO BLOCK F Appuis de déformion non-rmés Swizerlnd www.mgeb.ch Chmps d pplicion e specs imporns Chmps d pplicion LASTO BLOCK F es un ppui de déformion non-rmé en élsomère qui es

Plus en détail

Modèles de dimensionnement et de planification dans un centre d appels

Modèles de dimensionnement et de planification dans un centre d appels Modèles de dimensionnemen e de plnificion dns un cenre d ppels Rbie Ni-Abdllh To cie his version: Rbie Ni-Abdllh. Modèles de dimensionnemen e de plnificion dns un cenre d ppels. Engineering Sciences. Ecole

Plus en détail

Systèmes séquentiels - Fonction Mémoire

Systèmes séquentiels - Fonction Mémoire Cours - ysèes séqueniels - Foncion Méoire Pge /8 ysèes séqueniels - Foncion Méoire ) EPEENTATION PA UN CONOGAMME...3 2) OBTENTION D UN EFFET MEMOIE PA AUTO-MAINTIEN....3 2) CAIE DE CAGE DE DIFFEENTE MEMOIE...

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mthémtiques nnée 2009-2010 Chpitre 2 Le prolème de l unicité des solutions 1 Le prolème et quelques réponses : 1.1 Un exemple Montrer que l éqution différentielle :

Plus en détail

TD 20-21 : Modèles de marchés - Mouvement brownien

TD 20-21 : Modèles de marchés - Mouvement brownien Universié Paris VI Maser : Modèles sochasiques, applicaions à la finance (MM065) TD 20-2 : Modèles de marchés - Mouvemen brownien. Taux de change. Soi (Ω, P(Ω), P) un espace probabilisé fini non redondan

Plus en détail

Electronique numérique

Electronique numérique Lycée Louis ARMAND : 45 4 8 8 73 Bd de Srsourg : 48 73 63 5 Elecronique numérique Éude, dpion e concepion De circuis de commnde en echnologie numérique câlée Ojecif Réliser un circui de commnde en echnologie

Plus en détail

Réponse indicielle et impulsionnelle d un système linéaire

Réponse indicielle et impulsionnelle d un système linéaire PSI Brizeux Ch. E2: Réponse indicielle e impulsionnelle d un sysème linéaire 18 CHAPITRE E2 Réponse indicielle e impulsionnelle d un sysème linéaire Nous connaissons ou l inérê de l éude de la réponse

Plus en détail

Théorème de Lax Milgram Application au problème de Dirichlet pour l équation de Sturm Liouville

Théorème de Lax Milgram Application au problème de Dirichlet pour l équation de Sturm Liouville Théorème de Lx Milgrm Appliction u problème de Dirichlet pour l éqution de Sturm Liouville Résumé du cours de MEDP Mîtrise de mthémtiques 2000 2001 2001nov18 (medp-lx-milgrm.tex) Dns ce chpitre, on se

Plus en détail

Finance 1 Université d Evry Val d Essonne. Séance 2. Philippe PRIAULET

Finance 1 Université d Evry Val d Essonne. Séance 2. Philippe PRIAULET Finance 1 Universié d Evry Val d Essonne éance 2 Philippe PRIAULET Plan du cours Les opions Définiion e Caracérisiques Terminologie, convenion e coaion Les différens payoffs Le levier implicie Exemple

Plus en détail

La rentabilité des investissements

La rentabilité des investissements La renabilié des invesissemens Inroducion Difficulé d évaluer des invesissemens TI : problème de l idenificaion des bénéfices, des coûs (absence de saisiques empiriques) problème des bénéfices Inangibles

Plus en détail

Le mode de fonctionnement des régimes en annuités. Secrétariat général du Conseil d orientation des retraites

Le mode de fonctionnement des régimes en annuités. Secrétariat général du Conseil d orientation des retraites CONSEIL D ORIENTATION DES RETRAITES Séance plénière du 28 janvier 2009 9 h 30 «Les différens modes d acquisiion des drois à la reraie en répariion : descripion e analyse comparaive des echniques uilisées»

Plus en détail

MATHEMATIQUES FINANCIERES

MATHEMATIQUES FINANCIERES MATHEMATIQUES FINANCIERES LES ANNUITES INTRODUCTION : Exemple 1 : Une personne veu acquérir une maison pour 60000000 DH, pour cela, elle place annuellemen au CIH une de 5000000 DH. Bu : Consiuer un capial

Plus en détail

Thème : Electricité Fiche 5 : Dipôle RC et dipôle RL

Thème : Electricité Fiche 5 : Dipôle RC et dipôle RL Fiche ors Thème : Elecricié Fiche 5 : Dipôle e dipôle Plan de la fiche Définiions ègles 3 Méhodologie I - Définiions oran élecriqe : déplacemen de charges élecriqes q a mesre d débi de charges donne l

Plus en détail

Intégrales généralisées

Intégrales généralisées 3 Iégrles géérlisées Pour ce chpire, les focios cosidérées so priori défiies sur u iervlle réel I o rédui à u poi, à vleurs réelles ou complees e coiues pr morceu. L défiiio e les propriéés de l iégrle

Plus en détail

CHAPITRE I : Cinématique du point matériel

CHAPITRE I : Cinématique du point matériel I. 1 CHAPITRE I : Cinémaique du poin maériel I.1 : Inroducion La plupar des objes éudiés par les physiciens son en mouvemen : depuis les paricules élémenaires elles que les élecrons, les proons e les neurons

Plus en détail

Oscillations forcées en régime sinusoïdal.

