Entiers aléatoires et analyse harmonique

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Entiers aléatoires et analyse harmonique"

Transcription

1 Entiers aléatoires et analyse harmonique Jean-Pierre Kahane et Yitzhak Katznelson Introduction. Il s agit dans cet article d ensembles de Sidon et de processus de Poisson ponctuels. Les ensembles de Sidon sur un groupe abélien discret (ici Z sont définis en [0] et le point actuel sur leur théorie se trouve en [6]. Au début des années 960 est apparu un problème, connu sous l appellation de conjecture de dichotomie ; est-il vrai qu une partie de Z est soit un ensemble de Sidon, soit un ensemble d analyticité? La question se présente ainsi : étant donné Λ Z, on désigne par A(Λ l algèbre des suites de coefficients de Fourier-Lebesgue, restreints à Λ, soit A(Λ = { ( ˆf (λ λ Λ : f L (T } et par c 0 (Λ l algèbre des suites à valeurs complexes, tendant vers 0 à l infini, indexées par Λ ; Λ est un ensemble de Sidon lorsque A(Λ = c 0 (Λ; on sait qu en tout cas les fonctions analytiques nulles en 0 opèrent dans A(Λ, c est à dire que si F(z est une telle fonction et ˆf A(Λ, prenant ses valeurs dans le domaine de F(z, alors F( ˆf A(Λ ; on connait également la réciproque lorsque Λ = Z : les seules fonctions F(x définies sur un intervalle réel contenant 0 et qui opèrent dans A(Z sont les fonctions analytiques nulles en 0 ; est-il vrai que, lorsque Λ n est pas un ensemble de Sidon, il est de même pour A(Λ? Au cours des années 970 le second auteur s est attaqué à un autre problème, concernant la distribution de Λ dans le groupe de Bohr B, compactification de Bohr de Z. En particulier, est-il vrai qu un ensemble de Sidon est non-dense dans B? Ces deux problèmes sont toujours ouverts, mais ils ont été testés de façon statistique, au moyen de suites d entiers aléatoires, par Katznelson et Malliavin (966 [3] et Katznelson (972 [4], [5]. Ce fut la première source d utilisation de sélection aléatoire dans l étude des ensembles de Sidon. ous reprenons l étude à partir de processus de Poisson ponctuels sur Z. Les définitions de ces processus et les principaux énoncés se trouvent dans la section.

2 ETIERS ALÉATOIRES... 2 La section 2 contient les préliminaires nécessaires pour la preuve du théorème ainsi que pour une partie de la section 5. Les sections 3 et 4 contiennent les preuves des théorèmes et 2. La section 5 rassemble quelques questions ouvertes, concernant les ensembles de Sidon, déterminés ou aléatoires, et les ensembles du type I 0, qui sont des ensembles de Sidon particuliers et seront définis à ce moment. Énoncés. Soit w n 0, (n Z, Ω un espace de probabilité, et Λ = Λ(w le processus ponctuel sur Z d intensité w = {w n }. Autrement dit, (. Λ = {n Z:ξ n > 0}, où les ξ n sont des variables aléatoires de Poisson indépendantes, de paramètres Eξ n = w n, (n Z. Il peut y avoir des points multiples dans Λ. Il est bon d observer que, si w n = w n + w n, Λ(w peut s obtenir en réunissant deux ensembles indépendants, Λ(w associé à w = {w n} et Λ(w associé à w = {w n}. En particulier, Λ(w est une fonction croissante de {w n }. Désormais, pour simplifier l écriture, nous allons supposer w n = 0 pour n 0. Voici les résultats en vue. Théorème. Si w n = O ( n (n, p.s. Λ est un ensemble de Sidon, Λ est discret et non-dense dans B, et l adhérence de Λ dans B est de mesure de Haar nulle. Théorème 2. Si limnw n =, p.s. Λ n est pas un ensemble de Sidon, Λ est dense dans B, et c est un ensemble d analyticité. Dans l énoncé du théorème 2 on ne peut pas remplacer limnw n = par la condition limsupnw n =. Par exemple si w n = quand n est une puissance de 2 et w n = 0 sinon, Λ est un ensemble de Sidon. Une caractérisation complète des {w n } pour lesquels Λ est un ensemble de Sidon parait hors de portée actuellement. Avant de procéder aux preuves, remarquons que dans les enoncés le rôle de variables aléatoires de Poisson n est pas essentiel pour la définition de Λ. Dans la suite, on confond Λ (avec ses points multiples et la suite qui lui sert de support. Cette dernière peut être définie comme {n Z:β n = }, oú {β n } est une suite de v.a. de Bernoulli indépendantes. avec E(β n = e w n. Mais le fait que Λ a des points multiples simplifie les calculs des mesures martingales dans la section 2. ous avons publié une version préliminaire des théorèmes et 2 dans [2], avec seulement un aperçu des preuves.

3 ETIERS ALÉATOIRES Préliminaires 2. Quelques T-martingales, (martingales à valeurs mesures. Fixons ε > 0, et soit f la fonction triangle d intégrale et de support [ ε,ε] : f (t = f ( t et f (t = ε 2 (ε t sur [0,ε]. Ecrivons (2. f = + ˆf j e j (e j (t = e( jt = e 2πi jt j 0 et observons que ˆf j > 0. Rappelons que, pour une v.a. de Poisson ξ de paramètre η, on a ( (2.2 E a ξ = e η(a. Prenons ξ n comme ci-dessus, avec w n = α/n. Posons (2.3 X n (t = f (nt ξ n exp ( α n ( f (nt (2.4 µ = et, pour ϕ C(T, (2.5 Y (ϕ = n= X n (tdt ϕ(tdµ, Y = Y ( = dµ (t T Proposition. Si 2α < ε 2, les mesures aléatoires µ convergent p.s. dans la topologie faible vers une mesure (aléatoire continue qui est non nullle avec probabilité strictement positive. Preuve. Pour toute fonction ϕ C(T, la suite Y (ϕ = ϕ(tdµ est une martingale satisfaisant Y (ϕ = ϕ(tdµ ϕ Y. La suite Y = Y ( est une martingale positive, d espérance, donc converge p.s. vers une v.a. Y 0. ous sommes intéressés au cas E(Y > 0. Pour qu il en soit ainsi, il suffit que les Y soient uniformément intégrables dans Ω, ce qui équivaut à E(Y =. Dans ce cas la martingale Y (ϕ converge pour toute ϕ C(T, c est-à-dire que la martingale de mesures µ converge faiblement vers une mesure (aléatoire µ telle que E( µ =. Il suffit donc que les Y soient bornés dans L 2 (Ω. ous allons montrer que la suite croissante des E ( Y 2 est bornée si α < ε 2.

4 ETIERS ALÉATOIRES... 4 ous montrons ensuite que sous l hypothèse 2α < ε 2 les coefficients de Fourier de µ, ˆµ k = T e( ktdµ, tendent p.s. vers zéro à l infini et, par le critère de Wiener, cela garantit la continuité de µ. E ( ( Y 2 = E T T Or = E T T = = T T n= T T m= ( m= n= n= X m (sx n (tdsdt X m (sx n (t dsdt = T T n= E(X n (sx n (tdsdt ( α ( exp f (ns f (nt ( f (ns ( f (nt dsdt n ( exp n= α ( f (ns f (nt ( f (ns ( f (nt dsdt n f (s f (t ( f (s ( f (t = ˆf j ˆf k e j (se k (t jk 0 d où résulte, en prenant en compte que ˆf j ˆf k = ˆf j ˆf k, (2.6 E ( Y 2 = exp( T T α ˆf j ˆf k L ( js + ktdsdt jk 0 avec (2.7 L (t = n= et on sait ([] chapitre V, formule 2.26 que (2.8 L (t log sinπt + a cos 2πnt n Il est important de noter que L (t 0 pour tout t. D après l inégalité de Hölder, ( a : constante absolue. (2.9 E ( ( Y 2 p expα p jk ˆf j ˆf k L ( jt + ksdt ds jk jk 0 T T si les p jk sont positifs et p jk =. Choisissons (2.0 p jk = ( ˆf j ˆf k ˆf j ˆf k jk 0

5 ETIERS ALÉATOIRES... 5 Ainsi p = et p jk jk ˆf j ˆf k = ( f (0 2 < ε 2. Le second membre de (2.9 s écrit alors ( (2. exp α ˆf j ˆf k L (t dt, T jk 0 qui est inférieur à e a T sinπt αε 2 dt. Pour avoir lime ( Y 2 <, il suffit donc que α < ε 2. ous allons montrer que µ est p.s. une mesure diffuse. Pour cela, observons que les coefficients de Fourier de µ, à savoir ˆµ k = T e( ktµ(dt, sont des limites p.s. des ˆµ,k, coefficients de Fourier de µ. Les calculs faits sur Y se transcrivent aux et l on obtient au lieu de (2.6 ( E ˆµ,k 2 = ˆµ,k = e( kt T T T n= X n (tdt e(ks ktexp α ˆf j ˆf l L ( js + ltdsdt. jl 0 Les calculs (2.8, (2.9, (2.0 montrent que les fonctions exp( α ˆf j ˆf l L ( js + lt jl 0 ont des normes bornées dans L (T 2 quand α < ε 2, donc des normes bornées dans L 2 (T 2 quand 2α < ε 2. Par conséquent, sous cette condition, ( ( sup E ˆµ,k 2 2 <, donc successivement k Z ( ( E ˆµk 2 2 <, k Z E ( ˆµ k 4 < k Z ˆµ k 4 < p.s. k Z Cela montre que µ est p.s. une mesure diffuse, et achève la preuve de la proposition.

