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1 spé MP POLYCOPIÉ D EXERCICES 5-6 POLYNÔMES Soit n IN (a) Montrer qu il existe un polynôme P n tel que : θ IR : P n (cos θ) sin θ = sin(n + )θ On donnera une expression de P n (b) Calculer le degré, le coefficient dominant, les racines de P n (c) Montrer que n IN : P n+ = XP n+ P n (d) Montrer que n IN, z lc : P n (cos z) sin z = sin(n + )z Déterminer P IR[X] de degré 3, divisible par X et X et tel que le reste de la division de P par X + soit égal à 3 Factoriser dans lc puis dans IR le polynôme X 6 En déduire cos( π 8 ) et sin(π ) Est-ce le moyen le plus rapide 8 pour calculer cos( π 8 ) et sin(π 8 )? 4 Soit P lq[x] Soient (a, b, c) ZZ 3 tels que c / lq Montrer que si a + b c est racine d ordre s de P alors a b c est racine d ordre s de P 5 Soit n IN Montrer que est racine double de X n+ X n X + puis factoriser ce polynôme 6 Déterminer les polynômes de lc[x] tels que P divise P Même question avec IR[X] 7 7 Calculer cos kπ 5 k= 8 Pour n IN on définit le polynôme P n = n X k ) Montrer que P n a une et une seule racine positive, que l on notera a n ) Montrer que (a n ) converge et déterminer sa limite L 3) Déterminer un équivalent de a n L quand n tend vers + 9 Résoudre dans lc 3 : x + y + z = 6 x + y + z = 6 xyz = 4 k= Soit P = X 3 + px + q un polynôme de lc[x] Calculer S = x 7 + x 7 + x 7 3, où x, x, x 3 sont les racines de P On cherche à déterminer les polynômes P qui vérifient ( ) : P (X ) = P (X) (a) Montrer qu un polynôme qui vérifient ( ) est pair ou impair (b) Déterminer les polynômes solutions de ( ) Soit P = X n + a n X n + a X + a un polynôme unitaire dont les racines sont toutes situées dans le disque unité fermé de lc Montrer que k [, n ], a k ( n k) 3 On note (L k ) k n les polynômes de Lagrange de,, n, c est-à-dire L i (j) = δ i,j pour (i, j) [, n ] (a) Pour tout k [, n ], exprimer le coefficient dominant de L k au moyen de factorielles (b) Exprimer de deux manières l unique polynôme P IR n [X] pour lequel P (k) = k n pour tout k [, n ] n ( ) n (c) En déduire une expression simplifiée de ( ) n k k n k k= 4 Soit f la fonction définie sur IR par f(x) = e x Pour tout n IN, on définit sur IR la fonction H n par : H n (x) = e x f (n) (x) (a) Déterminer une relation reliant H n, H n+ et H n+ (b) Montrer que H n est une fonction polynôme dont on précisera le degré et le coefficient dominant (c) Montrer que H n admet n racines réelles distinctes séparées par celles de H n

2 5 Soit n IN Montrer que le polynôme P n = de racines réelles? n k= X k k! n a que des racines simples Combien P n a-t-il exactement 6 Soit P IR[X] possédant exactement k coefficients non nuls Montrer par récurrence que P a au plus k racines réelles distinctes et que cette majoration est optimale RELATIONS BINAIRES Soit E un ensemble et A un sous-ensemble de E On définit sur P(E), R la relation binaire par : XRY si X A = Y A a) Montrer que R est une relation d équivalence b) Montrer que P(E)/R est en bijection avec P(A) Soit E = IN On définit la relation par ((x, y), (x, y )) E, (x, y) (x, y ) si [(x < x ) ou (x = x et y y )] a) Montrer que est une relation d ordre Est-elle totale ou partielle? Comment s appelle-t-elle? b) E a t-il un plus petit élément,un plus grand élément? c) Les parties {(p, p), p IN}, {(, p ), p IN} sont elles majorées? Si oui, ont-elles un plus grand élément? une borne supérieure? d) Démontrer que toute partie de E non vide admet un plus petit élément e) Démontrer que toute partie de E non vide et majorée admet une borne supérieure 3 Déterminer le nombre de relations binaires symétriques et reflexives sur un ensemble à n éléments 4 Soit E un ensemble ordonné Soit (a, b) E Déterminer sup {a, b} dans les cas suivant : (a) E = IR avec l ordre usuel (b) E = P(X) avec l inclusion (c) E = IN avec l ordre a divise b (d) E = F([, ], IR) avec l ordre usuel (on fera juste un dessin) IN, ZZ, lq, IR Soit I n = x n sin(πx)dx (a) Calculer I et I (b) Montrer que n, I n = n(n ) π π I n (c) Montrer par récurrence que p, I p = ( ) p (p)! p π p+ + ( ) k (p)! (p k)!π k+ Soit E un ensemble non vide de n éléments On cherche le nombre S n de couple (A, B) tels que A B = E (attention : A et B ne sont pas forcément disjoints) (a) Calculer ce nombre lorsque n =, (b) Soit A E fixé de cardinal p Combien y-a-t-il de couples (A, B) solutions de A B = E? (c) En déduire S n (d) Généraliser 3 Soit A inclus dans IR Montrer l équivalence : A majoré et minoré M IR tel que x A, x M 4 Soient r, r rationnels et α, α irrationnels Que dire de r + r, rr, r + α, rα, α + α, αα, r α, α α et α r? 5 Soit A et B, inclus dans IR, non vides et majorés Calculer sup(a B) en fonction de supa et de supb 6 Soient x et y deux réels Montrer que x < y = x < y A-t-on la réciproque? 7 Montrer que x IR, n : x nx n n Conséquence? 8 Soit f définie de IR dans IR par f(x) = E(x) (ancienne notation!) k=

3 (a) Déterminer f(ir), f(lq), f([, π]), f([, ]), f (], [), f (] 5, ]), f (IN),f ({ 3}) (b) Déterminer f(f ([, ])), f (f([, ])) (c) Déterminer les sous-ensembles A tels que f(f (A)) = A 9 Montrer par récurrence que n 3 on a n! > ( n e )n ( ) Montrer que θ IR, Re + eiθ 3 Linéariser cos 3 x sin 5 x et délinéariser sin 6t NOMBRES COMPLEXES 3 Déterminer les complexes z tels que z = z = 4 Calculer une racine carré de + 4i 3 5 Résoudre z 3 = + j 3 i 6 Soit θ IR Résoudre z 8 z 4 cos θ + = 7 Déterminer les points M d affixe z tels que les points A, M et M d affixes respectives, z et z soient alignés 8 Soit f définie de lc dans lc par f(z) = + z + z (a) f est elle injective, surjective, bijective? (b) Déterminer f (IR) et f (iir) 9 Résoudre cos z = dans lc Généraliser On définit Γ l ensemble de toutes les racines n-ième de l unité quand n décrit IN On a donc Γ = lu n n IN (a) Montrer que Γ lu Donner exemples d éléments de Γ (b) e i appartient-il à lu? e i appartient-il à Γ? (c) Soit α IR Donner une CNS sur α pour que e iα Γ (d) Montrer que (α, β) IR : e iα e iβ α β (e) En déduire que u lu, ε >, z Γ tel que u z ε Interpréter DENOMBREMENT Déterminer une bijection de [[, n] [, n] dans [, n ] On exhibera sa bijection réciproque Soit E de cardinal n Calculer en fonction de n les sommes A E A et A E A 3 Soient (p, n) IN avec p n Trouver le nombre de p-listes d éléments distincts de [, n] telles que le plus petit élément soit placé en première position et le plus grand en dernière position 4 Soient n,, n r des entiers naturels non nuls On considère un mot contenant n fois la lettre L,,n r fois la lettre L r Déterminer le nombre d anagrammes de ce mot 5 On donne un entier naturel non nul n On appelle composition de n toute liste d entiers supérieurs ou égaux à un dont la somme fait n i) Faire la liste de toutes les compositions des entiers,,3,4 ii) Déterminer le nombre de compositions d un entier n quelconque 6 Soent deux entiers naturels m et p tels que m et p On considère une cour fermée par m murs non neccessairement rectilignes et l on dispose de p couleurs différentes On souhaite repeindre les m murs de telle sorte que deux murs consécutifs ne soient pas de la même couleur On note enfin π m,p le nombre de façons de parvenir à notre souhait i) Calculer π,p et π 3,p ii) Donner une relation de récurrence entre π m+,p, π m+,p et π m,p iii) En déduire la valeur de π m,p pour toutes les valeurs de m et p 3

