Produit semi-direct. Table des matières. 1 Produit de sous-groupes 2. 2 Produit semi-direct de sous-groupes 3. 3 Produit semi-direct de groupes 4

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Produit semi-direct. Table des matières. 1 Produit de sous-groupes 2. 2 Produit semi-direct de sous-groupes 3. 3 Produit semi-direct de groupes 4"

Transcription

1 Produit semi-direct Table des matières 1 Produit de sous-groupes 2 2 Produit semi-direct de sous-groupes 3 3 Produit semi-direct de groupes 4 1

2 1 Produit de sous-groupes Soient G un groupe et H et K deux sous-groupes de G. Dénition On note par HK l'ensemble {hk / h H et k K}. Remarque H et K sont inclus dans HK puisque pour tous h de H et k et K, h=h1 HK et k=1k HK. Dénition On dit que K normalise H si pour tout k de K et pour tout h de H, khk 1 appartient à H. Proposition Si K normalise H alors HK est un sous-groupe de G. Démonstration HK n'est pas vide puisque 1=11 appartient à HK. Soient h et h' appartenant à h et k et k' appartenant à K. Alors, hkh'k'=hkh(k 1 k)k'=h(khk 1 )kk'. Comme K normalise H, khk 1 appartient à H et donc hkh'k'=h(khk 1 )kk' appartient à HK. (hk) 1 = k 1 h 1 = k 1 h 1 kk 1. Comme K normalise H, k 1 h 1 k appartient à H et donc (hk) 1 = k 1 h 1 kk 1 appartient à HK. D'où HK est un sous-groupe de G. Corollaire Si H est un sous-groupe normal de G, HK est un sous-groupe de G. Démonstration Puisque H est normal dans G, H est normalisé par n'importe quel sous-groupe de G et en particulier par K. D'où d'après la Proposition précédente, HK est un sous-groupe de G. Proposition On suppose que K normalise H. Alors le sous-groupe HK est le sous-groupe de G engendré par H K. Démonstration H et K sont inclus dans HK donc H K est inclus dans HK. D'où, comme HK est un sous-groupe de G, <H K> est inclus dans HK. Soient h un élément de H et k un élément de K. Alors, hk appartient à <H K>={g 1... g n / n N, 1 i n g i H K ou g i 1 H K} (cf Partie Sous-groupes). D'où HK=<H K>. 2

3 Proposition Si H et K sont normaux dans G alors HK est un sous-groupe de G. Démonstration Comme H est normal dans G, HK est un sous-groupe de G. Soient g appartenant à G et hk appartenant à HK (h H et k K). On a ghkg 1 = ghg 1 gkg 1. Comme H et K sont normaux dans G, ghg 1 appartient à H et gkg 1 appartient à K. D'où ghkg 1 = ghg 1 gkg 1 appartient à HK et donc HK est un sous-groupe normal de G. Proposition Si G est abélien et si H K={1} alors HK est isomorphe à H K. Démonstration Comme G est abélien, K normalise H donc HK est un groupe. De plus, la loi de HK est hk.h'k'=h(kh'k 1 )kk'=hh'kk'. Soit ϕ l'application de H K dans HK dénie par ϕ(h,k)=hk pour tout (h,k) de H K. Montrons que ϕ est un homomorphisme : soient (h,k) et (h',k') appartenant à H K. Alors, ϕ((h, k)(h, k )) = ϕ(hh, kk ) = hh kk = hkh k car G est ablien = ϕ(h, k)ϕ(h, k ) donc ϕ est un homomorphisme de groupes. Montrons que ϕ est injective : soit (h,k) appartenant à H K tel que ϕ(h,k)=1. Alors, hk=1 et donc h=k 1. D'où h appartient à H K={1}. h=1 et par suite, k=h 1 =1. (h,k)=(1,1) donc Ker ϕ = {1} et par conséquent, ϕ est injective. ϕ est clairement surjective puisque si h appartient à H et k à K, hk=ϕ(h,k). D'où ϕ est un isomorphisme entre H K et HK. Remarque A la place de l'hypothèse : G est abélien, on peut prendre l'hypothèse : hk=kh pour tout h appartenant à H et pour tout k appartenant à K. 2 Produit semi-direct de sous-groupes Soient G un groupe, H un sous-groupe normal de G et K un sous-groupe de G. On a vu, dans la section précédente, que dans ce cas, HK est un sous-groupe de G. Dénition On dit que G est produit semi-direct des sous-groupes H et K si G=HK et H K={1}. Dans ce cas, on note G=H K ou K H. 3

4 Proposition Soient G, H et K des groupes nis, ϕ un homomorphisme de H dans G et θ un homomorphisme de G dans K vériant Ker θ=im ϕ. On suppose qu'il existe un homomorphisme σ de K dans G, tel que θ σ=id (σ est alors appelé section au dessus de θ). Alors, G est le produit semi-direct de Im ϕ = ϕ(h) par Im σ = σ(k). Démonstration Comme ϕ et σ sont des homomorphismes de groupes, ϕ(h) et σ(k) sont des sous-groupes de G. ϕ(h)=im ϕ=ker θ donc ϕ(h) est un sous-groupe normal de G. Montrons que ϕ(h) σ(k) est réduit à {1} : Soit ϕ(h)=σ(k) appartenant à ϕ(h) σ(k). Comme Im ϕ=ker θ, θ(ϕ(h))=1. Mais θ(ϕ(h)) = θ(σ(k))=k par propriété de σ. Donc, k=1 et par conséquent, ϕ(h)=σ(k)=σ(1)=1. ϕ(h) σ(k) est réduit à {1}. Montrons que G=ϕ(H)σ(K) : Comme Im ϕ=ker θ, G/ϕ(H) est isomorphe à Im θ d'aprés le Premier Théorème d'isomorphismes. D'où, G = ϕ(h) Im θ. Comme θ σ=id, θ est surjective (si k appartient à K, k=θ(σ(k))) donc Im θ=k. Comme θ σ=id, σ est injective (si σ(k) = σ(k ) alors k=θ(σ(k)) = θ(σ(k ))=k') donc, d'après le Premier Théorème d'isomorphismes, K/Ker σ est isomorphe à K et à Im σ. D'où Im θ = K = Im σ = σ(k). On en déduit que G = ϕ(h) σ(k) = ϕ(h)σ(k) d'après la Proposition. D'où G=ϕ(H)σ(K). G est le produit semi-direct de ϕ(h) par σ(k). Corollaire Soit G le groupe produit de deux groupes H et K. Alors, G est le produit semi-direct de H {1} (isomorphe à H) par {1} K (isomorphe à K). Démonstration On prend, dans la Proposition précédente, ϕ=ι H l'injection canonique de H {1} dans G, θ(g)=(1,p(g)) où p est la projection canonique de G sur K et σ=ι K l'injection canonique de {1} K dans G. 3 Produit semi-direct de groupes Soient H et K deux groupes. Soit ϕ un homomorphisme de K dans Aut(H). Pour tout k appartenant à K, on note ϕ k à la place ϕ(k). Proposition L'ensemble G=H K muni de la loi (h,k)(h',k')=(hϕ k (h'),kk') est un groupe. 4

