Examen optimisation Centrale Marseille (2008) et SupGalilee (2008)

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Examen optimisation Centrale Marseille (2008) et SupGalilee (2008)"

Transcription

1 Examen optimisation Centrale Marseille (28) et SupGalilee (28) Olivier Latte, Jean-Michel Innocent, Isabelle Terrasse, Emmanuel Audusse, Francois Cuvelier duree 4 h Tout resultat enonce dans le texte peut ^etre utilise sans demonstration. Tous les documents sont autorises. La seconde partie est commune aux deux parcours (Paris 13 et Centrale), la premiere partie est uniquement pour la specialite MACS, mais les resultats numerotes dans la premiere partie peuvent ^etre utilises sans demonstration dans la seconde. Seuls les resultats enonces dans le texte de la premiere partie sont utilisables eventuellement dans la seconde partie. La partie 1 et la partie 2 sont a rediger sur deux copies separees, et la partie 1 sera relevee au bout de deux heures. Dans ce sujet, nous etudions l'equation d'advection-diusion. Elle intervient dans de nombreux domaines : mecanique des uides (equation de Navier-Stokes linearisee), environnement (equation des milieux poreux), mathematiques - nancieres (equation de Blaack et Scholes). 1 Partie 1 Dans cette partie, designe un domaine borne de IR d avec d = 1 ou d = 2, de frontiere susamment reguliere. Soit l'equation d'advection-diusion : " u + a ru = f u j = (1.1) On suppose f 2 L 2 (), " > et a(x) = (a 1 (x); :::; a d (x)) est un champ de vecteur dont toutes les composantes sont de classe C 1, uniformement bornees sur et tel que div(a) = en tout point de. On note kak L 1 = sup( x2 dx i=1 ja i (x)j 2 ) 1=2 et on notera u " la solution de (1.1) associee au coecient de diusion ". 1

2 1. (Etude theorique) On suppose dans cette partie que est un domaine regulier de classe C 2 de IR d. (a) Montrer que toute solution u " 2 H 2 () est aussi solution de la formulation variationnelle suivante : 8 >< >: Trouver u " 2 H 1 () 8v 2 H 1 () " ru " rv + (a ru " ) v = fv (1.2) Montrer reciproquement que toute solution u " de (1.2) qui appartient a H 2 () est aussi solution de (1.1). R (b) Montrer que la forme bilineaire b(u; v) = (a ru) v est antisymetrique sur H 1 (). En deduire que (1.2) admet une solution unique dans H 1 (). (c) Etablir l'estimation ku " k H 1 () C 1 kfk L 2 () ou l'on exprimera C 1 en fonction de la constante C P de Poincare du domaine (que l'on denira precisement sans la calculer) et de " >. (d) On rappelle que si v est la solution de la formulation variationnelle du probleme v = g dans avec condition aux limites v = sur et g 2 L 2 (), on a l'estimation de regularite kvk H 2 () C kgk L 2 () ou la constante C ne depend que du domaine. En deduire que la solution u " de (1.2) verie une estimation similaire de la forme ku " k H 2 () C 2 kfk L 2 () ou l'on exprimera C 2 en fonction de C P, C, kak L 1 et " >. (e) Montrer que les constantes C 1 et C 2 tendent vers +1 lorsque "!. 2. (Etude numerique) On supposera dans cette partie que est un domaine polyhedrique convexe de IR d et on admettra que tous les rsultats obtenus precedemment restent valables dans cette situation. On considere une suite (T h ) h> de maillages reguliers conformes de. On rappelle que { la suite h = max K2Th diam(k) tend vers. { il existe une constante C r telle que pour tout h > et K 2 T h, on a diam(k) C r (K) avec (K) rayon du cercle inscrit de K. On designe par V h l'espace d'elements nis P 1 Lagrange associe au maillage T h et on utilise la discretisation de (1.1) par la methode de Galerkin : 8 >< >: Trouver u ";h 2 V h 8v h 2 V h " ru ";h rv h + (a ru ";h ) v h = fv h (1.3) 2

3 (a) Montrer que (1.3) admet une solution unique u ";h qui verie l'estimation d'erreur ku " u ";h k H 1 () C 3 inf v h 2V h ku " v h k H 1 () ou l'on exprimera C 3 en fonction de C P, kak L 1 et " >. (b) Montrer que l'on a l'estimation inf v h 2V h ku " v h k H 1 () C 4 h ku " k H 2 () ou la constante C 4 ne depend que de C r. En deduire l'estimation d'erreur ku " u ";h k H 1 () C 5 h kfk L 2 () ou l'on exprimera C 5 en fonction de C 2, C 3 et C 4. (c) Montrer la constante C 5 tend vers +1 lorsque "!. Conclure. 3. (Discretisation en dimension 1) Dans cette partie, on se place en dimension 1, =]; L[ et f = a = 1, soit "u " + u " = 1 sur ]; L[ u " () = u " (L) = : (1.4) (a) Ecrire le schema obtenu par la discretisation en elements nis P 1 Lagrange sur un maillage rgulier. Montrer qu'il coincide avec un schema aux dierences nies ou le terme d'advection u " est discretise par une dierence centree. Comment cela se relie-t-il intuitivement avec les problemes numeriques precedents? (b) Une solution possible a ces problemes consiste a discretiser (1.1) par une formulation variationnelles du type 8 >< >: Trouver u ";h 2 V h 8v h 2 V h " ];L[ u ";h v h + ];L[ u ";h v h + h u ";h v h = fv h ];L[ ];L[ (1.5) avec h choisi de maniere adequate. Pour preciser le choix de h, on le cherche sous la forme h = h: Pour quelle valeur de, le schema coincide-t-il avec un schema aux dierences nies ou le terme d'advection u " est discretise par une dierence decentree amont dont on connait la stabilite dans la limite " tend vers? 3

