Approximation diophantienne uniforme et dimension de Hausdorff

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Approximation diophantienne uniforme et dimension de Hausdorff"

Transcription

1 Approximation diophantienne uniforme et dimension de Hausdorff Lingmin LIAO Travaux en collaboration avec Yann Bugeaud, Dong Han Kim et Micha l Rams Université Paris-Est Créteil Séminaire de Probabilités et Théorie Ergodique LAMFA, Université de Picardie Jules Verne 20/01/2015 Lingmin LIAO, Université Paris-Est Créteil Approximation diophantienne uniforme et dimension de Hausdorff 1/33

2 Plan 1 Problèmes 2 Approximation uniforme liée aux rotations irrationnelles (avec Kim) 3 Approximation uniforme liée aux β-développements (avec Bugeaud) 4 Approximation uniforme liée aux puissances des nombres réels (avec Bugeaud et Rams) 5 Démonstrations sur les puissances des nombres Lingmin LIAO, Université Paris-Est Créteil Approximation diophantienne uniforme et dimension de Hausdorff 2/33

3 Problèmes Lingmin LIAO, Université Paris-Est Créteil Approximation diophantienne uniforme et dimension de Hausdorff 3/33

4 I. Dirichlet Notons la distance plus proche à l entier. Théorème de Dirichlet Uniforme (1842) : Soient θ, Q deux nombres réels avec Q > 1. Il existe un entier n tel que 1 n Q, et nθ < Q 1. Autrement dit, θ : Q > 1, nθ < Q 1 a une solution 1 n Q } = R. Théorème de Dirichlet Asymptotique (Corollaire) : Pour tout réel θ, il existe une infinité de nombres entiers n tel que nθ < n 1. Autrement dit, θ : nθ < n 1 pour une infinité de n } = R. Lingmin LIAO, Université Paris-Est Créteil Approximation diophantienne uniforme et dimension de Hausdorff 4/33

5 II. Approximation à grande vitesse Pour w > 1, quelle est la taille de l ensemble L w := θ : nθ < n w pour une infinité de n }? Lemme de Borel-Cantelli : si w > 1, il est de mesure de Lebesgue 0. Jarník 1929, Besicovith 1934 : Pour w > 1, dim H (L w ) = dim H θ : nθ < n w i.o. n } = 2/(w + 1). Parallèlement, on pourra aussi travailler sur l ensemble U w := θ : Q > 1, nθ < Q w a une solution 1 n Q }. Khintchine 1926 : Pour tout w > 1, U w est vide. Preuve : Théorie de fraction continue. Lingmin LIAO, Université Paris-Est Créteil Approximation diophantienne uniforme et dimension de Hausdorff 5/33

6 III. Avec un terme non-homogène? Levesley 1998 : pour tout θ R \ Q, w 1, posons L w (y) :=θ : nθ y < n w pour une infinité de n}. Alors dim H (L w (y)) = 2/(w + 1). Question ouverte : Fixons un terme non-homogène y. Quelle est la dimension de Hausdorff de l ensemble U w (y) := θ : Q 1, nθ y < Q w a une solution 1 n Q }? Remarque : } y + p U w (y) \ : n N, p Z L w (y). n Lingmin LIAO, Université Paris-Est Créteil Approximation diophantienne uniforme et dimension de Hausdorff 6/33

7 IV. Problèmes sur les termes non-homogènes Bugeaud 2003, Troubetzkoy-Schmeling 2003 : Pour tout θ R \ Q, w 1, posons L w [θ] :=y : nθ y < n w pour une infinité de n}. Alors dim H (L w [θ]) = 1/w. Question de Bugeaud and Laurent 2005 : pour un irrationnel θ fixé, quelle est la dimension de Hausdorff de l ensemble U w [θ] := y : Q 1, nθ y < Q w a une solution 1 n Q }. Remarque : U w [θ] \ nθ : n N} L w [θ]. Réponse de Kim et L : la deuxième partie de cet exposé. Lingmin LIAO, Université Paris-Est Créteil Approximation diophantienne uniforme et dimension de Hausdorff 7/33

8 V. Un peu de dynamique? Soit T θ la rotation sur R/Z définie par T θ (x) := x + θ mod 1. Alors U w := θ : N 1, T n θ (0) 0 < N w a une solution 1 n N}, U w (y) := θ : N 1, T n θ (0) y < N w a une solution 1 n N}, U w [θ] := y : N 1, T n θ (0) y < N w a une solution 1 n N}. En général, considérons une famille de transformations T θ } θ Θ (Θ R) sur un espace métrique (X, d) (par exemple, β-transformations). Soit r n une suite positive décroissant vers 0 (par exemple, r n = β nv, avec v > 0). Fixons x, y X, nous étudions les ensembles suivants : U(x, y) := θ Θ : N 1, d(t n θ x, y) < r N a une solution 1 n N}. U(θ, x) := y X : N 1, d(t n θ x, y) < r N a une solution 1 n N}. Appr. Asymp : Boshernitzan, Chazottes, Fayad, Hill-Velani... Pour la β-transformation T β, l appr. asymp. a été étudié par : Persson-Schmeling 2008, Shen-Wang 2013, Li-Persson-Wang-Wu 2014, et l appr. unif. par : Bugeaud et L, (La 3 partie de cet exposé). Lingmin LIAO, Université Paris-Est Créteil Approximation diophantienne uniforme et dimension de Hausdorff 8/33

9 VI. Relation avec le temps d atteinte Soit (T θ ) θ Θ (Θ R) une famille de systèmes sur un espace métrique (X, d). Definissons et R θ (x, y) := lim inf r 0 Alors (fixant x, y X), on a τr θ (x, y) = infn : Tθ n x B(y, r)}, log τr θ (x, y), R θ (x, y) := lim sup log r r 0 log τr θ (x, y). log r L w = θ : d(t n θ x, y) < n w i.o.} θ : R θ (x, y) 1/w}, U w = θ : N 1, 1 n N, d(t n θ x, y) < N w } θ : R θ (x, y) 1/w}. D où, U w est (presque) plus petit que L w. On aura la même chose si on fixe (θ, x) ou (θ, y). Lingmin LIAO, Université Paris-Est Créteil Approximation diophantienne uniforme et dimension de Hausdorff 9/33

