Mesure et gestion des risques d assurance

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1 Mesure et gestion des risques d assurance Analyse critique des futurs référentiels prudentiel et d information financière Congrès annuel de l Institut des Actuaires 26 juin 2008 Pierre THEROND t i

2 Contexte t L environnement de l assurance en Europe se transforme radicalement. Les nouveaux standards prudentiels et d information financière ont pour objectif de conduire les assureurs à mieux identifier, analyser et gérer les risques auxquels ils sont soumis. Le travail effectué a pour objectif d analyser ces changements, d identifier leurs limites et d anticiper leurs conséquences sur la gestion effective d une société d assurance. 26 juin 2008 Congrès de l Institut des Actuaires Page 2

3 Organisation de la thèse Partie 1 : Nouvelles approches comptable, prudentielle et financière des risques en assurance Chapitre 1 : Traitement spécifique du risque : aspects théoriques Chapitre 2 : Traitement spécifique du risque : aspects pratiques Chapitre 3 : Incidence sur la gestion technique d un assureur Partie 2 : Modélisations avancées en assurance Chapitre 4 : Limites opérationnelles : la prise en compte des extrêmes Chapitre 5 : Prise en compte de la dépendance Chapitre 6 : Techniques de simulation 26 juin 2008 Congrès de l Institut des Actuaires Page 3

4 Sommaire 1. Nouveaux référentiels prudentiel et d information financière 2. Incidence sur la gestion technique 3. Limites conceptuelles 4. Limites opérationnelles du modèle interne 26 juin 2008 Congrès de l Institut des Actuaires Page 4

5 1. Nouveaux référentiels 1. Présentation Objectifs Information fournie Niveau d'application Valorisation des engagements d'assurance Valorisation des risques MCEV Solvabilité 2 IFRS phase 2 Valorisation économique (transactions) Information financière Valeur de la compagnie Rentabilité des affaires en portefeuille (et des affaires nouvelles) Contrôle prudentiel Provisions techniques Exigence de fonds propres Information financière Provisions techniques, Capitaux propres (variation des éléments d'actifs et de passifs) Social puis consolidé Social puis consolidé Consolidé Espérance complétée de la valeur de l'ensemble des options et des garanties financières Risques valorisés à travers les cash-flows futurs et les options & garanties Espérance + marge pour risque marge pour risque explicite (CoC ou VaR) au niveau du portefeuille + capital de solvabilité (SCR) qui doit contrôler le risque global de la compagnie Current Exit Value : montant qui serait exigé en contrepartie du transfert de l'engagement sur un marché (espérance + marge pour risque + marge pour service) marge pour risque, au niveau du portefeuille, qui correspond à une prime de risque normalement disponible sur les marchés Actualisation Taux sans risque Taux sans risque Taux sans risque 26 juin 2008 Congrès de l Institut des Actuaires Page 5

6 1. Nouveaux référentiels 2. Traitement du risque Traitement différencié par nature du risque : Risques financiers : valeur de marché ou du portefeuille de couverture. Risques non-financiers : Best Estimate + marge pour risque explicite. it Divergences? Notion de marge pour risque Hypothèses entity-specific Primes futures 26 juin 2008 Congrès de l Institut des Actuaires Page 6

7 Sommaire 1. Nouveaux référentiels prudentiel et d information financière 2. Incidence sur la gestion technique 3. Limites conceptuelles 4. Limites opérationnelles du modèle interne 26 juin 2008 Congrès de l Institut des Actuaires Page 7

8 2. Incidence sur la gestion technique 1. Modélisation de la société d assurance Assureur non-vie à 2 branches (sinistralité log-normale et dépendance modélisée par une copule de Franck) Portefeuille financier à composer parmi un actif sans risque et un actif dont le cours suit le modèle de Merton (1976) : L 0 le niveau des provisions pour sinistres en 0 ; E 0 le niveau des fonds propres en juin 2008 Congrès de l Institut des Actuaires Page 8

