Notes du cours d'équations aux Dérivées Partielles de l'isima, troisième année
|
|
- Basile Labbé
- il y a 8 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Notes du cours d'équations aux Dérivées Partielles de l'isima, troisième année Comprendre la condition inf-sup numérique : application aux problèmes sous contrainte. Exemples du problème de Stokes, du problème des conditions aux limites, du locking de type KirchhoLove ou MindlinReissner Gilles Leborgne 4 août 2006 Table des matières C'est quoi la condition inf-sup? 2. Notations Injectivité (et image dense) et condition inf-sup Condition inf-sup " k" : isomorphisme Rappels 4 2. Fonction à valeurs scalaires Matrice jacobienne et gradient Matrice hessienne et laplacien Fonction à valeurs vectorielles Problème formel du laplacien pour les fonctions vectorielles Remarque : notation de la double contraction Exemple : problème de Stokes 7 3. Le problème de Stokes formel Le problème de Stokes numérique : les projections Cas div h surjectif Sinon : une correction par les projections Méthode de Brezzi et Pitkäranta Méthode de Hughes, Franca et Balestra Méthode de Douglas et Wang La pression : multiplicateur de Lagrange et condition inf-sup Multiplicateur de Lagrange La condition inf-sup Conditions aux limites de Dirichlet 4 4. Introduction Espaces fonctionnels et condition inf-sup Problème approché Éléments nis P k : non stables Problème stabilisé Barbosa et Hughes Elimination du multiplicateur : méthode de Nitsche [23] Locking Le problème type Coercivité nie en p Le problème discrétisé : explosion éventuelle de la constante de coercivité en p h, d'où le locking Une correction du locking Traitement classique du locking : problème continu Problème continu Problème discrétisé août 2006
2 2. C'est quoi la condition inf-sup? A Singular value decomposition (SVD) 25 B Application à la condition inf-sup 27 C'est quoi la condition inf-sup? Ω est un ouvert régulier de R n de bord Ω = Γ.. Notations Soit E un espace de Banach (espace vectoriel normé complet), et on note. E sa norme. On note E = L(E; R) son dual, i.e. l'espace des formes linéaires continues sur E. Il est muni de la norme, pour l E : l(v) l E = sup = sup l(v), v E, v 0 v E v E, v E = qui en fait un espace de Banach. Soit F un second espace de Banach,. F sa norme, F son dual et. F la norme associée. Soit B L(E, F ) un opérateur borné (i.e. une application linéaire continue) de E dans F. L'opérateur B est caractérisé par ses valeurs Bv F pour tout v E, i.e. par les valeurs réelles (Bv)(w) = Bv, w F,F pour tout w F. On note : b(v, w) déf = Bv, w F,F R. On a ainsi déni une application bilinéaire b(, ) : E F R qui est continue (vérication immédiate). Et on dispose de l'adjoint, l'opérateur B T L(F, E ), caractérisé par, pour tout (v, w) E F : B T w, v E,F = Bv, w F,F (= b(v, w)). (.) Remarque. On rappelle que (.) détermine B T de manière unique, sa construction étant la suivante : pour w F xé, on dénit g w (v) = Bv, w pour tout w F. L'application g w ainsi dénie est trivialement linéaire et continue sur E (avec g w E B L(E,F ) w F ). Et on pose alors B T w = g w pour tout w F. Et B T est trivialement linéaire et continu sur F (avec B T L(F,E ) B L(E,F )). Exemple.2 E = R n, F = R m. Toutes les normes sont équivalentes en dimension nie. On choisit pour simplier les normes euclidiennes. Et on peut identier E et E et F et F (on dispose du produit scalaire euclidien et du théorème de représentation de Riesz). On se donne des bases, et un opérateur B : R n R m peut être représenté par une matrice m n. Et l'opérateur adjoint peut être représenté par la matrice transposée n m et on a : ([B]. x) T. y = ([B]. x, y) R m = ([B] T. y, x) R n = x T.([B] T. y), (.2) qui est encore noté = b( x, y). Exemple.3 B = div : (H0 (Ω)) n L 2 (Ω), opérateur divergence. Ici E = (H0 (Ω)) n, F = L 2 (Ω), et avec lorsque L 2 (Ω) est identié à son dual on a b( v, q) = (div v, q) L 2 (Ω) pour tout v (H0 (Ω)) n et tout q L 2 (Ω). Son dual est l'opérateur grad : L 2 (Ω) (H (Ω)) n (opérateur gradient) : b( v, q) = (div v, q) L 2 (Ω) = div v, q L 2 (Ω),L 2 (Ω) = v, gradq H 0 (Ω),H (Ω), (.3) pour tout v H 0 (Ω) et tout q L 2 (Ω). Et lors d'une discrétisation par éléments nis, on retrouve l'égalité sous forme calcul matriciel (.2). Exemple.4 B = γ 0 : H (Ω) H 2 (Γ), opérateur trace sur Γ, avec H 2 (Γ) = γ 0 (H (Ω)) (espace image de l'application trace). Ici E = H (Ω), F = H 2 (Γ) et F = H 2 (Γ). Avec son dual 2 4 août 2006
3 3. C'est quoi la condition inf-sup? γ T 0 : H 2 (Γ) H (Ω), on a, pour tout v H (Ω) et tout w H 2 (Γ) : b(v, w) = γ 0 v, w H 2 (Γ),H 2 (Γ) = γt 0 w, v (H (Ω)),H (Ω). En particulier lorsque w L 2 (Γ) (i.e. w susamment régulier), on a : b(v, w) = Γ v( x)w( x) dγ. N.B. : ici l'espace F est le dual H 2 (Γ) = (H 2 (Γ)) de H 2 (Γ), et donc le dual F est le bidual (H 2 (Γ)) de H 2 (Γ), canoniquement isomorphe à H 2 (Γ), et donc identié à H 2 (Γ), i.e. F = H 2 (Γ)..2 Injectivité (et image dense) et condition inf-sup B T : F E étant linéaire, il est injectif ssi KerB T = {0} = (ImB), où KerB T = {w F : B T w = 0} est le noyau de B T, et ImB l'image de B (en eet, KerB T = {w F : Bv, w F,F = 0, v E} = (ImB) ). Donc B T est injectif ssi ImB = F, i.e. ssi ImB est dense dans F. Exemple.5 En dimension nie, tout sous-espace vectoriel est fermé, et donc, ImB est dense dans F équivaut à ImB = F, i.e. B surjectif. C'est faux en dimension innie. Exemple.6 Soit l 2 l'ensemble des suites de carré sommable : l 2 = {(x n ) R N : x 2 n < }. n N On prend E = F = l 2. Soit T : l 2 l 2 l'opérateur de multiplication par la suite (λ n ) = ( n ), i.e. T ((x n ) N ) = ( xn n ) pour tout N (x n) l 2. Cet opérateur est injectif car KerT = {0} (immédiat). Et son image est dense dans l 2 (pour une suite (y n ) N dans l'image considérer la suite tronquée dont l'antécédent est dans l 2...). Cependant il n'est pas surjectif (l'image n'est pas fermée). Par exemple, la suite ( n ) n'a pas d'antécédant dans N. C'est la généralisation de l'exemple.5 au cas l2 R n = R m et matrice diagonale B = diag( n quand ) n. On a B T (linéaire) injectif équivaut à : ou encore à (avec B T w E ) : w 0 B T w 0, w F t.q. w F =, v E, B T w, v E,E > 0, ou encore à (en prenant v E = ) : w F t.q. w F =, sup B T w, v E,E > 0. (.4) v E v E = Maintenant deux cas peuvent se présenter : er cas : inf w F w F = sup B T w, v E,E = 0. v E v E = Exemple.7 On reprend l'exemple.6 où on prend B T = T, et ici T w, v = (T w, v) l 2 le produit scalaire dans l 2. On prend w = e n le n-ième vecteur de base canonique (toutes les composantes sont nulles sauf la n-ième). On a T (e n ) = n e n, et T w, v = (T w, v) l 2 le produit scalaire dans l 2. Et par Cauchy-Schwarz, le donc sup (T e n, v) l2 = v l 2 v l 2 = sup (T e n, v) l2 est atteint pour v = T en v l 2 v l 2 = 0. On se contente donc de la caractérisation (.4). Noter qu'ici n n l'opérateur T n'est pas à image fermé. 2ème cas : k > 0, cas traité au paragraphe suivant. inf w F w F = T e n i.e. pour v = e n. On a sup B T w, v E,E > k, (.5) v E v E = 3 4 août 2006
4 4 2. Rappels.3 Condition inf-sup " k" : isomorphisme On traite le cas (.5), i.e. la condition (.4) dans le cas favorable : k > 0, w F t.q. w F =, sup B T w, v E,E k. (.6) v E v E = (Minoration sur la boule unité.) La condition inf-sup (.5) s'écrit aussi : k 0, inf w F w F = sup Bv, w F,F k, (.7) v E v E = Et le théorème de l'application ouverte nous dit que B est surjectif (voir cours de 3ème année, ou bien Brézis [6]). Donc, si la condition inf-sup (.5) (i.e. (.7)) est satisfaite, on a : - B est surjectif, et B : E/KerE F est un isomorphisme (i.e. linéaire continu inversible d'inverse continu), et 2- B T est injectif, et B T : F Im(B T ) est un isomorphisme. Remarque.8 Dans la pratique, si k > 0 pas trop petit alors la matrice sous-jacente (pour le problème approché) sera bien conditionnée. Par contre, si k = 0 (ou bien k plus petit que la précision machine), alors la matrice sousjacente (pour le problème approché) sera mal conditionnée, i.e. non inversible numériquement. Remarque.9 La condition inf-sup (.5) est bien sûr non satisfaite si B T n'est pas injective (trivial). Exemple.0 On reprend l'exemple.3. L'opérateur divergence div est surjectif de (H0 (Ω)) n dans L 2 (Ω)/R. Et son transposé qui est l'opérateur gradient est injectif de L 2 (Ω)/R dans (H (Ω)) n. Voir GiraultRaviart [5] ou cours de 3ème année. Exemple. Cf exemple.4. L'opérateur trace γ 0 est surjectif de H (Ω) dans H 2 (Γ). Et son transposé est injectif de H 2 (Γ) dans le dual de H (Ω). 2 Rappels 2. Fonction à valeurs scalaires 2.. Matrice jacobienne et gradient Soit f : Ω R n R une fonction diérentiable (ou dérivable) à valeurs scalaires, i.e. qui en tout point x Ω admet un plan tangent, i.e. telle qu'en tout point x Ω il existe une application linéaire df( x) : R n R telle que pour tout v R n : f( x + h v) = f( x) + h df( x). v + o(h). L'application linéaire df( x) L(R n ; R) est appelée diérentielle de f en x. Si df : Ω L(R n ; R) est de plus continue dans Ω, on dit que f est C (Ω; R). On travaillera avec la base canonique ( e i ) i=,...,n de R n. Dans cette base, l'application linéaire df( x) est représentée par la matrice ligne [df( x)] = ( f f x ( x)... x n ( x) ) où par dénition f. La matrice ligne est appelée matrice jacobienne de f f( x+h e x i ( x) = df( x). e i = lim i) f( x) h 0 h en x, et on utilise le calcul matriciel usuel, si v = i v i e i = v. : v n f( x + h v) = f( x) + h [df( x)]. v + o(h). Et f est C ssi toutes les f x i : Ω R sont continues. 4 4 août 2006