10 VII. Problèmes sur les puissances des nombres réels Fixons y R et b > 1, on s intéresse aux ensembles et U(y, b) := L(y, b) := x > 1 : x n y < b n pour une infinité de n}, } x > 1 : N 1, x n y b N a une solution 1 n N. Dimension de Hausdorff de L(y, b) : Pollington 1980, Bugeaud Moshchevitin 2012, Kahane Dimension de Hausdorff de U(y, b) : Bugeaud L Rams (la quatrième partie de cet exposé). Question : Fixons x > 1 et b > 1. Quelles sont les dimensions de L(x, b) := y : x n y < b n pour une infinité de n}, } U(x, b) := y : N 1, x n y b N a une solution 1 n N? Lingmin LIAO, Université Paris-Est Créteil Approximation diophantienne uniforme et dimension de Hausdorff 10/33

11 Approximation uniforme liées aux rotations irrationnelles (avec Kim) Lingmin LIAO, Université Paris-Est Créteil Approximation diophantienne uniforme et dimension de Hausdorff 11/33

12 I. Dimension de U w [θ] := y : Q 1, 1 n Q, nθ y < Q w } Pour θ Q c, posons w(θ) := supβ > 0 : lim inf j j β jθ = 0}. Theorem (L, D.H. Kim) Soit θ un irrationnel avec w(θ) 1. Alors dim H (U w [θ]) est égale à 1, w < 1 w(θ), log( k 1 j=1 lim (n1/w j n j θ ) n 1/w+1 k ) 1 k log(n k n k θ 1, ) w(θ) < w < 1, log( k 1 j=1 lim n j n j θ 1/w ) k log(n k n k θ 1, 1 < w < w(θ), ) 0, w > w(θ). où n k est la sous-suite (maximale) de (q k ) telle que n 1/w k n k θ < 1, if 1/w(θ) < w < 1, n k n k θ 1/w < 2, if 1 < w < w(θ). Lingmin LIAO, Université Paris-Est Créteil Approximation diophantienne uniforme et dimension de Hausdorff 12/33

13 II. Graphes et comparaison 1 2 w w w 0 w 0 1/w case 1 : w 0 = w(θ) > case 2 : w(θ) = 1 1/w Remarque : pour les nombres de Liouville (w(θ) = ) : dim H (U w [θ]) = 0 w 1. Lingmin LIAO, Université Paris-Est Créteil Approximation diophantienne uniforme et dimension de Hausdorff 13/33

14 III. Exemples (i) Soit θ un irrationnel avec w(θ) = w 0 > 1 et q k+1 > q w0 k pour tout k. Alors pour chaque 1/w 0 < 1/w < w 0, on a dim H (U w [θ]) = w 0 w ( 1 w 1 w 0 (ii) Soit θ un irrationnel avec w(θ) = w 0 > 1. Supposons que la sous-suite k i } telle que q ki+1 > q w0 k i vérifie : a n+1 = 1 for n k i and > (q ki ) 2i. Alors, on a q ki+1 dim H (U w [θ]) = ). 1 ( 1 w 0+1 w + 1), for 1 1/w < w 0 0, for 1/w < 1. Lingmin LIAO, Université Paris-Est Créteil Approximation diophantienne uniforme et dimension de Hausdorff 14/33

15 IV. Exemples-continu (iii) Soit θ = 5 1 2, qui a quotients partiels : a k = 1 pour tout k. Alors w(θ) = 1, et U w [θ] = T pour w = 1. D où, 1, 1/w 1, dim H (U w [θ]) = 0 1/w < 1. (iv) Soit θ un irrationnel avec quotients partiels a k = k pour tout k. Alors w(θ) = 1 et 1, 1/w > 1, 1 dim H (U w [θ]) = 2, 1/w = 1, 0 1/w < 1. Lingmin LIAO, Université Paris-Est Créteil Approximation diophantienne uniforme et dimension de Hausdorff 15/33

16 V. Liens avec les dynamiques sur espaces homogènes Theorem (Y. Cheung (Ann. Math 2011)) L ensemble (θ 1, θ 2 ) : δ > 0, Q 1, 1 n Q, max nθ 1, nθ 2 } < δ a pour la dimension de Hausdorff 4/3. Remarque : L ensemble est appelé l ensemble des points singuliers. Posons G = SL 3 R, Γ = SL 3 Z. Pour t > 0, x = (x 1, x 2 ), posons e t x 1 g t = 0 e t 0, h x = 0 1 x e 2t Le vecteur x est singulier ssi (g t h x Γ) t 0 est une trajectoire divergente du flot homogène sur G/Γ induit par g t. Généralisation à dimension d : Cheung et Chevallier 2014, arxiv. Q 1 2 }. Lingmin LIAO, Université Paris-Est Créteil Approximation diophantienne uniforme et dimension de Hausdorff 16/33

17 Approximation uniforme liée aux β-développements (avec Bugeaud) Lingmin LIAO, Université Paris-Est Créteil Approximation diophantienne uniforme et dimension de Hausdorff 17/33

18 I. β-transformation Rényi : β-transformation T β : [0, 1) [0, 1) est définie par Posons T β (x) := βx βx. d β,1 (x) = βx, d β,n (x) = d β,1 (T n 1 β (x)) for n 1. Alors x = βx β + T βx β = d β,1 β + d β,2 β 2 + d β,3 β 3 +. Suite d β (x) = d β,1 (x)d β,2 (x) β-développement de x. Développement de 1 : sera obtenu par le prolongement : T β (1) = β β. Exemple : β = , 1 = 1 β + 1 β β β 4 +. développement de 1 = 110 = Lingmin LIAO, Université Paris-Est Créteil Approximation diophantienne uniforme et dimension de Hausdorff 18/33

19 II. Suite admissible de Parry et β-shift Une suite a 1 a 2 est appelée admissible si x (0, 1], d β (x) = a 1 a 2. Ordre lexicographique : a 1 a 2 b 1 b 2 si et seulement si k 1, a i = b i pour i < k et a k < b k. Notons a 1 a 2 b 1 b 2, si a 1 a 2 b 1 b 2 ou a 1 a 2 = b 1 b 2. Le β-shift S β sur l alphabet 0, 1,..., β } est l adhérence de l ensemble des suites admissibles. Theorem (Parry 1960) Une suite a 1 a 2 est admissible si et seulement si pour tout n 1 a n a n+1 d β(1). Une suite a 1 a 2 est dans S β si et seulement si pour tout n 1 a n a n+1 d β(1). Ici d β (1) := lim x 1 d β (x) est le β-développement infinie de 1. Lingmin LIAO, Université Paris-Est Créteil Approximation diophantienne uniforme et dimension de Hausdorff 19/33