5 Démonstration Comme H et K ne sont pas vides, G n'est pas vide. Pour tous h' de H et k de K, ϕ k (h') appartient à H, (hϕ k (h'),kk') appartient à G pour tous h et h' de H et k et k' de K. Montrons que la loi est asociative : soient h, h' et h" appartenant à H et k, k' et k" appartenant à K. D'une part, ((h, k)(h, k ))(h, k ) = (hϕ k (h ), kk )(h, k ) D'autre part, = (hϕ k (h )ϕ kk (h ), kk k ) = (hϕ k (h )ϕ k (ϕ k (h )), kk k ) car ϕ est un homomorphisme. (h, k)((h, k )(h, k )) = (h, k)(h ϕ k (h ), k k ) = (hϕ k (h ϕ k (h )), kk k ) = (hϕ k (h )ϕ k (ϕ k (h )), kk k ) car ϕ k est un homomorphisme. D'où ((h,k)(h',k'))(h",k")=(h,k)((h',k')(h",k")) et la loi est asoociative. Pour tous h de H et k de K, (h,k)(1,1)=(hϕ k (1),k1)=(h,Id(1),k)=(h,k) car ϕ est un homomorphisme. D'où la loi admet un élément neutre : (1,1). Soient h appartenant à H et k appartenant à K. Comme ϕ k est bijective, il existe un élément h' de H tel que ϕ k (h')=h 1. D'où, (h, k)(h, k 1 ) = (hh 1, kk 1 )=(1,1). Comme ϕ est un homomorphisme, ϕ k 1 = ϕ k 1. D'où, ϕk 1(h 1 )=h'. ϕ k 1 est un homomorphisme donc ϕ k 1(h) = ϕ k 1((h 1 ) 1 ) = ϕ k 1(h 1 ) 1 = h 1. On en déduit que (h, k 1 )(h, k) = (h h 1, k 1 k)=(1,1). D'où, (h,k) admet (ϕ k 1(h 1 ), k 1 ) comme inverse. Donc G=H K est un groupe pour la loi (h,k)(h',k')=(hϕ k (h'),kk'). Dénition Le groupe G=H K muni de la loi (h,k)(h',k')=(hϕ k (h'),kk') est appelé produit semi-direct de H par K relativement à ϕ et est noté H ϕ K. Exemple Soient G un groupe, N un sous-groupe normal de G et K un sous-groupe de G. Alors, G est le produit semi-direct de N par K par l'homomorphisme ϕ déni de K dans Aut(N) par ϕ(k) : n knk 1. Proposition Soient H'=H {1} et K'={1} K. Alors, G=H K est le produit semi-direct de H par K. Démonstration H' n'est pas vide puisque (1,1) appartient à H'. Soient (h,1) et (h',1) appartenant à H. 5

6 On a (h, 1)(h, 1) 1 = (h, 1)(ϕ 1 1(h 1 ), 1 1 ) = (h, 1)(Id(h 1 ), 1) = (h, 1)(h 1, 1) = (hϕ 1 (h 1 ), 1) = (hid(h 1 ), 1) = (hh 1, 1) donc (h, 1)(h, 1) 1 appartient à H' et par conséquent, H' est un sous-groupe de G. Soit (x,1) appartenant à H' et (h,k) appartenant à G. On a (h, k)(x, 1)(h, k) 1 = (hϕ k (x), k)(ϕ k 1(h 1 ), k 1 ) = (hϕ k (x)ϕ k (ϕ k 1(h 1 )), kk 1 ) = (hϕ k (x)ϕ kk 1(h 1 ), 1) = (hϕ k (x)id(h 1 ), 1) = (hϕ k (x)h 1, 1). Comme ϕ k (x) appartient à H par dénition de ϕ, hϕ k (x)h 1 appartient à h et par conséquent, (hϕ k (x)h 1, 1) appartient à H'. D'où, H' est un sous-groupe normal de G. K' n'est pas vide puisque (1,1) appartient à K'. Soient (1,k) et (1,k') appartenant à K'. On a (1, k)(1, k ) 1 = (1, k)(ϕ k 1(1), k 1 ) = (1, k)(1, k 1 ) = (1ϕ k (1), kk 1 ) = (1, kk 1 ). Donc (1, k)(1, k ) 1 et par conséquent, K' est un sous-groupe de G. Il est clair que H' K = {(1, 1)}. D'après la Proposition Cardinal HK, H K = H K = H K = H K = G H K donc G=H'K'. D'où, G est le produit semi-direct de H' par K'. Proposition Soient H' un groupe isomorphe à H par un isomorphisme σ : H H et K' un groupe isomorphe à K par un isomorphisme θ : K K. Soit φ l'application de K' dans {f : H H } dénie par φ k (h ) = σ 1 (ϕ θ(k )(σ(h ))) (où on a posé φ k = φ(k')). Alors, φ est un homomophisme de K' dans Aut(H') et H' φ K' est isomorphe à H ϕ K. Démonstration Montrons que pour tout k' de K', φ k est un automorphisme de H' : soient h' et h" appartenant à H'. 6

