GRANDES DÉVIATIONS ET CONCENTRATION CONVEXE EN TEMPS CONTINU ET DISCRET

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1 THÈSE DE DOCTORAT de l UNIVERSITÉ DE LA ROCHELLE Discipline : Mathématiques Spécialité : Probabilités Présentée par Yutao MA pour obtenir le grade de DOCTEUR de l UNIVERSITÉ DE LA ROCHELLE. Titre de la thèse : GRANDES DÉVIATIONS ET CONCENTRATION CONVEXE EN TEMPS CONTINU ET DISCRET soutenue publiquement le 25 Janvier 27 devant le jury composé de : M. Patrick CATTIAUX (Université de Paris X) - Président M. Quan-sheng LIU (Université de Bretagne-Sud) -Examinateur M. Nicolas PRIVAULT (Université de Poitiers) - Directeur de thèse M. Alain ROUAULT (Université de Versailles) - Rapporteur M. Feng-yu WANG (Université normale de Beijing, Chine) - Rapporteur M. Li-ming WU (Université de Clermont-Ferrand II) - Directeur de thèse

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3 Résumé Cette thèse consiste en trois parties: principes de grandes déviations, inégalités de concentration convexe et inégalités fonctionnelles. Dans la première partie nous obtenons un principe de grandes déviations par rapport à la topologie τ pour les suites échangeables, et un principe de déviations modérées pour les fonctionnelles additives lipschitziennes des processus de Markov. Dans la deuxième partie nous généralisons la formule d Itô aux martingales progressives/rétrogrades. Par conséquent, nous obtenons des inégalités de concentration convexe pour des intégrales dirigées par des mesures aléatoires de Poisson et des mouvements browniens, des martingales normales, des processus symétriques stables ainsi que dans le modèle du gaz continu. Dans la troisième partie nous obtenons une inégalité FKG sur l espace de Wiener. Nous obtenons aussi une inégalité de trou spectral et une inégalité de concentration convexe pour les processus de naissance et de mort. Mots-clés: principe de grandes déviations, inégalité de concentration convexe, formule d Itô aux martingales progressives/rétrogrades, formule de Clark-Ocone, modèle du gaz continu, inégalité FKG, trou spectral, processus de naissance et de mort. Abstract This thesis consists of three parts, on the large deviation principle, on convex concentration inequalities and on functional inequalities. In the first part we obtain a large deviation principle for exchangeable sequence with respect to τ-topology and a moderate deviation principe for additive Lipschitzian functionals of Markov process. In the second part we generalize the Ito s formula to forward/backward martingales, and we obtain some convex concentration inequalities for the integrals with respect to Poisson random measure, Brownian motion, normal martingales, symmetric stable process, and also for the continuous gas model. In the third part we get a FKG inequality on classical Wiener space. We also prove spectral gap and convex concentration inequalities for birth-death process. Keywords: Large deviation principle, convex concentration inequality, Itô s formula for forward/backward martingale, Clark-Ocone formula, continuous gas, FKG inequality, spectral gap, birth-death process.

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5 Remerciements Je tiens tout d abord à remercier Liming Wu pour l encadrement de mes études de Master en chine et de cette thèse de doctorat. Durant ces six années, il a été porteur d idées et de soutiens permanents sur les mathématiques et il m a aussi donné de nombreux de conseils et aides bénéfiques pour la vie courante. Je suis également redevable à Nicolas Privault pour sa direction de thèse. Durant ces trois années, j ai largement bénéficié de son encouragement dans mes choix, ainsi que de son aide pendant mes séjours en france. Nos discussions informelles m ont permis une plus grande réflexion sur le monde de la recherche et des publications. Je remercie très chaleureusement Alain Rouault et Feng-yu Wang les rapporteurs pour leurs suggestions constructives, ainsi que Patrick Cattiaux, Quan-sheng Liu qui me font l honneur de composer le jury. Mes remerciements s adressent aussi à l Ambassade de France en Chine pour m avoir accordé cette bourse en ces trois périodes. Merci à Magali Moreau, la responsable du service international à Poitiers, m a aidée à gérer toutes mes démarches administratives. Aldéric Joulin, Anthony Reveillac, Delphine David, Thomas Forget et Thomas Batard, m ont guidée attentivement dans mes loisirs et dans l apprentissage de la langue française qui est si particulière. Je leur témoigne toute mon amitié. Je n oublie pas non plus tous les membres du laboratoire de Mathématiques et Applications et de l Ecole Doctorale de l Université de La Rochelle, auxquels je témoigne ma profonde sympathie. Mille mercis à mes copines Liangzhen Lei, Xiaoqun Zhang et Jing Deng.