Oscillations forcées en régime sinusoïdal. Conrôle des prérequis : Oscillaions forcées en régime sinusoïdal. - a- Rappeler l expression de la période en foncion de la pulsaion b- Donner l expression de la période propre d un circui RLC série -

Plus en détail

Synthèse de cours (Terminale S) Calcul intégral

Synthèse de cours (Terminale S) Calcul intégral Synthèse de cours (Terminle S) Clcul intégrl Intégrle d une onction continue positive sur un intervlle [;] Dns cette première prtie, on considère une onction continue positive sur un intervlle [ ; ] (

Plus en détail

Exercices de baccalauréat série S sur la loi exponentielle

Exercices de baccalauréat série S sur la loi exponentielle Eercices de baccalauréa série S sur la loi eponenielle (page de l énoncé/page du corrigé) La compagnie d'auocars (Bac série S, cenres érangers, 23) (2/) Durée de vie d'un composan élecronique (Bac série

Plus en détail

Cours d électrocinétique :

Cours d électrocinétique : Universié de Franche-Comé UFR des Sciences e Techniques STARTER 005-006 Cours d élecrocinéique : Régimes coninu e ransioire Elecrocinéique en régimes coninu e ransioire 1. INTRODUCTION 5 1.1. DÉFINITIONS

Plus en détail

Etude de risque pour un portefeuille d assurance récolte

Etude de risque pour un portefeuille d assurance récolte Eude de risque pour un porefeuille d assurance récole Hervé ODJO GROUPAMA Direcion ACTUARIAT Groupe 2, Bd Malesherbes 75008 Paris Tél : 33 (0 44 56 72 46 herve.odjo@groupama.com Viviane RITZ GROUPAMA Direcion

Plus en détail

VA(1+r) = C 1. VA = C 1 v 1

VA(1+r) = C 1. VA = C 1 v 1 Universié Libre de Bruxelles Solvay Business School La valeur acuelle André Farber Novembre 2005. Inroducion Supposons d abord que le emps soi limié à une période e que les cash flows fuurs (les flux monéaires)

Plus en détail

Recueil d'exercices de logique séquentielle

Recueil d'exercices de logique séquentielle Recueil d'exercices de logique séquenielle Les bascules: / : Bascule JK Bascule D. Expliquez commen on peu modifier une bascule JK pour obenir une bascule D. 2/ Eude d un circui D Q Q Sorie A l aide d

Plus en détail

CARACTERISTIQUES STATIQUES D'UN SYSTEME

CARACTERISTIQUES STATIQUES D'UN SYSTEME CARACTERISTIQUES STATIQUES D'UN SYSTEE 1 SYSTEE STABLE, SYSTEE INSTABLE 1.1 Exemple 1: Soi un sysème composé d une cuve pour laquelle l écoulemen (perurbaion) es naurel au ravers d une vanne d ouverure

Plus en détail

Caractéristiques des signaux électriques

Caractéristiques des signaux électriques Sie Inerne : www.gecif.ne Discipline : Génie Elecrique Caracérisiques des signaux élecriques Sommaire I Définiion d un signal analogique page 1 II Caracérisiques d un signal analogique page 2 II 1 Forme

Plus en détail

Le modèle de Black Scholes

Le modèle de Black Scholes Le modèle de Black Scholes Philippe Briand, Mars 3 1. Présenaion du modèle Les mahémaiciens on depuis longemps essayé de résoudre les quesions soulevées par le monde de la finance. Une des caracérisiques

Plus en détail

pouvant être utilisé pour représenter les nombres. Par convention, la base dans laquelle le nombre est exprimé se

pouvant être utilisé pour représenter les nombres. Par convention, la base dans laquelle le nombre est exprimé se psi--a-uomiquesysèmes ominoires- J.Kuhler V4.- CIENCE INDUTRIEE POUR INGÉNIEUR CI-8 pge /8. Auomique A. ysèmes ominoires PCII oopp ioonn II Codge de l informion. Opéreurs logiques fondmenux. Fonions logiques.

