spé MP POLYCOPIÉ D EXERCICES

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1 spé MP POLYCOPIÉ D EXERCICES 5-6 POLYNÔMES Soit n IN (a) Montrer qu il existe un polynôme P n tel que : θ IR : P n (cos θ) sin θ = sin(n + )θ On donnera une expression de P n (b) Calculer le degré, le coefficient dominant, les racines de P n (c) Montrer que n IN : P n+ = XP n+ P n (d) Montrer que n IN, z lc : P n (cos z) sin z = sin(n + )z Déterminer P IR[X] de degré 3, divisible par X et X et tel que le reste de la division de P par X + soit égal à 3 Factoriser dans lc puis dans IR le polynôme X 6 En déduire cos( π 8 ) et sin(π ) Est-ce le moyen le plus rapide 8 pour calculer cos( π 8 ) et sin(π 8 )? 4 Soit P lq[x] Soient (a, b, c) ZZ 3 tels que c / lq Montrer que si a + b c est racine d ordre s de P alors a b c est racine d ordre s de P 5 Soit n IN Montrer que est racine double de X n+ X n X + puis factoriser ce polynôme 6 Déterminer les polynômes de lc[x] tels que P divise P Même question avec IR[X] 7 7 Calculer cos kπ 5 k= 8 Pour n IN on définit le polynôme P n = n X k ) Montrer que P n a une et une seule racine positive, que l on notera a n ) Montrer que (a n ) converge et déterminer sa limite L 3) Déterminer un équivalent de a n L quand n tend vers + 9 Résoudre dans lc 3 : x + y + z = 6 x + y + z = 6 xyz = 4 k= Soit P = X 3 + px + q un polynôme de lc[x] Calculer S = x 7 + x 7 + x 7 3, où x, x, x 3 sont les racines de P On cherche à déterminer les polynômes P qui vérifient ( ) : P (X ) = P (X) (a) Montrer qu un polynôme qui vérifient ( ) est pair ou impair (b) Déterminer les polynômes solutions de ( ) Soit P = X n + a n X n + a X + a un polynôme unitaire dont les racines sont toutes situées dans le disque unité fermé de lc Montrer que k [, n ], a k ( n k) 3 On note (L k ) k n les polynômes de Lagrange de,, n, c est-à-dire L i (j) = δ i,j pour (i, j) [, n ] (a) Pour tout k [, n ], exprimer le coefficient dominant de L k au moyen de factorielles (b) Exprimer de deux manières l unique polynôme P IR n [X] pour lequel P (k) = k n pour tout k [, n ] n ( ) n (c) En déduire une expression simplifiée de ( ) n k k n k k= 4 Soit f la fonction définie sur IR par f(x) = e x Pour tout n IN, on définit sur IR la fonction H n par : H n (x) = e x f (n) (x) (a) Déterminer une relation reliant H n, H n+ et H n+ (b) Montrer que H n est une fonction polynôme dont on précisera le degré et le coefficient dominant (c) Montrer que H n admet n racines réelles distinctes séparées par celles de H n

2 5 Soit n IN Montrer que le polynôme P n = de racines réelles? n k= X k k! n a que des racines simples Combien P n a-t-il exactement 6 Soit P IR[X] possédant exactement k coefficients non nuls Montrer par récurrence que P a au plus k racines réelles distinctes et que cette majoration est optimale RELATIONS BINAIRES Soit E un ensemble et A un sous-ensemble de E On définit sur P(E), R la relation binaire par : XRY si X A = Y A a) Montrer que R est une relation d équivalence b) Montrer que P(E)/R est en bijection avec P(A) Soit E = IN On définit la relation par ((x, y), (x, y )) E, (x, y) (x, y ) si [(x < x ) ou (x = x et y y )] a) Montrer que est une relation d ordre Est-elle totale ou partielle? Comment s appelle-t-elle? b) E a t-il un plus petit élément,un plus grand élément? c) Les parties {(p, p), p IN}, {(, p ), p IN} sont elles majorées? Si oui, ont-elles un plus grand élément? une borne supérieure? d) Démontrer que toute partie de E non vide admet un plus petit élément e) Démontrer que toute partie de E non vide et majorée admet une borne supérieure 3 Déterminer le nombre de relations binaires symétriques et reflexives sur un ensemble à n éléments 4 Soit E un ensemble ordonné Soit (a, b) E Déterminer sup {a, b} dans les cas suivant : (a) E = IR avec l ordre usuel (b) E = P(X) avec l inclusion (c) E = IN avec l ordre a divise b (d) E = F([, ], IR) avec l ordre usuel (on fera juste un dessin) IN, ZZ, lq, IR Soit I n = x n sin(πx)dx (a) Calculer I et I (b) Montrer que n, I n = n(n ) π π I n (c) Montrer par récurrence que p, I p = ( ) p (p)! p π p+ + ( ) k (p)! (p k)!π k+ Soit E un ensemble non vide de n éléments On cherche le nombre S n de couple (A, B) tels que A B = E (attention : A et B ne sont pas forcément disjoints) (a) Calculer ce nombre lorsque n =, (b) Soit A E fixé de cardinal p Combien y-a-t-il de couples (A, B) solutions de A B = E? (c) En déduire S n (d) Généraliser 3 Soit A inclus dans IR Montrer l équivalence : A majoré et minoré M IR tel que x A, x M 4 Soient r, r rationnels et α, α irrationnels Que dire de r + r, rr, r + α, rα, α + α, αα, r α, α α et α r? 5 Soit A et B, inclus dans IR, non vides et majorés Calculer sup(a B) en fonction de supa et de supb 6 Soient x et y deux réels Montrer que x < y = x < y A-t-on la réciproque? 7 Montrer que x IR, n : x nx n n Conséquence? 8 Soit f définie de IR dans IR par f(x) = E(x) (ancienne notation!) k=

3 (a) Déterminer f(ir), f(lq), f([, π]), f([, ]), f (], [), f (] 5, ]), f (IN),f ({ 3}) (b) Déterminer f(f ([, ])), f (f([, ])) (c) Déterminer les sous-ensembles A tels que f(f (A)) = A 9 Montrer par récurrence que n 3 on a n! > ( n e )n ( ) Montrer que θ IR, Re + eiθ 3 Linéariser cos 3 x sin 5 x et délinéariser sin 6t NOMBRES COMPLEXES 3 Déterminer les complexes z tels que z = z = 4 Calculer une racine carré de + 4i 3 5 Résoudre z 3 = + j 3 i 6 Soit θ IR Résoudre z 8 z 4 cos θ + = 7 Déterminer les points M d affixe z tels que les points A, M et M d affixes respectives, z et z soient alignés 8 Soit f définie de lc dans lc par f(z) = + z + z (a) f est elle injective, surjective, bijective? (b) Déterminer f (IR) et f (iir) 9 Résoudre cos z = dans lc Généraliser On définit Γ l ensemble de toutes les racines n-ième de l unité quand n décrit IN On a donc Γ = lu n n IN (a) Montrer que Γ lu Donner exemples d éléments de Γ (b) e i appartient-il à lu? e i appartient-il à Γ? (c) Soit α IR Donner une CNS sur α pour que e iα Γ (d) Montrer que (α, β) IR : e iα e iβ α β (e) En déduire que u lu, ε >, z Γ tel que u z ε Interpréter DENOMBREMENT Déterminer une bijection de [[, n] [, n] dans [, n ] On exhibera sa bijection réciproque Soit E de cardinal n Calculer en fonction de n les sommes A E A et A E A 3 Soient (p, n) IN avec p n Trouver le nombre de p-listes d éléments distincts de [, n] telles que le plus petit élément soit placé en première position et le plus grand en dernière position 4 Soient n,, n r des entiers naturels non nuls On considère un mot contenant n fois la lettre L,,n r fois la lettre L r Déterminer le nombre d anagrammes de ce mot 5 On donne un entier naturel non nul n On appelle composition de n toute liste d entiers supérieurs ou égaux à un dont la somme fait n i) Faire la liste de toutes les compositions des entiers,,3,4 ii) Déterminer le nombre de compositions d un entier n quelconque 6 Soent deux entiers naturels m et p tels que m et p On considère une cour fermée par m murs non neccessairement rectilignes et l on dispose de p couleurs différentes On souhaite repeindre les m murs de telle sorte que deux murs consécutifs ne soient pas de la même couleur On note enfin π m,p le nombre de façons de parvenir à notre souhait i) Calculer π,p et π 3,p ii) Donner une relation de récurrence entre π m+,p, π m+,p et π m,p iii) En déduire la valeur de π m,p pour toutes les valeurs de m et p 3

4 7 On donne un couple (p, n) IN avec p n On considère l ensemble X des (n + )-listes formées uniquement de et de et qui contiennent au moins p + chiffres On va dénombrer X de deux manières différentes i) On considère pour p + i n +, l ensemble X i des listes de X ayant exactement i + chiffres Dénombrer X i et en déduire un premier dénombrement de X ii) On considère maintenant, l ensemble Y i des listes de X pour lesquelles le (p + )-ième chiffres apparait en (i + )-ième position Dénombrer Y i et en déduire un deuxième dénombrement de X n ( ) n + n ( ) i iii) En déduire l égalité sommatoire suivante : (p, n) IN avec p n : = n i i + p 8 ) Soit E un ensemble à n éléments Quel est le nombre de couples (A, B) de parties de E telles que A B? ) Soit E un ensemble à n éléments Quel est le nombre de quadruplets (A, B, C, D) de parties de E telles que A B C D? 9 Une urne contient a boules blanches et b boules blanches On en tire successivement n au hasard en remettant chaque fois la boule tirée a) Calculer la probabilité de l événement B i : On obtient i boules blanches, pour tout i [, n] n ( ) n b) Calculer, pour tout x réel, x i i i= c) En déduire la probabilité que le nombre de boules blanches obtenus soit pair Combien existe-t-il de mains différentes au poker contenant exactement un full? un brelan? une paire? (une main au poker est un ensemble de 5 cartes pris dans l ensemble des 3 cartes Une main contient une paire si elle contient cartes d une même hauteur (as-roi8-7), et seulement, un brelan si elle contient 3 cartes d une même hauteur, les autres cartes étant de hauteur différente et différente de la hauteur du brelan, un full si elle contient 3 cartes d une même hauteur, les autres cartes étant d une même hauteur ) n personnes doivent prendre place autour d une table ronde De combien de façons peuvent-elles s asseoir? ) On suppose qu il y a n hommes et n femmes De combien de façons peuvent-elles s asseoir en respectant l alternance? Démontrer à l aide d un dénombrement que ( ) n = n n k= ( ) n k 3 Pour n, p IN, on note S(n, p) le nombre de surjections de E = [, n] dans F = [, p] Déterminer S(n, p) lorque p > n Calculer S(n, n), S(n, ), S(n, ) et S(n, 3) 3 Etablir une relation entre p n et les S(n, p) 4 On suppose que p n Montrer que S(n, p) = p(s(n, p) + S(n, p )) p ) 5 En déduire que si que p n, on a : S(n, p) = k n k= 6 En déduire la valeur des sommes suivantes : A n = ( ) p k ( p k k= i=p n ( ) n ( ) n k k n et B n = k i=p n ( n ( ) n k k k= ) k n+ 4 On appelle dérangement une bijection sans point fixe Donner une relation de récurrence pour calculer le nombre de dérangements d un ensemble à n élements 5 On note D n le nombre de permutations d un ensemble à n éléments n ayant pas de point fixe Etablir, par une preuve combinatoire, que pour tout n, Montrer que n! = n k= ( ) n D k k D n+ = n(d n + D n ) 3 Montrer que pour tout n, D n = nd n + ( ) n 4 En déduire la valeur de D n 5 Soit n IN On efectue le tirage d une permutation dans S n On note p n, la probabilité d obtenir un dérangement Déterminer la limite de p n lorsque n tend vers l infini 4

5 SUITES REELLES ET COMPLEXES Soit (x n ) une suite qui converge vers l Que peut-on dire de la suite (x n n)? Etudier la convergence de (u n ) définie par : u > et n, u n+ = n arctan(u n) 3 Soit P n = X n nx + (a) Montrer que pour tout entier n, P n possède une unique racine dans [, ], notée a n (b) Montrer que (a n ) converge vers (On pourra montrer que n 4, a n ) (c) Donner un développement asymptotique à termes C est-à-dire a n = b n + c n + o(c n ) avec c n << b n 4 Soit (u n ) telle que (u n ),(u n+ ) et (u 3n ) convergent Que dire de (u n )? n 5 Montrer que x > : sin x x x3 6 Etudier la convergence de u n = sin( n + k ) 6 Soient a et b tels que a >, b > et a b Etudier la suite u n = 7 soit S n = n p p p= (a) Donner au feeling un équivalent de S n (b) Démontrer votre feeling 8 Montrer que x [, [ : x ln( x) x En déduire lim x n (Indic : faire un changement d indice i = n k) ( n + a n + b k= ) n n ( k n )n n! (ln n)7 9 Déterminer les limites des suites : et Montrer que n! << n Donner des équivalents de ln(n + ) nn n, ln(n + ), exp(n + ), arctan(n + ) Combien y-a-t-il de façon de vider une bassine de litres avec un seau de litre et un seau de litres (attention : on tient compte de l ordre)? Soit x IR Calculer u n en fonction de n quand u =, u = x et n IN : u n+ = xu n+ u n Soit (u n ) une suite convergente Etudier la suite (v n ) définie par v n = u + u + + nu n n ( ) e inθ + 5n 3 Etudier la convergence de la suite in + ( + i 3 )n 4 Soit q lc Etudier la convergence de la suite (q n ) 5 Soit (u n ) une suite à valeurs réelles ) On pose n IN, v n = u n + u n Montrer que la suite (u n ) converge SSI la suite (v n ) converge ) A-t-on le même résultat avec v n = u n + u n? 6 Soit (u n ) et (v n ) deux suites de lc Soit α une valeur d adhérence de (u n ) et soit β une valeur d adhérence de (v n ) α + β est-elle une valeur d adhérence de (u n + v n )? α 3 est-elle une valeur d adhérence de (u 3 n)? 7 Soit (u n ) une suite bornée de IR On suppose que (u n ) n admet qu un nombre fini de valeurs d adhérence et que lim n + (u n+ u n ) = Montrer que (u n ) est convergente 8 Déterminer une suite (u n ) telle que {u n, n IN} soit dense dans IR Quel sont ses valeurs d adhérence? Suites récurrentes 9 Soit (a, b, α) IR 3 Calculer u n en fonction de n quand u = α et n IN : u n+ = au n + b Soit f une fonction k-lipschitzienne avec < k < et soit I un intervalle stable par f On suppose que f admet un point fixe γ dans I On définit une suite récurrente par u I et n IN : u n+ = f(u n ) (a) Montrer que γ est unique (b) Majorer u n γ en fonction de k, u, n et γ (c) Majorer u n γ en fonction de k et n quand I = [a, b] k= 5

6 Soit f une fonction définie de I dans I et γ I tel que f(γ) = γ On dit que f est höldérienne s il existe λ > tel que x I : f(x) γ λ x γ Soit la suite récurrente définie par u I et n IN : u n+ = f(u n ) (a) Lemme : Soit (α n ) qui vérifie n IN : α n > et α n+ λα n Majorer α n en fonction de λ, α et n, puis en fonction λ, α p et n (avec p n) (b) En déduire une majoration de u n γ en fonction de λ, u p γ et n (avec p n) (c) Conclure (d) Un exemple : Soit b, fixé Soit (u n ) définie par u et n IN : u n+ = (u n + b u n ) i Montrer que u n+ = f(u n ) avec f höldérienne et déterminer son point fixe γ ii Majorer u n γ en fonction u γ et n iii Prenez un u proche de γ et en déduire un rationnel proche de 97 à près Etudier les suites récurrentes suivantes : un a) u n+ = un + et < u < et b) u n+ = e un et u IR u n 3 (a) Montrer que l équation tan(x) = x admet une unique solution a n dans un équivalent simple lorsque n tend vers + (b) Vérifier que pour tout n, a n > π + a n ] (n )π + π ; nπ + π [ En donner (c) On pose pour tout n IN, b n = a n nπ π Montrer que (b n) n est une suite croissante et qu elle converge (d) Calculer tan(a n ) en fonction de b n de deux manières différentes En déduire une relation vérifiée par b n puis la limite de la suite (b n ) (e) Trouver la limite de la suite (nb n ) puis en déduire un équivalent de b n et enfin un développement asymptotique à 3 termes de b n de 4 On considère l équation e x x n = (a) Montrer que, pour n assez grand, cette équation a exactement deux solutions positives u n v n (b) Montrer que (u n ) converge vers une limite l ; donner un équivalent de u n l (c) La suite (v n ) converge-t-elle? Déterminer un équivalent de v n (d) Déterminer un développement asymptotique à deux termes de v n FONCTIONS REELLES Soit f continue sur [, ] tel que f() = f() (a) Montrer par l absurde qu il existe a [, ] tel que f(a + ) = f(a) (b) Montrer par l absurde qu il existe b [, ] tel que f(b + 3 ) = f(b) (c) Application : Coulibaly parcourt 8km en heure Montrer qu il existe un intervalle de temps de 3 minutes pendant lequel il a parcourut exactement 4 km Soient f et g, fonctions lipschitziennes sur [a, b] Montrer que f + g et fg le sont aussi 3 Déterminer les limites suivantes : x + x en +, ln(e x + ) x en + et x e x en et + 4 Déterminer des équivalents simples de : a) x n en b) sin x 3x π en π 3 c) x + 5 ex x en d) en x 3x + 5 Déterminer un petit o simple de (ln x) a) e x en + b) x 3 en + c) ln x en x 6 On cherche à déterminer les fonctions f définies et continues sur IR, qui vérifient : (x, y) IR : f(x + y) = f(x)f(y) 6

