Implémentation de Nouveaux Elements Finis dans Life et Applications

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Implémentation de Nouveaux Elements Finis dans Life et Applications"

Transcription

1 1

2 Département Informatique et Mathématiques Appliquées Année Universitaire Rapport de stage Implémentation de Nouveaux Elements Finis dans Life et Applications Présenté par Abdoulaye Samake M1 Mathématiques Appliquées et industrielles Parcours Mathématiques et Informatique Tuteur M. Christophe Prud'homme

3 Sommaire.1 Elements nis de Raviart-Thomas.1.1 Elements nis de Raviart-Thomas d'ordre.1.2 Elements nis de Raviart-Thomas d'ordre k 1.2.1_ Construction de RT k 1.2.2_ Autre formulation de la construction de RT k.2 Applications.2.1 Application de l'élement ni de Raviart-Thomas-Nedelec au problème de Stokes.2.2 Construction des élements nis de Raviart-Thomas-Nedelec.2.3 Dénition des degrées de liberté.3 Méthode des élements nis spectraux 1

4 1_ Elements nis de Raviart-thomas 1.1_ Elements Finis de Raviart-thomas d'ordre :RT soit ˆK un simplexe unitaire de R d. On considère l'espace polynomial de dimension d + 1 par : ˆP = P d xp avec x = (x 1, x 2,... x d ). On choisit les degrés de liberté sur ˆP,la valeur moyenne de la composante normale sur chacun des 3 cotés (respectivement des 4 faces) de ˆK en dimension 2 (respectivement 3). Soit ˆΣ l'ensemble des degrés de liberté ainsi dénis. On verie aisement que le triplet ( ˆK, ˆP, ˆΣ) est un élement ni. Il porte le nom d'élement ni de Raviart-thomas et souvent noté RT. Il intervient par exemple dans des applications liées à la mécanique des uides où les fonctions à interpoler sont des vitesses dont on souhaite contrôler le ux normal aux interfaces entres des mailles. En dimension 2 on a : ˆP = {(α 1 + α 3 x 1, α 2 + α 3 x 2 ), (α 1, α 2, α 3 ) R 3 } En dimension 3 on a : ˆP = {(α 1 + α 4 x 1, α 2 + α 4 x 2, α 3 + α 4 x 3 ), (α 1, α 2, α 3, α 4 ) R 4 } Nous observons dans les gures ci-dessous les degrés de libertés associés à RT en dimension 2 à gauche et en dimension 3 à droite. 2

5 3

6 1.2_ Elements Finis de Raviart-thomas d'ordre k :RT k La théorie des élements nis a été beaucoup étudié et l'element de poids faible (Crouziex Raviart) est très pratique dans de nombreuses situations. Les élement nis non conformes sont étroitement liées à des méthodes dite hybride primal de Raviart-Thomas. Raviart et Thomas dénirent toute une famille des espaces de fonctions,mais les membres de l'ordre sont encore beaucoup plus compliqués par la présence d'une fonction supplémentaire au délà de P k. Pour l'espace des fonctions d'ordre n,cette fonction supplémentaire est : (λ 1 λ )(λ 2 λ 1 )(λ λ 2 )(λ λ 1 ) n 2 2 (λ 1 λ 2 ) n 2 2 (λ 2 λ ) n 2 2 avec des opérateurs surchargés. Nous pouvons creer des objets simples pour les cordonnées barycentriques,ajouter des méthodes pour faire la diérentiation. Ensuite on forme un espace de fonctions orthonormaliseés en projettant ces fonctions et une base de Dubiner d'ordre k sur P k+1. Les dégrés de liberté pour k = 2 sont : L'evaluation ponctuelle aux deux points de Gauss-Legendre sur chaque arête du triangle ; L'evaluation ponctuelle au centre. Bien que l'espace fonctionnel est bien déni pour tous les ordres,les degrés de liberté appropriés pour le cas general des espaces plus élevés n'ont pas été denis. Pour ceratins degré (tel que 6),le barycentre est déjà dans le jeux naturel de l'interieur. Sur les triangles il ya 3 élements bien connus pour la discretisation H(div). Elles sont dûes à Raviart et Thomas. Les 3 familles sont dénies et étudiées pour tous les ordres avec des propriétés d'approximations optimales. Pourtant,presque tous les calculs utilisent le plus bas espace RT en ordre,même quand les ordres superieurs d'approximations seraient appropriés. Cela est dû à une grande partie à la diculté percue à la compilation des elements _ Construction de RT k La famille d'élement ni de Raviart-Thomas utilise les espaces de fonctions denis par : RT k (T ) = P k (T, R i ) i=2,3 + xp k \ P k 1 _ En dimension 2 T designe un triangle alors qu'en dimension 3 T designe un tétraèdre selon que i soit 2 ou 3. Autrement dit les espaces sont des vecteurs de polynômes de degré k ainsi que le produit de la postion par le polynoôme scalaire de degré k. Ce espace est le plus petit espace V pour les cartes de divergence sur P k. 4

7 Si D k indique la liste des polynômes Dubiner de degré k où moins, D k D k 1 est l'ensemble des k + 1 polynômes de Dubiner qui sont exactement de degré k. Une base non orthonormée de choix pour RT k est alors : {(p, )} p Dk {(, p)}p Dk {(xp, yp)}p (Dk D k 1 ) Nous pouvons numeriquement projetter ses fonctions sur une base de P k+1 (T, R 2 ) et orthonormalisée. Cela donne une base privilegée,il est donc necessaire de decrire les noeuds. Ceux sont : Les Composantes à la normale à k + 1 points sur chaque sur chaque arête ; Les moments contre une base de P k 1 (T, R 2 ). Nous choisissons les points de bord à équidistance à l'interieur de chaque bord et utiliser les vecteurs composés d'un polynome de Dubiner dans une composante et dans l'autre comme base pour les noeuds de l'interieur 1.2.2_ Autre formulation de la construction de RT k Les espaces de polynomes utiles à la construction de l'élement ni de Raviart- Thomas sont : _ P k espace de polynomes de degré k ; _ P k espace des polynomes homogenes de degré k ; _ RT k = (P k ) d xp k \ P k 1 où x est un point de R d. P k \ P k 1 designe le complementaire de P k 1 dans P k. Pour simplier les notations,posons tout simplement H k = xp k \ P k 1 H k est un espace très particulier dont les elements sont vecteurs de polynômes homogènes de degré k + 1. On note également que H k est de même dimension que P k+1. Propriétés : dim P k = Cn+k k = (n+k)! n!k! dim (P k ) n = ncn+k k = (n+k)! (n 1)!k! (n+k 2)! (n 1)!(k 1)! dim P k = C n 1 n+k 2 = Donc dim H k = (n+k 1)! (n 1)!k! dim RT k = dim (P k ) n + dim H k. 1_ Construction en dimension 2 Dénition : soit (K, P, Σ) déni par : _ K triangle (3 arêtes a i de tangente τ i et de normale n i ) 5

