Une premiere approche des elements nis sur un exemple tres simple

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Une premiere approche des elements nis sur un exemple tres simple"

Transcription

1 EDP MTH Analyse 2215 EmmanuelFrenod numeri Premiere partie Une premiere approche s elements nis un exemple tres simple 1 Equation la chaleur dans barre 2 Resolution u00 f [0;1] par elements nis avec un maillage regulier L'analyse d'inversion numeri matrice. s L'objectif EDP consiste est d'illustrer a traduire ceci problemes un exemple resolution simple. d'edp en problemes Soit le probleme suivant: Trouver u:[0;1]!r telle u00 f [0;1] telle u(0)u(1)0: (1) xi lacoordonneeduiieme 1 place [0;1] nudpi.supposex00xn+1 un maillage regulier n+2 nuds(pi)i0;:::;n+1 on appelle nits Donner l'abscisse xii par:i pi. i(pj)ij. estcontinue[0;1]anechaintervalle]pi;pi+1[ Quelle Pour l est 0i valeurs (la rivee i, i i)? verie-t-elle i(0)i(1)0? 2 cherche ~uapproximationusouslaforme ~u n X i1 U ii (2) A-t-on Multiplier ~u(0) u00f ~u(1)0? parj Combien pourj1;:::;n,integrer0a1enutilisantintegrationpar vaut ~u(xi)? parties Remplacer pour exprimer dans l'equation le membre obtenue gauche. Exprimer ~u0 u par ~u SionposeU Quel probleme(ui)i1;:::;n (Ui)i1;:::;n,donnerlamatriceAlevecteurF verie-t-il? telsau F. lineaire.anpouvoiradapterctemarcheasproblemespluscomplexes(plusieursvariab vient voir comment transformer un probleme resolution d'edp en un probleme d'algebre d'espace, vientfaireunproblemeuntoutpitpeupluscomplexeenutilisantmhopluslour solution a plusieurs dimensions, elements nis plus haut gre) on va refaire ce qu'on mais qui s'adaptera. reguliern+2nuds[0;1].parnitiononappelle 3 souhaite encore resoudre le probleme(1). xi lacoordonneeduiieme Pour cela on place un maillage nudpi. non 1

2 lamanieresuivante:lenumero]pi suppose0x0 <x1 < <xi <xi+1 1;pi[estipourivariant1an+Lesi < <xn+1 numerotesegments]pi 1;pi[ m^eme nition ci-ssus. ontla Refaire A ls brievement coecients Alk stions A le segment a i apporte-t-il l'exercice 1 contribution l'exercice ctecontributionen xi 1 xi. non nulle? Exprimer segments. Ecrire un algorithme permtant construire la matrice A en realisant boucle regulier 4 n+2 nuds souhaite (pi) encore [0;1]. resoudre Ici on le suppose probleme(1). le maillage Pour cela n'est on place pas structure, un maillage c'est non dire qu'on ne suppose plus nuds sont ranges par ordre croissant. suppose l'on a dispose pi d' qui verie C(0) C : 0f0;1:::n+1g C(n+1)! [0;1] suppose injective aussi qui est telle l'on dispose C(i) d' est l'abscisse P :f1;2;:::;n+1g!f0;1;:::;ng d' S :f0;1;:::;ng!f1;2:::;n+1g telle suppose P(i) est enn le nud precent l'on a numerote pi dans le maillage segments, S(i) c'est le nud a dire suivant l'on pi dispose dans le d' maillage. E du : iieme f1;2;:::;n+1g!f0;1;:::;ng f1;2;:::;n+1g segment E2(i) le nud superieur. qui est telle E1(i) est le nud inferieur nits Montrer l'on doit avoir par:i S(E1(i))E2(i) estcontinue[0;1]anechaintervalle]e1(k);e2(k)[ P(E2(i))E1(i) pour tout i1;:::n+1 (k avec cte 1;:::n+1 nouvelle ) nition i(pj) s ij. i. cherche encore approximation u sous la forme (2) Refaire A ls brievement coecients Alk stions A le segment a 6. i apporte-t-il l'exercice cte contribution en E1(i) E2(i). contribution non nulle? Exprimer segments. Ecrire un algorithme permtant construire la matrice A en realisant boucle 3 Estimation l'erreur lors la resolution u00 f [0;1] par elements nis Dans sation cte s element section nis. on eectue un calcul d'erreur representatif s calculs d'erreur associes a l'utili- Dans cte section on utilise la nition suivante l'espace Sobolev H1([0;1]). H1([0;1]) n h2l2([0;1]);9g2l2([0;1])telle Z 1 0 h' 0dx Z 1 0 8'2C1([0;1])telle'(0)'(1)0 g'dx o : (1) Dans la nition ci-ssus on dit g est la rivee au sens s distributions gh0.l'espaceh1([0;1])munilanormekhkh1([0;1]) h. note q khk2l2([0;1])+kh0k2l2([0;1])estun espace Hilbert nit separable. egalement l'espace Sobolev H10([0;1]) par H10([0;1]) n h2h1([0;1])tellequ'ilexistesuite(hn)n2n veriant: 8n2N;hn 2C1([0;1]) hn(0)hn(1)0; telle n!1kh lim hnkh1([0;1])0 o : (2) 2