4 2 Partie 2 Soit f 2 L 2 ([; L]). On considere l'equation dierentielle ordinaire qui est (1.1) en dimension 1, a etant une constante donc de divergence nulle(l > ) : "u + au = f(x); x 2]; L[; u 2 H 1 ([; L]) (2.6) (elle est donc munie des conditions aux limites u() = u(l) =. 1. (Generalites) On considere une fonctionnelle J(u) deux fois derivable sur H 1 ([; L]). R 1 (a) Calculer (J (tu); u)dt pour tout u. (b) On introduit c(u; v) = R L ( "u + au f)(x)v(x)dx. Montrer que u 2 H 1 ([; L]) solution de (2.6) si et seulement si 8v 2 H 1 ([; L]); c(u; v) = : (c) Calculer c(u; v) + c(v; u) pour tous u; v dans H 1 ([; L]). (d) On suppose qu'il existe J qui verie 8u; v 2 H 1 ([; 1]); (J (u); v) = c(u; v): Determiner J(u) pour tout u en utilisant deux questions precedentes et en deduire que J n'existe pas. Existe-t-il un probleme de minimisation sans contraintes sur H 1 ([; L]) tel que (2.6) soit l'equation d'euler associee? 2. Se ramener a un probleme quadratique. Dans ce paragraphe, on montre que, dans certaines conditions, l'equation avec un terme antisymetrique peut se ramener a une equation associee a un probleme symetrique. C'est cette analyse qui permet d'obtenir des resultats (en homogeneisation) sur la diusion moleculaire. (a) Trouver le changement de variable lineaire, et le changement de fonction inconnue et de terme source tels que (2.6) est equivalente a (1.4) sur un nouvel intervalle [; ~ L]. Cette relation ne sera pas utilisee par la suite. (b) Montrer que (2.6) est equivalente a "U + a2 4" U = f(x)e a 2" x = F (x) (2.7) ou on exprimera U en fonction de u. (c) Demontrer que U est solution du probleme de minimisation suivant sur H 1 ([; L]) : infj (U) ou J (V ) = 1 2 L ["(V ) 2 + a2 4" V 2 ]dx L F (x)v (x)dx: Montrer que ce probleme admet une unique solution U. 4

5 (d) Montrer que la fonctionnelle J est convexe sur H 1 ([; L]) et donner la meilleure constante ("; a). (e) Montrer que la fonctionnelle J est M Lipschitzienne et donner la meilleure constante M("; a). (f) Identier les limites lorsque " tend vers des deux constantes. (g) Montrer l'inegalite inf("; a2 4" )jju jj H 1 jjf jj L 2: Quelle est la limite lorsque " tend vers de la norme jju jj H 1? Quelle est la limite lorsque " tend vers de la norme jju jj L 2 (on pourra utiliser une inegalite celebre). 3. On considere dans cette section la fonctionnelle J. (a) Est-ce une fonctionnelle quadratique? (b) Montrer l'egalite J (V ) = J (U ) a(v U ; V U ) R ou ~a(v; W ) = (J L (U)V; W ) = ("V W + a2 4" V W )dx. Est ce que ~a depend de U? Comment appelle-t-on de telles fonctionnelles? (c) Montrer l'existence d'un unique K(V ) tel que 8w 2 H 1 ([; L]); ~a(v; W ) = (K(V ); W ) H 1 ou (:; :) H 1 designe le produit scalaire sur H 1. Montrer que K est un operateur lineaire. (d) Montrer l'egalite J(V ) = K(V U ): (e) Algorithme de gradient a pas optimal? 4. On considere maintenant un champ a(x; y); b(x; y) non constant veriant : il existe (x; y) de classe C 2 telle que a(x; y) x (x; y), b(x; y) y (x; y) et =. (a) Dans le cas ou (x; y) = x 2 y 2, montrer que ces hypotheses sont veriees (b) Montrer que ces hypotheses sont aussi veriees lorsque (x; y) = Re(x + iy) N. (c) Soit un ouvert borne regulier. On considere l'equation aux derivees partielles, pour f 2 L 2 () " u + (a(x; x u + b(x; y u) = f(x; y); u 2 H 1 () (2.8) ou a; b verie les hypotheses enoncees au debut de cette section. Montrer, en utilisant point par point les elements de 1, qu'il n'existe pas de fonctionnelle J(u) telle que (2.8) soit l'equation d'euler associee a J(u). 5

