Entiers aléatoires et analyse harmonique

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Entiers aléatoires et analyse harmonique"

Transcription

1 Entiers aléatoires et analyse harmonique Jean-Pierre Kahane et Yitzhak Katznelson Introduction. Il s agit dans cet article d ensembles de Sidon et de processus de Poisson ponctuels. Les ensembles de Sidon sur un groupe abélien discret (ici Z sont définis en [0] et le point actuel sur leur théorie se trouve en [6]. Au début des années 960 est apparu un problème, connu sous l appellation de conjecture de dichotomie ; est-il vrai qu une partie de Z est soit un ensemble de Sidon, soit un ensemble d analyticité? La question se présente ainsi : étant donné Λ Z, on désigne par A(Λ l algèbre des suites de coefficients de Fourier-Lebesgue, restreints à Λ, soit A(Λ = { ( ˆf (λ λ Λ : f L (T } et par c 0 (Λ l algèbre des suites à valeurs complexes, tendant vers 0 à l infini, indexées par Λ ; Λ est un ensemble de Sidon lorsque A(Λ = c 0 (Λ; on sait qu en tout cas les fonctions analytiques nulles en 0 opèrent dans A(Λ, c est à dire que si F(z est une telle fonction et ˆf A(Λ, prenant ses valeurs dans le domaine de F(z, alors F( ˆf A(Λ ; on connait également la réciproque lorsque Λ = Z : les seules fonctions F(x définies sur un intervalle réel contenant 0 et qui opèrent dans A(Z sont les fonctions analytiques nulles en 0 ; est-il vrai que, lorsque Λ n est pas un ensemble de Sidon, il est de même pour A(Λ? Au cours des années 970 le second auteur s est attaqué à un autre problème, concernant la distribution de Λ dans le groupe de Bohr B, compactification de Bohr de Z. En particulier, est-il vrai qu un ensemble de Sidon est non-dense dans B? Ces deux problèmes sont toujours ouverts, mais ils ont été testés de façon statistique, au moyen de suites d entiers aléatoires, par Katznelson et Malliavin (966 [3] et Katznelson (972 [4], [5]. Ce fut la première source d utilisation de sélection aléatoire dans l étude des ensembles de Sidon. ous reprenons l étude à partir de processus de Poisson ponctuels sur Z. Les définitions de ces processus et les principaux énoncés se trouvent dans la section.

2 ETIERS ALÉATOIRES... 2 La section 2 contient les préliminaires nécessaires pour la preuve du théorème ainsi que pour une partie de la section 5. Les sections 3 et 4 contiennent les preuves des théorèmes et 2. La section 5 rassemble quelques questions ouvertes, concernant les ensembles de Sidon, déterminés ou aléatoires, et les ensembles du type I 0, qui sont des ensembles de Sidon particuliers et seront définis à ce moment. Énoncés. Soit w n 0, (n Z, Ω un espace de probabilité, et Λ = Λ(w le processus ponctuel sur Z d intensité w = {w n }. Autrement dit, (. Λ = {n Z:ξ n > 0}, où les ξ n sont des variables aléatoires de Poisson indépendantes, de paramètres Eξ n = w n, (n Z. Il peut y avoir des points multiples dans Λ. Il est bon d observer que, si w n = w n + w n, Λ(w peut s obtenir en réunissant deux ensembles indépendants, Λ(w associé à w = {w n} et Λ(w associé à w = {w n}. En particulier, Λ(w est une fonction croissante de {w n }. Désormais, pour simplifier l écriture, nous allons supposer w n = 0 pour n 0. Voici les résultats en vue. Théorème. Si w n = O ( n (n, p.s. Λ est un ensemble de Sidon, Λ est discret et non-dense dans B, et l adhérence de Λ dans B est de mesure de Haar nulle. Théorème 2. Si limnw n =, p.s. Λ n est pas un ensemble de Sidon, Λ est dense dans B, et c est un ensemble d analyticité. Dans l énoncé du théorème 2 on ne peut pas remplacer limnw n = par la condition limsupnw n =. Par exemple si w n = quand n est une puissance de 2 et w n = 0 sinon, Λ est un ensemble de Sidon. Une caractérisation complète des {w n } pour lesquels Λ est un ensemble de Sidon parait hors de portée actuellement. Avant de procéder aux preuves, remarquons que dans les enoncés le rôle de variables aléatoires de Poisson n est pas essentiel pour la définition de Λ. Dans la suite, on confond Λ (avec ses points multiples et la suite qui lui sert de support. Cette dernière peut être définie comme {n Z:β n = }, oú {β n } est une suite de v.a. de Bernoulli indépendantes. avec E(β n = e w n. Mais le fait que Λ a des points multiples simplifie les calculs des mesures martingales dans la section 2. ous avons publié une version préliminaire des théorèmes et 2 dans [2], avec seulement un aperçu des preuves.

3 ETIERS ALÉATOIRES Préliminaires 2. Quelques T-martingales, (martingales à valeurs mesures. Fixons ε > 0, et soit f la fonction triangle d intégrale et de support [ ε,ε] : f (t = f ( t et f (t = ε 2 (ε t sur [0,ε]. Ecrivons (2. f = + ˆf j e j (e j (t = e( jt = e 2πi jt j 0 et observons que ˆf j > 0. Rappelons que, pour une v.a. de Poisson ξ de paramètre η, on a ( (2.2 E a ξ = e η(a. Prenons ξ n comme ci-dessus, avec w n = α/n. Posons (2.3 X n (t = f (nt ξ n exp ( α n ( f (nt (2.4 µ = et, pour ϕ C(T, (2.5 Y (ϕ = n= X n (tdt ϕ(tdµ, Y = Y ( = dµ (t T Proposition. Si 2α < ε 2, les mesures aléatoires µ convergent p.s. dans la topologie faible vers une mesure (aléatoire continue qui est non nullle avec probabilité strictement positive. Preuve. Pour toute fonction ϕ C(T, la suite Y (ϕ = ϕ(tdµ est une martingale satisfaisant Y (ϕ = ϕ(tdµ ϕ Y. La suite Y = Y ( est une martingale positive, d espérance, donc converge p.s. vers une v.a. Y 0. ous sommes intéressés au cas E(Y > 0. Pour qu il en soit ainsi, il suffit que les Y soient uniformément intégrables dans Ω, ce qui équivaut à E(Y =. Dans ce cas la martingale Y (ϕ converge pour toute ϕ C(T, c est-à-dire que la martingale de mesures µ converge faiblement vers une mesure (aléatoire µ telle que E( µ =. Il suffit donc que les Y soient bornés dans L 2 (Ω. ous allons montrer que la suite croissante des E ( Y 2 est bornée si α < ε 2.