7 φ k(h h ) = σ 1 (ϕ θ(k )(σ(h h ))) = σ 1 (ϕ θ(k )(σ(h )σ(h ))) car σ est un homomorphisme = σ 1 (ϕ θ(k )(σ(h ))ϕ θ(k )(σ(h )) car ϕ θ(k ) est un homomorphisme = σ 1 (ϕ θ(k )(σ(h )))σ 1 (ϕ θ(k )(σ(h ))) car σ 1 est un homomorphisme = φ k(h )φ k(h ) donc φ k est un endomorphisme de H'. Soit h' appartenant à H'. φ k 1(φ k (h )) = φ k 1(σ 1 (ϕ θ(k )(σ(h )))) = σ 1 (ϕ θ(k 1 )(σ(σ 1 (ϕ θ(k )(σ(h )))))) = σ 1 (ϕ θ(k 1 )(ϕ θ(k )(σ(h )))) = σ 1 (ϕ (θ(k )) 1(ϕ θ(k )(σ(h )))) = σ 1 ((ϕ θ(k )) 1 (ϕ θ(k )(σ(h )))) = σ 1 (σ(h )) = h et de même, φ(φ k 1(h ))=h'. Donc φ k est un automorphisme de H' d'inverse φ k 1. Montrons que H' φ K' est isomorphe à H ϕ K : soit f l'application de H' φ K' dans H ϕ K dénie par f(h',k')=(σ(h ), θ(k )). Montrons que f est un isomorphisme : soient (h',k') et (h",k") appartenant à H' φ K'. f((h, k )(h, k )) = f(h φ k (h ), k k ) = (σ(h φ k (h )), θ(k k )) = (σ(h )σ(φ k (h )), θ(k )θ(k )) car σ et θ sont des homomorphismes = (σ(h )σ(σ 1 (ϕ θ(k )(σ(h )))), θ(k )θ(k )) = (σ(h )ϕ θ(k )(σ(h )), θ(k )θ(k )) = (σ(h ), θ(k ))(σ(h ), θ(k )) = f(h, k )f(h, k ) donc f est un homomorphisme. Soit g l'application de H ϕ K dans H' φ K' dénie par g(h,k)= (σ 1 (h), θ 1 (k)). Soient (h',k') appartenant à H' φ K' et (h,k) à H ϕ K. g(f(h, k )) = g(σ(h ), θ(k )) = (σ 1 (σ(h )), θ 1 (θ(k ))) = (h, k ) et f(g(h, k)) = f(σ 1 (h), θ 1 (k)) = (σ(σ 1 (h)), θ(θ 1 (k))) = (h, k). Donc, f est un isomorphisme d'inverse g. H' φ K' est isomorphe à H ϕ K. 7

Groupes symétriques et alternés

Groupes symétriques et alternés Groupes symétriques et alternés Table des matières 1 Groupe S n 2 2 Cycles 4 2.1 Dénition.................................. 4 2.2 Décomposition d'une permutation..................... 5 3 Classes de conjugaison

Plus en détail

Proposition. Si G est un groupe simple d ordre 60 alors G est isomorphe à A 5.

Proposition. Si G est un groupe simple d ordre 60 alors G est isomorphe à A 5. DÉVELOPPEMENT 32 A 5 EST LE SEUL GROUPE SIMPLE D ORDRE 60 Proposition. Si G est un groupe simple d ordre 60 alors G est isomorphe à A 5. Démonstration. On considère un groupe G d ordre 60 = 2 2 3 5 et

Plus en détail

Structures algébriques

Structures algébriques Structures algébriques 1. Lois de composition s Soit E un ensemble. Une loi de composition interne sur E est une application de E E dans E. Soient E et F deux ensembles. Une loi de composition externe

Plus en détail

Fiche n 2: Morphisme, sous-groupe distingué, quotient

Fiche n 2: Morphisme, sous-groupe distingué, quotient Université Lille 1 Algèbre 2010/11 M51.MIMP Fiche n 2: Morphisme, sous-groupe distingué, quotient Exercice 1 Soient G, G deux groupes et f un homomorphisme de G dans G. Montrer que si A G, alors f( A )

Plus en détail

Le produit semi-direct

Le produit semi-direct Le produit semi-direct Préparation à l agrégation de mathématiques Université de Nice - Sophia Antipolis Antoine Ducros Octobre 2007 Ce texte est consacré, comme son titre l indique, au produit semi-direct.

Plus en détail

Groupe symétrique. Chapitre II. 1 Définitions et généralités

Groupe symétrique. Chapitre II. 1 Définitions et généralités Chapitre II Groupe symétrique 1 Définitions et généralités Définition. Soient n et X l ensemble 1,..., n. On appelle permutation de X toute application bijective f : X X. On note S n l ensemble des permutations

Plus en détail

Axiomatique de N, construction de Z

Axiomatique de N, construction de Z Axiomatique de N, construction de Z Table des matières 1 Axiomatique de N 2 1.1 Axiomatique ordinale.................................. 2 1.2 Propriété fondamentale : Le principe de récurrence.................

Plus en détail

Jusqu'à présent. Au programme. Cardinalité Ensembles nis Ensembles dénombrables. Relations Opérations Relations. Conclusions. Nous avons déjà abordé

Jusqu'à présent. Au programme. Cardinalité Ensembles nis Ensembles dénombrables. Relations Opérations Relations. Conclusions. Nous avons déjà abordé Jusqu'à présent Nous avons déjà abordé Vers l'inni David Teller 23/01/2007 Les ensembles Le regroupement de valeurs caractérisées par des critères. Informatique Types. Physique Unités. Logique Domaines.

Plus en détail

Problèmes de Mathématiques Filtres et ultrafiltres

Problèmes de Mathématiques Filtres et ultrafiltres Énoncé Soit E un ensemble non vide. On dit qu un sous-ensemble F de P(E) est un filtre sur E si (P 0 ) F. (P 1 ) (X, Y ) F 2, X Y F. (P 2 ) X F, Y P(E) : X Y Y F. (P 3 ) / F. Première Partie 1. Que dire

Plus en détail

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples

Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples 45 Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples Les espaces vectoriels considérés sont réels, non réduits au vecteur nul et

Plus en détail

Devoir à la maison : correction

Devoir à la maison : correction Calcul différentiel 2 Sous-variétés : bilan Devoir à la maison : correction Exercice 1. Un exemple de sous-variété : les structures complexes Soit E un R-espace vectoriel. Montrer que la donnée d une structure

Plus en détail

Les calculatrices, téléphones, tablettes, ordinateurs et autres appareils électroniques similaires, ainsi que les documents sont interdits.