6 (d) Trouver une fonction U(x; y) = (x; y; a; ")u(x; y) telle que U(x; y) soit solution de l'equation aux derivees partielles " U + 1 4" jr j2 U = F (2.9) ou F sera a determiner en fonction de f et de. (e) Determiner la forme quadratique J 1 (U) dont l'equation d'euler associee est (2.9). On admet dans ce qui suit que est un ouvert borne regulier sur lequel l'inegalite de Poincare U 2 dx C ~ P (ru) 2 dx est vraie pour U 2 H 1 (). (f) Demontrer que J 1 admet un unique point de minimum, note U 1 sur H 1 (), muni de la norme ((u; u)) = R (ru)2 dx. 5. Analyse abstraite de l'algorithme de gradient optimal. Dans cette question, on etudie l'algorithme de gradient a pas optimal en dimension innie. On considere pour cela J (U) = 1 " (ru) 2 dx + 1 V (x)u 2 dx 2 2 ou V (x) = 1 4" jr j2 est continue bornee sur. On utilisera en permanence pour f et g dans H 1 () les identites de Green : f gdx = rf:rgdx = f gdx: (a) Montrer sans calculs que l'algorithme de gradient a pas optimal pour J 1 avec valeur initiale est le m^eme que l'algorithme de gradient a pas optimal pour J avec comme valeur initiale U 1, ou U 1 est l'unique solution de (2.9) dans H 1 (). (b) Montrer que 8W 2 H 1 (); (J (U); W ) = ((R; W )) ou R est l'unique solution dans H 1 () de R = " U + V (x)u: (c) En deduire que U! R = KU est un operateur bijectif de H 1 () sur H 1 (). (d) Montrer que J (U) = 1((KU; U)) = 1 ((R; U)). 2 2 (e) On introduit R 1 = KR. En rappelant le theoreme du polycopie (numero, et page) donner le pas n de l'etape n de l'algorithme de gradient a pas optimal 6

7 (f) Montrer les egalites ((KU; KU)) = ((R; KU)) = ((R; R)) = R Rdx ((KU; KU)) = " 2 (ru) 2 dx + " V (x)u 2 dx + V (x)rudx ((K 2 U; KU)) = ((R 1 ; R)) = " 2 (ru) 2 dx+" 3 V (x)u 2 +" 2 V (x)rudx+" V (x)r 2 : En utilisant l'egalite V (x) = 1 4" jr j2, montrer l'egalite (K 2 U; KU) = " 2 (KU; KU) jr j 2 R 2 dx: Donner le pas optimal. Estimer sa valeur en fonction de ". (g) Expliquer pourquoi, dans ce cas, calculer une etape de l'algorithme de gradient a pas optimal ou de gradient a pas constant est exactement de la m^eme diculte que de calculer la solution du probleme. 6. Discretisation du probleme sur des splines. On considere dans toute cette section que l'intervalle [; L] est decompose en segments de taille egale L N en nombre N. On admet l'existence de fonctions, appellees splines, de classe C 1 sur IR, ayant les proprietes suivantes : pour 1 j N 1, N j a pour support [ j 1 j+1 N L; N L], N j est de degre 2 au plus sur [ j 1 N L; j N L] et sur [ j j+1 N L; N L]. On note S N = f X j N j ; 1 j N 1g; SN = f X j N j e x 2" ; 1 j N 1g (a) Montrer que S N et S N sont inclus dans H 1 ([; L]). (b) Determiner les coecients de la matrice de masse a jp et les coecients du terme source b p tels que la solution de inf V 2S N J (V ) P soit l'element de S N donne par j N j tel que X 8j; a pj j = b p : (c) On reecrit, sur S N, la formulation variationnelle (1.5) de la premiere partie, dont on admettra qu'elle existe et que sa solution est unique. Montrer que si on note A jp = L ["( N j ) ( N p ) N j ( N p ) N p ( N j ) + 1 4" (N j N p )+( N j ) N p + 1 2" N j N p ]e x " dx 7

8 le probleme est equivalent a L 8v 2 S N ; ("u v + u v)dx = 8j; X p A jp p = L L f(x)e x 2" dx = b j : fvdx (2.1) On note A la matrice des A jp et A la matrice des a jp. Est ce que les systemes A~ = ~ b et A ~ = ~ b sont identiques? Equivalents? (d) Proposez une methode qui permettrait d'avoir a partir de (2.1) le systeme A~ = ~ b. 7. Solution explicite dans le cas 1d : En posant u(x) = A(x)e a " x + B(x), ou B (x) + A (x)e a " x =, determiner l'unique solution de (2.6). 8

Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples

Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples 45 Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples Les espaces vectoriels considérés sont réels, non réduits au vecteur nul et

Plus en détail

Approximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2

Approximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2 Approximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2 Albert Cohen Dans ce cours, on s intéresse à l approximation numérique d équations aux dérivées partielles linéaires qui admettent une formulation

Plus en détail

Agrégation interne de Mathématiques. Session 2009. Deuxième épreuve écrite. (et CAERPA)

Agrégation interne de Mathématiques. Session 2009. Deuxième épreuve écrite. (et CAERPA) Agrégation interne de Mathématiques (et CAEPA Session 2009 Deuxième épreuve écrite 2 NOTATIONS ET PÉLIMINAIES On désigne par le corps des nombres réels et par C le corps des nombres complexes. Si f est