3 L'espaceH10([0;1])peut^remunilanormekhkH1([0;1])oulanormekhkH1 Ces ux normes sont equivalentes H10([0;1]) en font un espace Hilbert 0([0;1])kh0kL2([0;1]). separable. Ecrire la 1 formule seplaceicidanslecontextesexercices1 Montrer pour toute Cauchy-Schwarz 2C1([0;1]) pour ux s telle (0) L2([0;1]). (1)0la solution (1) verie: Z 1 0 u 0(x) 0(x)dx Z 1 0 f(x) (x). REMARQUE:cteformuleestvraiepourtoute intervalle]pi;pi+1[ telle '(0)'(1)0. Explir pourquoi 'continue[0;1]anecha Montrer pour toute ' continue [0;1] ane cha intervalle]pi;pi+1[ telle'(0)'(1)0, ~uverie: Z 1 0 ~u 0(x)'0(x)dx Z 1 0 W(0) appelle W(1) W la 0, qui continue minimise [0;1] ane cha f(x)'(x): ku intervalle ]pi;pi+1[ telle 'kh1 continues [0;1] anes cha intervalle]pi;pi+1[ 0([0;1]) pour ' tel variant '(0)'(1)0. dans l'espace s s Enutilisantstions avecla~u W,montrerl'ona Z 1 0 ((u ~u) 0(x))2dx Z 1 0 (u ~u) 0(x)(u W)0(x)dx 5. Enappliquantlastion,Montrerku ~ukh1 0([0;1])ku WkH1 6. En duire ~uw. 0([0;1]). Pour^recompl,ilfautmontreruxnormeskhkH1 H10([0;1]). 0([0;1])khkH1([0;1])sontbienequivalentes 2 Montrerpourtouth2H10([0;1])onakhkH1 0([0;1])khkH1([0;1]) Montrerpourtouth2H10([0;1])onah(x) Z x 0 h0()d (pp). En utilisant la formule Cauchy-Schwarz duire la stion x2[0;1] sup kh0kl2([0;1]). jh(x)j 5. DeduirenalementkhkH1([0;1]) khkl2([0;1]) kh0kl2([0;1]). p 2khkH1 0([0;1]). 6. Quepeut-ondiresuxnormeskhkH1([0;1]) khkh1 0([0;1]) H10([0;1])? 4 Prise en compte conditions aux limites non nul Commentaborrleproblemesuivantal'aicequiaefait? Trouver u:[0;1]!r telle u00 f [0;1] telle u(0)a;u(1)b: (1) pourabuxreels. Trouver 1 posewu Rouuestlasolution(1).Quelleedp R uxfoiscontin^umentrivabur[0;1]telle wsatisfait-elle? R(0)a R(1)b. En duire mho pour calculer approximation u. Nous probleme. allons maintenant udier version plus dans l'esprit \elements nis" du traitement ce 3

4 nit 2 pose w R par u Ra0+bn+ R ou u est la solution A-t-on R(0)a (1). Quelle R(0)b? probleme avec R00? edp w satisfait-elle? Il y a-t-il un En suivant la marche l'exercice 2, duire mho pour calculer approximation u. Deuxieme partie Quels fonments theoris 5 Distributions 6 Utilisation s distributions pour edp encore moins 6.1 reguliers Dans c exercice ca, peuvent on montre ^re solution s d'edp. s non rivab, m^eme s objs Soit @x 0: (6.1) u(t;x)g(x Montrerpourtoutegcontin^umentrivaburR,launieR2par Montrerpourtoute t) verie(6.1) au sens g R,launieR2 classi. (6.1) au sens s distributions. paru(t;x)g(x t)verie nit la distribution D0(R2): [xt] par <[xt];'> p 2 Z +1 1 '(s;s)ds: (6.2) Montrer [xt] est solution (6.1). va maintenant ecrire plusieurs edp usuel au sens s distributions. l'edp l'on 6.2 veut En prati traiter. C onasouventle exercice illustre choix ce fait. la formulation \ausens s distributions" faisant s'interesse intervenir u00 au probleme(1). secon u0 Ecrire troisieme 3 formulations\au u. sens s distributions" (1); formulation\au udie la troisieme(celle sens s distributions" faisant intervenir faisant intervenir u). suppose s integra. u est Pour dans l L2([0;1]),ecrire s test la peut-on udie ecrire cte la uxieme formulation? fv 2L2[0;1]t.q. v0 2L2[0;1] (celle v(0)v(1)0g",ecrirelaformulation\ausenssdistributions" faisant intervenir u0). suppose u est dans H10([0;1]) " faisant intervenir s integra. Pour l s test peut-on ecrire cte formulation? (2). Dans l'exercice peut aussi 6.1 on dire a donne est H1([0;1])fv nition entre 2L2([0;1]) guillems t:q: v0 H10([0;1]) 2L2([0;1])g, sa nition qu'il est muni precise est la norme khkh1([0;1]) khkl2([0;1])+kh0kl2([0;1]) H10([0;1])D(]0;1[)H1([0;1]). 4