20 III. Approximation uniforme sur β-développement x [0, 1], β > 1 un nombre réel. Définissons } v β (x) := sup v 0; Tβ n (x) < (β n ) v pour une infinité de n } ˆv β (x) := sup ˆv 0; N 1, Tβ n (x) < (β N ) ˆv a une solution 1 n N. Théorème (Bugeaud-L) Soit β > 1 un nombre réel. Soient θ et ˆv deux nombre réels positifs avec ˆv < 1 et θ 1/(1 ˆv), alors dim(x : ˆv β (x) = ˆv} x : v β (x) = θˆv}) = De plus, dim(x : ˆv β (x) = 1}) = 0, et dimx : ˆv β (x) ˆv} = dimx : ˆv β (x) = ˆv} = θ 1 θˆv (1 + θˆv)(θ 1). ( 1 ˆv ) ˆv Lingmin LIAO, Université Paris-Est Créteil Approximation diophantienne uniforme et dimension de Hausdorff 20/33

21 IV. Approximation uniforme sur β-développement Théorème (Bugeaud-L) Soient θ et ˆv deux nombre réels positifs avec ˆv < 1 et θ 1/(1 ˆv), alors dim(β > 1 : ˆv β (1) = ˆv} β > 1 : v β (1) = θˆv}) = De plus, dim(β > 1 : ˆv β (1) = 1}) = 0, et dimβ > 1 : ˆv β (1) ˆv} = Remarques : Shen-Wang 2013 : Persson-Schmeling 2008 : ( 1 ˆv ) ˆv dimx [0, 1] : v β (x) v} = v. dimβ > 1 : v β (1) v} = v. θ 1 θˆv (1 + θˆv)(θ 1). Lingmin LIAO, Université Paris-Est Créteil Approximation diophantienne uniforme et dimension de Hausdorff 21/33

22 Approximation uniforme liée aux puissances des nombres réels (avec Bugeaud et Rams) Lingmin LIAO, Université Paris-Est Créteil Approximation diophantienne uniforme et dimension de Hausdorff 22/33

23 I. Distribution des puissances modulo 1 Notons } la partie fractionnaire d un nombre réel. Weyl 1916 : Soit x > 1 un nombre réel. Alors pour presque tout réel ξ, la suite ξx n } est équidistribuée. Koksma 1935 : Soit ξ 0 un réel. Alors pour presque tout réel x > 1, la suite ξx n } est équidistribuée. Ensemble exceptionnel : Pollington 1979 : Soit x > 1 un nombre réel. L ensemble des nombres ξ tels que ξx n } n est pas dense (donc n est pas équidistribuée), a pour dimension de Hausdorff 1. Pollington 1980 : Soit ξ 0 un réel. Pour tout δ > 0, l ensemble } x > 1 : ξx n } [0, δ] pour tout n 1 a pour dimension de Hausdorff 1. D où, l ensemble des nombres x > 1 tels que ξx n } n est pas dense (donc n est pas équidistribuée), a pour dimension de Hausdorff 1. Lingmin LIAO, Université Paris-Est Créteil Approximation diophantienne uniforme et dimension de Hausdorff 23/33

24 II. Distribution des puissances modulo 1 Bugeaud Moshchevitin 2012, Kahane 2014 : Soit (b n ) une suite arbitraire dans [0, 1], et δ > 0. L ensemble } x > 1 : x n b n δ à partir d un certain rang a pour dimension de Hausdorff 1. Question de Kahane : pour X > 1 2ɛ, } dim H 1 < x < X : x n b n δ à partir d un certain rang =? Candidate : log(2δx)/ log X. Remarque : Vijayaraghavan 1948 a démontré que pour tout δ > 0, il y a un nombre infini non dénombrable de nombres réels x > 1, tels que x n δ. Lingmin LIAO, Université Paris-Est Créteil Approximation diophantienne uniforme et dimension de Hausdorff 24/33

25 III. Approximation asymptotique de x n } Koksma 1945 : Soit (ɛ n ) une suite de réels avec 0 ɛ n 1/2 pour tout n 1. Si ɛ n <, alors pour presque tout x > 1, il existe n 0 (x), tel que x n ɛ n pour tout n n 0 (x). Si (ɛ n ) est croissante et ɛ n =, alors pour presque tout x > 1 x n ɛ n pour une infinité de n. Mahler Szekeres 1967 : pour presque tout x > 1, lim n xn 1/n = 1. Corvaja Zannier 2004 : pour tout nombre algébrique x tel que x m n est pas Pisot pour tout m 1, lim n x n 1/n = 1. Bugeaud Dubickas 2008 : caractérisation complète pour tous les nombres algébriques. Il y a au plus deux points limites pour la suite x n 1/n. Lingmin LIAO, Université Paris-Est Créteil Approximation diophantienne uniforme et dimension de Hausdorff 25/33

26 IV. Bonne approximation asymptotique de x n } Pour x > 1, posons P (x) := lim inf n x n 1/n. Mahler Szekeres 1967 : P (x) = 0 x est transcendant. Remarquons que pour b > 1, x > 1 : P (x) < 1/b } = x > 1 : x n < b n pour une infinité de n }. Question : Quelle est la taille de x > 1 : P (x) < 1/b }? Bugeaud Dubickas 2008 : Pour tout réel X > 1, et b > 1, dim H 1 < x < X : P (x) < 1/b } = De plus dim H x > 1 : P (x) < 1/b } = 1. log X log(bx). Preuve : principe de transfert de masse (Beresnevich Velani 2006) : Leb(lim sup B(x n, r n )) = 1 H s (lim sup B(x n, r 1/s n )) =. Lingmin LIAO, Université Paris-Est Créteil Approximation diophantienne uniforme et dimension de Hausdorff 26/33

27 V. Bonne approximation de x n } (continu) Bugeaud L Rams, en préparation : une preuve constructive pour le résultat de Bugeaud Dubickas. Plus général, pour une suite arbitraire (y n ) de réels, dim H 1 < x < X : x n y n < b n pour une infinité de n } = D où, pour une suite (z k ), dim H k=1 Donc, on a aussi dim H log X log(bx). 1 < x < X : x n z k < b n pour une infinité de n } = log X log(bx). k=1 x > 1 : x n z k < b n pour une infinité de n } = 1, et pour A [0, 1], union finie des intervalles dans [0, 1], dim H x > 1 : l ensemble des points limites de x n } = A } = 1. Lingmin LIAO, Université Paris-Est Créteil Approximation diophantienne uniforme et dimension de Hausdorff 27/33

