Implémentation de Nouveaux Elements Finis dans Life et Applications

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2 Département Informatique et Mathématiques Appliquées Année Universitaire Rapport de stage Implémentation de Nouveaux Elements Finis dans Life et Applications Présenté par Abdoulaye Samake M1 Mathématiques Appliquées et industrielles Parcours Mathématiques et Informatique Tuteur M. Christophe Prud'homme

3 Sommaire.1 Elements nis de Raviart-Thomas.1.1 Elements nis de Raviart-Thomas d'ordre.1.2 Elements nis de Raviart-Thomas d'ordre k 1.2.1_ Construction de RT k 1.2.2_ Autre formulation de la construction de RT k.2 Applications.2.1 Application de l'élement ni de Raviart-Thomas-Nedelec au problème de Stokes.2.2 Construction des élements nis de Raviart-Thomas-Nedelec.2.3 Dénition des degrées de liberté.3 Méthode des élements nis spectraux 1

4 1_ Elements nis de Raviart-thomas 1.1_ Elements Finis de Raviart-thomas d'ordre :RT soit ˆK un simplexe unitaire de R d. On considère l'espace polynomial de dimension d + 1 par : ˆP = P d xp avec x = (x 1, x 2,... x d ). On choisit les degrés de liberté sur ˆP,la valeur moyenne de la composante normale sur chacun des 3 cotés (respectivement des 4 faces) de ˆK en dimension 2 (respectivement 3). Soit ˆΣ l'ensemble des degrés de liberté ainsi dénis. On verie aisement que le triplet ( ˆK, ˆP, ˆΣ) est un élement ni. Il porte le nom d'élement ni de Raviart-thomas et souvent noté RT. Il intervient par exemple dans des applications liées à la mécanique des uides où les fonctions à interpoler sont des vitesses dont on souhaite contrôler le ux normal aux interfaces entres des mailles. En dimension 2 on a : ˆP = {(α 1 + α 3 x 1, α 2 + α 3 x 2 ), (α 1, α 2, α 3 ) R 3 } En dimension 3 on a : ˆP = {(α 1 + α 4 x 1, α 2 + α 4 x 2, α 3 + α 4 x 3 ), (α 1, α 2, α 3, α 4 ) R 4 } Nous observons dans les gures ci-dessous les degrés de libertés associés à RT en dimension 2 à gauche et en dimension 3 à droite. 2

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6 1.2_ Elements Finis de Raviart-thomas d'ordre k :RT k La théorie des élements nis a été beaucoup étudié et l'element de poids faible (Crouziex Raviart) est très pratique dans de nombreuses situations. Les élement nis non conformes sont étroitement liées à des méthodes dite hybride primal de Raviart-Thomas. Raviart et Thomas dénirent toute une famille des espaces de fonctions,mais les membres de l'ordre sont encore beaucoup plus compliqués par la présence d'une fonction supplémentaire au délà de P k. Pour l'espace des fonctions d'ordre n,cette fonction supplémentaire est : (λ 1 λ )(λ 2 λ 1 )(λ λ 2 )(λ λ 1 ) n 2 2 (λ 1 λ 2 ) n 2 2 (λ 2 λ ) n 2 2 avec des opérateurs surchargés. Nous pouvons creer des objets simples pour les cordonnées barycentriques,ajouter des méthodes pour faire la diérentiation. Ensuite on forme un espace de fonctions orthonormaliseés en projettant ces fonctions et une base de Dubiner d'ordre k sur P k+1. Les dégrés de liberté pour k = 2 sont : L'evaluation ponctuelle aux deux points de Gauss-Legendre sur chaque arête du triangle ; L'evaluation ponctuelle au centre. Bien que l'espace fonctionnel est bien déni pour tous les ordres,les degrés de liberté appropriés pour le cas general des espaces plus élevés n'ont pas été denis. Pour ceratins degré (tel que 6),le barycentre est déjà dans le jeux naturel de l'interieur. Sur les triangles il ya 3 élements bien connus pour la discretisation H(div). Elles sont dûes à Raviart et Thomas. Les 3 familles sont dénies et étudiées pour tous les ordres avec des propriétés d'approximations optimales. Pourtant,presque tous les calculs utilisent le plus bas espace RT en ordre,même quand les ordres superieurs d'approximations seraient appropriés. Cela est dû à une grande partie à la diculté percue à la compilation des elements _ Construction de RT k La famille d'élement ni de Raviart-Thomas utilise les espaces de fonctions denis par : RT k (T ) = P k (T, R i ) i=2,3 + xp k \ P k 1 _ En dimension 2 T designe un triangle alors qu'en dimension 3 T designe un tétraèdre selon que i soit 2 ou 3. Autrement dit les espaces sont des vecteurs de polynômes de degré k ainsi que le produit de la postion par le polynoôme scalaire de degré k. Ce espace est le plus petit espace V pour les cartes de divergence sur P k. 4