5 consire le 6.3 probleme Soitunouvertborneconnexe suivant: R2 frontiere reguliere f 2L2(). u+uf; dans; u0 : (6.3) ruulatroisiemeu. Ecriresformulations\ausenssdistributions"(6.3)faisantintervenir uu,l'autre Comment, Ecrire dans formulations\au ces formulations, sens peut-on s distributions" prendre en (6.3) compte faisant la condition intervenir aux limites? la ru. Bien preciser a l espace u est censee appartenir. s integra 5. Enutilisant Pour l u s commestdanscteformulation,duirequ'itcoherentchercher test peut-on ecrire cte formulation? la solution u2h10(). dimensiondontlasolutionestavaleursreel(exercice6.2)d'unproblemeauxdimensions a vu la formulation\au sens s distributions"(on dit aussi formulation faible) d'un probleme a dont dimensions la solution dont la est solution a valeurs est reel a valeurs (exercice dans R 6.3). Il s'agit va du maintenant systeme voir l'elasticite un probleme lineaire a 2D. ux 0[ (la Soit mee en linei ouvert borne 0 est connexe strictement R2 positive). frontiere represente reguliere. la conguration suppose d'un point objelastilorsqu'iln'estsoumisaaucforce.consire, le placement qu'il subit(on suppose ce placement v:!r2 est pit). quidonnepourtout l'objestencastresoncote 0.Ceciesttraduitpar suppose v0 0: (6.4) appelle tenseur s formations la matrice suivante "(v) 1 ) + A; (6.5) puisonnit,pouruxconstantes lenseurscontraintes: (v)("11+"22)id+2": (6.6) exemple consire le poids) ensuite g f2(l2( 2(L2())2 1))2 molisant molisant forces forces agissant agissant tout 1 (par l'obj(par pression) exemple L'edppermtantlecalcul f2: (6.8) Cte edp est munie s conditions aux limites(6.4) (v) g 1 (6.9) ou Eectuer estlevecteurnorme1,orthogonala le produit scalaire (6.7)-(6.8) 1par pointantversl'exterieur. '('1;'2)2(D())2 duire 5

6 formulation suppose au sens v est s dans distributions H1() pour (6.7). au sens s distributions. l s test peut onecrire cte formulation va utiliser la formule Stokes suivante valable pour s s regulieres: + @x2 )' 2dx1dx dx 1dx2 Z 'dl (6.10) faible(6.7)-(6.8)-(6.4)-(6.9) Sachantcteformulerestevraielorsssontdans H1(),ecrireformulation 7 Mise en place s elements nis un probleme variationnel abstrait appli presente la mho un cadre s general elements abstrait nis. dans lel entrent nombreux problemes auxls on sedonnespacehilbert normeassocieeaceproduitscalaire)onnote V (espacevectorielmunid'unproduitscalaire,complpourla bilineaire symri a( ; ) telle kksanorme.sedonneegalementforme 9c0;8u2V;8v 2V;a(u;v)ckukkvk; (7.1) 9>0;8v 2V;a(v;v)kvk2; (7.2) forme lineaire L( ) veriant 9c0;8v 2V;L(v)c0kvk: (7.3) consireleprobleme: Trouveru2V telle8v2v;a(u;v)l(v): (7.4) entredanslecadrecritici.sic'estlecasdonnerexplicitement 7.1 Pour cha formulation faible ablie dans exercices V,a( ; )L( ). 6.2, dire si elle approximation 7.2 Soit u n sous s la forme lineairement inpendantes V : 1;2;:::;n. cherche ~u ~u n X i1 U ii: (7.5) Dans(7.4) Dans l'equation remplacer obtenue v par remplacer i pour u i1;:::;n. Deduire le systeme satisfait par U (Ui)i1;:::;n. par ~u. ou P(~u) Enprocedantd'faconanalogueal'exercice1,montrer est la projection u l'espace vectoriel engendre par (i)i1;:::;n. a(u ~u;u ~u)a(u ~u;u P(u)) 5. Deduireku ~uk cku P(~u)k. 6