5 5 2. Rappels Utilisant le produit scalaire euclidien de R n et le théorème de représentation de Riesz, l'application linéaire df( x) peut être représentée par un vecteur appelé vecteur gradient : Et dans la base canonique, on a gradf( x) = df( x). v = ( gradf( x), v) R n. f x ( x). f colonne associée après choix d'une base). On a alors : x n ( x) f( x + h v) = f( x) + h gradf( x) T. v + o(h), où la notation M T désigne la matrice transposée de la matrice M. (représentation d'un vecteur par la matrice 2..2 Matrice hessienne et laplacien Si f est deux fois dérivables, i.e. si df : Ω L(R n ; R) est une fois dérivable, on note d(df)( x) : R n L(R n ; R) la diérentielle de df en x. On dispose alors du développement limité de f à l'ordre 2 en chaque point x Ω : f( x + h v) = f( x) + h df( x). v + 2 h2 (d(df)( x). v). v + o(h 2 ). Et f est dite C 2 (Ω; R) ssi d(df) est continue sur Ω. Avec la base canonique de R n, on peut alors représenter l'application linéaire d(df)( x) par la matrice [d(df)( x)] = [ 2 f x i x j ] i=,...,n j=,...,n, dite matrice hessienne. Cette matrice est symétrique (quand f est C 2, théorème de Schwarz), et notée [d 2 f( x)]. On a donc : On pose alors : f( x + h v) = f( x) + h [df( x)]. v + h2 2 vt.[d 2 f( x)]. v + o(h 2 ). f( x) = Tr([d 2 f( x)]) = n i= 2 f x 2 ( x). i (Trace de l'application linéaire donnée par la somme des termes diagonaux de la matrice la représentant.) Si de plus on se sert du produit scalaire euclidien de R n et du théorème de représentation de Riesz, on a : f( x) = div( gradf)( x). 2.2 Fonction à valeurs vectorielles Soit maintenant f : Ω R n R m une fonction dérivable (à valeurs vectorielles), i.e. telle qu'en tout point x Ω il existe une application linéaire d f( x) : R n R m telle que pour tout v R n : f( x + h v) = f( x) + h d f( x). v + o(h). L'application linéaire df( x) est appelée diérentielle de f en x. On travaillera avec la base canonique ( e i ) i=,...,m de R m (attention, même notation que pour la base canonique de l'ensemble de départ R n, ce pour alléger les notations). Dans cette base, notant f( x) = [ f i x j ] i=,...,m f ( x). f m ( x), l'application linéaire d f( x) est représentée par la matrice [d f( x)] =, où i l'indice de ligne et j l'indice de colonnes (travaillant toujours avec la base j=,...,n canonique de R n ). Cette matrice est appelée matrice jacobienne de f en x. On a donc : f ( x + h v). f m ( x + h v) = f ( x). f m ( x) + h [ f i ] i=,...,m. x j j=,...,n v. v n + o(h), soit encore, après utilisation du produit scalaire et du théorème de représentation de Riesz, pour 5 4 août 2006
6 6 2. Rappels tout i =,..., m : f i ( x + h v) = f i ( x) + h gradf i ( x) T. v + o(h), Attention : la matrice jacobienne [df( x)] est aussi appelée matrice gradient de f en x! Et on note gradf( x) = [df( x)] = [ f i x j ( x)] i=,...,m. (On n'a donc pas besoin du théorème de représentation j=,...,n de Riesz pour parler de matrice gradient.) Si on utilise le produit scalaire euclidien de R n et le théorème de représentation de Riesz, la matrice gradient a donc ses lignes données par gradf i T (les transposés des vecteurs gradients). Dans la suite on aura m = n, i.e. R m = R n, et les matrices gradients (i.e. les matrices jacobiennes) seront des matrices n n. 2.3 Problème formel du laplacien pour les fonctions vectorielles Soit f : Ω R n R n une fonction donnée. Regardons formellement l'équation vectorielle où l'inconnue est une fonction u : Ω R n R n : u = f. Soit une fonction v : Ω R n R n ; prenant la valeur en un point x Ω, multipliant au sens du produit scalaire de R n, on obtient : ( u( x), v( x)) R n = ( f( x), v( x)) R n. (2.) Intégrons (2.3) dans Ω : ( u( x), v( x)) R n dω = ( f( x), v( x)) R n dω, (2.2) Ω Ω On travaille avec la base canonique de R n. Les inconnues sont n fonctions u i composantes de u, et on a le système à résoudre : soit encore, cf. (2.2) : n i= Ω u i = f i, i =,..., n, u i ( x)v i ( x) dω = n i= Ω f i ( x)v i ( x) dω. (2.3) Supposera les fonctions v i nulles sur le bord Γ (pour simplier la présentation). Intégrons (2.3) par parties : n n n f i ( x)v i ( x) dω, (2.4) soit : n i= i= et qui sera noté dans la suite : Ω Ω j= u i x j ( x) v i x j ( x) dω = i= ( gradu i ( x), gradv i ( x) R n dω = ( f( x), v( x)) R n dω, Ω Ω (grad u, grad v) L 2 = ( f, v) L 2. (2.5) Si M, N L 2 (Ω) n2 sont deux fonctions à valeurs matricielles (dont les coecients sont des fonctions de L 2 (Ω)), dans L 2 (Ω) n2 on utilise le produit scalaire (produit terme à terme) : (M, N) L 2 (Ω) = Ω avec la norme associée M L2 (Ω) = (M, M) L2 (Ω) = ( Ω ij M ij ( x)n ij ( x) dω, (2.6) ij M 2 ij ( x) dω) août 2006
7 7 3. Exemple : problème de Stokes 2.4 Remarque : notation de la double contraction Etant données deux matrices M, N R n2, la double contraction (M, N) M : N R est le résultat intrinsèque donnée par la trace du produit M.N (simple contraction qui correspond à la composition M N des applications linéaires sous-jacentes). Sachant que M.N est la matrice = [ k M ikn jk ] i=,...,n j=,...,n, on a donc : M : N = Tr(M.N) = n M ik N ki i,k= (ce n'est pas le produit terme à terme). Cette opération de double contraction correspondant à la trace de l'endomorphisme M N sousjacent est intrinsèque. Et donc (2.6) s'écrit : (grad u, grad v) L 2 (Ω) = Ω grad u( x) : grad v T ( x) dω. (2.7) Remarque 2. On rappelle qu'à l'aide du théorème de représentation de Riesz, si l est une forme linéaire et z un vecteur on représente l( z) dans une base par le produit matriciel w T. z (ligne * colonne) où w représente la forme l, et en terme de produit scalaire par ( w, z) (produit terme à terme). Et ici on a (2.7) (on laisse l'intégrale sur Ω à l'extérieur). 3 Exemple : problème de Stokes On se donne un domaine Ω R n de frontière Γ = Ω régulière. 3. Le problème de Stokes formel On considère le mouvement stationnaire d'un uide incompressible dans ce domaine, soumis à une force volumique f : Ω R n et une condition d'adhérence aux parois. Le problème à résoudre est : trouver u et p t.q. : u + gradp = f dans Ω, div u = 0 dans Ω, u = 0 sur Γ. ( u : Ω R n est le champ de vitesses et p : Ω R le champ de pressions.) La diculté numérique est de satisfaire la contrainte div u = 0. Remarque 3. On travaille ici en dimension innie (les inconnues sont des fonctions). Pour les problèmes sous-contrainte en dimension nie, on renvoie au cours de 2ème année sur les multiplicateurs de Lagrange. Pour la programmation (en vue de la résolution) de (3.) à l'aide de la méthode des éléments nis, on réécrit formellement (3.) sous la forme (intégration par parties) : trouver u t.q. u Γ = 0 et p t.q. : ( grad u, grad v) L 2 (p, div v) L 2 = ( f, v) L 2, v t.q. v Γ = 0, (div u, q) L 2 = 0, q. Une première idée consiste à chercher des éléments nis pour la vitesse qui satisfont exactement la condition div v = 0 (condition d'incompressibilité); on s'intéresse donc au problème : { trouver u t.q. u Γ = 0 et div u = 0 t.q. : ( grad u, grad v) L 2 = ( f, v) L 2, pour tout v t.q. v Γ = 0 et div v = 0, la pression étant calculée a posteriori en résolvant gradp = f + u. Fortin [4] a trouvé des éléments nis satisfaisant la condition d'incompressibilité, mais malheureusement ce ne sont pas des éléments nis d'utilisation simple. L'utilisation d'éléments nis usuels (P 0, P, Q, P 2...) nécessite la résolution de (3.2). (3.) (3.2) 7 4 août 2006