4 7 On donne un couple (p, n) IN avec p n On considère l ensemble X des (n + )-listes formées uniquement de et de et qui contiennent au moins p + chiffres On va dénombrer X de deux manières différentes i) On considère pour p + i n +, l ensemble X i des listes de X ayant exactement i + chiffres Dénombrer X i et en déduire un premier dénombrement de X ii) On considère maintenant, l ensemble Y i des listes de X pour lesquelles le (p + )-ième chiffres apparait en (i + )-ième position Dénombrer Y i et en déduire un deuxième dénombrement de X n ( ) n + n ( ) i iii) En déduire l égalité sommatoire suivante : (p, n) IN avec p n : = n i i + p 8 ) Soit E un ensemble à n éléments Quel est le nombre de couples (A, B) de parties de E telles que A B? ) Soit E un ensemble à n éléments Quel est le nombre de quadruplets (A, B, C, D) de parties de E telles que A B C D? 9 Une urne contient a boules blanches et b boules blanches On en tire successivement n au hasard en remettant chaque fois la boule tirée a) Calculer la probabilité de l événement B i : On obtient i boules blanches, pour tout i [, n] n ( ) n b) Calculer, pour tout x réel, x i i i= c) En déduire la probabilité que le nombre de boules blanches obtenus soit pair Combien existe-t-il de mains différentes au poker contenant exactement un full? un brelan? une paire? (une main au poker est un ensemble de 5 cartes pris dans l ensemble des 3 cartes Une main contient une paire si elle contient cartes d une même hauteur (as-roi8-7), et seulement, un brelan si elle contient 3 cartes d une même hauteur, les autres cartes étant de hauteur différente et différente de la hauteur du brelan, un full si elle contient 3 cartes d une même hauteur, les autres cartes étant d une même hauteur ) n personnes doivent prendre place autour d une table ronde De combien de façons peuvent-elles s asseoir? ) On suppose qu il y a n hommes et n femmes De combien de façons peuvent-elles s asseoir en respectant l alternance? Démontrer à l aide d un dénombrement que ( ) n = n n k= ( ) n k 3 Pour n, p IN, on note S(n, p) le nombre de surjections de E = [, n] dans F = [, p] Déterminer S(n, p) lorque p > n Calculer S(n, n), S(n, ), S(n, ) et S(n, 3) 3 Etablir une relation entre p n et les S(n, p) 4 On suppose que p n Montrer que S(n, p) = p(s(n, p) + S(n, p )) p ) 5 En déduire que si que p n, on a : S(n, p) = k n k= 6 En déduire la valeur des sommes suivantes : A n = ( ) p k ( p k k= i=p n ( ) n ( ) n k k n et B n = k i=p n ( n ( ) n k k k= ) k n+ 4 On appelle dérangement une bijection sans point fixe Donner une relation de récurrence pour calculer le nombre de dérangements d un ensemble à n élements 5 On note D n le nombre de permutations d un ensemble à n éléments n ayant pas de point fixe Etablir, par une preuve combinatoire, que pour tout n, Montrer que n! = n k= ( ) n D k k D n+ = n(d n + D n ) 3 Montrer que pour tout n, D n = nd n + ( ) n 4 En déduire la valeur de D n 5 Soit n IN On efectue le tirage d une permutation dans S n On note p n, la probabilité d obtenir un dérangement Déterminer la limite de p n lorsque n tend vers l infini 4

5 SUITES REELLES ET COMPLEXES Soit (x n ) une suite qui converge vers l Que peut-on dire de la suite (x n n)? Etudier la convergence de (u n ) définie par : u > et n, u n+ = n arctan(u n) 3 Soit P n = X n nx + (a) Montrer que pour tout entier n, P n possède une unique racine dans [, ], notée a n (b) Montrer que (a n ) converge vers (On pourra montrer que n 4, a n ) (c) Donner un développement asymptotique à termes C est-à-dire a n = b n + c n + o(c n ) avec c n << b n 4 Soit (u n ) telle que (u n ),(u n+ ) et (u 3n ) convergent Que dire de (u n )? n 5 Montrer que x > : sin x x x3 6 Etudier la convergence de u n = sin( n + k ) 6 Soient a et b tels que a >, b > et a b Etudier la suite u n = 7 soit S n = n p p p= (a) Donner au feeling un équivalent de S n (b) Démontrer votre feeling 8 Montrer que x [, [ : x ln( x) x En déduire lim x n (Indic : faire un changement d indice i = n k) ( n + a n + b k= ) n n ( k n )n n! (ln n)7 9 Déterminer les limites des suites : et Montrer que n! << n Donner des équivalents de ln(n + ) nn n, ln(n + ), exp(n + ), arctan(n + ) Combien y-a-t-il de façon de vider une bassine de litres avec un seau de litre et un seau de litres (attention : on tient compte de l ordre)? Soit x IR Calculer u n en fonction de n quand u =, u = x et n IN : u n+ = xu n+ u n Soit (u n ) une suite convergente Etudier la suite (v n ) définie par v n = u + u + + nu n n ( ) e inθ + 5n 3 Etudier la convergence de la suite in + ( + i 3 )n 4 Soit q lc Etudier la convergence de la suite (q n ) 5 Soit (u n ) une suite à valeurs réelles ) On pose n IN, v n = u n + u n Montrer que la suite (u n ) converge SSI la suite (v n ) converge ) A-t-on le même résultat avec v n = u n + u n? 6 Soit (u n ) et (v n ) deux suites de lc Soit α une valeur d adhérence de (u n ) et soit β une valeur d adhérence de (v n ) α + β est-elle une valeur d adhérence de (u n + v n )? α 3 est-elle une valeur d adhérence de (u 3 n)? 7 Soit (u n ) une suite bornée de IR On suppose que (u n ) n admet qu un nombre fini de valeurs d adhérence et que lim n + (u n+ u n ) = Montrer que (u n ) est convergente 8 Déterminer une suite (u n ) telle que {u n, n IN} soit dense dans IR Quel sont ses valeurs d adhérence? Suites récurrentes 9 Soit (a, b, α) IR 3 Calculer u n en fonction de n quand u = α et n IN : u n+ = au n + b Soit f une fonction k-lipschitzienne avec < k < et soit I un intervalle stable par f On suppose que f admet un point fixe γ dans I On définit une suite récurrente par u I et n IN : u n+ = f(u n ) (a) Montrer que γ est unique (b) Majorer u n γ en fonction de k, u, n et γ (c) Majorer u n γ en fonction de k et n quand I = [a, b] k= 5