4 ETIERS ALÉATOIRES... 4 ous montrons ensuite que sous l hypothèse 2α < ε 2 les coefficients de Fourier de µ, ˆµ k = T e( ktdµ, tendent p.s. vers zéro à l infini et, par le critère de Wiener, cela garantit la continuité de µ. E ( ( Y 2 = E T T Or = E T T = = T T n= T T m= ( m= n= n= X m (sx n (tdsdt X m (sx n (t dsdt = T T n= E(X n (sx n (tdsdt ( α ( exp f (ns f (nt ( f (ns ( f (nt dsdt n ( exp n= α ( f (ns f (nt ( f (ns ( f (nt dsdt n f (s f (t ( f (s ( f (t = ˆf j ˆf k e j (se k (t jk 0 d où résulte, en prenant en compte que ˆf j ˆf k = ˆf j ˆf k, (2.6 E ( Y 2 = exp( T T α ˆf j ˆf k L ( js + ktdsdt jk 0 avec (2.7 L (t = n= et on sait ([] chapitre V, formule 2.26 que (2.8 L (t log sinπt + a cos 2πnt n Il est important de noter que L (t 0 pour tout t. D après l inégalité de Hölder, ( a : constante absolue. (2.9 E ( ( Y 2 p expα p jk ˆf j ˆf k L ( jt + ksdt ds jk jk 0 T T si les p jk sont positifs et p jk =. Choisissons (2.0 p jk = ( ˆf j ˆf k ˆf j ˆf k jk 0

5 ETIERS ALÉATOIRES... 5 Ainsi p = et p jk jk ˆf j ˆf k = ( f (0 2 < ε 2. Le second membre de (2.9 s écrit alors ( (2. exp α ˆf j ˆf k L (t dt, T jk 0 qui est inférieur à e a T sinπt αε 2 dt. Pour avoir lime ( Y 2 <, il suffit donc que α < ε 2. ous allons montrer que µ est p.s. une mesure diffuse. Pour cela, observons que les coefficients de Fourier de µ, à savoir ˆµ k = T e( ktµ(dt, sont des limites p.s. des ˆµ,k, coefficients de Fourier de µ. Les calculs faits sur Y se transcrivent aux et l on obtient au lieu de (2.6 ( E ˆµ,k 2 = ˆµ,k = e( kt T T T n= X n (tdt e(ks ktexp α ˆf j ˆf l L ( js + ltdsdt. jl 0 Les calculs (2.8, (2.9, (2.0 montrent que les fonctions exp( α ˆf j ˆf l L ( js + lt jl 0 ont des normes bornées dans L (T 2 quand α < ε 2, donc des normes bornées dans L 2 (T 2 quand 2α < ε 2. Par conséquent, sous cette condition, ( ( sup E ˆµ,k 2 2 <, donc successivement k Z ( ( E ˆµk 2 2 <, k Z E ( ˆµ k 4 < k Z ˆµ k 4 < p.s. k Z Cela montre que µ est p.s. une mesure diffuse, et achève la preuve de la proposition.

6 ETIERS ALÉATOIRES Posons m µ = n=m X n (tdt et m µ = lim m µ. La loi de zéro-un permet de conclure du fait que P( m µ > 0 > 0 que p.s. m µ > 0 pour m > m(λ. Ecrivons : D = {t :Λt [ ε,ε]} D m = {t :([m, Λt [ ε,ε]} D = m D m. L ensemble aléatoire D m contient le support fermé de m µ qui, par la continuité de m µ, est un parfait, non vide si m µ 0. En effet, si nt / [ ε,ε] on a X n (s = 0 dans un voisinage de t, lequel est donc disjoint du support de µ. Soit I un intervalle dans T, et soient µ I = I µ et m µ I = m µ I les restrictions de µ et de m µ à I. Observons que E( µ I = I > 0 et par conséquent m µ I 0 pour m assez grand. Cela donne le corollaire suivant Corollaire. Pour tout intervalle non-vide I T, la puissance de D I est p.s. celle du continu. otons que pour tout t D l ensemble des points limites de Λt est contenu dans [ ε,ε]. 2.3 La proposition est valable si on remplace f et l intervalle [ ε,ε] par un intervalle de longueur 2ε quelconque. Pour le voir, il suffit de changer f (t en f (t ϑ, ϑ étant le centre de l intervalle, et de constater qu alors le second membre de (2.6 ne peut que diminuer, grâce au fait que L (t 0. aturellement, on obtient des ensembles de t disjoints pour des intervalles disjoints. Il est donc faux que l on puisse remplacer dans la proposition un ensemble dense de t par un ensemble de t de mesure positive. Cela tient au fait que les mesures X n (tdt ont pour limite p.s. une mesure singulière. 2.4 Ajoutons une proposition dont nous verrons l usage à la fin de cet article. Proposition 2. Supposons toujours w n = α n et 2α < ε2. Si I et I sont deux intervalles de longueur 2ε dans T et si Λ et Λ sont deux copies indépendantes de l ensemble aléatoire Λ associé à { α n } il existe un t T tel que p.s. à l exception d un ensemble fini on ait Λ t I et Λ t I. Remarquons d abord que cette propriété se généralise à ν intervalles et ν copies independants de Λ, moyennant la condition να < ε 2. Remarquons aussi que les t convenables forment un ensemble à derivé dense dans T comme dans la proposition.

7 ETIERS ALÉATOIRES... 7 Preuve de la proposition 2. Soient I = [ϑ ε,ϑ + ε], I = [ϑ ε,ϑ + ε] et la fonction triangle basée sur [ ε,ε] comme ci dessus. Au lieu de (2.2 posons (2.2 et au lieu de (2.5 X n(t = ( f (nt ϑ ξ n exp ( α n ( f (nt ϑ X n (t = ( f (nt ϑ ξ n exp ( α n ( f (nt ϑ (2.3 Y = T n= X n(tx n (tdt C est de nouveau une martingale positive, et le résultat est établi si E ( Y 2 = O( (. Les calculs se mènent de la même façon que sous la proposition, à cela près qu il faudra majorer E ( Y 2 par la valeur prise quand ϑ = ϑ = 0, en tenant compte de la positivité de L (t dans (2.6. L hypothèse 2α < ε 2 entraine bien E ( Y 2 = O( (. 3 Preuve du théorème. D après les remarques faites dans la partie, on peut se limiter à w n = α n. Si α est assez petit (α log3 < suffit, Λ est p.s. la réunion d un ensemble fini et d un ensemble quasi-indépendant, c est-à-dire sans relations linéaires 0 à coefficients 0,, entre ses éléments. En effet, soit 3 < A < exp α, et soit n ν le cardinal de Λ [0,A ν ], qui est une variable aléatoire de Poisson de paramètre α n A ν n < ν. On a p.s. n ν < ν pour ν assez grand. La probabilité pour que, Λ [0,A ν ] étant fixé, il y ait un point λ dans Λ [A ν,a ν+ ] qui soit combinaison linéaire à coefficients 0,, des éléments de Λ [0,A ν ] ne dépasse pas la borne supérieure des n B α/n pour tous les ensembles B de cardinal 3 n ν contenus dans Λ [A ν,a ν+ ], qui est p.s. O(3 ν A ν (ν. Il est donc presque sûr qu à partir d un certain rang ν 0 ce n est pas le cas, donc que Λ [A, [ est quasi-indépendant. En général, Λ est p.s. une réunion finie d ensembles quasi-indépendants, qu on sait être un ensemble de Sidon, [6]. Soit A B (Λ l adhérence de Λ dans B. Le fait que, p.s., Λ est discret est une conséquence de (3. p.s. Z A B (Λ = /0. Soit m Z, m 0, prenons 0 < η < 2 ε et t D tel que mt 2 < η, ce qui est possible car D est dense dans T. L ensemble {l :lt ( 2 η, 2 + η} est