8 _ P = RT k = (P k ) 2 H k _ Σ = Σ 1 k Σ2 k avec _ Σ 1 k : L'ensemble des fonctions ˆv telles que la restriction sur une maille soit dans P k ; _ Σ 2 k : L'ensemble des fonctions ω telles que la restriction sur une maille soit dans H k et ω. n soient continues au niveau des interfaces entre maille. Pour la determination des fonctions de base,nous allons nous interesser au triangle de réference. Les fonctions de réference ˆv sont développées sur une base de (k+1)(k+2) fonctions : 2 { ˆv (ix,iy)/i x + i y k} dont on choisit pour dégrés de liberté une base de P k 1. ˆv (ix,iy) est déni comme le produit des polynômes de lagrange aux points de gauss : ˆv (ix,iy)(x, y) = l ix (x).l iy (y) _ pour denir les fonctions vectorielles,on dénit les polynômes {p i / i [[, k+1]]} sur [-1,1] à partir des polynômes de Lagrange associés aux points de Gauss d'ordre k par : p (x) = 1 1 x l (t)dt w 1 p i (x) = 1 1 x l i 1 (t)dt (1) w i 1 1 p k+1 (x) = 1 1 x l k (t)dt w k avec {w i }les points de Gauss d'ordre k _ w sont dénies sur une base de k + 1 fonctions ( ) { w w i x x x,i y = ix,iy /i x [[, k + 1]], i y [[, k]] et i x + i y k + 1 } ( ) { w y i x,i y = w y /i y [[, k + 1]], i x [[1, k]] et i x + i y k + 1 } i x,i y 1 avec _ w x i x,i y (x, y) = p ix (x)l iy (y) _ w y i x,i y,i z (x, y, z) = l ix (x)p iy (y) On rémarque que p i ( 1) = δ i, et p i (1) = δ i,k+1 Ce qui permet d'assurer la continuité aux interfaces en plaçant les degrés de liberté associés aux fonctions w x 1,i y sur l'interface gauche de ˆK et sur l'interface droite ceux associés à w x 1,i y 1_ Construction en dimension 3 Denition : soit (K, P, Σ) deni par : 6

9 _ K tétraèdre (6 arêtes a i de tangente τ i 4 faces f i de normale n i ) _ P = RT k = (P k ) 2 H k _ Σ = Σ 1 k Σ2 k avec _ Σ 1 k : L'ensemble des fonctions ˆv telles que la restriction sur une maille soit dans P k ; _ Σ 2 k : L'ensemble des fonctions ω telles que la restriction sur une maille soit dans H k et ω. n soient continues au niveau des interfaces entre maille. Pour la determination des fonctions de base,nous allons nous interesser au tétraèdre de réference. Les fonctions de réference ˆv sont developpées sur une base de (k+1)(k+2)(k+3) fonctions : 6 { ˆv (ix,iy,i z)/i x + i y + i z k} dont on choisit pour dégrés de liberté une base de P k 1. ˆv (ix,iy,i z) est déni comme le produit des polynômes de lagrange aux points de gauss : ˆv (ix,iy,i z)(x, y, z) = l ix (x)l iy (y)l iz (z) _ pour dénir les fonctions vectorielles,on denit les polynômes {p i / i [[, k+1]]} sur [-1,1] à partir des polynômes de Lagrange associés aux points de Gauss d'ordre k par : p (x) = 1 1 x l (t)dt w 1 p i (x) = 1 1 x l i 1 (t)dt (2) w i 1 1 p k+1 (x) = 1 1 x l k (t)dt w k avec {w i }les points de Gauss d'ordre k _ w sont dénies sur une base de (k+1)(k+2) fonctions 2 w { w i x i x x,i y,i z x,i y,i z = /i x [[1, k + 1]], (i x, i y ) [[, k]] 2 et i x + i y + i z k + 1 } { w y i x,i y,i z = w y i x,i y /i y [[, k + 1]], (i x, i z ) [[, k]] 2 et i x + i y + i z 1 k + 1 } { w y i x,i y,i z = /i z [[, k + 1]], (i x, i y ) [[, k]] 2 et i x + i y + i z w z i x,i y,i z 7

10 k + 1 } avec _ w x i x,i y (x, y) = p ix (x)l iy (y)l iz (z) _ w y i x,i y,i z (x, y, z) = l ix (x)p iy (y)l iz (z) _ w z i x,i y,i z (x, y, z) = l ix (x)l iy (y)p iz (z) On rémarque que p i ( 1) = δ i, et p i (1) = δ i,k+1 Ce qui permet d'assurer la continuité aux interfaces en plaçant les degrés de liberté associés aux fonctions w x 1,i y,i z sur l'interface gauche de ˆK et sur l'interface droite ceux associés à w x 1,i y,i z. 2_ Applications 2.1_ Application de l'élement ni de Raviart-Thomas-Nedelec au problème de Stokes La géneralisation de la méthode des élements nis à un système d'équations aux derivées partielles ne posent pas de problèmes particuliers. Ce n'est pas le cas par exemple pour les équations de Stokes à cause de la condition d'incompressibilité du uide ou condition de divergence nulle pour la vitesse. Dans un domaine borné Ω R N,en présence des forces exterieures f,les équations de Stokes s'ecrivent : p ν u = f dans Ω divu = dans Ω (3) u = sur Ω ν > est la viscosité du uide u represente le champ de vitesse de l'écoulement p represente la pression. La formulation variationelle s'ecrit : trouver u V telque Ω ν u v = fvdx v V Ω où V est l'espace de Hilbert déni par V={ v H 1 (Ω) tq divv = pp dans Ω } Comme V contient la contrainte d'incompressibilité divv=,il est très dicile de construire une approximation par la méthode des des élements nis de la formulation variationelle ainsi présentée. 8

11 Plus précisement,la diculté est de dénir un sous-espace vectoriel de dimension nie V h inclu dans V dont les élements s'ecrivent grace aux fonctions de bases P k ou Q k. Par exemple si T h est une triangulation régulière de l'ouvert Ω,on peut dénir V h = {v C (Ω), divv = dans Ω, v\ K Pk N K T h, v = sur Ω} Mais il n'est pas clair que V h ne soit pas trop pétit. En outre il faudrait construire une base de V h qui vérie la condition divv=. Donc en géneral on utilise pas la formulation variationnelle donnée ci-dessus. En pratique,on introduit une autre formulation variationnelle qui consiste à ne pas forcer l'incompressibilité dans la dénition de l'espace et à garder la pression comme inconnue dans la formulation variationnelle. Donc dans notre système d'équations,en multipliant la prémière équation par une fonction test v H(Ω) 1 et la deuxième par une autre fonction q L 2 (Ω). On obtient après intégration par partie Trouver (u, p) H(Ω) 1 L 2 (Ω) telque : ν u. vdx p.divvdx = fvdx Ω Ω Ω (4) qdivudx = Ω pour tout (v, q) H 1 (Ω) L 2 (Ω) Un interêt supplementaire de cette nouvelle formulation est que la préssion n'a pas eté eliminé et donc il sera possible de la calculer. Pour montrer que le problème admet une solution unique,on utilise ce que l'on appelle la théorie des méthodes mixtes. A ceci nous introduisons les élements nis de Raviart-Thomas-Nédélec. Les elements nis de Raviart-Thomas-Nédélec Approximation de la formulation variationnelle Le problème approché correspondant à notre formulation variationnelle s'ecrit : Trouver (u h, p h ) V h W h telque : ν u h. v h dx p.divv h dx = fv h dx Ω Ω Ω (5) q h divu h dx = Ω pour tout (v h, q h ) V h W h On utilise l'élement ni de Raviart-Thomas-Nédélec adapté à la formulation mixte duale,qui permet d'obtenir un système matricielle très creux. 9