7 Soit f une telle fonction On suppose de plus que f est non nulle (a) Montrer que x IR : f(x) > (b) Montrer que x IR, n IN : f(nx) = f(x) n On pose a = f() (c) Calculer f(n) pour n IN, f(n) pour n ZZ puis f(r) pour r lq (d) Soit t IR Caluler f(t) (e) Conclure 7 Soit f : IR + IR, x x x (a) Etudier la continuité de f sur IR + (b) En encadrant à l aide de x, montrer que f est continue en x (c) Tracer f sur IR + 8 Soit n IN On pose z n = + i n Déterminer arg(z n) à l aide d un arctan En déduire lim n ( + i n )n 9 Montrer que arctan 5 = arctan 5 Montrer que P n (x) = [(x ) n ] (n) admet n racines à distinctes dans ], [ La fonction x est-elle polynômiale sur IR +? sur [, 3]? Déterminer les fonctions f : [a, b] IR telle que : α > et K, (x, y) [a, b] : f(x) f(y) K x y α 3 Etudier la continuité et la dérivabilité de f définie sur IR par f(t) = x t dx 4 On considère l équation fonctionnelle d inconnue f : x IR : f(x) = f(x) Déterminer les solutions dérivables en de cette équation Donner un exemple de fonction solution de cette équation non continue en 5 On considère l équation fonctionnelle d inconnue f : ( ) : x IR : f ( x) = f(x) (a) Montrer qu une solution de ( ) est de classe C sur IR (b) En dérivant ( ), déterminer les solutions de cette équation 6 Soit f : [a, b] [a, b] une fonction -lipschitzienne, et (x n ) définie par x [a, b] et n IN, x n+ = x n + f(x n ) Montrer que (x n ) converge vers un point fixe de f n 7 Si n IN sin(kx), et x IR, soit f n (x) = k k= (a) Déterminer le plus petit réel x n strictement positif en lequel f n atteint un maximum local (b) Calculer lim f n(x n ) à l aide des sommes de Riemann n + CONVEXITE Montrer que : (a) x [, π ]IR : sin x π x (b) x IR+ : arctan x x (c) (x,, x n ) (IR + ) n n : x x n x + + x n n (d) Soit n IN et (x,, x n ) (IR + ) n Montrer que x + x + + x n + x n n x x 3 x n x Donner un exemple de fonction convexe de IR dans IR non dérivable en,, et 3 Soit f convexe sur un intervalle bornée ]a, b[, montrer que f est minorée 4 Soit f de IR dans IR convexe et majorée Montrer que f est constante ( ) x + y 5 Montrer que pour tous (x, y) ], + [, ln ln x ln y 6 Soit f définie sur IR par f(x) = e x si x et f() = 7

8 (a) Montrer que f est de classe C sur IR et calculer f n () (b) Etudier la convexité et tracer f 7 Soit f une fonction convexe et C, définie sur IR +, montrer que f(x) admet une limite finie ou infinie en + x Montrer que si cette limite est un nombre négatif ou nul alors f est décroissante 8 Soit f convexe de [, ] dans IR Montrer que f est dérivable à gauche et à droite en tout point ], [ et que f d et f g sont croissantes sur ], [ 9 Soit f une fonction de IR dans IR, continue sur IR On suppose que f vérifie : ( ) x + y (x, y) IR f(x) + f(y), f Montrer que f est convexe sur IR Soit p un réel tel que p > (a) Montrer que (x, y) (IR +) et (λ, µ) (IR +) (λx + µy) p (λx p + µy p )(λ + µ) p (b) En déduire l inégalité de Minkowsky : ( n ) ( p n (a i + b i ) p i= indication : On commencera par appliquer le (a) avec i= a p i ) p + ( n n a p i = i= n i= i= b p i b p i = DEVELOPPEMENTS LIMITES-ETUDES LOCALES ) p Donner le DL en à l ordre 4 des fonctions suivantes : e 3x, e x, ln( + x 3 ), cos x, x +, x Donner le DL en a à l ordre des fonctions suivantes : tan x en a = π 3, x en a =, ln( + x) en a = 3, arctan x en a = 3, ex + en a = + ( ) xp (a) ap (x) 3 Soit P une foncion C sur IR et a IR Déterminer lim x = a x a 4 Déterminer les limites suivantes : e lim x x + ln(cos x) tan 4 x, ( ) ln x lim, lim x sin πx x + (( ln(x + ) ln x ) x ) ln x 5 Déterminer un équivalent simple de a) + sin x + ln( + x) + cos x + ex (arcsin x ) 3 + tan 6 x 6 Calculer les DL suivants : a) e 6 sin x en à l ordre 4, b) ( + x + 3x ) 8 en à l ordre 3, arcsin x c) en à l ordre 3, (x( x) en, b) ( 3x + 7 x ) x 7 en + d) cos x en à l ordre 6 7 Soit f définie sur ], [ par f(x) = ( x) x (a) Prolonger f par continuité en et étudier les variations de f (b) Montrer que f admet un DL en à tout ordre et donner celui d ordre (c) Tracer le graphe de f 8

9 8 Calculer le DL en à l ordre n + de arccos x (on donnera les coefficients du DL sans pointillés) 9 Soit f définie sur IR par (x + ) arctan x (a) Etudier l allure locale (tangente et position) en (b) Etudier l allure locale (asymptote et position) en + (c) Tracer le graphe de f Soit f définie de ] π, π [ sur IR par f(x) = sin x + tan x Montrer que f est bijective, que f est C sur IR Calculer le DL de f en à l ordre 3 Calculer la limite suivante lim x π 6 Déterminer le développement limité à l ordre 3 en de ( arctan( sin x) π ) cos(3x) 4 f(x) = x arcsin x SERIES NUMERIQUES REELLES ET COMPLEXES Etudier ( la nature des séries suivantes : ) ( n n ) ( + ln n n 4 + n 3 n ) + n + 7 a) 3 n + 4 n b) 3 n c) cos n n 3 4n + 8n + 47 ( ) ( ) ( d) cos n e ) ( n e) ln(cos n ) ) f) e ( + n )n g) n + n ( ) ( cos(3 n ) ( ) n ) ( + ln n arctan(n ) + ln n) h) ln n i) n 3 j) k) n Etudier la nature des séries suivantes : a) ( n! n n ) n 3 Etudier la nature de la série ( u n ) où u n = (n sin n )n 4 Séries de Bertrand (HPTS) (ln x) a (a) Rappeler lim x + x b (b) Etudier la nature des séries suivantes : ( n b) n xn ) c) ( ( 3n n ( ln n n 3 ), ( (ln n) n ), ( (ln n) 37 n, ), ( (ln n) n ), ( n ln n ) (c) Généraliser à l aide des exemples ci-dessus ( ) 5 Nature de la série a n (avec a > ) 6 Etudier la nature des séries suivantes : a) ( ( ) n (ln n) n n + 5 ), b) ( cos(nπ) ) c) ( sin(π n + )) n )x n ) 7 Soit (u n ) définie par u IR et n IN : u n+ = n e un Etudier la nature de la série ( u n ) et de la série ( ( ) n u n ) 8 Donner la nature de la série ( u n ) où u n = ln( + ( )n ) et α IR 9 Soit z un complexe fixé n α (a) On suppose que Re(z) > Etudier la nature de la série ( n z ) cos(ln n) (b) On admet que ( ) est divergente Etudier la nature de la série ( ) n n+i Soit u n = t n sin(πt)dt Etudier la nature de la série ( u n ) Calculer, après en avoir justifier l existence, les sommes suivantes : a) (n + )(n + )(n + 3), b) ln( n + n (n + ) ) n= n= 9

10 Calculer la somme suivante : n= n= n ( n + n ) 3 Calculer, après avoir justifier l existence, une valeur approchée des sommes suivantes : π n a) à près b) n! n 5 à près c) n! à près 4 Soit u n = k=n ( ) k k n= (a) Justifier l existence de u n (b) Montrer que ( u n ) est convergente (c) Calculer u n n= 5 Soit u n = jn iπ n avec j = e 3 (a) Calculer pour p IN, v p = u 3p+ + u 3p+ + u 3p+3 et donner en un équivalent (b) Montrer que ( v p ) est convergente, puis que ( u n ) est convergente (c) Grâce à la Méga-astuce n = t n dt, calculer u n (d) Que dire de la série ( cos nπ 3 n ) et de sa somme? 6 Soit (x n ) définie par x > et pour tout entier n, x n+ = x n + x n ) Etudier la suite (x n ) ) Déterminer un équivalent simple de x n 3) On prend x = 5 Montrer que 45 < x < 45, x = 7 On définit la suite (x n ) n IN par xn + x n+ = On pose n IN, u n = x n ) Etudier la suite (x n ) n IN ) Déterminer la nature de la série u n 8 On pose, pour tout entier naturel non nul n, u n = n n Quelle est la nature des séries u n et u n n? n= n= 9 Soit h n = n, u n = h n ln n et v n = u n n a) Montrer que (u n ) converge b) A l aide de (v n ), donner un developpement asymptotique à 4 termes de h n Soit ϕ une bijection de IN dans IN On pose pour tout entier n IN, u n = ϕ(n) et v n = ϕ(n) n Etudier les suites et les séries suivantes : (u n ), (v n ), ( u n ) et ( v n ) n ) Montrer qu il existe a > tel que ( + ( )k a k n k= On utilisera σ n = + + = ln n + γ + o() n Etablir une bijection entre [, ] et [, [ 3 Soit (u p,q ) (p,q) IN définie par (u (p q) p,q = (p + q + )(p + q + )(p + q + 3) n a) Calculer b) Calculer c) Calculer u k,n k p= q= u p,q q= p= u p,q n= k= ( ) d) La série up,q est elle absolument convergente? (p,q) IN ( ) 4 Existence et calcul (quand elle existe!) de la série double (p + q + ) α (p,q) IN

11 5 On admet que σ n = + + n = ln n + γ + o() et que pour x [, [ : ln( x) = + On pose enfin ζ(x) = + n= n x Montrer que + n= ( ) n ζ(n) n 6 Pour tout entier naturel n non nul, on note v (n) le nombre de dans l écriture binaire de n (a) Justifier que v (n) = O (ln n) En déduire que la série v (n) + n(n + ) converge n (b) Exprimer v (n) et v (n + ) en fonction de v (n) (c) En déduire la somme de la série 7 Déterminer la nature de la série de terme général u n = (n+)π nπ = γ e ln(x) sin(x) dx 8 Soit P lc[x] On considère la série de terme général u n = (n 4 + n ) /4 P (n) /3 Déterminer P pour que la série u n converge 9 (a) Déterminer un équivalent lorsque N tend vers + de la somme partielle d ordre N de la série n (b) Montrer que la série ( ) n ln n n converge n N (c) En admettant qu il existe C IR tel que + n= n= ln n n où γ est la constante d Euler On rappelle que γ = 3 On considère pour tout n IN l équation n= = ln (N) + C + o + (), montrer que ( ) n ln n n = γ ln ln lim n + (E n ) xe x = n [ n k= ] k ln(n) (a) Montrer que (E n ) admet une unique solution, notée x n, pour tout n IN (b) Déterminer la limite de la suite (x n ) puis un équivalent lorsque n tend vers + (c) En déduire la nature de la série x n, selon les valeurs de ga nga 3 Soit α IR (a) Donner une condition nécessaire et suffisante sur α pour la suite (u n ) soit convergente avec n IN, u n = n + α ln(n) (b) Exprimer la limite de la suite (u n ) en fonction de la constante d Euler γ = { 3 Soit j IN, on note k j = min p IN p n= } n j lim n + (a) Justifier l existence de k j puis montrer que k j tend vers + lorsque j tend vers + (b) Montrer que S kj+ S kj + p avec S n = k j k j+ n (c) A l aide de la comparaison série-intégrale, montrer que n= lim j + k j+ k j = e [ n k= x n n ] k ln(n) ln n n

12 PROBABILITES Une compagnie d assurance automobile a classé ses assurés ont trois classes d âges : moins de 5 ans, de 5 ans à 5 ans, plus de 5 ans Le tableau ci-dessous fournit de deux informations : la proportion d assurés appartenant à chaque classe et la probabilité qu un assuré d une classe donnée déclare au moins un accident au cours de l année Classe proportion probabilité moins de 5 ans,5, de 5 à 5 ans,53,6 plus de 5 ans,,9 Un assuré est tiré au hasard dans le fichier de la compagnie Quelle est la probabilité qu il ait déclaré au moins un accident au cours de l année? Quelle est la probabilité qu un assuré ayant déclaré au moins un accident au cours de l année soit agé d au plus 5 ans? 3 Quel est la probabilité qu un assuré agé de 5 ans ou plus ait au moins un accident au cours de l année? 4 Quelle est la probabilité qu un assuré n ayant déclaré aucun accident soit agé de 5 à 5 ans? On jette trois dés non pipés Calculer la probabilité d obtenir au moins un as Que vaut la probabilité d obtenir au moins deux faces portant le même chiffre? 3 Calculer la probabilité que la somme des points marqués sur les trois dés soit paire 4 Montrer que les évènement considérés aux questions et 3 sont indépendants 3 Dans une bibilothèque, n livres sont exposés sur une étagère rectiligne et répartis au hasard Parmi ces n livres, k sont d un même auteur A, les autres étant d auteurs tous différents Calculer la probabilité qu au moins p livres de A se retouvent côte à côte dans les cas suivants : n =, k = 3, p = 3 ; n =, k = 5, p = 4 Mon voisin a deux enfants dont une fille Quelle est la probabilité que l autre enfant soit un garçon? Un autre voisin a deux enfants dont une fille Le plus jeune est une fille Quelle est la probabilité que l ainé soit un garçon? 5 On cherche un parapluie qui, avec la probabilité p se trouve dans l un quelconques des 7 étages d un immeuble 7 (p [, ] fixé) On a exploré les 6 premiers étages Quelle est la probabilité que le parapluie se trouve au 7-ième étage Soit f(p) cette probabilité ; représenter graphiquement f Donner une interprétation de f( ) 6 Une maladie M affecte un français sur On dispose d un teste sanguin qui détecte M avec une fiabilité de 99% lorsque cette maladie est effectivement présente Cependant on obtient un résultat faussement positif pour,% des personnes saines testées Quelle est la probabilité qu une personne soit réellement malade lorsqu elle a un test positif? Conclure 7 On considère n menteurs I,,I n I reçoit une information sous la forme de oui ou non, la transmet à I, ainsi de suite jusqu à I n qui l annonce au monde Chacun d eux transmet ce qu il a entendu avec la probabilité p, < p <, le contraire avec la probabilité p et les réponses des n personnes sont indépendantes Calculer la probabilité p n pour que l information soit fidèlement transmise Que se passe-t-il lorsque n tend vers l infini Conclure Reprendre le calcul de p n à l aide d une variable aléatoire 8 Deux évènements E et F sont dits indépendants conditionnellement à C si P (E F/C) = P (E/C) P (F/C) Montrer que E et F peuvent être indépendants et ne plus l être conditionnellement à un évènement C 9 On dispose de N + urnes numérotées de à N L urne numérotée k contient k boules rouges et N k blanches On choisit une urne au hasard Sans connaitre son numéro, on en tire n fois de suite une boule, avec remise après chaque tirage Quelle est la probabilité que le (n + )-ième tirage donne encore une boule rouge sachant que, au cours des n premiers tirages, seules des boules rouges ont été tirées? Calculer la limite de cette probabilité lorsque N tend vers l infini (ce resultat est connu sous le nom de loi de succession de Laplace)