Les calculatrices, téléphones, tablettes, ordinateurs et autres appareils électroniques similaires, ainsi que les documents sont interdits. Les calculatrices, téléphones, tablettes, ordinateurs et autres appareils électroniques similaires, ainsi que les documents sont interdits 1 La qualité de la rédaction est un facteur important dans l appréciation

Plus en détail

Un K-espace vectoriel est un ensemble non vide E muni : d une loi de composition interne, c est-à-dire d une application de E E dans E : E E E

Un K-espace vectoriel est un ensemble non vide E muni : d une loi de composition interne, c est-à-dire d une application de E E dans E : E E E Exo7 Espaces vectoriels Vidéo partie 1. Espace vectoriel (début Vidéo partie 2. Espace vectoriel (fin Vidéo partie 3. Sous-espace vectoriel (début Vidéo partie 4. Sous-espace vectoriel (milieu Vidéo partie

Plus en détail

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion

Plus en détail

Espaces vectoriels. Université d Orléans Année 2009-2010 Espaces vectoriels et applications linéaires. 2MA01-Licence de Mathématiques

Espaces vectoriels. Université d Orléans Année 2009-2010 Espaces vectoriels et applications linéaires. 2MA01-Licence de Mathématiques Université d Orléans Année 2009-2010 Espaces vectoriels et applications linéaires 2MA01-Licence de Mathématiques Espaces vectoriels Exercice 1 Soit E un espace vectoriel. Pour x, y E et λ, µ K, montrer

Plus en détail

De la structure des foncteurs polynomiaux sur les espaces hermitiens

De la structure des foncteurs polynomiaux sur les espaces hermitiens De la structure des foncteurs polynomiaux sur les espaces hermitiens Aurélien DJAMENT et Christine VESPA 26 juillet 2013 Introduction La notion de foncteur polynomial entre des catégories de modules remonte

Plus en détail

BJ - RELATIONS BINAIRES

BJ - RELATIONS BINAIRES BJ - RELATIONS BINAIRES Définitions Soit A et B deux ensembles non vides, et G une partie de A B. On dit qu un élément x de A est relié à un élément y de B par une relation binaire de graphe G, si le couple

Plus en détail

Leçon 6. Savoir compter

Leçon 6. Savoir compter Leçon 6. Savoir compter Cette leçon est une introduction aux questions de dénombrements. Il s agit, d une part, de compter certains objets mathématiques (éléments, parties, applications,...) et, d autre

Plus en détail

Espaces vectoriels et applications

Espaces vectoriels et applications Espaces vectoriels et applications linéaires 1 Définitions On parle d espaces vectoriels sur le corps R ou sur le corps C. Les définitions sont les mêmes en substituant R à C ou vice versa. Définition

Plus en détail

Théorèmes du Point Fixe et Applications aux Equations Diérentielles

Théorèmes du Point Fixe et Applications aux Equations Diérentielles Université de Nice-Sophia Antipolis Mémoire de Master 1 de Mathématiques Année 2006-2007 Théorèmes du Point Fixe et Applications aux Equations Diérentielles Auteurs : Clémence MINAZZO - Kelsey RIDER Responsable

Plus en détail

Résumé du cours d algèbre 1, 2013-2014. Sandra Rozensztajn. UMPA, ENS de Lyon, sandra.rozensztajn@ens-lyon.fr

Résumé du cours d algèbre 1, 2013-2014. Sandra Rozensztajn. UMPA, ENS de Lyon, sandra.rozensztajn@ens-lyon.fr Résumé du cours d algèbre 1, 2013-2014 Sandra Rozensztajn UMPA, ENS de Lyon, sandra.rozensztajn@ens-lyon.fr CHAPITRE 0 Relations d équivalence et classes d équivalence 1. Relation d équivalence Définition

Plus en détail

Programme de mathématiques TSI1

Programme de mathématiques TSI1 Programme de mathématiques TSI1 1. PROGRAMME DE DÉBUT D ANNÉE I. Nombres complexes et géométrie élémentaire 1. Nombres complexes 1 2. Géométrie élémentaire du plan 3 3. Géométrie élémentaire de l espace

Plus en détail

Les relations de Plücker

Les relations de Plücker Université Claude Bernard LYON 1 Préparation à l'agrégation de Mathématiques Les relations de Plücker Michel CRETIN On montre que l'ensemble des sous-espaces vectoriels de dimension r de K n est la sous-variété

Plus en détail

NOTATIONS PRÉLIMINAIRES

NOTATIONS PRÉLIMINAIRES Pour le Jeudi 14 Octobre 2010 NOTATIONS Soit V un espace vectoriel réel ; l'espace vectoriel des endomorphismes de l'espace vectoriel V est désigné par L(V ). Soit f un endomorphisme de l'espace vectoriel

Plus en détail

Théorie spectrale. Stéphane Maingot & David Manceau

Théorie spectrale. Stéphane Maingot & David Manceau Théorie spectrale Stéphane Maingot & David Manceau 2 Théorie spectrale 3 Table des matières Introduction 5 1 Spectre d un opérateur 7 1.1 Inversibilité d un opérateur........................... 7 1.2 Définitions

Plus en détail

www.h-k.fr/publications/objectif-agregation

www.h-k.fr/publications/objectif-agregation «Sur C, tout est connexe!» www.h-k.fr/publications/objectif-agregation L idée de cette note est de montrer que, contrairement à ce qui se passe sur R, «sur C, tout est connexe». Cet abus de langage se

Plus en détail

La Longue Marche à travers la théorie de Galois, Part Ib, 26-37

La Longue Marche à travers la théorie de Galois, Part Ib, 26-37 La Longue Marche à travers la théorie de Galois, Part Ib, 26-37 26. Groupes de Teichmüller profinis (Discrétification et prédiscrétification) Soit π un groupe profini à lacets de type g, ν, T le Ẑ-module

Plus en détail

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.