7 Troisieme partie Mise en place s elements nis pour ls exemp 8 Resolution l'equation la chaleur avec un maillage regulier Soit ]0;1[2 frontiere f 2L2(). consire le probleme suivant: u+uf; dans; u0 : (8.1) 8.1 Rappeler la\bonne" formulation faible (8.1) lignesnnuds.lapremierelignenudsestsitueel'axes 8.2 construit ]0;1[2 un maillage regulier la maniere x,aveclepremiernun suivante. place n (0;0)lernieren(1;0).Larnierelignenudsestsitueeegmentsuperieur,avec nudnumero1estsitueen(0;0)lenumero2estceluisitueimmediatementaladroitedunumero lepremiernun(0;1)lernieren(1;1).numerotenudslamanieresuivante:le Lenudnumeronesten(1;0)lenudnumeron+1estceluisitueimmediatementaussus (0;0) Representer c. Combien y-a-t'il nuds nuds? un Donner schema. consirel lageentriangsuivant:lrianglenumero coordonnees du nud j(pourj numero 1;:::n2 j. du nud numero j du nud immediatement a sa droite (si il existe) du nud immediatement 1)estconstitue au j du ssus(si nud immediatement il existe). le triangle a sa gauche numero (si j+n2 il existe) (pour j du 2;:::n2) nud immediatement est constitue du en nud ssous numero existe). (si il 5. Reperertriangnumero1,4, Representer le maillage un schema. existent-ils? n 1,n+1,n+2+n2,2n+Lestriang1+n2,(n 1)n+1 i(pj)ij nit ou s pj signe i le par nud : i numero est continue j., ane cha triangle du maillage 6. le domaine, Representer la le frontiere, support s dans coins. i, pour plusieurs i correspondant a s nuds situes dans 8.3 cherche ~uapproximationusouslaforme ~u X i2i U ii; (8.2) oui estnsemblel ~u0. Derminer Dans la formulation un I convenable. pourj2i. faible (8.1) ablie dans l'exercice 8.1, remplacer u par ~u ' par j AssemblerlamatriceAlevecteurF pose U (Ui)i2I, l probleme U verie-t-il? telsau F. 7

8 faisant 8.4 boucle Cexerciceconsisteaassemblerlamatrice triang. Alastion4l'exercice8.3en AlscoecientsAlk Quels sont nuds qui Alrianglenumeroiapporte-t-ilcontributionnonnulle.Calculer forment le triangle numero i? Rappeler coordonees ces nuds. ces contributions Ecrire un algorithme en permtant s coordonees construire s nuds la matrice du triangle. triang. A en realisant boucle 9 Resolutionl'equationlachaleuravecunmaillagenon structure Soit suivant: un ouvert borne connexe frontiere reguliere f 2 L2(). consire le probleme uf; dans; u0 : (9.1) non regulier 9.1 constitue souhaite m resoudre nuds, numerotes le probleme (9.2). 1 a m Pour cela t on triang, place numerotes un maillage t. Plus precisement, on suppose l'on dispose d' C : f1:::mg! telle 1 a C(i)(C1(i);C2(i)) I:f1:::mg!f0;1gtelleI(i)1silenudnumeroiestal'interieurI(i)0silenud sont coordonnees du nud numero i. disposeegalement d' numeroiest pour in+) Enn.(supposeiciqu'ilexisteunindice on dispose d' Ef1:::tg!N3 nteli(i)1pourini(i)0 soient trois nuds composant le triangle k. telle E(k)(E1(k);E2(k);E3(k)) du maillage nit s i(c(j))ij. pour i1;:::m cherche ~u par approximation : i est continue u sous, ane la forme cha triangle ~u n X i1 U ii; (9.2) Remplacerdanscteformulationfaible Ecrire la\bonne" formulation faible (9.1). poseu (Ui)i1;:::n,U estsolutionau upar ~u'parj F.RappelerlanitionAij. pourj1;:::n. 5. Calculer A ls coecients ces contributions. Aij A le triangle numero k apporte-t-il contribution non nulle? 6. Ecrire l'algorithme permtant d'assembler la matrice A en faisant boucle triang. 10 Notion d'elements nis Lagrange forme(7.4)revientaresoudreunsystemelineaire a vu, dans exercices precents, resoudre AU F.avul"assemblagelamatrice edp ayant formulation faible la A Pour se ramenait generaliser a faire cte procedure boucle a s elements triang nis, pour qui ne cha sont triangle, pas forcement a calculer s triang integrale. trois gres liberte, on introduit la notion d'elements nis Lagrange. avec UnelementniLagrange(K; ;P)estniparladonnee UnepartiecompacteK Unensembleni fa1;:::;ang Rn { UnespacevectorielP,dimensionnie,s P estsuppose^reunisolvant,c'estadire,tel: 8(1;:::;N)2RN;9!p2P;p(aj)j;8j K!R. 1:::;N. 8