28 VI. Approximation uniforme Pour x > 1 et y R, définissons P y (x) par ( 1 sup τ 1 : N 1, x n y τ N a une solution 1 n N}). Pour y R, on s intéresse à l approximation uniforme suivante E(y, τ) :=x > 1 : P y (x) < 1/τ} } = x > 1 : N 1, x n y τ N a une solution 1 n N. De plus, on travaille aussi sur E(y, τ, b) := z > 1 : P y (x) < 1/τ} z > 1 : P y (x) < 1/b}, où P y (x) := lim inf n x n y 1/n. Question : dimensions de Hausdorff de E(y, τ) et de E(y, τ, b)? Lingmin LIAO, Université Paris-Est Créteil Approximation diophantienne uniforme et dimension de Hausdorff 28/33

29 VII. Résultats Théorème (Bugeaud L Rams, en préparation) Supposons b = τ θ avec θ > 1. Alors pour tout y R, ( ) log X θ dim H E(y, τ, b) ]1, X[ θ 1 log τ log X + θ log τ. En maximisant par rapport à θ (θ = 2 log X/(log X log τ)), on a ( ) ( ) 2 log X log τ dim H E(y, τ) ]1, X[. log X + log τ Corollaire (Bugeaud L Rams, en préparation) Pour tout y R, pour tout b τ > 1, dim H E(y, τ, b) = dim H E(y, τ) = 1. Lingmin LIAO, Université Paris-Est Créteil Approximation diophantienne uniforme et dimension de Hausdorff 29/33

30 Démonstrations sur les puissances des nombres Lingmin LIAO, Université Paris-Est Créteil Approximation diophantienne uniforme et dimension de Hausdorff 30/33

31 I. Construction du sous-ensemble On va construire un sous-ensemble F de E(X, y, τ, b) := 1 < z < X : z n y < b n pour une infinité de n et N 1, z n y < τ N a une solution 1 n N}. Supposons b = τ θ avec θ > 1. Posons n k = θ k. Considérons les points 1 < z < X tels que [ ] (m z n k y < b n k 1 ) 1 ( m, z + y n k 1 ) 1, m + y + n k b n k b n. k Alors z E(X, y, β, b) = E(X, y, β, τ θ ). Niveau 1 : I n1 (m, y, b) := [(m + y b n1 ) 1/n1, (m + y + b n1 ) 1/n1 ], où m ]1, X n1 [ est un entier. Niveau 2 : pour un intervalle [c, d] au niveau 1, ses fils-intervalles sont I n2 (m, y, b) := [(m + y b n2 ) 1/n2, (m + y + b n2 ) 1/n2 ] avec m [c n2, d n2 ]. Lingmin LIAO, Université Paris-Est Créteil Approximation diophantienne uniforme et dimension de Hausdorff 31/33

32 II. Compter les nombres et les longueurs Par construction, pour les intervalles fondamentaux contenant z F, on aura chaque intervalle [c k, d k ] au niveau k contient au moins m k (z) = 2n k+1 c n k+1 1 k /n k b n k d n k 1 k sous-intervalles au niveau k + 1. ( z θ 1 b ) θ k la distance entre intervalles au niveau k + 1 contenu dans l intervalle [c k, d k ] au niveau k est au moins ɛ k (z) = (1 2/b n k+1 )/n k+1 d n k+1 1 k ( z θ 1 b ) θ k. Lingmin LIAO, Université Paris-Est Créteil Approximation diophantienne uniforme et dimension de Hausdorff 32/33

33 III. Dimension locale La dimension locale de z F est minorée par log(m 1 (z) m k 1 (z)) log m k (z)ɛ k (z) (θ 1) log z log b = θk 1 (θ 1) log bz θ k (θ 1) log z log b ε (k) (θ 1) log bz ( (θ 1) log z log b ) k 1 j=1 θk log θ k log bz avec ε (k) 0 lorsque k. En utilisant la relation b = τ θ, on a une borne inférieure de E(X, y, τ, b) : (θ 1) log X log b (θ 1) log bx = log X θ θ 1 log β log X + θ log β. Lingmin LIAO, Université Paris-Est Créteil Approximation diophantienne uniforme et dimension de Hausdorff 33/33

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.

Plus en détail

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés 2012-2013 1 Petites questions 1) Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? 2) Si F et G sont deux tribus, est-ce que F G est toujours une tribu?

Plus en détail

La mesure de Lebesgue sur la droite réelle

La mesure de Lebesgue sur la droite réelle Chapitre 1 La mesure de Lebesgue sur la droite réelle 1.1 Ensemble mesurable au sens de Lebesgue 1.1.1 Mesure extérieure Définition 1.1.1. Un intervalle est une partie convexe de R. L ensemble vide et

Plus en détail

Image d un intervalle par une fonction continue

Image d un intervalle par une fonction continue DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction

Plus en détail

Jeux à somme nulle : le cas fini

Jeux à somme nulle : le cas fini CHAPITRE 2 Jeux à somme nulle : le cas fini Les jeux à somme nulle sont les jeux à deux joueurs où la somme des fonctions de paiement est nulle. Dans ce type d interaction stratégique, les intérêts des

Plus en détail

Suites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite

Suites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite Suites numériques 3 1 Convergence et limite d une suite Nous savons que les termes de certaines suites s approchent de plus en plus d une certaine valeur quand n augmente : par exemple, les nombres u n

Plus en détail

Corrigé de l examen partiel du 30 Octobre 2009 L2 Maths

Corrigé de l examen partiel du 30 Octobre 2009 L2 Maths Corrigé de l examen partiel du 30 Octobre 009 L Maths (a) Rappelons d abord le résultat suivant : Théorème 0.. Densité de Q dans R. QUESTIONS DE COURS. Preuve. Il nous faut nous montrer que tout réel est

Plus en détail

Intégration et probabilités 2012-2013. TD3 Intégration, théorèmes de convergence Corrigé. 1 Petites questions. n hésitez pas à m envoyer un mail à

Intégration et probabilités 2012-2013. TD3 Intégration, théorèmes de convergence Corrigé. 1 Petites questions. n hésitez pas à m envoyer un mail à Intégration et probabilités 212-213 TD3 Intégration, théorèmes de convergence Corrigé xercice ayant été voué à être préparé xercice 1 (Mesure image). Soient (, A, µ) un espace mesuré, (F, B) un espace

Plus en détail

Commun à tous les candidats

Commun à tous les candidats EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle

Plus en détail

Développement décimal d un réel

Développement décimal d un réel 4 Développement décimal d un réel On rappelle que le corps R des nombres réels est archimédien, ce qui permet d y définir la fonction partie entière. En utilisant cette partie entière on verra dans ce

Plus en détail

Continuité en un point

Continuité en un point DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à

Plus en détail

Mesure et Intégration (Notes de cours de L3)

Mesure et Intégration (Notes de cours de L3) Mesure et Intégration (Notes de cours de L3) Ahmed Zeriahi Version préliminaire-octobre 2011 Avertissement : Ceci est une version préliminaire des notes du cours que l auteur a dispensé en troisème année

Plus en détail

Limites finies en un point

Limites finies en un point 8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,

Plus en détail

TIQUE DE FRANCE NILSYSTÈMES D ORDRE 2 ET PARALLÉLÉPIPÈDES

TIQUE DE FRANCE NILSYSTÈMES D ORDRE 2 ET PARALLÉLÉPIPÈDES Bulletin de la SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE NILSYSTÈMES D ORDRE 2 ET PARALLÉLÉPIPÈDES Bernard Host & Alejandro Maass Tome 135 Fascicule 3 2007 SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE Publié avec le concours du

Plus en détail

Théorie de la mesure. S. Nicolay

Théorie de la mesure. S. Nicolay Théorie de la mesure S. Nicolay Année académique 2011 2012 ii Table des matières Introduction v 1 Mesures 1 1.1 Sigma-algèbres................................. 1 1.2 Mesures.....................................

Plus en détail

n N = u N u N+1 1 u pour u 1. f ( uv 1) v N+1 v N v 1 1 2 t

n N = u N u N+1 1 u pour u 1. f ( uv 1) v N+1 v N v 1 1 2 t 3.La méthode de Dirichlet 99 11 Le théorème de Dirichlet 3.La méthode de Dirichlet Lorsque Dirichlet, au début des années 180, découvre les travaux de Fourier, il cherche à les justifier par des méthodes

Plus en détail

Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues

Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Département de Mathématiques École polytechnique Remise en forme mathématique 2013 Suite de Cauchy Soit (X, d) un espace métrique. Une suite

Plus en détail

Algèbres de von Neumann et théorie ergodique des actions de groupes

Algèbres de von Neumann et théorie ergodique des actions de groupes Algèbres de von Neumann et théorie ergodique des actions de groupes Séminaire Tripode, ENS Lyon, Juin 2008. Stefaan Vaes 1/22 Sujet de l exposé 1 Introduction aux relations d équivalence dénombrables,

Plus en détail

Chapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme

Chapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet

Plus en détail

I. Polynômes de Tchebychev

I. Polynômes de Tchebychev Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire

Plus en détail

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer

Plus en détail

Approximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2

Approximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2 Approximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2 Albert Cohen Dans ce cours, on s intéresse à l approximation numérique d équations aux dérivées partielles linéaires qui admettent une formulation

Plus en détail

Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies

Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies Chapitre 6 Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies Nous allons maintenant revenir sur les espaces L p du Chapitre 4, à la lumière de certains résultats du Chapitre 5. Sauf mention

Plus en détail

Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach

Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach Chapitre 7 Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach L objet de ce chapitre est de définir un calcul fonctionnel holomorphe qui prolonge le calcul fonctionnel polynômial et qui respecte

Plus en détail

3 Approximation de solutions d équations

3 Approximation de solutions d équations 3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle

Plus en détail

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)

Plus en détail

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante

Plus en détail

Sur certaines séries entières particulières

Sur certaines séries entières particulières ACTA ARITHMETICA XCII. 2) Sur certaines séries entières particulières par Hubert Delange Orsay). Introduction. Dans un exposé à la Conférence Internationale de Théorie des Nombres organisée à Zakopane

Plus en détail

Introduction à la Topologie

Introduction à la Topologie Introduction à la Topologie Licence de Mathématiques Université de Rennes 1 Francis Nier Dragoş Iftimie 2 3 Introduction Ce cours s adresse à des étudiants de Licence en mathématiques. Il a pour objectif

Plus en détail

Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque

Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque Universités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Analyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque 1 Fonctions intégrables Définition 1 Soit I R un intervalle et soit f : I R + une fonction

Plus en détail

Théorie spectrale. Stéphane Maingot & David Manceau

Théorie spectrale. Stéphane Maingot & David Manceau Théorie spectrale Stéphane Maingot & David Manceau 2 Théorie spectrale 3 Table des matières Introduction 5 1 Spectre d un opérateur 7 1.1 Inversibilité d un opérateur........................... 7 1.2 Définitions

Plus en détail

Continuité d une fonction de plusieurs variables

Continuité d une fonction de plusieurs variables Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs

Plus en détail

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1 . Sous-ensembles de R n et fonctions (suite) 1 Nappes paramétrées Si f une fonction de deux variables, son graphe est une surface incluse dans R 3 : {(x, y, f(x, y)) / (x, y) R 2 }. Une telle surface s

Plus en détail

FONCTION EXPONENTIELLE ( ) 2 = 0.

FONCTION EXPONENTIELLE ( ) 2 = 0. FONCTION EXPONENTIELLE I. Définition Théorème : Il eiste une unique fonction f dérivable sur R telle que f ' = f et f (0) =. Démonstration de l'unicité (eigible BAC) : L'eistence est admise - Démontrons

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)

Plus en détail

Mesures gaussiennes et espaces de Fock

Mesures gaussiennes et espaces de Fock Mesures gaussiennes et espaces de Fock Thierry Lévy Peyresq - Juin 2003 Introduction Les mesures gaussiennes et les espaces de Fock sont deux objets qui apparaissent naturellement et peut-être, à première

Plus en détail

Une forme générale de la conjecture abc

Une forme générale de la conjecture abc Une forme générale de la conjecture abc Nicolas Billerey avec l aide de Manuel Pégourié-Gonnard 6 août 2009 Dans [Lan99a], M Langevin montre que la conjecture abc est équivalente à la conjecture suivante

Plus en détail

Théorie de la Mesure et Intégration

Théorie de la Mesure et Intégration Université Pierre & Marie Curie (Paris 6) Licence de Mathématiques L3 UE LM364 Intégration 1 & UE LM365 Intégration 2 Année 2010 11 Théorie de la Mesure et Intégration Responsable des cours : Amaury LAMBERT

Plus en détail

Démonstrations exigibles au bac

Démonstrations exigibles au bac Démonstrations exigibles au bac On donne ici les 11 démonstrations de cours répertoriées comme exigibles dans le programme officiel. Toutes ces démonstrations peuvent donner lieu à une «restitution organisée