13 Soit T une va à valeurs dans IN tel que P (T n) > pour tout n IN On appelle taux de panne la suite (θ n ) définie par θ n = P (T = n/t n), n IN Par exemple, si T est la durée de vie d une ampoule électrique mesurée en heures, un observateur la trouvant allumée au début de l heure n a la probabilité θ n de la voir griller avant la fin de l heure Calculer P (T = n) en fonction des θ k, k n Montrer qu une suite de réels (θ k ) est un taux de panne si et seulement si pour tout entier k IN : θ k < et la série ( θ k ) diverge Que dire du cas où (θ k ) est constante? Considérons le jeu suivant : un joueur lance successivement et indépendamment n fois une pièce de monnaie Chaque fois qu il obtient Pile, il gagne un point ; chaque fois qu il obtient Face, il perd un point Soit p ], [ la probabilité d obtenir Pile et q = p la probabilité d obtenir Face pour chaque lancer L espace des épreuves est Ω n = {Pile,Face} On a cardω n = n et probabilité P Ω n est donné On définit les variables aléatoires 7 et S, S, S,, S n sur Ω n par les conditions suivantes (k [, n]) : { si ωk =Pile X k (ω) = si ω k =Face S = x où x ZZ est la fortune initiale du joueur S k = x + X + X + + X k La variable aléatoire X k représente le gain du joueur -positif ou négatif, gain ou perte- du joueur au k-ième lancer La variable aléatoire S k représente la fortune du joueur après le k-ième lancer ou à l instant t On peut représenter une partie complète à savoir un ω, par sa trajectoire, c est-à-dire la ligne brisée joignant les points de coordonnées (kns k (ω)) pour k [, n], placé dans un repère L axe T des abscisses est ici interprété comme l axe des temps Ainsi un chemin qui se trouve à l instant k en (k, x) sera à l instant k + en (k +, x + ) avec la probabilité p en (k +, x ) avec la probabilité q Il y a donc n chemin ou trajectoire possible de n lancer On se servira de cette représentation pour décrire les événements Par exemple l événement (S =, S = ) est l ensemble des trajectoires passant par les points (, ) et (, ) On notera T M,N ou T (m,µ)(,n,ν) le nombre de chemins joignant les points M(m, µ) à N(n, ν) Lorsque l expérience consiste en une suite infinie de tirage à Pile ou Face, la suite infinie correspondante de variables aléatoires X, X,, X n, s appelle une marche aléatoire (a) Pour tout ω Ω n donner la probabilité de ω en fonction de r, le nombre de Pile obtenus dans la réalisation de ω (b) Faire des shémas de différentes trajectoires (c) Donner une condition nécessaire et suffisante sur m, µ, n, ν pour que puisse exister une trajectoire T N,M de M(m, µ) à N(n, ν) (d) Déterminer le nombre R N,M de trajectoire T N,M (e) Principe de réflexion Soient µ > et ν > et M le symétrique de M par rapport à l axe des temps T i Montrer qu il existe autant de trajectoires touchant l axe des temps et menant de M à N, que de trajectoires menant de M à N ii En déduire, lorsque partant de M, on arrive à N, la probabilité de ne jamais rencontrer l axe des temps iii Au cours d un scrutin opposant deux candidats, C à obtenu 6 voix et D 4 Quelle est la probabilité que C ait été majoritaire tout au long du scrutin? iv Cent personnes font la queue à un guichet de cinéma ; la place coûte cinq euros 6 personnes n ont en poche qu un billet de cinq euros Les 4 autres personnes ont chacune un billet de euros Combien faut-il de billet de cinq euros dans la caisse pour pour que, avec la probabilité d au moins 95%, chacun soit servi dès qu il se présente? Soit (Ω, A, P) un espace probabilisé Soient N une variable aléatoire à valeurs dans IN et (Y n ) n IN une suite de variables aléatoires discrètes On définit Z par ω Ω : Z(ω) = Y N(ω) (ω) Montrer que Z est une variable aléatoire 3 Soient n et N deux entiers naturels non nuls On considère N urnes qui contiennent chacune n boules numérotées de à n On tire au hasard une boule dans chaque urne Soit X n le plus grand numéro obtenu (a) Déterminer le loi de X n (b) Calculer, à N fixé, l espérance de X n puis montrer que E(X n ) n + nn N + 3

14 4 Soient X U([, n ]) et Y U([, X ]) Déterminer la loi de probabilités de Y ainsi que son espérance 5 Sur un écran numérique carré de N pixels assimilé à T = [[, N [, on choisit de manière indépendante trois points A, B, C suivant une loi uniforme Pour M P T, on note M,P les points de T alignés avec M et P (a) Déterminer P (A = B) (b) Montrer que, pour tout M P T, on a P (C M,P ) N (c) Montrer que P (A, B, C forme un vrai triangle) N N 6 Sur un espace probabilisé, on considère une suite (A i ) i d événements indépendants On note p i = P (A i ) et on suppose que a = + i= p i < + ( n ) On veut montrer que, pour tous (n, k) (IN ), on a : P Ai k (a) Que dire du cas k > n? ( n ) (b) Montrer que P Ai k (c) Si a n = i= n p i, montrer que a k n k! i= F [,n ] F =k F [,n ] F =k p i i F i= p i Conclure i F ak k! (d) Au ball-trap, un tireur vise à chaque épreuve une cible mobile Sa probabilité de réussir au premier coup est p ], [, et cette probabilité est inversement proportionnelle à la vitesse de la cible D une épreuve à la suivante, la vitesse de la cible augmente de % Les tirs succéssifs sont supposés indépendants, et le stock de cartouche est illimité Le tireur doit atteindre au moins fois la cible Majorer, indépendamment de p, sa probabilité de réussite 7 Un polycopié de 4 pages contient un nombre n d errreurs typographiques réparties au hasard (n étant quand même inférieur au nombre de carractères que contient une page) (a) Quelle est la loi exacte de la va Y représenatant le nombre d erreurs en page 3? Par quelle loi peut-on l approcher? Dans les deux questions suivantes, on suppose que Y suit cette loi approchée (b) On effectue des lectures successives de cette page A chaque lecture les erreurs sont corrigés avec une probabilité de /3, indépendamment les unes des autres On note Y i le nombre d erreurs restantes après la i-ième lecture Déterminer P (Y = j/y = k) pour j et k entiers (c) Déterminer la loi de Y puis celle de Y i (d) En fait, le nombre d erreurs contenues dans ce polycopié est modélisé par une va N entière, d espérance µ On définit la variable Z i correspondant au nombre total d erreurs subsistant dans le polycopié après la i-ième lecture Déterminer P (Z = k/n = n) pour n et k entiers (e) Déterminer E(Z ) et E(Z i ) 8 On considère une suite d épreuves répétées indépendantes avec pour chaque épreuve trois résultats possibles : A avec la probabilité a, B avec la probabilité b, C avec la probabilité c Quelle est la loi de la variable aléatoire X = (n A, n B, n C ) où n A est le nombre de résultats valant A etc? Vérifier que l on a bien une loi de probabilité 9 On dispose de deux urnes La première contient une proportion de p ], [ boules blanches et de q boules noires On effectue des tirages avec remise jusqu à obtention d une boule blanche On note N le nombre aléatoire de tirages nécessaires Dans une seconde urne contenant boules numérotées de à 9, on effectue alors N tirages avec remise, et si on note Y j le chiffre obtenu lors du j-ième tirage, on forme le réel décimal : X(ω) =, Y (ω)y (ω) Y N(ω) (ω) = On note D l ensemble des décimaux de [, [, tout élément d D admettant une unique écriture de la forme k n avec n IN et k IN non divisible par, qu on appelle écriture réduite de d (pour d =, on prend k = et n = ) N(ω) j= Y j (ω) j (a) Montrer que D est dénombrable Existe-t-il une énumération croissante de D? 4

15 (b) Quelle est la loi de N? (c) Calculer P (X =, 375) Plus généralement calculer P (X = d) pour d D (d) Si F est la fonction de répartition de X, montrer que F n est continue sur aucun sous-intervalle de [, [, mais qu elle est continue en tout réel non décimal j d + (e) Montrer que, pour j : d D, P (X d/n = j) = j (f) Calcul F (d) pour d admettant une écriture réduite avec n = puis n = Calculer F (d) pour d décimal quelconque 9 (g) Calculer l espérance de X Montrer que, pour toute valeur de p, on a : < E(X) < Soit a ], /[ et p k la probabilité qu une famille ait k enfants On suppose que p = p = a et p k = ( a) (k ) pour k On suppose aussi que P(Fille)=P(Garçon)=/ On pose E n : «la famille a n enfants», F n : «la famille a n filles» et G n : «la famille a n garçons» (a) Vérifier que p suit bien une loi de probabilité (b) Quelle est la la probabilité qu une famille ayant filles ait seulement enfants (c) Quelle est la la probabilité qu une famille ait garçons sachant qu elle a deux filles? Dans une ville fictive et pas chère, le ticket de métro coûte euro La première infraction constatée coûte euros, la seconde 4 et la troisième 4 La probabilité p pour un voyageur d être contrôlé lors d un trajet est constante et connue seulement de la compagnie Un fraudeur décide de ne pas payer systématiquement jusqu à la deuxième amende On note T le numéro du trajet où le fraudeur est contrôlé pour la seconde fois (a) Déterminer la loi de T (b) Déterminer P (T > n) pour n IN Calculer P (T > 6) pour p = / et p = / (c) Déterminer l espérance de T (d) Quel conseil financier donner au fraudeur? On jette indéfiniment une pièce de monnaie, la probabilité d appartion d un Face étant p On note T n le temps d attente du n-ième Face (a) Déterminer les lois de T, T et T n (b) Déterminer la loi de T n+ T n conditionnée à (T n = i) En déduire la loi de T n+ T n Déterminer l espérance de T n (c) Montrer que T n+ T n et T n sont indépendantes Déterminer la variance de T n et sa fonction génératrice (d) On note T le temps d attente pour avoir au moins un Face et un Pile, V le nombre de Face et D le nombre de Pile à cet instant i Quelle est la loi de T et son espérance? ii Quelle est la loi de (V, T ) En déduire la loi de V et son espérance 3 Dans une suite (X i ) i de pile ou face équitables, on appelle série toute suite de résultats consécutifs identiques Par exemple dans la suite FFPFPPPPPPFF, il y a 5 séries On note S n le nombre de séries observées après n lancers indépendants Montrer que n, i : P (S n = i, X n = F ) = (P (S n = i, X n = F ) + P (S n = i, X n = P )) Evaluer de même P (S n = i, X n = P ) En déduire la fonction génératrice et la loi de S n 4 Soient deux urnes pouvant contenir b boules nummérotées de à n A l instant, les b boules sont toutes dans l urne A chaque instant n, une boule est choisie avec equiprobabilité et passe dans l autre urne On note X n le nombre de boules contenues dans l urne à l instant n Calculer l espérance de X n+ conditionnée en (X n = i) Déterminer E(X n ) et lim E(X n) n + 5 Soit (Ω, P(Ω), P ) un espace probabilisé fini, (A i ) i n une famille finie quelconque d événements n (a) Montrer que, pour x i réels quelconques ( x i ) = x i i= ( n ) ( n ) (b) Montrer que P A i = E ( Ai ) i= i= ( n ) (c) En déduire la Formule de Poincaré : P A i = i= I [,n ]( ) Card(I) i I n ( ) k+ k= i < <i k n P (A i A ik ) 5

16 6 On suppose que le couple de va entières (X, Y ) a une loi donnée par (i, j) IN α : P (X = i, Y = j) = ( + i + j)! (a) Que peut-on dire, sans calculs, des lois de X et Y? (b) Si S = X + Y, déterminer la loi de S et en déduire la valeur de α (c) Calculer P (X = ) Les variables X et Y sont-elles indépendantes? où α > (d) Sans calcul, donner l espérance de S et en déduire celle de X Pourrait-on obtenir ainsi la variance de X? Calculer la covariance de (X, Y ) et en déduire la variance de X (e) Calculer P (X = Y ) puis en déduire P (X > Y ) 7 Le nombre de personnes entrant en une journée dans un bureau de poste est une variable aléatoire S suivant une loi de Poisson de paramètre λ La probabilité qu un arrivant soit une arrivante est p On note X le nombre d arrivantes dans une journée et Y le nombre d arrivants Calculer P (X = i, Y = j/s = n) et en déduire la loi de (X, Y ) et les lois de X et Y X et Y sont-elles indépendantes? 8 Soit α = (α,, α d ) (IR + ) d On dit que une variable aléatoire X = (X,, X d ) suit une loi de Poisson de paramètre α si (k,, k d ) IN d : P (X = k,, X d = k d ) = e (α+ +α d) αk αk d d k! k d! Vérifier qu il s agit bien d une loi de probabilité Déterminer, pour I [, d] non vide la loi de X I = i I X i 9 On considère une suite de n épreuves répétées indépendantes, chaque épreuve ayant k résultats possibles r,, r k On note p i la probabilité de réalisation de r i, lors d une épreuve Pour i [, k ], on note X i le nombre de réalisations de r i au cours des n épreuves (a) Déterminer Var(X + + X k ) (b) Déterminer la loi de X i et sa variance (c) Même question pour X i + X j avec i j En déduire Covar(X i, X j ) Vérifier que ce résultat est compatible avec celui de la première question 3 Deuxième lemme de Borel-Cantelli Soit (Ω, F, P) un espace probabilisé Soit (A n ) n IN une suite d événements indépendants On note A = lim sup A n = A k n n IN k n ( On suppose que P (An )) diverge et l on souhaite prouver que P (A) = Justifier que pour tout x >, ln( + x) x Carractériser le fait qu un élément appartienne à A N 3 Soient n N On note E n,n = A k et E n = A k k=n k n (a) Démontrer que (n étant fixé), lim ln (P (E n,n )) = N + (b) En déduire que P (E n ) = puis que P (A) = 4 Application : On lance une pièce équilibrée, une infinité de fois Montrer que l évènement 37 piles de suite une infinité de fois a une probabilité de 5 Montrer qu il n existe pas de probabilité sur (IN, P(IN)) tel que P (pin) pour tout nombre premier p (on rappelle que la série diverge) p p premier 3 On utilisera le deuxième lemme de Borel-Cantelli On considère une épreuve ayant r issues élémentaires équiprobables On répète cette épreuve dans des conditions identiques On note A n l événement : au cours des nr premières épreuves, chacune des r issues distinctes se produit exactement n fois On dira que A n est une compensation exacte (a) Déterminer p n = P (A n ) Déterminer un équivalent de p n pour n tendant vers l infini (b) En déduire que pour r 4, presque sûrement il n y aura plus jamais de compensation exacte au delà d un certains nombres d épreuves 6

17 ESPACES VECTORIELS On pose E = IR 3 rapporté { à sa base canonique x + y + z = Soit F/y + z =, G x + 3y + 4z = et G =vect( u, v ) avec u = (,, 3) et v = (,, ) (a) Montrer que F, G et G sont des SEV de E (b) Déterminer une base de F, G et G (c) Déterminer 4 supplémentaires de F et G (d) Déterminer l expression analytique du projecteur p sur F parallèlement à G {( ) } x 5y Soit E = tel que (x, y) (IR) y x + 3y (a) Montrer que E est un IR-EV (b) Déterminer une base et la dimension de E (c) Déterminer supplémentaire de E dans M (IR) (d) Montrer que E est une IR-algèbre (e) E muni des lois + et est-il un corps? 3 Soit F et G SEV de E Que dire d un vecteur x qui n appartient pas à F + G? 4 Soit F et G SEV de E tels que F + G = E Que dire d un vecteur x qui n appartient pas à F? 5 Montrer à l aide de la définition que (3 + X, X, + X ) est une famille génératrice de IR [X] Est-ce une base de IR [X]? 6 Soient u, v, w 3 vecteurs d un K-EV On suppose que (u, v), (u, w) et (v, w) sont libres A-t-on (u, v, w) libre? 7 Soit E = IR IR On définie f, g, h dans E par f(x) = cos(x + a), g(x) = cos(x + b) et h(x) = cos(x + c) Montrer que (f, g, h) est liée 8 Soit (e,, e n ) une base de E On pose u = e e, u = e e 3,, u n = e n e A-t-on (u,, u n ) libre? Déterminer vect(u,, u n ) 9 Soit E = {f C sur IR telle que x IR : f (x) = xf(x)} Montrer que E est un IR-EV et déterminer une base de E Soit (P n ) n IN une famille de polynômes de IR[X] telle que n IN : d (P n ) = n (a) Montrer que n IN : (P, P,, P n ) est une base de IR n [X] (b) En déduire que (P n ) n IN est une base de IR[X] Soit a [, ] et soit ϕ a définie sur [, ] par ϕ a (x) = x a (a) Montrer que (ϕ a ) a [,] est libre dans E = IR [,] (b) Soit F =vect(ϕ a ) a [,] A-t-on F = E? (c) Soit f définie par f(x) = 4x si x [, ] et f(x) = x + 3 si x [, ] Tracer f et montrer que f F Généraliser Soit f a définie sur IR par f a (x) = e ax Montrer que (f a ) a IR est une famille libre de IRIR 3 Soit f n définie sur IR par f n (x) = cos nx Montrer que (f n ) n IN est une famille libre de IRIR Soit f définie sur IR par f(x) = + cos x A-t-on f vect{f n tel que n IN}? 4 Soit E un IR-EV et f L(E) telle que f f + id E = (a) Factoriser f f + id E (b) Montrer que ker(f 7id E ) ker(f 3id E ) = E 5 Soit f définie de IR 4 dans IR 3 par f(x, y, z, t) = (x + y + 3z, x + 5y + z, x y z) Déterminer rang, noyau et image de f On donner une base de chacun d eux Soit p =rg 3, 7 6, 6 et q =rg((x + ), (X + ), (X + 3), (X + 4) )) Pourquoi a-t-on p 3 et q 3? Calculer p et q 7