8 8 3. Exemple : problème de Stokes 3.2 Le problème de Stokes numérique : les projections On considère toujours le problème formel (3.2). On considère sa discrétisation : trouver u h V h et p h Q h t.q. : (grad u h, grad v h ) L 2 (p h, div v h ) L 2 = ( f, v h ) L 2, v h V h, (div u h, q h ) L 2 = 0, q h Q h, où V h et Q h sont des espaces vectoriels de dimension nie (éléments nis P, P 2...), les éléments de V h satisfaisant la condition v hγ = 0. Une fois les bases d'éléments nis choisies, le problème se met sous la forme de résolution du problème matriciel : ( A B t B 0 ). ( u p ) ( f = 0 (3.3) ). (3.4) La méthode des éléments nis est une méthode de projection : on dispose de l'équation (3.), on se donne une fonction v, et on projette l'équation sur la fonction v grâce au produit scalaire L 2 (Ω) : ( u, v) L 2 + ( gradp, v) L 2 = ( f, v) L 2. Pour un v donné, c'est équivalent à, avec v Γ = 0 : ( grad u, grad v) L 2 (p, div v) L 2 = ( f, v) L 2. D'où l'équation discrétisée (3.3). Et dans (3.3) on ne retient donc de f que sa partie projetée dans V h, i.e. la fonction discrétisée f h V h donnée par : ( f h, v h ) = ( f, v h ), v h V h. (Méthode d'éléments nis). Le premier terme ( grad u h, grad v h ) L 2 dans (3.3) ne pose pas de problème quand on choisit u h et v h dans le même espace V h : dès qu'on prend une base dans V h (supposé de dimension nie), on prend pour v h les fonctions de base, et les composantes de u h sur cette base sont en bon nombre : il y a autant d'équations que d'inconnues. Par contre, le second terme (p h, div v h ) L 2 va poser de sérieux problèmes. La pression approchée p h ne peut être calculée qu'à l'aide de ce terme (le seul où apparaît p h dans (3.3)). Le problème sous-jacent à résoudre est donc (supposant u h connu) : { trouver ph Q h t.q. : (3.5) (p h, div v h ) L 2 = (g, v h ) L 2, v h V h, où on a posé (g, v h ) L 2 = ( grad u h, grad v h ) L 2 ( f, v h ) L 2. D'où 2 cas : - Cas qui semble favorable : il y a assez de fonctions v h pour qu'il y ait (au moins) autant d'équations que d'inconnues (les composantes de p h dans une base de Q h ). C'est le cas si on prend par exemple V h espace des éléments nis P 2 et Q h espace des éléments nis P. Le fait qu'il y ait trop d'équations n'est pas gênant car pour le problème (3.3), grâce au terme ( grad u h, grad v h ) L 2, la matrice ( A B t ) aura ses lignes indépendantes, et la matrice ( ) A B t B 0 sera inversible. Par contre, ce cas n'est pas toujours aussi favorable qu'il en a l'air : la matrice peut être très mal conditionnée; cela correspond au cas de la condition inf-sup : k h > 0, inf p h Q h (div v h, p h ) L2(Ω) sup v h V h v h H 0 p h L 2 k h, (3.6) avec k h h 0 0. Dans ce cas la matrice, si la matrice est mathématiquement inversible, elle ne l'est plus numériquement. 2- Cas toujours défavorable. Il n'y a pas assez de fonctions v h pour qu'il y ait (au moins) autant d'équations (indépendantes) que d'inconnues. I.e. c'est le cas B T = grad non injectif. On prend par exemple V h espace des éléments nis P et Q h espace des éléments nis P 0 : on obtient un problème sous dimensionné, i.e. il y a plus d'inconnues (les composantes de p h dans une base de Q h ) que d'équations. Donc non unicité de la solution; l'exemple classique est donné par l'instabilité 8 4 août 2006
9 9 3. Exemple : problème de Stokes en cherckerboard (échiquier) donnée en 2-D par les éléments nis Q -continus en vitesse, Q 0 en pression. Analyse pour corriger l'approche et rendre les cas à nouveau favorables. Le problème (3.5) étant linéaire, on commence par regarder le problème homogène : { trouver ph Q h t.q. : (3.7) (p h, div v h ) L 2 = 0, v h V h, i.e. : { trouver p h Q h t.q. : ( gradp h, v h ) L 2 = 0, v h V h. On ne veut pas qu'il y ait des p h 0 qui puissent satisfaire ces équations. Cette analyse nécessite Q h H (Ω) pour que gradp h L 2 (Ω). Ici on ne regarde que les projections de gradp h sur l'espace V h. Quand V h est trop petit, on perd beaucoup d'information sur gradp h : on ne récupère que Π Vh gradp h où Π Vh est l'opérateur de projection de L 2 (Ω) dans V h (opérateur de projection orthogonal pour le produit scalaire (, ) L 2) déni par : f L 2 (Ω), Π Vh f Vh, (Π Vh f, vh ) L 2 déf = ( f, v h ) L 2 v h V h. L'opérateur fautif est ici l'opérateur discrétisé du gradient déni par : { Qh V grad h = (Π Vh grad) h : p h Π Vh gradp h, où (Π Vh gradp h, v h ) L 2 (3.8) déf = ( gradp h, v h ), v h V h. I.e. grad h p h = Π Vh gradp h est la projection orthogonale de gradp h sur V h (relativement au produit scalaire (, ) L 2). Donc on a retenu de gradp h (champ de vecteurs discontinus par exemple dans le cas p h Q h = P -continus) que la partie Π Vh gradp h (champ de vecteurs continus dans le cas V h = (P ) n -continus puisqu'on projette dans V h qui est un espace de fonctions continues). Et, dans le cas P -continu en vitesse et pression, l'opérateur Π Vh de projection sur V h est trop brutal (il tue trop de composantes). Il se trouve que dans le cas P 2 -P -continus en vitesse et pression, l'opérateur Π Vh est sympathique (l'espace V h est susamment grand). 3.3 Cas div h surjectif On note Π Qh : p Q p h = Π Qh p Q h l'opérateur de projection orthogonal sur Q h (pour le produit scalaire (, ) L 2) déni par, si p Q alors p h = Π Qh p Q h est donné par : (p h, q h ) = (p, q h ), q h q h. L'équation (3.7) admet la solution nulle (triviale) pour unique solution ssi l'opérateur : div h = Π Qh div : V h Q h est surjectif : en eet dans ce cas (3.7) implique (p h, q h ) L 2 = 0 pour tout q h et donc pour q h = p h, et donc p h = 0. C'est le sens de la condition inf-sup (3.6) qui doit être satisfaite. De plus, il faut que k h ne s'approche pas de 0 pour avoir un problème bien conditionné : il faut ce qui est appelé la condition inf-sup discrète (N.B. : k ne dépend pas de h) : k > 0, inf p h Q h (div v h, p h ) L2(Ω) sup v h V h v h H 0 p h L 2 k, (3.9) avec k supérieur à la précision machine. N.B. : on travaille ici en dimension nie, et l'espace div h (V h ) = Π Qh (divv h ) est un sous-espace réel de dimension nie dans Q h et est donc un sous-espace fermé. Si div h n'était pas sujectif, alors il existerait un vecteur q 0 Q h (non nul) orthogonal à div h (V h ), ce vecteur vériant (3.7). Sachant que la fonction nulle p h = 0 est solution (trivial), on aurait alors 2 solutions distinctes. On ne pourrait pas dans ce cas avoir l'unicité de la solution en pression. 9 4 août 2006
10 0 3. Exemple : problème de Stokes Exemples où la condition inf-sup discrète (3.9) est satisfaite : Eléments nis continus P 2 P en vitesse et pression, appelés éléments nis de TaylorHood. Voir Bercovier et Pironneau [4]. Eléments nis continus P -bullesp en vitesse et pression, appelés éléments nis minis. Voir Arnold, Brezzi et Fortin []. Eléments nis P 2 -continus en vitesse, P 0 en pression, appelés éléments nis de Crouzeix et Raviart. Eléments nis non conforme P P 0 discontinus en vitesse et pression de CrouzeixRaviart [2] Sinon : une correction par les projections On se place ici dans le cadre div h non surjectif, comme dans le cas éléments nis P en vitesse et pression. On va récupérer l'information perdue par la projection (, ) L 2 (perdue car l'espace V h est ici trop petit). Comme ( gradp h, v h ) L 2 = (Π Vh gradp h, v h ) L 2, de gradp h on dispose uniquement de sa projection Π Vh gradp h : on a perdu gradp h Π Vh gradp h. Il sut de mettre ce terme dans (3.3) pour obtenir : trouver u h V h et p h Q h t.q. : ( grad u h, grad v h ) L 2 (p h, div v h ) L 2 = ( f, v h ) L 2, v h V h, (3.0) (div u h, q h ) L 2 h 2 ( gradp h Π Vh gradp h, gradq h Π Vh gradq h ) L 2 = 0, q h Q h, On a mis un signe - devant (div u h, q h ) L 2 pour avoir un problème symétrique, un signe - devant le terme ajouté pour avoir un problème type pénalisé, et le coecient h 2 (où h est la taille moyenne d'une maille, par exemple h = aire de la maille en 2-D) pour des problèmes de dimensionnement et de convergence optimale (c'est p h qui nous intéresse et qui est contrôlé par son gradient, et on dispose des estimations de type p h h gradp h dans le cas de maillages réguliers). Voir Leborgne [20]. Remarque 3.2 Le problème initial était de trouver un point selle du lagrangien : L( v h, p h ) = 2 grad v h 2 L 2 (p h, div v h ) L 2 (f, v h ) L 2. (3.) Et on a modié ce problème : on cherche maintenant un point selle du lagrangien : L mod ( v h, p h ) = 2 grad v h 2 L (p h, div v 2 h ) L 2 (f, v h ) L 2 2 h2 gradp h Π Vh gradp h 2 L 2. (3.2) Pour des éléments nis P en vitesse et pression, on obtient des résultats de convergence à l'ordre (comme classiquement pour des éléments nis P ). Noter que l'équation (3.0) s'écrit plus simplement : trouver u h V h et p h Q h t.q. : ( grad u h, grad v h ) L 2 (p h, div v h ) L 2 = ( f, v h ) L 2, v h V h, (div u h, q h ) L 2 h 2 ( gradp h Π Vh gradp h, gradq h ) L 2 = 0, q h Q h, (3.3) puisque ( gradp h Π Vh gradp h, w h ) = 0 pour tout w h V h par dénition de la projection, en particulier pour w h = Π Vh gradq h. Il faut cependant calculer une nouvelle inconnues z h = Π Vh gradp h V h, i.e. résoudre : trouver u h, z h V h et p h Q h t.q. : ( grad u h, grad v h ) L 2 (p h, div v h ) L 2 = ( f, v h ) L 2, v h V h, (div u h, q h ) L 2 h 2 ( gradp h z h, gradq h ) L 2 = 0, q h Q h, ( z h, v h ) L 2 ( gradp h, v h ) L 2 = 0, v h V h. (3.4) Mais cette équation nouvelle en z h est presque gratuite avec des éléments nis P en vitesse et pression car la matrice (de masse) relative à l'équation en z h peut être rendue diagonale à l'aide 0 4 août 2006