6 ETIERS ALÉATOIRES Posons m µ = n=m X n (tdt et m µ = lim m µ. La loi de zéro-un permet de conclure du fait que P( m µ > 0 > 0 que p.s. m µ > 0 pour m > m(λ. Ecrivons : D = {t :Λt [ ε,ε]} D m = {t :([m, Λt [ ε,ε]} D = m D m. L ensemble aléatoire D m contient le support fermé de m µ qui, par la continuité de m µ, est un parfait, non vide si m µ 0. En effet, si nt / [ ε,ε] on a X n (s = 0 dans un voisinage de t, lequel est donc disjoint du support de µ. Soit I un intervalle dans T, et soient µ I = I µ et m µ I = m µ I les restrictions de µ et de m µ à I. Observons que E( µ I = I > 0 et par conséquent m µ I 0 pour m assez grand. Cela donne le corollaire suivant Corollaire. Pour tout intervalle non-vide I T, la puissance de D I est p.s. celle du continu. otons que pour tout t D l ensemble des points limites de Λt est contenu dans [ ε,ε]. 2.3 La proposition est valable si on remplace f et l intervalle [ ε,ε] par un intervalle de longueur 2ε quelconque. Pour le voir, il suffit de changer f (t en f (t ϑ, ϑ étant le centre de l intervalle, et de constater qu alors le second membre de (2.6 ne peut que diminuer, grâce au fait que L (t 0. aturellement, on obtient des ensembles de t disjoints pour des intervalles disjoints. Il est donc faux que l on puisse remplacer dans la proposition un ensemble dense de t par un ensemble de t de mesure positive. Cela tient au fait que les mesures X n (tdt ont pour limite p.s. une mesure singulière. 2.4 Ajoutons une proposition dont nous verrons l usage à la fin de cet article. Proposition 2. Supposons toujours w n = α n et 2α < ε2. Si I et I sont deux intervalles de longueur 2ε dans T et si Λ et Λ sont deux copies indépendantes de l ensemble aléatoire Λ associé à { α n } il existe un t T tel que p.s. à l exception d un ensemble fini on ait Λ t I et Λ t I. Remarquons d abord que cette propriété se généralise à ν intervalles et ν copies independants de Λ, moyennant la condition να < ε 2. Remarquons aussi que les t convenables forment un ensemble à derivé dense dans T comme dans la proposition.

7 ETIERS ALÉATOIRES... 7 Preuve de la proposition 2. Soient I = [ϑ ε,ϑ + ε], I = [ϑ ε,ϑ + ε] et la fonction triangle basée sur [ ε,ε] comme ci dessus. Au lieu de (2.2 posons (2.2 et au lieu de (2.5 X n(t = ( f (nt ϑ ξ n exp ( α n ( f (nt ϑ X n (t = ( f (nt ϑ ξ n exp ( α n ( f (nt ϑ (2.3 Y = T n= X n(tx n (tdt C est de nouveau une martingale positive, et le résultat est établi si E ( Y 2 = O( (. Les calculs se mènent de la même façon que sous la proposition, à cela près qu il faudra majorer E ( Y 2 par la valeur prise quand ϑ = ϑ = 0, en tenant compte de la positivité de L (t dans (2.6. L hypothèse 2α < ε 2 entraine bien E ( Y 2 = O( (. 3 Preuve du théorème. D après les remarques faites dans la partie, on peut se limiter à w n = α n. Si α est assez petit (α log3 < suffit, Λ est p.s. la réunion d un ensemble fini et d un ensemble quasi-indépendant, c est-à-dire sans relations linéaires 0 à coefficients 0,, entre ses éléments. En effet, soit 3 < A < exp α, et soit n ν le cardinal de Λ [0,A ν ], qui est une variable aléatoire de Poisson de paramètre α n A ν n < ν. On a p.s. n ν < ν pour ν assez grand. La probabilité pour que, Λ [0,A ν ] étant fixé, il y ait un point λ dans Λ [A ν,a ν+ ] qui soit combinaison linéaire à coefficients 0,, des éléments de Λ [0,A ν ] ne dépasse pas la borne supérieure des n B α/n pour tous les ensembles B de cardinal 3 n ν contenus dans Λ [A ν,a ν+ ], qui est p.s. O(3 ν A ν (ν. Il est donc presque sûr qu à partir d un certain rang ν 0 ce n est pas le cas, donc que Λ [A, [ est quasi-indépendant. En général, Λ est p.s. une réunion finie d ensembles quasi-indépendants, qu on sait être un ensemble de Sidon, [6]. Soit A B (Λ l adhérence de Λ dans B. Le fait que, p.s., Λ est discret est une conséquence de (3. p.s. Z A B (Λ = /0. Soit m Z, m 0, prenons 0 < η < 2 ε et t D tel que mt 2 < η, ce qui est possible car D est dense dans T. L ensemble {l :lt ( 2 η, 2 + η} est

8 ETIERS ALÉATOIRES... 8 l intersection de Z et d un voisinage de m dans B qui ne contient qu un nombre fini de points de Λ, donc m / A B (Λ. On montre que 0 / A B Λ en partant, (voir 2.3, d un intervalle I qui ne contient pas 0. Montrons maintenant que µ B (A B Λ = 0, µ B est la mesure de Haar de B. Il est clair qu il en résulte en particulier que A B Λ est non-dense dans B (ce qui résulte aussi de (3.. Preuve que µ B (A B Λ = 0. L ensemble D étant non dénombrable, il contient, pour tout entier k > 0, des points t,t 2,...,t k, tels que le vecteur t = (t,t 2,...,t k soit un générateur de T k, c est-àdire que l ensemble Z(t,t 2,...,t k est dense dans T k. L application m mt de Z dans T k se prolonge à un homomorphisme h t de B dans T k, qui envoie µ B sur la mesure de Haar de T k. Or, d après la partie 2.2, h t (A B Λ [ ε,ε] k. La mesure de la préimage dans B de cet ensemble est égale à (2ε k et majore µ B (A B Λ. Ceci étant vrai pour tout k, la mesure de Haar de A B Λ est nulle. Cela achève la preuve du théorème. 4 Preuve du théorème 2. Dans l hypothèse lim n nw n =, le fait que p.s. Λ n est pas un ensemble de Sidon résulte d un critère connu : si Λ etait un ensemble de Sidon, on aurait Λ [,] = O(log (, ce qui n est pas le cas. 4. Preuve de la densité dans B. Pour les notions de base sur la densité dans B, on peut se référer à [5]. Première étape, réduction du problème. Dire que Λ est dense dans B, c est dire que pour tout s et tout t T s, l adhérence dans T s de Λt, Λt, est l adhérence dans T s de Zt (le groupe fermé engendré par t, soit Λt = Zt. On distingue dans T s des sous-groupes propres maximaux, qui sont isomorphes à T s (pour s 2 et qui sont en infinité dénombrable. Les générateurs de T s sont les éléments qui n appartiennent à aucun de ces sous-groupes. Si on a établi que l adhérence dans T s de Λt est aussi l adhérence de Zt, p.s., cela vaut dans tous les sous-groupes propres maximaux de T s. Pour démontrer la même chose dans T s il suffit de se borner aux générateurs, pour lesquels Zt = T s (pour s =, ce sont les irrationnels. Comme Λ(w est une fonction croissante de w (section, le théorème sera prouvé si l on établit que, pour tout ouvert O de T s, il existe un α > 0 tel que, si Λ est un processus de Poisson ponctuel sur d intensité { α n }, il est presque sûr que pour tout générateur t de T s, Λt O /0.