Plus en détail

Mesures et Intégration

Mesures et Intégration Mesures et Intégration Marc Troyanov - EPFL - Octobre 2005 30 avril 2008 Ce document contient les notes du cours de Mesure et Intégration enseigné à l EPFL par Marc Troyanov, version 2005-2006. Table des

Plus en détail

PROBABILITÉS: COURS DE LICENCE DE MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES LM 390

PROBABILITÉS: COURS DE LICENCE DE MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES LM 390 PROBABILITÉS: COURS DE LICENCE DE MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES LM 390 Université PARIS 6 2008/2009 Jean BERTOIN 1 Table des Matières ( ) ces parties peuvent ^etre omises en première lecture, et ne feront pas

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****

Plus en détail

Chapitre VI - Méthodes de factorisation

Chapitre VI - Méthodes de factorisation Université Pierre et Marie Curie Cours de cryptographie MM067-2012/13 Alain Kraus Chapitre VI - Méthodes de factorisation Le problème de la factorisation des grands entiers est a priori très difficile.

Plus en détail

Séminaire TEST. 1 Présentation du sujet. October 18th, 2013

Séminaire TEST. 1 Présentation du sujet. October 18th, 2013 Séminaire ES Andrés SÁNCHEZ PÉREZ October 8th, 03 Présentation du sujet Le problème de régression non-paramétrique se pose de la façon suivante : Supposons que l on dispose de n couples indépendantes de

Plus en détail

Une minoration relative explicite pour la hauteur dans une extension d une extension abélienne

Une minoration relative explicite pour la hauteur dans une extension d une extension abélienne Une minoration relative explicite pour la hauteur dans une extension d une extension abélienne Francesco Amoroso & Emmanuel Delsinne Introduction Soit α un nombre algébrique non nul de degré D qui n est

Plus en détail

Relation d ordre. Manipulation des relations d ordre. Lycée Pierre de Fermat 2012/2013 Feuille d exercices

Relation d ordre. Manipulation des relations d ordre. Lycée Pierre de Fermat 2012/2013 Feuille d exercices Lycée Pierre de Fermat 2012/2013 MPSI 1 Feuille d exercices Manipulation des relations d ordre. Relation d ordre Exercice 1. Soit E un ensemble fixé contenant au moins deux éléments. On considère la relation

Plus en détail

Intégrale de Lebesgue

Intégrale de Lebesgue Intégrale de Lebesgue L3 Mathématiques Jean-Christophe Breton Université de Rennes 1 Septembre Décembre 2014 version du 2/12/14 Table des matières 1 Tribus (σ-algèbres) et mesures 1 1.1 Rappels ensemblistes..............................

Plus en détail

Entiers aléatoires et analyse harmonique

Entiers aléatoires et analyse harmonique Entiers aléatoires et analyse harmonique Jean-Pierre Kahane et Yitzhak Katznelson Introduction. Il s agit dans cet article d ensembles de Sidon et de processus de Poisson ponctuels. Les ensembles de Sidon

Plus en détail

4. Martingales à temps discret

4. Martingales à temps discret Martingales à temps discret 25 4. Martingales à temps discret 4.1. Généralités. On fixe un espace de probabilités filtré (Ω, (F n ) n, F, IP ). On pose que F contient ses ensembles négligeables mais les

Plus en détail

Tests non-paramétriques de non-effet et d adéquation pour des covariables fonctionnelles

Tests non-paramétriques de non-effet et d adéquation pour des covariables fonctionnelles Tests non-paramétriques de non-effet et d adéquation pour des covariables fonctionnelles Valentin Patilea 1 Cesar Sanchez-sellero 2 Matthieu Saumard 3 1 CREST-ENSAI et IRMAR 2 USC Espagne 3 IRMAR-INSA

Plus en détail

Théorie de la Mesure et Intégration

Théorie de la Mesure et Intégration Ecole Nationale de la Statistique et de l Administration Economique Théorie de la Mesure et Intégration Xavier MARY 2 Table des matières I Théorie de la mesure 11 1 Algèbres et tribus de parties d un ensemble

Plus en détail

Le théorème de Perron-Frobenius, les chaines de Markov et un célèbre moteur de recherche

Le théorème de Perron-Frobenius, les chaines de Markov et un célèbre moteur de recherche Le théorème de Perron-Frobenius, les chaines de Markov et un célèbre moteur de recherche Bachir Bekka Février 2007 Le théorème de Perron-Frobenius a d importantes applications en probabilités (chaines

Plus en détail

Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007

Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007 Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n

Plus en détail

Analyse fonctionnelle Théorie des représentations du groupe quantique compact libre O(n) Teodor Banica Résumé - On trouve, pour chaque n 2, la classe

Analyse fonctionnelle Théorie des représentations du groupe quantique compact libre O(n) Teodor Banica Résumé - On trouve, pour chaque n 2, la classe Analyse fonctionnelle Théorie des représentations du groupe quantique compact libre O(n) Teodor Banica Résumé - On trouve, pour chaque n 2, la classe des n n groupes quantiques compacts qui ont la théorie

Plus en détail

Souad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/

Souad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Recherche opérationnelle Les démonstrations et les exemples seront traités en cours Souad EL Bernoussi Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Table des matières 1 Programmation

Plus en détail

I Stabilité, Commandabilité et Observabilité 11. 1 Introduction 13 1.1 Un exemple emprunté à la robotique... 13 1.2 Le plan... 18 1.3 Problème...

I Stabilité, Commandabilité et Observabilité 11. 1 Introduction 13 1.1 Un exemple emprunté à la robotique... 13 1.2 Le plan... 18 1.3 Problème... TABLE DES MATIÈRES 5 Table des matières I Stabilité, Commandabilité et Observabilité 11 1 Introduction 13 1.1 Un exemple emprunté à la robotique................... 13 1.2 Le plan...................................

Plus en détail

Texte Agrégation limitée par diffusion interne

Texte Agrégation limitée par diffusion interne Page n 1. Texte Agrégation limitée par diffusion interne 1 Le phénomène observé Un fût de déchets radioactifs est enterré secrètement dans le Cantal. Au bout de quelques années, il devient poreux et laisse

Plus en détail

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........