6 Soit f une fonction définie de I dans I et γ I tel que f(γ) = γ On dit que f est höldérienne s il existe λ > tel que x I : f(x) γ λ x γ Soit la suite récurrente définie par u I et n IN : u n+ = f(u n ) (a) Lemme : Soit (α n ) qui vérifie n IN : α n > et α n+ λα n Majorer α n en fonction de λ, α et n, puis en fonction λ, α p et n (avec p n) (b) En déduire une majoration de u n γ en fonction de λ, u p γ et n (avec p n) (c) Conclure (d) Un exemple : Soit b, fixé Soit (u n ) définie par u et n IN : u n+ = (u n + b u n ) i Montrer que u n+ = f(u n ) avec f höldérienne et déterminer son point fixe γ ii Majorer u n γ en fonction u γ et n iii Prenez un u proche de γ et en déduire un rationnel proche de 97 à près Etudier les suites récurrentes suivantes : un a) u n+ = un + et < u < et b) u n+ = e un et u IR u n 3 (a) Montrer que l équation tan(x) = x admet une unique solution a n dans un équivalent simple lorsque n tend vers + (b) Vérifier que pour tout n, a n > π + a n ] (n )π + π ; nπ + π [ En donner (c) On pose pour tout n IN, b n = a n nπ π Montrer que (b n) n est une suite croissante et qu elle converge (d) Calculer tan(a n ) en fonction de b n de deux manières différentes En déduire une relation vérifiée par b n puis la limite de la suite (b n ) (e) Trouver la limite de la suite (nb n ) puis en déduire un équivalent de b n et enfin un développement asymptotique à 3 termes de b n de 4 On considère l équation e x x n = (a) Montrer que, pour n assez grand, cette équation a exactement deux solutions positives u n v n (b) Montrer que (u n ) converge vers une limite l ; donner un équivalent de u n l (c) La suite (v n ) converge-t-elle? Déterminer un équivalent de v n (d) Déterminer un développement asymptotique à deux termes de v n FONCTIONS REELLES Soit f continue sur [, ] tel que f() = f() (a) Montrer par l absurde qu il existe a [, ] tel que f(a + ) = f(a) (b) Montrer par l absurde qu il existe b [, ] tel que f(b + 3 ) = f(b) (c) Application : Coulibaly parcourt 8km en heure Montrer qu il existe un intervalle de temps de 3 minutes pendant lequel il a parcourut exactement 4 km Soient f et g, fonctions lipschitziennes sur [a, b] Montrer que f + g et fg le sont aussi 3 Déterminer les limites suivantes : x + x en +, ln(e x + ) x en + et x e x en et + 4 Déterminer des équivalents simples de : a) x n en b) sin x 3x π en π 3 c) x + 5 ex x en d) en x 3x + 5 Déterminer un petit o simple de (ln x) a) e x en + b) x 3 en + c) ln x en x 6 On cherche à déterminer les fonctions f définies et continues sur IR, qui vérifient : (x, y) IR : f(x + y) = f(x)f(y) 6

7 Soit f une telle fonction On suppose de plus que f est non nulle (a) Montrer que x IR : f(x) > (b) Montrer que x IR, n IN : f(nx) = f(x) n On pose a = f() (c) Calculer f(n) pour n IN, f(n) pour n ZZ puis f(r) pour r lq (d) Soit t IR Caluler f(t) (e) Conclure 7 Soit f : IR + IR, x x x (a) Etudier la continuité de f sur IR + (b) En encadrant à l aide de x, montrer que f est continue en x (c) Tracer f sur IR + 8 Soit n IN On pose z n = + i n Déterminer arg(z n) à l aide d un arctan En déduire lim n ( + i n )n 9 Montrer que arctan 5 = arctan 5 Montrer que P n (x) = [(x ) n ] (n) admet n racines à distinctes dans ], [ La fonction x est-elle polynômiale sur IR +? sur [, 3]? Déterminer les fonctions f : [a, b] IR telle que : α > et K, (x, y) [a, b] : f(x) f(y) K x y α 3 Etudier la continuité et la dérivabilité de f définie sur IR par f(t) = x t dx 4 On considère l équation fonctionnelle d inconnue f : x IR : f(x) = f(x) Déterminer les solutions dérivables en de cette équation Donner un exemple de fonction solution de cette équation non continue en 5 On considère l équation fonctionnelle d inconnue f : ( ) : x IR : f ( x) = f(x) (a) Montrer qu une solution de ( ) est de classe C sur IR (b) En dérivant ( ), déterminer les solutions de cette équation 6 Soit f : [a, b] [a, b] une fonction -lipschitzienne, et (x n ) définie par x [a, b] et n IN, x n+ = x n + f(x n ) Montrer que (x n ) converge vers un point fixe de f n 7 Si n IN sin(kx), et x IR, soit f n (x) = k k= (a) Déterminer le plus petit réel x n strictement positif en lequel f n atteint un maximum local (b) Calculer lim f n(x n ) à l aide des sommes de Riemann n + CONVEXITE Montrer que : (a) x [, π ]IR : sin x π x (b) x IR+ : arctan x x (c) (x,, x n ) (IR + ) n n : x x n x + + x n n (d) Soit n IN et (x,, x n ) (IR + ) n Montrer que x + x + + x n + x n n x x 3 x n x Donner un exemple de fonction convexe de IR dans IR non dérivable en,, et 3 Soit f convexe sur un intervalle bornée ]a, b[, montrer que f est minorée 4 Soit f de IR dans IR convexe et majorée Montrer que f est constante ( ) x + y 5 Montrer que pour tous (x, y) ], + [, ln ln x ln y 6 Soit f définie sur IR par f(x) = e x si x et f() = 7

8 (a) Montrer que f est de classe C sur IR et calculer f n () (b) Etudier la convexité et tracer f 7 Soit f une fonction convexe et C, définie sur IR +, montrer que f(x) admet une limite finie ou infinie en + x Montrer que si cette limite est un nombre négatif ou nul alors f est décroissante 8 Soit f convexe de [, ] dans IR Montrer que f est dérivable à gauche et à droite en tout point ], [ et que f d et f g sont croissantes sur ], [ 9 Soit f une fonction de IR dans IR, continue sur IR On suppose que f vérifie : ( ) x + y (x, y) IR f(x) + f(y), f Montrer que f est convexe sur IR Soit p un réel tel que p > (a) Montrer que (x, y) (IR +) et (λ, µ) (IR +) (λx + µy) p (λx p + µy p )(λ + µ) p (b) En déduire l inégalité de Minkowsky : ( n ) ( p n (a i + b i ) p i= indication : On commencera par appliquer le (a) avec i= a p i ) p + ( n n a p i = i= n i= i= b p i b p i = DEVELOPPEMENTS LIMITES-ETUDES LOCALES ) p Donner le DL en à l ordre 4 des fonctions suivantes : e 3x, e x, ln( + x 3 ), cos x, x +, x Donner le DL en a à l ordre des fonctions suivantes : tan x en a = π 3, x en a =, ln( + x) en a = 3, arctan x en a = 3, ex + en a = + ( ) xp (a) ap (x) 3 Soit P une foncion C sur IR et a IR Déterminer lim x = a x a 4 Déterminer les limites suivantes : e lim x x + ln(cos x) tan 4 x, ( ) ln x lim, lim x sin πx x + (( ln(x + ) ln x ) x ) ln x 5 Déterminer un équivalent simple de a) + sin x + ln( + x) + cos x + ex (arcsin x ) 3 + tan 6 x 6 Calculer les DL suivants : a) e 6 sin x en à l ordre 4, b) ( + x + 3x ) 8 en à l ordre 3, arcsin x c) en à l ordre 3, (x( x) en, b) ( 3x + 7 x ) x 7 en + d) cos x en à l ordre 6 7 Soit f définie sur ], [ par f(x) = ( x) x (a) Prolonger f par continuité en et étudier les variations de f (b) Montrer que f admet un DL en à tout ordre et donner celui d ordre (c) Tracer le graphe de f 8