18 7 Soit E = C n (IR) et soit ϕ : E IR n+, f (f(), f (),, f (n) ()) (a) Montrer que ϕ est linéaire (b) Déterminer le noyau, l image et le rang de ϕ (c) Déterminer un supplémentaire du noyau 8 Exercices très classiques : à savoir faire par coeur!! Soit E un K-ev de dimension n et (f, g) L(E) (a) Montrer que ker f p ker f p+ et que imf p+ im f p (b) Montrer que f = im f ker f (c) Montrer que f g = (d) E = ker f imf imf =imf ker f = ker f Reprendre ces équivalences si E n est plus supposé de dimension finie (e) Quelles sont les valeurs possibles de rg (f)+rg (g)? (f) On suppose que f g = Montrer que rg (f)+rg (g) n Si rg (f) = et n 3, montrer qu il existe ϕ L(E) tel que f ϕ = et que rg (f)+rg (ϕ) = n 9 Soit E un K-ev de dimension n et f L(E) telle qu il existe p IN avec f p = et f p On suppose que dim ker f = On pose enfin N k = ker f k (a) Montrer que k [, p], N k N k+ et f(n k+ ) N k (b) En considérant ϕ définie de N k+ dans N k par ϕ(x) = f(x), montrer que dim N k+ dim N k + (c) En déduire que p=n et calculer dim N k pour k [, p] (d) Soit x un vecteur de E tel que f n (x) Montrer que (x, f(x), f (x),, f n (x)) est une base de E Soit E un espace vectoriel de dimension finie n sur lk et f L(E) On suppose qu il existe un vecteur x E tel que la famille (x, f(x ),, f n (x )) soit libre ) f est-elle bijective? n ) Soit g L(E) tel que f g = g f Montrer que (λ, λ,, λ n ) tel que g = λ k f k 3) Soit C = {g L(E), f g = g f} Montrer que C est une sous-algèbre de L(E) Quelle est sa dimension? Soit E, F, G 3 K-ev de dimension finie, f L(E, G) et g L(E, F ) Déterminer une CNS sur f et g pour qu il existe ϕ L(F, G) tels que f = ϕ g Soit E = IR n [X] et F = {P E tel que P (3) = } Déterminer avec 3 démonstrations (base, isomorphisme et dualité) la dimension de F 3 Soit E un espace vectoriel sur lk de dimension finie et p, q deux projecteurs de E tels que pq = On pose r = p + q qp ) Montrer que r est un projecteur ) Montrer que ker r = ker p ker q et Im r =Im p Imq 4 Soient E un lk-ev et f L(E) de rang Montrer qu il existe un scalaire λ tel que f = λf 5 On considère la suite de polynômes (E k ) k IN définie par : E =, E = X et k, E k = k= X(X ) (X k + ) k! Pour tout polynôme P IR[X], on note l application linéaire définie sur IR[X] par : (P ) = P (X + ) P (X) (a) Montrer que la famille (E k ) k n est une base de IR n [X] (b) En déduire que le sous-espace vectoriel IR n [X] est stable par, puis en notant n : IR n [X] IR n [X] l application induite, déterminer son image et son noyau (c) En déduire que est une application surjective et préciser son noyau 6 Soient E un espace vectoriel de dimension finie, u et v deux endomorphismes de E Montrer que rg (u) rg (v) rg (u + v) rg (u) + rg (v) 8

19 GEOMETRIE AFFINE Soit F un sous-ensemble d un espace vectoriel E On suppose que F est stable par barycentration, c est-à-dire, tout barycentre de points de F est encore dans F Montrer que F est un sous espace affine de E Soit E un IR-ev Soit A,B,C,D quatre points de E, deux à deux distintcs et non alignés, tels que ( AB, CD) soit lié et que ( AC, BD) soit lié Montrer que ABCD est un parallélogramme 3 Soit E un IR-ev Soit G le barycentre de (A,, A p ) et Soit H le barycentre de (B,, B p ) Montrer que p A i B i = p GH i= 4 Montrer que F = {f IR IR telle que x IR, f(x + ) = f(x) + } est un sous-espace affine de IR IR dont on déterminera un point et sa direction 5 Soit E un plan vectoriel Soient A, B, C trois points non alignés et ( ) une droite de E ; ( ) coupe (BC), (CA), (AB) en trois points notés P, Q, R respectivement On construit les trois parallélogrammes AQA R, BP B R et CQC P Montrer que A, B et C sont alignés 6 Dans E 3 muni d un repère (O, i, j, { k ), on donne : A : x 3y + z = et D x + y 3z = Donner l équation cartésienne du plan passant par A et D 7 Dans E 3 muni d un repère (O, i, j, k ), on donne : { { x z = x + y + z = D et D y z = x y + z = a Pour quelles valeurs de a, D et D sont-elles coplanaires? Donner alors l équation du plan contenant D et D MATRICES Soit A = et F = {M M n (IR) telle que AM = MA} n (a) Montrer que F est un IR-EV (b) Déterminer la dimension et une base de F (c) Montrer que F est une IR-algèbre Est-ce un coprs? Soit n IN et (a,, a n ) lk n à distincts Soit φ : lk n [X] lk n, P (P (a ),, P (a n )) On pose B la base canonique de lk n et B = (, X,, X n ) la base canonique de lk n [X] Déterminer la matrice de φ dans les bases B et B : A = M B,B (φ) 3 Soit E = M n (IR) On note E i,j les matrices de la base canonique de E Soit A E (a) Soit (i, j, k, l ) [, n] 4 Calculer E i,j E k,l, E i,j A et AE i,j (b) En déduire Tr(AE i,j ) (c) Soit ϕ une application linéaire de E dans IR Montrer qu il existe une unique matrice A telle que : M E, ϕ(m) =Tr(AM) (d) Que peut-on en déduire pour l application de E dans E qui à ϕ associe A? (e) Montrer que tout hyperplan de E contient au moins une matrice inversible ( ) 3 4 Montrer que A = est semblable à sa transposée 4 5 Soit A M n (IR) telle que A = A Comparer Tr(A) et rg(a) 6 Etudier la structure de groupe de E = a b c tel que (a, b, c) ZZ 3 7 Soit A la matrice carrée d ordre n dont tous les éléments sont égaux à sauf ceux de la diagonale qui sont nuls Caluler A n avec p IN Caluler A puis A p avec p IN 9

20 8 Soit A M n (IR) pour laquelle il existe un entier p tel que A p = () (on dit alors que A est nilpotente (a) Montrer par récurrence que A est semblable à une matrice du type : (b) En déduire tr(a) 9 Soit M M 3 (IR) telle que M () et M 3 = M Montrer que M est semblable à Soit E = IR n [X] et soit f : P P P )Montrer que f est bijective a) sans utiliser la matrice de f b) en utilisant la matrice de f ) Soit Q un élément de E trouver un P E tel que Q = P P Indication : Si P E, que vaut P (n+)? ) Déterminer la forme d une matrice triangulaire supérieure nilpotente de M p ( lc) ) Soit N M p ( lc), une matrice triangulaire supérieure nilpotente On pose : n P n = n Déterminer n p lim P n n + ( ) avec J = J ( ) NP n (on admet qu une suite de matrice (M n ) avec M n = (m i,j (n)) de M p ( lc) converge vers une matrice A si pour tout i, j de [[, p] : lim m i,j(n) = a i,j n + 3 n n n n n n n n 3 n Soit A n = 3 4 n Calculer A n ( ) A A 3 Soient (A, B) M n ( lc) et M = M A B n ( lc) (a) On notera rg (M) le rang de la matrice M Montrer que rg (M) = rg (A) + rg (B A) (b) Donner une condition nécessaire et suffisante sur A et B pour que M soit inversible (c) Calculer M quand elle existe 4 Soit A une matrice non nulle de M n ( lc) et ϕ l application de M n ( lc) dans lui-même définie par ϕ(x) = X + ( tr X)A (a) A quelle condition ϕ est-elle bijective? Caractériser ( ϕ) lorsque ϕ n est pas bijective (b) Discuter et résoudre, pour B donné dans M n ( lc), l équation ϕ(x) = B GROUPE SYMETRIQUE - DETERMINANTS Donner en extension S 6 Soit ( ) σ = Décomposer σ en produit de cycles, en déduire sa signature Calculer σ n pour tout entier n Décomposer σ en produit de transpositions

21 3 Soit s un p-cycle de S n et soit σ une permutation de S n Déterminer σsσ 4 Montrer que toute pemutation de A n peut s écrire comme produits de 3-cycles 5 Soit A M n (ZZ) Montrer que det(a) ZZ 6 Soit M M 3 (IR) telle que M () et M 3 = M Montrer que M est semblable à 7 Calculer λ et λ n x a x b x c d x et généraliser ( ) avec J = J 8 Soit f définie de lk n [X] dans lk n [X] par f(p ) = P (X + ) Calculer det(f), rg(f) et Tr(f) 9 Soit n IN et A M n (IR) définie par (i, j) [, n], A i,j = i j Calculer le déterminant de A 7 x + x x x 6 Calculer et x x x x Soit (e,, e n ) la base canonique de lk n et soit f définie par f(e i ) = e n i+ (a) Calculer det(f) (b) Définir analytiquement f Soit (a, b, λ) IR 3 On cherche à calculer D n (a, b) = (a) On suppose a b Montrer que P (x) = En déduire D n (a, b) (b) En déduire D n (a, a) 3 Soit A M n (IR) de rang r λ + x a + x λ a b λ b + x λ + x ( ) est un polynôme de degré inférieur ou égal à (a) Montrer qu il existe une matrice, B, extraite de A, telle que B M r (IR) et telle que det(b) (b) Montrer que toute matrice carrée d ordre p p avec p r + extraite de A a un déterminant nul (c) Calculer le rang de la comatrice de A en fonction du rang de A 4 Soit A, B et C 3 plans d un plan P et soit a, b et c leur affixe respectives Montrer que A, B et C sont alignés SSI a b c a b c En déduire que si ABC est un vrai triangle (non plat) alors il existe r > tel que si A est prit dans le disque de centre A et de rayon r, si B est prit dans le disque de centre B et de rayon r et si C est prit dans le disque de centre C et de rayon r, alors A B C est encore un vrai triangle a a a 3 a n a a a 3 a n 5 Calculer le déterminant B n = a 3 a 3 a 3 a n où (a i ) i n IR n a n a n a n a n 6 Soit n IN, θ IR\πZZ On définit le déterminant n par cos θ = n = cos θ cos θ cos θ n

22 (a) Calculer et (b) Déterminer une relation de récurrence vérifiée par n puis expliciter n en fonction de n et θ comme le quotient de deux sinus 7 Soit A M n (lk) avec n On désigne par com(a) la comatrice de A c est-à-dire la matrice constituée des cofacteurs de A Montrer que det(com(a)) = (det A) n 8 On tire dans S n, une permutation au hasard (on suppose les tirages équiprobables) Quel est la probabilité de tomber sur une permutation qui dans sa décomposition en produit de cycles de supports disjoints admet au moins cycles distincts et de longueurs différentes de 9 Soit n IN Déterminer le nombre de permutations de S n qui n ont dans leur décomposition en produit de cycles de supports disjoints que des 3-cycles En déduire la limite de la probabilité de tomber dans S n sur une permutation qui n ont dans leur décomposition en produit de cycles de supports disjoints que des 3-cycles On admet la formule de Formule de Poincaré : Soit (Ω, P(Ω), P ) un espace probabilisé fini, (A i ) i n une famille finie quelconque d événements Alors on a : n n P ( A i ) = ( ) k+ P (A i A ik ) i= k= i < <i k n On munit l ensemble Ω N des permutations de [, N ] de l équiprobabilité P N Pour k [, N ], on note E N,k l événement {ω a exactement k points fixes } et, pour i [, N ], B i = {ω tel que ω(i) = i} ( ) (a) Calculer P N Bi B ij pour j N i <i < <i j N (b) En déduire P N (E N, ) (c) En utilisant la valeur de P N k (E N k, ), calculer P N (E N,k ) (d) Montrer que p k = lim P N (E N,k ) définit une loi de probabilité sur IN De quelle loi s agit-il? N + (e) Montrer que k [, N ], P N (E N,k ) p k < En déduire que n [, N ], (f) Après avoir vérifier que, 9994 < n P N (E N,j ) p j j= k!(n + k)! e (N + n)! 5 p j <, 9995, donner, pour N quelconque, des valeurs approchées j= à 4 près de P N (E N,k ) pour k [, 5] (ces valeurs ne dépendent pas de N), ainsi que la probabilité qu une permutation ait au moins 6 points fixes On munit l ensemble Ω N des permutations de [, N ] de l équiprobabilité P N Pour i [, N ], on note : B i = {ω tel que ω(i) = i} On note X i la variable indicatrice de l événement B i et X = X + + X N Que représente X? Déterminer son espérance et sa variance ANNEAUX-CORPS Déterminer le centre de l anneau M n (IR) c est-à-dire l ensemble des matrices qui commutent avec toutes les matrices Déterminer les éléments inversibles de l anneau (IR IR, +, ) 3 Soit A un anneau commutatif On dit qu un élément a de A est nilpotent s il existe un entier n tel que a n = a) Montrer que l ensemble des éléments nilpotents de A est un idéal de A b) Soit I un idéal de A On appelle radical de I, l ensemble : I = {x A, n : x n I} Montrer que I est un idéal de A Calculer dans ZZ, 945ZZ 4 On note K = lq( 3 ) = {a + b 3 + c 3 4, (a, b, c) lq 3 } Montrer que K est un corps 5 On note A = ZZ[i ], le plus petit anneau inclus dans lc et contenant i (a) Déterminer A A est-il commutatif? intègre?

23 On définit pour tout z A, N(z) = zz (b) Montrer que pour tout z A, N(z) IN et que pour tout z et z de A, N(zz ) = N(z)N(z ) (c) Déterminer A (d) Démontrer que pour tout z dans lc il existe q dans A tel que z q < { z = z (e) Montrer que (z, z ) A tel que z, (q, r) A tels que q + r N(r) < N(z ) Comment pourrait-on appeller cela? A-t-on unicité du couple (q, r)? (f) En déduire que tout idéal de A est principal (c est-à-dire de la forme z A) (g) Déteminer les éléments associés dans A à 3 + i (h) Déteminer les diviseurs dans A de 3i (i) On définit (comme dans lk[x]) le PGCD de (z, z ) A comme étant un élément d tel que za + z A = da, idem pour le PPCM Les PGCD et PPCM sont donc définis à un élément de A près Déterminer un PGCD et un PPCM de 5 et 88 5i (j) Décomposer en produit de facteurs premiers (toujours dans A) le nombre 54 (k) Application : Résoudre dans ZZ, l équation x + = y 3 6 Soit A un anneau commutatif et intègre soit A un sous anneau de A On suppose que pour tout a dans A il existe P dans A [X], unitaire tel que P (a) = Montrer que A est un corps ssi A est un corps 7 Soit P un plan euclidien et soient points A et B du plan tel que AB = On dit que x IR est constructible à la règle et au compas s il l on peut effectuer à partir de A et B, une figure avec une règle (non graduée) et un compas pour faire apparaitre points M et N tel que MN = x Soit C l ensemble des nombres constructibles à la règle et au compas On suppose que C (c est la figure vide!) (a) Montrer que, 3, 3, 3 5, 3 sont éléments de C (b) Montrer que C est un sous-corps de IR (c) Montrer que C est pythagoricien c est-à-dire que si x C et x positif alors x C (d) Expliquer (grossièrement) pourquoi 3 / C et π / C REDUCTION-DIAGONALISATION POLYNÔMES D ENDOMORPHISMES ET DE MATRICES Soit E = {f : IR IR de classe C } On définit de E dans E par (f) = f et, pour n IN, on définit f n dans E par f n (x) = cos nx (a) Montrer que L(E) (b) Calculer (f n ) Conséquence (c) En déduire que (f,, f n ) est une famille libre de E Soit f L(IR n ) défini canoniquement par sa matrice A Déterminer les valeurs propres, les vecteurs propres, les espaces propres et le polynôme minimal de f Dire pour chaque cas si l application f est diagonalisable et si oui donner la matrice de passage ainsi que son inverse et la formule de changement de base quand A prend les valeurs suivantes : a) ( ) b) ( ) 4 ( ) c) cos θ sin θ d) sin θ cos θ 4 Reprendre cette étude en voyant f non plus dans L(IR n ) mais dans f L( lc n ) e) Soit E un K-ev de dimension finie et f L(E), diagonalisable Montrer que E = ker f imf Soit A = (a) Donner sans calculs les valeurs propres et le plus de vecteurs propres possibles (b) En déduire sans calculs que A est diagonalisable 3

24 5 Soit (f, g) L(E) On suppose que f g = g f On pose E λ un sous-espace propre pour f : E λ = ker(f λid E ) (a) Montrer que E λ est stable par g (b) Si E λ =vect( u ), que dire de u pour g? (c) On suppose que f et g sont diagonalisables Montrer à l aide du (a) qu il existe une base de E constituée de vecteurs propres pour f et pour g 6 Soit A = 3 et B = 4 4 (a) Montrer que A et B sont semblables (cf e)) A n (b) Calculer lim n n 7 Déterminer les SEV stables par f définie canoniquement sur IR n par sa matrice A : a) A = 3 b) A = ( ) n Calculer Soit f L(E) et P IR[X] tels que P (f) =, P () = et P () Montrer que E = ker f imf Soit A M n (IR) telle que A 5A + 6I n = (a) Montrer que Tr(A) IN (b) Montrer que A est inversible et calculer son inverse en fonction de A (c) Soit k IN Calculer A k (d) Soit p IN Existe-t-il une matrice A M n (IR) telle que A 5A + 6I n = et Tr(A)= p? Soit lc n muni de sa base canonique notée (e,, e n ) Soit f L( lc n ) l unique application définie par f(e ) = e, f(e ) = e 3, f(e n ) = e n, f(e n ) = e (a) Montrer en calculant f,, f n que f est diagonalisable (b) Calculer les valeurs propres de f (c) Calculer les vecteurs propres de f Existe-t-il une matrice X M 3 (IR) telle que X =? 3 Soit M GL n ( lc) telle que pour les 3/ : M soit diagonalisable et pour les 5/ : M 3 soit diagonalisable Montrer que M est diagonalisable pour tous les élèves de la classe 4 Soit E un K-ev de dimension n et soit f L(E) Montrer que : f est nilpotente P f (X) = ( ) n X n 5 Soit H M n ( lc) telle que rg(h) = (a) Montrer que H est le produit d une matrice colonne et d une matrice ligne (b) En déduire que H =Tr(H)H (c) Calculer le polynôme caractéristique de H H est-elle diagonalisable? (d) Etudier l inversibilité de la matrice M = I n + H et calculer M lorsque M est inversible 6 Soit f L(E) et F un SEV de E, stable par f On suppose que P f (X) = X (X )(X +3) et que dim ker f = Quels sont les SEV F stables par f? Que dire de l endomophisme induit g = f /F dans chacun des cas? 7 Soit E = C (IR) On définit ϕ de E dans E par ϕ(f) = f + f (a) Montrer que ϕ L(E) (b) Déterminer les valeurs propres et les espace propres de ϕ 3 8 Soit n IN 4 et A la matrice : n A est-elle diagonalisable? Déterminer le polynôme minimal de A 4