Plus en détail

ANNEXES. André de Palma et Cédric Fontan. Thema Transport & Réseaux. Le 26 octobre 2000

ANNEXES. André de Palma et Cédric Fontan. Thema Transport & Réseaux. Le 26 octobre 2000 Enquêe MADDIF : Mulimoif Adpée à l Dynmique des comporemens de Déplcemen en Ile-de-Frnce ANNEXES André de Plm e Cédric Fonn Them Trnspor & Réseux Le 26 ocobre 2000 Lere de commnde N 99MT20 DRAST Minisère

Plus en détail

Intégration de la valeur actuelle nette (VAN), de la valeur économique ajoutée (VÉA) et des flux monétaires libérés (FML)

Intégration de la valeur actuelle nette (VAN), de la valeur économique ajoutée (VÉA) et des flux monétaires libérés (FML) Inégion de l vleu cuelle nee (VAN, de l vleu économique jouée (VÉA e des flux monéies libéés ( D Jcques Sin-iee Dieceu ofesseu iulie Dépemen de Finnce e Assunce Fculé des sciences de l dminision villon

Plus en détail

THÈSE. Pour l obtention du grade de Docteur de l Université de Paris I Panthéon-Sorbonne Discipline : Sciences Économiques

THÈSE. Pour l obtention du grade de Docteur de l Université de Paris I Panthéon-Sorbonne Discipline : Sciences Économiques Universié de Paris I Panhéon Sorbonne U.F.R. de Sciences Économiques Année 2011 Numéro aribué par la bibliohèque 2 0 1 1 P A 0 1 0 0 5 7 THÈSE Pour l obenion du grade de Doceur de l Universié de Paris

Plus en détail

Théorème de Poincaré - Formule de Green-Riemann

Théorème de Poincaré - Formule de Green-Riemann Chpitre 11 Théorème de Poincré - Formule de Green-Riemnn Ce chpitre s inscrit dns l continuité du précédent. On vu à l proposition 1.16 que les formes différentielles sont bien plus grébles à mnipuler

Plus en détail

Files d attente (1) F. Sur - ENSMN. Introduction. 1 Introduction. Vocabulaire Caractéristiques Notations de Kendall Loi de Little.

Files d attente (1) F. Sur - ENSMN. Introduction. 1 Introduction. Vocabulaire Caractéristiques Notations de Kendall Loi de Little. Cours de Tronc Commun Scienifique Recherche Opéraionnelle Les files d aene () Les files d aene () Frédéric Sur École des Mines de Nancy www.loria.fr/ sur/enseignemen/ro/ 5 /8 /8 Exemples de files d aene

Plus en détail

TP Mesures de la vitesse du son

TP Mesures de la vitesse du son TP Mesures de la viesse du son Bu du TP. Lors de cee séance de ravaux praiques, l éudian es amené à mesurer la viesse de propagaion du son dans l air e dans l eau. 1 Inroducion Qu es-ce qu un son? Un son

Plus en détail

Comparaison des composantes de la croissance de la productivité : Belgique, Allemagne, France et Pays-Bas 1996-2007

Comparaison des composantes de la croissance de la productivité : Belgique, Allemagne, France et Pays-Bas 1996-2007 Bureau fédéral du Plan Avenue des Ars 47-49, 1000 Bruxelles hp://www.plan.be WORKING PAPER 18-10 Comparaison des composanes de la croissance de la producivié : Belgique, Allemagne, France e Pays-Bas 1996-2007

Plus en détail

Ecole Normale Supérieure de Cachan 61 avenue du président Wilson 94230 CACHAN. Concours d admission en 3 ème année Informatique.

Ecole Normale Supérieure de Cachan 61 avenue du président Wilson 94230 CACHAN. Concours d admission en 3 ème année Informatique. C39211 Ecole Normle Supérieure de Cchn 61 venue du président Wilson 94230 CACHAN Concours d dmission en 3 ème nnée Informtique Session 2009 INFORMATIQUE 1 Durée : 5 heures «Aucun document n est utorisé»

Plus en détail

ESTIMER LA PRÉCISION DES MESURES

ESTIMER LA PRÉCISION DES MESURES ESTIMER LA PRÉCISION DES MESURES I. Précision d'une mesure directe Une mesure directe est une mesure lue sur un ppreil de mesure. Le résultt d'une mesure directe n'est jmis connu de fçon prfitement excte.

Plus en détail

Exercices corrigés 9325 = 2 4662 + 1 4662 = 2 2331 + 0 2331 = 2 1165 + 1

Exercices corrigés 9325 = 2 4662 + 1 4662 = 2 2331 + 0 2331 = 2 1165 + 1 Grenoble INP Pgor 1ère nnée Exercices corrigés Anlyse numérique NB : Les exercices corrigés ici sont les exercices proposés durnt les sénces de cours. Les corrections données sont des corrections plus

Plus en détail

Relation entre la Volatilité Implicite et la Volatilité Réalisée.