9 Montrer 10.1 Plus generalement, qu'il existe montrer uni pour toute pi 2P telle v : pi(aj)ij. Pv 2P telle Pv(aj)v(aj). K! R il existe uni Si Donner a(:;:) l'expression est forme bilineaire Pv en symri s donner pi s l'expression v(ai). a( Pv;pi) pour i1:::;n normev s!r,veriant(7.1)(7.2)l(:)formelineairev 10.2 Soient Rn a(:;:) forme bilineaire symri un espace veriant(7.3). vectoriel Pour cherche cela on suppose solution qu'il approchee existe au probleme(7.4). [l1;:::;mkl Int(Kl)\Int(Kk);sil6k.nitalors famille l'elements nis S[l1;:::;M l (Kl; l;pl)l1;:::;m onnumerote telle elements ij l2pl pourtoutll1;:::;m S 1 a Q, i.e. S fs1;:::;sqg. i(sj)ij consire. s (i)i1;:::;q nies par Dans(7.4) remplacer v par i pour i1;:::;q. Dansl'equationobtenueremplacer upar ~u Q X i1 U ii. Deduire A ls elements le systeme satisfait AU F par U (Ui)i1;:::;Q. 5. Ecrire l'algorithme Aij permtant l'elements d'assembler Kl apporte-t-il la matrice contribution A en faisant non nulle. boucle elements. 9

Examen optimisation Centrale Marseille (2008) et SupGalilee (2008)

Examen optimisation Centrale Marseille (2008) et SupGalilee (2008) Examen optimisation Centrale Marseille (28) et SupGalilee (28) Olivier Latte, Jean-Michel Innocent, Isabelle Terrasse, Emmanuel Audusse, Francois Cuvelier duree 4 h Tout resultat enonce dans le texte peut

Plus en détail

TD 5- Applications linéaires

TD 5- Applications linéaires TD 5- Applications linéaires Exercice 1. Soit f l'application dénie sur R 2 par f(x, y) = (2x y, 3x + y). 1. Montrer que f est un endomorphisme de R 2. 2. Montrer que f est injective. 3. Montrer que f

Plus en détail

Outils d analyse fonctionnelle Cours 5 Théorie spectrale

Outils d analyse fonctionnelle Cours 5 Théorie spectrale Outils d analyse fonctionnelle Cours 5 Théorie spectrale 22 septembre 2015 Généralités Dans tout ce qui suit V désigne un espace de Hilbert réel muni d un produit scalaire x, y. Définition Soit A une application

Plus en détail

Espaces vectoriels euclidiens. Groupe orthogonal

Espaces vectoriels euclidiens. Groupe orthogonal 19 Espaces vectoriels euclidiens. Groupe orthogonal Dans un premier temps, E est un espace vectoriel réel de dimension n 1. 19.1 Espaces vectoriels euclidiens Dénition 19.1 On dit qu'une forme bilinéaire

Plus en détail

Travaux dirigés. Résolution numérique des équations diérentielles ordinaires. Département MIDO année 2013/2014 Master MMDMA

Travaux dirigés. Résolution numérique des équations diérentielles ordinaires. Département MIDO année 2013/2014 Master MMDMA Université Paris-Dauphine Méthodes numériques Département MIDO année 03/04 Master MMDMA Travaux dirigés Résolution numérique des équations diérentielles ordinaires Exercice. Pour α > 0, on considère le

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples

Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples 45 Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples Les espaces vectoriels considérés sont réels, non réduits au vecteur nul et

Plus en détail

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON MATHEMATIQUES I

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON MATHEMATIQUES I CHAMBRE DE COMMERCE ET D INDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE L ENSEIGNEMENT Direction des Admissions et concours ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON CONCOURS

Plus en détail

Le théorème du point xe. Applications

Le théorème du point xe. Applications 49 Le théorème du point xe. Applications 1 Comme dans le titre de cette leçon, le mot théorème est au singulier, on va s'occuper du théorème du point xe de Picard qui a de nombreuses applications. Le cas

Plus en détail

À propos des matrices échelonnées

À propos des matrices échelonnées À propos des matrices échelonnées Antoine Ducros appendice au cours de Géométrie affine et euclidienne dispensé à l Université Paris 6 Année universitaire 2011-2012 Introduction Soit k un corps, soit E

Plus en détail

3.1 Espace vectoriel. La multiplication par un scalaire. L'addition et la multiplication par un scalaire obeissent aux regles suivantes :

3.1 Espace vectoriel. La multiplication par un scalaire. L'addition et la multiplication par un scalaire obeissent aux regles suivantes : .1 Espace vectoriel Un espace vectoriel de dimension p sur le corps des reels IR est une construction mathematique dont les elements sont des vecteurs. Il est deni par deux operations : L'addition. Soient

Plus en détail

C) Fiche : Espaces vectoriels.

C) Fiche : Espaces vectoriels. C) Fiche : Espaces vectoriels. 1) Définition d'un espace vectoriel. K= I ou est le corps des scalaires. E est un K-espace I vectoriel si et seulement si : C'est un ensemble non vide muni de deux opérations,

Plus en détail

Chapitre 5: Opérateurs dans les espaces de Hilbert. Notions d opérateur adjoint

Chapitre 5: Opérateurs dans les espaces de Hilbert. Notions d opérateur adjoint Chapitre 5: Opérateurs dans les espaces de Hilbert. Notions d opérateur adjoint 18 mars 2008 1 Généralités sur les opérateurs 1.1 Définitions Soient H et H deux espaces de Hilbert sur C. Définition 1.1