7 Si D k indique la liste des polynômes Dubiner de degré k où moins, D k D k 1 est l'ensemble des k + 1 polynômes de Dubiner qui sont exactement de degré k. Une base non orthonormée de choix pour RT k est alors : {(p, )} p Dk {(, p)}p Dk {(xp, yp)}p (Dk D k 1 ) Nous pouvons numeriquement projetter ses fonctions sur une base de P k+1 (T, R 2 ) et orthonormalisée. Cela donne une base privilegée,il est donc necessaire de decrire les noeuds. Ceux sont : Les Composantes à la normale à k + 1 points sur chaque sur chaque arête ; Les moments contre une base de P k 1 (T, R 2 ). Nous choisissons les points de bord à équidistance à l'interieur de chaque bord et utiliser les vecteurs composés d'un polynome de Dubiner dans une composante et dans l'autre comme base pour les noeuds de l'interieur 1.2.2_ Autre formulation de la construction de RT k Les espaces de polynomes utiles à la construction de l'élement ni de Raviart- Thomas sont : _ P k espace de polynomes de degré k ; _ P k espace des polynomes homogenes de degré k ; _ RT k = (P k ) d xp k \ P k 1 où x est un point de R d. P k \ P k 1 designe le complementaire de P k 1 dans P k. Pour simplier les notations,posons tout simplement H k = xp k \ P k 1 H k est un espace très particulier dont les elements sont vecteurs de polynômes homogènes de degré k + 1. On note également que H k est de même dimension que P k+1. Propriétés : dim P k = Cn+k k = (n+k)! n!k! dim (P k ) n = ncn+k k = (n+k)! (n 1)!k! (n+k 2)! (n 1)!(k 1)! dim P k = C n 1 n+k 2 = Donc dim H k = (n+k 1)! (n 1)!k! dim RT k = dim (P k ) n + dim H k. 1_ Construction en dimension 2 Dénition : soit (K, P, Σ) déni par : _ K triangle (3 arêtes a i de tangente τ i et de normale n i ) 5

8 _ P = RT k = (P k ) 2 H k _ Σ = Σ 1 k Σ2 k avec _ Σ 1 k : L'ensemble des fonctions ˆv telles que la restriction sur une maille soit dans P k ; _ Σ 2 k : L'ensemble des fonctions ω telles que la restriction sur une maille soit dans H k et ω. n soient continues au niveau des interfaces entre maille. Pour la determination des fonctions de base,nous allons nous interesser au triangle de réference. Les fonctions de réference ˆv sont développées sur une base de (k+1)(k+2) fonctions : 2 { ˆv (ix,iy)/i x + i y k} dont on choisit pour dégrés de liberté une base de P k 1. ˆv (ix,iy) est déni comme le produit des polynômes de lagrange aux points de gauss : ˆv (ix,iy)(x, y) = l ix (x).l iy (y) _ pour denir les fonctions vectorielles,on dénit les polynômes {p i / i [[, k+1]]} sur [-1,1] à partir des polynômes de Lagrange associés aux points de Gauss d'ordre k par : p (x) = 1 1 x l (t)dt w 1 p i (x) = 1 1 x l i 1 (t)dt (1) w i 1 1 p k+1 (x) = 1 1 x l k (t)dt w k avec {w i }les points de Gauss d'ordre k _ w sont dénies sur une base de k + 1 fonctions ( ) { w w i x x x,i y = ix,iy /i x [[, k + 1]], i y [[, k]] et i x + i y k + 1 } ( ) { w y i x,i y = w y /i y [[, k + 1]], i x [[1, k]] et i x + i y k + 1 } i x,i y 1 avec _ w x i x,i y (x, y) = p ix (x)l iy (y) _ w y i x,i y,i z (x, y, z) = l ix (x)p iy (y) On rémarque que p i ( 1) = δ i, et p i (1) = δ i,k+1 Ce qui permet d'assurer la continuité aux interfaces en plaçant les degrés de liberté associés aux fonctions w x 1,i y sur l'interface gauche de ˆK et sur l'interface droite ceux associés à w x 1,i y 1_ Construction en dimension 3 Denition : soit (K, P, Σ) deni par : 6