Relation entre la Volatilité Implicite et la Volatilité Réalisée. Relaion enre la Volailié Implicie e la Volailié Réalisée. Le cas des séries avec la coinégraion fracionnaire. Rappor de Recherche Présené par : Mario Vázquez Velasco Direceur de Recherche : Benoî Perron

Plus en détail

Etude et Conception Assistée par Ordinateur d un Système de Réfrigération par Voie Solaire

Etude et Conception Assistée par Ordinateur d un Système de Réfrigération par Voie Solaire Rev. Energ. Ren. : Journées de hermue (200) 25-30 Eude e Concepon sssée pr Ordneur d un Sysème de Réfrgéron pr Voe Solre M. Belrb, F. Benyrou e B. Benyoucef Lborore des Méru e Energes Renouvelbles, Fculé

Plus en détail

F 2 = - T p K 0. ... F T = - T p K 0 - K 0

F 2 = - T p K 0. ... F T = - T p K 0 - K 0 Correcion de l exercice 2 de l assisana pré-quiz final du cours Gesion financière : «chéancier e aux de renabilié inerne d empruns à long erme» Quesion : rappeler la formule donnan les flux à chaque échéance

Plus en détail

Fonction dont la variable est borne d intégration

Fonction dont la variable est borne d intégration [hp://mp.cpgedpydelome.fr] édié le 1 jille 14 Enoncés 1 Foncion don la variable es borne d inégraion Eercice 1 [ 1987 ] [correcion] Soi f : R R ne foncion conine. Jsifier qe les foncions g : R R sivanes

Plus en détail

Rappels théoriques. -TP- Modulations digitales ASK - FSK. Première partie 1 INTRODUCTION

Rappels théoriques. -TP- Modulations digitales ASK - FSK. Première partie 1 INTRODUCTION 2 IUT Blois Déparemen GTR J.M. Giraul, O. Bou Maar, D. Ceron M. Richard, P. Sevesre e M. Leberre. -TP- Modulaions digiales ASK - FSK IUT Blois Déparemen du Génie des Télécommunicaions e des Réseaux. Le

Plus en détail

Calcul Stochastique 2 Annie Millet

Calcul Stochastique 2 Annie Millet M - Mahémaiques Appliquées à l Économie e à la Finance Universié Paris 1 Spécialié : Modélisaion e Méhodes Mahémaiques en Économie e Finance Calcul Sochasique Annie Mille 15 14 13 1 11 1 9 8 7 6 5 4 3

Plus en détail

Correction de l épreuve CCP 2001 PSI Maths 2 PREMIÈRE PARTIE ) (

Correction de l épreuve CCP 2001 PSI Maths 2 PREMIÈRE PARTIE ) ( Correction de l épreuve CCP PSI Mths PREMIÈRE PARTIE I- Soit t u voisinge de, t Alors ϕt t s = ϕt ρt s ρs Pr hypothèse, l fonction ϕt ϕt est lorsque t, il en est donc de même de ρt s ρt s ρs cr ρ s est

Plus en détail

Tout ce qu il faut savoir en math

Tout ce qu il faut savoir en math Tout ce qu il fut svoir en mth 1 Pourcentge Prendre un pourcentge t % d un quntité : t Clculer le pourcentge d une quntité pr rpport à une quntité b : Le coefficient multiplicteur CM pour une ugmenttion

Plus en détail

LICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE. Unité d enseignement LCMA 4U11 ANALYSE 3. Françoise GEANDIER

LICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE. Unité d enseignement LCMA 4U11 ANALYSE 3. Françoise GEANDIER LICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE Unité d enseignement LCMA 4U ANALYSE 3 Frnçoise GEANDIER Université Henri Poincré Nncy I Déprtement de Mthémtiques . Tble des mtières I Séries numériques. Séries

Plus en détail

COMMANDE D UNE PORTE DE GARAGE COLLECTIF

COMMANDE D UNE PORTE DE GARAGE COLLECTIF COMMANDE D UNE PORTE DE GARAGE COLLECTIF Les quesions raiées devron êre soigneusemen numéroées e le documen-réponse fourni devra êre compléé selon les indicaions de l énoncé. Il es vivemen conseillé de

Plus en détail

Relations binaires. Table des matières. Marc SAGE. 18 octobre 2007. 1 Amuse gueule 2. 2 Combinatoire dans les quotients 2. 3 Problème d extréma 3

Relations binaires. Table des matières. Marc SAGE. 18 octobre 2007. 1 Amuse gueule 2. 2 Combinatoire dans les quotients 2. 3 Problème d extréma 3 Reltions binires Mrc SAGE 8 octobre 007 Tble des mtières Amuse gueule Combintoire dns les quotients 3 Problème d extrém 3 4 Un théorème de point xe 3 5 Sur l conjugisons dns R 3 6 Sur les corps totlement

Plus en détail

Sommaire de la séquence 12

Sommaire de la séquence 12 Sommaire de la séquence 12 Séance 1........................................................................................................ Je prends un bon dépar.......................................................................................