6 À mes parents et mon mari

7 Table des matières Introduction et résultats principaux 11.1 Chapitre 1: PGD pour des suites échangeables Chapitre 2: PDM pour des fonctionnelles lipschitziennes Chapitre 3: Inégalités de concentration convexe Chapitre 4: Domination convexe pour des intégrales stables Chapitre 5: Modèle du gaz continu Chapitre 6: Inégalité FKG sur l espace de Wiener Chapitre 7: Processus de naissance et de mort I Principes de grandes déviations 51 1 LDP for exchangeable sequences Introduction and Main result Preliminaries Several elementary lemmas General lower bound of large deviation Proof of the main result MDP for Lipschitzian functionals Introduction Motivation: to beat the irreducibility assumption Main result Proof of the main results Some preparations Proof of the results Applications: Two typical models Linear States Space Model(LSSM) Scalar Nonlinear state Space Model(SNSSM) II Inégalités de concentration convexe 83 3 Convex concentration inequalities 85 7

8 8 TABLE DES MATIÈRES 3.1 Introduction Notation Convex concentration inequalities for martingales Application to point processes Application to Poisson random measures Clark formula Normal martingales Appendix A convex domination principle Introduction Main result Proof of Theorem Forward-backward stochastic calculus Integrability of convex functions Proof of Theorem The model of continuous gas Introduction Main Results Proof of the theorems Stochastic domination III Inégalités fonctionnelles FKG inequality on the Wiener space Introduction Analysis on the Wiener space FKG inequality on the Wiener space The discrete case Spectral gap of birth-death process Introduction Representation of ( L) 1 Lip(ρ) Application to spectral gap convex concentration inequality Two classic examples Bibliographie 161

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10 1 TABLE DES MATIÈRES

11 Chapitre Introduction et résultats principaux Cette thèse de Doctorat d Université a été élaborée sous la direction des professeurs Nicolas Privault et Liming Wu au sein du laboratoire de Mathématiques et Applications de l Université de La Rochelle. Elle a bénéficié d une bourse de l Ambassade de France en Chine sur une durée de trois ans. Elle est consacrée à l étude des principes de grandes déviations, de la concentration convexe, et des inégalités fonctionnelles. Nous présentons ici les éléments qui ont motivé cette étude ainsi qu un résumé des principaux résultats obtenus. Introduction La théorie du principe de grandes déviations (PGD en abrégé) trouve son origine dans les travaux de Donsker et Varadhan [31], I-IV(1975). Ainsi, depuis une vingtaine d années l obtention de principes de grandes déviations et le développement d outils théoriques ont bénéficié d un engouement soutenu jusqu à devenir une branche des probabilités, et ce grâce à la multitude de leurs applications possibles, que ce soit dans le domaine des mathématiques ou de la physique. Les inégalités fonctionnelles comprennent beaucoup de types d inégalités, par exemple les inégalité de Poincaré, inégalité de Sobolev logarithmiques, inégalité FKG etc.. Elles permettent des estimations effectives de queues de distributions. Ainsi elles apparaissent fréquemment en statistiques et en estimation a priori. Les inégalités de concentration convexe ont été premièrement introduites par Hoeffding dans [42] (1963). Puis elles ont été appliquées pour obtenir des estimations de queues de distribution et des inégalités fonctionnelles. Prenons deux exemples. Shao [84] (2) a démontré comment obtenir des inégalités classiques par les inégalités de concentration convexe, par exemple, l inégalité maximale de Rosenthal et l inégalité de Kolmogorov. Par ailleur, Bentkus [7] (24) a obtenu des estimations de queues de distributions pour 11