9 2. Incidence sur la gestion technique 2. Critère d allocation optimale d actif Provision «économique» : Fonds propres «économiques» : Maximisation du rendement des fonds propres investis : Sous l hypothèse d indépendance entre rendements financiers et sinistralité : 26 juin 2008 Congrès de l Institut des Actuaires Page 9

10 2. Incidence sur la gestion technique 3. Cadre prudentiel Solvabilité 1 L exigence minimale de fonds propres (EMS) est indépendante de la composition du portefeuille d actifs. Le critère devient : Existence d une unique solution non-triviale si et seulement si : 26 juin 2008 Congrès de l Institut des Actuaires Page 10

11 2. Incidence sur la gestion technique 3. Cadre prudentiel Solvabilité 1 Probabilité de ruine en fonction de ω Provision «économique» en fonction de ω 26 juin 2008 Congrès de l Institut des Actuaires Page 11

12 2. Incidence sur la gestion technique 4. Cadre prudentiel Solvabilité 2 L exigence minimale de fonds propres (SCR) dépend de la composition du portefeuille d actifs : inf Pr ω 1 1 ( 1 ω S + S E A 1) A2 E 0, 5% L0 26 juin 2008 Congrès de l Institut des Actuaires Page 12

13 2. Incidence sur la gestion technique 4. Cadre prudentiel Solvabilité 2 L allocation optimale maximise : 26 juin 2008 Congrès de l Institut des Actuaires Page 13

14 Sommaire 1. Nouveaux référentiels prudentiel et d information financière 2. Incidence sur la gestion technique 3. Limites conceptuelles 4. Limites opérationnelles du modèle interne 26 juin 2008 Congrès de l Institut des Actuaires Page 14

15 3. Limites it conceptuelles Les principales p limites conceptuelles des nouveaux référentiels prudentiels et d informations financières proviennent de l utilisation des méthodes de valorisation issues de la finance de marché aux contrats d assurance : absence de prix observables ; comportement des assurés (rachat, primes futures, conversion en rente, etc.) ; comportement t de l assureur (décisions i de gestion) ; valorisation vs gestion du risque. 26 juin 2008 Congrès de l Institut des Actuaires Page 15

16 3. Limites it conceptuelles 1. Futures décisions de gestion La valorisation de contrats à long terme nécessite de modéliser les futures décisions de gestion de l assureur. Notamment : gestion des actifs financiers (allocations stratégiques, réalisations des plus-ou-moins values latentes), gestion de la PB (dotation et incorporation). En pratique, deux sociétés identiques mais qui anticipent une gestion différente vont donner deux valeurs différentes à leurs engagements. 26 juin 2008 Congrès de l Institut des Actuaires Page 16

17 3. Limites it conceptuelles 1. Futures décisions de gestion Exemple : gestion d actifs d un contrat d épargne en euros Distribution empirique de la revalorisation l'épargne au terme 26 juin 2008 Congrès de l Institut des Actuaires Page 17

18 3. Limites it conceptuelles 2. Valorisation vs gestion Exemple : contrat d épargne en euros Densité empirique de la valeur actuelle des prestations futures Sans couverture Avec couverture 26 juin 2008 Congrès de l Institut des Actuaires Page 18

19 Sommaire 1. Nouveaux référentiels prudentiel et d information financière 2. Incidence sur la gestion technique 3. Limites conceptuelles 4. Limites opérationnelles du modèle interne 26 juin 2008 Congrès de l Institut des Actuaires Page 19

20 4. Limites it opérationnelles du modèle interne La calcul du capital de solvabilité (SCR) n est pas simple : l assureur n observe pas directement la variable d intérêt (le résultat), le quantile à estimer est d un ordre très élevé (99,5 %). En pratique, le SCR pourra être déterminé à partir : d une formule standard (cf. QIS 3), ou d un modèle interne. 26 juin 2008 Congrès de l Institut des Actuaires Page 20