11 3. Exemple : problème de Stokes de la méthode de mass lumping (matrice de masse rendue diagonale qui donne explicement z h en fonction de gradp h ). 3.5 Méthode de Brezzi et Pitkäranta Une méthode antérieure proposée par Brezzi et Pitkäranta [7] consiste à supprimer Π Vh gradp h, i.e. à pénaliser plus fortement : trouver u h V h et p h Q h t.q. : (3.5) ( grad u h, grad v h ) L 2 (p h, div v h ) L 2 = ( f, v h ) L 2, v h V h, (div u h, q h ) L 2 εh 2 ( gradp h, gradq h ) L 2 = 0, q h Q h, où ε > 0 est petit. La programmation montre cependant une condition aux limites naturelle pour la pression p n = 0 non souhaitée : c'est la condition aux limites attendue pour le terme ( gradp h, gradq h ) L 2 qui est une discrétisation du laplacien ( p, q) L 2 : prendre la formulation continue de (3.5) 2, faire une intégration par parties, et il reste div u + εh 2 p = 0 et p n Γ C'est cette dernière condition qu'on récupère numériquement. Cette condition aux limites = est 0. atténuée dans le cas de la programmation de (3.4). Remarque 3.3 L'intérêt d'une correction de type (3.5) (ou (3.0)) peut se comprendre par exemple en observant les oscillations numériques non contrôlées de la pression (phénomène de type checkerboard) dans le cas P : pour contrôler les variations de pressions, on contrôle son gradient par l'intermédiare de la norme gradq 2 L. Au lieu de considérer le lagragien : 2 L( v, q) = 2 grad u 2 (div v, q) f, dont la dériviation donne (3.) (recherche d'un extremum), on considère le lagrangien pénalisé : L ε ( v, q) = 2 grad u 2 (div v, q) f 2 ε gradq 2. L'extremum de L ε est alors donné par : trouver u V et p Q t.q. : ( grad u, grad v) L 2 (p, div v) L 2 = ( f, v) L 2, v V, (div u, q) L 2 ε( gradp, gradq) L 2 = 0, q Q, (3.6) d'où la discrétisation (3.5) avec ε remplacé par εh 2 pour avoir un résultat de convergence optimale en norme p h L 2 (Ω). 3.6 Méthode de Hughes, Franca et Balestra Cette méthode dite de Galerkin Least-squares [9] consiste à stabiliser à l'aide de l'équation satisfaite par la solution (méthode naturellement consistante) : au lieu de (3.), on considère : L( v, p) = 2 grad v 2 L 2 (Ω) (p, div v) L 2 (Ω) (f, v) L 2 (Ω) ε 2 K h 2 u+ gradp f 2 L 2 (K). (3.7) Cette méthode nécessite une valeur de ε susamment petite pour ne pas détruire l'ellipticité en u (ellipticité du terme ( gradu, gradv) L 2 (Ω) ε k h2 ( u, v) L (K)) : à l'aide de l'inégalité inverse 2 u h L 2 Ch gradu h L 2, u h V h, on supposera donc que 0 < ε < C. Et la méthode est programmée à l'aide de : ( gradu, gradv) L 2 (p, divv) (q, divu) εh 2 ( u + gradp f, v + gradq) L 2 = (f, v) L 2, (3.8) pour tout v et tout q (donc deux équations). Remarque 3.4 Dans le cas V h = P, cette méthode s'apparente à celle de BrezziPitakäranta (il n'y a plus de terme en u et l'analyse de stabilité est la même). 4 août 2006
12 2 3. Exemple : problème de Stokes 3.7 Méthode de Douglas et Wang Cette méthode [3] est inconditionnellement stable, mais non symétrique. Pour ne pas détruire l'ellipticité en u, l'équation (3.8) est modiée : ( gradu, gradv) L 2 (p, divv) (q, divu) εh 2 ( u + gradp f, v + gradq) L 2 = (f, v) L 2, pour tout v et q, où si on préfère (en changeant q en q) : ( gradu, gradv) L 2 (p, divv) + (q, divu) + εh 2 ( u + gradp f, v + gradq) L 2 = (f, v) L 2. (3.9) En particulier, en prenant v=u et q=p, la forme bilinéaire b((u, p), (v, q)) associée vérie b((u, p), (u, p)) = : ( gradu, gradu) L 2 (p, divu) + (p, divu) + εh 2 ( u + gradp, u + gradp) L 2 = gradu 2 L + 2 εh2 u + gradp L 2, et la coercivité en u ne dépend plus de ε>0. Cette méthode est particulière adaptée aux modiciations des équations de Stokes, comme les équations de NavierSotkes, lorsque le problème est de nature non symétrique. Remarque 3.5 Même remarque que remarque La pression : multiplicateur de Lagrange et condition inf-sup 3.8. Multiplicateur de Lagrange L'équation (3.2) fait apparaître p comme un multiplicateur de Lagrange relativement à la contrainte div u = 0. La démarche pour introduire le multiplicateur de Lagrange est similaire à la démarche en dimension nie (voir cours sur les multiplicateurs de Lagrange). Pour sortir du cadre formel et donner un sens aux équations, on a besoin des espaces vectoriels : L 2 (Ω) = {f : Ω R mesurable t.q. Ω f 2 ( x) dω < }, L 2 0(Ω) = {f L 2 (Ω)t.q. Ω f( x) dω = 0 (de moyenne nulle)}, H (Ω) = {f L 2 (Ω) t.q. gradf (L 2 (Ω)) n }, H 0 (Ω) = {f H (Ω) t.q. f Γ = 0}, H0,div0(Ω) = { u (H0 (Ω)) n t.q. div u = 0}, H (Ω) = L(H0 (Ω); R) espace des formes linéaires et continues sur H0 (Ω). Continues sur H0 (Ω) signie continues pour la norme. H qui fait de H0 (Ω) un Hilbert, avec f H = ( f 2 L + gradf 2 L ) 2. On supposera ici Ω ouvert borné dans R n, et on prendra : 2 f H 0 = gradf L 2, qui fait de H0 (Ω) un Hilbert (produit scalaire associé (f, g) H 0 = ( Ici, le problème pour la vitesse est : trouver u H0,div0 (Ω) tel que : Ω grad u : grad v dω = i.e. : trouver u H0,div0 (Ω) tel que : Ω u + f, v H,H 0 = 0, v H 0,div0(Ω). La solution u est donc telle que u + f (H 0,div0 (Ω)) où : gradf, gradg) L 2). f. v dω, v H 0,div0(Ω), (3.20) (H 0,div0(Ω)) = { g H (Ω) n t.q. v H 0,div0(Ω), g, v H,H 0 = 0}. (Orthogonal au sens de la dualité.) 2 4 août 2006
13 3 3. Exemple : problème de Stokes Or on montre que toute fonction g : Ω R de H (Ω) n qui appartient à (H0,div0 est de (Ω)) la forme g = gradp où p L 2 (Ω) (théorème de De Rham, voir GiraultRaviart [5]) : (H 0,div0(Ω)) grad(l 2 (Ω)). (3.2) Il existe donc p L 2 (Ω) (encore appelé multiplicateur de Lagrange) tel que : u + f = gradp, et le problème (3.20) se met sous la forme (3.). Noter que le gradient étant déni à une constante près, on a grad(l 2 (Ω)) = grad(l 2 0(Ω)) La condition inf-sup Et si p L 2 (Ω), on a gradp, v H,H0 = (div v, p) et est nul pour tout L 2 v H 0,div0 grad(l 2 (Ω)) (H0,div0 et donc avec (3.2) : (Ω)) L'opérateur gradient est donc surjectif : (H 0,div0(Ω)) = grad(l 2 (Ω)). grad : L 2 (Ω) (H 0,div0(Ω)) Son noyau étant réduit aux fonctions constantes : surjectif. (Ω). Donc grad : L 2 0(Ω) (H0,div0(Ω)) bijectif. (3.22) En particulier, (H (Ω)) n étant fermé (espace de Banach), grad a son image fermé (c'est un orthogonal dans un Banach) et (3.22) équivaut à (théorème de l'application ouverte, voir Brézis [6] ou cours de troisième année) : I.e. à : I.e. à : k > 0, p L 2 0(Ω), gradp H k p L 2 0 (Ω). (3.23) k > 0, p L 2 0(Ω), sup v gradp, v (H 0 v H,H k p (Ω))n H 0 L 2 0 (Ω). 0 k > 0, inf sup p L 2 0 (Ω) v (H 0 (Ω))n (p, div v) L2 v H 0 p L 2 k. (3.24) C'est LA condition inf-sup. (Pour la démonstration basée sur la compacité, voir Girault Raviart [5] ou cours de troisième année.) Par dualité, l'opérateur div est également surjectif : div : (H 0 (Ω)) n L 2 0(Ω) surjectif. (Car (H 0,div0 (Ω)) (H (Ω)) n et (H (Ω)) n = (H 0 (Ω)) n.) Remarque 3.6 On dit souvent que la condition inf-sup est la condition de surjectivité de l'opérateur divergence. Voir à ce propos le paragraphe 3.3. Remarque 3.7 Identiant L 2 (Ω) à son dual L 2 (Ω) = L(L 2 (Ω), R) grâce au produit scalaire L 2 (Ω) (théorème de représentation de Riesz dans L 2 (Ω)), on obtient également : div : (H 0 (Ω)) n /Ker(div) L 2 0(Ω) isomorphisme hilbertien. 3 4 août 2006