12 12 CHAPITRE. INTRODUCTION ET RÉSULTATS PRINCIPAUX martingales discrètes bornées. Dans la suite de cette partie introductive, nous présentons les résultats obtenus au cours de la préparation de cette thèse. Ils sont généralement présentés sous forme de projets d articles soumis à des revues internationales. Que le lecteur veuille bien excuser alors l utilisation de la langue anglaise. Ce chapitre comprend en outre un résumé en français de chacun de ces articles, en explicitant leur contenu et esquissant les démonstrations. Cette thèse comprend trois parties principales: principes de grandes déviations, inégalités de concentration convexe et inégalités fonctionnelles. La première partie traite du PGD dans les Chapitres 1 et 2. Dans un premier temps, au cours d un travail élaboré en collaboration avec Qiongxia Song et Liming Wu, nous avons établi un PGD pour les suites échangeables. Nous donnons des conditions suffisantes et nécessaires pour le PGD par rapport à la topologie τ, qui est telle que pour toute fonction f mesurable bornée et toute mesure µ, µ µ(f) est continue. Le deuxième chapitre est consacré à l étude du principe de déviations modérées pour les processus de Markov, traité en collaboration avec Qiongxia Song. Notre méthode repose sur celle de Wu dans [92]. Nous utilisons le théorème de perturbation analytique d opérateurs de Kato pour vérifier la condition C 2 régularité, qui donne le principe de déviations modérées pour les fonctionnelles additives lipschitziennes. Note que, dans notre travail, le processus de Markov n est pas nécessairement irréductible et nous remplaçons cette condition par la contractibilité du semigroupe. La deuxième partie, quant à elle, est une étude des inégalités de concentration convexe dans les Chapitres 3, 4, 5. Le troisième chapitre, élaboré en collaboration avec Thierry Klein et Nicolas Privault, concerne des inégalités de concentration convexe. Tout d abord nous généralisons la formule d Itô aux martingales progressives/rétrogrades. Considérant la somme d une martingale progressive et d une martingale rétrograde, nous obtenons des inégalités de concentration convexe pour cette somme. Par conséquent, nous obtenons des inégalités de concentration convexe pour les intégrales dirigées par un mouvement brownien et une mesure aléatoire de Poisson non nécessairement indépendants ainsi que pour les intégrales par rapport à des martingales normales. Puis nous appliquons la formule de Clark-Ocone pour obtenir des inégalités de concentration convexe pour les variables aléatoires de carré intégrable sur certains espaces probabilisés. Puis avec Aldéric Joulin, dans le Chapitre 4, nous considérons des processus α stables symétriques. Nous poursuivons les idées du Chapitre 3 pour obtenir des inégalités de concentration convexe pour les intégrales stochastiques browniennes et stables corrélées. C est le cas pour les sauts non-bornés et de variance infinie.