21 4. Limites it opérationnelles du modèle interne La modélisation directe du résultat de la compagnie n est pas possible: nombre de données disponibles restreint, absence d observations dans la queue de distribution, observations pas nécessairement homogènes. Il s avère savèredonc nécessaire de bâtir un modèle interne sur : la modélisation des variables de base qui induisent un risque sur la solvabilité de l assureur : sinistralité, rendement financier, etc. la modélisation de leurs interactions ; les techniques de Monte Carlo qui permette de simuler des réalisations. 26 juin 2008 Congrès de l Institut des Actuaires Page 21

22 4. Limites it opérationnelles du modèle interne 1. Typologie des risques opérationnels La mise en place d un modèle interne expose l assureur aux risques : de modèle des variables de base et de leurs interactions. Les modèles usuels (d actif comme de passif) tendent à sous-estimer les queues de distribution ; d estimation des paramètres des variables de base ; de simulation. Par ailleurs, que l on travaille sur des données réellement observées ou simulées, l estimation d un quantile extrême fait apparaître un nouveau risque d estimation. 26 juin 2008 Congrès de l Institut des Actuaires Page 22

23 4. Limites it opérationnelles du modèle interne 1. Typologie des risques opérationnels 26 juin 2008 Congrès de l Institut des Actuaires Page 23

24 4. Limites it opérationnelles du modèle interne 2. Estimation d un quantile élevé Plusieurs approches sont envisageables : estimation empirique naturelle : X k,n estimateur naturel du quantile d ordre 1 (k 1)/ n ; méthodes bootstrap (classique, percentile, BCa, etc.) ; théorie des valeurs extrêmes. La dernière approche donne les meilleurs résultats. 26 juin 2008 Congrès de l Institut des Actuaires Page 24

25 4. Limites it opérationnelles du modèle interne 2. Estimation d un quantile élevé La théorie des valeurs extrêmes propose principalement deux approches : méthodes semi-paramétrique : estimateurs de Pickands (1975) et de Hill (1975) (théorème taubérien) ajustement Pareto Généralisé (théorème de Pickands-Balkemade Haari). 26 juin 2008 Congrès de l Institut des Actuaires Page 25

26 4. Limites it opérationnelles du modèle interne 2. Estimation d un quantile élevé 26 juin 2008 Congrès de l Institut des Actuaires Page 26

27 4. Limites it opérationnelles du modèle interne 3. Robustesse du SCR Considérons un modèle interne simplifié (inspiré de Deelstra et Janssen (1998)) dans lequel : les prestations sont distribués selon une loi log-normale et sont payées en fin d année ; le rendement financier des actifs est gaussien. prestations et rendement financier sont supposés indépendants. Notons a 0 le montant de l actif lactif initial dont doit disposer l assureur pour être solvable en fin d année avec une probabilité de 1 α. 26 juin 2008 Congrès de l Institut des Actuaires Page 27

28 4. Limites it opérationnelles du modèle interne 3. Robustesse du SCR On peut déterminer la sensibilité du SCR aux paramètres des modèles de base : Une erreur de 1% sur s conduit à une erreur de sur a 0. Avec une VaR à 99,5 %, lorsque l erreur sur le paramètre est amplifié d un facteur 1, juin 2008 Congrès de l Institut des Actuaires Page 28

29 4. Limites it opérationnelles du modèle interne 3. Robustesse du SCR Le recours aux techniques de simulation peut engendrer des erreurs du fait (cf. Planchet et T. (2005c)) : des fluctuations d échantillonnage liées au nombre limité de tirages ; d éventuels biaisi de discrétisation ; des approximations utilisées pour inverser les fonctions de répartition ; d éventuels biais induits par un choix mal approprié du générateur de nombres aléatoires (qualité intrinsèque, dépendance terme à terme, etc.) 26 juin 2008 Congrès de l Institut des Actuaires Page 29