Plus en détail

Mathématiques assistées par ordinateur

Mathématiques assistées par ordinateur Mathématiques assistées par ordinateur Chapitre 4 : Racines des polynômes réels et complexes Michael Eisermann Mat249, DLST L2S4, Année 2008-2009 www-fourier.ujf-grenoble.fr/ eiserm/cours # mao Document

Plus en détail

Raisonnement par récurrence Suites numériques

Raisonnement par récurrence Suites numériques Chapitre 1 Raisonnement par récurrence Suites numériques Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Raisonnement par récurrence. Limite finie ou infinie d une suite.

Plus en détail

Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications

Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010 Applications 1 Introduction Une fonction f (plus précisément, une fonction réelle d une variable réelle) est une règle qui associe à tout réel x au

Plus en détail

Electricité et magnétisme - TD n 10 Induction

Electricité et magnétisme - TD n 10 Induction Electricité et magnétisme - TD n 1 Induction 1. Inductance mutuelle - transformateur On considère un solénoïde de section circulaire, de rayon R 1, de longueur, et constitué de N 1 spires. A l intérieur

Plus en détail

Une borne supérieure pour l entropie topologique d une application rationnelle

Une borne supérieure pour l entropie topologique d une application rationnelle Annals of Mathematics, 161 (2005), 1637 1644 Une borne supérieure pour l entropie topologique d une application rationnelle By Tien-Cuong Dinh and Nessim Sibony Abstract Let be a complex projective manifold

Plus en détail

JEUX SOUS FORME NORMALE. par. Tristan Tomala

JEUX SOUS FORME NORMALE. par. Tristan Tomala JEUX SOUS FORME NORMALE par Tristan Tomala Table des matières 1. Préliminaires..................................... 5 2. Jeux à somme nulle.............................. 9 3. Jeux à somme non nulle..........................

Plus en détail

Cours de mathématiques

Cours de mathématiques DEUG MIAS premier niveau Cours de mathématiques année 2003/2004 Guillaume Legendre (version révisée du 3 avril 2015) Table des matières 1 Éléments de logique 1 1.1 Assertions...............................................

Plus en détail

Filtrage stochastique non linéaire par la théorie de représentation des martingales

Filtrage stochastique non linéaire par la théorie de représentation des martingales Filtrage stochastique non linéaire par la théorie de représentation des martingales Adriana Climescu-Haulica Laboratoire de Modélisation et Calcul Institut d Informatique et Mathématiques Appliquées de

Plus en détail

Espaces vectoriels et applications

Espaces vectoriels et applications Espaces vectoriels et applications linéaires 1 Définitions On parle d espaces vectoriels sur le corps R ou sur le corps C. Les définitions sont les mêmes en substituant R à C ou vice versa. Définition

Plus en détail

Méthodes de quadrature. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/48

Méthodes de quadrature. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/48 Méthodes de Polytech Paris-UPMC - p. 1/48 Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 2/48 Polynôme d interpolation

Plus en détail

Moments des variables aléatoires réelles

Moments des variables aléatoires réelles Chapter 6 Moments des variables aléatoires réelles Sommaire 6.1 Espérance des variables aléatoires réelles................................ 46 6.1.1 Définition et calcul........................................

Plus en détail

Leçon 6. Savoir compter

Leçon 6. Savoir compter Leçon 6. Savoir compter Cette leçon est une introduction aux questions de dénombrements. Il s agit, d une part, de compter certains objets mathématiques (éléments, parties, applications,...) et, d autre

Plus en détail

Chp. 4. Minimisation d une fonction d une variable

Chp. 4. Minimisation d une fonction d une variable Chp. 4. Minimisation d une fonction d une variable Avertissement! Dans tout ce chapître, I désigne un intervalle de IR. 4.1 Fonctions convexes d une variable Définition 9 Une fonction ϕ, partout définie

Plus en détail

Cours d arithmétique Première partie

Cours d arithmétique Première partie Cours d arithmétique Première partie Pierre Bornsztein Xavier Caruso Pierre Nolin Mehdi Tibouchi Décembre 2004 Ce document est la première partie d un cours d arithmétique écrit pour les élèves préparant

Plus en détail

Contexte. Pour cela, elles doivent être très compliquées, c est-à-dire elles doivent être très différentes des fonctions simples,

Contexte. Pour cela, elles doivent être très compliquées, c est-à-dire elles doivent être très différentes des fonctions simples, Non-linéarité Contexte Pour permettre aux algorithmes de cryptographie d être sûrs, les fonctions booléennes qu ils utilisent ne doivent pas être inversées facilement. Pour cela, elles doivent être très

Plus en détail

2 Opérateurs non bornés dans un espace de Hilbert

2 Opérateurs non bornés dans un espace de Hilbert 2 Opérateurs non bornés dans un espace de Hilbert 2. Opérateurs non bornés: définitions et propriétés élémentaires Soit H un espace de Hilbert et A un opérateur dans H, c est-à-dire, une application linéaire

Plus en détail

Optimisation globale avec application pour les fonctions de hölder

Optimisation globale avec application pour les fonctions de hölder MINISTÈRE DE L ENSEIGNEMENT SUPÉRIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE UNIVERSITÉ MOULOUD MAMMERI, TIZI-OUZOU FACULTÉ DES SCIENCES DÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES MÉMOIRE DE MAGISTER SPÉCIALITÉ : MATHÉMATIQUES

Plus en détail

La notion de dualité

La notion de dualité La notion de dualité Dual d un PL sous forme standard Un programme linéaire est caractérisé par le tableau simplexe [ ] A b. c Par définition, le problème dual est obtenu en transposant ce tableau. [ A

Plus en détail

3. Conditionnement P (B)

3. Conditionnement P (B) Conditionnement 16 3. Conditionnement Dans cette section, nous allons rappeler un certain nombre de définitions et de propriétés liées au problème du conditionnement, c est à dire à la prise en compte

Plus en détail

ÉTUDE ASYMPTOTIQUE D UNE MARCHE ALÉATOIRE CENTRIFUGE

ÉTUDE ASYMPTOTIQUE D UNE MARCHE ALÉATOIRE CENTRIFUGE ÉTUDE ASYMPTOTIQUE D UNE MARCHE ALÉATOIRE CENTRIFUGE JEAN-DENIS FOUKS, EMMANUEL LESIGNE ET MARC PEIGNÉ J.-D. Fouks. École Supérieure d Ingénieurs de Poitiers. 40 avenue du Recteur Pineau, 860 Poitiers

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

Le lemme d Ornstein Weiss d après Gromov

Le lemme d Ornstein Weiss d après Gromov Recent Progress in Dynamics MSRI Publications Volume 54, 2007 Le lemme d Ornstein Weiss d après Gromov FABRICE KRIEGER Dédié à Anatole Katok pour son 60 ème anniversaire RÉSUMÉ. Dans cette note on démontre