13 .1. CHAPITRE 1: PGD POUR DES SUITES ÉCHANGEABLES 13 Le cinquième chapitre est consacré au modèle du gaz continu. En appliquant de nouveau des idées du Chapitre 3, nous obtenons les inégalités de concentration convexe en espérance, pour la covariance et de type brownien pour la mesure de Gibbs du gaz continu. De plus, nous prouvons que la mesure de Gibbs est stochastiquement dominée par la mesure correspondante de Poisson. L objectif de la troisème partie est d étudier des inégalités fonctionnelles dans les Chapitres 6, 7. Dans le Chapitre 6, avec Nicolas Privault, nous prouvons une inégalité FKG sur l espace de Wiener classique. A l aide de la formule de Clark-Ocone et du calcul de Malliavin, nous donnons une nouvelle approche permettant d obtenir l inégalité FKG sur l espace de Wiener classique muni d une certaine relation ordre. Le dernier chapitre, en collaboration avec Wei Liu, est relative aux inégalités de trou spectral et de concentration convexe des processus de naissance et de mort. Nous considérons des processus de naissance et de mort de générateur L et de mesure invariante µ. Etant donnée une fonction ρ strictement croissante, définissons une norme lipschitzienne Lip(ρ) par rapport à ρ. D abord, nous obtenons une représentation de ( L) 1 Lip(ρ). Puis comme application, nous avons le trou spectral de L dans L 2 (µ). De plus, nous obtenons une inégalité de concentration convexe pour des martingales de saut pur et ensuite pour des fonctionnelles des processus de naissance et de mort..1 Principe de grandes déviations pour des suites échangeables par rapport à la topologie τ: conditions suffisantes et nécessaires Dans cette partie nous présentons les résultats que nous avons obtenus, en collaboration avec Qiongxia Song et Liming Wu, concernant un principe de grandes déviations pour des suites échangeables par rapport à la topologie τ. Ce travail est publié dans la revue Statistics and Probability Letters, 77(3), , 27. Soient (X k ) k une suite échangeable de variables aléatoires à valeurs dans un espace polonais E, c est-à-dire que (X, X 1,, X n ) a la même loi que (X σ(), X σ(1),, X σ(n) ) quelle que soit la permutation {σ (1),, σ (n) } de {1,, n}, n 1.

14 14 CHAPITRE. INTRODUCTION ET RÉSULTATS PRINCIPAUX Considérons les mesures empiriques (ou d occupation) L n := 1 n 1 δ Xk ( où δ désigne la mesure de Dirac en ), n 1, n k= qui sont des éléments aléatoires de M 1 (E) l espace des mesures de probabilité sur E muni de la σ-algèbre B(M 1 (E)) = σ(ν ν(f) f bb), où bb est l espace des fonctionnelles B-mesurables bornées. Les mesures empiriques du processus sont R n := 1 n 1 δ (Xk,X n k+1, ), n 1, k= et appartient à M 1 (E N ) l espace des mesures de probabilité sur E N muni de la σ-algèbre B(M 1 (E N )) = σ(q Q(F ) F bf N, N ), où F N = σ(x k ; k N). Par le théorème de de Finetti, la loi P de (X k ) k est un mélange des mesures produit homogènes, i.e., il existe une mesure de probabilité m sur M 1 (E) telle que P = ρ N dm(ρ). (.1.1) M 1 (E) Ainsi le PGD pour les suites échangeables se réduit certainement au cas indépendant et identiquement distribué comme le lecteur peut l imaginer. Toutefois cette réduction présente des difficultés, comme démontré dans [24], [26], [85], [91], [97]. Les suites échangeables sont appliquées aux statistiques de Bayes et aux statistiques de bootstrap, voir les travaux récents de Chen ([14]), Trashorras ([86]) et Chaganty ([13]). Le lecteur peut se référer à Aldous [1] (1985) pour d autres applications. Maintenant nous présentons les résultats qui ont motivé ce travail. De Acosta [26] (1995) a prouvé une bonne borne supérieure du PGD pour 1 n n k=1 X k avec une fonction convexe de taux qui, en général, n est pas exacte. Quand E est fini, le troisième auteur Wu [91] (1991) a obtenu le premier PGD complet pour R n et a trouvé que sa fonction de taux n était pas convexe (donc on ne pouvait pas utiliser le théorème de Ellis-Gartëner). Puis, ce sujet a été étudié avec succès par Dinwoodie et Zabell [32] (1992) et Daras [24] (1997) et Trashorras [85] (22). Par exemple, Daras [25] (22) a obtenu le PGD de R n par rapport à la topologie de la convergence faible quand E est compact. La motivation directe de ce travail est l article récent de Wu [98] (24), où les PGDs pour L n sur M 1 (E) et pour R n sur M 1 (E N ) par rapport à la topologie de la convergence faible ont été bien caractérisés par la compacité du support de m sous la topologie de la convergence faible. Dans cet article, nous allons caractériser le PGD correspondant par rapport à la topologie τ. La topologie τ sur M 1 (E) est la topologie la plus faible sur M 1 (E) telle que quelle que soit la fonction f bb, ν ν(f) est continue, où ν(f) := fdν. La limite projective de E