12 Pour pouvoir dénir les sous espaces d'approximation V h et W h,on introduit P l,m,n qui est l'ensemble des polynomes de trois variables de degré l, m, n par rapport respectivement aux variables x,y,z. L'élement ni RT k d'ordre k conduit aux espaces Vh k et W h k denis par : _ Vh k est l'ensemble des fonctions telles que leur restirction dans chaque maille soit P k,k,k _ Wh k est l'ensemble des fonctions w telles que leur restirction dans chaque maille soit P k+1,k,k P k,k+1,k P k,k,k+1 et telles que les fonctions w. n soient continues au niveau des interfaces entre les mailles. Les élements nis de Raviart-Thomas ne sont pas dénis sur les mailles quelconques mais sur l'element de réference ˆK = [ 1, 1] 3 En 3D,les fonctions scalaires de réference ˆv sont développées sur une base de (k +1) 3 fonctions. { ˆv (ix,iy,i z)/i d [[, k]] et d {x, y, z}} dont les degrés de liberté associés sont représentés par des points sur la gure. ˆv (ix,iy,i z) est dénie comme le produit des polynômes de Lagrange aux points de Gauss ˆv (ix,iy,i z)(x, y, z) = l ix (x).l iy (y).l iz (z) _ pour dénir les fonctions vectorielles,on dénit les polynômes {p i / i [[, k+1]]} sur [-1,1] à partir des polynômes de Lagrange associés aux points de Gauss d'ordre k par : p (x) = 1 1 x l (t)dt w 1 x p i (x) = 1 1 w i 1 1 p k+1 (x) = 1 1 x w k l i 1 (t)dt 1 l k (t)dt avec {w i }les points de Gauss d'ordre k _ w h sont dénies sur une base de 3(k + 1) 2 (k + 2) fonctions w { w i x i x x,i y,i z x,i y,i z = /i x [[, k + 1]], (i y, i z ) [[, k]] 2 } { w y i x,i y,i z = w y i x,i y,i z { w i z x,i y,i z = w z i x,i y,i z /i y [[, k + 1]], (i x, i z ) [[, k]] 2 } avec _ w x i x,i y,i z (x, y, z) = p ix (x)l iy (y)l iz (z) /i z [[, k + 1]], (i x, i y ) [[, k]] 2 } (6) 1

13 _ w y i x,i y,i z (x, y, z) = l ix (x)p iy (y)l iz (z) _ w z i x,i y,i z (x, y, z) = l ix (x)l iy (y)p iz (z) On rémarque que p i ( 1) = δ i, et p i (1) = δ i,k+1 Ce qui permet d'assurer la continuité aux interfaces en plaçant les degrés de liberté associés aux fonctions w 1,i x y,i z sur l'interface gauche de ˆK et sur l'interface droite ceux associés à w 1,i x y,i z Les degrés de liberté associés aux fonctions w d sont répresentés par des êches sur la gure Pour obtenir les fonctions de bases sur une maille K n denie par [x n, x n + h x n] [y n, y n + h y n] [z n, z n + h z n] on applique le changement de variable suivant : F n :[x n, x n + h x n] [y n, y n + h y n] [z n, z n + h z n] [ 1, 1] 3 (x, y, z) (2 x xn 1, 2 y yn 1, 2 h x n h y z zn 1) n h z n Une fonction de base v 1 (respectivement w 1 ) s'obtient à partir de v (respectivement w) par la relation v 1 = vof n (respectivement w = wof n). 11

14 12

15 . Répresentation des degrés de liberté de Raviart-Thomas-Nédélec sur une maille 2.2_ Construction de l'élement ni de Nedelec dans H(rot) Les espaces de polynomes utiles à la construction de l'element ni de Nedelec sont : _ P k espace de polynomes de degré k ; _ P k espace des polynomes homogenes de degré k ; _ S k = { u ( P k ) 3 u.(x, y, z) = } espace de champs vectoriels polynomiaux homogène d'ordre k tangente à la sphère unité ; _ R k = (P k 1 ) 3 S k espace de champs de vecteurs polynomiaux de l'element ni d'ordre k et de classe H(rot). Dénition 1 soit (K, P, Σ) déni par : _ K tétraèdre (6 arêtes a i de tangente τ i 4 faces f i de normale n i ) _ P = R k = (P k 1 ) 3 S k _ Σ = Σ k 1 Σ k 2 Σ k 3 avec _ Σ k 1 = { p a i ( p. τ i )q(s)ds, q P k 1 } degrés de liberté d'arête _ Σ k 2 = { p f i ( p n i ). q(s)ds, q (P k 2 ) 3 } degrés de liberté de face _ Σ k 3 = { p K ( p q(s))ds, q (P k 3) 3 (K)} degrés de liberté de volume (K, P, Σ) déni un élement ni dans H(rot) Pour la construction des élements,on doit connaître les dimensions de tous les espaces de polynômes mis en jeux et ce pour tout ordre k. Propriétés 1 Dimensions des espaces polynomiaux à l'ordre k et en dimension n dim P k = C k n+k = (n+k)! n!k! dim (P k ) n = nc k n+k = (n+k)! dim P k = C n 1 Donc dim S k = n+k 2 = (n+k 1)! (n 2)!(k 1)!(k+1) (n 1)!k! (n+k 2)! (n 1)!(k 1)! Donc par exemple en dimension 3 dim R k = dim (P k 1 ) 3 + dim S k = k(k+2)(k+3) 2 13

16 On a également besoin de connaître le nombre d'élements consécutifs de chacune des trois familles de degrés de liberté pour tout ordre k. Propriétes 2 Cardinal des ensembles de degrés de liberté en dimension 3 card Σ k 1 = 6k card Σ k 2 = 4k(k 1) card Σ k 3 = k(k 1)(k 2) 2 Remarque On remarque que dim R k = card Σ k 1 + card Σ k 2 + card Σ k 3 Tétraèdre de Reference ˆK On s'interesse aux elements nis d'ordre k construits sur un tétraèdre. Dans toute la suite, on utilise la notation classique pour les éléments nis : ˆK désigne le tétraèdre de référence, K désigne un tétraèdre quelconque du maillage, f est une face de ˆK, f une face de K, etc. Selon la méthodologie classique,on travaille sur le tétraèdre de réference ˆK(Voir la gure) construit avec les points (,, ), (1,, ), (, 1, ), (,, 1) avant de revenir au tetraèdre en situation K. 14

17 15

18 Pour dénir les élements nis d'arêtes,on dénit les tangentes à chaque arête ˆτ1 =, ˆτ2 = 1, ˆτ3 = 1, ˆτ4 =, ˆτ5 = 1, 1 1 ˆτ6 = 1 Pour dénir les élements nis de faces on utilise également les huit vecteurs suivants : ê1 = ê 6 1, ê2 = 1 ê 3, ê4 = 1 1 ê 5, ê7 = 1, ê8 = Les vecteurs ( ê i, ê i+1 ) i=1,2,5,7 ainsi construits dénissent des bases orthogonales pour chaque face du tétraèdre ˆK Construction de l'espace R k On cherche les polynômes de base de l'espace d'approximation R k de H(rot, K). Il nous faut donc tout d'abord construire R k dont on rapelle la dénition : R k = (P k 1 ) 3 S k Ainsi pour constuire R k,on a bésoin d'une base de (P k 1 ) 3 et d'une base de S k On prend pour base de (P k 1 ) 3 sa base canonique. L'espace S k est entièrement determiné par l'union des familles de polynômes suivantes : ˆx m 1 ŷ n ẑ k m n+1 ˆx m ŷ n ẑ k m n ˆx m ŷ n 1 ẑ k m n+1 ˆx m ŷ n ẑ k m n ˆx m 1 ŷ n ˆx m ŷ n 1 On va maintenant pouvoir construire les degrés de liberté ˆΣ sur polynôme de ˆp de R k que l'on notéra ˆp 1 (ˆx, ŷ, ẑ) ˆp = ˆp 2 (ˆx, ŷ, ẑ) ˆp 3 (ˆx, ŷ, ẑ) ˆK à partir d'un 16