9 ETIERS ALÉATOIRES... 9 Deuxième étape, la preuve dans le cas s =. s agit d établir la proposition suivante. Prenons pour O un intervalle I. Il Proposition. Si α I >, et si Λ est un processus ponctuel de Poisson sur de paramètre α n, il est presque sûr que, pour tout irrationnel t T, Λt I /0. Idée de la preuve. Soit Λ = Λ [0, ]. Soit I un intervalle intérieur à I, à distance d de son complémentaire. Pour établir que Λt I /0, il suffira de montrer qu il existe un t, t t < d/, et un λ Λ tel que λt I. On mettra en évidence un entier et un ensemble fini, (d/-dense dans T, de points t tels que, très probablement, Λ t I /0 pour tous ces points. Mise en place. Soit f C 2 (T, à support dans I, positive et majorée par sur I : 0 f I. Pour t donné, (4. Λ t I = /0 I (λt = 0 ξ n I (nt = 0. λ Λ n α Or n ξ n I (nt est une v.a. de Poisson de paramètre n n I (nt, d où P ( Λ t I = /0 ( α ( = exp n n α I (nt exp n n f (nt. On pose donc f (t = ˆf (0 + + (a j cos2π jt + b j sin2π jt = ˆf (0 + g(t + h(t j J j>j exp ( α n n f (nt = exp ( ( α ˆf (0 exp α n n n n g(nt exp ( α n n h(nt Choisissons J de façon que h C(T < ε ˆf (0, puis δ > 0 et l ouvert (4.2 G = G(δ = {t : j J, sinπ jt > δ}. Remarquons que, avec la notation de (2.7, (4.3 n n g(nt = ( a j j J n = a j L ( jt + O( j J n cos2πn jt + b j n Compte rendu de (2.8, on obtient pour t G ( α exp n n f (nt C δ α ˆf (0( ε. sin2πn jt n

10 ETIERS ALÉATOIRES... 0 Fin de la preuve. Partons de α, tel que α I >. Définissons I, puis f et ε de façon que α I > et α ˆf (0( ε >. Puis choisissons J comme ci-dessus. L analyse qui précède donne, pour tout δ > 0 fixé (qui définit G et t G (4.4 P ( Λ t I = /0 dt < C δ α ˆf (0( ε. G Posons t = ϑ + m M, ϑ [0, M ], m = 0,,...M (M sera défini ensuite (4.5 P ( Λ t I = /0 dt = dϑ P ( Λ t I = /0 G [0. M ] ϑ+ M m G donc il existe un ϑ [0, M ] tel que (4.6 ϑ+ m M G P ( Λ (ϑ + m M I = /0 C δ M α ˆf (0( ε donc (ϑ ainsi fixé P ( (ϑ + m M G : Λ (ϑ + m M I = /0 C δ M α ˆf (0( ε Soit G M = {t G: t = ϑ + m M G, t t < M }. Si M > d, alors le fait que t G M et Λ t I = /0 entraine que pour un certain t, Λ t I = /0. Donc (4.7 P ( t G M : Λ t I = /0 C δ M α ˆf (0( ε sous la condition M > d. Choisissons M d. Alors (4.8 P ( t G M : Λ t I = /0 tend vers 0 quand. Comme les G M tendent vers G, (4.9 P ( t G : Λt I = /0 = 0. En prenant une suite de δ 0, on voit qu il est presque sûr que chaque t qui ne vérifie pas J j= sinπ jt = 0 (ensemble rationnel fini est tel que Λt rencontre I. Cela termine la preuve quand s =. Troisième étape, cas général. On repète la preuve du cas s =. Rien n est changé dans la mise un place sinon de remplacer jt par le produit scalaire j t avec j Z s, t T s. Mais il faudra remplacer [0, M ] dans (4.5 par [0, M ]s, et M dans (4.6 et la suite par M s. Il faudra donc partir de α vol(o > s. ous discuterons dans la section 5 ce qui se passe si, au lieu de prendre t un générateur de T s, nous considérons des t générateurs de sous-groupes de T s.

11 ETIERS ALÉATOIRES Reste à établir que Λ est p.s. un ensemble d analyticité. La preuve est inspirée de [3]. Rappelons que A(T désigne l algèbre des fonctions continues sur T qui sont sommes de séries trigonometriques absolument convergentes, et PM(T son dual, constitué de pseudomesures, c est-à-dire de distributions de Schwartz dont les coefficients de Fourier sont bornés : A(T = F l (Z, PM(T = F l. De même on définit A(R = F L (R, et PM(R = F L (R. Pour montrer qu une partie Λ de Z est un ensemble d analyticité il suffit d attacher à des r = 2 ν (ν entier arbitrairement grands, une partie finie Λ r de Λ, une mesure positive τ r portée par Λ r, et une fonction réelle ϕ r A(R, telles que (4.0 ϕ r A(R < Cr et τ r e iϕ r PM(R < C τ r M(R e cr, C et c étant des constantes absolues, et M(R étant l espace des mesures bornées sur R. C est notre programme. ous savons qu il existe ϕ A(T, réelle, telle que, désignant par µ la mesure de Haar sur T on ait (4. ϕ A(T < r et µe iϕ PM(T < e cr (tout c < convient, On peut ajouter la condition que ϕ soit portée par un intervalle I de longueur I = 2 et remplacer (4. par (4.2 ϕ A(T < r et µ I e iϕ PM(T < C µ I M(T e cr. En utilisant le fait que e iϕ A(T, un calcul simple montre qu on peut remplacer ci-dessus µ par µ q = q q k= dès que q est assez grand. Fixons q = q r tel qu il en soit ainsi, en imposant aussi par commodité que q soit une puissance de 2. Transportons T sur R, c est-à-dire considérons ϕ comme une fonction -périodique, et fixons I comme intervalle réel de longueur 2 ; ainsi ϕ est portée par m Z (I +m. Les pseudomesures portées par I peuvent être considérées dans PM(R comme dans PM(T, avec des normes equivalentes. Posons E = M m= (I + m, où l entier M sera choisi plus tard. Soit V E la fonction trapèze égale à sur E et à 0 aux points dont la distance à E est supérieure à diam(e. A partir de (4.2 nous obtenons δ k/q (4.3 ϕv E A(R < Cr et µ q I e iϕ PM(R < C µ q I M(R e cr,

12 ETIERS ALÉATOIRES... 2 où c et C sont des constantes absolues. Dans (4.3 on peut remplacer I par I+m, et aussi par toute combinaison linéaire des I+m à coéfficients γ m positifs, soit χ = γ m I+m (γ m > 0, à condition de remplacer µ q par le peigne de Dirac q k Z δ k/q. Effectuons sur R la transformation linéaire t qt + K où K est un entier qui sera choisi plus tard ; cela se traduit par une isométrie de chacun des espaces A(R, M(R, et PM(R. Posons ϕ r (t = ϕ( t K q V E (t K q, σ r = χ( t K q δ k. k Z Alors (4.3 se traduit en (4.4 ϕ r A(R < Cr et σ r e iϕ r PM(R < C σ r M(R e cr. La mesure σ r est portée par F = Z (qe + K = M ( Z (qi + qm + K. m= Revenons à Λ = Λ(ω = {n Z:ξ n > 0}, où les ξ n sont des v.a. de Poisson indépendantes de paramètres w n, avec w n = 0 pour n < 0, et lim n nw n =. Quitte à réduire Λ en diminuant w n, nous pouvons supposer, outre la condition lim n nw n =, que w n est constant à partir d un certain rang sur tous les intervalles joignant deux multiples consécutifs d une puissance de 2 donnée. On choisit pour K une puissance de 2 assez grande pour que w n soit constant sur chaque intervalle Z qi + qm + K, (m =,2,... ; nous choisissons pour γ m cette valeur constante lorsque m =, 2,..., M (M n est pas encore fixé. ous posons enfin τ r = τ r (ω = ξ n δ n n F de telle sorte que E(τ r = n F w n δ n = σ r, et le programme consiste à passer de (4.4 à (4.0 (en modifiant les constantes s il le faut, avec une probabilité voisine de. ous allons utiliser l inégalité suivante, dans laquelle s étend sur un ensemble arbitraire de valeurs de n, < a n < et 0 < η < 2. (4.5 P ( (ξ n w n a n > η w n < exp( 4 η w n. La preuve de (4.5 passe par une estimation de la transformée de Laplace, à savoir E ( exp(u (ξ n w n a n = expw n (e ua n ua n < exp(u 2 w n