9 8 Calculer le DL en à l ordre n + de arccos x (on donnera les coefficients du DL sans pointillés) 9 Soit f définie sur IR par (x + ) arctan x (a) Etudier l allure locale (tangente et position) en (b) Etudier l allure locale (asymptote et position) en + (c) Tracer le graphe de f Soit f définie de ] π, π [ sur IR par f(x) = sin x + tan x Montrer que f est bijective, que f est C sur IR Calculer le DL de f en à l ordre 3 Calculer la limite suivante lim x π 6 Déterminer le développement limité à l ordre 3 en de ( arctan( sin x) π ) cos(3x) 4 f(x) = x arcsin x SERIES NUMERIQUES REELLES ET COMPLEXES Etudier ( la nature des séries suivantes : ) ( n n ) ( + ln n n 4 + n 3 n ) + n + 7 a) 3 n + 4 n b) 3 n c) cos n n 3 4n + 8n + 47 ( ) ( ) ( d) cos n e ) ( n e) ln(cos n ) ) f) e ( + n )n g) n + n ( ) ( cos(3 n ) ( ) n ) ( + ln n arctan(n ) + ln n) h) ln n i) n 3 j) k) n Etudier la nature des séries suivantes : a) ( n! n n ) n 3 Etudier la nature de la série ( u n ) où u n = (n sin n )n 4 Séries de Bertrand (HPTS) (ln x) a (a) Rappeler lim x + x b (b) Etudier la nature des séries suivantes : ( n b) n xn ) c) ( ( 3n n ( ln n n 3 ), ( (ln n) n ), ( (ln n) 37 n, ), ( (ln n) n ), ( n ln n ) (c) Généraliser à l aide des exemples ci-dessus ( ) 5 Nature de la série a n (avec a > ) 6 Etudier la nature des séries suivantes : a) ( ( ) n (ln n) n n + 5 ), b) ( cos(nπ) ) c) ( sin(π n + )) n )x n ) 7 Soit (u n ) définie par u IR et n IN : u n+ = n e un Etudier la nature de la série ( u n ) et de la série ( ( ) n u n ) 8 Donner la nature de la série ( u n ) où u n = ln( + ( )n ) et α IR 9 Soit z un complexe fixé n α (a) On suppose que Re(z) > Etudier la nature de la série ( n z ) cos(ln n) (b) On admet que ( ) est divergente Etudier la nature de la série ( ) n n+i Soit u n = t n sin(πt)dt Etudier la nature de la série ( u n ) Calculer, après en avoir justifier l existence, les sommes suivantes : a) (n + )(n + )(n + 3), b) ln( n + n (n + ) ) n= n= 9

10 Calculer la somme suivante : n= n= n ( n + n ) 3 Calculer, après avoir justifier l existence, une valeur approchée des sommes suivantes : π n a) à près b) n! n 5 à près c) n! à près 4 Soit u n = k=n ( ) k k n= (a) Justifier l existence de u n (b) Montrer que ( u n ) est convergente (c) Calculer u n n= 5 Soit u n = jn iπ n avec j = e 3 (a) Calculer pour p IN, v p = u 3p+ + u 3p+ + u 3p+3 et donner en un équivalent (b) Montrer que ( v p ) est convergente, puis que ( u n ) est convergente (c) Grâce à la Méga-astuce n = t n dt, calculer u n (d) Que dire de la série ( cos nπ 3 n ) et de sa somme? 6 Soit (x n ) définie par x > et pour tout entier n, x n+ = x n + x n ) Etudier la suite (x n ) ) Déterminer un équivalent simple de x n 3) On prend x = 5 Montrer que 45 < x < 45, x = 7 On définit la suite (x n ) n IN par xn + x n+ = On pose n IN, u n = x n ) Etudier la suite (x n ) n IN ) Déterminer la nature de la série u n 8 On pose, pour tout entier naturel non nul n, u n = n n Quelle est la nature des séries u n et u n n? n= n= 9 Soit h n = n, u n = h n ln n et v n = u n n a) Montrer que (u n ) converge b) A l aide de (v n ), donner un developpement asymptotique à 4 termes de h n Soit ϕ une bijection de IN dans IN On pose pour tout entier n IN, u n = ϕ(n) et v n = ϕ(n) n Etudier les suites et les séries suivantes : (u n ), (v n ), ( u n ) et ( v n ) n ) Montrer qu il existe a > tel que ( + ( )k a k n k= On utilisera σ n = + + = ln n + γ + o() n Etablir une bijection entre [, ] et [, [ 3 Soit (u p,q ) (p,q) IN définie par (u (p q) p,q = (p + q + )(p + q + )(p + q + 3) n a) Calculer b) Calculer c) Calculer u k,n k p= q= u p,q q= p= u p,q n= k= ( ) d) La série up,q est elle absolument convergente? (p,q) IN ( ) 4 Existence et calcul (quand elle existe!) de la série double (p + q + ) α (p,q) IN

11 5 On admet que σ n = + + n = ln n + γ + o() et que pour x [, [ : ln( x) = + On pose enfin ζ(x) = + n= n x Montrer que + n= ( ) n ζ(n) n 6 Pour tout entier naturel n non nul, on note v (n) le nombre de dans l écriture binaire de n (a) Justifier que v (n) = O (ln n) En déduire que la série v (n) + n(n + ) converge n (b) Exprimer v (n) et v (n + ) en fonction de v (n) (c) En déduire la somme de la série 7 Déterminer la nature de la série de terme général u n = (n+)π nπ = γ e ln(x) sin(x) dx 8 Soit P lc[x] On considère la série de terme général u n = (n 4 + n ) /4 P (n) /3 Déterminer P pour que la série u n converge 9 (a) Déterminer un équivalent lorsque N tend vers + de la somme partielle d ordre N de la série n (b) Montrer que la série ( ) n ln n n converge n N (c) En admettant qu il existe C IR tel que + n= n= ln n n où γ est la constante d Euler On rappelle que γ = 3 On considère pour tout n IN l équation n= = ln (N) + C + o + (), montrer que ( ) n ln n n = γ ln ln lim n + (E n ) xe x = n [ n k= ] k ln(n) (a) Montrer que (E n ) admet une unique solution, notée x n, pour tout n IN (b) Déterminer la limite de la suite (x n ) puis un équivalent lorsque n tend vers + (c) En déduire la nature de la série x n, selon les valeurs de ga nga 3 Soit α IR (a) Donner une condition nécessaire et suffisante sur α pour la suite (u n ) soit convergente avec n IN, u n = n + α ln(n) (b) Exprimer la limite de la suite (u n ) en fonction de la constante d Euler γ = { 3 Soit j IN, on note k j = min p IN p n= } n j lim n + (a) Justifier l existence de k j puis montrer que k j tend vers + lorsque j tend vers + (b) Montrer que S kj+ S kj + p avec S n = k j k j+ n (c) A l aide de la comparaison série-intégrale, montrer que n= lim j + k j+ k j = e [ n k= x n n ] k ln(n) ln n n