Plus en détail

RAPHAËL ROUQUIER. 1. Introduction

RAPHAËL ROUQUIER. 1. Introduction CATÉGORIES DÉRIVÉES ET GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE Trois exposés à la semaine «Géométrie algébrique complexe» au CIRM, Luminy, décembre 2003 1. Introduction On étudie dans un premier temps les propriétés internes

Plus en détail

Exemple 4.4. Continuons l exemple précédent. Maintenant on travaille sur les quaternions et on a alors les décompositions

Exemple 4.4. Continuons l exemple précédent. Maintenant on travaille sur les quaternions et on a alors les décompositions Exemple 4.4. Continuons l exemple précédent. Maintenant on travaille sur les quaternions et on a alors les décompositions HQ = He 1 He 2 He 3 He 4 HQ e 5 comme anneaux (avec centre Re 1 Re 2 Re 3 Re 4

Plus en détail

Cours de mathématiques

Cours de mathématiques DEUG MIAS premier niveau Cours de mathématiques année 2003/2004 Guillaume Legendre (version révisée du 3 avril 2015) Table des matières 1 Éléments de logique 1 1.1 Assertions...............................................

Plus en détail

Mathématiques Algèbre et géométrie

Mathématiques Algèbre et géométrie Daniel FREDON Myriam MAUMY-BERTRAND Frédéric BERTRAND Mathématiques Algèbre et géométrie en 30 fiches Daniel FREDON Myriam MAUMY-BERTRAND Frédéric BERTRAND Mathématiques Algèbre et géométrie en 30 fiches

Plus en détail

Développement décimal d un réel

Développement décimal d un réel 4 Développement décimal d un réel On rappelle que le corps R des nombres réels est archimédien, ce qui permet d y définir la fonction partie entière. En utilisant cette partie entière on verra dans ce

Plus en détail

Premiers exercices d Algèbre. Anne-Marie Simon

Premiers exercices d Algèbre. Anne-Marie Simon Premiers exercices d Algèbre Anne-Marie Simon première version: 17 août 2005 version corrigée et complétée le 12 octobre 2010 ii Table des matières 1 Quelques structures ensemblistes 1 1.0 Ensembles, relations,

Plus en détail

La filtration de Krull de la catégorie U et la cohomologie des espaces

La filtration de Krull de la catégorie U et la cohomologie des espaces ISSN 1472-2739 (on-line) 1472-2747 (printed) 519 Algebraic & Geometric Topology Volume 1 (2001) 519 548 Published: 5 Octoberber 2001 ATG La filtration de Krull de la catégorie U et la cohomologie des espaces

Plus en détail

ÉLÉMENTS D ANALYSE ET D ALGÈBRE. Pierre COLMEZ

ÉLÉMENTS D ANALYSE ET D ALGÈBRE. Pierre COLMEZ ÉLÉMENTS D ANALYSE ET D ALGÈBRE Pierre COLMEZ Pierre COLMEZ C.M.L.S., École Polytechnique, 91128 Palaiseau Cedex, France. ÉLÉMENTS D ANALYSE ET D ALGÈBRE Pierre COLMEZ TABLE DES MATIÈRES Vocabulaire Mathématique....................................................................

Plus en détail

Classification des structures CR invariantes pour les groupes de Lie compacts.

Classification des structures CR invariantes pour les groupes de Lie compacts. Journal of Lie Theory Volume 14 (2004) 165 198 c 2004 Heldermann Verlag Classification des structures CR invariantes pour les groupes de Lie compacts. Jean-Yves Charbonnel et Hella Ounaïes Khalgui Communicated

Plus en détail

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1 . Sous-ensembles de R n et fonctions (suite) 1 Nappes paramétrées Si f une fonction de deux variables, son graphe est une surface incluse dans R 3 : {(x, y, f(x, y)) / (x, y) R 2 }. Une telle surface s

Plus en détail

Feuille G1 RAPPEL SUR LES GROUPES

Feuille G1 RAPPEL SUR LES GROUPES Université Joseph Fourier Licence de Mathématiques Année 2004/2005 Algèbre II Michael Eisermann Feuille G1 RAPPEL SUR LES GROUPES Mode d emploi. Tout énoncé portant un numéro est un exercice, parfois implicite.

Plus en détail

Cours arithmétique et groupes. Licence première année, premier semestre

Cours arithmétique et groupes. Licence première année, premier semestre Cours arithmétique et groupes. Licence première année, premier semestre Raphaël Danchin, Rejeb Hadiji, Stéphane Jaffard, Eva Löcherbach, Jacques Printems, Stéphane Seuret Année 2006-2007 2 Table des matières

Plus en détail

Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema.

Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema. Chapitre 5 Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema. On s intéresse dans ce chapitre aux dérivées d ordre ou plus d une fonction de plusieurs variables. Comme pour une fonction d une

Plus en détail

2 Opérateurs non bornés dans un espace de Hilbert

2 Opérateurs non bornés dans un espace de Hilbert 2 Opérateurs non bornés dans un espace de Hilbert 2. Opérateurs non bornés: définitions et propriétés élémentaires Soit H un espace de Hilbert et A un opérateur dans H, c est-à-dire, une application linéaire

Plus en détail

Jean-Pierre Serre EXPOSÉS DE SÉMINAIRES (1950 1999) DOCUMENTS MATHÉMATIQUES 1

Jean-Pierre Serre EXPOSÉS DE SÉMINAIRES (1950 1999) DOCUMENTS MATHÉMATIQUES 1 Jean-Pierre Serre EXPOSÉS DE SÉMINAIRES (1950 1999) DEUXIÈME ÉDITION, AUGMENTÉE DOCUMENTS MATHÉMATIQUES 1 Société Mathématique de France 2008 EXPOSÉS DE SÉMINAIRES (1950 1999) DEUXIÈME ÉDITION, AUGMENTÉE

Plus en détail

UNIVERSITE IBN ZOHR Faculté des sciences Agadir. Filière SMA & SMI. Semestre 1. Module : Algèbre 1

UNIVERSITE IBN ZOHR Faculté des sciences Agadir. Filière SMA & SMI. Semestre 1. Module : Algèbre 1 UNIVERSITE IBN ZOHR Faculté des sciences Agadir Filière SMA & SMI Semestre 1 Module : Algèbre 1 Année universitaire : 011-01 A. Redouani & E. Elqorachi 1 Contenu du Module : Chapitre 1 : Introduction Logique