Plus en détail

COURS D ANALYSE. Licence d Informatique, première. Laurent Michel

COURS D ANALYSE. Licence d Informatique, première. Laurent Michel COURS D ANALYSE Licence d Informtique, première nnée Lurent Michel Printemps 2010 2 Tble des mtières 1 Éléments de logique 5 1.1 Fbriquer des énoncés........................ 5 1.1.1 Enoncés élémentires.....................

Plus en détail

SYSTÈME HYBRIDE SOLAIRE THERMODYNAMIQUE POUR L EAU CHAUDE SANITAIRE

SYSTÈME HYBRIDE SOLAIRE THERMODYNAMIQUE POUR L EAU CHAUDE SANITAIRE SYSTÈME HYBRIDE SOLAIRE THERMODYNAMIQUE POUR L EAU CHAUDE SANITAIRE Le seul ballon hybride solaire-hermodynamique cerifié NF Elecricié Performance Ballon hermodynamique 223 lires inox 316L Plaque évaporarice

Plus en détail

Analyse par intervalles pour la localisation et la cartographie simultanées; Application à la robotique sous-marine.

Analyse par intervalles pour la localisation et la cartographie simultanées; Application à la robotique sous-marine. Analyse par inervalles pour la localisaion e la carographie simulanées; Applicaion à la roboique sous-marine Fabrice LE BARS Analyse par inervalles pour la localisaion e la carographie simulanées; Thèse

Plus en détail

fnstallationétectrique W

fnstallationétectrique W Sommire du chpire fnsllionéecrique W Vous rouverez dns ce chpire des indicions concernn l'insllion élecrique de vore crvne. Les indicions concernen en priculier:. l sécurié. l'explicion de ermes echniques

Plus en détail

UN MODÈLE D ÉVALUATION DES COÛTS AGRÉGÉS LIÉS AUX ASSURANCES POUR LES PROFESSIONNELS DE LA SANTÉ

UN MODÈLE D ÉVALUATION DES COÛTS AGRÉGÉS LIÉS AUX ASSURANCES POUR LES PROFESSIONNELS DE LA SANTÉ UN MODÈLE D ÉVALUATION DES COÛTS AGRÉGÉS LIÉS AUX ASSURANCES POUR LES PROFESSIONNELS DE LA SANTÉ Mémoire Emmanuel Hamel Maîrise en acuaria Maîres ès sciences (M.Sc.) Québec, Canada Emmanuel Hamel, 03 Résumé

Plus en détail

MODELES DE LA COURBE DES TAUX D INTERET. UNIVERSITE d EVRY Séance 4. Philippe PRIAULET

MODELES DE LA COURBE DES TAUX D INTERET. UNIVERSITE d EVRY Séance 4. Philippe PRIAULET MODELES DE LA COURBE DES AUX D INERE UNIVERSIE d EVRY Séance 4 Philippe PRIAULE Plan de la Séance Les modèles sochasiques de déformaion de la courbe des aux: Approche déaillée Le modèle de Black: référence

Plus en détail

Licence M.A.S.S. Cours d Analyse S4

Licence M.A.S.S. Cours d Analyse S4 Université Pris I, Pnthéon - Sorbonne Licence MASS Cours d Anlyse S4 Jen-Mrc Brdet (Université Pris 1, SAMM) UFR 27 et Equipe SAMM (Sttistique, Anlyse et Modélistion Multidisiplinire) Université Pnthéon-Sorbonne,

Plus en détail

Une mesure financière de l importance de la prime de risque de change dans la prime de risque boursière*

Une mesure financière de l importance de la prime de risque de change dans la prime de risque boursière* Une mesure financière de l imporance de la prime de risque de change dans la prime de risque boursière* Salem Boubakri Janvier 2009 Résumé Cee éude ese une exension inernaionale du Modèle d Evaluaion des

Plus en détail

4. Principe de la modélisation des séries temporelles

4. Principe de la modélisation des séries temporelles 4. Principe de la modélisaion des séries emporelles Nous raierons ici, à ire d exemple, la modélisaion des liens enre la polluion amosphérique e les indicaeurs de sané. Mais les méhodes indiquées, comme

Plus en détail

semestre 3 des Licences MISM annnée universitaire 2004-2005

semestre 3 des Licences MISM annnée universitaire 2004-2005 MATHÉMATIQUES 3 semestre 3 des Licences MISM nnnée universitire 24-25 Driss BOULARAS 2 Tble des mtières Rppels 5. Ensembles et opértions sur les ensembles.................. 5.. Prties d un ensemble.........................