13 ETIERS ALÉATOIRES... 3 quand 0 < u <, suivie de la majoration du premier membre de (4.5 par exp ( (u 2 η w n. En particulier, on a (4.6 P ( ξ n > 2 w n < exp( 4 w n Etudions maintenant la distribution de la v.a. (τ r σ r e iϕ r PM(R. Comme τ r σ r est portée par Z [K,K + qm], un échantillonnage au moyen de 2qM points t j permet d évaluer la norme L de la transformée de Fourier de (τ r σ r e iϕ, à savoir (4.7 (τ r σ r e iϕ r PM(R 2 sup j=,2,...,2qm En application de (4.5 on obtient n F (ξ n w n e iϕr(n e int j. (4.8 P ( (τ r σ r e iϕ r PM(R > 4η w n < 2qM exp( n F 4 η w n. n F Lorsque q et K sont fixés, F ne depend que de M, et on a n F w n = 2 Mq w n + O(, (M. L hypothèse lim n nw n = assure que (4.9 lim log w n =. Rappelons que r = 2 ν. Choisissons M = M ν de façon que n F w n > 4ν 2 logm et prenons η = ν. Alors (4.8 s écrit (4.20 P ( (τ r σ r e iϕ r PM(R > 4 ν σ r M(R < 2qM ν. D après (4.6, on a P ( τ r M(R > 2 σ r M(R < M ν 2, donc, d après (4.4, (4.2 P ( τ r e iϕ r PM(R > (C + 2 ν τ r M(R e cr < 2qM ν + M ν2. Il suit de (4.2 que p.s. pour r = 2 ν assez grand, on a (4.0, ce qui achève la démonstration.

14 ETIERS ALÉATOIRES Questions et remarques finales. 5. Rappelons les questions classiques sur les ensembles de Sidon :. sont-ils nécessairement réunions finies d ensembles quasi-independants? 2. sont-ils nécessairement non-denses dans le groupe de Bohr? Ces questions se posent quand il s agit de Z et de B, dual de T d. Mais elles se posent également pour d autres groupes abéliens. La première question admet une réponse complète, positive, quand on remplace T par le groupe de Cantor [,] ; c est un cas particulier du théorème de Malliavin-Malliavin [7], étendu par Pisier. Les meilleures approches du cas général sont dues à Pisier et à Bourgain, avec de nouvelles caractérisations des ensembles de Sidon (voir p.ex. [6]. Avant d examiner la seconde question, nous allons discuter les définitions d ensembles de Helson et d ensembles de Sidon. Un ensemble de Helson est défini dans un groupe abélien localement compact : c est une partie compacte E du groupe telle que toute fonction continue sur E soit la restriction d une transformée de Fourier de fonction intégrable, en bref, C(E = A(E. Une définition équivalente est que, pour les mesures portées par E, les normes mesures et pseudomesures sont équivalentes, c est à dire qu il existe une constante C telle que µ M(E C ˆµ pour toute µ M(E, voir [0]. Un ensemble de Sidon est défini ordinairement dans un groupe discret, et jusqu à présent nous étions dans ce cadre en travaillant sur Z. Mais, de façon cohérente avec le cas d un groupe discret, nous pouvons définir un ensemble de Sidon dans une partie discrète d un groupe abélien localement compact par la même condition que nous venons de donner pour les ensembles de Helson : µ M(E C ˆµ pour toute µ M(E. Dans ce cadre, nous pouvons étendre la seconde question ainsi : Un ensemble de Sidon dans un groupe abélien infini compact G, est-il nécessairement non-dense dans G? La réponse est alors négative. Soit Γ T d un sous-groupe qui est la réunion An d une suite d ensembles A n de dimension de Minkowski nulle, (c est à dire : chaque A n peut être recouvert par (ε intervalles de longueur ε, avec (εε d = o(, (ε 0, quel que soit d > 0, ce qui est le cas si Γ est engendré par un ensemble A dont la dimension de Minkowski est nulle (on définit A n comme la somme algébrique de n copies de (A A. Prenons pour G le dual de Γ(A et observons que Z est dense dans G. Les calculs et la discussion de la partie 4. montrent alors que les ensembles de Sidon aléatoires construits dans Z à partir de w n = α n, α > 0 quelconque, sont également p.s. denses dans G. On peut se référer à [5], théorème 3.2, pour un énoncé voisin et le détail de la preuve (écrite pour dimension s entière, mais qui s applique aussi bien pour s fractionnaire.

15 ETIERS ALÉATOIRES La généralisation la plus immédiate de notre étude consiste à partir de Z d au lieu de Z, de le munir d un poids w : Z d R + et de considérer la partie aléatoire de Z d définie par Λ(ω = {n Z d :ξ n > 0}, où les ξ n sont des variables aléatoires indépendantes, suivant les lois de Poisson de paramètres w n (ou, de manière équivalente, des lois de Bernoulli d espérances e w n Les résultats sont alors les suivants :. Si limsupw n n d < quand n, alors Λ est p.s. un ensemble de Sidon, qui, dans le compactifié de Bohr de Z d, B(Z d, est discret et a une adhérence dont la mesure de Haar est nulle. 2. Si limw n n d =, alors Λ est p.s. d analyticité, et dense dans B(Z d. Les méthodes des preuves sont les mêmes. Le principal changement est d introduire la fonction L(t = n d cos2πn t, n Z d \{0} de la décomposer en une série de polynômes trigonométriques dont les sommes partielles L (t sont bornées inférieurement, et de décomposer Λ de la même façon en réunion finie d ensembles aléatoires finis indépendants. 5.3 Revenons au cas de Z, T et B. La seconde question de 5. admet des variantes plus exigeantes, dont nous allons expliciter la signification. ous noterons A B S l ensemble d accumulation d un ensemble d entiers S dans le groupe de Bohr B.. Si S est un ensemble de Sidon, est-il vrai que A B S soit de mesure de Haar nulle dans B? 2. Si S est un ensemble de Sidon, est-il vrai que A B S soit un ensemble de Helson dans B? 3. Si S est un ensemble de Sidon, est-il vrai que S soit une réunion finie d ensembles de type I 0? 4. Est-il vrai que les Λ du théorème sont p.s. des ensembles de type I 0? Rappelons qu un ensemble de Helson dans un groupe abélien compact est un compact défini par le fait que toute fonction continue sur ce compact est prolongeable sur le groupe en une somme de série de Fourier absolument convergente. Un ensemble de type I 0, au sens de Hartman et Ryll-ardzewski, est une partie E de R telle que toute fonction bornée sur E se prolonge en une fonction presquepériodique sur R. On sait qu alors toute fonction bornée sur E est la restriction à E de la transformée de Fourier d une mesure discrète, donc que E est un ensemble de Sidon, et de plus que l adhérence E de E dans le groupe de Bohr est un ensemble

16 ETIERS ALÉATOIRES... 6 de Helson [](voir aussi [8],[9]. On voit facilement qu un ensemble d entiers A est de type I 0 si, et seulement si, pour chaque partition de A en deux parties A et A 2, les adhérences dans B de A et de A 2 sont disjointes. Une autre façon de poser la question 4 est donc la suivante : 4. Est-il vrai que p.s. pour chaque partition de en deux parties et 2, les adhérences dans B de Λ et de Λ 2 soient disjointes? Sans répondre à cette question, nous pouvons dire ceci : lorsque w n = α n avec α assez petit, pour chaque partition de en deux parties et 2, il est presque sûr que les adhérences dans B de Λ et de Λ 2 sont disjointes. En effet, choisissons deux suites de v.a. de Poisson mutuellement indépendantes, {ξ n} {ξ n }, avec E(ξ n = E(ξ n = α n. Il leur correspond deux ensembles aléatoires Λ et Λ indépendants. La loi du couple ( Λ,Λ 2 est la même que celle du couple ( Λ,Λ 2. Il suffit donc de montrer que les adhérences dans B de Λ et de Λ sont p.s. disjointes. Comme Λ Λ est fini p.s. (puisque n P(n Λ Λ <, la propriété d adhérences disjointes est une propriété asymptotique, à laquelle s applique la loi du zéro-un. Il suffit donc de montrer que pour deux intervalles fermés disjoints dans T, I et I, et pour un t T, P(Λ t I et Λ t I > 0. Or, c est exactement ce que donne la proposition 2. ous nous trouvons avec la question 4 devant une situation fréquente en théorie des probabilités : il est relativement facile de montrer que pour tout X (ici X = partition de une propriété (ici les adhérences disjointes est presque sûre, et bien plus difficile, ou impossible, de montrer que presque sûrement la propriété a lieu pour tout X. Références [] Jean-Pierre Kahane. Ensembles de Ryll-ardzewski et ensembles de Helson. Colloquium Mathematicum 5 : 87 92, 966. [2] J. P. Kahane et Y. Katznelson. Entiers aléatoires, ensembles de Sidon, densité dans le groupe de Bohr et ensembles d analyticité. C.R. Acad. Sci. Paris, Ser I 345 : 2 24, [3] Y. Katznelson et P. Malliavin. Vérification statistique de la conjecture de la dichotomie sur une classe d algèbres de restriction. C.R. Acad. Sci. Paris, 262 : , 966.