Plus en détail

3 Approximation de solutions d équations

3 Approximation de solutions d équations 3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle

Plus en détail

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante

Plus en détail

Une premiere approche des elements nis sur un exemple tres simple

Une premiere approche des elements nis sur un exemple tres simple EDP MTH Analyse 2215 EmmanuelFrenod numeri Premiere partie Une premiere approche s elements nis un exemple tres simple 1 Equation la chaleur dans barre 2 Resolution u00 f [0;1] par elements nis avec un

Plus en détail

Calculs approchés d un point fixe

Calculs approchés d un point fixe M11 ÉPREUVE COMMUNE DE TIPE 2013 - Partie D TITRE : Calculs approchés d un point fixe Temps de préparation :.. 2 h 15 minutes Temps de présentation devant les examinateurs :.10 minutes Dialogue avec les

Plus en détail

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion

Plus en détail

Université de Nantes Année 2009-2010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques. Topologie et calculs différentiel Liste n 5

Université de Nantes Année 2009-2010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques. Topologie et calculs différentiel Liste n 5 Université de Nantes Année 009-010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques Topologie et calculs différentiel Liste n 5 Applications Différentiables Exercice 1. Soit f : R n

Plus en détail

NOTATIONS PRÉLIMINAIRES

NOTATIONS PRÉLIMINAIRES Pour le Jeudi 14 Octobre 2010 NOTATIONS Soit V un espace vectoriel réel ; l'espace vectoriel des endomorphismes de l'espace vectoriel V est désigné par L(V ). Soit f un endomorphisme de l'espace vectoriel

Plus en détail

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........

Plus en détail

Compte rendu des TP matlab

Compte rendu des TP matlab Compte rendu des TP matlab Krell Stella, Minjeaud Sebastian 18 décembre 006 1 TP1, Discrétisation de problèmes elliptiques linéaires 1d Soient > 0, a R, b 0, c, d R et f C([0, 1], R). On cerce à approcer

Plus en détail

Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles

Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Denis Vekemans R n est muni de l une des trois normes usuelles. 1,. 2 ou.. x 1 = i i n Toutes les normes de R n sont équivalentes. x i ; x 2

Plus en détail

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1 . Sous-ensembles de R n et fonctions (suite) 1 Nappes paramétrées Si f une fonction de deux variables, son graphe est une surface incluse dans R 3 : {(x, y, f(x, y)) / (x, y) R 2 }. Une telle surface s

Plus en détail

Image d un intervalle par une fonction continue

Image d un intervalle par une fonction continue DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction

Plus en détail

EXERCICES - ANALYSE GÉNÉRALE

EXERCICES - ANALYSE GÉNÉRALE EXERCICES - ANALYSE GÉNÉRALE OLIVIER COLLIER Exercice 1 (2012) Une entreprise veut faire un prêt de S euros auprès d une banque au taux annuel composé r. Le remboursement sera effectué en n années par

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

Outils mathématiques pour le datamining. http://www.elseware.fr/univevry

Outils mathématiques pour le datamining. http://www.elseware.fr/univevry Outils mathématiques pour le datamining http://wwwelsewarefr/univevry Géométrie Distance Distance entre parties Matrice de variance/covariance Inertie Minimisation Probabilités Définition Théorème de Bayes

Plus en détail

2 Opérateurs non bornés dans un espace de Hilbert

2 Opérateurs non bornés dans un espace de Hilbert 2 Opérateurs non bornés dans un espace de Hilbert 2. Opérateurs non bornés: définitions et propriétés élémentaires Soit H un espace de Hilbert et A un opérateur dans H, c est-à-dire, une application linéaire

Plus en détail

Cours3. Applications continues et homéomorphismes. 1 Rappel sur les images réciproques

Cours3. Applications continues et homéomorphismes. 1 Rappel sur les images réciproques Université de Provence Topologie 2 Cours3. Applications continues et homéomorphismes 1 Rappel sur les images réciproques Soit une application f d un ensemble X vers un ensemble Y et soit une partie P de

Plus en détail

Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé

Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue

Plus en détail

Sujet proposé par Yves M. LEROY. Cet examen se compose d un exercice et de deux problèmes. Ces trois parties sont indépendantes.

Sujet proposé par Yves M. LEROY. Cet examen se compose d un exercice et de deux problèmes. Ces trois parties sont indépendantes. Promotion X 004 COURS D ANALYSE DES STRUCTURES MÉCANIQUES PAR LA MÉTHODE DES ELEMENTS FINIS (MEC 568) contrôle non classant (7 mars 007, heures) Documents autorisés : polycopié ; documents et notes de

Plus en détail

Continuité d une fonction de plusieurs variables

Continuité d une fonction de plusieurs variables Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs

Plus en détail

Calcul différentiel sur R n Première partie

Calcul différentiel sur R n Première partie Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité

Plus en détail

Méthodes de quadrature. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/48

Méthodes de quadrature. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/48 Méthodes de Polytech Paris-UPMC - p. 1/48 Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 2/48 Polynôme d interpolation

Plus en détail

Souad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/

Souad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Recherche opérationnelle Les démonstrations et les exemples seront traités en cours Souad EL Bernoussi Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Table des matières 1 Programmation

Plus en détail

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.