19 2.3_ Dénition des degrés de liberté 2.3.1_ Degré de liberté d'arête Σ k 1 Pour un élement ni d'ordre k,le nombre de degrés de liberté d'arête est n a = 6k On cherche pour q P k 1 (a i ) le polynôme q = s m 1 pour 1 m kave s l'abscisse curviligne liée à l'arête parcourue dans le sens de la tangente τ i. On doit ensuite choisir une paramétrisation admissible de l'arête pour le calcul des intégrales. Pour les tangentes ˆτ i dénie précédemment,les degrés de liberté d'arête sur ˆK sont alors : Pour 1 m k ; ˆp 1 (1 ˆx,, )ˆx m 1 dˆx ˆp 2 (, ŷ, )ŷ m 1 dŷ (ˆp 1 (ˆx, 1 ˆx, ) ˆp 2 (ˆx, 1 ˆx, ))ˆx m 1 dˆx ( ˆp 1 (1 ˆx,, ˆx) + ˆp 3 (1 ˆx,, ˆx))ˆx m 1 dˆx ( ˆp 2 (, ŷ, 1 ŷ) + ˆp 3 (, ŷ, 1 ˆx))ŷ m 1 dŷ ˆp 3 (,, ẑ)ẑ m 1 dẑ 2.3.2_ Degré de liberté de face Σ k 2 Pour un élement ni d'ordre k,le nombre de degrés de liberté de face est n f = 4k(k 1) Pour le cas des faces,la traduction de la dénition q (P k 2 ) 2 (f i ) est plus délicate car il faut traduire correctement la notion de polynôme d'une face. En outre les vecteurs de la face existent dans R 3.On va dénir les degrés de liberté de faces à l'aide d'une paramétrisation admissible (ξ, η) de la face. On choisit pour cela q = e i ξ m η n et q = q i+1 ξ m η n pour m+n k 2avec( e i, e i+1 ) base de la face dans R 3. Pour les bases ( ê i, ê i+1 ) dénies précedemment,les degrés de liberté de face sur ˆK 17

20 sont alors : Pour m + n k 2 ; 1 ˆx 1 ˆx 1 ˆx 1 ˆx 1 ŷ 1 ŷ (( ˆp ˆn). ê 1 )(ˆx, ŷ, )ˆx m ŷ n dˆxdŷ (( ˆp ˆn). ê 2 )(ˆx, ŷ, )ˆx m ŷ n dˆxdŷ (( ˆp ˆn). ê 3 )(ˆx,, ẑ)ˆx m ẑ n dˆxdẑ (( ˆp ˆn). ê 4 )(ˆx,, ẑ)ˆx m ẑ n dˆxdẑ (( ˆp ˆn). ê 5 )(, ŷ, ẑ)ŷ m ẑ n dŷdẑ (( ˆp ˆn). ê 6 )(, ŷ, ẑ)ŷ m ẑ n dŷdẑ 1 ˆx 1 ˆx (( ˆp ˆn). ê 7 )(ˆx, ŷ, 1 ˆx ŷ)ˆx m ŷ n dˆxdŷ (( ˆp ˆn). ê 8 )(ˆx, ŷ, 1 ˆx ŷ)ˆx m ŷ n dˆxdŷ 2.3.3_ Degré de liberté de volume Σ k 3 = k(k 1)(k 2) 2 Pour un élement ni d'ordre k,le nombre de degrés de liberté d'arête est n v Dans le cas des degrés de liberté de volume,on traduit la dénition q (P k 3 ) 3 (K) en prenant q = f i x m y n z l pour m + n + k k 3 avec (x, y, z) K et f i vecteur de la base canonique de R 3 Sur le tétraèdre de reference ˆK les degrés de liberté de volume sont donc : Pour m + n + l k 3 ; 1 ˆx 1 ˆx ŷ ˆp 1 (ˆx, ŷ, ẑ)ˆx m ŷ n ẑ l dˆxdŷdẑ 18

21 1 ˆx 1 ˆx 1 ˆx ŷ 1 ˆx ŷ ˆp 2 (ˆx, ŷ, ẑ)ˆx m ŷ n ẑ l dˆxdŷdẑ ˆp 3 (ˆx, ŷ, ẑ)ˆx m ŷ n ẑ l dˆxdŷdẑ 3_ La méthode des élements nis spectraux 3.1_ Cartographie géométrique Le lien entre l'élement de réference qui nous allons désigner de façon générique par ˆΩ et Ω un autre domaine (qui peut être par exemple un élement d'un maillage ou d'un simple domaine comme dans le cas de la méthode spectrale) se fait au moyen d'une cartographie : ϕ : ˆΩ Ω qui est généralement appelée cartographie géometrique. Selon le choix de ϕ cette carte peut tenir compte des élements avec des bords courbés ou des faces courbées. Sur les cartes,nous faisons quelques hypothèses sur cette transformation (i) La matrice jacobienne de ϕ n'est pas singulière ; (ii) ϕ est une bijection de ˆΩ dans Ω (iii) ϕ est susemment régulière. Notre contruction de la cartographie géométrique est eectuée en considerant un entier positif xe N, deux ensembles de noeuds ˆΣ ˆΩ et Σ Ω et l'interpolation de Lagrange associé aux points de ˆΣ. ˆΣ avec ˆΣ = { ˆx i } N i= et Σ = {x i} N i= Les points de Σ sont appélés des noeuds géométriques. Soit L = {l i } N i= une base de lagrange associée à ˆΣ et M = [m i,j ] la matrice qui contient les coordonnées des points de Σ dans les colonnes qui est également une d (N + 1) matrice. La i ème composante de ϕ est donnée par : N m i,k l k (ˆx), ˆx ˆΣ k= 19

22 Le but de cette partie est de dénir les ensembles de polynômes d'ordre arbitraire dénis dans un domaine partitionné en plusieurs élements. La construction est fondée sur le fait que chaque élement est l'image par une transfomation géometrique de ce type. 2

23 Bibliographie [1] P.A. Raviart & J.M. Thomas,A mixted Finit Element Method for Second Order Elliptic Problems,Lecture Notes in Mathematics,1977 [2] J.C. Nédélec,A new family of mixed nite elements in R 3, Numerische Mathematik,1986 [3] Robert.C. Kirby,A New Paradigm for Computing Finite Element Basis Functions, Fiat-Toms,24 [4] M.Barrault Extention du code SPn-GLASS à l'élément ni RTk Note Interne EDF R&D, 26 21

24 Annexes Outils mathématiques 22

Sujet proposé par Yves M. LEROY. Cet examen se compose d un exercice et de deux problèmes. Ces trois parties sont indépendantes.