17 ETIERS ALÉATOIRES... 7 [4] Y. Katznelson. Suites aléatoires d entiers. L analyse harmonique dans le domaine complexe (Actes Table Ronde Internat., Centre at. Recherche Sci., Montpellier, 972, Springer Lecture otes in Math, 336 : 48 52, 973. [5] Y. Katznelson. Sequences of integers dense in the Bohr group. In Proc. Royal Inst. Tech. Stockholm, 79 86, 973. [6] D. Li et H. Queffélec. Introduction à l étude des espaces de Banach. Analyse et probabilités. Cours Spécialisés, 2. Société Mathématique de France, Paris, [7] M. P. Malliavin-Brameret, et P. Malliavin, Caractérisation arithmétique d une classe d ensembles de Helson. C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A-B, 264 : A92 A93, 967. [8] L. Thomas Ramsey. Bohr cluster points of Sidon sets. Colloq. Math. 68 : , 995. [9] L. Thomas Ramsey. Comparisons of Sidon and I 0 sets. Colloq. Math. 70 : 03 32, 996. [0] Walter Rudin. Trigonometric series with gaps. J. Math. Mech. 9 : [] A. Zygmund. Trigonometric series. Vol. I, Third edition, Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press, 2002.

Limites finies en un point

Limites finies en un point 8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,

Plus en détail

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.

Plus en détail

TD2 Fonctions mesurables Corrigé

TD2 Fonctions mesurables Corrigé Intégration et probabilités 2012-2013 TD2 Fonctions mesurables Corrigé 0 Exercice qui avait été préparé chez soi Exercice 1. Soit (Ω, F, µ) un espace mesuré tel que µ (Ω) = 1. Soient A, B P (Ω) deux sousensembles

Plus en détail

Image d un intervalle par une fonction continue

Image d un intervalle par une fonction continue DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction

Plus en détail

Continuité en un point

Continuité en un point DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à

Plus en détail

I. Polynômes de Tchebychev

I. Polynômes de Tchebychev Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire

Plus en détail

La mesure de Lebesgue sur la droite réelle

La mesure de Lebesgue sur la droite réelle Chapitre 1 La mesure de Lebesgue sur la droite réelle 1.1 Ensemble mesurable au sens de Lebesgue 1.1.1 Mesure extérieure Définition 1.1.1. Un intervalle est une partie convexe de R. L ensemble vide et

Plus en détail

Exo7. Topologie générale. Enoncés : M. Quéffelec Corrections : A. Bodin

Exo7. Topologie générale. Enoncés : M. Quéffelec Corrections : A. Bodin Enoncés : M. Quéffelec Corrections : A. Bodin Exo7 Topologie générale Exercice 1 1. Rappeler les définitions d une borne supérieure (inférieure) d un ensemble de nombres réels. Si A et B sont deux ensembles

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)

Plus en détail

Cours MP. Espaces vectoriels normés

Cours MP. Espaces vectoriels normés Table des matières Espaces vectoriels normés B. Seddoug. Médiane Sup, Oujda I Norme et distance 1 I.1 Définitions..................... 1 I.2 Evn produit.................... 12 I.3 Notions topologiques

Plus en détail

n N = u N u N+1 1 u pour u 1. f ( uv 1) v N+1 v N v 1 1 2 t

n N = u N u N+1 1 u pour u 1. f ( uv 1) v N+1 v N v 1 1 2 t 3.La méthode de Dirichlet 99 11 Le théorème de Dirichlet 3.La méthode de Dirichlet Lorsque Dirichlet, au début des années 180, découvre les travaux de Fourier, il cherche à les justifier par des méthodes

Plus en détail

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés 2012-2013 1 Petites questions 1) Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? 2) Si F et G sont deux tribus, est-ce que F G est toujours une tribu?

Plus en détail

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer

Plus en détail

Outils d analyse fonctionnelle Cours 5 Théorie spectrale

Outils d analyse fonctionnelle Cours 5 Théorie spectrale Outils d analyse fonctionnelle Cours 5 Théorie spectrale 22 septembre 2015 Généralités Dans tout ce qui suit V désigne un espace de Hilbert réel muni d un produit scalaire x, y. Définition Soit A une application

Plus en détail

Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies

Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies Chapitre 6 Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies Nous allons maintenant revenir sur les espaces L p du Chapitre 4, à la lumière de certains résultats du Chapitre 5. Sauf mention

Plus en détail

Leçon 6. Savoir compter

Leçon 6. Savoir compter Leçon 6. Savoir compter Cette leçon est une introduction aux questions de dénombrements. Il s agit, d une part, de compter certains objets mathématiques (éléments, parties, applications,...) et, d autre

Plus en détail

Développement décimal d un réel

Développement décimal d un réel 4 Développement décimal d un réel On rappelle que le corps R des nombres réels est archimédien, ce qui permet d y définir la fonction partie entière. En utilisant cette partie entière on verra dans ce

Plus en détail

Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach

Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach Chapitre 7 Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach L objet de ce chapitre est de définir un calcul fonctionnel holomorphe qui prolonge le calcul fonctionnel polynômial et qui respecte

Plus en détail

Sommaire. Chapitre 1 Variables et vecteurs aléatoires... 5. Chapitre 2 Variables aléatoires à densité... 65

Sommaire. Chapitre 1 Variables et vecteurs aléatoires... 5. Chapitre 2 Variables aléatoires à densité... 65 Sommaire Chapitre 1 Variables et vecteurs aléatoires............... 5 A. Généralités sur les variables aléatoires réelles.................... 6 B. Séries doubles..................................... 9

Plus en détail

Calculs préliminaires.

Calculs préliminaires. MINES-PONTS 005. Filière MP. MATHÉMATIQES 1. Corrigé de JL. Lamard jean-louis.lamard@prepas.org) Calculs préliminaires. Notons que si f H alors f)e / est bien intégrable sur R car continue positive et

Plus en détail

Agrégation interne de Mathématiques. Session 2009. Deuxième épreuve écrite. (et CAERPA)

Agrégation interne de Mathématiques. Session 2009. Deuxième épreuve écrite. (et CAERPA) Agrégation interne de Mathématiques (et CAEPA Session 2009 Deuxième épreuve écrite 2 NOTATIONS ET PÉLIMINAIES On désigne par le corps des nombres réels et par C le corps des nombres complexes. Si f est

Plus en détail

Cours de mathématiques pour la Terminale S

Cours de mathématiques pour la Terminale S Cours de mathématiques pour la Terminale S Savoir-Faire par chapitre Florent Girod 1 Année scolaire 2015 / 2016 1. Externat Notre Dame - Grenoble Table des matières 1) Suites numériques.................................

Plus en détail

CONCOURS GÉNÉRAL DES LYCÉES SESSION DE 2009 COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES. (Classe terminale S)

CONCOURS GÉNÉRAL DES LYCÉES SESSION DE 2009 COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES. (Classe terminale S) MA 09 CONCOURS GÉNÉRAL DES LYCÉES SESSION DE 009 COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (Classe terminale S) DURÉE : 5 heures La calculatrice de poche est autorisée, conformément à la réglementation. La clarté et

Plus en détail

Le raisonnement par récurrence

Le raisonnement par récurrence Le raisonnement par récurrence Nous notons N l ensemble des entiers naturels : N = {0,,, } Nous dirons naturel au lieu de entier naturel Le principe du raisonnement par récurrence Soit A une partie de

Plus en détail

Introduction à l étude des Corps Finis

Introduction à l étude des Corps Finis Introduction à l étude des Corps Finis Robert Rolland (Résumé) 1 Introduction La structure de corps fini intervient dans divers domaines des mathématiques, en particulier dans la théorie de Galois sur

Plus en détail

Suites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite

Suites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite Suites numériques 3 1 Convergence et limite d une suite Nous savons que les termes de certaines suites s approchent de plus en plus d une certaine valeur quand n augmente : par exemple, les nombres u n

Plus en détail

Espaces vectoriels et applications

Espaces vectoriels et applications Espaces vectoriels et applications linéaires 1 Définitions On parle d espaces vectoriels sur le corps R ou sur le corps C. Les définitions sont les mêmes en substituant R à C ou vice versa. Définition

Plus en détail

Le corps R des nombres réels

Le corps R des nombres réels Le corps R des nombres réels. Construction de R à l aide des suites de Cauchy de nombres rationnels On explique brièvement dans ce paragraphe comment construire le corps R des nombres réels à partir du

Plus en détail

Moments des variables aléatoires réelles

Moments des variables aléatoires réelles Chapter 6 Moments des variables aléatoires réelles Sommaire 6.1 Espérance des variables aléatoires réelles................................ 46 6.1.1 Définition et calcul........................................