14 4 4. Conditions aux limites de Dirichlet 4 Conditions aux limites de Dirichlet L'article de référence est celui de Babu²ka [2]. Voir également Pitkäranta [24], Stenberg [27], Barbosa et Hughes [3]. 4. Introduction On considère le problème, pour f L 2 (Ω) et u d H 2 (Γ) donnés : trouver u H (Ω) t.q. : u + u = f dans Ω, u Γ = u d sur Γ. Cherchant u u d + H0 (Ω) (espace ane d'espace vectoriel associé H0 (Ω)), la démarche classique consiste à écrire la formulation variationnelle dans H0 (Ω) : { trouver u u d + H0 (Ω) t.q. : (4.2) ( gradu, gradv) L 2 (Ω) + (u, v) L 2 (Ω) = (f, v) L 2 (Ω), v H 0 (Ω). Ici on souhaite imposer la condition aux limites de Dirichlet u Γ = u d à l'aide d'un multiplicateur de Lagrange. On s'intéresse donc formellement au point selle du Lagrangien : (4.) L(u, λ) = 2 gradu 2 L 2 (Ω) + 2 u 2 L 2 (Ω) + (u, λ) L 2 (Γ) (f, u) L 2 (Ω) (u d, λ) L 2 (Γ), (4.3) un éventuel point selle vériant : { ( gradu, gradv) L 2 (Ω) + (u, v) L 2 (Ω) + (v, λ) L 2 (Γ) = (f, v) L 2 (Ω), (u, µ) L 2 (Γ) = (u d, µ) L 2 (Γ), Quand cela a un sens, l'interprétation de ce problème donne (par intégration par parties) : µ. u + u = f dans Ω, u = u d sur Γ, (4.5) λ = u sur n Γ. L'interprétation du multiplicateur de Lagrange apparaît : c'est la force (au signe près) qu'il faut appliquer sur le bord Γ pour que la position u y vale bien u d. Remarque 4. - Le calcul de λ en lui-même peut être important. 2- Cette approche conduit aux problèmes de transmission aux parois traités par la méthode des éléments nis avec joints (mortar nite elements) de Bernardi, Maday et Patera. 4.2 Espaces fonctionnels et condition inf-sup Il s'agit de donner un sens aux problèmes formels (4.3) et (4.4). Pour u H (Ω) on a γ 0 (u) = u Γ H 2 (Γ), et imposer une condition sur u Γ H 2 (Γ) est équivalent à imposer une condition sur les λ(u) = λ, u H 2 (Γ),H R pour tout λ 2 (Γ) (H 2 (Γ)) = H 2 (Γ) (dual topologique de H 2 (Γ)). On cherchera donc : u H (Ω), Le problème formel (4.4) à résoudre devient : λ H 2 (Γ). v, (4.4) trouver (u, λ) H (Ω) H 2 (Γ) t.q. : ( gradu, gradv) L 2 (Ω) + (u, v) L 2 (Ω) + v, λ H 2 (Γ),H = (f, v) 2 (Γ) L 2 (Ω), v H (Ω), (4.6) u, µ H 2 (Γ),H = u d, µ 2 (Γ) H 2 (Γ),H, µ 2 (Γ) H 2 (Γ). 4 4 août 2006
15 5 4. Conditions aux limites de Dirichlet Ce problème est de la forme : où : où γ 0 est l'application trace : trouver (u, λ) V Λ t.q. a(u, v) + b(v, λ) = l (v), v V, b(u, µ) = l 2 (µ), µ Λ, V = H (Ω), Λ = H 2 (Γ), a(u, v) = ( gradu, gradv) L 2 (Ω) + (u, v) L 2 (Ω) b(v, λ) = γ 0 (v), λ H 2 (Γ),H 2 (Γ) l (v) = (f, v) L 2 (Ω), l 2 (µ) = u d, µ H 2 (Γ),H 2 (Γ), γ 0 : { H (Ω) H 2 (Γ) (= (u, v) H (Ω)), noté = v, λ H 2 (Γ),H 2 (Γ), u γ 0 (u) = u Γ. La forme bilinéaire a(, ) est bien continue et coercitive sur H (Ω) (c'est le produit scalaire), et : Théorème 4.2 (Babu²ka) La forme b(, ) vérie la condition inf-sup : k > 0, inf sup λ H 2 (Γ) v H (Ω) v λ b(, v H (Ω) λ H 2 (Γ) (4.7) (4.8) (4.9) ) k, (4.0) et le problème (4.6) est bien posé (existence et unicité de la solution (u, λ) H (Ω) H 2 (Γ), solution qui dépend continûment des données f et u d ). Preuve. (Babu²ka [2]) On veut montrer (relation équivalente à (4.0)) : On xe un λ Λ. On a : k > 0, λ Λ, λ H 2 (Γ) k λ H 2 (Γ) déf = sup z H 2 (Γ) sup v H (Ω) λ, z z H 2 (Γ). γ 0 (v) v H (Ω), λ. (4.) Soit w = w(z) H (Ω) la solution du problème de Dirichlet (le relèvement de z H 2 (Γ) donné par) : { w + w = 0 dans Ω, γ 0 (w) = z sur (4.2) Γ. Ce problème est bien posé dans H (Ω) (application du théorème de Lax-Milgram à la formulation faible), et on a : w H (Ω) C z H 2, (Γ) (4.3) où C est une constante indépendante de z (dépend du domaine Ω supposé borné), voir cours d'éléments nis. Et donc z C w H (Ω) et donc : H 2 (Γ) λ H 2 (Γ) C sup λ, γ 0 (w) w H (Ω) w H (Ω) w+w=0 C sup v H (Ω) γ 0 (v) v H (Ω), λ. (4.4) Et k = C convient. N.B. : en fait, on peut dénir z H 2 (Γ) par déf z H 2 = w(z) (Γ) H (Ω) où w(z) est solution de (4.2), voir cours d'éléments nis. Et ainsi au lieu de (4.3), on a w H (Ω) = z H 2 (Γ), i.e. on peut prendre C =. 5 4 août 2006
16 6 4. Conditions aux limites de Dirichlet Remarque 4.3 Un relèvement w = w(λ) H (Ω) de λ H 2 (Γ) dans H (Ω) donné par la solution de : i.e. par la solution de : w + w = 0 dans Ω, w n = λ sur (4.5) Γ, ( gradw, gradv) L 2 (Ω) + (w, v) L 2 (Ω) = λ, γ 0 (v) Λ,Λ, v H (Ω). (4.6) Ce problème de Neumann est bien posé dans H (Ω) (application du théorème de LaxMilgram) avec (4.6) qui donne immédiatement : w 2 H (Ω) = λ, γ 0(w) Λ,Λ et donc le relèvement w H (Ω) de λ H 2 (Γ) vérie : ( noté = w H (Ω) γ 0 λ H 2 (Γ), Γ λw dγ), puisque γ 0 (w) H 2 (Γ) γ 0 w H (Ω). Si on calcule w, et si pose u 0 = u w H 0 (Ω), le problème (4.6) à résoudre devient, grâce à (4.6) : touver u 0 H 0 (Ω) t.q. : ( gradu 0, gradv) L 2 (Ω) + (u 0, v) L 2 (Ω) = (f, v) L 2 (Ω), d'où u. Remarque 4.4 La forme bilinéaire b(, ) : H (Ω) H 2 (Γ) R est déterminée par b(u, λ) = λ, γ 0 u H 2 (Γ),H 2 (Γ) (et plus simplement si on se restreint aux λ L2 (Γ) par b(u, λ) = Γ λu Γ dγ). On peut alors déterminer γ t 0 le dual de l'opérateur de trace γ 0 : H (Ω) H 2 (Γ). Il est déterminé par γ t 0 : H 2 (Γ) (H (Ω)), pour tout λ H 2 (Γ) et tout v H (Ω) : γ t 0λ, v (H (Ω)),H (Ω) = λ, γ 0 v H 2 (Γ),H 2 (Γ), qui est également noté formellement Ω (γt 0λ) v dω = Γ λ v dγ. Soit maintenant w solution de (4.5) ou de (4.6); on obtient : (γ t 0λ, v) L 2 (Ω) = (w, v) H (Ω), non formel dès que γ t 0λ L 2 (Ω). Cela peut servir de caractérisation de γ t 0. Rem : on sait qu'un élément de (H (Ω)), donc γ t 0λ, est de la forme f 0 + div f où f 0 L 2 (Ω) et f L 2 (Ω) n. 4.3 Problème approché On se donne des espaces éléments nis V h H (Ω) et Λ h H 2 (Γ); dans les applications on prend V h = P k -continues (avec k N ) et Λ h P l (avec l N). Et le problème approché à résoudre (correspondant à (4.6)) est : trouver (u h, λ h ) V h Λ h t.q. : (u h, v h ) H (Ω) + v h, λ h H 2 (Γ),H 2 (Γ) = (f, v h) L 2 (Ω), v h V h, u h, µ h H 2 (Γ),H 2 (Γ) = u d, µ h H 2 (Γ),H 2 (Γ), µ h Λ h. On obtient un problème numérique à résoudre sous la forme (3.4) : ( A B t B 0 ) ( ) u λ. ( f = g (4.7) ). (4.8) 6 4 août 2006
17 7 4. Conditions aux limites de Dirichlet 4.4 Éléments nis P k : non stables L'approche élémentaire consiste à prendre pour Λ h (approximation sur le bord) les traces des éléments de V h : Λ h = Tr(V h ). Et l'opérateur Tr : V h Λ h est donc surjectif. Exemple 4.5 On prend comme maillage sur le bord le maillage de Ω restreint au bord (choix le plus simple). On prend Λ h = P k (Γ) (sur le bord), et en prend V h = P k (Ω) (dans Ω); on a alors Λ h = Tr(V h ). En eet, toute fonction de base dans Λ h est une fonction de base de V h restreinte à Γ. Proposition 4.6 Si on prend des éléments nis V h = P k (Ω) dans Ω, et si on prend des éléments nis λ h = P k (Γ) = γ 0 (P k (Ω)) sur Γ (choix le plus simple), alors on a la condition inf-sup (car surjectivité) : k h > 0, inf λ h Λ h 2 (Γ),H 2 (Γ) γ 0 v h, λ h H sup v V h λ h H v h 2 (Γ) H (Ω) k h. (4.9) Remarque 4.7 Malheureusement, ce choix P k pour V h et Λ h conduit à : k h 0, h 0 (4.20) et le problème devient mal conditionné (instable numériquement). D'où l'article initial de Babu²ka [2]. La vérication numérique est simple, voir annexe et calcul des valeurs singulères de la matrice B. Remarque 4.8 Cf. Pitkäranta [24]. Dans le cadre des éléments nis, à l'aide de l'inégalité inverse (cas d'un maillage quasi-uniforme) : la condition inf-sup (4.9) se comprend : γ > 0, λ h Λ h, h 2 λh L 2 (Γ) γ λ h H 2 (Γ), k h > 0, inf sup λ h Λ h v V h Γ v h λ h dγ k h λ h L 2 (Γ) v h H (Ω) γ h 2, (4.2) plus précisément, si on a (4.2) (condition numériquement vériable), alors on a (4.9). Et pour avoir une condition inf-sup numérique stable (cas k h > k > 0), on s'intéresse à la vérication de (4.2) avec un k h indépendant de h. 4.5 Problème stabilisé 4.5. Barbosa et Hughes (Voir Barbosa et Hughes [3], Pitkäranta [24], Stenberg [27]). On veut utiliser comme maillage sur Γ la trace du maillage T h déni sur Ω. L'idée de Barbosa et Hughes est de stabiliser le multiplicateur de Lagrange λ h à l'aide de sa valeur souhaitée λ h = u h n sur Γ. Pour ce, le lagrangien formel initial (4.3) est transformé en (cf. Stenberg [27]) : L h (u, λ) = L(u, λ) α(h u 2 λ+ n L 2 (Γ)) 2, (4.22) pour α une constante à déterminer. I.e. le problème approché (4.7) est transformé en le problème : trouver (u h, λ h ) V h Λ h t.q. pour tout (v h, µ h ) V h Λ h : (u h, v h ) H (Ω) + v h λ h dγ αh (λ h + u h Γ Γ n ) v h n dγ = (f, v h) L 2 (Ω), u h µ h dγ αh (λ h + u h n )µ h dγ = u d µ h dγ. Γ Γ Et le problème est ainsi transformé en le problème matriciel sous forme pénalisée : ( ) ( ) ( A B t u f. = B αc p g Γ (4.23) ). (4.24) 7 4 août 2006