Plus en détail

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015 Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k

Plus en détail

Fonctions analytiques

Fonctions analytiques CHAPITRE Fonctions analytiques Les principaux résultats à retenir : soit U un ouvert de C et f : U C. f est analytique sur U si et seulement si f est développable en série entière au voisinage de chaque

Plus en détail

Capes 2002 - Première épreuve

Capes 2002 - Première épreuve Cette correction a été rédigée par Frédéric Bayart. Si vous avez des remarques à faire, ou pour signaler des erreurs, n hésitez pas à écrire à : mathweb@free.fr Mots-clés : équation fonctionnelle, série

Plus en détail

Olivier Debarre ALGÈBRE 2 ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

Olivier Debarre ALGÈBRE 2 ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE Olivier Debarre ALGÈBRE 2 ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE 2012 2013 Olivier Debarre ALGÈBRE 2 ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE 2012 2013 Olivier Debarre TABLE DES MATIÈRES I. Extensions de corps......................................................................

Plus en détail

Mathématiques autour de la cryptographie.

Mathématiques autour de la cryptographie. Mathématiques autour de la cryptographie. Index Codage par division Codage série Code cyclique Code dual Code linéaire Corps de Galois Elément primitif m séquence Matrice génératrice Matrice de contrôle

Plus en détail

À propos des matrices échelonnées

À propos des matrices échelonnées À propos des matrices échelonnées Antoine Ducros appendice au cours de Géométrie affine et euclidienne dispensé à l Université Paris 6 Année universitaire 2011-2012 Introduction Soit k un corps, soit E

Plus en détail

VI. COMPLÉMENTS SUR LES MODULES, THÉORÈME CHINOIS, FACTEURS INVARIANTS SÉANCES DU 15, 16 ET 22 OCTOBRE

VI. COMPLÉMENTS SUR LES MODULES, THÉORÈME CHINOIS, FACTEURS INVARIANTS SÉANCES DU 15, 16 ET 22 OCTOBRE VI. COMPLÉMENTS SUR LES MODULES, THÉORÈME CHINOIS, FACTEURS INVARIANTS SÉANCES DU 15, 16 ET 22 OCTOBRE 12. Compléments sur les modules 12.1. Théorème de Zorn et conséquences. Soient A un anneau commutatif

Plus en détail

Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications

Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010 Applications 1 Introduction Une fonction f (plus précisément, une fonction réelle d une variable réelle) est une règle qui associe à tout réel x au

Plus en détail

TIQUE DE FRANCE NILSYSTÈMES D ORDRE 2 ET PARALLÉLÉPIPÈDES

TIQUE DE FRANCE NILSYSTÈMES D ORDRE 2 ET PARALLÉLÉPIPÈDES Bulletin de la SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE NILSYSTÈMES D ORDRE 2 ET PARALLÉLÉPIPÈDES Bernard Host & Alejandro Maass Tome 135 Fascicule 3 2007 SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE Publié avec le concours du

Plus en détail

Algèbres de von Neumann et théorie ergodique des actions de groupes

Algèbres de von Neumann et théorie ergodique des actions de groupes Algèbres de von Neumann et théorie ergodique des actions de groupes Séminaire Tripode, ENS Lyon, Juin 2008. Stefaan Vaes 1/22 Sujet de l exposé 1 Introduction aux relations d équivalence dénombrables,

Plus en détail

Condition de stabilité d'un réseau de les d'attente à deux stations et N classes de clients 1

Condition de stabilité d'un réseau de les d'attente à deux stations et N classes de clients 1 General Mathematics Vol. 18, No. 4 (2010), 85108 Condition de stabilité d'un réseau de les d'attente à deux stations et N classes de clients 1 Faiza Belarbi, Amina Angelika Bouchentouf Résumé Nous étudions

Plus en détail

par Denis-Charles Cisinski & Georges Maltsiniotis

par Denis-Charles Cisinski & Georges Maltsiniotis LA CATÉGORIE Θ DE JOYAL EST UNE CATÉGORIE TEST par Denis-Charles Cisinski & Georges Maltsiniotis Résumé. Le but principal de cet article est de prouver que la catégorie cellulaire Θ de Joyal est une catégorie

Plus en détail

chapitre 4 Nombres de Catalan

chapitre 4 Nombres de Catalan chapitre 4 Nombres de Catalan I Dénitions Dénition 1 La suite de Catalan (C n ) n est la suite dénie par C 0 = 1 et, pour tout n N, C n+1 = C k C n k. Exemple 2 On trouve rapidement C 0 = 1, C 1 = 1, C

Plus en détail

Démonstrations exigibles au bac

Démonstrations exigibles au bac Démonstrations exigibles au bac On donne ici les 11 démonstrations de cours répertoriées comme exigibles dans le programme officiel. Toutes ces démonstrations peuvent donner lieu à une «restitution organisée

Plus en détail

Formes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions

Formes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions Formes quadratiques Imen BHOURI 1 Ce cours s adresse aux étudiants de niveau deuxième année de Licence et à ceux qui préparent le capes. Il combine d une façon indissociable l étude des concepts bilinéaires

Plus en détail

Moments des variables aléatoires réelles

Moments des variables aléatoires réelles Chapter 6 Moments des variables aléatoires réelles Sommaire 6.1 Espérance des variables aléatoires réelles................................ 46 6.1.1 Définition et calcul........................................

Plus en détail

Une introduction au programme de Langlands

Une introduction au programme de Langlands UNIVERSITÉ DE POITIERS Master 2 de Mathématiques Fondamentales Année 2010/2011 Une introduction au programme de Langlands par Paul Broussous 1 2 Avant Propos Ces notes sont un résumé d un cours de Master

Plus en détail

X. PRODUIT TENSORIEL ET APPLICATIONS, LOCALISATION SÉANCE ADDITIONNELLE DU 4 DÉCEMBRE (HORS DU PROGRAMME DE L EXAMEN)

X. PRODUIT TENSORIEL ET APPLICATIONS, LOCALISATION SÉANCE ADDITIONNELLE DU 4 DÉCEMBRE (HORS DU PROGRAMME DE L EXAMEN) X. PRODUIT TENSORIEL ET APPLICATIONS, LOCALISATION SÉANCE ADDITIONNELLE DU 4 DÉCEMBRE (HORS DU PROGRAMME DE L EXAMEN) 23. Produit tensoriel (17) Soit A un anneau commutatif et soient M, N deux A-modules.