9 _ K tétraèdre (6 arêtes a i de tangente τ i 4 faces f i de normale n i ) _ P = RT k = (P k ) 2 H k _ Σ = Σ 1 k Σ2 k avec _ Σ 1 k : L'ensemble des fonctions ˆv telles que la restriction sur une maille soit dans P k ; _ Σ 2 k : L'ensemble des fonctions ω telles que la restriction sur une maille soit dans H k et ω. n soient continues au niveau des interfaces entre maille. Pour la determination des fonctions de base,nous allons nous interesser au tétraèdre de réference. Les fonctions de réference ˆv sont developpées sur une base de (k+1)(k+2)(k+3) fonctions : 6 { ˆv (ix,iy,i z)/i x + i y + i z k} dont on choisit pour dégrés de liberté une base de P k 1. ˆv (ix,iy,i z) est déni comme le produit des polynômes de lagrange aux points de gauss : ˆv (ix,iy,i z)(x, y, z) = l ix (x)l iy (y)l iz (z) _ pour dénir les fonctions vectorielles,on denit les polynômes {p i / i [[, k+1]]} sur [-1,1] à partir des polynômes de Lagrange associés aux points de Gauss d'ordre k par : p (x) = 1 1 x l (t)dt w 1 p i (x) = 1 1 x l i 1 (t)dt (2) w i 1 1 p k+1 (x) = 1 1 x l k (t)dt w k avec {w i }les points de Gauss d'ordre k _ w sont dénies sur une base de (k+1)(k+2) fonctions 2 w { w i x i x x,i y,i z x,i y,i z = /i x [[1, k + 1]], (i x, i y ) [[, k]] 2 et i x + i y + i z k + 1 } { w y i x,i y,i z = w y i x,i y /i y [[, k + 1]], (i x, i z ) [[, k]] 2 et i x + i y + i z 1 k + 1 } { w y i x,i y,i z = /i z [[, k + 1]], (i x, i y ) [[, k]] 2 et i x + i y + i z w z i x,i y,i z 7

10 k + 1 } avec _ w x i x,i y (x, y) = p ix (x)l iy (y)l iz (z) _ w y i x,i y,i z (x, y, z) = l ix (x)p iy (y)l iz (z) _ w z i x,i y,i z (x, y, z) = l ix (x)l iy (y)p iz (z) On rémarque que p i ( 1) = δ i, et p i (1) = δ i,k+1 Ce qui permet d'assurer la continuité aux interfaces en plaçant les degrés de liberté associés aux fonctions w x 1,i y,i z sur l'interface gauche de ˆK et sur l'interface droite ceux associés à w x 1,i y,i z. 2_ Applications 2.1_ Application de l'élement ni de Raviart-Thomas-Nedelec au problème de Stokes La géneralisation de la méthode des élements nis à un système d'équations aux derivées partielles ne posent pas de problèmes particuliers. Ce n'est pas le cas par exemple pour les équations de Stokes à cause de la condition d'incompressibilité du uide ou condition de divergence nulle pour la vitesse. Dans un domaine borné Ω R N,en présence des forces exterieures f,les équations de Stokes s'ecrivent : p ν u = f dans Ω divu = dans Ω (3) u = sur Ω ν > est la viscosité du uide u represente le champ de vitesse de l'écoulement p represente la pression. La formulation variationelle s'ecrit : trouver u V telque Ω ν u v = fvdx v V Ω où V est l'espace de Hilbert déni par V={ v H 1 (Ω) tq divv = pp dans Ω } Comme V contient la contrainte d'incompressibilité divv=,il est très dicile de construire une approximation par la méthode des des élements nis de la formulation variationelle ainsi présentée. 8