Plus en détail

Programmation linéaire

Programmation linéaire 1 Programmation linéaire 1. Le problème, un exemple. 2. Le cas b = 0 3. Théorème de dualité 4. L algorithme du simplexe 5. Problèmes équivalents 6. Complexité de l Algorithme 2 Position du problème Soit

Plus en détail

Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire

Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la Programmation Linéaire. 5 . Introduction Un programme linéaire s'écrit sous la forme suivante. MinZ(ou maxw) =

Plus en détail

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy

Plus en détail

Jeux à somme nulle : le cas fini

Jeux à somme nulle : le cas fini CHAPITRE 2 Jeux à somme nulle : le cas fini Les jeux à somme nulle sont les jeux à deux joueurs où la somme des fonctions de paiement est nulle. Dans ce type d interaction stratégique, les intérêts des

Plus en détail

Les travaux doivent être remis sous forme papier.

Les travaux doivent être remis sous forme papier. Physique mathématique II Calendrier: Date Pondération/note nale Matériel couvert ExercicesSérie 1 : 25 septembre 2014 5% RH&B: Ch. 3 ExercicesSérie 2 : 23 octobre 2014 5% RH&B: Ch. 12-13 Examen 1 : 24

Plus en détail

Commun à tous les candidats

Commun à tous les candidats EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle

Plus en détail

Calcul différentiel. Chapitre 1. 1.1 Différentiabilité

Calcul différentiel. Chapitre 1. 1.1 Différentiabilité Chapitre 1 Calcul différentiel L idée du calcul différentiel est d approcher au voisinage d un point une fonction f par une fonction plus simple (ou d approcher localement le graphe de f par un espace

Plus en détail

Retournement Temporel

Retournement Temporel Retournement Temporel Rédigé par: HENG Sokly Encadrés par: Bernard ROUSSELET & Stéphane JUNCA 2 juin 28 Remerciements Je tiens tout d'abord à remercier mes responsables de mémoire, M.Bernard ROUSSELET

Plus en détail

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 OBLIGATOIRE MATHÉMATIQUES. Série S. Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 OBLIGATOIRE MATHÉMATIQUES. Série S. Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 MATHÉMATIQUES Série S Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la

Plus en détail

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité

Plus en détail

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables

Plus en détail

La programmation linéaire : une introduction. Qu est-ce qu un programme linéaire? Terminologie. Écriture mathématique

La programmation linéaire : une introduction. Qu est-ce qu un programme linéaire? Terminologie. Écriture mathématique La programmation linéaire : une introduction Qu est-ce qu un programme linéaire? Qu est-ce qu un programme linéaire? Exemples : allocation de ressources problème de recouvrement Hypothèses de la programmation

Plus en détail

Développements limités. Notion de développement limité

Développements limités. Notion de développement limité MT12 - ch2 Page 1/8 Développements limités Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle de R non vide et non réduit à un point. I Notion de développement limité Dans tout ce paragraphe, a désigne un

Plus en détail

Révision d algèbre et d analyse

Révision d algèbre et d analyse Révision d algèbre et d analyse Chapitre 9 : Intégrales triples Équipe de Mathématiques Appliquées UTC Mai 2013 suivant Chapitre 9 Intégrales triples 9.1 Motivation, définition et calcul de l intégrale

Plus en détail

Introduction à la méthode des éléments finis

Introduction à la méthode des éléments finis ÉCOLE NATIONALE SUPERIEURE DES MINES DE PARIS Introduction à la méthode des éléments finis Michel KERN 1 2004 2005 S3733 / S3735 1 Inria, Rocquencourt, BP 105, 78153 Le Chesnay, Michel.Kern@inria.fr 2

Plus en détail

Résolution d équations non linéaires

Résolution d équations non linéaires Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique

Plus en détail

Limites finies en un point

Limites finies en un point 8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,

Plus en détail

X-ENS PSI - 2009 Un corrigé

X-ENS PSI - 2009 Un corrigé X-ENS PSI - 009 Un corrigé Première partie.. Des calculs élémentaires donnent χ A(α) = χ B(α) = X X + et χ A(α)+B(α) = X X + 4α + 4 On en déduit que Sp(A(α)) = Sp(B(α)) = {j, j } où j = e iπ 3 Sp(A(α)

Plus en détail

Condition inf-sup pour l Elément Fini de Taylor-Hood È ¾ -iso-è ½

Condition inf-sup pour l Elément Fini de Taylor-Hood È ¾ -iso-è ½ Condition inf-sup pour l Elément Fini de Taylor-Hood È ¾ -iso-è ½ Patrick Ciarlet et Vivette Girault ciarlet@ensta.fr & girault@ann.jussieu.fr ENSTA & Laboratoire Jacques-Louis Lions, Paris 6 Condition

Plus en détail

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL. MATHÉMATIQUES Série ES

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL. MATHÉMATIQUES Série ES BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2015 MATHÉMATIQUES Série ES Durée de l épreuve : 3 heures Coefficient : 7 (ES) ES : ENSEIGNEMENT DE SPECIALITE Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées conformément