Plus en détail

Solutions auto-semblables pour des modèles avec conductivité thermique

Solutions auto-semblables pour des modèles avec conductivité thermique Soluions auo-semblables pour des modèles avec conducivié hermique Séphane DELLACHERIE e Olivier LAFITTE CRM-327 5 décembre 25 Cenre de Recherches Mahémaiques, Universié de Monréal, Case posale 628, Succursale

Plus en détail

Pression de fonctionnement maxi Température C Débit à 6 bar avec p=1 (Nl/min) 10-5 +50 1500 9 10-5 +50 1500 9 10-5 +50 1500 9

Pression de fonctionnement maxi Température C Débit à 6 bar avec p=1 (Nl/min) 10-5 +50 1500 9 10-5 +50 1500 9 10-5 +50 1500 9 Disribueur 5/ Tille 6 mm LINE Série 600 Pneumique - ressor 61.5.00.19 Poids gr.35 Pression minimum de piloge br Pour l coe "A" oir l réérence de commnde Tille Serie Disribueur Pneumique 600_FR_01 mm 5/

Plus en détail

Chapitre 2 L investissement. . Les principales caractéristiques de l investissement

Chapitre 2 L investissement. . Les principales caractéristiques de l investissement Chapire 2 L invesissemen. Les principales caracérisiques de l invesissemen.. Définiion de l invesissemen Définiion générale : ensemble des B&S acheés par les agens économiques au cours d une période donnée

Plus en détail

Filtrage optimal. par Mohamed NAJIM Professeur à l École nationale supérieure d électronique et de radioélectricité de Bordeaux (ENSERB)

Filtrage optimal. par Mohamed NAJIM Professeur à l École nationale supérieure d électronique et de radioélectricité de Bordeaux (ENSERB) Filrage opimal par Mohamed NAJIM Professeur à l École naionale supérieure d élecronique e de radioélecricié de Bordeaux (ENSERB) Filre adapé Définiions Filre adapé dans le cas de brui blanc 3 3 Cas d un

Plus en détail

Intégration de Net2 avec un système d alarme intrusion

Intégration de Net2 avec un système d alarme intrusion Ne2 AN35-F Inégraion de Ne2 avec un sysème d alarme inrusion Vue d'ensemble En uilisan l'inégraion d'alarme Ne2, Ne2 surveillera si l'alarme inrusion es armée ou désarmée. Si l'alarme es armée, Ne2 permera

Plus en détail

TB 352 TB 352. Entrée 1. Entrée 2

TB 352 TB 352. Entrée 1. Entrée 2 enrées série TB logiciel d applicaion 2 enrées à émission périodique famille : Inpu ype : Binary inpu, 2-fold TB 352 Environnemen Bouon-poussoir TB 352 Enrée 1 sories 230 V Inerrupeur Enrée 2 Câblage sur

Plus en détail

Romain Burgot & Tchim Silué. Synthèse de l article : Note sur l évaluation de l option de remboursement anticipé

Romain Burgot & Tchim Silué. Synthèse de l article : Note sur l évaluation de l option de remboursement anticipé ENSAE 3 eme année Romain Burgo & Tchim Silué Synhèse de l aricle : Noe sur l évaluaion de l opion de remboursemen anicipé Mémoire de gesion ALM Juin 2006 Résumé Depuis 1979, la loi offre à l empruneur

Plus en détail

Documentation Technique de Référence Chapitre 8 Trames types Article 8.14-1

Documentation Technique de Référence Chapitre 8 Trames types Article 8.14-1 Documenaion Technique de Référence Chapire 8 Trames ypes Aricle 8.14-1 Trame de Rappor de conrôle de conformié des performances d une insallaion de producion Documen valide pour la période du 18 novembre

Plus en détail

Méthodes financières et allocation d actifs en assurance

Méthodes financières et allocation d actifs en assurance Méhodes financières e allocaion d acifs en assurance - Norber GAURON (JWA Acuaires, Paris) - Frédéric PLANCHE (Universié Lyon, Laboraoire SAF) - Pierre HEROND (JWA Acuaires, Lyon) 2005. (WP 2025) Laboraoire

Plus en détail

GLMA201 - ALGÈBRE LINÉAIRE ET ANALYSE 2-2013-2014 CONTRÔLE CONTINU 2

GLMA201 - ALGÈBRE LINÉAIRE ET ANALYSE 2-2013-2014 CONTRÔLE CONTINU 2 GLMA -4 GLMA - ALGÈBRE LINÉAIRE ET ANALYSE - -4 CONTRÔLE CONTINU Durée : h Tout doument ou lultrie est interdit Il ser tenu ompte de l lrté et de l préision de l rédtion Il est importnt de justifier hune

Plus en détail

ANALYSE NUMERIQUE NON-LINEAIRE

ANALYSE NUMERIQUE NON-LINEAIRE Université de Metz Licence de Mthémtiques - 3ème nnée 1er semestre ANALYSE NUMERIQUE NON-LINEAIRE pr Rlph Chill Lbortoire de Mthémtiques et Applictions de Metz Année 010/11 1 Tble des mtières Chpitre

Plus en détail

Pouvoir de marché et transmission asymétrique des prix sur les marchés de produits vivriers au Bénin

Pouvoir de marché et transmission asymétrique des prix sur les marchés de produits vivriers au Bénin C N R S U N I V E R S I T E D A U V E R G N E F A C U L T E D E S S C I E N C E S E C O N O M I Q U E S E T D E G E S T I O N CENTRE D ETUDES ET DE RECHERCHES SUR LE DEVELOPPEMENT INTER NATIONAL Pouvoir