8 ETIERS ALÉATOIRES... 8 l intersection de Z et d un voisinage de m dans B qui ne contient qu un nombre fini de points de Λ, donc m / A B (Λ. On montre que 0 / A B Λ en partant, (voir 2.3, d un intervalle I qui ne contient pas 0. Montrons maintenant que µ B (A B Λ = 0, µ B est la mesure de Haar de B. Il est clair qu il en résulte en particulier que A B Λ est non-dense dans B (ce qui résulte aussi de (3.. Preuve que µ B (A B Λ = 0. L ensemble D étant non dénombrable, il contient, pour tout entier k > 0, des points t,t 2,...,t k, tels que le vecteur t = (t,t 2,...,t k soit un générateur de T k, c est-àdire que l ensemble Z(t,t 2,...,t k est dense dans T k. L application m mt de Z dans T k se prolonge à un homomorphisme h t de B dans T k, qui envoie µ B sur la mesure de Haar de T k. Or, d après la partie 2.2, h t (A B Λ [ ε,ε] k. La mesure de la préimage dans B de cet ensemble est égale à (2ε k et majore µ B (A B Λ. Ceci étant vrai pour tout k, la mesure de Haar de A B Λ est nulle. Cela achève la preuve du théorème. 4 Preuve du théorème 2. Dans l hypothèse lim n nw n =, le fait que p.s. Λ n est pas un ensemble de Sidon résulte d un critère connu : si Λ etait un ensemble de Sidon, on aurait Λ [,] = O(log (, ce qui n est pas le cas. 4. Preuve de la densité dans B. Pour les notions de base sur la densité dans B, on peut se référer à [5]. Première étape, réduction du problème. Dire que Λ est dense dans B, c est dire que pour tout s et tout t T s, l adhérence dans T s de Λt, Λt, est l adhérence dans T s de Zt (le groupe fermé engendré par t, soit Λt = Zt. On distingue dans T s des sous-groupes propres maximaux, qui sont isomorphes à T s (pour s 2 et qui sont en infinité dénombrable. Les générateurs de T s sont les éléments qui n appartiennent à aucun de ces sous-groupes. Si on a établi que l adhérence dans T s de Λt est aussi l adhérence de Zt, p.s., cela vaut dans tous les sous-groupes propres maximaux de T s. Pour démontrer la même chose dans T s il suffit de se borner aux générateurs, pour lesquels Zt = T s (pour s =, ce sont les irrationnels. Comme Λ(w est une fonction croissante de w (section, le théorème sera prouvé si l on établit que, pour tout ouvert O de T s, il existe un α > 0 tel que, si Λ est un processus de Poisson ponctuel sur d intensité { α n }, il est presque sûr que pour tout générateur t de T s, Λt O /0.

9 ETIERS ALÉATOIRES... 9 Deuxième étape, la preuve dans le cas s =. s agit d établir la proposition suivante. Prenons pour O un intervalle I. Il Proposition. Si α I >, et si Λ est un processus ponctuel de Poisson sur de paramètre α n, il est presque sûr que, pour tout irrationnel t T, Λt I /0. Idée de la preuve. Soit Λ = Λ [0, ]. Soit I un intervalle intérieur à I, à distance d de son complémentaire. Pour établir que Λt I /0, il suffira de montrer qu il existe un t, t t < d/, et un λ Λ tel que λt I. On mettra en évidence un entier et un ensemble fini, (d/-dense dans T, de points t tels que, très probablement, Λ t I /0 pour tous ces points. Mise en place. Soit f C 2 (T, à support dans I, positive et majorée par sur I : 0 f I. Pour t donné, (4. Λ t I = /0 I (λt = 0 ξ n I (nt = 0. λ Λ n α Or n ξ n I (nt est une v.a. de Poisson de paramètre n n I (nt, d où P ( Λ t I = /0 ( α ( = exp n n α I (nt exp n n f (nt. On pose donc f (t = ˆf (0 + + (a j cos2π jt + b j sin2π jt = ˆf (0 + g(t + h(t j J j>j exp ( α n n f (nt = exp ( ( α ˆf (0 exp α n n n n g(nt exp ( α n n h(nt Choisissons J de façon que h C(T < ε ˆf (0, puis δ > 0 et l ouvert (4.2 G = G(δ = {t : j J, sinπ jt > δ}. Remarquons que, avec la notation de (2.7, (4.3 n n g(nt = ( a j j J n = a j L ( jt + O( j J n cos2πn jt + b j n Compte rendu de (2.8, on obtient pour t G ( α exp n n f (nt C δ α ˆf (0( ε. sin2πn jt n

10 ETIERS ALÉATOIRES... 0 Fin de la preuve. Partons de α, tel que α I >. Définissons I, puis f et ε de façon que α I > et α ˆf (0( ε >. Puis choisissons J comme ci-dessus. L analyse qui précède donne, pour tout δ > 0 fixé (qui définit G et t G (4.4 P ( Λ t I = /0 dt < C δ α ˆf (0( ε. G Posons t = ϑ + m M, ϑ [0, M ], m = 0,,...M (M sera défini ensuite (4.5 P ( Λ t I = /0 dt = dϑ P ( Λ t I = /0 G [0. M ] ϑ+ M m G donc il existe un ϑ [0, M ] tel que (4.6 ϑ+ m M G P ( Λ (ϑ + m M I = /0 C δ M α ˆf (0( ε donc (ϑ ainsi fixé P ( (ϑ + m M G : Λ (ϑ + m M I = /0 C δ M α ˆf (0( ε Soit G M = {t G: t = ϑ + m M G, t t < M }. Si M > d, alors le fait que t G M et Λ t I = /0 entraine que pour un certain t, Λ t I = /0. Donc (4.7 P ( t G M : Λ t I = /0 C δ M α ˆf (0( ε sous la condition M > d. Choisissons M d. Alors (4.8 P ( t G M : Λ t I = /0 tend vers 0 quand. Comme les G M tendent vers G, (4.9 P ( t G : Λt I = /0 = 0. En prenant une suite de δ 0, on voit qu il est presque sûr que chaque t qui ne vérifie pas J j= sinπ jt = 0 (ensemble rationnel fini est tel que Λt rencontre I. Cela termine la preuve quand s =. Troisième étape, cas général. On repète la preuve du cas s =. Rien n est changé dans la mise un place sinon de remplacer jt par le produit scalaire j t avec j Z s, t T s. Mais il faudra remplacer [0, M ] dans (4.5 par [0, M ]s, et M dans (4.6 et la suite par M s. Il faudra donc partir de α vol(o > s. ous discuterons dans la section 5 ce qui se passe si, au lieu de prendre t un générateur de T s, nous considérons des t générateurs de sous-groupes de T s.

11 ETIERS ALÉATOIRES Reste à établir que Λ est p.s. un ensemble d analyticité. La preuve est inspirée de [3]. Rappelons que A(T désigne l algèbre des fonctions continues sur T qui sont sommes de séries trigonometriques absolument convergentes, et PM(T son dual, constitué de pseudomesures, c est-à-dire de distributions de Schwartz dont les coefficients de Fourier sont bornés : A(T = F l (Z, PM(T = F l. De même on définit A(R = F L (R, et PM(R = F L (R. Pour montrer qu une partie Λ de Z est un ensemble d analyticité il suffit d attacher à des r = 2 ν (ν entier arbitrairement grands, une partie finie Λ r de Λ, une mesure positive τ r portée par Λ r, et une fonction réelle ϕ r A(R, telles que (4.0 ϕ r A(R < Cr et τ r e iϕ r PM(R < C τ r M(R e cr, C et c étant des constantes absolues, et M(R étant l espace des mesures bornées sur R. C est notre programme. ous savons qu il existe ϕ A(T, réelle, telle que, désignant par µ la mesure de Haar sur T on ait (4. ϕ A(T < r et µe iϕ PM(T < e cr (tout c < convient, On peut ajouter la condition que ϕ soit portée par un intervalle I de longueur I = 2 et remplacer (4. par (4.2 ϕ A(T < r et µ I e iϕ PM(T < C µ I M(T e cr. En utilisant le fait que e iϕ A(T, un calcul simple montre qu on peut remplacer ci-dessus µ par µ q = q q k= dès que q est assez grand. Fixons q = q r tel qu il en soit ainsi, en imposant aussi par commodité que q soit une puissance de 2. Transportons T sur R, c est-à-dire considérons ϕ comme une fonction -périodique, et fixons I comme intervalle réel de longueur 2 ; ainsi ϕ est portée par m Z (I +m. Les pseudomesures portées par I peuvent être considérées dans PM(R comme dans PM(T, avec des normes equivalentes. Posons E = M m= (I + m, où l entier M sera choisi plus tard. Soit V E la fonction trapèze égale à sur E et à 0 aux points dont la distance à E est supérieure à diam(e. A partir de (4.2 nous obtenons δ k/q (4.3 ϕv E A(R < Cr et µ q I e iϕ PM(R < C µ q I M(R e cr,