Plus en détail

Notes de cours L1 MATH120. Hervé Le Dret

Notes de cours L1 MATH120. Hervé Le Dret Notes de cours L1 MATH120 Hervé Le Dret 18 octobre 2004 40 Chapitre 3 Vecteurs dans R m Dans ce chapitre, nous allons nous familiariser avec la notion de vecteur du point de vue algébrique. Nous reviendrons

Plus en détail

Cours de Topologie L3-math

Cours de Topologie L3-math Cours de Topologie L3-math Renaud Leplaideur Année 2014-2015 UBO 2 Table des matières 1 Rappels, préliminaires 5 1.1 Rappels sur les ensembles........................... 5 1.1.1 Formalisme ensembliste.........................

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****

Plus en détail

COURS METHODES MATHEMATIQUES POUR L INGENIEUR. MAM 3, Polytech Lyon. Ionel Sorin CIUPERCA

COURS METHODES MATHEMATIQUES POUR L INGENIEUR. MAM 3, Polytech Lyon. Ionel Sorin CIUPERCA COURS METHODES MATHEMATIQUES POUR L INGENIEUR MAM 3, Polytech Lyon Ionel Sorin CIUPERCA Le cours s adresse en principal à des élèves des écoles d ingénieurs, filière modélisation mathématique. Une partie

Plus en détail

THÉORIE DE LA MESURE ET INTÉGRATION

THÉORIE DE LA MESURE ET INTÉGRATION Université Pierre et Marie Curie Licence de Mathématiques Années 2004-2005-2006 LM 363 THÉORIE DE LA MESURE ET INTÉGRATION Cours de P. MAZET Edition 2004-2005-2006 Table des matières Table des matières

Plus en détail

Suites réelles. 4 Relations de comparaison des suites 9 4.1 Encore du vocabulaire... 9. 5.2 Quelques propriétés... 13

Suites réelles. 4 Relations de comparaison des suites 9 4.1 Encore du vocabulaire... 9. 5.2 Quelques propriétés... 13 Maths PCSI Cours Table des matières Suites réelles 1 Généralités 2 2 Limite d une suite 2 2.1 Convergence d une suite....................... 2 2.2 Deux premiers résultats....................... 3 2.3 Opérations

Plus en détail

DEFINITION et PROPRIETES des PRINCIPALES LOIS de PROBABILITES

DEFINITION et PROPRIETES des PRINCIPALES LOIS de PROBABILITES Université Paris1, Licence 00-003, Mme Pradel : Principales lois de Probabilité 1 DEFINITION et PROPRIETES des PRINCIPALES LOIS de PROBABILITES Notations Si la variable aléatoire X suit la loi L, onnoterax

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables

Plus en détail

StatEnAction 2009/10/30 11:26 page 111 #127 CHAPITRE 10. Machines à sous

StatEnAction 2009/10/30 11:26 page 111 #127 CHAPITRE 10. Machines à sous StatEnAction 2009/0/30 :26 page #27 CHAPITRE 0 Machines à sous Résumé. On étudie un problème lié aux jeux de hasard. Il concerne les machines à sous et est appelé problème de prédiction de bandits à deux

Plus en détail

DES DISTRIBUTIONS DE PROBABILITÉ SINGULIÈRES. Marc BARBUT 1

DES DISTRIBUTIONS DE PROBABILITÉ SINGULIÈRES. Marc BARBUT 1 Math. Sci. hum / Mathematics and Social Sciences (48 e année, n 9, 2(2), p. -8) DES DISTRIBUTIONS DE PROBABILITÉ SINGULIÈRES Marc BARBUT RÉSUMÉ Ce texte n a rien d original. Son objectif est seulement

Plus en détail

Mesures gaussiennes et espaces de Fock

Mesures gaussiennes et espaces de Fock Mesures gaussiennes et espaces de Fock Thierry Lévy Peyresq - Juin 2003 Introduction Les mesures gaussiennes et les espaces de Fock sont deux objets qui apparaissent naturellement et peut-être, à première

Plus en détail

Simulation de variables aléatoires

Simulation de variables aléatoires Simulation de variables aléatoires S. Robin INA PG, Biométrie Décembre 1997 Table des matières 1 Introduction Variables aléatoires discrètes 3.1 Pile ou face................................... 3. Loi de

Plus en détail

TS. 2012/2013. Lycée Prévert. Corrigé du contrôle n 3. Durée : 3 heures. Mardi 20/11/12

TS. 2012/2013. Lycée Prévert. Corrigé du contrôle n 3. Durée : 3 heures. Mardi 20/11/12 TS. 01/013. Lycée Prévert. Corrigé du contrôle n 3. Durée : 3 heures. Mardi 0/11/1 Exercice 1 : ( 6,5 pts) Première partie : Démonstration à rédiger { Démontrer que si ( ) et (v n ) sont deux suites telles

Plus en détail

Cours polycopié pour le module Mathématique II

Cours polycopié pour le module Mathématique II Université Paul Sabatier - UFR MIG - Département de Mathématique. Année scolaire 2009/2010. Cours polycopié pour le module Mathématique II Conventions. Dans ce qui suit, les mots en italiques sont ceux

Plus en détail

Chapitre IV : Couples de variables aléatoires discrètes

Chapitre IV : Couples de variables aléatoires discrètes UNIVERSITÉ DE CERG Année 0-03 UFR Économie & Gestion Licence d Économie et Gestion MATH0 : Probabilités Chapitre IV : Couples de variables aléatoires discrètes Généralités Définition Soit (Ω, P(Ω), P)

Plus en détail

TOPOLOGIE - SÉRIE 1. x f 1 B i f(x) B i x f 1 (B i ). f 1 ( i I B i) = i I f 1 (B i ); en effet. f 1 B i = f 1 B i et f 1 (B \ B ) = A \ f 1 B ; i I

TOPOLOGIE - SÉRIE 1. x f 1 B i f(x) B i x f 1 (B i ). f 1 ( i I B i) = i I f 1 (B i ); en effet. f 1 B i = f 1 B i et f 1 (B \ B ) = A \ f 1 B ; i I TOPOLOGIE - SÉRIE 1 Exercice 1. Soit f : A B une application. Prouver que (a) A f 1 fa pour tout A A, avec égalité si f est injective; (b) ff 1 B B pour tout B B, avec égalité si f est surjective; Preuve.

Plus en détail

PAD - Notes de cours. S. Rigal, D. Ruiz, et J. C. Satgé

PAD - Notes de cours. S. Rigal, D. Ruiz, et J. C. Satgé ALGÈBRE PAD - Notes de cours S. Rigal, D. Ruiz, et J. C. Satgé November 23, 2006 Table des Matières Espaces vectoriels Applications linéaires - Espaces vectoriels............................... 3 -. Approche

Plus en détail

Programme de Première

Programme de Première BAC TECHNO STAV 66 I. Algèbre Programme de Première Objectif 1 - Effectuer de manière autonome des calculs numériques ou algébriques, résoudre des équations ou inéquations en vue de résoudre des problèmes

Plus en détail

À propos des matrices échelonnées

À propos des matrices échelonnées À propos des matrices échelonnées Antoine Ducros appendice au cours de Géométrie affine et euclidienne dispensé à l Université Paris 6 Année universitaire 2011-2012 Introduction Soit k un corps, soit E

Plus en détail

Continuité d une fonction de plusieurs variables

Continuité d une fonction de plusieurs variables Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs

Plus en détail

Probabilités et Statistiques. Raphaël KRIKORIAN Université Paris 6

Probabilités et Statistiques. Raphaël KRIKORIAN Université Paris 6 Probabilités et Statistiques Raphaël KRIKORIAN Université Paris 6 Année 2005-2006 2 Table des matières 1 Rappels de théorie des ensembles 5 1.1 Opérations sur les ensembles................... 5 1.2 Applications

Plus en détail

Espaces vectoriels et applications linéaires

Espaces vectoriels et applications linéaires Espaces vectoriels et applications linéaires Exercice 1 On considère l'ensemble E des matrices carrées d'ordre 3 défini par,,, 1) Montrer que est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel des matrices