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****

Plus en détail

Texte Agrégation limitée par diffusion interne

Texte Agrégation limitée par diffusion interne Page n 1. Texte Agrégation limitée par diffusion interne 1 Le phénomène observé Un fût de déchets radioactifs est enterré secrètement dans le Cantal. Au bout de quelques années, il devient poreux et laisse

Plus en détail

Théorie spectrale. Stéphane Maingot & David Manceau

Théorie spectrale. Stéphane Maingot & David Manceau Théorie spectrale Stéphane Maingot & David Manceau 2 Théorie spectrale 3 Table des matières Introduction 5 1 Spectre d un opérateur 7 1.1 Inversibilité d un opérateur........................... 7 1.2 Définitions

Plus en détail

Introduction à la Topologie

Introduction à la Topologie Introduction à la Topologie Licence de Mathématiques Université de Rennes 1 Francis Nier Dragoş Iftimie 2 3 Introduction Ce cours s adresse à des étudiants de Licence en mathématiques. Il a pour objectif

Plus en détail

Cours d analyse numérique SMI-S4

Cours d analyse numérique SMI-S4 ours d analyse numérique SMI-S4 Introduction L objet de l analyse numérique est de concevoir et d étudier des méthodes de résolution de certains problèmes mathématiques, en général issus de problèmes réels,

Plus en détail

Espaces vectoriels et applications

Espaces vectoriels et applications Espaces vectoriels et applications linéaires 1 Définitions On parle d espaces vectoriels sur le corps R ou sur le corps C. Les définitions sont les mêmes en substituant R à C ou vice versa. Définition

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Maths MP Exercices Fonctions de plusieurs variables Les indications ne sont ici que pour être consultées après le T (pour les exercices non traités). Avant et pendant le T, tenez bon et n allez pas les

Plus en détail

1 Codes linéaires. G = [I k A]. Dans ce cas on constate que la matrice. H = [ t A I n k ] est une matrice de contrôle de C. Le syndrome de x F n q

1 Codes linéaires. G = [I k A]. Dans ce cas on constate que la matrice. H = [ t A I n k ] est une matrice de contrôle de C. Le syndrome de x F n q 1 Codes linéaires Un code de longueur n est une partie de F n q. Un code linéaire C de longueur n sur le corps ni F q est un sous-espace vectoriel de F n q. Par défaut, un code sera supposé linéaire. La

Plus en détail

CALCULATRICE AUTORISEE

CALCULATRICE AUTORISEE Lycée F. MISTRAL AVIGNON BAC BLANC 2012 Epreuve de MATHEMATIQUES Série S CALCULATRICE AUTORISEE DUREE : 4 heures Dès que le sujet vous est remis, assurez-vous qu il est complet Ce sujet comporte 3 pages

Plus en détail

La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1

La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1 La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1 La licence Mathématiques et Economie-MASS de l Université des Sciences Sociales de Toulouse propose sur les trois

Plus en détail

Démonstrations exigibles au bac

Démonstrations exigibles au bac Démonstrations exigibles au bac On donne ici les 11 démonstrations de cours répertoriées comme exigibles dans le programme officiel. Toutes ces démonstrations peuvent donner lieu à une «restitution organisée

Plus en détail

Correction de l épreuve intermédiaire de mai 2009.

Correction de l épreuve intermédiaire de mai 2009. Licence de Gestion. 3ème Année Année universitaire 8-9 Optimisation Appliquée C. Léonard Correction de l épreuve intermédiaire de mai 9. Exercice 1 Avec les notations du cours démontrer que la solution

Plus en détail

Corrigé Pondichéry 1999

Corrigé Pondichéry 1999 Corrigé Pondichéry 999 EXERCICE. = 8 = i ). D'où les solutions de l'équation : z = + i et z = z = i. a. De manière immédiate : z = z = b. Soit θ la mesure principale de arg z : cos θ = Par suite arg z

Plus en détail

Filtrage stochastique non linéaire par la théorie de représentation des martingales

Filtrage stochastique non linéaire par la théorie de représentation des martingales Filtrage stochastique non linéaire par la théorie de représentation des martingales Adriana Climescu-Haulica Laboratoire de Modélisation et Calcul Institut d Informatique et Mathématiques Appliquées de

Plus en détail

Optimisation des fonctions de plusieurs variables

Optimisation des fonctions de plusieurs variables Optimisation des fonctions de plusieurs variables Hervé Hocquard Université de Bordeaux, France 8 avril 2013 Extrema locaux et globaux Définition On étudie le comportement d une fonction de plusieurs variables

Plus en détail

Intégrales doubles et triples - M

Intégrales doubles et triples - M Intégrales s et - fournie@mip.ups-tlse.fr 1/27 - Intégrales (rappel) Rappels Approximation éfinition : Intégrale définie Soit f définie continue sur I = [a, b] telle que f (x) > 3 2.5 2 1.5 1.5.5 1 1.5

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)

Plus en détail

Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies

Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies Chapitre 6 Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies Nous allons maintenant revenir sur les espaces L p du Chapitre 4, à la lumière de certains résultats du Chapitre 5. Sauf mention

Plus en détail

POLY-PREPAS ANNEE 2009/2010 Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux

POLY-PREPAS ANNEE 2009/2010 Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux POLY-PREPAS ANNEE 2009/2010 Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux - Section : i-prépa Audioprothésiste (annuel) - MATHEMATIQUES 8 : EQUATIONS DIFFERENTIELLES - COURS + ENONCE EXERCICE - Olivier

Plus en détail

Jusqu'à présent. Au programme. Cardinalité Ensembles nis Ensembles dénombrables. Relations Opérations Relations. Conclusions. Nous avons déjà abordé

Jusqu'à présent. Au programme. Cardinalité Ensembles nis Ensembles dénombrables. Relations Opérations Relations. Conclusions. Nous avons déjà abordé Jusqu'à présent Nous avons déjà abordé Vers l'inni David Teller 23/01/2007 Les ensembles Le regroupement de valeurs caractérisées par des critères. Informatique Types. Physique Unités. Logique Domaines.