15 .1. CHAPITRE 1: PGD POUR DES SUITES ÉCHANGEABLES 15 la topologie τ sur M 1 (E N ), noté par τ p, est définie comme la topologie la plus faible telle que pour toute F bf N, Q Q(F ) est continue sur M 1 (E N ). Le résultat principal de cette partie est le théorème suivant et exprimé dans le langage de [3]: Théorème.1.1. Soit S τ le support topologique de la mesure m apparaissant dans (.1.1) par rapport à la topologie τ. Les propriétés suivantes sont équivalentes: (a) Quand n tend vers l infini, la loi de L n satisfait au PGD sur M 1 (E) par rapport à la topologie τ, avec certaine fonction de taux I : M 1 (E) [, + ]. (Convention: le PGD implique nécessairement que la fonction de taux est bonne ou τ-inf-compacte, i.e., [I L] est τ-compact, L R +.) (b) La loi de R n satisfait au PGD sur M 1 (E N ) par rapport à la topologie τ p avec la fonction de taux donnée par J(Q) := inf ρ S τ h sp (Q ρ N ), Q M 1 (E N ), (.1.2) où h sp (Q ρ N ) est l entropie relative spécifique de Q par rapport à ρ N, i.e., 1 lim n h sp (Q ρ N ) := h(q n [,n 1] ρ n ) si Q M1(E s N ) + sinon, (.1.3) où M s 1(E N ) est l espace des Q M 1 (E N ) qui sont stationnaires, Q [,n 1] est la loi des n premières coordonnés (X k ) k n 1 de E N sous Q, h(q [,n 1] ρ n ) est l entropie relative de Q [,n 1] par rapport à ρ n (voir (.1.5) pour la définition). (c) Le support S τ = supp τ (m) est τ-compact dans M 1 (E). Dans ce cas, la fonction de taux dans le PGD de partie (a) est donnée par I(ν) = inf ρ Sτ h(ν ρ), ν M 1 (E). (.1.4)

16 16 CHAPITRE. INTRODUCTION ET RÉSULTATS PRINCIPAUX où h(ν ρ) est l entropie relative de Kullback de ν par rapport à ρ, i.e., dν dν log E dρ h(ν ρ) := dρ, si ν << ρ dρ + sinon (.1.5) Remarque.1.2. Puisque S τ est compact par rapport à la topologie de la convergence faible quand il est τ-compact, nos PGDs dans parties (a) et (b) du Théorème.1.1 sont plus forts que ceux de [93]. Cette amélioration est utile car en pratique les observations sont discrètes Comparé avec [93], la nouvelle difficulté principale réside dans le fait que la topologie τ sur M 1 (E) n est pas métrisable et donc beaucoup d ingrédients techniques dans [93], n étant pas du tout valides, doivent être refaits ou adaptés. Heureusement, par le théoréme dans [81], (S τ, τ) est métrisable quand S τ est τ compact et en fait par (.1.1) les informations sur S τ sont suffisantes. Donc par des arguments classiques, nous avons établi un principe de grandes déviations. D autre part, le Lemme 1.2.3, qui permet de caractériser la compacité relative de S τ dans (M 1 (E), τ), joue un role clé pour la nécessité..2 Principe de Déviations modérées pour des fonctionnelles additives lipschitziennes des processus de Markov Ce travail, en collaboration avec Qiongxia Song, concernant un principe de déviations modérées pour des fonctionnelles lipschitziennes des processus de Markov, est publié dans la revue Acta Math. Sin. (série chinoise), 27 5(1): Les estimations de déviations modérées, comme les estimations de grandes déviations, trouvent leur origine en Statistiques. Elles offrent des estimations plus précises que le théorème de la limite centrale. Soit (X k ) k un processus de Markov sur (Ω, F, P). Posons L n := 1 n n k=1 δ X k, où δ x désigne la mesure de Dirac en x, et considérons la limite de P ν (L n (f) m(f) A n ), (.2.1) où m est la mesure invariante du processus de Markov (X n ) n, ν est la distribution initiale de X, f est une fonctionnelle lipschitzienne, A n est un ensemble borelien de R.