12 ETIERS ALÉATOIRES... 2 où c et C sont des constantes absolues. Dans (4.3 on peut remplacer I par I+m, et aussi par toute combinaison linéaire des I+m à coéfficients γ m positifs, soit χ = γ m I+m (γ m > 0, à condition de remplacer µ q par le peigne de Dirac q k Z δ k/q. Effectuons sur R la transformation linéaire t qt + K où K est un entier qui sera choisi plus tard ; cela se traduit par une isométrie de chacun des espaces A(R, M(R, et PM(R. Posons ϕ r (t = ϕ( t K q V E (t K q, σ r = χ( t K q δ k. k Z Alors (4.3 se traduit en (4.4 ϕ r A(R < Cr et σ r e iϕ r PM(R < C σ r M(R e cr. La mesure σ r est portée par F = Z (qe + K = M ( Z (qi + qm + K. m= Revenons à Λ = Λ(ω = {n Z:ξ n > 0}, où les ξ n sont des v.a. de Poisson indépendantes de paramètres w n, avec w n = 0 pour n < 0, et lim n nw n =. Quitte à réduire Λ en diminuant w n, nous pouvons supposer, outre la condition lim n nw n =, que w n est constant à partir d un certain rang sur tous les intervalles joignant deux multiples consécutifs d une puissance de 2 donnée. On choisit pour K une puissance de 2 assez grande pour que w n soit constant sur chaque intervalle Z qi + qm + K, (m =,2,... ; nous choisissons pour γ m cette valeur constante lorsque m =, 2,..., M (M n est pas encore fixé. ous posons enfin τ r = τ r (ω = ξ n δ n n F de telle sorte que E(τ r = n F w n δ n = σ r, et le programme consiste à passer de (4.4 à (4.0 (en modifiant les constantes s il le faut, avec une probabilité voisine de. ous allons utiliser l inégalité suivante, dans laquelle s étend sur un ensemble arbitraire de valeurs de n, < a n < et 0 < η < 2. (4.5 P ( (ξ n w n a n > η w n < exp( 4 η w n. La preuve de (4.5 passe par une estimation de la transformée de Laplace, à savoir E ( exp(u (ξ n w n a n = expw n (e ua n ua n < exp(u 2 w n

13 ETIERS ALÉATOIRES... 3 quand 0 < u <, suivie de la majoration du premier membre de (4.5 par exp ( (u 2 η w n. En particulier, on a (4.6 P ( ξ n > 2 w n < exp( 4 w n Etudions maintenant la distribution de la v.a. (τ r σ r e iϕ r PM(R. Comme τ r σ r est portée par Z [K,K + qm], un échantillonnage au moyen de 2qM points t j permet d évaluer la norme L de la transformée de Fourier de (τ r σ r e iϕ, à savoir (4.7 (τ r σ r e iϕ r PM(R 2 sup j=,2,...,2qm En application de (4.5 on obtient n F (ξ n w n e iϕr(n e int j. (4.8 P ( (τ r σ r e iϕ r PM(R > 4η w n < 2qM exp( n F 4 η w n. n F Lorsque q et K sont fixés, F ne depend que de M, et on a n F w n = 2 Mq w n + O(, (M. L hypothèse lim n nw n = assure que (4.9 lim log w n =. Rappelons que r = 2 ν. Choisissons M = M ν de façon que n F w n > 4ν 2 logm et prenons η = ν. Alors (4.8 s écrit (4.20 P ( (τ r σ r e iϕ r PM(R > 4 ν σ r M(R < 2qM ν. D après (4.6, on a P ( τ r M(R > 2 σ r M(R < M ν 2, donc, d après (4.4, (4.2 P ( τ r e iϕ r PM(R > (C + 2 ν τ r M(R e cr < 2qM ν + M ν2. Il suit de (4.2 que p.s. pour r = 2 ν assez grand, on a (4.0, ce qui achève la démonstration.

14 ETIERS ALÉATOIRES Questions et remarques finales. 5. Rappelons les questions classiques sur les ensembles de Sidon :. sont-ils nécessairement réunions finies d ensembles quasi-independants? 2. sont-ils nécessairement non-denses dans le groupe de Bohr? Ces questions se posent quand il s agit de Z et de B, dual de T d. Mais elles se posent également pour d autres groupes abéliens. La première question admet une réponse complète, positive, quand on remplace T par le groupe de Cantor [,] ; c est un cas particulier du théorème de Malliavin-Malliavin [7], étendu par Pisier. Les meilleures approches du cas général sont dues à Pisier et à Bourgain, avec de nouvelles caractérisations des ensembles de Sidon (voir p.ex. [6]. Avant d examiner la seconde question, nous allons discuter les définitions d ensembles de Helson et d ensembles de Sidon. Un ensemble de Helson est défini dans un groupe abélien localement compact : c est une partie compacte E du groupe telle que toute fonction continue sur E soit la restriction d une transformée de Fourier de fonction intégrable, en bref, C(E = A(E. Une définition équivalente est que, pour les mesures portées par E, les normes mesures et pseudomesures sont équivalentes, c est à dire qu il existe une constante C telle que µ M(E C ˆµ pour toute µ M(E, voir [0]. Un ensemble de Sidon est défini ordinairement dans un groupe discret, et jusqu à présent nous étions dans ce cadre en travaillant sur Z. Mais, de façon cohérente avec le cas d un groupe discret, nous pouvons définir un ensemble de Sidon dans une partie discrète d un groupe abélien localement compact par la même condition que nous venons de donner pour les ensembles de Helson : µ M(E C ˆµ pour toute µ M(E. Dans ce cadre, nous pouvons étendre la seconde question ainsi : Un ensemble de Sidon dans un groupe abélien infini compact G, est-il nécessairement non-dense dans G? La réponse est alors négative. Soit Γ T d un sous-groupe qui est la réunion An d une suite d ensembles A n de dimension de Minkowski nulle, (c est à dire : chaque A n peut être recouvert par (ε intervalles de longueur ε, avec (εε d = o(, (ε 0, quel que soit d > 0, ce qui est le cas si Γ est engendré par un ensemble A dont la dimension de Minkowski est nulle (on définit A n comme la somme algébrique de n copies de (A A. Prenons pour G le dual de Γ(A et observons que Z est dense dans G. Les calculs et la discussion de la partie 4. montrent alors que les ensembles de Sidon aléatoires construits dans Z à partir de w n = α n, α > 0 quelconque, sont également p.s. denses dans G. On peut se référer à [5], théorème 3.2, pour un énoncé voisin et le détail de la preuve (écrite pour dimension s entière, mais qui s applique aussi bien pour s fractionnaire.