Plus en détail

Probabilités. I- Expérience aléatoire, espace probabilisé : ShotGun. 1- Définitions :

Probabilités. I- Expérience aléatoire, espace probabilisé : ShotGun. 1- Définitions : Probabilités I- Expérience aléatoire, espace probabilisé : 1- Définitions : Ω : Ensemble dont les points w sont les résultats possibles de l expérience Des évènements A parties de Ω appartiennent à A une

Plus en détail

L usage de la calculatrice n est pas autorisé.

L usage de la calculatrice n est pas autorisé. e3a Concours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMÈDE Épreuve de Mathématiques A durée 4 heures MP L usage de la calculatrice n est pas autorisé. Si, au cours de l épreuve, un candidat repère ce qui lui semble

Plus en détail

Cours de Mécanique du point matériel

Cours de Mécanique du point matériel Cours de Mécanique du point matériel SMPC1 Module 1 : Mécanique 1 Session : Automne 2014 Prof. M. EL BAZ Cours de Mécanique du Point matériel Chapitre 1 : Complément Mathématique SMPC1 Chapitre 1: Rappels

Plus en détail

Théorèmes du Point Fixe et Applications aux Equations Diérentielles

Théorèmes du Point Fixe et Applications aux Equations Diérentielles Université de Nice-Sophia Antipolis Mémoire de Master 1 de Mathématiques Année 2006-2007 Théorèmes du Point Fixe et Applications aux Equations Diérentielles Auteurs : Clémence MINAZZO - Kelsey RIDER Responsable

Plus en détail

BTS Mécanique et Automatismes Industriels. Équations différentielles d ordre 2

BTS Mécanique et Automatismes Industriels. Équations différentielles d ordre 2 BTS Mécanique et Automatismes Industriels Équations différentielles d ordre, Année scolaire 005 006 . Définition Notation Dans tout ce paragraphe, y désigne une fonction de la variable réelle x. On suppose

Plus en détail

Cours d Analyse 3 Fonctions de plusieurs variables

Cours d Analyse 3 Fonctions de plusieurs variables Université Claude Bernard, Lyon I Licence Sciences, Technologies & Santé 43, boulevard 11 novembre 1918 Spécialité Mathématiques 69622 Villeurbanne cedex, France L. Pujo-Menjouet pujo@math.univ-lyon1.fr

Plus en détail

I. Polynômes de Tchebychev

I. Polynômes de Tchebychev Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire

Plus en détail

Master de mathématiques Analyse numérique matricielle

Master de mathématiques Analyse numérique matricielle Master de mathématiques Analyse numérique matricielle 2009 2010 CHAPITRE 1 Méthodes itératives de résolution de systèmes linéaires On veut résoudre un système linéaire Ax = b, où A est une matrice inversible

Plus en détail

Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations

Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations Chapitre 11. 2ème partie Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES 2ème partie Produit scalaire Produit scalaire

Plus en détail

Groupe symétrique. Chapitre II. 1 Définitions et généralités

Groupe symétrique. Chapitre II. 1 Définitions et généralités Chapitre II Groupe symétrique 1 Définitions et généralités Définition. Soient n et X l ensemble 1,..., n. On appelle permutation de X toute application bijective f : X X. On note S n l ensemble des permutations

Plus en détail

Théorème de Lax Milgram Application au problème de Dirichlet pour l équation de Sturm Liouville

Théorème de Lax Milgram Application au problème de Dirichlet pour l équation de Sturm Liouville Théorème de Lx Milgrm Appliction u problème de Dirichlet pour l éqution de Sturm Liouville Résumé du cours de MEDP Mîtrise de mthémtiques 2000 2001 2001nov18 (medp-lx-milgrm.tex) Dns ce chpitre, on se

Plus en détail

Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque

Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque Universités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Analyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque 1 Fonctions intégrables Définition 1 Soit I R un intervalle et soit f : I R + une fonction

Plus en détail

Fonctions analytiques

Fonctions analytiques CHAPITRE Fonctions analytiques Les principaux résultats à retenir : soit U un ouvert de C et f : U C. f est analytique sur U si et seulement si f est développable en série entière au voisinage de chaque

Plus en détail

Devoir Surveillé n 5 BTS 2009 groupement B

Devoir Surveillé n 5 BTS 2009 groupement B EXERCICE 1 (12 points) Devoir Surveillé n 5 BTS 2009 groupement B Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante. A. Résolution d une équation différentielle On considère

Plus en détail

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés 2012-2013 1 Petites questions 1) Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? 2) Si F et G sont deux tribus, est-ce que F G est toujours une tribu?

