Calcul de développements de Puiseux et application au calcul du groupe de monodromie d'une courbe algébrique plane

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1 Calcul de développements de Puiseux et application au calcul du groupe de monodromie d'une courbe algébrique plane Poteaux Adrien XLIM-DMI, UMR-CNRS 6172 Université de Limoges Soutenance de thèse 15 octobre 2008

2 Stratégie employée Situation Entrée : exacte. Sortie : approchée. Approche 1 Trouver la structure du problème modulo p. 2 Utiliser la structure pour faire des calculs numériques.

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4 Plan 1 Calcul des développements de Puiseux : un nouvel algorithme symbolique-numérique 1 Calculs modulo un bon premier p informations exactes. 2 Calcul numérique des séries de Puiseux à l'aide de ces informations. 2 Calcul du groupe de monodromie 1 Chemins optimisés 2 Développements en des points critiques 3 Stratégie nombre de pas / ordre de troncation 3 Exemples, conclusion et perspectives

5 Notations K = Q(α) un corps de nombres F (X, Y ) K[X, Y ] C = {(x, y) C 2 F (x, y) = 0} Soit x 0 C : Fibre en x 0 : F(x 0 ) = {racines de F (x 0, Y ) = 0}. Point régulier : #F(x 0 ) = d Y. Point critique : #F(x 0 ) < d Y.

6 Calcul de développements de Puiseux

7 Développements de Puiseux Théorème (Puiseux) Il existe e 1,..., e s des entiers positifs vériant s i=1 e i = d Y tel que F (vu comme un polynôme univarié en y) possède d Y racines distinctes dans K((X )), qui s'écrivent de la manière suivante : Y ij (X ) = α ik ζ jk ei k=n i où 1 i s, 0 j e i 1, n i Z et α ini 0. De plus, l'ensemble des coecients {α ik } est inclus dans une extension nie de K. X k e i

8 Partie singulière Y ij (X ) = = α ik ζ jk ei k=n i r ij X k e i k=n i α ik ζ jk ei X k e i + termes suivants r ij est l'indice de régularité ; r i = r ij pour 1 j e i Termes suivants : calculés par exemple via Newton quadratique Kung & Traub 1978, All Algebraic Functions Can Be Computed Fast

9 Polygones de Newton génériques F (X, Y ) = i,j a ij X j Y i Supp(F)= {(i, j) N 2 a ij 0} N (F ) : partie inférieure de l'enveloppe convexe de Supp(F). - - GN (F ) : pentes de N (F ) 1. Polynôme caractéristique : φ (T ) = (i,j) a ij T i i 0 q

10 Algorithme de Newton-Puiseux rationnel D. Duval 89, Rational Puiseux Expansions Pour chaque arête de GN (F ) φ = s k=1 φ M k k Pour chaque φ k F (X, Y ) F (ξu k X q, X m (ξ v k + Y )) X l avec ξ k t.q. φ k (ξ k ) = 0, avec (u, v) tel que uq vm = 1.

11 Arbre des polygones

12 Algorithme symbolique Calcul dans des extensions de degré potentiellement élevé. Croissance des coecients. Exemple : F = (Y 3 X ) ((Y 1) 2 X ) (Y 2 X 2 ) + X 2 Y 5 a pour discriminant X 3 P(X ) avec deg X (P) = 23. Les coecients des développement de Puiseux au-dessus des racines de P à l'ordre 1 ont une taille de 136 chires! Complexité binaire O (d Y 32 d X 4 ) Walsh 2000

13 Une approche modulaire-numérique 1 Calculer la partie singulière des séries de Puiseux modulo un bon premier p. Cela nous donne l'arbre des polygones T (F ), i.e. : Les polygones de Newton génériques, Les structures de multiplicité des φ. 2 Calculer numériquement les séries de Puiseux en suivant T (F ).