25 9 Soit A la matrice : A = 4 Déterminer toutes les matrices B de M 3 (IR) telles que B = A Soit M M 3 (IR) telle que sp(m)={,, } Trouver un polynôme Q IR[X] tel que les valeurs propres de Q(M) soient (double) et 3 (simple) ) La matrice A = est-elle diagonalisable? ) A quelle condition la matrice B = est-elle diagonalisable? Déterminer le polynôme a a n minimale de B a a A quelle condition la matrice A = est-elle diagonalisable? ( ) 3 Soit n IN In, A M n ( lc) et B M n ( lc) définie par : B = A ) Calculer le déterminant de B en fonction de A ) Déterminer les éléments propres de B en fonction des éléments propres de A 3) Donner une CNS sur A pour que B soit diagonalisable 4 Soit n IN et A M n (ZZ) On suppose A diagonalisable dans M n ( lc) avec des valeurs propres de module Montrer qu il existe s IN tel que A s = I n 5 Soient a,, a n et b,, b n des nombres réels On considère la matrice A définie par b A = b n a a n (a) Déterminer le rang de A en fonction de ses coefficients (b) Donner une condition nécessaire et suffisante sur les coefficients de A pour que la matrice soit diagonalisable dans M n (IR) 6 Soit n IN On définit la matrice B = M n(ir) (a) Justifier que B est diagonalisable (b) Déterminer ses éléments propres 7 Soit n IN On définit la matrice A = (a) Justifier que A est diagonalisable (b) Déterminer ses valeurs propres a () () b () a b () () b a () b () () a M n (IR) (c) Donner une condition nécessaire et suffisante sur a et b pour que A soit inversible 5

26 8 On pose I 3 et O 3 respectivement les matrices identité et nulle d ordre 3 Soit A M 3 (IR) telle que (a) Que peut-on dire du spectre de A? (b) Montrer que A est inversible et calculer A (c) Calculer A n en fonction de A, A, I 3 et n A 3 4A + 5A I 3 = O 3 9 Soit A M n (IR) telle que A 3 + A + A = O n Montrer que le rang de A est pair ( ) A A A 3 Soit A = et B = A A A Déterminer les éléments propres de B A A A 3 Soit n IN, E = M n (IR) et (a, b) IR Soit u l application définie sur E par (a) Vérifier que u L(E) (b) Montrer que u est diagonalisable u(m) = am + b t M (c) Déterminer det(u) et tr (u) ( ) On A 3 Soit A M n (IR) et B = M A 3A n (IR) où O n désigne la matrice nulle d ordre n ( ) (a) Soit C la matrice de M (IR) définie par C = Diagonaliser la matrice C 3 (b) Montrer que B est diagonalisable si et seulement si A est diagonalisable 33 Soit A M n (IR) telle que A 3 = A + I n Montrer que det(a) > 34 Soit Φ : M M n (IR) t M Déterminer les valeurs propres et calculer le déterminant de Φ n 35 Soit A = (a ij ) i,j n M n (IR) telle que (i, j) [, n ], a ij ]; [ et i [, n ], a ij = (a) Montrer que det(a) (b) Montrer que est valeur propre de A (c) Soit b une valeur propre complexe de A Montrer que b et que si b =, alors b = 36 Soient X une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre α > et Y une variable aléatoire suivant la loi géométrique de paramètre p ]; [ On suppose que X et Y sont indépendantes a a (a) Déterminer les valeurs propres de la matrice M(a, b) = a en fonction de (a, b) IR b (b) On considère la matrice A = M(X, Y ) i Déterminer la probabilité pour que A soit inversible ii Déterminer la probabilité pour que A ait trois valeurs propres distinctes EVN - APPLICATIONS CONTINUES j= Soit E = IR On munit E d une norme N Soit B F (a, r) et B F (b, r ), boules fermées de E pour N (a) Montrer qu il existe une application f homotéthie ou translation telle que f(b F (a, r) = B F (b, r ) (b) En déduire que les boules pour la norme N ont toutes la même forme Soit E = IR On définit N sur E par x = (a, b) E, N(x) = (a) Montrer que N est une norme sur E (b) Dessiner la sphère unité pour cette norme : S(, ) (a + bt) dt 3 Soit E = IR[X] On définit 3 normes N, N, N sur E par P = a + a X + + a n X n E : N (P ) = a + a + + a n, N (P ) = a + a + + a n, N (P ) = Max{ a, a,, a n } (a) Montrer que N, N, N sont des normes sur E 6

27 (b) Comparer à ces normes : c est-à-dire pour normes N et N, chercher s il existe une constante α > telle que N α N et s il existe une constante β > telle que N βn (c) Soit (P n ) la suite de E définie par n IN : P n = + X + n (X + X X n + ) Etudier la convergence de cette suite (P n ) selon la norme N, N ou N 4 Soit E = C ([, ], IR) Pour toute application f de E, on pose : N (f) = sup f(t) et N (f) = f() + sup f (t) t [,] t [,] (a) Montrer que N est une norme sur E (b) Comparer les normes N et N (c) Donner un exemple de suite qui converge pour une norme et pas pour l autre 5 La norme N sur IR est-elle une norme euclidienne, c est-à-dire existe-t-il un produit scalaire ( ) tel que x IR, N (x) = (x x)? 6 Soit n Soit U = {P IR[X] tel que d o (P ) = n et P unitaire} { } Montrer que inf P (t) dt, P U > 7 Soit n et soit E = IR n [X] muni de la norme P = sup P (t) t [,] Montrer qu il existe c > tel que P E : P (3) c P 8 Soit Ω = IR \ {(x, y) IR tel que x + y = } et soit f définie sur Ω par f(x, y) = xy x + y (a) Montrer que Ω est un ouvert de IR (b) Montrer que f est continue sur Ω (c) Etudier le prolongement par continuité de f sur IR 9 Soit f définie par f(x, y) = x a + y b x 4 + y 4 et f(, ) = Etudier la continuité de f sur IR, en fonction de a, b xyz Soit f définie par f(x, y, z) = x + y + z et f(,, ) = Etudier la continuité de f sur IR3 Soit E = C ([, 7], IR) muni de la norme N : N (f) = Montrer que ϕ est continue sur E et calculer ϕ = Soit f définie sur IR par f(x, y) = 7 sup N (f) f(t) dt On définit ϕ de E dans E par ϕ(f) : t t f(t) ϕ(f) cos( + x + y + t )dt Montrer que f est continue sur IR 3 Soit n Soit E = IR n [X] muni de la norme N : P = a +a X+ +a n X n E : N (P ) = a + a + + a n Soit u : E E, P P Montrer que u est continue sur E Calculer u = sup N (P ) N (P ) 4 Soit n Soit E = IR n Soit u L(E), définie canoniquement par sa matrice A dans la base canonique (a) Calculer u = sup u(x) quand E est muni de la norme usuelle x (b) Idem quand E est muni de la norme usuelle 5 Montrer que {(x, y, z) IR 3 tel que x > 7} est ouvert et non fermé dans IR 3 6 Soit E = C ([, ], IR) muni de la norme N (f) = sup f(t) On considère F l ensemble des fonctions dérivables t [,] de E Déterminer graphiquement les points intérieurs et les points adhérents de F 7 Soit F = {(x, y) IR tel que xy = } Déterminer les points intérieurs et les points adhérents de F ( t : partie entière de t) 8 Soit E un EVN muni d une norme notée Soit U un ouvert de E On définit C = {λx tel que λ > et x U} (a) Dessiner C quand E = IR En déduire : C comme c? (b) Montrer que C est ouvert Est-il borné? Est-il convexe? (c) Montrer que U = C = E 9 Soit E un EVN muni d une norme notée Soit C un sous-ensemble convexe de E On note C l ensemble des points adhérents de C et o C l ensemble des points intérieurs de C Montrer que C et o C sont convexes 7

28 ) Soit N M p ( lc) une matrice triangulaire supérieure nilpotente On pose : n P n = n n p Déterminer lim P n NP n n + ) Soit A M p ( lc), et E A l ensemble des matrices semblables à A Montrer que E A est fermé si et seulement si A est diagonalisable Soit E le IR-espace vectoriel des suites réelles bornées muni de la norme : u = sup u n n IN Déterminer si les sous-ensembles suivants sont fermés, ouvert ou non : A = { suites croissantes } B = { suites convergeant ves } C = { suites convergentes } D = { suites admettant pour valeur d adhérence } F = { suites sommables } (= l (IN)) G = { suites périodiques } Ensemble de Cantor Soit K l ensemble des réels x de [, ] qui admettent une écriture décimale (propre ou impropre) qu avec des ou des 9 Exemple :, 9 K et, 39 / K a) Dire si ces éléments sont dans K : ; ;, ;, ;,9 ;,8 ;,9 b) Donner un exemple rationnel non décimale et un exemple d irrationnel de K (on rappelle (et on admet) que x est rationnel ssi son écriture décimale est ) c) Montrer que K est inclus dans segment de longueur / d) Montrer que K = K n où K n est une réunion finie de segments que l on déterminera n IN e) En déduire que K est compact f) Déterminer les points intérieurs à K Que peut-on dire de [, ] K? g) Déterminer la frontière de K h) Montrer que pour tout x de K et pour tout ε >, il existe y x dans K tel que x y ε En déduire les points isolés de K i) Montrer que K n est pas dénombrable 3 Soit f définie et dérivable de I un intervalle non réduit à un point dans IR On souhaite montrer le théorème de Darboux : f (I) est un intervalle de IR f(x) f(y) a) On considère F : IR, (x, y), où = { (x, y) I, x < y } Montrer que F ( ) est un x y intervalle b) En déduire le théorème de Darboux ARCS ET COURBES DU PLAN ET DE L ESPACE Remarque : Signalons l excellent site Internet : http ://wwwmathcurvecom où se trouvent un très grand nombre d arcs, courbes du plan et de l espace, les coniques et les quadriques avec leurs équations, leurs propriétés physiques et des superbes dessins et animations x = t + t Etudier et tracer l arc Γ paramétré par y = t + On examinera en particulier les points singuliers, les t points doubles et les branches infinies ( x = ln tan t ) + cos t Etudier et tracer l arc Γ paramétré par y = sin t 8

29 Calculer la longueur de l arc de t = a ], π [ à t = π x = sin(t) 3 Soit l arc (de Lissajoux) Γ paramétré par y = sin(3t) (a) Réduire au maximun (par symétries) le domaine d étude de γ (b) Effectuer l étude complète et le tracé de γ Combien y-a-t-il de points multiples? (c) Déterminer les coordonnées de ces points multiples ( x = a cos t ) cos nt n 4 Soit a > fixé Pour chaque entier de IN on définit l arc (épicycloïde) : γ n ( ) sin nt y = a sin t n Tracer γ n et calculer la longueur de son support On cherchera à réduire le domaine au maximum grâce aux rotations Que se passe-t-il lorsque n tend vers l infini? Moralité? { x = cos 5 Soit l arc (astroïde) : γ 3 t y = sin 3 t (a) Tracer γ et calculer la longueur de son support (b) Soit T (t) la tangente au point M(t) avec t [, π [ Soit A le point de T (t) d abscisse nulle et soit B le point de T (t) d ordonnée nulle Calculer la distance AB 6 Soit C la courbe d équation : x 3xy + y 3 = Représenter C 7 (a) Construire l arc paramétré (C) : (x = ) t t, y = t + t + t (b) Former une CNS sur t, t, t 3 pour que les points M(t ), M(t ), M(t 3 ) de (C) soient alignés (c) Former une CNS sur t, t, t 3, t 4 pour que les points M(t ), M(t ), M(t 3 ), M(t 4 ) de (C) soient cocycliques ou alignés 8 Le plan euclidien est rapporté à un repère OTN (O, i, j ) Soit E l ellipse d équation x + 5y = 5 Déterminer l ensemble des centres des cercles passant par O et tangents à E 9 Montrer que l arc de l espace paramétré par x = t +, y = t 3 t, z = 4 t ainsi que ses éléments géométriques Soit a > et h > fixés On considère Γ l arc de l espace paramétré par x = a cos t, y = a sin t, z = ht Tracer Γ est plane et déterminer sa nature FRACTIONS RATIONNELLES-DECOMPOSITION EN ELEMENTS SIMPLES (X )(X + ) 8 Soit F = (X 3) (X 5) 4 (X 7) (a) Que dire de, -, 3, 5, -7? (b) Que vaut d (F )? (c) Ecrire sans la calculer la décomposition en éléments simples de F X 3 8 Soit F = (X )(X + 5) (a) Donner les pôles et les racines de F (b) Ecrire sans la calculer la décomposition en éléments simples de F 3 Décomposer en éléments simples les fractions suivantes : X 5 (a) F = (X )(X, dans IR(X) 4) n! (b) F =, dans IR(X) (X + ) (X + n) 9

30 (c) F = X X 4, dans lc(x) puis dans IR(X) (d) F = X + 5 X(X, dans IR(X) + ) X (e) F = (X + )(X ) (X, dans IR(X) + X + ) (f) F = X 5, dans IR(X) ( X) (g) F = X + X + (X )(X 3 ), dans lq(x) 4 Soit R = P lk(x) une fraction rationnelle irréductible et soit c une racine de Q Q (a) Démontrer que le coefficient λ de X c dans la décomposition de F en éléments simples dans lk(x) vaut λ = P (c) Q (c) (b) En déduire la décomposition en éléments simples de F = X n+ dans lc(x) (c) Calculer la décomposition en éléments simples de F = X n+ dans IR(X) 5 Montrer la convergence et calculer la somme des séries suivantes : (a) ( (n + )(n + 4)(n + 6) ) n IN (b) ( R(n)) où R est une fraction rationnelle n ayant que des pôles simples dans ZZ n IN 6 Théorème de Lucas : Soit P lc(x) n ayant que des racines simples Montrer en décomposant en éléments simples P P que les racines de P sont des barycentres à coefficients positifs des racines de P (donc entre les racines de P ) n 7 Soit n IN et P = a k X k un polynôme de degré n Montrer que k= k= n ( ) n ( ) n k P (k) = a n n! k [Indication : considérer S(x) = P (x) ] n (x k) k= INTEGRATION SUR UN SEGMENT Déterminer les primitives des fonctions suivantes : a) ln x b) arcsin x c) x 3 e x d) ln( t ) e) x + 4x + 5 Calculer a) d) 3 3 Calculer a) A f) x 3 t g) x (x 4 ) g) (x + ) 7 x 7 (CCP) h) sin x cos 6 x a + x dx c) + x dx (avec a ], [) x 4 dx b) + 4 x + x 4 dx e) x + 4 Soit n IN On pose I n = (a) Montrer que I n = π 6 sin x sin dx f) x + cos x x x 4ix dx et b) (x i) π π cos n tdt sin n tdt π x i dx sin x dx

31 (b) Calculer I n en fonction de n sans pointillés (c) Déterminer la limite de la suite (I n ) (d) Montrer que (ni n I n ) n est une suite constante En déduire un équivalent simple de I n (en + ) (e) Si on admet qu il existe λ > tel que n! λ n( n e )n Calculer λ 5 Soit f de classe C sur [a, b] Calculer lim 5x 6 Calculer lim x + x x t sin t dt λ + dt 7 On pose f(x) = x ln t (a) Déterminer le domaine de définition de f (b) Etudier les variations de f (c) Etudier la convexité de f (d) Etudier les branches infinies de f b a f(t) cos λtdt (e) Etudier avec soin les points spéciaux du domaine de f (f) Calculer f() à près (g) Tracer f 8 Tracer t sin t sur [, π] Calculer à 3 près π 9 Soit a un réel et H la fonction réelle définie sur IR par : sin t dt H(x) = a cos(x) + sin(x) + (a) Montrer que l équation a cos(x) + sin(x) = admet des solutions ssi a 3 (b) On prend a = et on définit la fonction F par i Calculer I = π Pour tout a ] ; [, on pose F (a) = F (x) = x dt H(t) dt cos(t) + sin(t) + en effectuant le changement de variables u = tan t π (a) Montrer que F est dérivable sur ] ; [ ln( + a cos(x)) cos(x) (b) Calculer F (a) en effectuant le changement de variables u = tan x ] (c) Après avoir justifié qu il existe θ ; π [ tel que a = cos(θ), montrer que (d) En déduire F (a) dx F (cos(θ)) = θ sin(θ) (a) Soit n IN Rappeler la factorisation dans lc[x] du polynôme X n (b) Justifier l existence puis calculer pour tout x IR\{, } l intégrale à l aide de sommes de Riemann n Si n IN, et x IR, soit f n (x) = k= sin(kx) k I(x) = π ln x e it dt (a) Déterminer le plus petit réel x n strictement positif en lequel f n atteint un maximum local (b) Calculer lim f n(x n ) à l aide des sommes de Riemann n + 3