15 ETIERS ALÉATOIRES La généralisation la plus immédiate de notre étude consiste à partir de Z d au lieu de Z, de le munir d un poids w : Z d R + et de considérer la partie aléatoire de Z d définie par Λ(ω = {n Z d :ξ n > 0}, où les ξ n sont des variables aléatoires indépendantes, suivant les lois de Poisson de paramètres w n (ou, de manière équivalente, des lois de Bernoulli d espérances e w n Les résultats sont alors les suivants :. Si limsupw n n d < quand n, alors Λ est p.s. un ensemble de Sidon, qui, dans le compactifié de Bohr de Z d, B(Z d, est discret et a une adhérence dont la mesure de Haar est nulle. 2. Si limw n n d =, alors Λ est p.s. d analyticité, et dense dans B(Z d. Les méthodes des preuves sont les mêmes. Le principal changement est d introduire la fonction L(t = n d cos2πn t, n Z d \{0} de la décomposer en une série de polynômes trigonométriques dont les sommes partielles L (t sont bornées inférieurement, et de décomposer Λ de la même façon en réunion finie d ensembles aléatoires finis indépendants. 5.3 Revenons au cas de Z, T et B. La seconde question de 5. admet des variantes plus exigeantes, dont nous allons expliciter la signification. ous noterons A B S l ensemble d accumulation d un ensemble d entiers S dans le groupe de Bohr B.. Si S est un ensemble de Sidon, est-il vrai que A B S soit de mesure de Haar nulle dans B? 2. Si S est un ensemble de Sidon, est-il vrai que A B S soit un ensemble de Helson dans B? 3. Si S est un ensemble de Sidon, est-il vrai que S soit une réunion finie d ensembles de type I 0? 4. Est-il vrai que les Λ du théorème sont p.s. des ensembles de type I 0? Rappelons qu un ensemble de Helson dans un groupe abélien compact est un compact défini par le fait que toute fonction continue sur ce compact est prolongeable sur le groupe en une somme de série de Fourier absolument convergente. Un ensemble de type I 0, au sens de Hartman et Ryll-ardzewski, est une partie E de R telle que toute fonction bornée sur E se prolonge en une fonction presquepériodique sur R. On sait qu alors toute fonction bornée sur E est la restriction à E de la transformée de Fourier d une mesure discrète, donc que E est un ensemble de Sidon, et de plus que l adhérence E de E dans le groupe de Bohr est un ensemble

16 ETIERS ALÉATOIRES... 6 de Helson [](voir aussi [8],[9]. On voit facilement qu un ensemble d entiers A est de type I 0 si, et seulement si, pour chaque partition de A en deux parties A et A 2, les adhérences dans B de A et de A 2 sont disjointes. Une autre façon de poser la question 4 est donc la suivante : 4. Est-il vrai que p.s. pour chaque partition de en deux parties et 2, les adhérences dans B de Λ et de Λ 2 soient disjointes? Sans répondre à cette question, nous pouvons dire ceci : lorsque w n = α n avec α assez petit, pour chaque partition de en deux parties et 2, il est presque sûr que les adhérences dans B de Λ et de Λ 2 sont disjointes. En effet, choisissons deux suites de v.a. de Poisson mutuellement indépendantes, {ξ n} {ξ n }, avec E(ξ n = E(ξ n = α n. Il leur correspond deux ensembles aléatoires Λ et Λ indépendants. La loi du couple ( Λ,Λ 2 est la même que celle du couple ( Λ,Λ 2. Il suffit donc de montrer que les adhérences dans B de Λ et de Λ sont p.s. disjointes. Comme Λ Λ est fini p.s. (puisque n P(n Λ Λ <, la propriété d adhérences disjointes est une propriété asymptotique, à laquelle s applique la loi du zéro-un. Il suffit donc de montrer que pour deux intervalles fermés disjoints dans T, I et I, et pour un t T, P(Λ t I et Λ t I > 0. Or, c est exactement ce que donne la proposition 2. ous nous trouvons avec la question 4 devant une situation fréquente en théorie des probabilités : il est relativement facile de montrer que pour tout X (ici X = partition de une propriété (ici les adhérences disjointes est presque sûre, et bien plus difficile, ou impossible, de montrer que presque sûrement la propriété a lieu pour tout X. Références [] Jean-Pierre Kahane. Ensembles de Ryll-ardzewski et ensembles de Helson. Colloquium Mathematicum 5 : 87 92, 966. [2] J. P. Kahane et Y. Katznelson. Entiers aléatoires, ensembles de Sidon, densité dans le groupe de Bohr et ensembles d analyticité. C.R. Acad. Sci. Paris, Ser I 345 : 2 24, [3] Y. Katznelson et P. Malliavin. Vérification statistique de la conjecture de la dichotomie sur une classe d algèbres de restriction. C.R. Acad. Sci. Paris, 262 : , 966.

17 ETIERS ALÉATOIRES... 7 [4] Y. Katznelson. Suites aléatoires d entiers. L analyse harmonique dans le domaine complexe (Actes Table Ronde Internat., Centre at. Recherche Sci., Montpellier, 972, Springer Lecture otes in Math, 336 : 48 52, 973. [5] Y. Katznelson. Sequences of integers dense in the Bohr group. In Proc. Royal Inst. Tech. Stockholm, 79 86, 973. [6] D. Li et H. Queffélec. Introduction à l étude des espaces de Banach. Analyse et probabilités. Cours Spécialisés, 2. Société Mathématique de France, Paris, [7] M. P. Malliavin-Brameret, et P. Malliavin, Caractérisation arithmétique d une classe d ensembles de Helson. C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A-B, 264 : A92 A93, 967. [8] L. Thomas Ramsey. Bohr cluster points of Sidon sets. Colloq. Math. 68 : , 995. [9] L. Thomas Ramsey. Comparisons of Sidon and I 0 sets. Colloq. Math. 70 : 03 32, 996. [0] Walter Rudin. Trigonometric series with gaps. J. Math. Mech. 9 : [] A. Zygmund. Trigonometric series. Vol. I, Third edition, Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press, 2002.

Limites finies en un point

Limites finies en un point 8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,

Plus en détail

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.

Plus en détail

Image d un intervalle par une fonction continue

Image d un intervalle par une fonction continue DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction

Plus en détail

Continuité en un point

Continuité en un point DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à

Plus en détail

I. Polynômes de Tchebychev

I. Polynômes de Tchebychev Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire

Plus en détail

Leçon 6. Savoir compter

Leçon 6. Savoir compter Leçon 6. Savoir compter Cette leçon est une introduction aux questions de dénombrements. Il s agit, d une part, de compter certains objets mathématiques (éléments, parties, applications,...) et, d autre

Plus en détail

n N = u N u N+1 1 u pour u 1. f ( uv 1) v N+1 v N v 1 1 2 t

n N = u N u N+1 1 u pour u 1. f ( uv 1) v N+1 v N v 1 1 2 t 3.La méthode de Dirichlet 99 11 Le théorème de Dirichlet 3.La méthode de Dirichlet Lorsque Dirichlet, au début des années 180, découvre les travaux de Fourier, il cherche à les justifier par des méthodes

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)

Plus en détail

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer

Plus en détail

La mesure de Lebesgue sur la droite réelle

La mesure de Lebesgue sur la droite réelle Chapitre 1 La mesure de Lebesgue sur la droite réelle 1.1 Ensemble mesurable au sens de Lebesgue 1.1.1 Mesure extérieure Définition 1.1.1. Un intervalle est une partie convexe de R. L ensemble vide et

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies

Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies Chapitre 6 Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies Nous allons maintenant revenir sur les espaces L p du Chapitre 4, à la lumière de certains résultats du Chapitre 5. Sauf mention

Plus en détail

Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach

Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach Chapitre 7 Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach L objet de ce chapitre est de définir un calcul fonctionnel holomorphe qui prolonge le calcul fonctionnel polynômial et qui respecte

Plus en détail

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés 2012-2013 1 Petites questions 1) Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? 2) Si F et G sont deux tribus, est-ce que F G est toujours une tribu?