Plus en détail

PAD - Notes de cours. S. Rigal, D. Ruiz, et J. C. Satgé

PAD - Notes de cours. S. Rigal, D. Ruiz, et J. C. Satgé ALGÈBRE PAD - Notes de cours S. Rigal, D. Ruiz, et J. C. Satgé November 23, 2006 Table des Matières Espaces vectoriels Applications linéaires - Espaces vectoriels............................... 3 -. Approche

Plus en détail

Agrégation interne de Mathématiques. Session 2009. Deuxième épreuve écrite. (et CAERPA)

Agrégation interne de Mathématiques. Session 2009. Deuxième épreuve écrite. (et CAERPA) Agrégation interne de Mathématiques (et CAEPA Session 2009 Deuxième épreuve écrite 2 NOTATIONS ET PÉLIMINAIES On désigne par le corps des nombres réels et par C le corps des nombres complexes. Si f est

Plus en détail

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........

Plus en détail

MPSI 3 - Cahier de vacances... MPSI 3-2004/2005

MPSI 3 - Cahier de vacances... MPSI 3-2004/2005 MPSI 3 - Cahier de vacances... MPSI 3-2004/2005 Voici une fiche contenant 100 exercices de difficulté raisonable, plutôt techniques, qui recouvrent l ensemble du programme étudié cette année. A raison

Plus en détail

Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire

Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la Programmation Linéaire. 5 . Introduction Un programme linéaire s'écrit sous la forme suivante. MinZ(ou maxw) =

Plus en détail

ÉTUDE MATHÉMATIQUE DES PROBLÈMES ELLIPTIQUES

ÉTUDE MATHÉMATIQUE DES PROBLÈMES ELLIPTIQUES Chapitre 5 ÉTUDE MATHÉMATIQUE DES PROBLÈMES ELLIPTIQUES Exercice 5.2.1 A l aide de l approche variationnelle démontrer l existence et l unicité de la solution de { u + u = f dans (5.1) u = 0 sur où est

Plus en détail

202 - Exemples de parties denses et applications

202 - Exemples de parties denses et applications 202 - Exemples de parties denses et applications 1 Généralités et premiers exemples 1.1 Parties denses On xe un espace métrique (X, d). Dénition 1. Soit D X. On dit que D est dense dans X si D = X. Exemple.

Plus en détail

208. Espaces vectoriels normés. Applications linéaires continues. Exemples.

208. Espaces vectoriels normés. Applications linéaires continues. Exemples. 208. Espaces vectoriels normés. Applications linéaires continues. Exemples. Pierre Lissy May 29, 2010 Dans totue la suite, E désigne un espace vectoriel sur R ou C. 1 Norme. Espace vectoriel normé 1.1

Plus en détail

NOTATIONS PRÉLIMINAIRES

NOTATIONS PRÉLIMINAIRES Pour le Jeudi 14 Octobre 2010 NOTATIONS Soit V un espace vectoriel réel ; l'espace vectoriel des endomorphismes de l'espace vectoriel V est désigné par L(V ). Soit f un endomorphisme de l'espace vectoriel

Plus en détail

Contents. Systèmes d'équations non linéaires 2 1. Dichotomie 2 2. Point xe 3 3. Méthodes de Newton et et de la sécante 5

Contents. Systèmes d'équations non linéaires 2 1. Dichotomie 2 2. Point xe 3 3. Méthodes de Newton et et de la sécante 5 Contents Systèmes d'équations non linéaires 2 1. Dichotomie 2 2. Point xe 3 3. Méthodes de Newton et et de la sécante 5 1 Systèmes d'équations non linéaires On considère un intervalle I R (borné ou non)

Plus en détail

1 Codes linéaires. G = [I k A]. Dans ce cas on constate que la matrice. H = [ t A I n k ] est une matrice de contrôle de C. Le syndrome de x F n q

1 Codes linéaires. G = [I k A]. Dans ce cas on constate que la matrice. H = [ t A I n k ] est une matrice de contrôle de C. Le syndrome de x F n q 1 Codes linéaires Un code de longueur n est une partie de F n q. Un code linéaire C de longueur n sur le corps ni F q est un sous-espace vectoriel de F n q. Par défaut, un code sera supposé linéaire. La

Plus en détail

I. Polynômes de Tchebychev

I. Polynômes de Tchebychev Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire

Plus en détail

Suites et Convergence

Suites et Convergence Suites et Convergence Une suite c est se donner une valeur (sans ambigüité) pour chaque N sauf peutêtre les premiers n. Donc une suite est une fonction : I R où I = N: = N. Notation : On note ( ) I R pour

Plus en détail

CHAPITRE V. de U U dans Hom(F, F ) est de classe C. b dans Hom(F,F ) est de classe C, l application b b. de U U

CHAPITRE V. de U U dans Hom(F, F ) est de classe C. b dans Hom(F,F ) est de classe C, l application b b. de U U CHAPITRE V FIBRÉS VECTORIELS 1. Fibrés vectoriels 1. Cartes et atlas vectoriels Soit B une variété différentielle. Considérons un B -ensemble, c est à-dire un ensemble M muni d une application p : M B.