Plus en détail

Cohomologie Étale (SGA 4 1 2 )

Cohomologie Étale (SGA 4 1 2 ) Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois-Marie Cohomologie Étale (SGA 4 1 2 ) par P. Deligne avec la collaboration de J.F. Boutot, A. Grothendieck, L. Illusie et J.L. Verdier 1977 i Typesetters note This

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I

Plus en détail

Calcul différentiel sur R n Première partie

Calcul différentiel sur R n Première partie Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité

Plus en détail

Exo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.

Exo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin. Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).

Plus en détail

Rapport de stage de L3

Rapport de stage de L3 Licence 3 de Mathématiques ENS Cachan-Bretagne Année 2008-2009 Rapport de stage de L3 A propos de la théorie géométrique des groupes, moyennabilité, propriété (T)... 1 Table des matières 1 Un peu de groupes

Plus en détail

Planche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé

Planche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette

Plus en détail

Extensions Galoisiennes

Extensions Galoisiennes Extensions Galoisiennes Florent Mayencourt Professeur : Bayer Fluckiger Eva Sous la direction de Pickett Erik Jarl EPFL, Semestre d'hivers 2009 La mathématique est une science dangereuse : elle dévoile

Plus en détail

Opérateurs non-bornés

Opérateurs non-bornés Master Mathématiques Analyse spectrale Chapitre 4. Opérateurs non-bornés 1 Domaine, graphe et fermeture Soit H un espace de Hilbert. On rappelle que H H est l espace de Hilbert H H muni du produit scalaire

Plus en détail

Introduction a l'algorithmique des objets partages. Robert Cori. Antoine Petit. Lifac, ENS Cachan, 94235 Cachan Cedex. Resume

Introduction a l'algorithmique des objets partages. Robert Cori. Antoine Petit. Lifac, ENS Cachan, 94235 Cachan Cedex. Resume Introduction a l'algorithmique des objets partages Bernadette Charron{Bost Robert Cori Lix, Ecole Polytechnique, 91128 Palaiseau Cedex, France, charron@lix.polytechnique.fr cori@lix.polytechnique.fr Antoine

Plus en détail

Construction d un cercle tangent à deux cercles donnés.

Construction d un cercle tangent à deux cercles donnés. Préparation au CAPES Strasbourg, octobre 2008 Construction d un cercle tangent à deux cercles donnés. Le problème posé : On se donne deux cercles C et C de centres O et O distincts et de rayons R et R

Plus en détail

Programme de la classe de première année MPSI

Programme de la classe de première année MPSI Objectifs Programme de la classe de première année MPSI I - Introduction à l analyse L objectif de cette partie est d amener les étudiants vers des problèmes effectifs d analyse élémentaire, d introduire

Plus en détail

Relation d ordre. Manipulation des relations d ordre. Lycée Pierre de Fermat 2012/2013 Feuille d exercices

Relation d ordre. Manipulation des relations d ordre. Lycée Pierre de Fermat 2012/2013 Feuille d exercices Lycée Pierre de Fermat 2012/2013 MPSI 1 Feuille d exercices Manipulation des relations d ordre. Relation d ordre Exercice 1. Soit E un ensemble fixé contenant au moins deux éléments. On considère la relation

Plus en détail

Eléments de théorie des corps finis.

Eléments de théorie des corps finis. Université de Rouen Agrégation de mathématiques 2005-2006 Eléments de théorie des corps finis. Application : les codes correcteurs. Nicolas Bruyère Table des matières I Les corps finis 1 1 Corps finis

Plus en détail

La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1

La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1 La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1 La licence Mathématiques et Economie-MASS de l Université des Sciences Sociales de Toulouse propose sur les trois

Plus en détail

Cours d algèbre. Maths1 LMD Sciences et Techniques. Par M. Mechab

Cours d algèbre. Maths1 LMD Sciences et Techniques. Par M. Mechab Cours d algèbre Maths1 LMD Sciences et Techniques Par M. Mechab 2 Avant Propos Ceci est un avant projet d un manuel de la partie Algèbre du cours de Mathématiques de premières années LMD Sciences et techniques

Plus en détail

Éléments d analyse convexe

Éléments d analyse convexe Éléments d analyse convexe Cours de M1 Mathématiques Fondamentales Université Paul Sabatier Pierre Maréchal Table des matières 1 Préliminaires 2 1.1 Notations et définitions élémentaires................

Plus en détail

Cours de Probabilités et de Statistique

Cours de Probabilités et de Statistique Cours de Probabilités et de Statistique Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université Paris-Est Cours de Proba-Stat 2 L1.2 Science-Éco Chapitre Notions de théorie des ensembles 1 1.1 Ensembles

Plus en détail

Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire

Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la Programmation Linéaire. 5 . Introduction Un programme linéaire s'écrit sous la forme suivante. MinZ(ou maxw) =

Plus en détail

Exo7. Sujets de l année 2008-2009. 1 Partiel. Enoncés et corrections : Sandra Delaunay. Exercice 1 Soit A une matrice 2 2 à coefficients réels.