Plus en détail

Agrégation interne de Mathématiques. Session 2009. Deuxième épreuve écrite. (et CAERPA)

Agrégation interne de Mathématiques. Session 2009. Deuxième épreuve écrite. (et CAERPA) Agrégation interne de Mathématiques (et CAEPA Session 2009 Deuxième épreuve écrite 2 NOTATIONS ET PÉLIMINAIES On désigne par le corps des nombres réels et par C le corps des nombres complexes. Si f est

Plus en détail

Suites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite

Suites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite Suites numériques 3 1 Convergence et limite d une suite Nous savons que les termes de certaines suites s approchent de plus en plus d une certaine valeur quand n augmente : par exemple, les nombres u n

Plus en détail

Développement décimal d un réel

Développement décimal d un réel 4 Développement décimal d un réel On rappelle que le corps R des nombres réels est archimédien, ce qui permet d y définir la fonction partie entière. En utilisant cette partie entière on verra dans ce

Plus en détail

Introduction à l étude des Corps Finis

Introduction à l étude des Corps Finis Introduction à l étude des Corps Finis Robert Rolland (Résumé) 1 Introduction La structure de corps fini intervient dans divers domaines des mathématiques, en particulier dans la théorie de Galois sur

Plus en détail

Espaces vectoriels et applications

Espaces vectoriels et applications Espaces vectoriels et applications linéaires 1 Définitions On parle d espaces vectoriels sur le corps R ou sur le corps C. Les définitions sont les mêmes en substituant R à C ou vice versa. Définition

Plus en détail

Moments des variables aléatoires réelles

Moments des variables aléatoires réelles Chapter 6 Moments des variables aléatoires réelles Sommaire 6.1 Espérance des variables aléatoires réelles................................ 46 6.1.1 Définition et calcul........................................

Plus en détail

Mesures gaussiennes et espaces de Fock

Mesures gaussiennes et espaces de Fock Mesures gaussiennes et espaces de Fock Thierry Lévy Peyresq - Juin 2003 Introduction Les mesures gaussiennes et les espaces de Fock sont deux objets qui apparaissent naturellement et peut-être, à première

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****

Plus en détail

CONCOURS GÉNÉRAL DES LYCÉES SESSION DE 2009 COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES. (Classe terminale S)

CONCOURS GÉNÉRAL DES LYCÉES SESSION DE 2009 COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES. (Classe terminale S) MA 09 CONCOURS GÉNÉRAL DES LYCÉES SESSION DE 009 COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (Classe terminale S) DURÉE : 5 heures La calculatrice de poche est autorisée, conformément à la réglementation. La clarté et

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables

Plus en détail

Théorie de la mesure. S. Nicolay

Théorie de la mesure. S. Nicolay Théorie de la mesure S. Nicolay Année académique 2011 2012 ii Table des matières Introduction v 1 Mesures 1 1.1 Sigma-algèbres................................. 1 1.2 Mesures.....................................

Plus en détail

Programme de mathématiques TSI1

Programme de mathématiques TSI1 Programme de mathématiques TSI1 1. PROGRAMME DE DÉBUT D ANNÉE I. Nombres complexes et géométrie élémentaire 1. Nombres complexes 1 2. Géométrie élémentaire du plan 3 3. Géométrie élémentaire de l espace

Plus en détail

Jeux à somme nulle : le cas fini

Jeux à somme nulle : le cas fini CHAPITRE 2 Jeux à somme nulle : le cas fini Les jeux à somme nulle sont les jeux à deux joueurs où la somme des fonctions de paiement est nulle. Dans ce type d interaction stratégique, les intérêts des

Plus en détail

Cours3. Applications continues et homéomorphismes. 1 Rappel sur les images réciproques

Cours3. Applications continues et homéomorphismes. 1 Rappel sur les images réciproques Université de Provence Topologie 2 Cours3. Applications continues et homéomorphismes 1 Rappel sur les images réciproques Soit une application f d un ensemble X vers un ensemble Y et soit une partie P de

Plus en détail

Tests non-paramétriques de non-effet et d adéquation pour des covariables fonctionnelles

Tests non-paramétriques de non-effet et d adéquation pour des covariables fonctionnelles Tests non-paramétriques de non-effet et d adéquation pour des covariables fonctionnelles Valentin Patilea 1 Cesar Sanchez-sellero 2 Matthieu Saumard 3 1 CREST-ENSAI et IRMAR 2 USC Espagne 3 IRMAR-INSA

Plus en détail

Le produit semi-direct

Le produit semi-direct Le produit semi-direct Préparation à l agrégation de mathématiques Université de Nice - Sophia Antipolis Antoine Ducros Octobre 2007 Ce texte est consacré, comme son titre l indique, au produit semi-direct.

Plus en détail

À propos des matrices échelonnées

À propos des matrices échelonnées À propos des matrices échelonnées Antoine Ducros appendice au cours de Géométrie affine et euclidienne dispensé à l Université Paris 6 Année universitaire 2011-2012 Introduction Soit k un corps, soit E

Plus en détail

Corrigé de l examen partiel du 30 Octobre 2009 L2 Maths

Corrigé de l examen partiel du 30 Octobre 2009 L2 Maths Corrigé de l examen partiel du 30 Octobre 009 L Maths (a) Rappelons d abord le résultat suivant : Théorème 0.. Densité de Q dans R. QUESTIONS DE COURS. Preuve. Il nous faut nous montrer que tout réel est

Plus en détail

Continuité d une fonction de plusieurs variables

Continuité d une fonction de plusieurs variables Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs

Plus en détail

Opérateurs non-bornés

Opérateurs non-bornés Master Mathématiques Analyse spectrale Chapitre 4. Opérateurs non-bornés 1 Domaine, graphe et fermeture Soit H un espace de Hilbert. On rappelle que H H est l espace de Hilbert H H muni du produit scalaire

Plus en détail

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion

Plus en détail

Formules d inclusion-exclusion

Formules d inclusion-exclusion Université de Rouen L1 M.I.EEA 2011 2012 Mathématiques discrètes Formules d inclusion-exclusion Je présente ici une correction détaillée de l Exercice 5 de la Feuille d exercices 1, en reprenant le problème

Plus en détail

La fonction exponentielle

La fonction exponentielle DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction

Plus en détail

Intégration et probabilités 2012-2013. TD3 Intégration, théorèmes de convergence Corrigé. 1 Petites questions. n hésitez pas à m envoyer un mail à

Intégration et probabilités 2012-2013. TD3 Intégration, théorèmes de convergence Corrigé. 1 Petites questions. n hésitez pas à m envoyer un mail à Intégration et probabilités 212-213 TD3 Intégration, théorèmes de convergence Corrigé xercice ayant été voué à être préparé xercice 1 (Mesure image). Soient (, A, µ) un espace mesuré, (F, B) un espace

Plus en détail

CCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé

CCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé CCP PSI - 00 Mathématiques : un corrigé Première partie. Définition d une structure euclidienne sur R n [X]... B est clairement symétrique et linéaire par rapport à sa seconde variable. De plus B(P, P

Plus en détail

La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1

La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1 La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1 La licence Mathématiques et Economie-MASS de l Université des Sciences Sociales de Toulouse propose sur les trois

Plus en détail

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy

Plus en détail

3 Approximation de solutions d équations

3 Approximation de solutions d équations 3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle

Plus en détail

Théorie de la Mesure et Intégration

Théorie de la Mesure et Intégration Université Pierre & Marie Curie (Paris 6) Licence de Mathématiques L3 UE LM364 Intégration 1 & UE LM365 Intégration 2 Année 2010 11 Théorie de la Mesure et Intégration Responsable des cours : Amaury LAMBERT

Plus en détail

Continuité et dérivabilité d une fonction

Continuité et dérivabilité d une fonction DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité

Plus en détail

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)

Plus en détail

Espérance conditionnelle

Espérance conditionnelle Espérance conditionnelle Samy Tindel Nancy-Université Master 1 - Nancy Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 1 / 58 Plan 1 Définition 2 Exemples 3 Propriétés de l espérance conditionnelle

Plus en détail

Projet CLANU en 3GE: Compléments d algèbre linéaire numérique

Projet CLANU en 3GE: Compléments d algèbre linéaire numérique Projet CLANU en 3GE: Compléments d algèbre linéaire numérique Année 2008/2009 1 Décomposition QR On rappelle que la multiplication avec une matrice unitaire Q C n n (c est-à-dire Q 1 = Q = Q T ) ne change