11 Plus précisement,la diculté est de dénir un sous-espace vectoriel de dimension nie V h inclu dans V dont les élements s'ecrivent grace aux fonctions de bases P k ou Q k. Par exemple si T h est une triangulation régulière de l'ouvert Ω,on peut dénir V h = {v C (Ω), divv = dans Ω, v\ K Pk N K T h, v = sur Ω} Mais il n'est pas clair que V h ne soit pas trop pétit. En outre il faudrait construire une base de V h qui vérie la condition divv=. Donc en géneral on utilise pas la formulation variationnelle donnée ci-dessus. En pratique,on introduit une autre formulation variationnelle qui consiste à ne pas forcer l'incompressibilité dans la dénition de l'espace et à garder la pression comme inconnue dans la formulation variationnelle. Donc dans notre système d'équations,en multipliant la prémière équation par une fonction test v H(Ω) 1 et la deuxième par une autre fonction q L 2 (Ω). On obtient après intégration par partie Trouver (u, p) H(Ω) 1 L 2 (Ω) telque : ν u. vdx p.divvdx = fvdx Ω Ω Ω (4) qdivudx = Ω pour tout (v, q) H 1 (Ω) L 2 (Ω) Un interêt supplementaire de cette nouvelle formulation est que la préssion n'a pas eté eliminé et donc il sera possible de la calculer. Pour montrer que le problème admet une solution unique,on utilise ce que l'on appelle la théorie des méthodes mixtes. A ceci nous introduisons les élements nis de Raviart-Thomas-Nédélec. Les elements nis de Raviart-Thomas-Nédélec Approximation de la formulation variationnelle Le problème approché correspondant à notre formulation variationnelle s'ecrit : Trouver (u h, p h ) V h W h telque : ν u h. v h dx p.divv h dx = fv h dx Ω Ω Ω (5) q h divu h dx = Ω pour tout (v h, q h ) V h W h On utilise l'élement ni de Raviart-Thomas-Nédélec adapté à la formulation mixte duale,qui permet d'obtenir un système matricielle très creux. 9

12 Pour pouvoir dénir les sous espaces d'approximation V h et W h,on introduit P l,m,n qui est l'ensemble des polynomes de trois variables de degré l, m, n par rapport respectivement aux variables x,y,z. L'élement ni RT k d'ordre k conduit aux espaces Vh k et W h k denis par : _ Vh k est l'ensemble des fonctions telles que leur restirction dans chaque maille soit P k,k,k _ Wh k est l'ensemble des fonctions w telles que leur restirction dans chaque maille soit P k+1,k,k P k,k+1,k P k,k,k+1 et telles que les fonctions w. n soient continues au niveau des interfaces entre les mailles. Les élements nis de Raviart-Thomas ne sont pas dénis sur les mailles quelconques mais sur l'element de réference ˆK = [ 1, 1] 3 En 3D,les fonctions scalaires de réference ˆv sont développées sur une base de (k +1) 3 fonctions. { ˆv (ix,iy,i z)/i d [[, k]] et d {x, y, z}} dont les degrés de liberté associés sont représentés par des points sur la gure. ˆv (ix,iy,i z) est dénie comme le produit des polynômes de Lagrange aux points de Gauss ˆv (ix,iy,i z)(x, y, z) = l ix (x).l iy (y).l iz (z) _ pour dénir les fonctions vectorielles,on dénit les polynômes {p i / i [[, k+1]]} sur [-1,1] à partir des polynômes de Lagrange associés aux points de Gauss d'ordre k par : p (x) = 1 1 x l (t)dt w 1 x p i (x) = 1 1 w i 1 1 p k+1 (x) = 1 1 x w k l i 1 (t)dt 1 l k (t)dt avec {w i }les points de Gauss d'ordre k _ w h sont dénies sur une base de 3(k + 1) 2 (k + 2) fonctions w { w i x i x x,i y,i z x,i y,i z = /i x [[, k + 1]], (i y, i z ) [[, k]] 2 } { w y i x,i y,i z = w y i x,i y,i z { w i z x,i y,i z = w z i x,i y,i z /i y [[, k + 1]], (i x, i z ) [[, k]] 2 } avec _ w x i x,i y,i z (x, y, z) = p ix (x)l iy (y)l iz (z) /i z [[, k + 1]], (i x, i y ) [[, k]] 2 } (6) 1