17 .2. CHAPITRE 2: PDM POUR DES FONCTIONNELLES LIPSCHITZIENNES 17 Quand A n = A pour tout n, (.2.1) est l estimation de grandes déviations, quand quelque soit n, A n = 1 n A, (.2.1) est le théorème de la limite centrale. Si A n = λ(n) n A, où < λ(n), λ(n), λ(n) n, (.2.1) devient l estimation de déviations modérées. Dans ce cas, (.2.1) peut être écrit comme ( ) n P ν λ(n) (L n(f) m(f)) A. Ainsi, elle est une estimation entre le théorème de la limite centrale et l estimation de grandes déviations. Dans les années récentes, il y a eu beaucoup de résultats du principe de déviations modérées. Pour le cas indépendant et identiquement distribué, il existe des résultats optimaux (voir [22], (1991) et [55], (1992)). Pour une étude systématique du principe de déviations modérées pour les martingales, voir, cf. Puhaliski, 1993 et Djellout, 21. Récemment, plus en plus de travaux sont réalisés pour le cas dépendant. Dans Gao [37] (1993), le principe de déviations modérées pour les processus Doeblin récurrent de Markov a été bien discuté. Ensuite en 1996 dans [38], il a établi un principe de déviations modérées pour les martingales et les processus aléatoires mélangeants. Wu, dans son article [91] (1995), a donné un principe de déviations modérées pour les fonctionnelles additives lipschitziennes du processus de Markov avec un trou spectral. Il a considéré des fonctionnelles dans les espaces bb, C b (E) et L 2 (E). Il a introduit la C 2 -régularité et prouvé que cette condition a été suffisante et nécessaire pour le principe de déviations modérées par le théorème de perturbation analytique d opérateurs de Kato. De Acosta, dans son travail [27] (1997), a obtenu la borne inférieure du principe de déviations modérées pour les mesures empiriques de la chaîne de Markov. Wu, dans son article [92] (21) a obtenu le principe complet de déviations modérées sous l hypothèse de récurrence exponentielle et puis Djellout et Guillin (22) ont relaxé cette condition. Tous les résultats précédents sont sous l hypothèse fondamentale que le processus de Markov est irréductible (à part pour quelques résultats de [92]). Mais, comme on voit, beaucoup de processus de Markov ne sont pas irréductibles. Nous allons présenter deux exemples typiques comme application. En fait, le but le plus direct de ce travail est de remplacer la condition d irréductibilité par la contractibilité du semigroupe. Soit (E, d) un espace polonais connexe par arc, i.e., il satisfait: d(x, y) = inf γ lim sup δ τ: τ δ i= n d(γ(t i ), γ(t i+1 )), où γ est une courbe continue connectant x et y (i.e., γ() = x, γ(1) = y) et τ est une partition, τ = { = t < t 1 < < t n = 1}, τ := max 1 i n γ(t i ) γ(t i 1 ). E est la