Plus en détail

Axiomatique de N, construction de Z

Axiomatique de N, construction de Z Axiomatique de N, construction de Z Table des matières 1 Axiomatique de N 2 1.1 Axiomatique ordinale.................................. 2 1.2 Propriété fondamentale : Le principe de récurrence.................

Plus en détail

Concours de recrutement interne PLP 2009

Concours de recrutement interne PLP 2009 Concours de recrutement interne PLP 2009 Le sujet est constitué de quatre exercices indépendants. Le premier exercice, de nature pédagogique au niveau du baccalauréat professionnel, porte sur le flocon

Plus en détail

2. RAPPEL DES TECHNIQUES DE CALCUL DANS R

2. RAPPEL DES TECHNIQUES DE CALCUL DANS R 2. RAPPEL DES TECHNIQUES DE CALCUL DANS R Dans la mesure où les résultats de ce chapitre devraient normalement être bien connus, il n'est rappelé que les formules les plus intéressantes; les justications

Plus en détail

Chapitre VI Fonctions de plusieurs variables

Chapitre VI Fonctions de plusieurs variables Chapitre VI Fonctions de plusieurs variables 6. 1 Fonctions différentiables de R 2 dans R. 6. 1. 1 Définition de la différentiabilité Nous introduisons la différentiabilité sous l angle des développements

Plus en détail

Équations non linéaires

Équations non linéaires CHAPTER 1 Équations non linéaires On considère une partie U R d et une fonction f : U R d. On cherche à résoudre { x U 1..1) f x) = R d On distinguera les cas d = 1 et d > 1. 1.1. Dichotomie d = 1) 1.1.1.

Plus en détail

3. Conditionnement P (B)

3. Conditionnement P (B) Conditionnement 16 3. Conditionnement Dans cette section, nous allons rappeler un certain nombre de définitions et de propriétés liées au problème du conditionnement, c est à dire à la prise en compte

Plus en détail

Formes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions

Formes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions Formes quadratiques Imen BHOURI 1 Ce cours s adresse aux étudiants de niveau deuxième année de Licence et à ceux qui préparent le capes. Il combine d une façon indissociable l étude des concepts bilinéaires

Plus en détail

Master Modélisation Aléatoire Paris VII, Cours Méthodes de Monte Carlo en nance et C++, TP n 2.

Master Modélisation Aléatoire Paris VII, Cours Méthodes de Monte Carlo en nance et C++, TP n 2. Master Modélisation Aléatoire Paris VII, Cours Méthodes de Monte Carlo en nance et C++, TP n 2. Techniques de correction pour les options barrières 25 janvier 2007 Exercice à rendre individuellement lors

Plus en détail

Université Joseph Fourier MAT231 2008-2009

Université Joseph Fourier MAT231 2008-2009 Université Joseph Fourier MAT231 2008-2009 mat231-exo-03.tex (29 septembre 2008) Feuille d exercices n o 3 Exercice 3.1 Soit K un corps commutatif et soit {P 0, P 1,... P n } une famille de polynômes de

Plus en détail

Problème 1 : applications du plan affine

Problème 1 : applications du plan affine Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées

Plus en détail

FONCTIONS. I Généralités sur les fonctions. Définitions. Remarque. Exercice 01. Remarque

FONCTIONS. I Généralités sur les fonctions. Définitions. Remarque. Exercice 01. Remarque FNCTINS I Généralités sur les fonctions Définitions Soit D une partie de l'ensemble IR. n définit une fonction f de D dans IR, en associant à chaque réel de D, un réel et un seul noté f() et que l'on appelle

Plus en détail

Introduction à l analyse numérique : exemple du cloud computing

Introduction à l analyse numérique : exemple du cloud computing Introduction à l analyse numérique : exemple du cloud computing Tony FEVRIER Aujourd hui! Table des matières 1 Equations aux dérivées partielles et modélisation Equation différentielle et modélisation

Plus en détail

La fonction exponentielle

La fonction exponentielle DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction

Plus en détail

C f tracée ci- contre est la représentation graphique d une

C f tracée ci- contre est la représentation graphique d une TLES1 DEVOIR A LA MAISON N 7 La courbe C f tracée ci- contre est la représentation graphique d une fonction f définie et dérivable sur R. On note f ' la fonction dérivée de f. La tangente T à la courbe

Plus en détail

Implémentation de Nouveaux Elements Finis dans Life et Applications

Implémentation de Nouveaux Elements Finis dans Life et Applications 1 Département Informatique et Mathématiques Appliquées Année Universitaire 29-21 Rapport de stage Implémentation de Nouveaux Elements Finis dans Life et Applications Présenté par Abdoulaye Samake M1 Mathématiques

Plus en détail

Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues

Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Département de Mathématiques École polytechnique Remise en forme mathématique 2013 Suite de Cauchy Soit (X, d) un espace métrique. Une suite

Plus en détail

DYNAMIQUE DE FORMATION DES ÉTOILES

DYNAMIQUE DE FORMATION DES ÉTOILES A 99 PHYS. II ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE,

Plus en détail