13 _ w y i x,i y,i z (x, y, z) = l ix (x)p iy (y)l iz (z) _ w z i x,i y,i z (x, y, z) = l ix (x)l iy (y)p iz (z) On rémarque que p i ( 1) = δ i, et p i (1) = δ i,k+1 Ce qui permet d'assurer la continuité aux interfaces en plaçant les degrés de liberté associés aux fonctions w 1,i x y,i z sur l'interface gauche de ˆK et sur l'interface droite ceux associés à w 1,i x y,i z Les degrés de liberté associés aux fonctions w d sont répresentés par des êches sur la gure Pour obtenir les fonctions de bases sur une maille K n denie par [x n, x n + h x n] [y n, y n + h y n] [z n, z n + h z n] on applique le changement de variable suivant : F n :[x n, x n + h x n] [y n, y n + h y n] [z n, z n + h z n] [ 1, 1] 3 (x, y, z) (2 x xn 1, 2 y yn 1, 2 h x n h y z zn 1) n h z n Une fonction de base v 1 (respectivement w 1 ) s'obtient à partir de v (respectivement w) par la relation v 1 = vof n (respectivement w = wof n). 11

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15 . Répresentation des degrés de liberté de Raviart-Thomas-Nédélec sur une maille 2.2_ Construction de l'élement ni de Nedelec dans H(rot) Les espaces de polynomes utiles à la construction de l'element ni de Nedelec sont : _ P k espace de polynomes de degré k ; _ P k espace des polynomes homogenes de degré k ; _ S k = { u ( P k ) 3 u.(x, y, z) = } espace de champs vectoriels polynomiaux homogène d'ordre k tangente à la sphère unité ; _ R k = (P k 1 ) 3 S k espace de champs de vecteurs polynomiaux de l'element ni d'ordre k et de classe H(rot). Dénition 1 soit (K, P, Σ) déni par : _ K tétraèdre (6 arêtes a i de tangente τ i 4 faces f i de normale n i ) _ P = R k = (P k 1 ) 3 S k _ Σ = Σ k 1 Σ k 2 Σ k 3 avec _ Σ k 1 = { p a i ( p. τ i )q(s)ds, q P k 1 } degrés de liberté d'arête _ Σ k 2 = { p f i ( p n i ). q(s)ds, q (P k 2 ) 3 } degrés de liberté de face _ Σ k 3 = { p K ( p q(s))ds, q (P k 3) 3 (K)} degrés de liberté de volume (K, P, Σ) déni un élement ni dans H(rot) Pour la construction des élements,on doit connaître les dimensions de tous les espaces de polynômes mis en jeux et ce pour tout ordre k. Propriétés 1 Dimensions des espaces polynomiaux à l'ordre k et en dimension n dim P k = C k n+k = (n+k)! n!k! dim (P k ) n = nc k n+k = (n+k)! dim P k = C n 1 Donc dim S k = n+k 2 = (n+k 1)! (n 2)!(k 1)!(k+1) (n 1)!k! (n+k 2)! (n 1)!(k 1)! Donc par exemple en dimension 3 dim R k = dim (P k 1 ) 3 + dim S k = k(k+2)(k+3) 2 13

16 On a également besoin de connaître le nombre d'élements consécutifs de chacune des trois familles de degrés de liberté pour tout ordre k. Propriétes 2 Cardinal des ensembles de degrés de liberté en dimension 3 card Σ k 1 = 6k card Σ k 2 = 4k(k 1) card Σ k 3 = k(k 1)(k 2) 2 Remarque On remarque que dim R k = card Σ k 1 + card Σ k 2 + card Σ k 3 Tétraèdre de Reference ˆK On s'interesse aux elements nis d'ordre k construits sur un tétraèdre. Dans toute la suite, on utilise la notation classique pour les éléments nis : ˆK désigne le tétraèdre de référence, K désigne un tétraèdre quelconque du maillage, f est une face de ˆK, f une face de K, etc. Selon la méthodologie classique,on travaille sur le tétraèdre de réference ˆK(Voir la gure) construit avec les points (,, ), (1,, ), (, 1, ), (,, 1) avant de revenir au tetraèdre en situation K. 14