Sujet proposé par Yves M. LEROY. Cet examen se compose d un exercice et de deux problèmes. Ces trois parties sont indépendantes. Promotion X 004 COURS D ANALYSE DES STRUCTURES MÉCANIQUES PAR LA MÉTHODE DES ELEMENTS FINIS (MEC 568) contrôle non classant (7 mars 007, heures) Documents autorisés : polycopié ; documents et notes de

Plus en détail

Calculs approchés d un point fixe

Calculs approchés d un point fixe M11 ÉPREUVE COMMUNE DE TIPE 2013 - Partie D TITRE : Calculs approchés d un point fixe Temps de préparation :.. 2 h 15 minutes Temps de présentation devant les examinateurs :.10 minutes Dialogue avec les

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples

Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples 45 Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples Les espaces vectoriels considérés sont réels, non réduits au vecteur nul et

Plus en détail

= 1 si n = m& où n et m sont souvent des indices entiers, par exemple, n, m = 0, 1, 2, 3, 4... En fait,! n m

= 1 si n = m& où n et m sont souvent des indices entiers, par exemple, n, m = 0, 1, 2, 3, 4... En fait,! n m 1 épartement de Physique, Université Laval, Québec Pierre Amiot, 1. La fonction delta et certaines de ses utilisations. Clientèle Ce texte est destiné aux physiciens, ingénieurs et autres scientifiques.

Plus en détail

Examen optimisation Centrale Marseille (2008) et SupGalilee (2008)

Examen optimisation Centrale Marseille (2008) et SupGalilee (2008) Examen optimisation Centrale Marseille (28) et SupGalilee (28) Olivier Latte, Jean-Michel Innocent, Isabelle Terrasse, Emmanuel Audusse, Francois Cuvelier duree 4 h Tout resultat enonce dans le texte peut

Plus en détail

chapitre 4 Nombres de Catalan

chapitre 4 Nombres de Catalan chapitre 4 Nombres de Catalan I Dénitions Dénition 1 La suite de Catalan (C n ) n est la suite dénie par C 0 = 1 et, pour tout n N, C n+1 = C k C n k. Exemple 2 On trouve rapidement C 0 = 1, C 1 = 1, C

Plus en détail

Programme de mathématiques TSI1

Programme de mathématiques TSI1 Programme de mathématiques TSI1 1. PROGRAMME DE DÉBUT D ANNÉE I. Nombres complexes et géométrie élémentaire 1. Nombres complexes 1 2. Géométrie élémentaire du plan 3 3. Géométrie élémentaire de l espace

Plus en détail

Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire

Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la Programmation Linéaire. 5 . Introduction Un programme linéaire s'écrit sous la forme suivante. MinZ(ou maxw) =

Plus en détail

Souad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/

Souad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Recherche opérationnelle Les démonstrations et les exemples seront traités en cours Souad EL Bernoussi Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Table des matières 1 Programmation

Plus en détail

1 Codes linéaires. G = [I k A]. Dans ce cas on constate que la matrice. H = [ t A I n k ] est une matrice de contrôle de C. Le syndrome de x F n q

1 Codes linéaires. G = [I k A]. Dans ce cas on constate que la matrice. H = [ t A I n k ] est une matrice de contrôle de C. Le syndrome de x F n q 1 Codes linéaires Un code de longueur n est une partie de F n q. Un code linéaire C de longueur n sur le corps ni F q est un sous-espace vectoriel de F n q. Par défaut, un code sera supposé linéaire. La

Plus en détail

Méthodes de quadrature. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/48

Méthodes de quadrature. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/48 Méthodes de Polytech Paris-UPMC - p. 1/48 Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 2/48 Polynôme d interpolation

Plus en détail

2. RAPPEL DES TECHNIQUES DE CALCUL DANS R

2. RAPPEL DES TECHNIQUES DE CALCUL DANS R 2. RAPPEL DES TECHNIQUES DE CALCUL DANS R Dans la mesure où les résultats de ce chapitre devraient normalement être bien connus, il n'est rappelé que les formules les plus intéressantes; les justications

Plus en détail

La programmation linéaire : une introduction. Qu est-ce qu un programme linéaire? Terminologie. Écriture mathématique

La programmation linéaire : une introduction. Qu est-ce qu un programme linéaire? Terminologie. Écriture mathématique La programmation linéaire : une introduction Qu est-ce qu un programme linéaire? Qu est-ce qu un programme linéaire? Exemples : allocation de ressources problème de recouvrement Hypothèses de la programmation

Plus en détail

Les relations de Plücker

Les relations de Plücker Université Claude Bernard LYON 1 Préparation à l'agrégation de Mathématiques Les relations de Plücker Michel CRETIN On montre que l'ensemble des sous-espaces vectoriels de dimension r de K n est la sous-variété

Plus en détail

NOTATIONS PRÉLIMINAIRES

NOTATIONS PRÉLIMINAIRES Pour le Jeudi 14 Octobre 2010 NOTATIONS Soit V un espace vectoriel réel ; l'espace vectoriel des endomorphismes de l'espace vectoriel V est désigné par L(V ). Soit f un endomorphisme de l'espace vectoriel

Plus en détail

Chapitre 1 Cinématique du point matériel

Chapitre 1 Cinématique du point matériel Chapitre 1 Cinématique du point matériel 7 1.1. Introduction 1.1.1. Domaine d étude Le programme de mécanique de math sup se limite à l étude de la mécanique classique. Sont exclus : la relativité et la

Plus en détail

Épreuve pratique de mathématiques Printemps 2009. Descriptifs. (Page vide)

Épreuve pratique de mathématiques Printemps 2009. Descriptifs. (Page vide) Épreuve pratique de mathématiques Printemps 2009 Descriptifs (Page vide) Sujet 001 Épreuve pratique de mathématiques Descriptif Étude d une fonction dépendant d un paramètre Étant donné une fonction dépendant

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Maths MP Exercices Fonctions de plusieurs variables Les indications ne sont ici que pour être consultées après le T (pour les exercices non traités). Avant et pendant le T, tenez bon et n allez pas les

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

Correction de l examen de la première session

Correction de l examen de la première session de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi

Plus en détail

3 Approximation de solutions d équations

3 Approximation de solutions d équations 3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle

Plus en détail

Formes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions

Formes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions Formes quadratiques Imen BHOURI 1 Ce cours s adresse aux étudiants de niveau deuxième année de Licence et à ceux qui préparent le capes. Il combine d une façon indissociable l étude des concepts bilinéaires

Plus en détail

À propos des matrices échelonnées

À propos des matrices échelonnées À propos des matrices échelonnées Antoine Ducros appendice au cours de Géométrie affine et euclidienne dispensé à l Université Paris 6 Année universitaire 2011-2012 Introduction Soit k un corps, soit E

Plus en détail

Condition inf-sup pour l Elément Fini de Taylor-Hood È ¾ -iso-è ½

Condition inf-sup pour l Elément Fini de Taylor-Hood È ¾ -iso-è ½ Condition inf-sup pour l Elément Fini de Taylor-Hood È ¾ -iso-è ½ Patrick Ciarlet et Vivette Girault ciarlet@ensta.fr & girault@ann.jussieu.fr ENSTA & Laboratoire Jacques-Louis Lions, Paris 6 Condition

Plus en détail

THÈSE PRÉSENTÉE À L'UNIVERSITÉ DE BORDEAUX I ÉCOLE DOCTORALE DE MATHÉMATIQUES ET D'INFORMATIQUE. Par Bruno LATHUILIÈRE POUR OBTENIR LE GRADE DE