Plus en détail

Cours de terminale S Suites numériques

Cours de terminale S Suites numériques Cours de terminale S Suites numériques V. B. et S. B. Lycée des EK 13 septembre 2014 Introduction Principe de récurrence Exemple En Mathématiques, un certain nombre de propriétés dépendent d un entier

Plus en détail

Chapitre 5: Opérateurs dans les espaces de Hilbert. Notions d opérateur adjoint

Chapitre 5: Opérateurs dans les espaces de Hilbert. Notions d opérateur adjoint Chapitre 5: Opérateurs dans les espaces de Hilbert. Notions d opérateur adjoint 18 mars 2008 1 Généralités sur les opérateurs 1.1 Définitions Soient H et H deux espaces de Hilbert sur C. Définition 1.1

Plus en détail

MATHS VUIBERT. Rappels de cours Conseils de méthode Exercices guidés Exercices d approfondissement Problèmes de synthèse Tous les corrigés détaillés

MATHS VUIBERT. Rappels de cours Conseils de méthode Exercices guidés Exercices d approfondissement Problèmes de synthèse Tous les corrigés détaillés VUIBERT MÉTHODES EXERCICES PROBLÈMES MATHS ECE 2 e année Tout le programme Rappels de cours Conseils de méthode Exercices guidés Exercices d approfondissement Problèmes de synthèse Tous les corrigés détaillés

Plus en détail

+ 1. Qu est ce que cela donne pour notre calcul de 1,01? On pose x = 1,01 donc f (x) 1 + 1 0,01

+ 1. Qu est ce que cela donne pour notre calcul de 1,01? On pose x = 1,01 donc f (x) 1 + 1 0,01 Eo7 Dérivée d une fonction Vidéo partie. Définition Vidéo partie. Calculs Vidéo partie 3. Etremum local, théorème de Rolle Vidéo partie 4. Théorème des accroissements finis Eercices Fonctions dérivables

Plus en détail

Partie II. Supplémentaires d un sous-espace donné. Partie I. Partie III. Supplémentaire commun. MPSI B 8 octobre 2015

Partie II. Supplémentaires d un sous-espace donné. Partie I. Partie III. Supplémentaire commun. MPSI B 8 octobre 2015 Énoncé Dans tout le problème, K est un sous-corps de C. On utilisera en particulier que K n est pas un ensemble fini. Tous les espaces vectoriels considérés sont des K espaces vectoriels de dimension finie.

Plus en détail

Exercices de simulation 1

Exercices de simulation 1 Licence MIA 2ème année Année universitaire 2009-2010 Simulation stochastique C. Léonard Exercices de simulation 1 Les simulations qui suivent sont à effectuer avec Scilab. Le générateur aléatoire de Scilab.

Plus en détail

Corrigé de l examen partiel du 30 Octobre 2009 L2 Maths

Corrigé de l examen partiel du 30 Octobre 2009 L2 Maths Corrigé de l examen partiel du 30 Octobre 009 L Maths (a) Rappelons d abord le résultat suivant : Théorème 0.. Densité de Q dans R. QUESTIONS DE COURS. Preuve. Il nous faut nous montrer que tout réel est

Plus en détail

Base : une axiomatique

Base : une axiomatique Autour des groupes de réflexions Master 2 Mathématiques fondamentales Cours : Michel Broué Université Paris VII Denis Diderot TD : Vincent Beck Année 2005 2006 Base : une axiomatique a) D après (i), on

Plus en détail

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion

Plus en détail

Problèmes de Mathématiques Noyaux et images itérés

Problèmes de Mathématiques Noyaux et images itérés Énoncé Soit E un espace vectoriel sur IK (IK = IR ou lc). Soit f un endomorphisme de E. On pose f 0 = Id E, et pour tout entier k 1, f k = f f k 1. 1. Montrer que (Im f k ) k 0 et (Ker f k ) k 0 forment

Plus en détail

Cours3. Applications continues et homéomorphismes. 1 Rappel sur les images réciproques

Cours3. Applications continues et homéomorphismes. 1 Rappel sur les images réciproques Université de Provence Topologie 2 Cours3. Applications continues et homéomorphismes 1 Rappel sur les images réciproques Soit une application f d un ensemble X vers un ensemble Y et soit une partie P de

Plus en détail

Arithmétique. Préambule. 1. Division euclidienne et pgcd. Exo7. 1.1. Divisibilité et division euclidienne

Arithmétique. Préambule. 1. Division euclidienne et pgcd. Exo7. 1.1. Divisibilité et division euclidienne Exo7 Arithmétique Vidéo partie 1. Division euclidienne et pgcd Vidéo partie 2. Théorème de Bézout Vidéo partie 3. Nombres premiers Vidéo partie 4. Congruences Exercices Arithmétique dans Z Préambule Une

Plus en détail

Première partie. Deuxième partie

Première partie. Deuxième partie PC 96-97 correction épreuve X97 Première partie. f étant convexe sur l intervalle [t, t 2 ], sa courbe représentative est en dessous la corde joignant les points (t, f(t )) et (t 2, f(t 2 )). Comme f(t

Plus en détail

Université de Cergy-Pontoise 2008-2009 Calcul Diff S6 M. Topologie

Université de Cergy-Pontoise 2008-2009 Calcul Diff S6 M. Topologie Université de Cergy-Pontoise 2008-2009 Calcul Diff S6 M Topologie 1 Espaces métriques 1.1 Distance Dans toute cette partie E représente un ensemble qui n est pas forcément un espace vectoriel. Définition

Plus en détail

ANALYSE MATHEMATIQUE. Jean SCHMETS

ANALYSE MATHEMATIQUE. Jean SCHMETS UNIVERSITE DE LIEGE Faculté des Sciences Institut de Mathématique ANALYSE MATHEMATIQUE Introduction aux espaces fonctionnels Notes du cours de la seconde candidature en sciences mathématiques ou en sciences

Plus en détail

Tests non-paramétriques de non-effet et d adéquation pour des covariables fonctionnelles

Tests non-paramétriques de non-effet et d adéquation pour des covariables fonctionnelles Tests non-paramétriques de non-effet et d adéquation pour des covariables fonctionnelles Valentin Patilea 1 Cesar Sanchez-sellero 2 Matthieu Saumard 3 1 CREST-ENSAI et IRMAR 2 USC Espagne 3 IRMAR-INSA

Plus en détail

VIII Relations d ordre

VIII Relations d ordre VIII Relations d ordre 20 février 2015 Dans tout ce chapitre, E est un ensemble. 1. Relations binaires Définition 1.0.1. On appelle relation binaire sur E tout triplet R = (E, E, Γ) où Γ est une partie

Plus en détail

Applications linéaires

Applications linéaires Applications linéaires I) Applications linéaires - Généralités 1.1) Introduction L'idée d'application linéaire est intimement liée à celle d'espace vectoriel. Elle traduit la stabilité par combinaison

Plus en détail

Cours de Probabilités. Jean-Yves DAUXOIS

Cours de Probabilités. Jean-Yves DAUXOIS Cours de Probabilités Jean-Yves DAUXOIS Septembre 2013 Table des matières 1 Introduction au calcul des probabilités 7 1.1 Espace probabilisable et loi de variable aléatoire........ 8 1.1.1 Un exemple

Plus en détail

Programme de mathématiques TSI1

Programme de mathématiques TSI1 Programme de mathématiques TSI1 1. PROGRAMME DE DÉBUT D ANNÉE I. Nombres complexes et géométrie élémentaire 1. Nombres complexes 1 2. Géométrie élémentaire du plan 3 3. Géométrie élémentaire de l espace

Plus en détail

Cours Intégration MA62. Université de Reims

Cours Intégration MA62. Université de Reims Cours Intégration MA62 Frédéric Hérau Université de Reims mai 2006 Table des matières Introduction 2 1 Préliminaires et Rappels 3 1.1 La droite achevée R............................... 3 1.2 Rappels sur

Plus en détail

Intégration et probabilités 2012-2013. TD3 Intégration, théorèmes de convergence Corrigé. 1 Petites questions. n hésitez pas à m envoyer un mail à

Intégration et probabilités 2012-2013. TD3 Intégration, théorèmes de convergence Corrigé. 1 Petites questions. n hésitez pas à m envoyer un mail à Intégration et probabilités 212-213 TD3 Intégration, théorèmes de convergence Corrigé xercice ayant été voué à être préparé xercice 1 (Mesure image). Soient (, A, µ) un espace mesuré, (F, B) un espace

Plus en détail

ADMISSION AU COLLEGE UNIVERSITAIRE Samedi 1 mars 2014 MATHEMATIQUES durée de l épreuve : 3h coefficient 2