Plus en détail

Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire

Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la Programmation Linéaire. 5 . Introduction Un programme linéaire s'écrit sous la forme suivante. MinZ(ou maxw) =

Plus en détail

Université Joseph Fourier MAT231 2008-2009

Université Joseph Fourier MAT231 2008-2009 Université Joseph Fourier MAT231 2008-2009 mat231-exo-03.tex (29 septembre 2008) Feuille d exercices n o 3 Exercice 3.1 Soit K un corps commutatif et soit {P 0, P 1,... P n } une famille de polynômes de

Plus en détail

La logique séquentielle

La logique séquentielle La logique séquenielle Logseq 1) ifférence enre sysèmes combinaoires e sysèmes séqueniels. Un sysème combinaoire es el que l'éa de ses sories ne dépende que de l'éa des enrées. Il peu donc êre représené

Plus en détail

Module 2 : Déterminant d une matrice

Module 2 : Déterminant d une matrice L Mth Stt Module les déterminnts M Module : Déterminnt d une mtrice Unité : Déterminnt d une mtrice x Soit une mtrice lignes et colonnes (,) c b d Pr définition, son déterminnt est le nombre réel noté

Plus en détail

Diagnostic à base de modèle : application à un moteur diesel suralimenté à injection directe

Diagnostic à base de modèle : application à un moteur diesel suralimenté à injection directe Insiu Naional olyechnique de Lorraine enre de Recherche en Auomaique de Nancy École docorale IAEM Lorraine Déparemen de Formaion Docorale en Auomaique Diagnosic à base de modèle : applicaion à un moeur

Plus en détail

3 POLITIQUE D'ÉPARGNE

3 POLITIQUE D'ÉPARGNE 3 POLITIQUE D'ÉPARGNE 3. L épargne exogène e l'inefficience dynamique 3. Le modèle de Ramsey 3.3 L épargne opimale dans le modèle AK L'épargne des sociéés dépend largemen des goûs des agens, de faceurs

Plus en détail

Université Paris-Dauphine DUMI2E. UFR Mathématiques de la décision. Notes de cours. Analyse 2. Filippo SANTAMBROGIO

Université Paris-Dauphine DUMI2E. UFR Mathématiques de la décision. Notes de cours. Analyse 2. Filippo SANTAMBROGIO Université Pris-Duphine DUMI2E UFR Mthémtiques de l décision Notes de cours Anlyse 2 Filippo SANTAMBROGIO Année 2008 2 Tble des mtières 1 Optimistion de fonctions continues et dérivbles 5 1.1 Continuité........................................

Plus en détail

2009-01 EFFICIENCE INFORMATIONNELLE DES 1948-2008 UNE VERIFICATION ECONOMETRIQUE MARCHES DE L OR A PARIS ET A LONDRES, DE LA FORME FAIBLE

2009-01 EFFICIENCE INFORMATIONNELLE DES 1948-2008 UNE VERIFICATION ECONOMETRIQUE MARCHES DE L OR A PARIS ET A LONDRES, DE LA FORME FAIBLE 009-01 EFFICIENCE INFORMATIONNELLE DES MARCHES DE L OR A PARIS ET A LONDRES, 1948-008 UNE VERIFICATION ECONOMETRIQUE DE LA FORME FAIBLE Thi Hong Van HOANG Efficience informaionnelle des marchés de l or

Plus en détail

TRAVAUX PRATIQUES N 5 INSTALLATION ELECTRIQUE DE LA CAGE D'ESCALIER DU BATIMENT A

TRAVAUX PRATIQUES N 5 INSTALLATION ELECTRIQUE DE LA CAGE D'ESCALIER DU BATIMENT A UIMBERTEAU UIMBERTEAU TRAVAUX PRATIQUES 5 ISTALLATIO ELECTRIQUE DE LA CAE D'ESCALIER DU BATIMET A ELECTROTECHIQUE Seconde B.E.P. méiers de l'elecroechnique ELECTROTECHIQUE HABITAT Ver.. UIMBERTEAU TRAVAUX

Plus en détail

AMPLIFICATEUR OPERATIONNEL EN REGIME NON LINEAIRE

AMPLIFICATEUR OPERATIONNEL EN REGIME NON LINEAIRE AMPLIFICATEUR OPERATIONNEL EN REGIME NON LINEAIRE Dans e hapire l'amplifiaeur différeniel inégré sera oujours onsidéré omme parfai, mais la ension de sorie ne pourra prendre que deux valeurs : V sa e V

Plus en détail

Introduction aux produits dérivés

Introduction aux produits dérivés Chapire 1 Inroducion aux produis dérivés de crédi Le risque de crédi signifie les risques financiers liés aux incapaciés d un agen (un pariculier, une enreprise ou un éa souverain) de payer un engagemen