32 FONCTIONS INTEGRABLES Etudier l intégrabilité des fonctions : a) x sin x sur ], ] b) x sin x sur ], [ x x c) t t + ln t sur [, + [ d) x (ln x)7 sur ], [ e) x ln(sin x) sur ], π[ f) t e t sur ], [ g) t t 37 e t sur IR + sin t + t ln t h) t sur [, + [ et sur ], ] i) t t i cos t t 3 sur IR j) t + it + t sur [, + [ + t + Etudier l intégrabilité des fonctions et calculer les intégrales : t + a) tan tdt b) [, π [ t 3 + t dt c) + 3t + 3 Soit I(α, β) = t α ( t) β dt t 5 ln t + dt d) tα (a) Déterminer l ensemble D des couples (α, β) pour lesquels I(α, β) existent (b) Montrer que I(α, β) = I(β, α) (c) Calculer I(n, p) pour (n, p) IN (d) Calculer I(, ) (e) Montrer que I est continue sur D ln t t + t dt 4 Etudier l intégrabilité de la fonction f(t) = t t sur [, + [ t 5 Etudier l intégrabilité de la fonction f(t) = sin t sur [π, + [ La fonction admet-elle une intégrale semiconvergente ln t? e t 6 Soit f définie par f(x) = x t dt (a) Déterminer le domaine D de f (b) Calculer f (x) (c) Montrer que x D, f(x) + e x x = e t e dt En déduire que f(x) x x t + x (d) Montrer que f() f(x) ln x admet une limite finie en En déduire un équivalent de f en ainsi qu un développement asymptotique de f en 7 Calculer la limite de la suite (u n ) définie par u n = 8 Déterminer un équivalent de (u n ) définie par u n = e t n + t dt e t n + t dt 9 Déterminer un développement asymptotique à trois termes de la fonction x + Montrer que ln t ln( t) t dt = Déterminer la limite de l intégrale + n= x n 3 En déduire une valeur de l intégrale à près dx quand n tend vers + + xn Soit f une fonction continue et bornée de IR + Pour tout entier n IN on pose u n = e xn f(x) dx Donner la limite de u n quand n tend vers + 3 Pour tout entier n IN on pose : I n = t ( + t 4 ) n dt ) Quelle relation y a-t-il entre I n+ et I n ) Déterminer un équivalent simple de I n quand n tend vers + e t dt quand x tend vers 3

33 t 3 ( ) + t 4 Existence et calcul éventuel de : ln dt t t 5 Soit f C n xf(x) (IR) intégrable sur IR Déterminer : lim n + IR ( + n 3 x ) dx 6 Jusifier l existence de cos(t ) dt Préciser le signe de J 7 On considère une fraction rationnelle F à coefficients complexes telle que On note P + = {z m m n Pour tout k [, n ], on appelle résidu en a k de F le coefficient de F (t) dt converge lc : Im (z) > } et a a n les pôles deux à deux distincts de F respectivement d ordre dans la décomposition en X a k éléments simples de F, on le notera Res F (a k ) (a) Après avoir donner la forme générale de la décomposition en éléments simples de F, calculer et en déduire que (b) Si a lc IR, calculer (c) Montrer que I = 8 Nature de On pose I = [ ( ln x ln(x + ) x dt lim x + x t a F (t) dt = iπ ) 3 x ] dx n Res F (a k ) = k= lim xf (x) x + a k P + Res F (a k ), dans le cas où il y a au moins un pôle de F dans P + INTEGRALES DEPENDANT D UN PARAMETRE e t dt On définit F et G sur IR par F (x) = (a) Montrer que que I existe e x (+t ) + t dt et G(x) = (b) Montrer que la fonction F + G est constante sur IR (c) En déduire la valeur de I ( ) (d) En déduire la valeur de Γ = On définit F sur IR par F (x) = e t t dt cos xt t e t dt Montrer que x IR, F (x) = x arctan x ln( + x ) 3 Etudier la fonction f définie par f(t) = (a) Déterminer le domaine de f π (b) Etudier la continuité sur le domaine de f (c) Montrer que f est C sur son domaine dx + t cos x x e t dt (d) Dresser le tableau de variations, étudier la convexité, déterminer les limites aux bornes et tracer le graphe de f 4 Extrait de concours (a) Quelles sont les racines complexes du polynôme P (t) = t 4 +? En déduire une factorisation de ce polynôme en deux facteurs réels du second degré dt (b) Montrer que l intégrale dt existe et calculer sa valeur t( + t ) (c) Soit α un réel strictement positif Pour quel ensemble de valeurs de α l intégrale arctan t t α dt existe-t-elle? Calculer sa valeur lorsque α = 3 33

34 arctan t (d) Déterminer lim n + t 3 + t dt n Deuxième partie (e) On considère dans cette partie la fonction de la variable réelle x définie par : F (x) = arctan(tx) + t dt (f) Montrer que F est définie et continue sur IR Quelle propriété de symétrie possède-t-elle? Ecrire le tableau de variations de cette fonction sur l intervalle [, + [, en présicant les valeurs F (), F () et lim F (x), x + que l on aura déterminées (g) Prouver que F est de classe C sur ], + [, et donner une exprssion de F (x) sous forme d une intégrale (h) Calculer l intégrale de la question précédente lorsque x est différent de Que vaut F ()? (i) Tracer F (j) En déduire la valeur de l intégrale I définie par 5 Extrait de concours ) On pose K(x) = a) Calculer K() cos(tx) t dt I = ln(u) u du b) Montrer que t cos(tx) t est intégrable sur [, [ pour tout x IR c) Montrer en justifiant les dérivations sous le signe intégral que K(x) est solution de l équation (E) : xy + y + xy = 6 On pose, pour n IN et a IN dx et a IR, J n (a) = (x + a ) n ) Donner le domaine de définition de J n ) Calculer J n en fonction de J n+ 3) Quelle est la relation de récurrence vérifiée par la suite U définie par U n (a) = a n J n (a)? 4) Calculer J n (a) en fonction de n et a 7 On pose f(x) = ln t e xt dt ) Quel est le domaine de définition de f? ) Etudier la dérivabilité de f 3) Trouver une équation différentielle vérifiée par f 8 Etudier la fonction F : x 9 Soit ϕ définie sur IR par ϕ(x, y) = dt x + t + xt π x cos θ + y sin θ dθ Etudier la continuité de ϕ ϕ admet elle des dérivées partielles sur IR? Soit F la fonction définie par F (x) = arctan(tx) + t dt (a) Montrer que F est continue sur [; + [ Calculer F () et F () (b) Montrer que F est dérivable sur ]; + [ puis calculer explicitement F (x) (c) En déduire la valeur de l intégrale I définie par Soit I = e t ln t dt I = ln(u) u du 34

35 (a) Montrer l existence de I (b) Soit, pour n, I n = n ( t n) n ln t dt Montrer que lim n + I n = I (c) Exprimer I n en fonction de n et I en fonction de la constante d Euler γ = (d) Montrer que F : x lim n + e x t ln t dt est de classe C sur ]; + [ Calculer F (x) On rappelle que la fonction Γ est définie pour tout x > par Γ(x) = (a) Calculer pour tout n IN l intégrale I n = ( ) (b) Expliciter I n en fonction de Γ = π (c) En déduire la valeur de H(x) = cos(x t)e t dt (d) Montrer que la fonction ln Γ est convexe sur son domaine t n e t dt en fonction de Γ t x e t dt [ n k= ( n + ) SUITES ET SERIES DE FONCTIONS - CS-CU-CA-CN ] k ln(n) Soit f n : [, ] IR, x nx n ( x) (a) Etudier la convergence simple de la suite (f n ) sur [, ] (b) Calculer f n g,[,] où g est la limite simple de (f n ) En déduire l étude de la convergence uniforme de (f n ) sur [, ] Soit α IR et soit f n : [, ] IR, x n α x n ( x) (a) Etudier la convergence simple et uniforme de la suite (f n ) (b) Calculer I n = f n (t)dt En déduire la limite de la suite (I n ) Quel lien y a-t-il avec la convergence uniforme? 3 Soit f n : IR IR, x x + cos(n arctan(xn )) n Etudier la convergence simple et uniforme de la suite (f n ) n 4 Soit f n : IR IR, x x + n Montrer la convergence uniforme de la suite (f n ) n Quelle propriété n a pas été transférée? 5 Soit f n définie par le graphe : Etudier la convergence simple et uniforme de la suite (f n ) n sur [, ] 6 Calculer lim n x n e x dx 7 Soit f n : IR + IR, x sin(nx) et f n () = nx (a) Montrer que la suite (f n ) n converge simplement sur [, + [ (b) Montrer que la suite (f n ) n ne converge pas uniformément sur [, + [ (c) Montrer que la suite (f n ) n converge uniformément sur tout segment de IR + d un certain type que l on déterminera 8 Soit E = C ([, ], IR) muni du produit scalaire (f g) = sur [, ] Déterminer F 9 Soit S définie par S(x) = arccos(cos nx) n! n= (a) Montrer que S est définie et continue sur IR, que S est paire et π-périodique (b) Calculer S(), S(π) et S( π ) f(t)g(t)dt Soit F le SEV des fonctions polynômiales 35

36 Soit (f n ) n IN la suite de fonctions définies sur IR+ par f n (x) = xn e x n! Montrer que cette suite converge uniformément sur IR + Etudier les différentes convergences de la série ( f n ) On fixe α > et on pose lorsque c est possible : ) Domaine de définition de f? ) Continuité de f? 3) Etudier le comportement de f en + 4) Donnner un équivalent de f en f(x) = Soit la série de fonctions ( u n ) avec u n (t) = e t n (a) Etudier la convergence simple de ( u n ) On définit sur D = IR + : g(t) = u n (t) n= + n= e nαx (b) Montrer que g est C sur D et calculer (sous forme de série) g (p) (t) (c) Déterminer à l aide du (b) la limite de g en (d) Déterminer un équivalent simple de g(t) en (e) Déterminer la limite de g en + (f) Tracer le graphe de g 3 Soit F définie par F (x) = n= x n n (a) Montrer que F est définie et continue sur IR (b) Montrer que F est convexe sur IR (c) Etudier la dérivabilité de F (d) Tracer le graphe de F 4 Soit f définie par f(x) = n= ( ) n n n + x Montrer que f est de classe C sur IR 5 Soit u n : ], [ IR, x ln( + x n ) (a) Montrer que la série ( u n ) converge simplement sur ], [ (b) Soit < a < b < Montrer que la série ( u n ) converge uniformément sur [a, b] n On pose f n : ], [ IR, x ( + x p ) p= (c) Soit < a < Montrer que la suite (f n ) converge uniformément sur [ a, a] (d) En déduire que G définie par G(x) = ( + x n ) est continue sur ], [ (e) Calculer lim x 6 Montrer avec soin que G(x) et lim G(x) x + + n= n= t cos(nt )e nt dt = + 7 Soit x ], [ fixé On définit u n sur IR par : u n (θ) = xn cos(nθ) n (a) ( u n ) n converge-elle uniformément sur IR? x n cos(nθ) Soit f x définie sur IR par f x (θ) = n n= n= t cos(nt )e nt dt (b) Montrer que f x est de classe C sur IR et calculer (sans ) f x(θ) (c) En déduire π π ln(x x cos θ + )dθ 36

37 8 Soit f définie par f(x) = n= ( ) n x + n (a) Montrer que f est C sur IR \ ZZ (b) Montrer que que x IR \ ZZ : f(x + ) + f(x) = x (c) Montrer que que x IR + : < f(x) < x et f(x) f(x + ) x (d) En déduire un équivalent de f(x) en + En déduire lim t n= ( ) n nt + (e) Déterminer le développement asymptotique de f(x) en à l ordre (c est-à-dire f(x) = + o(x )) (f) Tracer f 9 On considère la suite de fonction (f n ) définie par f n (x) = ( + x n )n Est-ce que (f n ) converge uniformément sur tout segment compris dans IR? Soit z lc tel que Re(z) > Calculer lim n + n ( t n )n t z dt Soit f une fonction continue de IR dans IR Montrer que Z f = {x IR /f(x) = } est un fermé Soit F un fermé de IR Montrer qu il existe une fonction f continue de IR dans IR tel que Z f = {x IR /f(x) = } = F (On admet que tout ouvert de IR est une réunion finie ou dénombrable d intervalles ouverts à disjoints) Montrer que si est une suite de fonctions ] Soit une suite (f n ) d applications de [a, b] (un segment de IR) dans IR toutes k-lipschitziennes Montrer que si (f n ) converge simplement vers f sur [a, b] alors (f n ) converge uniformement vers f sur [a, b] ] Soit une suite (f n ) d applications de [a, b] (un segment de IR) dans IR toutes convexes sur ]a, b[ Montrer que si (f n ) converge simplement vers f sur [a, b] alors (f n ) converge uniformement vers f sur tout segment compris dans ]a, b[ 3 On considère la suite de fonctions (f n ) n IN définie sur [; ] par f (t) = et n IN, f n+ (t) = t f n (u) du (a) Montrer que pour tout n IN, f n (t) = α n t βn où (α n ) n IN et (β n) n IN sont deux suites réelles (b) Montrer que (α n ) n IN converge vers en étudiant la suite (γ n) n IN = (ln(α n)) n IN (c) Conclure quant à la convergence simple de (f n ) n IN (d) Montrer la convergence uniforme de (f n ) n IN sur [; ] 4 Sur un espace probabilisé, on considère uen va entière N d espérance finie et (X i ) i une suite de variables aléatoires entières ayant toutes même loi d espérance finie On suppose que, pour tout n, les variables N et Z n = (X,, X n ) sont indépendantes On définit alors : n N S =, n : S n = X i et T = X i c est-à-dire ω Ω : T (ω) = S N(ω) (ω) i= i= On peut ainsi modéliser les remboursements effectuées par une compagnie d assurance pendant une période donnée : N est le nombre aléatoires de sinistres déclarés et X i est le coût (aléatoire) du i-ème sinistre On se propose de calculer l espérance de T sans connaitre les lois de N ou X i (a) Montrer que pour tout j IN, on a E ( S j (N=j) ) = jp (N = j) E(X ) (b) On pose T n = T (N n) Calculer E(T n ) (c) Montrer que la suite de va (T n ) converge simplement sur Ω vers T En déduire l espérance de T en fonction de celle de N et de X 5 La transformée de Laplace d une variable aléatoire réelle et positive X est la fonction L X définie sur IR + par L X (t) = E ( e tx) (a) Expliquer pourquoi cette définition a un sens, déterminer la transformée de Laplace d une variable de Bernoulli de paramètre p (b) Etudier la convexité et la monotonie de L X Montrer que L X est continue sur IR + Déterminer la limite de L X en + (c) Que dire de L X+Y lorsque X et Y sont deux va indépendantes et positives 6 Soit (X i ) i une suite de variables aléatoires de Bernoulli de paramètre p et S n = X + + X n 37

38 (a) Si f : [, ] IR est une fonction continue, déterminer l espérance de la va f probable de cette espérance? ( ) Sn Quelle est la limite n (b) Pour α >, on pose ω f (α) = sup{ f(x) f(y), (x, y) [, ] et x y α} Déterminer lim ω f (α) α ( ( ) ) ( ) Sn (c) Montrer que E f f(p) S n n ω f (α) + f P n p > α En déduire qu il existe une suite de polynômes convergeant uniformément vers f sur [, ] C est le théorème de? SERIES ENTIERES Soit ( a n z n ) une série entière On suppose que ( a n ) est semi-convergente Calculer le rayon de convergence de ( a n z n ) Calculer le rayon de convergence et l étude au bord (dans IR) des séries entières : a) ( n 3 n + n xn ) b) ( cos(n)x n ) c) ( (n)! n n n! xn ) d) ( sin(π n + )x n ) e) ( n ln n x n ) f) ( x n ln(n!) ) g) ( a n x n ) où a n est la somme des n premières décimales de π 3 Soit (a n ) définie par a = a = a = et n : a n+ = a n a n (n + ) (a) Montrer par récurrence que (a n ) est décroissante et que (na n ) est croissante (b) Déterminer le rayon de convergence de ( a n x n ) (c) Soit f la série somme : f(x) = a n x n n= Trouver une équation différentielle vérifiée par la fonction f En déduire f 4 Calculer le rayon et la sommme des séries entières : n a) (n + )! xn b) ( ) n+ nx n+ c) n= 5 Calculer n= n= n ( )n x n n= n cos(n + )θ ( ) en fonction des fonctions usuelles (n + )! 6 Soit f définie sur ], + [ par f(x) = Montrer que f est C sur ], + [ On pose x ], + [ : g(x) = n= n = π 6, calculer f(t)dt x ln( + x) x si x et f() = f(t)dt Montrer que x [, ] : g(x) = 7 Soit n et f(x) = (sin x) n f (k) (x) Calculer pour tout k [, n ], lim x x n k 8 Déterminer le développement en série entière (DSE) des fonctions suivantes : x ( ) n x n Sachant que a) cos 4 x b) e x cos x c) x 3 4x d) e x ln( + x) e) e x +x + 6x 4 9 Déterminer le DSE par la méthode de l équation différentielle de (arcsin x) ( ) n x n+ Montrer sans utiliser la trigo, à l aide de la définition de sin x =, que x ], 3] : sin x > (n + )! Montrer que z lc tel que z : cos z 5 3 Montrer que z lc : e z e z 3 n, z lc : e z ( + z n )n e z ( + z n )n n= n= n 38