THÈSE PRÉSENTÉE À L'UNIVERSITÉ DE BORDEAUX I ÉCOLE DOCTORALE DE MATHÉMATIQUES ET D'INFORMATIQUE. Par Bruno LATHUILIÈRE POUR OBTENIR LE GRADE DE N o d'ordre : 41 THÈSE PRÉSENTÉE À L'UNIVERSITÉ DE BORDEAUX I ÉCOLE DOCTORALE DE MATHÉMATIQUES ET D'INFORMATIQUE Par Bruno LATHUILIÈRE POUR OBTENIR LE GRADE DE DOCTEUR SPÉCIALITÉ : INFORMATIQUE Méthode

Plus en détail

Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations

Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations Chapitre 11. 2ème partie Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES 2ème partie Produit scalaire Produit scalaire

Plus en détail

Théorie et codage de l information

Théorie et codage de l information Théorie et codage de l information Les codes linéaires - Chapitre 6 - Principe Définition d un code linéaire Soient p un nombre premier et s est un entier positif. Il existe un unique corps de taille q

Plus en détail

Programmation linéaire et Optimisation. Didier Smets

Programmation linéaire et Optimisation. Didier Smets Programmation linéaire et Optimisation Didier Smets Chapitre 1 Un problème d optimisation linéaire en dimension 2 On considère le cas d un fabricant d automobiles qui propose deux modèles à la vente, des

Plus en détail

Espaces vectoriels. Université d Orléans Année 2009-2010 Espaces vectoriels et applications linéaires. 2MA01-Licence de Mathématiques

Espaces vectoriels. Université d Orléans Année 2009-2010 Espaces vectoriels et applications linéaires. 2MA01-Licence de Mathématiques Université d Orléans Année 2009-2010 Espaces vectoriels et applications linéaires 2MA01-Licence de Mathématiques Espaces vectoriels Exercice 1 Soit E un espace vectoriel. Pour x, y E et λ, µ K, montrer

Plus en détail

Analyse en Composantes Principales

Analyse en Composantes Principales Analyse en Composantes Principales Anne B Dufour Octobre 2013 Anne B Dufour () Analyse en Composantes Principales Octobre 2013 1 / 36 Introduction Introduction Soit X un tableau contenant p variables mesurées

Plus en détail

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante

Plus en détail

Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles

Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Denis Vekemans R n est muni de l une des trois normes usuelles. 1,. 2 ou.. x 1 = i i n Toutes les normes de R n sont équivalentes. x i ; x 2

Plus en détail

Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes

Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes J. Erhel Janvier 2014 1 Inverse d une matrice carrée et systèmes linéaires Ce paragraphe a pour objet les matrices carrées et les systèmes linéaires.

Plus en détail

Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables

Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables PC*2 2 septembre 2009 Avant-propos À part le théorème de Fubini qui sera démontré dans le cours sur les intégrales à paramètres et qui ne semble pas explicitement

Plus en détail

Catalogue des connaissances de base en mathématiques dispensées dans les gymnases, lycées et collèges romands.

Catalogue des connaissances de base en mathématiques dispensées dans les gymnases, lycées et collèges romands. Catalogue des connaissances de base en mathématiques dispensées dans les gymnases, lycées et collèges romands. Pourquoi un autre catalogue en Suisse romande Historique En 1990, la CRUS (Conférences des

Plus en détail

Université de Nantes Année 2009-2010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques. Topologie et calculs différentiel Liste n 5

Université de Nantes Année 2009-2010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques. Topologie et calculs différentiel Liste n 5 Université de Nantes Année 009-010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques Topologie et calculs différentiel Liste n 5 Applications Différentiables Exercice 1. Soit f : R n

Plus en détail

Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles

Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Filière : scientifique Voie : Biologie, chimie, physique et sciences de la Terre (BCPST) Discipline : Mathématiques Seconde année Préambule Programme

Plus en détail

Mesures gaussiennes et espaces de Fock

Mesures gaussiennes et espaces de Fock Mesures gaussiennes et espaces de Fock Thierry Lévy Peyresq - Juin 2003 Introduction Les mesures gaussiennes et les espaces de Fock sont deux objets qui apparaissent naturellement et peut-être, à première

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables. Sébastien Tordeux

Fonctions de plusieurs variables. Sébastien Tordeux Fonctions de plusieurs variables Sébastien Tordeux 22 février 2009 Table des matières 1 Fonctions de plusieurs variables 3 1.1 Définition............................. 3 1.2 Limite et continuité.......................

Plus en détail

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1 . Sous-ensembles de R n et fonctions (suite) 1 Nappes paramétrées Si f une fonction de deux variables, son graphe est une surface incluse dans R 3 : {(x, y, f(x, y)) / (x, y) R 2 }. Une telle surface s

Plus en détail

CNAM UE MVA 210 Ph. Durand Algèbre et analyse tensorielle Cours 4: Calcul dierentiel 2

CNAM UE MVA 210 Ph. Durand Algèbre et analyse tensorielle Cours 4: Calcul dierentiel 2 CNAM UE MVA 210 Ph. Duran Algèbre et analyse tensorielle Cours 4: Calcul ierentiel 2 Jeui 26 octobre 2006 1 Formes iérentielles e egrés 1 Dès l'introuction es bases u calcul iérentiel, nous avons mis en

Plus en détail

Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels

Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels Exercice 1 On considére le sous-espace vectoriel F de R formé des solutions du système suivant : x1 x 2 x 3 + 2x = 0 E 1 x 1 + 2x 2 + x 3

Plus en détail

Programmation linéaire

Programmation linéaire Programmation linéaire DIDIER MAQUIN Ecole Nationale Supérieure d Electricité et de Mécanique Institut National Polytechnique de Lorraine Mathématiques discrètes cours de 2ème année Programmation linéaire

Plus en détail

X-ENS PSI - 2009 Un corrigé

X-ENS PSI - 2009 Un corrigé X-ENS PSI - 009 Un corrigé Première partie.. Des calculs élémentaires donnent χ A(α) = χ B(α) = X X + et χ A(α)+B(α) = X X + 4α + 4 On en déduit que Sp(A(α)) = Sp(B(α)) = {j, j } où j = e iπ 3 Sp(A(α)

Plus en détail

Mathématiques appliquées à l informatique

Mathématiques appliquées à l informatique Mathématiques appliquées à l informatique Jean-Etienne Poirrier 15 décembre 2005 Table des matières 1 Matrices 3 1.1 Définition......................................... 3 1.2 Les différents types de matrices.............................

Plus en détail

Devoir à la maison : correction

Devoir à la maison : correction Calcul différentiel 2 Sous-variétés : bilan Devoir à la maison : correction Exercice 1. Un exemple de sous-variété : les structures complexes Soit E un R-espace vectoriel. Montrer que la donnée d une structure

Plus en détail

Mathématiques assistées par ordinateur

Mathématiques assistées par ordinateur Mathématiques assistées par ordinateur Chapitre 4 : Racines des polynômes réels et complexes Michael Eisermann Mat249, DLST L2S4, Année 2008-2009 www-fourier.ujf-grenoble.fr/ eiserm/cours # mao Document

Plus en détail

2 Opérateurs non bornés dans un espace de Hilbert

2 Opérateurs non bornés dans un espace de Hilbert 2 Opérateurs non bornés dans un espace de Hilbert 2. Opérateurs non bornés: définitions et propriétés élémentaires Soit H un espace de Hilbert et A un opérateur dans H, c est-à-dire, une application linéaire

Plus en détail

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........