12 PROBABILITES Une compagnie d assurance automobile a classé ses assurés ont trois classes d âges : moins de 5 ans, de 5 ans à 5 ans, plus de 5 ans Le tableau ci-dessous fournit de deux informations : la proportion d assurés appartenant à chaque classe et la probabilité qu un assuré d une classe donnée déclare au moins un accident au cours de l année Classe proportion probabilité moins de 5 ans,5, de 5 à 5 ans,53,6 plus de 5 ans,,9 Un assuré est tiré au hasard dans le fichier de la compagnie Quelle est la probabilité qu il ait déclaré au moins un accident au cours de l année? Quelle est la probabilité qu un assuré ayant déclaré au moins un accident au cours de l année soit agé d au plus 5 ans? 3 Quel est la probabilité qu un assuré agé de 5 ans ou plus ait au moins un accident au cours de l année? 4 Quelle est la probabilité qu un assuré n ayant déclaré aucun accident soit agé de 5 à 5 ans? On jette trois dés non pipés Calculer la probabilité d obtenir au moins un as Que vaut la probabilité d obtenir au moins deux faces portant le même chiffre? 3 Calculer la probabilité que la somme des points marqués sur les trois dés soit paire 4 Montrer que les évènement considérés aux questions et 3 sont indépendants 3 Dans une bibilothèque, n livres sont exposés sur une étagère rectiligne et répartis au hasard Parmi ces n livres, k sont d un même auteur A, les autres étant d auteurs tous différents Calculer la probabilité qu au moins p livres de A se retouvent côte à côte dans les cas suivants : n =, k = 3, p = 3 ; n =, k = 5, p = 4 Mon voisin a deux enfants dont une fille Quelle est la probabilité que l autre enfant soit un garçon? Un autre voisin a deux enfants dont une fille Le plus jeune est une fille Quelle est la probabilité que l ainé soit un garçon? 5 On cherche un parapluie qui, avec la probabilité p se trouve dans l un quelconques des 7 étages d un immeuble 7 (p [, ] fixé) On a exploré les 6 premiers étages Quelle est la probabilité que le parapluie se trouve au 7-ième étage Soit f(p) cette probabilité ; représenter graphiquement f Donner une interprétation de f( ) 6 Une maladie M affecte un français sur On dispose d un teste sanguin qui détecte M avec une fiabilité de 99% lorsque cette maladie est effectivement présente Cependant on obtient un résultat faussement positif pour,% des personnes saines testées Quelle est la probabilité qu une personne soit réellement malade lorsqu elle a un test positif? Conclure 7 On considère n menteurs I,,I n I reçoit une information sous la forme de oui ou non, la transmet à I, ainsi de suite jusqu à I n qui l annonce au monde Chacun d eux transmet ce qu il a entendu avec la probabilité p, < p <, le contraire avec la probabilité p et les réponses des n personnes sont indépendantes Calculer la probabilité p n pour que l information soit fidèlement transmise Que se passe-t-il lorsque n tend vers l infini Conclure Reprendre le calcul de p n à l aide d une variable aléatoire 8 Deux évènements E et F sont dits indépendants conditionnellement à C si P (E F/C) = P (E/C) P (F/C) Montrer que E et F peuvent être indépendants et ne plus l être conditionnellement à un évènement C 9 On dispose de N + urnes numérotées de à N L urne numérotée k contient k boules rouges et N k blanches On choisit une urne au hasard Sans connaitre son numéro, on en tire n fois de suite une boule, avec remise après chaque tirage Quelle est la probabilité que le (n + )-ième tirage donne encore une boule rouge sachant que, au cours des n premiers tirages, seules des boules rouges ont été tirées? Calculer la limite de cette probabilité lorsque N tend vers l infini (ce resultat est connu sous le nom de loi de succession de Laplace)

13 Soit T une va à valeurs dans IN tel que P (T n) > pour tout n IN On appelle taux de panne la suite (θ n ) définie par θ n = P (T = n/t n), n IN Par exemple, si T est la durée de vie d une ampoule électrique mesurée en heures, un observateur la trouvant allumée au début de l heure n a la probabilité θ n de la voir griller avant la fin de l heure Calculer P (T = n) en fonction des θ k, k n Montrer qu une suite de réels (θ k ) est un taux de panne si et seulement si pour tout entier k IN : θ k < et la série ( θ k ) diverge Que dire du cas où (θ k ) est constante? Considérons le jeu suivant : un joueur lance successivement et indépendamment n fois une pièce de monnaie Chaque fois qu il obtient Pile, il gagne un point ; chaque fois qu il obtient Face, il perd un point Soit p ], [ la probabilité d obtenir Pile et q = p la probabilité d obtenir Face pour chaque lancer L espace des épreuves est Ω n = {Pile,Face} On a cardω n = n et probabilité P Ω n est donné On définit les variables aléatoires 7 et S, S, S,, S n sur Ω n par les conditions suivantes (k [, n]) : { si ωk =Pile X k (ω) = si ω k =Face S = x où x ZZ est la fortune initiale du joueur S k = x + X + X + + X k La variable aléatoire X k représente le gain du joueur -positif ou négatif, gain ou perte- du joueur au k-ième lancer La variable aléatoire S k représente la fortune du joueur après le k-ième lancer ou à l instant t On peut représenter une partie complète à savoir un ω, par sa trajectoire, c est-à-dire la ligne brisée joignant les points de coordonnées (kns k (ω)) pour k [, n], placé dans un repère L axe T des abscisses est ici interprété comme l axe des temps Ainsi un chemin qui se trouve à l instant k en (k, x) sera à l instant k + en (k +, x + ) avec la probabilité p en (k +, x ) avec la probabilité q Il y a donc n chemin ou trajectoire possible de n lancer On se servira de cette représentation pour décrire les événements Par exemple l événement (S =, S = ) est l ensemble des trajectoires passant par les points (, ) et (, ) On notera T M,N ou T (m,µ)(,n,ν) le nombre de chemins joignant les points M(m, µ) à N(n, ν) Lorsque l expérience consiste en une suite infinie de tirage à Pile ou Face, la suite infinie correspondante de variables aléatoires X, X,, X n, s appelle une marche aléatoire (a) Pour tout ω Ω n donner la probabilité de ω en fonction de r, le nombre de Pile obtenus dans la réalisation de ω (b) Faire des shémas de différentes trajectoires (c) Donner une condition nécessaire et suffisante sur m, µ, n, ν pour que puisse exister une trajectoire T N,M de M(m, µ) à N(n, ν) (d) Déterminer le nombre R N,M de trajectoire T N,M (e) Principe de réflexion Soient µ > et ν > et M le symétrique de M par rapport à l axe des temps T i Montrer qu il existe autant de trajectoires touchant l axe des temps et menant de M à N, que de trajectoires menant de M à N ii En déduire, lorsque partant de M, on arrive à N, la probabilité de ne jamais rencontrer l axe des temps iii Au cours d un scrutin opposant deux candidats, C à obtenu 6 voix et D 4 Quelle est la probabilité que C ait été majoritaire tout au long du scrutin? iv Cent personnes font la queue à un guichet de cinéma ; la place coûte cinq euros 6 personnes n ont en poche qu un billet de cinq euros Les 4 autres personnes ont chacune un billet de euros Combien faut-il de billet de cinq euros dans la caisse pour pour que, avec la probabilité d au moins 95%, chacun soit servi dès qu il se présente? Soit (Ω, A, P) un espace probabilisé Soient N une variable aléatoire à valeurs dans IN et (Y n ) n IN une suite de variables aléatoires discrètes On définit Z par ω Ω : Z(ω) = Y N(ω) (ω) Montrer que Z est une variable aléatoire 3 Soient n et N deux entiers naturels non nuls On considère N urnes qui contiennent chacune n boules numérotées de à n On tire au hasard une boule dans chaque urne Soit X n le plus grand numéro obtenu (a) Déterminer le loi de X n (b) Calculer, à N fixé, l espérance de X n puis montrer que E(X n ) n + nn N + 3