39 4 Déterminer sup sin z z < 5 On pose a n = π cos n t dt pour tout n IN et S(x) = + n= ) Exprimer S(x) à l aide des fonctions usuelles pour x < ) Déterminer le domaine de définition de S a n x n lorsque c est possible 6 Déterminer le développement en série entière de la fonction f définie par : dt f(x) = x + t + t 4 7 Soit p IN x n ) Déterminer le rayon de convergence R de la série entière np + n= ) Ecrire la somme sous forme d une intégrale pour x ] R, R[ 3) Calculer cette somme pour p = 4 Que dire en x = R? 8 Soit ( a n x n ) une série entière quelconque Démontrer que le rayon de cette série entière est non nul SSI il existe (α, k) (IR + ), tels que n IN, a n k α n En déduire que x tan x est développable en série entière en 9 Soit ( a n x n ) une série entière de rayon R > On considère f définie sur D =] R, R[ par f(x) = Prouver que f est développable en série entière au voisinage de tout point de D On considère l équation différentielle : (E) x y + xy + (4x 4 )y = a n x n qu on veut intégrer sur l intervalle ], + [ Montrer qu il existe R > et une fonction y développable en série entière sur ] R, R [ qui coïncide sur ], R [ avec une solution de (E) (qu on notera également y ) Donner une expression simple de y utilisant les fonctions usuelles, soumise à la condition supplémentaire y () = On considère l équation différentielle (E) suivante : x d y dx + dy dx + xy = Déterminer sous forme d une séries entière la solution y (x) telle que : y () = Préciser le domaine de définition de y (x) (On ne cherchera pas à exprimer y (x) à l aide des fonctions usuelles) On note N(n, p) le nombre de permutations de [, n ] qui ont exactement p points fixes ; on convient que D = On pose + D(n) D(n) = N(n, ) et f(x) = x n n! (a) Déterminer le lien entre N(n, p) et D(n p) (b) Montrer que f est définie sur ] ; [ et calculer f (c) Calculer N(n, p) puis en déduire lim N(n, p) n + n! 3 Soit n IN et A n = card {(n, n ) IN n = n + 3n } On considère la série entière A n x n (a) Déterminer A n pour n 4 (b) Montrer que cette série entière est le produit de deux séries géométriques et calculer sa somme (c) Calculer A n 4 (a) Montrer que la somme + n= ( ) n (n)! (b) Montrer que c est un irrationnel n= converge et déterminer sa valeur 5 Soit n, on note I n le nombre d involutions de [[, n ] c est-à-dire d applications f de [, n ] dans lui-même qui vérifient f f = Id [,n ] On pose I = (a) Montrer que n, I n = I n + (n )I n n= 39

40 (b) Montrer que la série entière I n n! xn est définie sur ] ; [ Notons S sa somme (c) Montrer que x ] ; [, S (x) = ( + x)s(x) (d) En déduire une expression explicite de S(x) puis de I n ( ) n p 6 (a) Soit p IN Montrer que la série converge On note S p sa somme n! (b) Calculer S, S et S (c) Prouver que pour tout p IN, S p est un multiple entier de e 7 Soit α ]; π[ (a) Exprimer sin α et cos α en fonction de tan α (b) Former le développement en série entière en de f(x) = arctan ( + x x tan α ) 8 (a) On pose j = e iπ 3 Déterminer en fonction de l entier naturel k la somme + j k + j k (b) Déterminer les rayons de convergence R k des séries entières de terme général pour k, puis calculer chacune des sommes pour x < R k x 3n+k (3n + k)! 9 Soit p IN et A M p ( lc) On pose χ A et ρ(a) respectivement le polynôme caractéristique et le rayon spectral de A (valeur propre de A de plus grand module) On considère la série tr (A n )z n On note respectivement R et S son rayon de convergence et sa somme (a) Calculer tr (A n ) en fonction des valeurs propres de A (b) Déterminer R en fonction de ρ(a) (c) Déterminer une expression de S en fonction du quotient χ A χ A 3 Pour tout k IN, on définit la fonction f k par (a) Trouver le rayon de convergence de f k (b) Montrer que f (x) = x f k (x) = + n=k ( ) n k (x n 4 (c) Trouver une relation simple entre f et f, puis en déduire f (d) Établir la relation f (e) En déduire f k pour tout k IN 3 On pose S n = n k= k pour tout n IN (a) Montrer que n IN, ln(n + ) S n + ln(n) ) n k+(x) = x 4 f k (x) + f k (x) (b) Montrer que la série de terme général ( ) n+ est convergente On note S sa somme n + (c) Soit f : x (d) Calculer S + n= ( ) n+ S n x n Montrer que f est définie sur ] ; [ et que S n x ] ; [, ( + x )f(x) = ln( + x ) + x arctan x 4

41 3 X, Y et Z désignent trois variables aléatoires réelles indépendantes définies sur un espace probabilisé (Ω, P(Ω), P) et suivant une même loi binomiale B(n, p) On considère la matrice M définie par M = X Y X Y X Y Z Z Z (a) Démontrer à l aide des fonctions génératrices que X + Y suit une loi binomiale B(n, p) Quelle est la loi, l espérance et la variance de S = X + Y + Z? (b) Quelle est la probabilité pour que M soit la matrice d un projecteur? (c) Soit T la variable aléatoire désignant le nombre de valeurs propres de la matrice M Vérifier que T (Ω) = {, } Donner la loi, l espérance et la variance de T (d) Quelle est la probabilité pour que M soit diagonalisable? 33 Un joueur va au casino avec une fortune initiale a IN A chaque partie, sa fortune augmente de avec la probabilité p et diminue de avec la probabilité q = p (a) Soit b a un entier On note P b (a) la probabilité que le joueur atteigne la fortune b avant d être ruiné Déterminer une relation entre P b (a), P b (a + ) et P b (a ) En déduire la valeur de P b (a) (b) On autorise le joueur à emprunter On note T le premier instant où sa fortune atteint a + et pour n IN, on note g n = P (T = n) et g la fonction génératrice de la suite (g n ) i Montrer que g n+ = q(g g n + g g n + + g n g ) ii En déduire une relation entre g(t) et g(t) iii En déduire g, P (T < + ) ainsi que E(T ) 34 On munit l ensemble Ω N des permutations de [, N ] de l équiprobabilité P N On note X N la variable aléatoire correspondant au nombre de cycles (de longueur supérieure ou égale à ) intervenant dans la décomposition d une permutation en produits de cycles de supports disjoints (on compte en fait le nombre des orbites) et G N sa fonction génératrice (a) Montrer que P N+ (X N+ = k) = N + P N (X N = k ) + N N + P N (X N = k) (b) En déduire une expression factorisée de G N (t) (c) Calculer l espérance et la variance de X N ( ) (d) Montrer que ε >, lim P X N n + ln N ε = 35 Le nombre d accidents N durant une semaine dans une usine est une variable aléatoire d espérance m et de variance σ Pour tout accident, le nombre d ouvriers X blessés lors de cette accident est une variable aléatoire d espérance µ et de variance τ Tous ces évènements sont supposés indépendants Donner la fonction génératrice de nombre Y d ouvriers blessés par semaine, en l exprimant à l aide des fonctions génératrices de N et X En déduire la valeur des espérance et variance de Y en fonction de m, σ, µ et τ 36 Peut-on piper dés de telle sorte que la variable aléatoire somme des dés soit uniformément réparti sur l intervalle [, ], (indication : on utilisera les fonctions génératrices) PRODUITS SCALAIRES On considère IR 3 muni de son produit scalaire canonique Orthonormaliser (x, x, x 3 ) avec x = (,, 3), x = ( 3,, 7), x 3 = (, 4, 9) Calculer inf { (t 3 at bt c) e t dt, (a, b, c) IR 3 } 3 Soit E = M n (IR) muni du produit scalaire ( ) tel que la base canonique soit OTN pour ce produit scalaire (a) Soit (A, B) E Donner l expression de (A B) et de A Soit S = {A E tels que Tr(A) = et A symétrique } (b) Montrer que S est un SEV de E et déterminer une base et la dimension de S 4

42 (c) Déterminer S 4 Soit E = C ([, ], IR) On munit E de la forme ϕ : (f g) = (a) Montrer que ϕ est un produit scalaire sur E f(t)g(t)dt (b) Montrer qu il existe, pour ce produit scalaire, une famille orthogonale de polynômes (P, P,, P n, ) de E telle que n IN, d (P n ) = n et P n unitaire (on confond polynôme et fonction polynômiale) Etudier l unicité de ces polynômes (c) Calculer P, P, P et P 3 (d) En déduire une suite orthonormale et totale de E 5 Soit E un IR-EV euclidien de dimension n et f O(E) On pose g = f id E (a) Montrer que Img et ker g sont en somme directe orthogonale (b) Justifier l existence et reconnaitre l endomorphisme ϕ = lim p p (id E + f + f + + f p ) 6 Soit f définie de E = IR 3 dans IR 3 (muni de son PS canonique) par f(x, y, z) = (3x + 44y 7z, x 9y + 4z, x + y + 3z) Déterminer un endomorphisme g de E tel que (a, b) E, (f(a) b) = (a g(b)) 7 Soit E = M n,p (IR) On définit (A, B) E : (A B) = T r( t AB) (a) Montrer que ( ) est un produit scalaire sur E (b) Déterminer une base OTN pour ce produit scalaire (c) Soit A E et φ : E E, X A t XA Montrer que φ L(E) et montrer que φ est symétrique 8 Soit (E, ( )) un espace pré-hilbertien complexe (a) Montrer que pour tout a E, l application f a : E IR, x (x a) est continue sur E (b) Montrer que pour toute partie A de E, A est un SEV fermé de E 9 Soit A M n (IR) une matrice symétrique réelle et λ,, λ n les valeurs propres de A (répétées autant que leurs ordres de multiplicité) n n n Montrer que : a i,j = λ k i= j= k= Soit E un IR-EV euclidien de dimension n et soit s une réflexion de E Montrer qu il existe a E tel que a et x E, s( x ) = x ( x a ) a a Montrer que A M n (IR), B M n (IR) telle que t AA = B On considère IR 3 muni de son produit scalaire canonique et orienté Déterminer les endomorphismes de IR 3 vérifiant (u, v) (IR 3 ), f(u) f(v) = f(u v) 3 On considère IR 3 muni de son produit scalaire canonique et orienté On note ( i, j, k ) sa base canonique (qui est donc OTND) (a) Soit x IR 3 tel que x = Montrer que x i + x j + x k = On dit que f L(E) est dit antisymétrique si ( x, y ) E : (f( x ) y ) = ( x f( y )) (b) Montrer que f est antisymétrique ssi a E tel que x E : f( x ) = a x 4 Former la matrice, dans la base canonique orientée ( i, j, k ) de IR 3, de la rotation d angle π et orienté par u = i + j k et d axe dirigé 5 On considère IR 3 muni de son produit scalaire canonique et orienté Déterminer les éléments géométriques de f définie canoniquement par sa matrice A dans la base canonique avec : A = et A = Soit E un IR-EV euclidien orienté de dimension n et soit (x,, x n ) E n (a) Soit B une base OTND Montrer que le réel det B (x,, x n ) ne dépend pas de B,OTND On pose alors (x,, x n ) =det B (x,, x n ) 4

43 (b) Montrer que (x,, x n ) x x n Etudier les cas d égalité 7 Soit n IN et (A, B) S n (IR) Montrer que : (tr(ab + BA)) 4tr(A )tr(b ) 8 Soit n IN et (A, B) S n + (IR) Montrer que : (det(a + B)) n (det(a)) n + (det(b)) n 9 Soit n IN et A GL n (IR) Montrer que : U O(n), T triangulaire supérieure telles que A = UT Soit n IN et A S n (IR) Discuter l existence et l unicité de B S n (IR) telle que B 3 = A { } Soit H = l (IR) = u IR IN, u n < + muni de son produit scalaire canonique n= Déterminer la forme des formes linéaires et continues sur H Soit <, > l application définie sur M n (IR) M n (IR) par (A, B) M n (IR), < A, B >= tr ( t A B) (a) Montrer que <, > est l unique produit scalaire de M n (IR) pour lequel la base canonique est orthonormée (b) Prouver que les sous-espaces vectoriels S n (IR) et A n (IR) respectivement des matrices symétriques et antisymétriques sont des sous-espaces vectoriels orthogonaux pour <, > (c) Étant donné A = (a i,j) M n (IR), calculer inf M S n(ir) i,j n (a i,j m i,j ) 3 (a) On considère la rotation vectorielle r autour du vecteur unitaire v et d angle θ Justifier qu il existe une base orthonormée B de IR 3 dans laquelle la matrice de r est de la forme ( ) () Mat B (r) = () R(θ) où R(θ) est une matrice orthogonale de M (IR) que l on précisera (b) Déterminer ( la matrice dans la base canonique B = ( e, e, e 3 ) de IR 3 de la rotation vectorielle r autour de v = 4, 4, ) 3 tel que r ( e ) = e (on supposera IR 3 orienté canoniquement) 4 Soit A M n (IR) telle que t A A = A t A On suppose qu il existe p IN tel que A p = O n (a) Montrer que t A A = O n (b) En déduire que A = O n 5 Soient a, b et c trois réels tels que a + b + c = Montrer que la matrice a ab c ac + b M = ab + c b bc a ac b bc + a c est la matrice d une isométrie Laquelle (on supposera IR 3 orienté canoniquement)? 6 Soit E = {f : IR IR, continue, impaire et π-périodique } (a) Montrer que E est un IR-EV Pour (f, g) E, on pose (f g) = π f(t)g(t) dt (b) Montrer que ( ) est un produit scalaire sur E On considère pour tout entier n IN, s n définie par s n (t) = sin(nt), pour tout t IR (c) Montrer que (s n ) nin est une famille orthogonale de E On admet le théorème de Stone-Weierstrass trigonométrique (version impaire) : n ε >, f E, P : t λ k sin(kt) tel que t IR : f(t) P (t) ε k= (d) En déduire une suite orthonormale et totale de E 43

44 (e) Application : Soit f dans E telle que t [ π, π] f(t) = t Que vaut f()? Tracer f En déduire une expression de f(t) à l aide d une série de sin Donner f(t) à l aide d une somme finie de sin qui approxime uniformément f sur IR à près 7 Soit A une matrice carrée d ordre n et symétrique Montrer l équivalence suivante : X M n, (IR), t XAX sp(a) IR + 8 Soit A une matrice carrée d ordre n, montrer que A est symétrique et sp(a) IR + SSI il existe B inversible telle que A = t BB 9 Soit E un phr et soit (e n ) n IN une suite orthonormale de E Montrer que les 4 propriétés ci-dessous sont équivalentes : (i) : (e n ) n IN une suite orthonormale et totale de E (ii) : x E, x = + (iii) : x E, x = (x e n )e n n= + n= (iv) : (x, y) E, (x y) = (x e n ) + n= (x e n )(y e n ) 3 Soit (E, ( ) ) un phr et soit (x n ) n IN une suite totale libre de E Montrer qu il existe (e n ) n IN une suite orthonormale et totale de E telle que 3 Soit (H, ( ) ) un préhibertien réel n IN : vect(e,, e n ) = vect(x,, x n ) a) Montrer que pour toute partie A H, on a A = A b) En déduire que pour toute suite (x n ) n IN totale de E, on a X = {} avec X = {x n, n IN} GEOMETRIE AFFINE EUCLIDIENNE Soit une mouche posée sur le carreau d une chambre cubique et soit une arraignée dans un des deux coins inférieurs opposés à la fenêtre Quel est le chemin le plus court de l arraignée pour aller manger la mouche Comment couper, avec une règle (non graduée) et un compas, un segment donné en 7 segments égaux 3 Soit deux droites distinctes sécantes Soit A un point hors des deux droites Construire, avec une règle (non graduée) et un compas, les cercles tangents aux deux droites et passant par A 4 Montrer que dans un triangle, le centre de gravité G, l orthocentre H, le centre du cercle circonscrit I sont alignés Le centre du cercle inscrit Ω est il toujours sur cette droite (appelée droite d Euler)? 5 Soit A, B, C dans E et f définie de E dans E par f(m) = MA BC + MB CA + MC AB Soit I le centre du cercle circonscrit à ABC Montrer que f(i) = 6 Soit ABC un triangle équilatéral et M un point à l intérieur de ABC Montrer que la somme des distances de M aux trois côtés de ABC ne dépend pas de M 7 Soit ABC un triangle On note a = BC, b = AC, c = AB et p = (a + b + c) On note  = ( AB, AC), B = ( BC, BA), Ĉ = ( CA, CB) On note R le rayon du cercle circonscrit et S la surface du triangle ABC (a) Montrer que a = b + c bc cos  (b) Montrer que sin  = bc p(p a)(p b)(p c) En déduire que S = p(p a)(p b)(p c) (c) Montrer que R = a sin  = b sin B = c sin Ĉ Pour les exercices?? à??, E désigne un plan vectoriel rapporté à un repère R = (O, i, j ) OTND Sauf indication contraire, les coordonnées des points, des vecteurs et les équations de droites sont données dans le repère R 8 Former les équations des tangentes communes aux deux cercles : (C ) : x + y = et (C ) : x + y 4x 8y + = 9 Former l équation cartésienne de la parabole (P) tangente à l axe (O i ) en A(, ) et tangente à l axe (O j ) en B(, ) 44