Plus en détail

Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007

Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007 Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n

Plus en détail

Polynômes à plusieurs variables. Résultant

Polynômes à plusieurs variables. Résultant Polynômes à plusieurs variables. Résultant Christophe Ritzenthaler 1 Relations coefficients-racines. Polynômes symétriques Issu de [MS] et de [Goz]. Soit A un anneau intègre. Définition 1.1. Soit a A \

Plus en détail

Cours d analyse numérique SMI-S4

Cours d analyse numérique SMI-S4 ours d analyse numérique SMI-S4 Introduction L objet de l analyse numérique est de concevoir et d étudier des méthodes de résolution de certains problèmes mathématiques, en général issus de problèmes réels,

Plus en détail

MISE EN ŒUVRE DE LA MÉTHODE DES ÉLÉMENTS FINIS

MISE EN ŒUVRE DE LA MÉTHODE DES ÉLÉMENTS FINIS MISE EN ŒUVRE DE LA MÉTHODE DES ÉLÉMENTS FINIS R. HASSANI 2004-2005 Table des matières Introduction... p 5 Partie A Partie B Partie C Rappels et généralités A.1 L approximation par éléments finis...

Plus en détail

Table des matières. Listings. 1 Tests Algorithmique et Matlab. Travaux pratiques - E.D.O. Travail individuel et personnel. Sup'Galilée Année 2014-2015

Table des matières. Listings. 1 Tests Algorithmique et Matlab. Travaux pratiques - E.D.O. Travail individuel et personnel. Sup'Galilée Année 2014-2015 Energétique I Méthodes Numériques II Sup'Galilée Année -5 Travaux pratiques - E.D.O. Groupes B à B6 Travail individuel et personnel Table des matières Tests Algorithmique et Matlab Résolution numérique

Plus en détail

Compte rendu des TP matlab

Compte rendu des TP matlab Compte rendu des TP matlab Krell Stella, Minjeaud Sebastian 18 décembre 006 1 TP1, Discrétisation de problèmes elliptiques linéaires 1d Soient > 0, a R, b 0, c, d R et f C([0, 1], R). On cerce à approcer

Plus en détail

Calcul différentiel sur R n Première partie

Calcul différentiel sur R n Première partie Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 12 avril 2007

Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 12 avril 2007 Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 1 avril 7 EXERCICE 1 Commun à tous les candidats 4 points 1 a Les vecteurs AB et AC ont pour coordonnées AB ; ; ) et AC 1 ; 4 ; 1) Ils ne sont manifestement pas colinéaires

Plus en détail

I. Polynômes de Tchebychev

I. Polynômes de Tchebychev Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat S Asie 21 juin 2010

Corrigé du baccalauréat S Asie 21 juin 2010 Corrigé du baccalauréat S Asie juin 00 EXERCICE Commun à tous les candidats 4 points. Question : Le triangle GBI est : Réponse a : isocèle. Réponse b : équilatéral. Réponse c : rectangle. On a GB = + =

Plus en détail

Notes du cours d'équations aux Dérivées Partielles de l'isima, troisième année http://www.isima.fr/leborgne

Notes du cours d'équations aux Dérivées Partielles de l'isima, troisième année http://www.isima.fr/leborgne Notes du cours d'équations aux Dérivées Partielles de l'isima, troisième année http://www.isima.fr/leborgne Comprendre la condition inf-sup numérique : application aux problèmes sous contrainte. Exemples

Plus en détail

La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1

La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1 La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1 La licence Mathématiques et Economie-MASS de l Université des Sciences Sociales de Toulouse propose sur les trois

Plus en détail

Approximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2

Approximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2 Approximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2 Albert Cohen Dans ce cours, on s intéresse à l approximation numérique d équations aux dérivées partielles linéaires qui admettent une formulation

Plus en détail

Une introduction aux codes correcteurs quantiques

Une introduction aux codes correcteurs quantiques Une introduction aux codes correcteurs quantiques Jean-Pierre Tillich INRIA Rocquencourt, équipe-projet SECRET 20 mars 2008 1/38 De quoi est-il question ici? Code quantique : il est possible de corriger

Plus en détail

Plan du cours : électricité 1

Plan du cours : électricité 1 Semestre : S2 Module Physique II 1 Electricité 1 2 Optique géométrique Plan du cours : électricité 1 Partie A : Electrostatique (discipline de l étude des phénomènes liés aux distributions de charges stationnaires)

Plus en détail

Cours de Mécanique du point matériel

Cours de Mécanique du point matériel Cours de Mécanique du point matériel SMPC1 Module 1 : Mécanique 1 Session : Automne 2014 Prof. M. EL BAZ Cours de Mécanique du Point matériel Chapitre 1 : Complément Mathématique SMPC1 Chapitre 1: Rappels

Plus en détail

Correction de l épreuve intermédiaire de mai 2009.

Correction de l épreuve intermédiaire de mai 2009. Licence de Gestion. 3ème Année Année universitaire 8-9 Optimisation Appliquée C. Léonard Correction de l épreuve intermédiaire de mai 9. Exercice 1 Avec les notations du cours démontrer que la solution

Plus en détail

t 100. = 8 ; le pourcentage de réduction est : 8 % 1 t Le pourcentage d'évolution (appelé aussi taux d'évolution) est le nombre :

t 100. = 8 ; le pourcentage de réduction est : 8 % 1 t Le pourcentage d'évolution (appelé aussi taux d'évolution) est le nombre : Terminale STSS 2 012 2 013 Pourcentages Synthèse 1) Définition : Calculer t % d'un nombre, c'est multiplier ce nombre par t 100. 2) Exemples de calcul : a) Calcul d un pourcentage : Un article coûtant

Plus en détail

1 Complément sur la projection du nuage des individus

1 Complément sur la projection du nuage des individus TP 0 : Analyse en composantes principales (II) Le but de ce TP est d approfondir nos connaissances concernant l analyse en composantes principales (ACP). Pour cela, on reprend les notations du précédent

Plus en détail

Espaces vectoriels et applications

Espaces vectoriels et applications Espaces vectoriels et applications linéaires 1 Définitions On parle d espaces vectoriels sur le corps R ou sur le corps C. Les définitions sont les mêmes en substituant R à C ou vice versa. Définition

Plus en détail

Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 1

Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 1 Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 1 Définition: La cinématique est une branche de la mécanique qui étudie les mouements des corps dans l espace en fonction du temps indépendamment des causes

Plus en détail

ANALYSE IV 29-06-2009. Informations. (5) Pour rendre l examen il faut signer une feuille de présence disponible avec les assistants responsables.

ANALYSE IV 29-06-2009. Informations. (5) Pour rendre l examen il faut signer une feuille de présence disponible avec les assistants responsables. EXAMEN CORRIGE ANALYSE IV 9-6-9 informations: http://cag.epfl.ch sections IN + SC Prénom : Nom : Sciper : Section : Informations () L épreuve a une durée de 3 heures et 45 minutes. () Les feuilles jaunes

Plus en détail

Programmation linéaire

Programmation linéaire 1 Programmation linéaire 1. Le problème, un exemple. 2. Le cas b = 0 3. Théorème de dualité 4. L algorithme du simplexe 5. Problèmes équivalents 6. Complexité de l Algorithme 2 Position du problème Soit

Plus en détail

Méthode des éléments-finis par l exemple

Méthode des éléments-finis par l exemple par l exemple Daniel Choï 1 LMNO Groupe Mécanique Modélisation Mathématique et Numérique Université de Caen, Bld Maréchal Juin, 14032 Caen Cedex, France Version Avril 2010 1. daniel.choi@unicaen.fr Ce