14 Contributions Notion de polygone de Newton générique. Critère de bonne réduction (choix d'un bon p). Bornes sur le premier p. Complexité améliorée de la partie modulaire de notre algorithme. Calculs numériques suivant T (F ). Prototype d'implémentation en Maple

15 Calcul de développements de Puiseux : partie symbolique Poteaux & Rybowicz, On the good reduction of Puiseux series and complexity of the Newton-Puiseux algorithm over nite elds, ISSAC'08

16 Bonne p-réduction On note : o l'anneau des entiers algébriques de K, p un nombre premier, p un idéal premier de o divisant p. Dénition F a une bonne p-réduction locale (en x = 0) si : F o p [X, Y ], p > d Y, tc(r F ) 0 mod p. où R F = Resultant Y (F, F Y )

17 Réduction des séries de Puiseux L une extension nie de K engendrée par les coecients des séries de Puiseux, O l'anneau des entiers algébriques de L, P un idéal premier de O P divisant p, O P = {α L v P (α) 0}. Théorème Si F a une bonne p-réduction locale, alors les coecients des séries de Puiseux de F au-dessus de 0 sont dans O P. Preuve : Utilise un théorème de Dwork & Robba 79 On Natural Radii of p-adic Convergence

18 Réduction de T (F ) Théorème Si F a une bonne p-réduction locale, alors T (F ) = T (F ). Faux avec les polygones classiques : Exemple F (X, Y ) = (Y px )(Y 2 X ) + X 3 tc(r F ) = 4

19 Choix du nombre premier p K = Q(γ), w = [K : Q], M γ le polynôme minimal de γ ht(q) = log Q où Q est un polynôme multivarié. ht(p) appartient à Stratégie déterministe O(wd Y (w ht(m γ ) + ht(f ) + log(wd X d Y ))) Stratégie de type Monte-Carlo, probabilité d'erreur ɛ O(log(d Y w log d X ) + log(ht(f )) + log(ht(m γ )) + log(ɛ 1 )) Stratégie de type Las-Vegas, 2 itérations en moyenne O(log(d Y w log d X ) + log(ht(f )) + log(ht(m γ )))

20 Complexité de l'algorithme rationnel au-dessus de L = F p t 0 Substitutions O (δ 2 F d Y ) Factorisations O (δ F [d 2 Y + d Y t 0 log p]) Total O (δ F d Y [δ F + d Y + t 0 log p]) Lemme δ F v X ( F ) d X (2d Y 2) Théorème (Nombre d'opérations dans L) T (F ) au-dessus de 0 : O (d 3 Y d 2 X + d 2 Y d X t 0 log p) T (F ) au-dessus de l'ensemble des points critiques : O (d 3 Y d 2 X t 0 log p) D. Duval 89 Rational Puiseux Expansions : O(d 6 Y d 2 X )

21 Complexité binaire du calcul de T (F ) F K[X, Y ] K = Q(γ) w = [K : Q] M γ le polynôme minimal de γ Théorème Il existe un algorithme de type Monte-Carlo qui calcule T (F ) en O (d 3 Y d 2 X w 2 log 2 ɛ 1 [ht(m γ ) + ht(f )]) opérations binaires avec une probabilité d'erreur ɛ.

22 Calcul de développements de Puiseux : partie numérique

23 Suivre T (F ) numériquement : un exemple Développements de Puiseux de F : S 1 (X ) = X + S 2 (X ) = 4X X S 3 (X ) = 2X X + S 4 (X ) = 2X X + X S 5 (X ) = X X + X S 6 (X ) = X X + S 7 (X ) = X X + d Y = 25, d X = 26 ; 1 coecients ; Digits = 20.

24 Premier polygone de Newton

25 Premier polygone de Newton

26 Tri selon les polygones G i (X, Y ) F (X 2, X (Y + ξ 1/2 i )), ξ 1 = 1. ξ 2 = 4. ξ 3 = 16. X polynôme coecient en X 3 G 1 0. G 2 0. G

27 Tri selon les polygones

28 Tri selon les multiplicités Structures de multiplicité : (2, 1, 1) deg(pgcd(φ, φ )) = 1 (3, 1) deg(pgcd(φ, φ )) = 2 Polynômes caractéristiques : φ 1 = T T T T 4 φ 2 = T T T T 4 1 S i Syl(φ i, φ i ) 2 Calcul des valeurs singulières des S i

29 Tri selon les multiplicités Valeurs singulières associées à φ 1 : [ , , , , , , ] Valeurs singulières associées à φ 2 : [ , , , , , , ]

30 Calcul du groupe de monodromie Poteaux, Computing monodromy groups dened by plane algebraic curves, SNC'07

31 Groupe de monodromie On note c 1,..., c n les points critiques. On xe un point de base régulier a. On cherche les n permutations σ 1,..., σ n correspondant à c 1,..., c n. Ces permutations engendrent le groupe de monodromie.