Exo7. Sujets de l année 2008-2009. 1 Partiel. Enoncés et corrections : Sandra Delaunay. Exercice 1 Soit A une matrice 2 2 à coefficients réels. Enoncés et corrections : Sandra Delaunay Exo7 Sujets de l année 28-29 1 Partiel Exercice 1 Soit A une matrice 2 2 à coefficients réels. On suppose a + c = b + d = 1 et a b 1. ( ) a b c d 1. Soient (x 1,x

Plus en détail

L'algèbre de Boole (1)

L'algèbre de Boole (1) L'algèbre de Boole (1) (1) Georges BOOLE Né le 2 novembre 1815 à Lincoln, dans le Lincolnshire (Angletere), décédé le 8 décembre 1864 à Ballintemple (Ireland). Mathématicien et logicien qui créa une algèbre

Plus en détail

Calcul rapide des puissances

Calcul rapide des puissances Calcul rapide des puissances Par Mathtous Il s'agit de puissances à exposant entier naturel (avec la convention a 0 = 1, et a 1 = a). Si on applique la dénition pour calculer a n, on calcule de proche

Plus en détail

Calcul différentiel. Chapitre 1. 1.1 Différentiabilité

Calcul différentiel. Chapitre 1. 1.1 Différentiabilité Chapitre 1 Calcul différentiel L idée du calcul différentiel est d approcher au voisinage d un point une fonction f par une fonction plus simple (ou d approcher localement le graphe de f par un espace

Plus en détail

Cours3. Applications continues et homéomorphismes. 1 Rappel sur les images réciproques

Cours3. Applications continues et homéomorphismes. 1 Rappel sur les images réciproques Université de Provence Topologie 2 Cours3. Applications continues et homéomorphismes 1 Rappel sur les images réciproques Soit une application f d un ensemble X vers un ensemble Y et soit une partie P de

Plus en détail

Université de Nantes Année 2009-2010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques. Topologie et calculs différentiel Liste n 5

Université de Nantes Année 2009-2010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques. Topologie et calculs différentiel Liste n 5 Université de Nantes Année 009-010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques Topologie et calculs différentiel Liste n 5 Applications Différentiables Exercice 1. Soit f : R n

Plus en détail

Construction de l'intégrale de Lebesgue

Construction de l'intégrale de Lebesgue Université d'artois Faculté des ciences Jean Perrin Mesure et Intégration (Licence 3 Mathématiques-Informatique) Daniel Li Construction de l'intégrale de Lebesgue 10 février 2011 La construction de l'intégrale

Plus en détail

MAT 721: Algèbre non commutative. Chapitre I: Algèbres. 1.1 Définitions et exemples

MAT 721: Algèbre non commutative. Chapitre I: Algèbres. 1.1 Définitions et exemples MAT 721: Algèbre non commutative Chapitre I: Algèbres 1.1 Définitions et exemples Dans notre terminologie, un anneau R admet toujours un élément identité 1 R R-module à droite M est toujours unifère, c

Plus en détail

Corrigé Pondichéry 1999

Corrigé Pondichéry 1999 Corrigé Pondichéry 999 EXERCICE. = 8 = i ). D'où les solutions de l'équation : z = + i et z = z = i. a. De manière immédiate : z = z = b. Soit θ la mesure principale de arg z : cos θ = Par suite arg z

Plus en détail

PROPRIÉTÉS UNIVERSELLES ET EXTENSIONS DE KAN DÉRIVÉES

PROPRIÉTÉS UNIVERSELLES ET EXTENSIONS DE KAN DÉRIVÉES PROPRIÉTÉS UNIVERSELLES ET EXTENSIONS DE KAN DÉRIVÉES DENIS-CHARLES CISINSKI Résumé. On démontre que pour toute petite catégorie A, le dérivateur HOT A associé à la théorie de l homotopie des préfaisceaux

Plus en détail

3. Conditionnement P (B)

3. Conditionnement P (B) Conditionnement 16 3. Conditionnement Dans cette section, nous allons rappeler un certain nombre de définitions et de propriétés liées au problème du conditionnement, c est à dire à la prise en compte

Plus en détail

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés 2012-2013 1 Petites questions 1) Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? 2) Si F et G sont deux tribus, est-ce que F G est toujours une tribu?

Plus en détail

L usage de la calculatrice n est pas autorisé.

L usage de la calculatrice n est pas autorisé. e3a Concours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMÈDE Épreuve de Mathématiques A durée 4 heures MP L usage de la calculatrice n est pas autorisé. Si, au cours de l épreuve, un candidat repère ce qui lui semble

Plus en détail

Séminaire BOURBAKI Novembre 2008 61ème année, 2008-2009, n o 1000 LE GROUPE DE CREMONA ET SES SOUS-GROUPES FINIS. par Jean Pierre SERRE

Séminaire BOURBAKI Novembre 2008 61ème année, 2008-2009, n o 1000 LE GROUPE DE CREMONA ET SES SOUS-GROUPES FINIS. par Jean Pierre SERRE Séminaire BOURBAKI Novembre 2008 61ème année, 2008-2009, n o 1000 LE GROUPE DE CREMONA ET SES SOUS-GROUPES FINIS par Jean Pierre SERRE Qu est-ce que le groupe de Cremona? Pour un géomètre, c est le groupe

Plus en détail

Ensembles et applications. Motivations. Exo7

Ensembles et applications. Motivations. Exo7 o7 nsembles et applications Vidéo partie 1. nsembles Vidéo partie 2. Applications Vidéo partie 3. Injection, surjection, bijection Vidéo partie 4. nsembles finis Vidéo partie 5. Relation d'équivalence

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****

Plus en détail

SUR CERTAINS SYSTEMES D EQUATIONS AVEC CONTRAINTES DANS UN GROUPE LIBRE (*)

SUR CERTAINS SYSTEMES D EQUATIONS AVEC CONTRAINTES DANS UN GROUPE LIBRE (*) PORTUGALIAE MATHEMATICA Vol. 56 Fasc. 4 1999 SUR CERTAINS SYSTEMES D EQUATIONS AVEC CONTRAINTES DANS UN GROUPE LIBRE (*) J. Almeida and M. Delgado Résumé: Le théorème principal trouvé par Ash pour sa preuve

Plus en détail

Introduction à l algèbre pour les Codes cycliques

Introduction à l algèbre pour les Codes cycliques Introduction à l algèbre pour les Codes cycliques A. Bonnecaze 2006-2007 Contents 1 Notes sur ce support de cours 2 2 Rappels algébriques 3 2.1 Groupes................................................ 3

Plus en détail

Points de Weierstrass d une surface de Riemann compacte

Points de Weierstrass d une surface de Riemann compacte 16 Le journal de maths des élèves, Volume 1 (1994), No. 2 Points de Weierstrass d une surface de Riemann compacte Sandrine Leroy Introduction Nous allons nous intéresser ici à des points très remarquables

Plus en détail