Plus en détail

GBF et Oscilloscope. 1. «un seul bouton à la fois tu manipuleras»; 2. «aux boutons inconnus tu ne toucheras». I) Première approche

GBF et Oscilloscope. 1. «un seul bouton à la fois tu manipuleras»; 2. «aux boutons inconnus tu ne toucheras». I) Première approche e Oscilloscope objecif de ce TP es d apprendre à uiliser, ie. à régler, deux des appareils les plus courammen uilisés : le e l oscilloscope. Pour cela vous serez amené(e) à uiliser e à associer de nouveaux

Plus en détail

Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies

Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies Chapitre 6 Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies Nous allons maintenant revenir sur les espaces L p du Chapitre 4, à la lumière de certains résultats du Chapitre 5. Sauf mention

Plus en détail

Article. «Les effets à long terme des fonds de pension» Pascal Belan, Philippe Michel et Bertrand Wigniolle

Article. «Les effets à long terme des fonds de pension» Pascal Belan, Philippe Michel et Bertrand Wigniolle Aricle «Les effes à long erme des fonds de pension» Pascal Belan, Philippe Michel e Berrand Wigniolle L'Acualié économique, vol 79, n 4, 003, p 457-480 Pour cier ce aricle, uiliser l'informaion suivane

Plus en détail

Sur les Obligations Convertibles à Option Retardée de Remboursement Anticipé au Gré de l Émetteur 1

Sur les Obligations Convertibles à Option Retardée de Remboursement Anticipé au Gré de l Émetteur 1 ur les Obligaions Converibles à Opion Reardée de Remboursemen Anicipé au Gré de l Émeeur F. ANDRE-LE POGAMP F. MORAUX florence.andre@univ-rennes.fr franck.moraux@univ-rennes.fr Universié de Rennes I-IGR

Plus en détail

DOCTEUR EN SCIENCES ECONOMIQUES

DOCTEUR EN SCIENCES ECONOMIQUES UNIVERSITE PARIS XII VAL-DE-MARNE U.F.R DE SCIENCES ECONOMIQUES ET DE GESTION THESE pour obenir le grade de DOCTEUR EN SCIENCES ECONOMIQUES présenée e souenue publiquemen par Walid ABDMOULAH le 8 mars

Plus en détail

Documents de Travail du Centre d Economie de la Sorbonne

Documents de Travail du Centre d Economie de la Sorbonne Documens de Travail du Cenre d Economie de la Sorbonne D un muliple condiionnel en assurance de porefeuille : CAViaR pour les gesionnaires? Benjamin HAMIDI, Emmanuel JURCZENKO, Berrand MAILLET 2009.33

Plus en détail

Mathématiques financières. Peter Tankov

Mathématiques financières. Peter Tankov Mahémaiques financières Peer ankov Maser ISIFAR Ediion 13-14 Preface Objecifs du cours L obje de ce cours es la modélisaion financière en emps coninu. L objecif es d un coé de comprendre les bases de

Plus en détail

L ajustement microéconomique des prix des carburants en France

L ajustement microéconomique des prix des carburants en France L ajusemen microéconomique des prix des carburans en France Erwan GAUTIER (LEMNA-TEPP, Universié de Nanes e Banque de France. Email : erwan.gauier@univ-nanes.fr) Ronan LE SAOUT (CREST e Ecole Polyechnique)

Plus en détail

Mathématiques assistées par ordinateur

Mathématiques assistées par ordinateur Mathématiques assistées par ordinateur Chapitre 4 : Racines des polynômes réels et complexes Michael Eisermann Mat249, DLST L2S4, Année 2008-2009 www-fourier.ujf-grenoble.fr/ eiserm/cours # mao Document

Plus en détail

Règle de Taylor dans le cadre du Ciblage d inflation: Cas de la Nouvelle Zélande

Règle de Taylor dans le cadre du Ciblage d inflation: Cas de la Nouvelle Zélande Règle de Taylor dans le cadre du Ciblage d inflaion: Cas de la Nouvelle Zélande Résumé : La nouvelle Zélande es le pays ayan la plus grande expérience en poliique du ciblage d inflaion. Cee poliique a

Plus en détail

CANAUX DE TRANSMISSION BRUITES

CANAUX DE TRANSMISSION BRUITES Canaux de ransmissions bruiés Ocobre 03 CUX DE TRSISSIO RUITES CORRECTIO TRVUX DIRIGES. oyer Canaux de ransmissions bruiés Ocobre 03. RUIT DE FOD Calculer le niveau absolu de brui hermique obenu pour une

Plus en détail

B34 - Modulation & Modems

B34 - Modulation & Modems G. Pinson - Physique Appliquée Modulaion - B34 / Caracérisiques d'un canal de communicaion B34 - Modulaion & Modems - Définiions * Half Duplex ou simplex : ransmission un sens à la fois ; exemple : alky-walky

Plus en détail