Plus en détail

Optimisation numérique. Outline. Introduction et exemples. Daniele Di Pietro A.A. 2012-2013. 1 Dénitions et notations

Optimisation numérique. Outline. Introduction et exemples. Daniele Di Pietro A.A. 2012-2013. 1 Dénitions et notations Optimisation numérique Introduction et exemples Daniele Di Pietro A.A. 2012-2013 Outline 1 Dénitions et notations 2 Applications Exemples en recherche opérationnelle Exemples en algèbre linéaire Exemples

Plus en détail

Le corps R des nombres réels

Le corps R des nombres réels Le corps R des nombres réels. Construction de R à l aide des suites de Cauchy de nombres rationnels On explique brièvement dans ce paragraphe comment construire le corps R des nombres réels à partir du

Plus en détail

3 Approximation de solutions d équations

3 Approximation de solutions d équations 3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle

Plus en détail

Mathématiques des modèles multi-échelles. Frédéric Legoll et Mathieu Lewin

Mathématiques des modèles multi-échelles. Frédéric Legoll et Mathieu Lewin Mathématiques des modèles multi-échelles Frédéric Legoll et Mathieu Lewin Mars 213 Table des matières Introduction v 1 Rappels et compléments d analyse 1 1.1 Applications linéaires...........................

Plus en détail

Espaces vectoriels normés

Espaces vectoriels normés Espaces vectoriels normés Essaidi Ali 19 octobre 2010 K = R ou C. E un K-espace vectoriel. 1 Normes et distances : 1.1 Normes et distances : Définition : On appelle semi-norme sur E toute application N

Plus en détail

PC* Espaces préhilbertiens réels

PC* Espaces préhilbertiens réels I. Espace préhilbertien réel................................... 3 I.1 Produit scalaire dans un espace vectoriel réel................... 3 I.2 Inégalités de Cauchy-Schwarz et de Minkowski..................

Plus en détail

INTÉGRATION SUR LES SURFACES. Le but de ce texte est d expliquer comment définir et calculer des expressions du type

INTÉGRATION SUR LES SURFACES. Le but de ce texte est d expliquer comment définir et calculer des expressions du type INTÉGRATION SUR LES SURFACES Le but de ce texte est d expliquer comment définir et calculer des expressions du type φ(x)dσ(x) Σ où Σ est une surface de classe C 1 de R 3 ou plus généralement une hypersurface

Plus en détail

Université de Nantes Année 2009-2010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques. Topologie et calculs différentiel Liste n 5

Université de Nantes Année 2009-2010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques. Topologie et calculs différentiel Liste n 5 Université de Nantes Année 009-010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques Topologie et calculs différentiel Liste n 5 Applications Différentiables Exercice 1. Soit f : R n

Plus en détail

1 - INTERPOLATION. J-P. Croisille. Semestre S7, master de mathématiques M1, année 2008/2009. Université Paul Verlaine-Metz

1 - INTERPOLATION. J-P. Croisille. Semestre S7, master de mathématiques M1, année 2008/2009. Université Paul Verlaine-Metz 1 - INTERPOLATION J-P. Croisille Université Paul Verlaine-Metz Semestre S7, master de mathématiques M1, année 2008/2009 1- INTRODUCTION Théorie de l interpolation: approximation de f(x) par une fonction

Plus en détail

Table des matières. Applications linéaires.

Table des matières. Applications linéaires. Table des matières Introduction...2 I- s et exemples...3 1-...3 2- Exemples...4 II- Noyaux et images...5 1- Rappels : images directes et images réciproques...5 a- s...5 b- Quelques exemples...5 2- Ker

Plus en détail

IV.1 Dual d un espace vectoriel... 77

IV.1 Dual d un espace vectoriel... 77 76 IV FORMES LINÉAIRES, DUALITÉ IV Formes linéaires, dualité Sommaire IV.1 Dual d un espace vectoriel.......... 77 IV.1.a Rappels sur les e.v................... 77 IV.1.b Rappels sur les applications linéaires........

Plus en détail

Feuille n 2 : Contrôle du flux de commandes

Feuille n 2 : Contrôle du flux de commandes Logiciels Scientifiques (Statistiques) Licence 2 Mathématiques Générales Feuille n 2 : Contrôle du flux de commandes Exercice 1. Vente de voiture Mathieu décide de s acheter une voiture neuve qui coûte

Plus en détail

TD 2 Exercice 1. Un bûcheron a 100 hectares de bois de feuillus. Couper un hectare de bois et laisser la zone se régénérer naturellement coûte 10 kf par hectares, et rapporte 50 kf. Alternativement, couper