14 4 Soient X U([, n ]) et Y U([, X ]) Déterminer la loi de probabilités de Y ainsi que son espérance 5 Sur un écran numérique carré de N pixels assimilé à T = [[, N [, on choisit de manière indépendante trois points A, B, C suivant une loi uniforme Pour M P T, on note M,P les points de T alignés avec M et P (a) Déterminer P (A = B) (b) Montrer que, pour tout M P T, on a P (C M,P ) N (c) Montrer que P (A, B, C forme un vrai triangle) N N 6 Sur un espace probabilisé, on considère une suite (A i ) i d événements indépendants On note p i = P (A i ) et on suppose que a = + i= p i < + ( n ) On veut montrer que, pour tous (n, k) (IN ), on a : P Ai k (a) Que dire du cas k > n? ( n ) (b) Montrer que P Ai k (c) Si a n = i= n p i, montrer que a k n k! i= F [,n ] F =k F [,n ] F =k p i i F i= p i Conclure i F ak k! (d) Au ball-trap, un tireur vise à chaque épreuve une cible mobile Sa probabilité de réussir au premier coup est p ], [, et cette probabilité est inversement proportionnelle à la vitesse de la cible D une épreuve à la suivante, la vitesse de la cible augmente de % Les tirs succéssifs sont supposés indépendants, et le stock de cartouche est illimité Le tireur doit atteindre au moins fois la cible Majorer, indépendamment de p, sa probabilité de réussite 7 Un polycopié de 4 pages contient un nombre n d errreurs typographiques réparties au hasard (n étant quand même inférieur au nombre de carractères que contient une page) (a) Quelle est la loi exacte de la va Y représenatant le nombre d erreurs en page 3? Par quelle loi peut-on l approcher? Dans les deux questions suivantes, on suppose que Y suit cette loi approchée (b) On effectue des lectures successives de cette page A chaque lecture les erreurs sont corrigés avec une probabilité de /3, indépendamment les unes des autres On note Y i le nombre d erreurs restantes après la i-ième lecture Déterminer P (Y = j/y = k) pour j et k entiers (c) Déterminer la loi de Y puis celle de Y i (d) En fait, le nombre d erreurs contenues dans ce polycopié est modélisé par une va N entière, d espérance µ On définit la variable Z i correspondant au nombre total d erreurs subsistant dans le polycopié après la i-ième lecture Déterminer P (Z = k/n = n) pour n et k entiers (e) Déterminer E(Z ) et E(Z i ) 8 On considère une suite d épreuves répétées indépendantes avec pour chaque épreuve trois résultats possibles : A avec la probabilité a, B avec la probabilité b, C avec la probabilité c Quelle est la loi de la variable aléatoire X = (n A, n B, n C ) où n A est le nombre de résultats valant A etc? Vérifier que l on a bien une loi de probabilité 9 On dispose de deux urnes La première contient une proportion de p ], [ boules blanches et de q boules noires On effectue des tirages avec remise jusqu à obtention d une boule blanche On note N le nombre aléatoire de tirages nécessaires Dans une seconde urne contenant boules numérotées de à 9, on effectue alors N tirages avec remise, et si on note Y j le chiffre obtenu lors du j-ième tirage, on forme le réel décimal : X(ω) =, Y (ω)y (ω) Y N(ω) (ω) = On note D l ensemble des décimaux de [, [, tout élément d D admettant une unique écriture de la forme k n avec n IN et k IN non divisible par, qu on appelle écriture réduite de d (pour d =, on prend k = et n = ) N(ω) j= Y j (ω) j (a) Montrer que D est dénombrable Existe-t-il une énumération croissante de D? 4

15 (b) Quelle est la loi de N? (c) Calculer P (X =, 375) Plus généralement calculer P (X = d) pour d D (d) Si F est la fonction de répartition de X, montrer que F n est continue sur aucun sous-intervalle de [, [, mais qu elle est continue en tout réel non décimal j d + (e) Montrer que, pour j : d D, P (X d/n = j) = j (f) Calcul F (d) pour d admettant une écriture réduite avec n = puis n = Calculer F (d) pour d décimal quelconque 9 (g) Calculer l espérance de X Montrer que, pour toute valeur de p, on a : < E(X) < Soit a ], /[ et p k la probabilité qu une famille ait k enfants On suppose que p = p = a et p k = ( a) (k ) pour k On suppose aussi que P(Fille)=P(Garçon)=/ On pose E n : «la famille a n enfants», F n : «la famille a n filles» et G n : «la famille a n garçons» (a) Vérifier que p suit bien une loi de probabilité (b) Quelle est la la probabilité qu une famille ayant filles ait seulement enfants (c) Quelle est la la probabilité qu une famille ait garçons sachant qu elle a deux filles? Dans une ville fictive et pas chère, le ticket de métro coûte euro La première infraction constatée coûte euros, la seconde 4 et la troisième 4 La probabilité p pour un voyageur d être contrôlé lors d un trajet est constante et connue seulement de la compagnie Un fraudeur décide de ne pas payer systématiquement jusqu à la deuxième amende On note T le numéro du trajet où le fraudeur est contrôlé pour la seconde fois (a) Déterminer la loi de T (b) Déterminer P (T > n) pour n IN Calculer P (T > 6) pour p = / et p = / (c) Déterminer l espérance de T (d) Quel conseil financier donner au fraudeur? On jette indéfiniment une pièce de monnaie, la probabilité d appartion d un Face étant p On note T n le temps d attente du n-ième Face (a) Déterminer les lois de T, T et T n (b) Déterminer la loi de T n+ T n conditionnée à (T n = i) En déduire la loi de T n+ T n Déterminer l espérance de T n (c) Montrer que T n+ T n et T n sont indépendantes Déterminer la variance de T n et sa fonction génératrice (d) On note T le temps d attente pour avoir au moins un Face et un Pile, V le nombre de Face et D le nombre de Pile à cet instant i Quelle est la loi de T et son espérance? ii Quelle est la loi de (V, T ) En déduire la loi de V et son espérance 3 Dans une suite (X i ) i de pile ou face équitables, on appelle série toute suite de résultats consécutifs identiques Par exemple dans la suite FFPFPPPPPPFF, il y a 5 séries On note S n le nombre de séries observées après n lancers indépendants Montrer que n, i : P (S n = i, X n = F ) = (P (S n = i, X n = F ) + P (S n = i, X n = P )) Evaluer de même P (S n = i, X n = P ) En déduire la fonction génératrice et la loi de S n 4 Soient deux urnes pouvant contenir b boules nummérotées de à n A l instant, les b boules sont toutes dans l urne A chaque instant n, une boule est choisie avec equiprobabilité et passe dans l autre urne On note X n le nombre de boules contenues dans l urne à l instant n Calculer l espérance de X n+ conditionnée en (X n = i) Déterminer E(X n ) et lim E(X n) n + 5 Soit (Ω, P(Ω), P ) un espace probabilisé fini, (A i ) i n une famille finie quelconque d événements n (a) Montrer que, pour x i réels quelconques ( x i ) = x i i= ( n ) ( n ) (b) Montrer que P A i = E ( Ai ) i= i= ( n ) (c) En déduire la Formule de Poincaré : P A i = i= I [,n ]( ) Card(I) i I n ( ) k+ k= i < <i k n P (A i A ik ) 5