18 8 4. Conditions aux limites de Dirichlet Théorème 4.9 (Barbosa et Hughes [3], Pitkäranta [24].) On suppose que le maillage T h est quasiuniforme, ou plus précisement qu'il est tel que l'inégalité inverse suivante est satisfaite : C i > 0, v h V h, h 2 v h n L 2 (Γ) C i gradv h L 2 (Ω). (4.25) On suppose dans (4.22) que α est assez petit (pour ne pas détruire la coercivité en u), à savoir : 0 < α < C i. (4.26) Alors le problème approché stabilisé (4.23) est bien posé, et de plus on a l'estimation d'erreur optimale, dès que la solution exacte u H k+ (Ω) : où C est une constante indépendante de h. u u h H (Ω) Ch k u H k+ (Ω), Preuve. Voir Barbosa et Hughes [3] et Stenberg [27]. Remarque 4.0 L'inégalité (4.25) se réécrit : h ( gradv. n) 2 dγ Ci 2 Γ Ω gradv 2 R n dω, et le facteur h est attendu : (h Γ ) a même dimension que ( ), dimension d'un volume. Ω Elimination du multiplicateur : méthode de Nitsche [23] Stenberg [27] a montré que la Méthode de Barbosa et Hughes [3] était équivalente à la méthode plus ancienne de Nitsche [23], dans le cas où Λ h = P 0 (Γ h ) et V h = P (Ω h ) (quand Γ h est la trace de Ω h ) : i.e. trouver u h V h t.q. v h V h : (u h, v h ) H (Ω) u h n, v h Γ v h n, u h u d Γ + γ E E h h E u h u d, v h E = (f, v h ) L 2 (Ω), trouver u h V h t.q. v h V h : (u h, v h ) H (Ω) u h n, v h Γ v h n, u h Γ + γ E E h h E u h, v h E = (f, v h ) L 2 (Ω) v h n, u d Γ + γ E E h h E u d, v h E. (4.27) On retrouve alors u Γ = u d. Cette méthode est plus simple à programmer car sans multiplicateur de Lagrange. Proposition 4. Sous l'hypothèse (4.25), quand γ > C i, le problème (4.27) est bien posé : u u h H (Ω) Ch k u H k+ (Ω), pour une approximation P k quand u H k+ (Ω). Preuve. Voir Stenberg [27]. 8 4 août 2006
19 9 4. Conditions aux limites de Dirichlet Comparaison de la méthode de Nitsche et de la méthode de Barbosa et Hughes : on cherche à éliminer λ h dans (4.23). A partir de (4.23) 2 on obtient : Reporté dans (4.23), on obtient : λ h = Π Λh ( u h n ) + αh (u h u d ). (u h, v h ) H (Ω) Π Λh ( u h Γ n )v h dγ Π Λh ( v h Γ n )u h dγ + u h v h dγ αh Γ u h v h αh( Γ n n Π u h Λ h n Π v h Λ h n dγ) v h = (f, v h ) L2 (Ω) g Π Λh n dγ + gv h dγ, αh Γ On se place alors dans le cas Λ h = P 0 et V h = P : on a alors Π Λh ( u h n ) = u h n. Et on retrouve (4.27). Γ 9 4 août 2006
20 20 5. Locking 5 Locking Le locking est un phénomène très diérent du problème de l'instabilité inf-sup (bien qu'en modiant les équations on puisse se ramener à un problème de multiplicateur de Lagrange et donc d'inf-sup). Le locking intervient quand l'ellipticité numérique explose (alors que l'ellipticité du problème initiale est nie) : dans ce cas, la solution numérique trouvée est proche de la solution identiquement nulle, et le problème numérique est bloqué. 5. Le problème type Soit Ω un ouvert borné de R n. On cherche un champ de vecteurs u : Ω R n et un champ de scalaires p : Ω R qui minimisent sur X = H 0 (Ω) n H 0 (Ω) la fonctionnelle : M( v, q) = 2 grad v 2 L 2 (Ω) + λ 2 v gradq L 2 (Ω) ( f, v) L 2 (Ω) (g, q) L 2 (Ω), (5.) où λ R est très grand (mais xé). Remarque 5. Pour les notations, voir les paragraphes 2.3 et 2.4. Remarque 5.2 A la place de grad v 2 L 2 (Ω) on peut mettre d'importe expression a( v, v) où a(, ) : (H 0 (Ω)) n (H 0 (Ω)) n R est une forme bilinéaire coercitive sur H 0 (Ω), comme c'est le cas pour les équations de MindlinReissner. On a supposé Ω borné, et on dispose donc de l'inégalité de Poincaré : β > 0, z H 0 (Ω), gradz L 2 (Ω) β z L 2 (Ω). (5.2) Et H0 (Ω) est alors muni de sa norme z H 0 (Ω) = gradz L 2 (pour tout z H0 (Ω)). De même pour H0 (Ω) n. On munit X = H0 (Ω) n H0 (Ω) du produit scalaire associé à la norme : ( v, q) X = ( grad v 2 L 2 + gradq 2 L 2) 2. Et il est immédiat que X est un Hilbert. La solution ( u, p) X réalisant le min de M vérie : { (grad u, grad v)l 2 + λ( u gradp, v) L 2 = ( f, v), v H0 (Ω) n, (5.3) λ( u gradp, gradq) L 2 = (g, q), q H (Ω). On va regarder ce problème sous la forme LaxMigram en posant : Φ(( u, p), ( v, q)) = (grad u, grad v) L 2 + λ( u gradp, v et en cherchant ( u, p) X tel que pour tout ( v, q) X on ait (réécriture de (5.3)) : gradq) L 2, (5.4) Φ(( u, p), ( v, q)) = ( f, v) L 2 + (g, q) L 2. (5.5) Proposition 5.3 La forme bilinéaire Φ : X X R coercitive et continue sur X : on a, il existe α Φ > 0 t.q. pour tout ( v, q) X : Φ(( v, q), ( v, q)) α Φ ( v, q) 2 X, où α Φ β et, il existe C > 0, pour tout ( u, p) X et ( v, q) X : au vois de λ =, (5.6) Φ(( u, p), ( v, q)) C ( u, p) X ( v, q) X, où C = O(λ) au vois de λ =. Et le problème (5.5) est bien posé août 2006
Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples
45 Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples Les espaces vectoriels considérés sont réels, non réduits au vecteur nul et
Plus en détailCalcul différentiel sur R n Première partie
Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité
Plus en détailNOTATIONS PRÉLIMINAIRES
Pour le Jeudi 14 Octobre 2010 NOTATIONS Soit V un espace vectoriel réel ; l'espace vectoriel des endomorphismes de l'espace vectoriel V est désigné par L(V ). Soit f un endomorphisme de l'espace vectoriel
Plus en détailExamen optimisation Centrale Marseille (2008) et SupGalilee (2008)
Examen optimisation Centrale Marseille (28) et SupGalilee (28) Olivier Latte, Jean-Michel Innocent, Isabelle Terrasse, Emmanuel Audusse, Francois Cuvelier duree 4 h Tout resultat enonce dans le texte peut
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme
Plus en détailApproximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2
Approximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2 Albert Cohen Dans ce cours, on s intéresse à l approximation numérique d équations aux dérivées partielles linéaires qui admettent une formulation
Plus en détailRésolution de systèmes linéaires par des méthodes directes
Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes J. Erhel Janvier 2014 1 Inverse d une matrice carrée et systèmes linéaires Ce paragraphe a pour objet les matrices carrées et les systèmes linéaires.
Plus en détailLa Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1
La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1 La licence Mathématiques et Economie-MASS de l Université des Sciences Sociales de Toulouse propose sur les trois
Plus en détailCondition inf-sup pour l Elément Fini de Taylor-Hood È ¾ -iso-è ½
Condition inf-sup pour l Elément Fini de Taylor-Hood È ¾ -iso-è ½ Patrick Ciarlet et Vivette Girault ciarlet@ensta.fr & girault@ann.jussieu.fr ENSTA & Laboratoire Jacques-Louis Lions, Paris 6 Condition
Plus en détail3 Approximation de solutions d équations
3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle
Plus en détailOptimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications
Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante
Plus en détailImplémentation de Nouveaux Elements Finis dans Life et Applications
1 Département Informatique et Mathématiques Appliquées Année Universitaire 29-21 Rapport de stage Implémentation de Nouveaux Elements Finis dans Life et Applications Présenté par Abdoulaye Samake M1 Mathématiques
Plus en détailThéorème du point fixe - Théorème de l inversion locale
Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion
Plus en détailDifférentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles
Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Denis Vekemans R n est muni de l une des trois normes usuelles. 1,. 2 ou.. x 1 = i i n Toutes les normes de R n sont équivalentes. x i ; x 2
Plus en détailLa méthode des éléments finis et le contrôle des calculs
Table des matières Techniques Avancées en Calcul des Structures Cours d option La méthode des éléments finis et le contrôle des calculs J.-P. Pelle ENS - Cachan Master MIS Parcours TACS Année universitaire
Plus en détailFonctions de plusieurs variables et changements de variables
Notes du cours d'équations aux Dérivées Partielles de l'isima, première année http://wwwisimafr/leborgne Fonctions de plusieurs variables et changements de variables Gilles Leborgne juin 006 Table des
Plus en détailExo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.
Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).
Plus en détail= 1 si n = m& où n et m sont souvent des indices entiers, par exemple, n, m = 0, 1, 2, 3, 4... En fait,! n m
1 épartement de Physique, Université Laval, Québec Pierre Amiot, 1. La fonction delta et certaines de ses utilisations. Clientèle Ce texte est destiné aux physiciens, ingénieurs et autres scientifiques.
Plus en détailCours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables
Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........
Plus en détailCours 02 : Problème général de la programmation linéaire
Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la Programmation Linéaire. 5 . Introduction Un programme linéaire s'écrit sous la forme suivante. MinZ(ou maxw) =
Plus en détailProgrammes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles
Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Filière : scientifique Voie : Biologie, chimie, physique et sciences de la Terre (BCPST) Discipline : Mathématiques Seconde année Préambule Programme
Plus en détailCalcul différentiel. Chapitre 1. 1.1 Différentiabilité
Chapitre 1 Calcul différentiel L idée du calcul différentiel est d approcher au voisinage d un point une fonction f par une fonction plus simple (ou d approcher localement le graphe de f par un espace
Plus en détail2. RAPPEL DES TECHNIQUES DE CALCUL DANS R
2. RAPPEL DES TECHNIQUES DE CALCUL DANS R Dans la mesure où les résultats de ce chapitre devraient normalement être bien connus, il n'est rappelé que les formules les plus intéressantes; les justications
Plus en détailI. Polynômes de Tchebychev
Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire
Plus en détailFonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre
IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables
Plus en détailCours d analyse numérique SMI-S4
ours d analyse numérique SMI-S4 Introduction L objet de l analyse numérique est de concevoir et d étudier des méthodes de résolution de certains problèmes mathématiques, en général issus de problèmes réels,
Plus en détailExercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels
Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels Exercice 1 On considére le sous-espace vectoriel F de R formé des solutions du système suivant : x1 x 2 x 3 + 2x = 0 E 1 x 1 + 2x 2 + x 3
Plus en détailDe même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que
Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer
Plus en détailModèles bi-dimensionnels de coques linéairement élastiques: Estimations de l écart entre leurs solutions.
Problèmes mathématiques de la mécanique/mathematical problems in Mechanics Modèles bi-dimensionnels de coques linéairement élastiques: Estimations de l écart entre leurs solutions. Cristinel Mardare Laboratoire
Plus en détailOptimisation et programmation mathématique. Professeur Michel de Mathelin. Cours intégré : 20 h
Télécom Physique Strasbourg Master IRIV Optimisation et programmation mathématique Professeur Michel de Mathelin Cours intégré : 20 h Programme du cours d optimisation Introduction Chapitre I: Rappels
Plus en détailFormes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions
Formes quadratiques Imen BHOURI 1 Ce cours s adresse aux étudiants de niveau deuxième année de Licence et à ceux qui préparent le capes. Il combine d une façon indissociable l étude des concepts bilinéaires
Plus en détailChapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques
Chapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques Savoir-faire théoriques (T) : Écrire l équation différentielle associée à un système physique ; Faire apparaître la constante de temps ; Tracer
Plus en détailCONTRÔLE ET ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. par. Jean-Pierre Puel
CONTRÔLE ET ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES par Jean-Pierre Puel 1. Introduction Pourquoi équations aux dérivées partielles et pourquoi contrôle? Les équations aux dérivées partielles, associées à certaines
Plus en détailCNAM UE MVA 210 Ph. Durand Algèbre et analyse tensorielle Cours 4: Calcul dierentiel 2
CNAM UE MVA 210 Ph. Duran Algèbre et analyse tensorielle Cours 4: Calcul ierentiel 2 Jeui 26 octobre 2006 1 Formes iérentielles e egrés 1 Dès l'introuction es bases u calcul iérentiel, nous avons mis en
Plus en détailStructures algébriques
Structures algébriques 1. Lois de composition s Soit E un ensemble. Une loi de composition interne sur E est une application de E E dans E. Soient E et F deux ensembles. Une loi de composition externe
Plus en détailAxiomatique de N, construction de Z
Axiomatique de N, construction de Z Table des matières 1 Axiomatique de N 2 1.1 Axiomatique ordinale.................................. 2 1.2 Propriété fondamentale : Le principe de récurrence.................
Plus en détailCalcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.
1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le
Plus en détailCorrection de l examen de la première session
de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi
Plus en détailSouad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/
Recherche opérationnelle Les démonstrations et les exemples seront traités en cours Souad EL Bernoussi Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Table des matières 1 Programmation
Plus en détailwww.h-k.fr/publications/objectif-agregation
«Sur C, tout est connexe!» www.h-k.fr/publications/objectif-agregation L idée de cette note est de montrer que, contrairement à ce qui se passe sur R, «sur C, tout est connexe». Cet abus de langage se
Plus en détailBaccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé
Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue
Plus en détailExercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer
Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy
Plus en détailENSAE - DAKAR BROCHURE D'INFORMATION SUR LE CONCOURS DE RECRUTEMENT D ÉLÈVES INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES (I S E) Option Mathématiques CAPESA
ENSEA - ABIDJAN ENSAE - DAKAR ISSEA - YAOUNDÉ BROCHURE D'INFORMATION SUR LE CONCOURS DE RECRUTEMENT D ÉLÈVES INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES (I S E) Option Mathématiques CAPESA CENTRE D APPUI AUX
Plus en détailDéveloppement décimal d un réel
4 Développement décimal d un réel On rappelle que le corps R des nombres réels est archimédien, ce qui permet d y définir la fonction partie entière. En utilisant cette partie entière on verra dans ce
Plus en détailMATHÉMATIQUES EN PREMIER CYCLE PRÉSENTATION DU PROGRAMME
Notre cadre de réflexion MATHÉMATIQUES EN PREMIER CYCLE PRÉSENTATION DU PROGRAMME La proposition de programme qui suit est bien sûr issue d une demande du Premier Cycle : demande de rénovation des contenus
Plus en détailFONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)
FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité
Plus en détail1 Complément sur la projection du nuage des individus
TP 0 : Analyse en composantes principales (II) Le but de ce TP est d approfondir nos connaissances concernant l analyse en composantes principales (ACP). Pour cela, on reprend les notations du précédent
Plus en détail3. Conditionnement P (B)
Conditionnement 16 3. Conditionnement Dans cette section, nous allons rappeler un certain nombre de définitions et de propriétés liées au problème du conditionnement, c est à dire à la prise en compte
Plus en détailProgrammation linéaire et Optimisation. Didier Smets
Programmation linéaire et Optimisation Didier Smets Chapitre 1 Un problème d optimisation linéaire en dimension 2 On considère le cas d un fabricant d automobiles qui propose deux modèles à la vente, des
Plus en détailAlgorithmes pour la planification de mouvements en robotique non-holonome
Algorithmes pour la planification de mouvements en robotique non-holonome Frédéric Jean Unité de Mathématiques Appliquées ENSTA Le 02 février 2006 Outline 1 2 3 Modélisation Géométrique d un Robot Robot
Plus en détailPremière partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015
Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k
Plus en détailLe produit semi-direct
Le produit semi-direct Préparation à l agrégation de mathématiques Université de Nice - Sophia Antipolis Antoine Ducros Octobre 2007 Ce texte est consacré, comme son titre l indique, au produit semi-direct.
Plus en détailRaisonnement par récurrence Suites numériques
Chapitre 1 Raisonnement par récurrence Suites numériques Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Raisonnement par récurrence. Limite finie ou infinie d une suite.
Plus en détailCours de Mécanique du point matériel
Cours de Mécanique du point matériel SMPC1 Module 1 : Mécanique 1 Session : Automne 2014 Prof. M. EL BAZ Cours de Mécanique du Point matériel Chapitre 1 : Complément Mathématique SMPC1 Chapitre 1: Rappels
Plus en détailLimites finies en un point
8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,
Plus en détailCompte rendu des TP matlab
Compte rendu des TP matlab Krell Stella, Minjeaud Sebastian 18 décembre 006 1 TP1, Discrétisation de problèmes elliptiques linéaires 1d Soient > 0, a R, b 0, c, d R et f C([0, 1], R). On cerce à approcer
Plus en détailPolynômes à plusieurs variables. Résultant
Polynômes à plusieurs variables. Résultant Christophe Ritzenthaler 1 Relations coefficients-racines. Polynômes symétriques Issu de [MS] et de [Goz]. Soit A un anneau intègre. Définition 1.1. Soit a A \
Plus en détailChapitre 2 Le problème de l unicité des solutions
Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)
Plus en détailMesures gaussiennes et espaces de Fock
Mesures gaussiennes et espaces de Fock Thierry Lévy Peyresq - Juin 2003 Introduction Les mesures gaussiennes et les espaces de Fock sont deux objets qui apparaissent naturellement et peut-être, à première
Plus en détailNotes de cours M2 Équations aux dérivées partielles elliptiques. Hervé Le Dret
Notes de cours M2 Équations aux dérivées partielles elliptiques Hervé Le Dret 4 mars 2010 2 Table des matières 1 Rappels en tous genres 7 1.1 Les théorèmes de convergence de Lebesgue............ 7 1.2
Plus en détailConstruction de l'intégrale de Lebesgue
Université d'artois Faculté des ciences Jean Perrin Mesure et Intégration (Licence 3 Mathématiques-Informatique) Daniel Li Construction de l'intégrale de Lebesgue 10 février 2011 La construction de l'intégrale
Plus en détailDualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies
Chapitre 6 Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies Nous allons maintenant revenir sur les espaces L p du Chapitre 4, à la lumière de certains résultats du Chapitre 5. Sauf mention
Plus en détailProgramme de la classe de première année MPSI
Objectifs Programme de la classe de première année MPSI I - Introduction à l analyse L objectif de cette partie est d amener les étudiants vers des problèmes effectifs d analyse élémentaire, d introduire
Plus en détailChapitre 2. Matrices
Département de mathématiques et informatique L1S1, module A ou B Chapitre 2 Matrices Emmanuel Royer emmanuelroyer@mathuniv-bpclermontfr Ce texte mis gratuitement à votre disposition a été rédigé grâce
Plus en détailFiltrage stochastique non linéaire par la théorie de représentation des martingales
Filtrage stochastique non linéaire par la théorie de représentation des martingales Adriana Climescu-Haulica Laboratoire de Modélisation et Calcul Institut d Informatique et Mathématiques Appliquées de
Plus en détailContinuité d une fonction de plusieurs variables
Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs
Plus en détailRetournement Temporel
Retournement Temporel Rédigé par: HENG Sokly Encadrés par: Bernard ROUSSELET & Stéphane JUNCA 2 juin 28 Remerciements Je tiens tout d'abord à remercier mes responsables de mémoire, M.Bernard ROUSSELET
Plus en détailRecherche dans un tableau
Chapitre 3 Recherche dans un tableau 3.1 Introduction 3.1.1 Tranche On appelle tranche de tableau, la donnée d'un tableau t et de deux indices a et b. On note cette tranche t.(a..b). Exemple 3.1 : 3 6
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détailSujet proposé par Yves M. LEROY. Cet examen se compose d un exercice et de deux problèmes. Ces trois parties sont indépendantes.