Plus en détail

Devoir à la maison : correction

Devoir à la maison : correction Calcul différentiel 2 Sous-variétés : bilan Devoir à la maison : correction Exercice 1. Un exemple de sous-variété : les structures complexes Soit E un R-espace vectoriel. Montrer que la donnée d une structure

Plus en détail

Introduction à la Topologie

Introduction à la Topologie Introduction à la Topologie Licence de Mathématiques Université de Rennes 1 Francis Nier Dragoş Iftimie 2 3 Introduction Ce cours s adresse à des étudiants de Licence en mathématiques. Il a pour objectif

Plus en détail

Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles

Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Filière : scientifique Voie : Biologie, chimie, physique et sciences de la Terre (BCPST) Discipline : Mathématiques Seconde année Préambule Programme

Plus en détail

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015 Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k

Plus en détail

Suites numériques 4. 1 Autres recettes pour calculer les limites

Suites numériques 4. 1 Autres recettes pour calculer les limites Suites numériques 4 1 Autres recettes pour calculer les limites La propriété suivante permet de calculer certaines limites comme on verra dans les exemples qui suivent. Propriété 1. Si u n l et fx) est

Plus en détail

Chapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme

Chapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet

Plus en détail

Séries de Fourier. T f (x) exp 2iπn x T dx, n Z. T/2 f (x) cos ( ) f (x) dx a n (f) = 2 T. f (x) cos 2πn x )

Séries de Fourier. T f (x) exp 2iπn x T dx, n Z. T/2 f (x) cos ( ) f (x) dx a n (f) = 2 T. f (x) cos 2πn x ) Séries de Fourier Les séries de Fourier constituent un outil fondamental de la théorie du signal. Il donne lieu à des prolongements et des extensions nombreux. Les séries de Fourier permettent à la fois

Plus en détail

Capes 2002 - Première épreuve

Capes 2002 - Première épreuve Cette correction a été rédigée par Frédéric Bayart. Si vous avez des remarques à faire, ou pour signaler des erreurs, n hésitez pas à écrire à : mathweb@free.fr Mots-clés : équation fonctionnelle, série

Plus en détail

Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications

Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010 Applications 1 Introduction Une fonction f (plus précisément, une fonction réelle d une variable réelle) est une règle qui associe à tout réel x au

Plus en détail

Épreuve pratique de mathématiques Printemps 2009. Descriptifs. (Page vide)

Épreuve pratique de mathématiques Printemps 2009. Descriptifs. (Page vide) Épreuve pratique de mathématiques Printemps 2009 Descriptifs (Page vide) Sujet 001 Épreuve pratique de mathématiques Descriptif Étude d une fonction dépendant d un paramètre Étant donné une fonction dépendant

Plus en détail

3. Conditionnement P (B)

3. Conditionnement P (B) Conditionnement 16 3. Conditionnement Dans cette section, nous allons rappeler un certain nombre de définitions et de propriétés liées au problème du conditionnement, c est à dire à la prise en compte

Plus en détail

L usage de la calculatrice n est pas autorisé.

L usage de la calculatrice n est pas autorisé. e3a Concours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMÈDE Épreuve de Mathématiques A durée 4 heures MP L usage de la calculatrice n est pas autorisé. Si, au cours de l épreuve, un candidat repère ce qui lui semble

Plus en détail

Espace de probabilité, indépendance et probabilité conditionnelle

Espace de probabilité, indépendance et probabilité conditionnelle Chapter 2 Espace de probabilité, indépendance et probabilité conditionnelle Sommaire 2.1 Tribu et événements........................................... 15 2.2 Probabilité................................................

Plus en détail

Méthodes de quadrature. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/48

Méthodes de quadrature. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/48 Méthodes de Polytech Paris-UPMC - p. 1/48 Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 2/48 Polynôme d interpolation

Plus en détail

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et

Plus en détail

DOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10.

DOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. A1 Trouvez l entier positif n qui satisfait l équation suivante: Solution 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. En additionnant les termes du côté gauche de l équation en les mettant sur le même dénominateur

Plus en détail

Approximation diophantienne uniforme et dimension de Hausdorff

Approximation diophantienne uniforme et dimension de Hausdorff Approximation diophantienne uniforme et dimension de Hausdorff Lingmin LIAO Travaux en collaboration avec Yann Bugeaud, Dong Han Kim et Micha l Rams Université Paris-Est Créteil Séminaire de Probabilités

Plus en détail

UNIVERSITE D ORLEANS SL01MA11, Groupes 1 et 5 Département de Mathématiques 2009-2010. N. El Hage Hassan S EXPRIMER EN MATHÉMATIQUES

UNIVERSITE D ORLEANS SL01MA11, Groupes 1 et 5 Département de Mathématiques 2009-2010. N. El Hage Hassan S EXPRIMER EN MATHÉMATIQUES UNIVERSITE D ORLEANS SL01MA11, Groupes 1 et 5 Département de Mathématiques 2009-2010 N. El Hage Hassan S EXPRIMER EN MATHÉMATIQUES 1 Les énoncés La plupart des phrases que l on rencontre dans un livre

Plus en détail

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1 . Sous-ensembles de R n et fonctions (suite) 1 Nappes paramétrées Si f une fonction de deux variables, son graphe est une surface incluse dans R 3 : {(x, y, f(x, y)) / (x, y) R 2 }. Une telle surface s

Plus en détail

2 Opérateurs non bornés dans un espace de Hilbert

2 Opérateurs non bornés dans un espace de Hilbert 2 Opérateurs non bornés dans un espace de Hilbert 2. Opérateurs non bornés: définitions et propriétés élémentaires Soit H un espace de Hilbert et A un opérateur dans H, c est-à-dire, une application linéaire

Plus en détail

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante

Plus en détail

Démonstrations exigibles au bac

Démonstrations exigibles au bac Démonstrations exigibles au bac On donne ici les 11 démonstrations de cours répertoriées comme exigibles dans le programme officiel. Toutes ces démonstrations peuvent donner lieu à une «restitution organisée

Plus en détail

Loi binomiale Lois normales

Loi binomiale Lois normales Loi binomiale Lois normales Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 204/205 Table des matières Rappels sur la loi binomiale 2. Loi de Bernoulli............................................ 2.2 Schéma de Bernoulli

Plus en détail

Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques.

Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. 14-3- 214 J.F.C. p. 1 I Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. Exercice 1 Densité de probabilité. F { ln x si x ], 1] UN OVNI... On pose x R,

Plus en détail

Mesure et Intégration (Notes de cours de L3)

Mesure et Intégration (Notes de cours de L3) Mesure et Intégration (Notes de cours de L3) Ahmed Zeriahi Version préliminaire-octobre 2011 Avertissement : Ceci est une version préliminaire des notes du cours que l auteur a dispensé en troisème année

Plus en détail

Raisonnement par récurrence Suites numériques

Raisonnement par récurrence Suites numériques Chapitre 1 Raisonnement par récurrence Suites numériques Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Raisonnement par récurrence. Limite finie ou infinie d une suite.

Plus en détail

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........