Plus en détail

MATIÈRE DU COURS D'ALGÈBRE ET D'ANALYSE

MATIÈRE DU COURS D'ALGÈBRE ET D'ANALYSE MATIÈRE DU COURS D'ALGÈBRE ET D'ANALYSE Titulaire : A.M. Tilkin 8h/semaine 1) MATIERE DE 4 e ANNEE a) ALGEBRE - Rappels algébriques concernant la résolution d équations et d inéquations (fractionnaires

Plus en détail

Cours d Analyse I et II

Cours d Analyse I et II ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE DE LAUSANNE Cours d Analyse I et II Sections Microtechnique & Science et génie des matériaux Dr. Philippe Chabloz avril 23 Table des matières Sur les nombres. Les nombres

Plus en détail

Programme de mathématiques TSI1

Programme de mathématiques TSI1 Programme de mathématiques TSI1 1. PROGRAMME DE DÉBUT D ANNÉE I. Nombres complexes et géométrie élémentaire 1. Nombres complexes 1 2. Géométrie élémentaire du plan 3 3. Géométrie élémentaire de l espace

Plus en détail

Notes de cours de Probabilités Appliquées. Olivier François

Notes de cours de Probabilités Appliquées. Olivier François Notes de cours de Probabilités Appliquées Olivier François 2 Table des matières 1 Axiomes des probabilités 7 1.1 Introduction................................. 7 1.2 Définitions et notions élémentaires.....................

Plus en détail

Suites numériques 4. 1 Autres recettes pour calculer les limites

Suites numériques 4. 1 Autres recettes pour calculer les limites Suites numériques 4 1 Autres recettes pour calculer les limites La propriété suivante permet de calculer certaines limites comme on verra dans les exemples qui suivent. Propriété 1. Si u n l et fx) est

Plus en détail

FIMA, 7 juillet 2005

FIMA, 7 juillet 2005 F. Corset 1 S. 2 1 LabSAD Université Pierre Mendes France 2 Département de Mathématiques Université de Franche-Comté FIMA, 7 juillet 2005 Plan de l exposé plus court chemin Origine du problème Modélisation

Plus en détail

COURS EULER: PROGRAMME DE LA PREMIÈRE ANNÉE

COURS EULER: PROGRAMME DE LA PREMIÈRE ANNÉE COURS EULER: PROGRAMME DE LA PREMIÈRE ANNÉE Le cours de la première année concerne les sujets de 9ème et 10ème années scolaires. Il y a bien sûr des différences puisque nous commençons par exemple par

Plus en détail

Introduction à l étude des Corps Finis

Introduction à l étude des Corps Finis Introduction à l étude des Corps Finis Robert Rolland (Résumé) 1 Introduction La structure de corps fini intervient dans divers domaines des mathématiques, en particulier dans la théorie de Galois sur

Plus en détail

Nombres premiers. Comment reconnaître un nombre premier? Mais...

Nombres premiers. Comment reconnaître un nombre premier? Mais... Introduction Nombres premiers Nombres premiers Rutger Noot IRMA Université de Strasbourg et CNRS Le 19 janvier 2011 IREM Strasbourg Definition Un nombre premier est un entier naturel p > 1 ayant exactement

Plus en détail

DOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10.

DOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. A1 Trouvez l entier positif n qui satisfait l équation suivante: Solution 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. En additionnant les termes du côté gauche de l équation en les mettant sur le même dénominateur

Plus en détail

THÉORIE DE LA MESURE ET DE L INTÉGRATION.

THÉORIE DE LA MESURE ET DE L INTÉGRATION. THÉORIE DE LA MESURE ET DE L INTÉGRATION. THIERRY GALLAY Transcrit par Tancrède LEPOINT 29 UNIVERSITÉ JOSEPH FOURIER, GRENOBLE TABLE DES MATIÈRES Avant-propos Biographie sommaire...........................................

Plus en détail

Principe de symétrisation pour la construction d un test adaptatif

Principe de symétrisation pour la construction d un test adaptatif Principe de symétrisation pour la construction d un test adaptatif Cécile Durot 1 & Yves Rozenholc 2 1 UFR SEGMI, Université Paris Ouest Nanterre La Défense, France, cecile.durot@gmail.com 2 Université

Plus en détail

Calcul différentiel sur R n Première partie

Calcul différentiel sur R n Première partie Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité

Plus en détail

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité

Plus en détail

Université de Montréal. Temps de Branchement du Mouvement Brownien Branchant Inhomogène. Jean-Sébastien Turcotte

Université de Montréal. Temps de Branchement du Mouvement Brownien Branchant Inhomogène. Jean-Sébastien Turcotte Université de Montréal Temps de Branchement du Mouvement Brownien Branchant Inhomogène par Jean-Sébastien Turcotte Département de mathématiques et de statistique Faculté des arts et des sciences Mémoire

Plus en détail

M2 IAD UE MODE Notes de cours (3)

M2 IAD UE MODE Notes de cours (3) M2 IAD UE MODE Notes de cours (3) Jean-Yves Jaffray Patrice Perny 16 mars 2006 ATTITUDE PAR RAPPORT AU RISQUE 1 Attitude par rapport au risque Nousn avons pas encore fait d hypothèse sur la structure de

Plus en détail

DYNAMIQUE DE FORMATION DES ÉTOILES

DYNAMIQUE DE FORMATION DES ÉTOILES A 99 PHYS. II ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE,

Plus en détail

Cours de Data Mining PageRank et HITS

Cours de Data Mining PageRank et HITS Cours de Data Mining PageRank et HITS Andreea Dragut Univ. Aix-Marseille, IUT d Aix-en-Provence Andreea Dragut Cours de Data Mining PageRank et HITS 1 / 48 Plan du cours Présentation Andreea Dragut Cours

Plus en détail

Éléments d analyse convexe

Éléments d analyse convexe Éléments d analyse convexe Cours de M1 Mathématiques Fondamentales Université Paul Sabatier Pierre Maréchal Table des matières 1 Préliminaires 2 1.1 Notations et définitions élémentaires................

Plus en détail

Objets Combinatoires élementaires

Objets Combinatoires élementaires Objets Combinatoires élementaires 0-0 Permutations Arrangements Permutations pour un multi-ensemble mots sous-ensemble à k éléments (Problème du choix) Compositions LE2I 04 1 Permutations Supposons que

Plus en détail