Promotion X 004 COURS D ANALYSE DES STRUCTURES MÉCANIQUES PAR LA MÉTHODE DES ELEMENTS FINIS (MEC 568) contrôle non classant (7 mars 007, heures) Documents autorisés : polycopié ; documents et notes de
Plus en détailIntroduction à la méthode des éléments finis
ÉCOLE NATIONALE SUPERIEURE DES MINES DE PARIS Introduction à la méthode des éléments finis Michel KERN 1 2004 2005 S3733 / S3735 1 Inria, Rocquencourt, BP 105, 78153 Le Chesnay, Michel.Kern@inria.fr 2
Plus en détailChapitre VI Fonctions de plusieurs variables
Chapitre VI Fonctions de plusieurs variables 6. 1 Fonctions différentiables de R 2 dans R. 6. 1. 1 Définition de la différentiabilité Nous introduisons la différentiabilité sous l angle des développements
Plus en détailProduit semi-direct. Table des matières. 1 Produit de sous-groupes 2. 2 Produit semi-direct de sous-groupes 3. 3 Produit semi-direct de groupes 4
Produit semi-direct Table des matières 1 Produit de sous-groupes 2 2 Produit semi-direct de sous-groupes 3 3 Produit semi-direct de groupes 4 1 1 Produit de sous-groupes Soient G un groupe et H et K deux
Plus en détailI. Ensemble de définition d'une fonction
Chapitre 2 Généralités sur les fonctions Fonctions de références et fonctions associées Ce que dit le programme : Étude de fonctions Fonctions de référence x x et x x Connaître les variations de ces deux
Plus en détail1 Introduction et modèle mathématique
Optimisation parallèle et mathématiques financières Optimisation parallèle et mathématiques financières Pierre Spiteri 1 IRIT ENSEEIHT, UMR CNRS 5505 2 rue Charles Camichel, B.P. 7122 F-31 071 Toulouse,
Plus en détailÉquations non linéaires
CHAPTER 1 Équations non linéaires On considère une partie U R d et une fonction f : U R d. On cherche à résoudre { x U 1..1) f x) = R d On distinguera les cas d = 1 et d > 1. 1.1. Dichotomie d = 1) 1.1.1.
Plus en détailCalculs et Certificats de Quantités d Intérêts Non Linéaires d un Mousqueton Cédric Bellis
Ecole Normale Supérieure de Cachan Département de Génie Mécanique Rapport de Stage de M1 Mécanique et Ingéniérie des Systèmes Stage effectué du 10/04 au 27/08 Laboratori de Càlcul Numèric - Universitat
Plus en détailLa programmation linéaire : une introduction. Qu est-ce qu un programme linéaire? Terminologie. Écriture mathématique
La programmation linéaire : une introduction Qu est-ce qu un programme linéaire? Qu est-ce qu un programme linéaire? Exemples : allocation de ressources problème de recouvrement Hypothèses de la programmation
Plus en détailUn K-espace vectoriel est un ensemble non vide E muni : d une loi de composition interne, c est-à-dire d une application de E E dans E : E E E
Exo7 Espaces vectoriels Vidéo partie 1. Espace vectoriel (début Vidéo partie 2. Espace vectoriel (fin Vidéo partie 3. Sous-espace vectoriel (début Vidéo partie 4. Sous-espace vectoriel (milieu Vidéo partie
Plus en détailMaster Modélisation Aléatoire Paris VII, Cours Méthodes de Monte Carlo en nance et C++, TP n 2.
Master Modélisation Aléatoire Paris VII, Cours Méthodes de Monte Carlo en nance et C++, TP n 2. Techniques de correction pour les options barrières 25 janvier 2007 Exercice à rendre individuellement lors
Plus en détailFonctions de plusieurs variables. Sébastien Tordeux
Fonctions de plusieurs variables Sébastien Tordeux 22 février 2009 Table des matières 1 Fonctions de plusieurs variables 3 1.1 Définition............................. 3 1.2 Limite et continuité.......................
Plus en détailCapes 2002 - Première épreuve
Cette correction a été rédigée par Frédéric Bayart. Si vous avez des remarques à faire, ou pour signaler des erreurs, n hésitez pas à écrire à : mathweb@free.fr Mots-clés : équation fonctionnelle, série
Plus en détailIntégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé
Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.
Plus en détailAmphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues
Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Département de Mathématiques École polytechnique Remise en forme mathématique 2013 Suite de Cauchy Soit (X, d) un espace métrique. Une suite
Plus en détailOptimisation des fonctions de plusieurs variables
Optimisation des fonctions de plusieurs variables Hervé Hocquard Université de Bordeaux, France 8 avril 2013 Extrema locaux et globaux Définition On étudie le comportement d une fonction de plusieurs variables
Plus en détailIntroduction à l optimisation de forme et application à la mécanique des fluides
Laboratoire Jacques-Louis LIONS Introduction à l optimisation de forme et application à la mécanique des fluides Master 2 - Année universitaire 2014-2015 Pascal FREY et Yannick PRIVAT Laboratoire Jacques-Louis
Plus en détailAnalyse en Composantes Principales
Analyse en Composantes Principales Anne B Dufour Octobre 2013 Anne B Dufour () Analyse en Composantes Principales Octobre 2013 1 / 36 Introduction Introduction Soit X un tableau contenant p variables mesurées
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Maths MP Exercices Fonctions de plusieurs variables Les indications ne sont ici que pour être consultées après le T (pour les exercices non traités). Avant et pendant le T, tenez bon et n allez pas les
Plus en détailCorps des nombres complexes, J Paul Tsasa
Corps des nombres complexes, J Paul Tsasa One Pager Février 2013 Vol. 5 Num. 011 Copyright Laréq 2013 http://www.lareq.com Corps des Nombres Complexes Définitions, Règles de Calcul et Théorèmes «Les idiots
Plus en détailThéorèmes du Point Fixe et Applications aux Equations Diérentielles
Université de Nice-Sophia Antipolis Mémoire de Master 1 de Mathématiques Année 2006-2007 Théorèmes du Point Fixe et Applications aux Equations Diérentielles Auteurs : Clémence MINAZZO - Kelsey RIDER Responsable
Plus en détailTests non-paramétriques de non-effet et d adéquation pour des covariables fonctionnelles
Tests non-paramétriques de non-effet et d adéquation pour des covariables fonctionnelles Valentin Patilea 1 Cesar Sanchez-sellero 2 Matthieu Saumard 3 1 CREST-ENSAI et IRMAR 2 USC Espagne 3 IRMAR-INSA
Plus en détailCouples de variables aléatoires discrètes
Couples de variables aléatoires discrètes ECE Lycée Carnot mai Dans ce dernier chapitre de probabilités de l'année, nous allons introduire l'étude de couples de variables aléatoires, c'est-à-dire l'étude
Plus en détailExercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes
Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours
Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****
Plus en détailFormation à la C F D Computational Fluid Dynamics. Formation à la CFD, Ph Parnaudeau
Formation à la C F D Computational Fluid Dynamics Formation à la CFD, Ph Parnaudeau 1 Qu est-ce que la CFD? La simulation numérique d un écoulement fluide Considérer à présent comme une alternative «raisonnable»
Plus en détailCours Fonctions de deux variables
Cours Fonctions de deux variables par Pierre Veuillez 1 Support théorique 1.1 Représentation Plan et espace : Grâce à un repère cartésien ( ) O, i, j du plan, les couples (x, y) de R 2 peuvent être représenté
Plus en détailIntroduction à l étude des Corps Finis
Introduction à l étude des Corps Finis Robert Rolland (Résumé) 1 Introduction La structure de corps fini intervient dans divers domaines des mathématiques, en particulier dans la théorie de Galois sur
Plus en détailCHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE. EQUATIONS DIFFERENTIELLES.
CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE EQUATIONS DIFFERENTIELLES Le but de ce chapitre est la résolution des deux types de systèmes différentiels linéaires
Plus en détailCCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé
CCP PSI - 00 Mathématiques : un corrigé Première partie. Définition d une structure euclidienne sur R n [X]... B est clairement symétrique et linéaire par rapport à sa seconde variable. De plus B(P, P
Plus en détailAnalyse fonctionnelle Théorie des représentations du groupe quantique compact libre O(n) Teodor Banica Résumé - On trouve, pour chaque n 2, la classe
Analyse fonctionnelle Théorie des représentations du groupe quantique compact libre O(n) Teodor Banica Résumé - On trouve, pour chaque n 2, la classe des n n groupes quantiques compacts qui ont la théorie
Plus en détail