32 Méthodes Relier les bres 1 Choix des chemins. 2 Choix des points de connexion. a

33 Méthodes Relier les bres 1 Choix des chemins. 2 Choix des points de connexion. 3 Calcul des bres a

34 Méthodes Relier les bres 1 Choix des chemins. 2 Choix des points de connexion. 3 Calcul des bres 4 Méthode de connexion. a

35 Monodromie : état de l'art (sketch) 1 Relier les bres van Hoeij & Deconinck 99 Fonction monodromy de Maple. Fibres reliées à l'aide des dérivées premières. Critère de connexion et contrôle de l'erreur heuristiques. van Hoeij & Rybowicz (com. perso.) Théorème de Smith + arithmétique numérique/intervalles. Algorithme certié mais trop lent 2 Equation diérentielle

36 Monodromie : état de l'art (sketch) 1 Relier les bres 2 Equation diérentielle Intérêt : calcul rapide des développements à ordre élevé. Chudnovsky & Chudnovsky 86, 90 ; van der Hoeven 00 ; Cormier-Singer-Trager-Ulmer 02 ; Bostan & all Calcul de l'équation diérentielle potentiellement coûteux. Taille de l'équation diérentielle importante. On utilise des développements à ordre petit.

37 Contributions 1 Choix des chemins : arbre de recouvrement minimal. 2 Méthode de connexion : développements en série tronqués et développements de Puiseux au-dessus des points critiques. Bornes sur les ordres de troncation. Donne la monodromie locale. Utile pour l'application d'abel (Deconinck and Patterson 07). 3 Choix des points intermédiaires : Compromis entre les ordres de troncation et le nombre de points. Borne sur le nombre de points intermédiaires.

38 Arbre de recouvrement minimum

39 Connexions le long de l'arbre

40 Nombre de points intermédiaires À ce stade, on a besoin de O(n) = O(d 2 ) points intermédiaires.

41 Ordres de troncation Cauchy ordres de troncation F (X, Y ) = Y 3 X 5 + 2(10X 1) 2 n Ajouts de points intermédiaires

42 Bornes sur le nombre d'étapes Théorème Nombre total de points : O(n log L M Lm O(d 2 log L M Lm ). + g + d Y ) et donc Corollaire Si F Z[X, Y ], on a O(d 6 + d 5 log F ) points intermédiaires. borne cubique en la sortie.

43 Exemples

44 Exemple 1 M a,d = x d 2(ax 1) 2, F 1 (x, y) = y 3 M 10,5 (x) coecient en x 16/3 : Digits évaluation numérique algorithme numérique-modulaire Algorithme de monodromie : version symbolique/numérique : secondes. Précision de 40 chires nécessaires pour avoir un résultat correct. version numérique/modulaire : secondes. Digits 10.

45 Exemple 2 F 2 (x, y) = (y 3 M 10,6 (x))(y 3 M 10,3 (x)) + y 2 x 5 coecient en x 1/2 Digits évaluation numérique algorithme numérique-modulaire

46 Exemple 3 où G n (x, y) = ( y ) n 2 P n 2 (x) G n (x, y) 2 P n0 (x) = 1 ( n 03! x x n 0 + (n 0 1) x 1 ). n 0! Polynôme algorithme symbolique algorithme numérique-modulaire considéré temps en seconde temps en secondes précision G G G G G G G

47 Résumé des contributions et perspectives

48 Résumé (Puiseux) Critère de réduction : Permet de calculer T (F ) Algorithmes probabilistes petit p Utilisation de T (F ) pour le calcul numérique : Filtre à deux étages Utilisation de la SVD Bornes de complexité améliorées Complexité binaire pour le calcul de T (F )

49 Résumé (monodromie) Chemins optimisés. Stratégie nombre de pas / ordre de troncation : borne sur le nombres d'étapes. Développements en des points critiques : utilisation de l'algorithme numérique-modulaire.

50 Perspectives Développements de Puiseux : Extensions : complexité (calcul du genre) Contrôle des erreurs numériques (implémentation certiée) Groupe de monodromie : Contrôle numérique des erreurs (implémentation certiée) Complexité Autres utilisations de la stratégie modulaire-numérique.