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18 Pour dénir les élements nis d'arêtes,on dénit les tangentes à chaque arête ˆτ1 =, ˆτ2 = 1, ˆτ3 = 1, ˆτ4 =, ˆτ5 = 1, 1 1 ˆτ6 = 1 Pour dénir les élements nis de faces on utilise également les huit vecteurs suivants : ê1 = ê 6 1, ê2 = 1 ê 3, ê4 = 1 1 ê 5, ê7 = 1, ê8 = Les vecteurs ( ê i, ê i+1 ) i=1,2,5,7 ainsi construits dénissent des bases orthogonales pour chaque face du tétraèdre ˆK Construction de l'espace R k On cherche les polynômes de base de l'espace d'approximation R k de H(rot, K). Il nous faut donc tout d'abord construire R k dont on rapelle la dénition : R k = (P k 1 ) 3 S k Ainsi pour constuire R k,on a bésoin d'une base de (P k 1 ) 3 et d'une base de S k On prend pour base de (P k 1 ) 3 sa base canonique. L'espace S k est entièrement determiné par l'union des familles de polynômes suivantes : ˆx m 1 ŷ n ẑ k m n+1 ˆx m ŷ n ẑ k m n ˆx m ŷ n 1 ẑ k m n+1 ˆx m ŷ n ẑ k m n ˆx m 1 ŷ n ˆx m ŷ n 1 On va maintenant pouvoir construire les degrés de liberté ˆΣ sur polynôme de ˆp de R k que l'on notéra ˆp 1 (ˆx, ŷ, ẑ) ˆp = ˆp 2 (ˆx, ŷ, ẑ) ˆp 3 (ˆx, ŷ, ẑ) ˆK à partir d'un 16

19 2.3_ Dénition des degrés de liberté 2.3.1_ Degré de liberté d'arête Σ k 1 Pour un élement ni d'ordre k,le nombre de degrés de liberté d'arête est n a = 6k On cherche pour q P k 1 (a i ) le polynôme q = s m 1 pour 1 m kave s l'abscisse curviligne liée à l'arête parcourue dans le sens de la tangente τ i. On doit ensuite choisir une paramétrisation admissible de l'arête pour le calcul des intégrales. Pour les tangentes ˆτ i dénie précédemment,les degrés de liberté d'arête sur ˆK sont alors : Pour 1 m k ; ˆp 1 (1 ˆx,, )ˆx m 1 dˆx ˆp 2 (, ŷ, )ŷ m 1 dŷ (ˆp 1 (ˆx, 1 ˆx, ) ˆp 2 (ˆx, 1 ˆx, ))ˆx m 1 dˆx ( ˆp 1 (1 ˆx,, ˆx) + ˆp 3 (1 ˆx,, ˆx))ˆx m 1 dˆx ( ˆp 2 (, ŷ, 1 ŷ) + ˆp 3 (, ŷ, 1 ˆx))ŷ m 1 dŷ ˆp 3 (,, ẑ)ẑ m 1 dẑ 2.3.2_ Degré de liberté de face Σ k 2 Pour un élement ni d'ordre k,le nombre de degrés de liberté de face est n f = 4k(k 1) Pour le cas des faces,la traduction de la dénition q (P k 2 ) 2 (f i ) est plus délicate car il faut traduire correctement la notion de polynôme d'une face. En outre les vecteurs de la face existent dans R 3.On va dénir les degrés de liberté de faces à l'aide d'une paramétrisation admissible (ξ, η) de la face. On choisit pour cela q = e i ξ m η n et q = q i+1 ξ m η n pour m+n k 2avec( e i, e i+1 ) base de la face dans R 3. Pour les bases ( ê i, ê i+1 ) dénies précedemment,les degrés de liberté de face sur ˆK 17