ADMISSION AU COLLEGE UNIVERSITAIRE Samedi 1 mars 2014 MATHEMATIQUES durée de l épreuve : 3h coefficient 2 ADMISSION AU COLLEGE UNIVERSITAIRE Samedi 1 mars 2014 MATHEMATIQUES durée de l épreuve : 3h coefficient 2 Le sujet est numéroté de 1 à 5. L annexe 1 est à rendre avec la copie. L exercice Vrai-Faux est

Plus en détail

Systèmes différentiels. 1 Généralités, existence et unicité des solutions

Systèmes différentiels. 1 Généralités, existence et unicité des solutions Systèmes différentiels Cours de YV, L3 Maths, Dauphine, 2012-2013 Plan du cours. Le cours a pour but de répondre aux questions suivantes : - quand une équation différentielle a-t-elle une unique solution

Plus en détail

COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE D UNE FILE D ATTENTE À UN SERVEUR

COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE D UNE FILE D ATTENTE À UN SERVEUR Université Paris VII. Préparation à l Agrégation. (François Delarue) COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE D UNE FILE D ATTENTE À UN SERVEUR Ce texte vise à l étude du temps d attente d un client à la caisse d un

Plus en détail

Théorie de la mesure. S. Nicolay

Théorie de la mesure. S. Nicolay Théorie de la mesure S. Nicolay Année académique 2011 2012 ii Table des matières Introduction v 1 Mesures 1 1.1 Sigma-algèbres................................. 1 1.2 Mesures.....................................

Plus en détail

Opérateurs non-bornés

Opérateurs non-bornés Master Mathématiques Analyse spectrale Chapitre 4. Opérateurs non-bornés 1 Domaine, graphe et fermeture Soit H un espace de Hilbert. On rappelle que H H est l espace de Hilbert H H muni du produit scalaire

Plus en détail

Jeux à somme nulle : le cas fini

Jeux à somme nulle : le cas fini CHAPITRE 2 Jeux à somme nulle : le cas fini Les jeux à somme nulle sont les jeux à deux joueurs où la somme des fonctions de paiement est nulle. Dans ce type d interaction stratégique, les intérêts des

Plus en détail

Université de Cergy-Pontoise Département de Mathématiques L1 MPI - S1. Cours de Mathématiques 1

Université de Cergy-Pontoise Département de Mathématiques L1 MPI - S1. Cours de Mathématiques 1 Université de Cergy-Pontoise Département de Mathématiques L1 MPI - S1 Cours de Mathématiques 1 Table des matières 1 Un peu de formalisme mathématique 7 1.1 Rudiments de logique........................................

Plus en détail

Actions de groupes. Exemples et applications

Actions de groupes. Exemples et applications 4 Actions de groupes. Exemples et applications G, ) est un groupe multiplicatif et on note ou G si nécessaire) l élément neutre. E est un ensemble non vide et S E) est le groupe des permutations de E.

Plus en détail

Cours d analyse 1 Licence 1er semestre. Guy Laffaille Christian Pauly

Cours d analyse 1 Licence 1er semestre. Guy Laffaille Christian Pauly Cours d analyse 1 Licence 1er semestre Guy Laffaille Christian Pauly janvier 006 Table des matières 1 Les nombres réels et complexes 5 1.1 Nombres rationnels................................... 5 1. Nombres

Plus en détail

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1 . Sous-ensembles de R n et fonctions (suite) 1 Nappes paramétrées Si f une fonction de deux variables, son graphe est une surface incluse dans R 3 : {(x, y, f(x, y)) / (x, y) R 2 }. Une telle surface s

Plus en détail

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy

Plus en détail

Formules d inclusion-exclusion

Formules d inclusion-exclusion Université de Rouen L1 M.I.EEA 2011 2012 Mathématiques discrètes Formules d inclusion-exclusion Je présente ici une correction détaillée de l Exercice 5 de la Feuille d exercices 1, en reprenant le problème

Plus en détail

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015 Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k

Plus en détail

IV.1 Dual d un espace vectoriel... 77

IV.1 Dual d un espace vectoriel... 77 76 IV FORMES LINÉAIRES, DUALITÉ IV Formes linéaires, dualité Sommaire IV.1 Dual d un espace vectoriel.......... 77 IV.1.a Rappels sur les e.v................... 77 IV.1.b Rappels sur les applications linéaires........

Plus en détail

1 Topologies, distances, normes

1 Topologies, distances, normes Université Claude Bernard Lyon 1. Licence de mathématiques L3. Topologie Générale 29/1 1 1 Topologies, distances, normes 1.1 Topologie, distances, intérieur et adhérence Exercice 1. Montrer que dans un

Plus en détail

Le produit semi-direct

Le produit semi-direct Le produit semi-direct Préparation à l agrégation de mathématiques Université de Nice - Sophia Antipolis Antoine Ducros Octobre 2007 Ce texte est consacré, comme son titre l indique, au produit semi-direct.

Plus en détail

COURS METHODES MATHEMATIQUES POUR L INGENIEUR 2. Cours de filière MAM, ISTIL deuxième année. Ionel Sorin CIUPERCA

COURS METHODES MATHEMATIQUES POUR L INGENIEUR 2. Cours de filière MAM, ISTIL deuxième année. Ionel Sorin CIUPERCA COURS METHODES MATHEMATIQUES POUR L INGENIEUR 2 Cours de filière MAM, ISTIL deuxième année Ionel Sorin CIUPERCA Le but de ce cours est d introduire un outil très utilisé dans la modélisation mathématique

Plus en détail

CCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé

CCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé CCP PSI - 00 Mathématiques : un corrigé Première partie. Définition d une structure euclidienne sur R n [X]... B est clairement symétrique et linéaire par rapport à sa seconde variable. De plus B(P, P

Plus en détail

Eléments de correction du Bac Blanc n 2 de Mathématiquesdu Lundi 8 Avril2013. Calculatrice autorisée - Aucun document n'est autorisé.

Eléments de correction du Bac Blanc n 2 de Mathématiquesdu Lundi 8 Avril2013. Calculatrice autorisée - Aucun document n'est autorisé. TES Spé Maths Eléments de correction du Bac Blanc n 2 de Mathématiquesdu Lundi 8 Avril2013 Calculatrice autorisée - Aucun document n'est autorisé. Vous apporterez un grand soin à la présentation et à la

Plus en détail

Fondamentaux pour les Mathématiques et l Informatique :

Fondamentaux pour les Mathématiques et l Informatique : Université Bordeaux 1 Licence de Sciences, Technologies, Santé Mathématiques, Informatique, Sciences de la Matière et Ingénierie M1MI1002 Fondamentaux pour les Mathématiques et l Informatique Fondamentaux

Plus en détail

ANALYSE FONCTIONELLE ET THÉORIE DES OPÉRATEURS. COURS et EXERCICES

ANALYSE FONCTIONELLE ET THÉORIE DES OPÉRATEURS. COURS et EXERCICES MASTER (MATHÉMATIQUES PURES) ANALYSE FONCTIONELLE ET THÉORIE DES OPÉRATEURS COURS et EXERCICES Emmanuel Fricain - 2009-2010 - 2 Table des matières 1 Opérateurs bornés... 7 1.1 Adjoint d une application

Plus en détail

La fonction exponentielle

La fonction exponentielle La fonction exponentielle Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 2015/2016 Table des matières 1 Existence et unicité de la fonction exponentielle 2 1.1 Deux résultats préliminaires.......................................

Plus en détail

MPSI 3 - Cahier de vacances... MPSI 3-2004/2005

MPSI 3 - Cahier de vacances... MPSI 3-2004/2005 MPSI 3 - Cahier de vacances... MPSI 3-2004/2005 Voici une fiche contenant 100 exercices de difficulté raisonable, plutôt techniques, qui recouvrent l ensemble du programme étudié cette année. A raison

Plus en détail

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)

Plus en détail

CENTRALE PC 2000 ÉPREUVE DE MATH 2. Première partie

CENTRALE PC 2000 ÉPREUVE DE MATH 2. Première partie CENTRALE PC 2000 ÉPREUVE DE MATH 2 Première partie I. A. 1. La fonction x px kx 2 = x(p kx) présente un maximum pour toute valeur de p au point d abscisse x = p p2 et il vaut 2k 2k. Conclusion : J(f) =

Plus en détail

Support du cours de Probabilités IUT d Orléans, Département d informatique

Support du cours de Probabilités IUT d Orléans, Département d informatique Support du cours de Probabilités IUT d Orléans, Département d informatique Pierre Andreoletti IUT d Orléans Laboratoire MAPMO (Bât. de Mathématiques UFR Sciences) - Bureau 126 email: pierre.andreoletti@univ-orleans.fr

Plus en détail