18 18 CHAPITRE. INTRODUCTION ET RÉSULTATS PRINCIPAUX σ-algèbre de Borel de (E, d). Nous désignons par M 1 (E) l espace des mesures de probabilité sur (E, E) et par be l espace des fonctionnelles mesurables bornées sur E. Pour une fonctionnelle mesurable f et une mesure µ, nous écrivons µ(f) = f, µ = E fdµ. Une fonction f : E R est dite une fonctionnelle lipschitzienne si f(x) f(y) f Lip := lim sup d(x,y)> d(x, y) Nous définissons un opérateur gradient sur E comme: f(x) := lim sup y x < +. f(x) f(y). d(x, y) Soit (Ω, F, (F k ) k, (X k ), (P x ) x E ) une chaîne de Markov de probabilité de transition P et P ν = E P xν(dx) pour une mesure initiale ν M 1 (E). Nous travaillons sous l hypothèse essentielle suivante: (H 1 ) P Lip < + ; N > et r [, 1) tels que P N f Lip r f Lip, quelle que soit la fonctionnelle lipschitzienne f. Il est facile de prouver que sous (H 1 ), P possède une mesure de probabilité unique invariante m telle que L := m(d(x, x )) <. Considérons (C Lip, ), l espace des fonctionnelles lipschitziennes sur (E, d) où la norme est définie comme = Lip + m( ). Nous étudions la déviation modérée de L n (f) sachant le processsus de Markov (X n ) n, où L n (f) a la représentation suivante: L n (f) = 1 n 1 f(x k ). (.2.2) n k= Le résultat principal de cette partie est le suivant: Théorème.2.1. Supposons que le noyau de transition P satisfait (H 1 ). Soit (λ(n)) n une suite positive satisfaisant: < λ(n), λ(n), λ(n) n. Si f : E R vérifie la condition: (C) f est lipschitzienne, f be et f(x)(1 + d(x, x)) c pour certain c >,

19 .2. CHAPITRE 2: PDM POUR DES FONCTIONNELLES LIPSCHITZIENNES 19 alors (i) P ν ( n[l n (f) m(f)] ) converge faiblement vers N(, σ 2 (f)) uniformément en ν B L quelque soit L L quand n tend vers l infini, où N(, σ 2 (f)) est la loi normale, B L := {ν M 1 (E)/ν(d(x, )) L} et σ 2 (f) est donnée par (ii) σ 2 (f) = m(f m(f)) m(p k f(f m(f))). (.2.3) k=1 ( P ν ( ) n [L λ(n) n(f) m(f)] ) satisfait au PGD uniformément en ν B L pour tout L L, de vitesse λ 2 (n) et de fonction de taux I f (r) = tout ensemble borelien A R, nous avons ( ) n lim sup λ 2 (n) log sup P ν ( n ν B L λ(n) [L n(f) m(f)] A) r2. Autrement dit, pour 2σ 2 (f) inf I f (z); z A et lim inf n ( λ 2 (n) log sup P ν ( ν B L ) n λ(n) [L n(f) m(f)] A) inf z A o I f(z). Nous suivons la méthode de Wu ([92]). D abord nous rappelons la définition de C 2 régularité, qui est suffisante et nécessaire d avoir le principe de déviations modérées et le théorème de la limite centrale. Posons Λ t ɛ = ɛ log exp(tx/ɛ)dµ i ɛ. R Définition.2.2. Nous disons que (µ i ɛ, i A) ɛ sont C 2 -régulières à droite (resp. à gauche) uniformément en A, si [Λ i ɛ] (t) Λ (t) uniformément pour i A et t [, δ] (resp. t [ δ, ]), où Λ () est interprétée comme la dérivée seconde à droite Λ +() := lim t +(Λ (t) Λ +())/t [resp. Λ ()]. Si elles sont C 2 régulières uniformément en A à droite et à gauche en même temps, nous disons qu elles sont C 2 -régulières uniformément en A. Puis définissons l opérateur de perturbation de P par P f (x, dy) = e f P (x, dy).