20 sont alors : Pour m + n k 2 ; 1 ˆx 1 ˆx 1 ˆx 1 ˆx 1 ŷ 1 ŷ (( ˆp ˆn). ê 1 )(ˆx, ŷ, )ˆx m ŷ n dˆxdŷ (( ˆp ˆn). ê 2 )(ˆx, ŷ, )ˆx m ŷ n dˆxdŷ (( ˆp ˆn). ê 3 )(ˆx,, ẑ)ˆx m ẑ n dˆxdẑ (( ˆp ˆn). ê 4 )(ˆx,, ẑ)ˆx m ẑ n dˆxdẑ (( ˆp ˆn). ê 5 )(, ŷ, ẑ)ŷ m ẑ n dŷdẑ (( ˆp ˆn). ê 6 )(, ŷ, ẑ)ŷ m ẑ n dŷdẑ 1 ˆx 1 ˆx (( ˆp ˆn). ê 7 )(ˆx, ŷ, 1 ˆx ŷ)ˆx m ŷ n dˆxdŷ (( ˆp ˆn). ê 8 )(ˆx, ŷ, 1 ˆx ŷ)ˆx m ŷ n dˆxdŷ 2.3.3_ Degré de liberté de volume Σ k 3 = k(k 1)(k 2) 2 Pour un élement ni d'ordre k,le nombre de degrés de liberté d'arête est n v Dans le cas des degrés de liberté de volume,on traduit la dénition q (P k 3 ) 3 (K) en prenant q = f i x m y n z l pour m + n + k k 3 avec (x, y, z) K et f i vecteur de la base canonique de R 3 Sur le tétraèdre de reference ˆK les degrés de liberté de volume sont donc : Pour m + n + l k 3 ; 1 ˆx 1 ˆx ŷ ˆp 1 (ˆx, ŷ, ẑ)ˆx m ŷ n ẑ l dˆxdŷdẑ 18

21 1 ˆx 1 ˆx 1 ˆx ŷ 1 ˆx ŷ ˆp 2 (ˆx, ŷ, ẑ)ˆx m ŷ n ẑ l dˆxdŷdẑ ˆp 3 (ˆx, ŷ, ẑ)ˆx m ŷ n ẑ l dˆxdŷdẑ 3_ La méthode des élements nis spectraux 3.1_ Cartographie géométrique Le lien entre l'élement de réference qui nous allons désigner de façon générique par ˆΩ et Ω un autre domaine (qui peut être par exemple un élement d'un maillage ou d'un simple domaine comme dans le cas de la méthode spectrale) se fait au moyen d'une cartographie : ϕ : ˆΩ Ω qui est généralement appelée cartographie géometrique. Selon le choix de ϕ cette carte peut tenir compte des élements avec des bords courbés ou des faces courbées. Sur les cartes,nous faisons quelques hypothèses sur cette transformation (i) La matrice jacobienne de ϕ n'est pas singulière ; (ii) ϕ est une bijection de ˆΩ dans Ω (iii) ϕ est susemment régulière. Notre contruction de la cartographie géométrique est eectuée en considerant un entier positif xe N, deux ensembles de noeuds ˆΣ ˆΩ et Σ Ω et l'interpolation de Lagrange associé aux points de ˆΣ. ˆΣ avec ˆΣ = { ˆx i } N i= et Σ = {x i} N i= Les points de Σ sont appélés des noeuds géométriques. Soit L = {l i } N i= une base de lagrange associée à ˆΣ et M = [m i,j ] la matrice qui contient les coordonnées des points de Σ dans les colonnes qui est également une d (N + 1) matrice. La i ème composante de ϕ est donnée par : N m i,k l k (ˆx), ˆx ˆΣ k= 19

22 Le but de cette partie est de dénir les ensembles de polynômes d'ordre arbitraire dénis dans un domaine partitionné en plusieurs élements. La construction est fondée sur le fait que chaque élement est l'image par une transfomation géometrique de ce type. 2

23 Bibliographie [1] P.A. Raviart & J.M. Thomas,A mixted Finit Element Method for Second Order Elliptic Problems,Lecture Notes in Mathematics,1977 [2] J.C. Nédélec,A new family of mixed nite elements in R 3, Numerische Mathematik,1986 [3] Robert.C. Kirby,A New Paradigm for Computing Finite Element Basis Functions, Fiat-Toms,24 [4] M.Barrault Extention du code SPn-GLASS à l'élément ni RTk Note Interne EDF R&D, 26 21

24 Annexes Outils mathématiques 22