30 4. Limites it opérationnelles du modèle interne 3. Robustesse du SCR L adéquation des modèles de base aux observations doit être testée sur les queues de distribution 26 juin 2008 Congrès de l Institut des Actuaires Page 30

31 4. Limites it opérationnelles du modèle interne 3. Robustesse du SCR Ajustement normal du rendement journalier du titre TOTAL Les tests (Jarque-Béra Béra, Lilliefors) ne rejettent pas l ajustement global. Le modèle gaussien sousestime de 7,5 % le quantile d ordre 0,5 %. 26 juin 2008 Congrès de l Institut des Actuaires Page 31

32 4. Limites it opérationnelles du modèle interne 3. Robustesse du SCR Le modèle de base doit mieux représenter les queues de distribution : approche non-paramétrique difficilement intelligible ; nécessité de trouver un modèle paramétrique qui, sur la base du même matériel statistique, représente mieux les observations. Dans notre exemple, une version mono-périodique du modèle de Merton (1976) remplit cet objectif. 26 juin 2008 Congrès de l Institut des Actuaires Page 32

33 4. Limites it opérationnelles du modèle interne 3. Robustesse du SCR 26 juin 2008 Congrès de l Institut des Actuaires Page 33

34 4. Limites it opérationnelles du modèle interne Conclusion Le critère retenu (VaR à 99,5 % à horizon 1 an) est peu robuste. Nombreux risques inhérents à la construction et l utilisation d un dun modèle interne. Nécessité de mettre en place un processus de validation des modèles internes rigoureux qui, pour autant, ne décourage pas les assureurs. 26 juin 2008 Congrès de l Institut des Actuaires Page 34

35 Conclusion générale é Perspectives de recherche : Queues de distributions de variables de base ; Dépendance des phénomènes extrêmes ; Comportement des assurés ; Futures décisions i de gestion ; Quantification des risques opérationnels. 26 juin 2008 Congrès de l Institut des Actuaires Page 35

36 Publications liées à la thèse Planchet F., Thérond P.E. (2005c) «Simulation de trajectoires de processus continus», Belgian Actuarial Bulletin 5, Planchet F., Thérond P.E. (2006) Pilotage technique d un régime de rentes viagères, Paris : Economica. Planchet F., Thérond P.E. (2007b) «Allocation d actifs selon le critère de maximisation des fonds propres économiques en assurance non-vie : présentation et mise en oeuvre dans la réglementation française et dans un référentiel de type Solvabilité 2», Bulletin Français d Actuariat 7 (13), Planchet F., Thérond P.E., Jacquemin J. (2005) Modèles financiers en assurance. Analyses de risque dynamiques, Paris : Economica. Thérond P.E., Planchet F. (2007) «Provisions techniques et capital de solvabilité d'une compagnie d'assurance : méthodologie d'utilisation de Value-at-Risk», Assurances et gestion des risques 74 (4), juin 2008 Congrès de l Institut des Actuaires Page 36

37 Bibliographie principale i Black F., Scholes M. (1973) «The pricing of options and corporate liabilities», Journal of Political Economy 81 (3), Deelstra G., Janssen J. (1998) «Interaction between asset liability management and risk theory», Applied Stochastic Models and Data Analysis 14, Embrechts P., Klüppelberg C., Mikosch T. (1997) Modelling Extremal Events for Insurance and Finance, Springer Verlag, Berlin. Frantz C., Chenut X., Walhin J.F. (2003) «Pricing and capital allocation for unit-linked life insurance contracts with minimum death guarantee», Proceedings of the 13th AFIR Colloquium, Maastricht. Merton R.C. (1976) «Option pricing when underlying stock returns are discontinuous», Journal of Financial Economics 3, juin 2008 Congrès de l Institut des Actuaires Page 37

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