16 6 On suppose que le couple de va entières (X, Y ) a une loi donnée par (i, j) IN α : P (X = i, Y = j) = ( + i + j)! (a) Que peut-on dire, sans calculs, des lois de X et Y? (b) Si S = X + Y, déterminer la loi de S et en déduire la valeur de α (c) Calculer P (X = ) Les variables X et Y sont-elles indépendantes? où α > (d) Sans calcul, donner l espérance de S et en déduire celle de X Pourrait-on obtenir ainsi la variance de X? Calculer la covariance de (X, Y ) et en déduire la variance de X (e) Calculer P (X = Y ) puis en déduire P (X > Y ) 7 Le nombre de personnes entrant en une journée dans un bureau de poste est une variable aléatoire S suivant une loi de Poisson de paramètre λ La probabilité qu un arrivant soit une arrivante est p On note X le nombre d arrivantes dans une journée et Y le nombre d arrivants Calculer P (X = i, Y = j/s = n) et en déduire la loi de (X, Y ) et les lois de X et Y X et Y sont-elles indépendantes? 8 Soit α = (α,, α d ) (IR + ) d On dit que une variable aléatoire X = (X,, X d ) suit une loi de Poisson de paramètre α si (k,, k d ) IN d : P (X = k,, X d = k d ) = e (α+ +α d) αk αk d d k! k d! Vérifier qu il s agit bien d une loi de probabilité Déterminer, pour I [, d] non vide la loi de X I = i I X i 9 On considère une suite de n épreuves répétées indépendantes, chaque épreuve ayant k résultats possibles r,, r k On note p i la probabilité de réalisation de r i, lors d une épreuve Pour i [, k ], on note X i le nombre de réalisations de r i au cours des n épreuves (a) Déterminer Var(X + + X k ) (b) Déterminer la loi de X i et sa variance (c) Même question pour X i + X j avec i j En déduire Covar(X i, X j ) Vérifier que ce résultat est compatible avec celui de la première question 3 Deuxième lemme de Borel-Cantelli Soit (Ω, F, P) un espace probabilisé Soit (A n ) n IN une suite d événements indépendants On note A = lim sup A n = A k n n IN k n ( On suppose que P (An )) diverge et l on souhaite prouver que P (A) = Justifier que pour tout x >, ln( + x) x Carractériser le fait qu un élément appartienne à A N 3 Soient n N On note E n,n = A k et E n = A k k=n k n (a) Démontrer que (n étant fixé), lim ln (P (E n,n )) = N + (b) En déduire que P (E n ) = puis que P (A) = 4 Application : On lance une pièce équilibrée, une infinité de fois Montrer que l évènement 37 piles de suite une infinité de fois a une probabilité de 5 Montrer qu il n existe pas de probabilité sur (IN, P(IN)) tel que P (pin) pour tout nombre premier p (on rappelle que la série diverge) p p premier 3 On utilisera le deuxième lemme de Borel-Cantelli On considère une épreuve ayant r issues élémentaires équiprobables On répète cette épreuve dans des conditions identiques On note A n l événement : au cours des nr premières épreuves, chacune des r issues distinctes se produit exactement n fois On dira que A n est une compensation exacte (a) Déterminer p n = P (A n ) Déterminer un équivalent de p n pour n tendant vers l infini (b) En déduire que pour r 4, presque sûrement il n y aura plus jamais de compensation exacte au delà d un certains nombres d épreuves 6

17 ESPACES VECTORIELS On pose E = IR 3 rapporté { à sa base canonique x + y + z = Soit F/y + z =, G x + 3y + 4z = et G =vect( u, v ) avec u = (,, 3) et v = (,, ) (a) Montrer que F, G et G sont des SEV de E (b) Déterminer une base de F, G et G (c) Déterminer 4 supplémentaires de F et G (d) Déterminer l expression analytique du projecteur p sur F parallèlement à G {( ) } x 5y Soit E = tel que (x, y) (IR) y x + 3y (a) Montrer que E est un IR-EV (b) Déterminer une base et la dimension de E (c) Déterminer supplémentaire de E dans M (IR) (d) Montrer que E est une IR-algèbre (e) E muni des lois + et est-il un corps? 3 Soit F et G SEV de E Que dire d un vecteur x qui n appartient pas à F + G? 4 Soit F et G SEV de E tels que F + G = E Que dire d un vecteur x qui n appartient pas à F? 5 Montrer à l aide de la définition que (3 + X, X, + X ) est une famille génératrice de IR [X] Est-ce une base de IR [X]? 6 Soient u, v, w 3 vecteurs d un K-EV On suppose que (u, v), (u, w) et (v, w) sont libres A-t-on (u, v, w) libre? 7 Soit E = IR IR On définie f, g, h dans E par f(x) = cos(x + a), g(x) = cos(x + b) et h(x) = cos(x + c) Montrer que (f, g, h) est liée 8 Soit (e,, e n ) une base de E On pose u = e e, u = e e 3,, u n = e n e A-t-on (u,, u n ) libre? Déterminer vect(u,, u n ) 9 Soit E = {f C sur IR telle que x IR : f (x) = xf(x)} Montrer que E est un IR-EV et déterminer une base de E Soit (P n ) n IN une famille de polynômes de IR[X] telle que n IN : d (P n ) = n (a) Montrer que n IN : (P, P,, P n ) est une base de IR n [X] (b) En déduire que (P n ) n IN est une base de IR[X] Soit a [, ] et soit ϕ a définie sur [, ] par ϕ a (x) = x a (a) Montrer que (ϕ a ) a [,] est libre dans E = IR [,] (b) Soit F =vect(ϕ a ) a [,] A-t-on F = E? (c) Soit f définie par f(x) = 4x si x [, ] et f(x) = x + 3 si x [, ] Tracer f et montrer que f F Généraliser Soit f a définie sur IR par f a (x) = e ax Montrer que (f a ) a IR est une famille libre de IRIR 3 Soit f n définie sur IR par f n (x) = cos nx Montrer que (f n ) n IN est une famille libre de IRIR Soit f définie sur IR par f(x) = + cos x A-t-on f vect{f n tel que n IN}? 4 Soit E un IR-EV et f L(E) telle que f f + id E = (a) Factoriser f f + id E (b) Montrer que ker(f 7id E ) ker(f 3id E ) = E 5 Soit f définie de IR 4 dans IR 3 par f(x, y, z, t) = (x + y + 3z, x + 5y + z, x y z) Déterminer rang, noyau et image de f On donner une base de chacun d eux Soit p =rg 3, 7 6, 6 et q =rg((x + ), (X + ), (X + 3), (X + 4) )) Pourquoi a-t-on p 3 et q 3? Calculer p et q 7