20 2 CHAPITRE. INTRODUCTION ET RÉSULTATS PRINCIPAUX Nous avons alors, par la formule de Feynman-Kac, (P f ) n g(x) = E x g(x n ) exp { n 1 } f(x k ). Donc soit µ ν ɛ la loi de L n (f) sous P ν avec ɛ = 1 n, la fonction Λν ɛ définie au-dessus est équivalente à 1 n log < ν, (P f ) n 1(x) >. Par conséquent, la C 2 régularité devient une propriété de l opérateur de perturbation P f. Nous vérifions que z P zf g est holomorphe bornée pour toute fonction lipschitzienne g. Puis appliquant le théorème de perturbation analytique d opérateurs de Kato à P f, nous finissons la preuve. La section suivante concerne deux exemples classiques comme application. k= Modèle d espace des états linéaires (MEEL) Le modèle (voir [63], Chap.1) est donné comme suivant: X = (X k ) k est un processus stochastique sur R d qui satisfait X k+1 = F X k + GW k+1, k. X est arbitraire, F est une matrice d d, et G est une matrice d p. (W k ) k sont variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées sur R p et indépendantes de X. Corollaire.2.3. Soit r sp (F ) := max{ λ /λ C est une valeur propre de F }. Supposons que r sp (F ) < 1, alors nous obtenuons le principe de déviations modérées pour toute fonctionnelle f satisfaisant la condition (C). Remarque.2.4. La mesure invariante m est la loi de X. Modèle d espace des états scalaires nonlinéaires (MEESN) Étudions le modèle non linéaire suivant dans R d (d 1): X (x) = x R d, X n+1 (x) = F (X n (x), W n+1 ), n, où (W n ) n est une suite de variables aléatoires à valeurs dans R k (k 1) indépendantes et identiquement distribuées, avec F : R d R k R d une fonction.

21 .3. CHAPITRE 3: INÉGALITÉS DE CONCENTRATION CONVEXE 21 Corollaire.2.5. Si F (x, w) F (y, w) r x y, r < 1, désigne une norme arbitraire dans R d. Alors le principe de déviations modérées est satisfait pour toute fonctionnelle f satisfaisant la condition (C). Remarque.2.6. La théorie classique demande toujours que la loi de (W n ) n soit intégrable et absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue. En fait, la continuité absolue est nécessaire pour l irréductibilité. Mais ici, nous posons seulement certaines hypothèses sur F dans les modèles MEEL et MEESN. Dès maintenant, nous nous tournons à la deuxième partie concernant les inégalités de concentration convexe..3 Inégalités de concentration convexe et calcul stochastique pour les martingales progressives/rétrogrades Ce travail est élaboré avec Thierry Klein et Nicolas Privault, et publié dans Electronic Journal of Probab., Vol 11, 26. En 1963, Hoeffding [42] a premièrement introduit l inégalité de concentration convexe pour les variables aléatoires de Bernoulli, i.e., pour toute fonction convexe φ, on a E[φ(S n )] E[φ(S n)], où S n = n k=1 X k est la somme de variables aléatoires (X k ) 1 k n indépendantes de Bernoulli de paramètre (p k ) 1 i n et Sn est une variable aléatoire binomiale B(n, p) où p est le moyen arithmétique de (p k ) 1 k n. Cette type d inégalité est très utile pour obtenir des estimations de queues de distributions comme démontré dans [42] (1963), et Bretagnolle [9] (1981) a donné une version fonctionnelle de ce résultat. Pinelis dans [73] (1994) et [74] (1998) a étudié un cas plus général où φ a été dans une famille plus grande. Shao [84] (2) a traité les variables négativement associées, et a montré comment obtenir quelques inégalités classiques, par exemple l inégalité maximale de Rosenthal et l inínégalité de Kolmogorov, par l inégalité de concentration convexe. Bentkus [7] (24) a utilisé les inégalités de concentration convexe pour obtenir des estimations de queues de distributions pour les martingales discrètes bornées. Klein dans sa thèse [53] (23) s est concentré sur les inégalités de concentration convexe. Il a prouvé des inégalités de concentration convexe pour les processus ponctuels à sauts positifs par le calcul stochastique. Dans cette section, nous généralisons les résultats de [53] à un cadre

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