45 Soit f affine définie de E dans E par M = (x, y) M = ( 3 5 x 4 5 y + 7, 4 5 x y ) Déterminer la nature et les éléments géométriques de f Soient et deux droites de IR, et a IR + Trouver le lieu des points M tels que : d(m, ) + d(m, ) = a Pour les exercices?? à??, E désigne un espace vectoriel de dimension 3 rapporté à un repère R = (O, i, j, k ) OTND Sauf indication contraire, les coordonnées des points, des vecteurs et les équations de droites et de plans sont donnés dans le repère R Calculer la distance de A(,, ) au plan P représenté paramétriquement par : x = + λ µ y = 3 λ + µ z = + λ + µ 3 Former { l équation cartésienne du plan perpendiculaire au plan (P ) : x y + z + 4 = et contenant la droite x y + z + 4 = D x y z + = 4 Déterminer la perpendiculaire commune de D { x + y 3z + 4 = x z + = et de D { x = z y = z En déduire la distance de D à D Déterminer la nature de l ensemble des points M qui sont à égales distances de D et D { x + y + z = 5 Calculer la distance de A(,, ) à la droite D x y + z = et la distance de A(,, ) à la droite D représenté paramétriquement par : x = + λ y = λ z = + λ 6 Déterminer toutes les droites (D) de E rencontrant les trois droites { { { z = z = z = D y = x D y = x + 3 D 3 y = x + et orthogonales à u (, 4, 3) { x = az + b On montrera qu une telle droite peut se paramétrer par y = cz + d { x + y + 3z = 4 7 Déterminer le centre et le rayon du cercle suivant : x + y + z x 6y z = 8 Déterminer la sphère de centre A(,, 3) et tangent au plan d équation x + y + z = On donnera le rayon 9 Soit (C) un cercle de E et A un point de E qui ne soit pas dans le plan de (C) Un point M décrit (C) ; montrer que le plan perpendiculaire à (AM) passant par M passe par un point fixe GROUPES & ARITHMETIQUE a Soit G =, a IR Montrer que (G, ) est un groupe isomorphe à un groupe célèbre Montrer que les sous-groupes de (IR, +) sont soit de la forme αzz (avec α IR+), soit ils sont denses dans IR Applications : a) Montrer que A = {cos n, n IN} est dense dans [, ] b) Montrer que si f est continue, non constante et périodique de IR dans lc alors elle admet une plus petite période strictement positive 3 Soit K un corps fini Montrer qu il existe un nombre premier p et un entier n tel que card(k)=p n En déduire qu il n existe aucun corps ayant 6 éléments 4 Montrer que l ensemble des 3-cyles est une partie génératrice de A n (le groupe alterné du groupe symétrique S n avec n 3) 5 On considère le groupe (lq, +) Soit A lq, fini Montrer que < A > lq 6 On admet le théorème de Cauchy qui dit que pour tout groupe de cardinal n et poour tout nombre premier p divisant n alors il existe un élément de G d ordre p Donner tous les groupes à 6 éléments (à isomorphisme près) 45

46 7 Soit G un groupe abélien et x, y éléments de G d ordre respectif n et p On suppose que n p = Déterminer l ordre de xy 8 La comète A qui est visible tous les 5 ans a été observée il y a an La comète B qui est visible tous les 8 ans a été observée il y a ans La comète C qui est visible tous les ans a été observée il y a 3 ans Dans combien d années pourra-t-on observer les 3 comètes simultanément? 9 Soit p un entier premier et n un entier Soit E un espace vectoriel de dimension n sur le corps lk = ZZ/pZZ Déterminer le cardinal de E, le nombre de droites vectorielles, d hyperplans Déterminer le nombre de famile libre à k éléments, le nombre de bases Déterminer le cardinal de GL n (lk), de M n (lk) Déterminer le nombre de projecteurs de E Résoudre dans IN 3, l équation x + y = z a)montrer que si m n, avec (m, n) (IN ), alors ϕ(m) ϕ(n) b) Montrer que pour tout n : n = ϕ(d) d n, d n c) Montrer que si (m, n) (IN ), alors ϕ(m)ϕ(n) = ϕ(mn) SSI n m = Résoudre les équations suivantes : x x + 7 = dans ZZ/3ZZ et x 4x + 3 = dans ZZ/ZZ 3 Montrer sans récurrer que pour tout entier naturel n, 3 5 n + 9 3n est divisible par 7 4 Déterminer l opposé et l inverse de 73 dans ZZ/57ZZ { x 7 () x y = 7 5 Résoudre les systèmes suivant : x y = 8 dans (ZZ) et x 3 () x 6 () { 5x + y = 3 6 Résoudre le système suivant : x + 4y = 6 dans (ZZ/ZZ) dans ZZ 7 Montrer que pour tout nombre premier p, il existe un entier n tel que 6n + 5n + (p) 8 Soient a et x deux entiers supérieurs ou égales à tels que a x soit premier Montrer que a = et que x est premier Etudier la réciproque 9 Soit α IR lq Montrer que pour tout entier n, on peut trouver (p, q) ZZ IN tel que q n et α p q nq Résoudre dans (ZZ/7ZZ) l équation X + 4XY + Y = Soit k [, 7 [, non divisible par 7 Donner la classe de k 7 6 modulo 7 Quels sont les deux derniers chiffres de en écriture décimale? 3 On note ϕ la fonction indicatrice d Euler Étant donnés k et n deux entiers naturels, on note k n leur plus grand diviseur commun (a) Soit d un diviseur positif de n IN Combien y a-t-il d entiers k vérifiant k [, n ] et k n = d En déduire que n = d n ϕ(d) { si i divise j (b) On note T la matrice de M n (IR) de coefficient t ij = et D = diag (ϕ() ϕ(n)) sinon Déterminer la matrice t T DT puis en déduire le déterminant de la matrice S de coefficient général s ij = i j 4 On note P l ensemble des nombres premiers Pour tout entier n >, on note v p (n) l exposant de p dans la décomposition de n en facteurs premiers et x la partie entière de x (a) Montrer la formule de Legendre : (b) Par combien de zéros se termine 6! v p (n!) = + k= n p k 5 On note ϕ la fonction indicatrice d Euler Montrer que pour tout entier n 3, ϕ(n) est un entier naturel pair 6 Résoudre dans (IN ) le système suivant { x + y = 84 (x y) = x y 46

47 7 Notons U(ZZ/ZZ) l ensemble des éléments inversibles de l anneau ZZ/ZZ (a) Déterminer le cardinal de U(ZZ/ZZ) (b) U(ZZ/ZZ) est-il un groupe cyclique? 8 Résoudre dans ZZ les systèmes suivants (S ) { 3x [5] 5x [6] { x + y 4 [] et (S ) xy [] EQUATIONS DIFFERENTIELLES-SYSTEMES DIFFERENTIELS Résoudre l équation différentielle : xy y x = Déterminer les solutions sur IR + x Soit (E) l équation différentielle : x 3 y xy + 3 = Résoudre (E) en effectuant le changement de variable z = xy + y Etudier les problèmes de raccord 3 Soit α IR Résoudre l équation différentielle y αy + y = e αx (x + ) 4 Soit f de classe C sur IR telle que x IR : f (x) + f(x) Montrer que x IR : f(x) + f(x + π) (indic : on pourra commencer par un cas particulier non trivial ) 5 Résoudre, en cherchant des solutions DSE, l équation différentielle : xy + 3y 4x 3 y = Etudier les problèmes de raccord 6 Soit λ IR Chercher une solution DSE de l équation y xy + λy = { x 7 Résoudre le système différentiel : = 5x y + e t y = x + 6y + t 8 Intégrer le système X = AX où A est la matrice 9 Résoudre par méthodes différentes le système différentiel : Résoudre le système différentiel : { x = x + y y y = x + y x x = 3x + y z y = x + z z = x + y Soit A M 3 (IR) telle que A 3 = Résoudre le système X = AX Déterminer la nature des trajectoires (graphes des solutions) Soit f une solution de l équation différentielle : y + ye t = sin t On suppose que f est bornée sur [, + [ Montrer que f est bornée sur [, + [ 3 Soit p une fonction continue sur [, ] telle que x [, ] : p(x) < Soit (E) l équation différentielle sur [, ] : y + p(x)y = (a) Que dire d une fonction g solution de (E) pour laquelle qu il existe c [, ] tel que g(c) = g (c) =? Soit f une solution non nulle de (E) (b) On suppose que f admet une infinité de racines dans [, ] i Montrer qu il existe une suite convergente (α n ) de [, ] telle que les α n sont à distincts et n IN f(α n ) = ii Montrer que f est nulle Conclure (c) Montrer que f ne peut admettre plus d une racine dans [, ] (d) Donner un exemple de solution sans racine et un exemple de solution avec racine 4 Soit (ε) l équation différentielle y + ω y = f où f est une fonction continue sur IR fixée On pose ϕ(x) = x sin ω(x t) f(t) dt ω ) ϕ est-elle solution de (ε)? ) Y a-t-il des solutions de (ε) telles que y() = y(a) et y () = y (a) où a est un réel fixé? 47

48 x ln( + t) 5 On pose F (x) = dt t ) Quel est le domaine de définition de F? Donner un équivalent de F en + ) Montrer que α >, (A, B, M) IR 3 tel que x M, F (x) A + Bx α+ 3) On s interesse à l équation différentielle xy + y = ln( + x) Donner la solution générale Y a-t-il une solution ayant une limite finie en? 6 On considère l équation différentielle homogène (E) définie par (E) x( x)y + (x )y + ( x)y = (a) Déterminer une solution particulière de la forme x x n avec n IN (b) Résoudre (E) 7 (a) Résoudre sur ]; + [ à l aide de la méthode de variation des constantes l équation différentielle y + y = x On fera intervenir dans la solution les expressions suivantes (b) En déduire une expression valable pour x > de f(x) = sin t (c) Calculer dt t 8 Résoudre le système différentielle (S) défini par 9 Soit (E) l équation différentielle (S) x e tx x = x + y 3 y = x + 3y + x() = y() = sin t t (E) : x y + 4xy + ( x )y = dt et dt + t (a) Méthode : Montrer que (E) admet une unique solution développable en série entière La calculer puis résoudre (E) (b) Méthode : Résoudre (E) en posant u(x) = x y(x) FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES - CALCUL DIFFERENTIEL Soit f définie sur IR par f(x, y) = x4 y 3 x 6 si (x, y) (, ) et f(, ) = + y8 Etudier la continuité et la différentiabilité de f f est-elle C sur IR? Soit f définie sur IR par f(x, y) = (x + y ) sin si (x, y) (, ) et f(, ) = x + y Etudier la continuité et la différentiabilité de f f est-elle C sur IR? 3 Soit f définie sur IR par f(x, y) = xy x y x si (x, y) (, ) et f(, ) = + y Montrer que f est C sur IR Calculer f (, ) et f (, ) Que peut-on en déduire? x y y x 4 Soit f définie sur IR par f(x, y) = ex e y x y si x y et f(x, x) = ex Montrer que f est C, C puis C sur IR 5 Soit f : IR 3 IR 3 IR ( x, y ) x y On pose E = IR 3 IR 3 que l on munit de la norme ( x, y ) =Max( ( x, y ) ) où est la norme euclidienne sur IR 3 (a) Montrer que (E, ) est un EVN (b) Montrer que f est différentiable sur E et calculer en tout point la différentielle de f 6 L application (x, y) x + y est-elle continue sur IR, de classe C? x cos t t dt 48

49 7 Soit f définie sur E = IR n [X] par f(p ) = P (t) e t dt Montrer que f est définie et différentiable sur E 8 Montrer que f : (x, y) (e x e y, x + y) est une bijection de classe C de IR dans IR et que sa réciproque est aussi de classe C 9 Résoudre dans IR, l équation aux dérivées partielles suivante : f x f y = x + ey Indication : On pourra montrer que l on peut définir une fonction g : IR IR, (u, v) g(u, v) telle que f(x, y) = g(u, v) avec u = x y et v = x + y On considère l équation des cordes vibrantes : f t a f x = Cette équation s applique aux petites vibrations d une corde tendue, fléxible (corde de violon par exemple) initialement tendue le long d un axe x et mise en mouvement f(x, t) représente le déplacement d un point d abscisse x à l instant t La constante a a pour valeur τ où τ est la tension (constante) de la corde et µ est la masse µ (constante) par unité de longueur de la corde On suppose qu il n y a pas de forces extérieures agissant sur la corde et que celle-ci ne vibre que par élasticité (a) Résoudre cette équation aux dérivées partielles On pourra montrer que l on peut définir une fonction g : IR IR, (u, v) g(u, v) telle que f(x, t) = g(u, v) avec u = x at et v = x + at (b) Chercher la solution de l équation avec les conditions aux limites : 4 f t f f 5 =, f(, t) = f(π, t) =, f(x, ) = sin x et (x, ) = x t On interprétera physiquement les conditions aux limites En déduire le mouvement de la corde dans le temps Soit U un ouvert de IR tel que (, ) / U Soit f définie de U dans IR On note f = f x + f y (Laplacien) Soit P : IR IR, (r, θ) (r cos θ, r sin θ) On pose U = P (U) et g définie sur U par g(r, θ) = f(r cos θ, r sin θ) (a) Montrer que U est ouvert (b) Montrer que (r, θ) U : f(r cos θ, r sin θ) = g r + g r r + g r (Laplacien en polaire) θ Soit la fonction f définie sur IR par f(x, y) = y e x x y (a) Déterminer les points critiques de f (b) Etude en (, ) Est-ce un extremum? Dessiner les zones de IR où f est positive et où f est négative (c) Etudier l autre point critique (dire s il est local, global, stricte ou non) 3 Déterminer les extréma (selon les cas dire s ils sont locaux ou globaux, strictes ou non) des fonctions suivantes : (a) f(x, y) = x 3 + 3xy 5x y (b) f(x, y) = x n + y n (n IN) (c) f(x, y) = x 3 + y 3 3xy (d) f(x, y) = e x sin y xy (e) f(x, y) = ( + x)( + y)(x + y) (f) f(x, y, z) = x + y + z xyz (g) f(x, y, z) = x + xyz y + z 4 Déterminer les triangles dont la somme des cosinus des 3 angles est maximale 49

50 5 Soit k ], [ et f C (IR) telle que x IR, f (x) k On définit : ϕ : IR IR (x, y) (y + f(x), x + f(y)) Montrer que ϕ est une bijection de classe C de IR dans lui-même 6 Soit f(x, y) = n= x n Déterminer le domaine de définition de f puis étudier la continuité sur f est-elle + yn C sur? 7 Soit n IN et E = M n (IR) Pour tout élément A E on pose exp(a) = A p p! p Montrer que la fonction exp est différentiable en tout point et exprimer sa diférentielle en A à l aide des applications ( : ) ( ) E E E E δ A : et γ M MA A : M AM 8 Soit f : IR IR de classe C sur IR et soit s IR f est dite s-homogène si (x, y) IR et λ > : f(λx, λy) = λ s f(x, y) (a) Donner un exemple non nul (!) avec s = 3 et s = 3 (b) Montrer l équivalence suivante : f est s-homogène ssi (x, y ) IR f : x x (x f, y ) + y y (x, y ) = sf(x, y ) 9 Étudier les extrema de la fonction f définie sur le domaine D = [; ] par f(x, y) = x + y ( + x )( + y ) Résoudre en passant en coordonnées polaires l équation aux dérivées partielles suivante (E) x f x + y f y = x + y avec f C (IR + IR) (a) On rappelle que la fonction Γ est définie pour tout x > par Γ(x) = Γ(x + ) = x Γ(x) t x e t dt Montrer que (b) Étudier l existence éventuelle d un minimum de la fonction f définie par et le calculer f(a, b) = (t + at + b) e t dt Déterminer les fonctions ϕ : ] ; [ IR de classe C telle que la fonction f définie par f(x, y) = ϕ U = IR IR + soit harmonique c est-à-dire f = f x + f y = ( ) cos x sur chy 3 (a) On considère le plan muni de sa structure euclidienne canonique et on notera B sa base canonique Étant donnés trois points A, B et C du plan, justifier que l aire S du triangle ABC vaut S = det B ( AB, AC ) (b) Soit Γ un cercle donné Quels sont les triangles d aire maximale inscrits dans Γ? 4 Soit K : [; ] IR la fonction définie par K(x, y) = { x( y) si x y y( x) si x y 5

51 (a) A chaque fonction continue f : [; ] IR, on associe la fonction g : [; ] IR définie par x [; ], g(x) = K(x, y)f(y) dy Montrer que g est de classe C sur [; ] et que g = f, g() = g() = (b) Montrer que l application T : f g est un endomorphisme de C ([; ], IR) et déterminer ses valeurs propres et ses vecteurs propres SURFACES Donner { l équation paramétrique du cône de révolution autour de l axe (z) engendré par la rotation de la droite x + y z = D autour de l axe (z) x 3y + z = Soit S la surface d équation z = x 3 + y 3 Déterminer le plan tangent au point M(,, 9) x = sin t 3 Soit C la courbe d équation C y = cos t z = cos t (a) Montrer que C est inclus dans une sphère (b) Tracer les projections de C sur les plans (xy), (xz) et (yz) (c) Dessiner C et la visualiser mentalement dans l espace F I N 5

52 TABLE DES MATIERES POLYNÔMES RELATIONS BINAIRES IN, ZZ, lq, IR NOMBRES COMPLEXES 3 DENOMBREMENT 3 SUITES DE IR ET lc 5 FONCTIONS REELLES 6 CONVEXITE 7 DEVELOPPEMENTS LIMITES - ETUDES LOCALES 8 SERIES NUMERIQUES DE IR ET lc 9 PROBABILITES ESPACES VECTORIELS 7 GEOMETRIE AFFINE 9 MATRICES 9 GROUPE SYMETRIQUE - DETERMINANTS - SYSTEMES ANNEAUX - IDEAUX - CORPS REDUCTION - DIAGONALISATION - POLYNÔMES D ENDOMORPHISMES 3 EVN - APPLICATIONS CONTINUES 6 ARCS ET COURBES DU PLAN ET DE L ESPACE 8 FRACTIONS RATIONNELLES - DECOMPOSTION EN ELEMENTS SIMPLES 9 INTEGRATION SUR UN SEGMENT 3 FONCTIONS INTEGRABLES 3 INTEGRALES DEPENDANT D UN PARAMETRE 33 SUITES ET SERIES DE FONCTIONS - CS-CU-CA-CN 35 SERIES ENTIERES 38 PRODUITS SCALAIRES 4 GEOMETRIE AFFINE EUCLIDIENNE 44 GROUPES & ARITHMETIQUE 45 EQUATIONS DIFFERENTIELLES - SYSTEMES DIFFERENTIELS 47 FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES - CALCUL DIFFERENTIEL 48 SURFACES 5 5