Plus en détail

Sur certaines séries entières particulières

Sur certaines séries entières particulières ACTA ARITHMETICA XCII. 2) Sur certaines séries entières particulières par Hubert Delange Orsay). Introduction. Dans un exposé à la Conférence Internationale de Théorie des Nombres organisée à Zakopane

Plus en détail

Exo7. Limites de fonctions. 1 Théorie. 2 Calculs

Exo7. Limites de fonctions. 1 Théorie. 2 Calculs Eo7 Limites de fonctions Théorie Eercice Montrer que toute fonction périodique et non constante n admet pas de ite en + Montrer que toute fonction croissante et majorée admet une ite finie en + Indication

Plus en détail

Le modèle de Black et Scholes

Le modèle de Black et Scholes Le modèle de Black et Scholes Alexandre Popier février 21 1 Introduction : exemple très simple de modèle financier On considère un marché avec une seule action cotée, sur une période donnée T. Dans un

Plus en détail

BTS Mécanique et Automatismes Industriels. Équations différentielles d ordre 2

BTS Mécanique et Automatismes Industriels. Équations différentielles d ordre 2 BTS Mécanique et Automatismes Industriels Équations différentielles d ordre, Année scolaire 005 006 . Définition Notation Dans tout ce paragraphe, y désigne une fonction de la variable réelle x. On suppose

Plus en détail

Lois de probabilité à densité Loi normale

Lois de probabilité à densité Loi normale DERNIÈRE IMPRESSIN LE 31 mars 2015 à 14:11 Lois de probabilité à densité Loi normale Table des matières 1 Lois à densité 2 1.1 Introduction................................ 2 1.2 Densité de probabilité

Plus en détail

Mathématiques assistées par ordinateur

Mathématiques assistées par ordinateur Mathématiques assistées par ordinateur Chapitre 4 : Racines des polynômes réels et complexes Michael Eisermann Mat249, DLST L2S4, Année 2008-2009 www-fourier.ujf-grenoble.fr/ eiserm/cours # mao Document

Plus en détail

Texte Agrégation limitée par diffusion interne

Texte Agrégation limitée par diffusion interne Page n 1. Texte Agrégation limitée par diffusion interne 1 Le phénomène observé Un fût de déchets radioactifs est enterré secrètement dans le Cantal. Au bout de quelques années, il devient poreux et laisse

Plus en détail

Les calculatrices, téléphones, tablettes, ordinateurs et autres appareils électroniques similaires, ainsi que les documents sont interdits.

Les calculatrices, téléphones, tablettes, ordinateurs et autres appareils électroniques similaires, ainsi que les documents sont interdits. Les calculatrices, téléphones, tablettes, ordinateurs et autres appareils électroniques similaires, ainsi que les documents sont interdits 1 La qualité de la rédaction est un facteur important dans l appréciation

Plus en détail

Eléments de correction du Bac Blanc n 2 de Mathématiquesdu Lundi 8 Avril2013. Calculatrice autorisée - Aucun document n'est autorisé.

Eléments de correction du Bac Blanc n 2 de Mathématiquesdu Lundi 8 Avril2013. Calculatrice autorisée - Aucun document n'est autorisé. TES Spé Maths Eléments de correction du Bac Blanc n 2 de Mathématiquesdu Lundi 8 Avril2013 Calculatrice autorisée - Aucun document n'est autorisé. Vous apporterez un grand soin à la présentation et à la

Plus en détail

X-ENS PSI - 2009 Un corrigé

X-ENS PSI - 2009 Un corrigé X-ENS PSI - 009 Un corrigé Première partie.. Des calculs élémentaires donnent χ A(α) = χ B(α) = X X + et χ A(α)+B(α) = X X + 4α + 4 On en déduit que Sp(A(α)) = Sp(B(α)) = {j, j } où j = e iπ 3 Sp(A(α)

Plus en détail

Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque

Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque Universités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Analyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque 1 Fonctions intégrables Définition 1 Soit I R un intervalle et soit f : I R + une fonction

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I

Plus en détail

Utiliser les propriétés Savoir réduire un radical savoir +,-,x,: Utiliser les propriétés des puissances Calculer avec des puissances

Utiliser les propriétés Savoir réduire un radical savoir +,-,x,: Utiliser les propriétés des puissances Calculer avec des puissances ARITHMETIQUE 1 C B A Numération Ecrire en lettres et en chiffres Poser des questions fermées autour d un document simple (message, consigne, planning ) Connaître le système décimal Déterminer la position

Plus en détail

ÉTUDE ASYMPTOTIQUE D UNE MARCHE ALÉATOIRE CENTRIFUGE

ÉTUDE ASYMPTOTIQUE D UNE MARCHE ALÉATOIRE CENTRIFUGE ÉTUDE ASYMPTOTIQUE D UNE MARCHE ALÉATOIRE CENTRIFUGE JEAN-DENIS FOUKS, EMMANUEL LESIGNE ET MARC PEIGNÉ J.-D. Fouks. École Supérieure d Ingénieurs de Poitiers. 40 avenue du Recteur Pineau, 860 Poitiers

Plus en détail

Théorie de la Mesure et Intégration

Théorie de la Mesure et Intégration Ecole Nationale de la Statistique et de l Administration Economique Théorie de la Mesure et Intégration Xavier MARY 2 Table des matières I Théorie de la mesure 11 1 Algèbres et tribus de parties d un ensemble

Plus en détail

Concours de recrutement interne PLP 2009

Concours de recrutement interne PLP 2009 Concours de recrutement interne PLP 2009 Le sujet est constitué de quatre exercices indépendants. Le premier exercice, de nature pédagogique au niveau du baccalauréat professionnel, porte sur le flocon

Plus en détail

Calculs approchés d un point fixe

Calculs approchés d un point fixe M11 ÉPREUVE COMMUNE DE TIPE 2013 - Partie D TITRE : Calculs approchés d un point fixe Temps de préparation :.. 2 h 15 minutes Temps de présentation devant les examinateurs :.10 minutes Dialogue avec les

Plus en détail

Les indices à surplus constant

Les indices à surplus constant Les indices à surplus constant Une tentative de généralisation des indices à utilité constante On cherche ici en s inspirant des indices à utilité constante à définir un indice de prix de référence adapté

Plus en détail

Développements limités, équivalents et calculs de limites

Développements limités, équivalents et calculs de limites Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin(

Plus en détail

Statistique Descriptive et Inférentielle Méthodes paramétriques et non paramétriques

Statistique Descriptive et Inférentielle Méthodes paramétriques et non paramétriques Fiche TD avec le logiciel : a2-1-c Statistique Descriptive et Inférentielle Méthodes paramétriques et non paramétriques Sylvain Mousset Rappels de probabilités / statistiques Table des matières 1 Probabilités

Plus en détail

Fonctions homographiques

Fonctions homographiques Fonctions homographiques On donne ci-dessous deux définitions des fonctions homographiques, et on montre que ces deux définitions sont équivalentes. On décrit la courbe représentative d une fonction homographique.

Plus en détail

Structures algébriques

Structures algébriques Structures algébriques 1. Lois de composition s Soit E un ensemble. Une loi de composition interne sur E est une application de E E dans E. Soient E et F deux ensembles. Une loi de composition externe

Plus en détail

Notes de cours de Probabilités Appliquées. Olivier François

Notes de cours de Probabilités Appliquées. Olivier François Notes de cours de Probabilités Appliquées Olivier François 2 Table des matières 1 Axiomes des probabilités 7 1.1 Introduction................................. 7 1.2 Définitions et notions élémentaires.....................

Plus en détail

Planche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé

Planche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette

Plus en détail

Théorie spectrale. Stéphane Maingot & David Manceau

Théorie spectrale. Stéphane Maingot & David Manceau Théorie spectrale Stéphane Maingot & David Manceau 2 Théorie spectrale 3 Table des matières Introduction 5 1 Spectre d un opérateur 7 1.1 Inversibilité d un opérateur........................... 7 1.2 Définitions

Plus en détail

1 Codes linéaires. G = [I k A]. Dans ce cas on constate que la matrice. H = [ t A I n k ] est une matrice de contrôle de C. Le syndrome de x F n q

1 Codes linéaires. G = [I k A]. Dans ce cas on constate que la matrice. H = [ t A I n k ] est une matrice de contrôle de C. Le syndrome de x F n q 1 Codes linéaires Un code de longueur n est une partie de F n q. Un code linéaire C de longueur n sur le corps ni F q est un sous-espace vectoriel de F n q. Par défaut, un code sera supposé linéaire. La

Plus en détail