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1 Capes externe de mathématiques : session 7 Première composition INTRODUCTION L objet du problème est l étude de la suite (s n n définie par : n, s n = Dans une première partie, nous nous attacherons à démontrer, de différentes façons, par des méthodes élémentaires, que cette suite converge. Les parties, et 4 suivantes seront consacrées à la détermination de sa ite S par divers moyens. Les parties 5 et 6 utiliseront la valeur de S pour calculer la somme de certaines séries numériques. On rappelle que, pour tous entiers m, n vérifiant m n, on note [[m, n]] l intervalle d entiers [[m, n]] = {p Z m p n} k= k PREMIÈRE PARTIE : Convergence de la suite Dans cette partie, le candidat utilisera uniquement les connaissances faisant partie du programme de Terminale S.. Première méthode a Démontrer que, pour tout entier k, on a la majoration k k k b En déduire que la suite (s n n est majorée. c Démontrer que la suite (s n n converge et donner un majorant de sa ite. Dans toute la suite du problème, on notera S cette ite.. Deuxième méthode On considère la suite (t n n,définie par : n, t n = s n + n a Démontrer que les suites (s n n et (t n n sont adjacentes. b Donner, en le justifiant, un encadrement d amplitude de S.. Troisième méthode Ecrire le texte d un exercice de niveau terminale S démontrant, par comparaison à une intégrale, la convergence de la suite (s n n.

2 DEUXIÈME PARTIE : Utilisation de polynômes. Soit P C[X] un polynôme de degré n : P (X =a +a X +a X + +a n X n. Rappeler la formule permettant de calculer la somme σ = α i = α + + α n des racines de P en fonction de ses coefficients a k, k [[,n]]. i=. a Soient p N et ϕ R.Démontrer l égalité où ( p+ k+ sin ( (p +ϕ = p ( ( k p+ cos p k (ϕ sin k+ (ϕ k+ désigne le coefficient binômial pour k [[,p]]. b En déduire que, pour tout entier p N et pour tout réel ϕ [π], on a sin ( (p +ϕ = sin p+ (ϕ p ( ( k p+ ( cotan ϕ p k où cotan ϕ = cos ϕ sin ϕ.. Soit p N et P R[X] le polynôme défini par : P (X = k+ k+ p ( ( k p+ X p k ( a Pour tout entier k [[,p]],onpose γ k = cotan kπ p +. Calculer P (γ k pour tout k [[,p]]. kπ b Vérifier que, pour tout k [[,p]], le réel appartient à l intervalle p + ], π [. En déduire que le polynôme P possède p racines distinctes, que l on déterminera. c En déduire les égalités : p ( kπ cotan = p + k= p(p p ( = kπ sin p + k= p(p +

3 4. a Démontrer, pour tout réel ϕ ], π [, les encadrements < sin ϕ<ϕ<tan ϕ b En déduire que, pour tout entier p, on a l encadrement p(p < (p + π p k= p(p + < k c Démontrer que S = π Montrer que les suites (u n n,(v n n et (w n n défines par : n, u n = k= (k v n = (k + w n = ( k+ sont convergentes et déterminesr les valeurs exactes de leurs ites, respectivement notées U, V et W. TROISIÈME PARTIE : Utilisation des intégrales de Wallis Pour tout entier n N, on pose k= k I n = cos n t dt, J n = t cos n t dt et K n = 4n (n! (n! J n. Calculer les intégrales I et J.. a Démontrer que pour tout n N, on a : I n+ = n + n + I n (Indication : on pourra penser à une intégration par parties. b En déduire que pour tout n N, on a : I n = (n! π 4 n (n!. Soit n. a Démontrer la relation I n = n(n J n n J n b En déduire que K n K n = π 4n c Démontrer la relation π 4 k = J K n k= 4. a Démontrer que, pour tout réel x [, π ], on a : x π sin x

4 b En déduire que, pour tout entier n,ona J n π I n 8(n + c Retrouver la valeur de S. puis K n π 6(n + QUATRIÈME PARTIE : Noyau de Dirichlet Pour tout entier n, on note D n le noyau de Dirichlet, défini par : x R, D n (x = n + cos(kx k=. Démontrer que, pour tout entier n et tout réel x [π], on a D n (x = sin. Pour tout entier n, on note L n l intégrale a Calculer l intégrale b En déduire que L n = ( ( n + x sin x xd n (xdx x cos(kxdx pour tout entier k. n L n = π 4 k + k= ( k k. On note f le prolongement par continuité en de la fonction définie sur l intervalle ],π] par : x ( x x. sin Démontrer que la fonction f est de classe C sur l intervalle [,π]. 4. Soit φ :[,π] R une fonction de classe C sur [,π]. Démontrer que φ(x sin(λxdx = λ + k= (Indication : on pourra penser à une intégration par parties. 5. a Démontrer que n + L n =. b Retrouver la valeur de S. (On utilisera la relation entre W et S obtenue àla question 5 de la deuxième partie 4

5 CINQUIÈME PARTIE : Une somme double L objet de cette partie est de calculer la ite de la somme double M + ( N + n= m= On pose, pour tout entier N, H N = nm(n + m. a Démontrer que pour tout entier N, on a : ln( + N H N + ln(n H N b En déduire que N + N = c Démontrer que pour tout entier M, on a : d En déduire que la série M m= m= n= n H M m m(m + = H m m(m + m= m H M M converge et déterminer sa ite.. Pour tous entier N et pour tout entier m, on pose Z N,m = n= a Démontrer que pour tout entier m n(n + m ( Z N,m = N+m H m m n n=n+ b En déduire que N + Z N,m = H m m. a Montrer que pour tout entier N et pour tout entier M ona: b Montrer que n= m= N nm(n + m = N + n= m= n= n + m= nm(n + m = π 6 + M 5 m= Z N,m m H m m(m

6 c En déduire alors M + ( N + n= m= nm(n + m SIXIÈME PARTIE : La fonction Dilogarithme Pour tout réel x [, [, on considère l intégrale x ln( t Li (x = dt t. Justifier l existence de cette intégrale pour tout réel x [, [.. On définit la fonction Dilogarithme [, [ R Li : x Li (x Démontrer que la fonction Li est prolongeable par continuité en. On notera encore Li ce prolongement par continuité.. a Montrer que pour tout x ], [, on a b En déduire la valeur de Li (. Li (x = n= x n n 4. a Pour x ], [, calculer la dérivée de Li (x + Li ( x b Démontrer la relation fonctionnelle x ], [, Li (x + Li ( x = π 6 ln( x ln(x 5. Déduire de la question précédente, la valeur de la somme 6. a Pour tout réel x ], [, démontrer la relation n= n n Li (x + Li ( x = Li (x b Retrouver la valeur de la somme n= ( n n 6

7 7. a Pour tout réel x ], [, démontrer la relation Li (x Li ( x+ Li ( x Li +x ( x = π +x 4 +ln ( +x ln(x x b En déduire la valeur de la somme n= ( n+ (n + 7

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