18 7 Soit E = C n (IR) et soit ϕ : E IR n+, f (f(), f (),, f (n) ()) (a) Montrer que ϕ est linéaire (b) Déterminer le noyau, l image et le rang de ϕ (c) Déterminer un supplémentaire du noyau 8 Exercices très classiques : à savoir faire par coeur!! Soit E un K-ev de dimension n et (f, g) L(E) (a) Montrer que ker f p ker f p+ et que imf p+ im f p (b) Montrer que f = im f ker f (c) Montrer que f g = (d) E = ker f imf imf =imf ker f = ker f Reprendre ces équivalences si E n est plus supposé de dimension finie (e) Quelles sont les valeurs possibles de rg (f)+rg (g)? (f) On suppose que f g = Montrer que rg (f)+rg (g) n Si rg (f) = et n 3, montrer qu il existe ϕ L(E) tel que f ϕ = et que rg (f)+rg (ϕ) = n 9 Soit E un K-ev de dimension n et f L(E) telle qu il existe p IN avec f p = et f p On suppose que dim ker f = On pose enfin N k = ker f k (a) Montrer que k [, p], N k N k+ et f(n k+ ) N k (b) En considérant ϕ définie de N k+ dans N k par ϕ(x) = f(x), montrer que dim N k+ dim N k + (c) En déduire que p=n et calculer dim N k pour k [, p] (d) Soit x un vecteur de E tel que f n (x) Montrer que (x, f(x), f (x),, f n (x)) est une base de E Soit E un espace vectoriel de dimension finie n sur lk et f L(E) On suppose qu il existe un vecteur x E tel que la famille (x, f(x ),, f n (x )) soit libre ) f est-elle bijective? n ) Soit g L(E) tel que f g = g f Montrer que (λ, λ,, λ n ) tel que g = λ k f k 3) Soit C = {g L(E), f g = g f} Montrer que C est une sous-algèbre de L(E) Quelle est sa dimension? Soit E, F, G 3 K-ev de dimension finie, f L(E, G) et g L(E, F ) Déterminer une CNS sur f et g pour qu il existe ϕ L(F, G) tels que f = ϕ g Soit E = IR n [X] et F = {P E tel que P (3) = } Déterminer avec 3 démonstrations (base, isomorphisme et dualité) la dimension de F 3 Soit E un espace vectoriel sur lk de dimension finie et p, q deux projecteurs de E tels que pq = On pose r = p + q qp ) Montrer que r est un projecteur ) Montrer que ker r = ker p ker q et Im r =Im p Imq 4 Soient E un lk-ev et f L(E) de rang Montrer qu il existe un scalaire λ tel que f = λf 5 On considère la suite de polynômes (E k ) k IN définie par : E =, E = X et k, E k = k= X(X ) (X k + ) k! Pour tout polynôme P IR[X], on note l application linéaire définie sur IR[X] par : (P ) = P (X + ) P (X) (a) Montrer que la famille (E k ) k n est une base de IR n [X] (b) En déduire que le sous-espace vectoriel IR n [X] est stable par, puis en notant n : IR n [X] IR n [X] l application induite, déterminer son image et son noyau (c) En déduire que est une application surjective et préciser son noyau 6 Soient E un espace vectoriel de dimension finie, u et v deux endomorphismes de E Montrer que rg (u) rg (v) rg (u + v) rg (u) + rg (v) 8

19 GEOMETRIE AFFINE Soit F un sous-ensemble d un espace vectoriel E On suppose que F est stable par barycentration, c est-à-dire, tout barycentre de points de F est encore dans F Montrer que F est un sous espace affine de E Soit E un IR-ev Soit A,B,C,D quatre points de E, deux à deux distintcs et non alignés, tels que ( AB, CD) soit lié et que ( AC, BD) soit lié Montrer que ABCD est un parallélogramme 3 Soit E un IR-ev Soit G le barycentre de (A,, A p ) et Soit H le barycentre de (B,, B p ) Montrer que p A i B i = p GH i= 4 Montrer que F = {f IR IR telle que x IR, f(x + ) = f(x) + } est un sous-espace affine de IR IR dont on déterminera un point et sa direction 5 Soit E un plan vectoriel Soient A, B, C trois points non alignés et ( ) une droite de E ; ( ) coupe (BC), (CA), (AB) en trois points notés P, Q, R respectivement On construit les trois parallélogrammes AQA R, BP B R et CQC P Montrer que A, B et C sont alignés 6 Dans E 3 muni d un repère (O, i, j, { k ), on donne : A : x 3y + z = et D x + y 3z = Donner l équation cartésienne du plan passant par A et D 7 Dans E 3 muni d un repère (O, i, j, k ), on donne : { { x z = x + y + z = D et D y z = x y + z = a Pour quelles valeurs de a, D et D sont-elles coplanaires? Donner alors l équation du plan contenant D et D MATRICES Soit A = et F = {M M n (IR) telle que AM = MA} n (a) Montrer que F est un IR-EV (b) Déterminer la dimension et une base de F (c) Montrer que F est une IR-algèbre Est-ce un coprs? Soit n IN et (a,, a n ) lk n à distincts Soit φ : lk n [X] lk n, P (P (a ),, P (a n )) On pose B la base canonique de lk n et B = (, X,, X n ) la base canonique de lk n [X] Déterminer la matrice de φ dans les bases B et B : A = M B,B (φ) 3 Soit E = M n (IR) On note E i,j les matrices de la base canonique de E Soit A E (a) Soit (i, j, k, l ) [, n] 4 Calculer E i,j E k,l, E i,j A et AE i,j (b) En déduire Tr(AE i,j ) (c) Soit ϕ une application linéaire de E dans IR Montrer qu il existe une unique matrice A telle que : M E, ϕ(m) =Tr(AM) (d) Que peut-on en déduire pour l application de E dans E qui à ϕ associe A? (e) Montrer que tout hyperplan de E contient au moins une matrice inversible ( ) 3 4 Montrer que A = est semblable à sa transposée 4 5 Soit A M n (IR) telle que A = A Comparer Tr(A) et rg(a) 6 Etudier la structure de groupe de E = a b c tel que (a, b, c) ZZ 3 7 Soit A la matrice carrée d ordre n dont tous les éléments sont égaux à sauf ceux de la diagonale qui sont nuls Caluler A n avec p IN Caluler A puis A p avec p IN 9

20 8 Soit A M n (IR) pour laquelle il existe un entier p tel que A p = () (on dit alors que A est nilpotente (a) Montrer par récurrence que A est semblable à une matrice du type : (b) En déduire tr(a) 9 Soit M M 3 (IR) telle que M () et M 3 = M Montrer que M est semblable à Soit E = IR n [X] et soit f : P P P )Montrer que f est bijective a) sans utiliser la matrice de f b) en utilisant la matrice de f ) Soit Q un élément de E trouver un P E tel que Q = P P Indication : Si P E, que vaut P (n+)? ) Déterminer la forme d une matrice triangulaire supérieure nilpotente de M p ( lc) ) Soit N M p ( lc), une matrice triangulaire supérieure nilpotente On pose : n P n = n Déterminer n p lim P n n + ( ) avec J = J ( ) NP n (on admet qu une suite de matrice (M n ) avec M n = (m i,j (n)) de M p ( lc) converge vers une matrice A si pour tout i, j de [[, p] : lim m i,j(n) = a i,j n + 3 n n n n n n n n 3 n Soit A n = 3 4 n Calculer A n ( ) A A 3 Soient (A, B) M n ( lc) et M = M A B n ( lc) (a) On notera rg (M) le rang de la matrice M Montrer que rg (M) = rg (A) + rg (B A) (b) Donner une condition nécessaire et suffisante sur A et B pour que M soit inversible (c) Calculer M quand elle existe 4 Soit A une matrice non nulle de M n ( lc) et ϕ l application de M n ( lc) dans lui-même définie par ϕ(x) = X + ( tr X)A (a) A quelle condition ϕ est-elle bijective? Caractériser ( ϕ) lorsque ϕ n est pas bijective (b) Discuter et résoudre, pour B donné dans M n ( lc), l équation ϕ(x) = B GROUPE SYMETRIQUE - DETERMINANTS Donner en extension S 6 Soit ( ) σ = Décomposer σ en produit de cycles, en déduire sa signature Calculer σ n pour tout entier n Décomposer σ en produit de transpositions

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