Plus en détail

Formules d inclusion-exclusion

Formules d inclusion-exclusion Université de Rouen L1 M.I.EEA 2011 2012 Mathématiques discrètes Formules d inclusion-exclusion Je présente ici une correction détaillée de l Exercice 5 de la Feuille d exercices 1, en reprenant le problème

Plus en détail

www.h-k.fr/publications/objectif-agregation

www.h-k.fr/publications/objectif-agregation «Sur C, tout est connexe!» www.h-k.fr/publications/objectif-agregation L idée de cette note est de montrer que, contrairement à ce qui se passe sur R, «sur C, tout est connexe». Cet abus de langage se

Plus en détail

Table des matières. I Mise à niveau 11. Préface

Table des matières. I Mise à niveau 11. Préface Table des matières Préface v I Mise à niveau 11 1 Bases du calcul commercial 13 1.1 Alphabet grec...................................... 13 1.2 Symboles mathématiques............................... 14 1.3

Plus en détail

Structures algébriques

Structures algébriques Structures algébriques 1. Lois de composition s Soit E un ensemble. Une loi de composition interne sur E est une application de E E dans E. Soient E et F deux ensembles. Une loi de composition externe

Plus en détail

Calcul rapide des puissances

Calcul rapide des puissances Calcul rapide des puissances Par Mathtous Il s'agit de puissances à exposant entier naturel (avec la convention a 0 = 1, et a 1 = a). Si on applique la dénition pour calculer a n, on calcule de proche

Plus en détail

Groupes symétriques et alternés

Groupes symétriques et alternés Groupes symétriques et alternés Table des matières 1 Groupe S n 2 2 Cycles 4 2.1 Dénition.................................. 4 2.2 Décomposition d'une permutation..................... 5 3 Classes de conjugaison

Plus en détail

Une premiere approche des elements nis sur un exemple tres simple

Une premiere approche des elements nis sur un exemple tres simple EDP MTH Analyse 2215 EmmanuelFrenod numeri Premiere partie Une premiere approche s elements nis un exemple tres simple 1 Equation la chaleur dans barre 2 Resolution u00 f [0;1] par elements nis avec un

Plus en détail

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015 Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k

Plus en détail

La notion de dualité

La notion de dualité La notion de dualité Dual d un PL sous forme standard Un programme linéaire est caractérisé par le tableau simplexe [ ] A b. c Par définition, le problème dual est obtenu en transposant ce tableau. [ A

Plus en détail

Vers la simulation numérique d écoulements sanguins

Vers la simulation numérique d écoulements sanguins Vers la simulation numérique d écoulements sanguins Vincent Chabannes Université Joseph Fourier 10 Juin 2010 Collaborators C. Prud homme (UJF/LJK) M. Ismail (UJF/LSP) N. Debit (UCB/ICJ) G. Pena (U. Coimbra)

Plus en détail

Calculs et Certificats de Quantités d Intérêts Non Linéaires d un Mousqueton Cédric Bellis

Calculs et Certificats de Quantités d Intérêts Non Linéaires d un Mousqueton Cédric Bellis Ecole Normale Supérieure de Cachan Département de Génie Mécanique Rapport de Stage de M1 Mécanique et Ingéniérie des Systèmes Stage effectué du 10/04 au 27/08 Laboratori de Càlcul Numèric - Universitat

Plus en détail

Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé

Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue

Plus en détail

Chapitre 2. Matrices

Chapitre 2. Matrices Département de mathématiques et informatique L1S1, module A ou B Chapitre 2 Matrices Emmanuel Royer emmanuelroyer@mathuniv-bpclermontfr Ce texte mis gratuitement à votre disposition a été rédigé grâce

Plus en détail

OM 1 Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables

OM 1 Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables PCSI 2013 2014 Certaines partie de ce chapitre ne seront utiles qu à partir de l année prochaine, mais une grande partie nous servira dès cette année.

Plus en détail

LA FORCE CENTRIFUGE. En effet, cette force tend à expulser les voitures en dehors d un virage serré.

LA FORCE CENTRIFUGE. En effet, cette force tend à expulser les voitures en dehors d un virage serré. LA ORCE CENTRIUGE Introduction La force centrifuge est assez connue du public, elle fait d ailleurs l objet d une question pouvant être posée pour l obtention du permis de conduire. En effet, cette force

Plus en détail

Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables

Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Guy Desaulniers Département de mathématiques et de génie industriel École Polytechnique de Montréal Automne 2014 Table des matières

Plus en détail

Vision par Ordinateur

Vision par Ordinateur Vision par Ordinateur James L. Crowley DEA IVR Premier Bimestre 2005/2006 Séance 6 23 novembre 2005 Détection et Description de Contraste Plan de la Séance : Description de Contraste...2 Le Détecteur de

Plus en détail

Filtrage stochastique non linéaire par la théorie de représentation des martingales

Filtrage stochastique non linéaire par la théorie de représentation des martingales Filtrage stochastique non linéaire par la théorie de représentation des martingales Adriana Climescu-Haulica Laboratoire de Modélisation et Calcul Institut d Informatique et Mathématiques Appliquées de

Plus en détail

Commun à tous les candidats

Commun à tous les candidats EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle

Plus en détail

Yves Debard. Université du Mans Master Modélisation Numérique et Réalité Virtuelle. http://iut.univ-lemans.fr/ydlogi/index.html

Yves Debard. Université du Mans Master Modélisation Numérique et Réalité Virtuelle. http://iut.univ-lemans.fr/ydlogi/index.html Méthode des éléments finis : élasticité à une dimension Yves Debard Université du Mans Master Modélisation Numérique et Réalité Virtuelle http://iut.univ-lemans.fr/ydlogi/index.html 4 mars 6 9 mars 11

Plus en détail

Corrigé Pondichéry 1999

Corrigé Pondichéry 1999 Corrigé Pondichéry 999 EXERCICE. = 8 = i ). D'où les solutions de l'équation : z = + i et z = z = i. a. De manière immédiate : z = z = b. Soit θ la mesure principale de arg z : cos θ = Par suite arg z

Plus en détail

Devoir Surveillé n 5 BTS 2009 groupement B

Devoir Surveillé n 5 BTS 2009 groupement B EXERCICE 1 (12 points) Devoir Surveillé n 5 BTS 2009 groupement B Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante. A. Résolution d une équation différentielle On considère

Plus en détail

Université de Franche-Comté - UFR Sciences et Techniques - Département de Physique Master de Physique 1ère année. Mécanique Quantique Travaux Dirigés

Université de Franche-Comté - UFR Sciences et Techniques - Département de Physique Master de Physique 1ère année. Mécanique Quantique Travaux Dirigés Master de Physique 1ère année Mécanique Quantique Travaux Dirigés 1 Master de Physique 1ère année - Mécanique Quantique TD 1: Systèmes quantiques de dimension finie Exercice 11- Atome à 2 niveaux dans

Plus en détail

Master de mathématiques Analyse numérique matricielle

Master de mathématiques Analyse numérique matricielle Master de mathématiques Analyse numérique matricielle 2009 2010 CHAPITRE 1 Méthodes itératives de résolution de systèmes linéaires On veut résoudre un système linéaire Ax = b, où A est une matrice inversible

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables et changements de variables

Fonctions de plusieurs variables et changements de variables Notes du cours d'équations aux Dérivées Partielles de l'isima, première année http://wwwisimafr/leborgne Fonctions de plusieurs variables et changements de variables Gilles Leborgne juin 006 Table des

Plus en détail

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité

Plus en détail