Plus en détail

Cours de spécialité mathématiques en Terminale ES

Cours de spécialité mathématiques en Terminale ES Cours de spécialité mathématiques en Terminale ES O. Lader 2014/2015 Lycée Jean Vilar Spé math terminale ES 2014/2015 1 / 51 Systèmes linéaires Deux exemples de systèmes linéaires à deux équations et deux

Plus en détail

19. APPLICATIONS LINÉAIRES

19. APPLICATIONS LINÉAIRES 19. APPLICATIONS LINÉAIRES 1 Dénitions générales. 1. 1 Applications linéaires. On dit qu'une application d'un espace vectoriel E dans un espace vectoriel F est linéaire si elle est compatible avec les

Plus en détail

Topologie des espaces vectoriels normés

Topologie des espaces vectoriels normés Topologie des espaces vectoriels normés Cédric Milliet Version préliminaire Cours de troisième année de licence Université Galatasaray Année 2011-2012 2 Chapitre 1 R-Espaces vectoriels normés 1.1 Vocabulaire

Plus en détail

COR TD 2. Exercice 1. Déterminer si les applications f i suivantes sont linéaires : x + x, y + y )

COR TD 2. Exercice 1. Déterminer si les applications f i suivantes sont linéaires : x + x, y + y ) COR TD 2 Année 21 Exercice 1. Déterminer si les applications f i suivantes sont linéaires : f 1 : R 2 R 2 f 1 x, y = 2x + y, x y f 2 : R R f 2 x, y, z = xy, x, y f : R R f x, y, z = 2x + y + z, y z, x

Plus en détail

Champ et potentiel électrostatique. 1 Cas d une distribution de charges ponctuelles. Outils mathématiques. 1.1 Rappel (ou pas) : notion de champ

Champ et potentiel électrostatique. 1 Cas d une distribution de charges ponctuelles. Outils mathématiques. 1.1 Rappel (ou pas) : notion de champ 2 Champ et potentiel électrostatique Les e ets électriques peuvent être décrits par deux grandeurs que nous allons étudier dans ce chapitre : le champ électrostatique (grandeur vectorielle) et le potentiel

Plus en détail

Séance de soutien PCSI2 numéro 10 : Espaces vectoriels et applications linéaires

Séance de soutien PCSI2 numéro 10 : Espaces vectoriels et applications linéaires Séance de soutien PCSI2 numéro 10 : Espaces vectoriels et applications linéaires Tatiana Labopin-Richard Mercredi 18 mars 2015 L algèbre linéaire est une très grosse partie du programme de Maths. Il est

Plus en détail

Premier Exemple. Premier Exemple - Slack variables. Optimiser? Un peu de maths préliminaires La géométrie des PL

Premier Exemple. Premier Exemple - Slack variables. Optimiser? Un peu de maths préliminaires La géométrie des PL 1 Intro, Optimisation, Problème Linéaire 2 1 Intro, Optimisation, Problème Linéaire Optimiser? Problème Linéaire Un peu de maths préliminaires La géométrie des PL 2 Laure Gonnord (Lyon1 / ENS Lyon) Optimisation

Plus en détail

Cours 3: Inversion des matrices dans la pratique...

Cours 3: Inversion des matrices dans la pratique... Cours 3: Inversion des matrices dans la pratique... Laboratoire de Mathématiques de Toulouse Université Paul Sabatier-IUT GEA Ponsan Module complémentaire de maths, année 2012 1 Rappel de l épisode précédent

Plus en détail

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion

Plus en détail

LE PROBLEME DU FLOT MAXIMAL

LE PROBLEME DU FLOT MAXIMAL LE PROBLEME DU FLOT MAXIMAL I Exemple d introduction Deux châteaux d'eau alimentent 3 villes à travers un réseau de canalisations au sein duquel se trouvent également des stations de pompage. Les châteaux

Plus en détail

Programmation linéaire

Programmation linéaire 1 Programmation linéaire 1. Le problème, un exemple. 2. Le cas b = 0 3. Théorème de dualité 4. L algorithme du simplexe 5. Problèmes équivalents 6. Complexité de l Algorithme 2 Position du problème Soit

Plus en détail

Rappels sur les applications linéaires

Rappels sur les applications linéaires Rappels sur les applications linéaires 1 Définition d une application linéaire Définition 1 Soient E et F deux espaces vectoriels sur un même corps K et f une application de E dans F Dire que f est linéaire

Plus en détail

: 3 si x 2 [0; ] 0 sinon

: 3 si x 2 [0; ] 0 sinon Oral HEC 2007 Question de cours : Dé nition d un estimateur ; dé nitions du biais et du risque quadratique d un estimateur. On considère n (n > 2) variables aléatoires réelles indépendantes X 1,..., X

Plus en détail

Applications Bilinéaires et Formes Quadratiques

Applications Bilinéaires et Formes Quadratiques Ce cours peut être librement copié et distribué. Il est recommandé d en télécharger la version la plus récente à partir de : http://www.math.jussieu.fr/~alp. Toute remarque, correction ou suggestion doit

Plus en détail

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.

Plus en détail

COURS METHODES MATHEMATIQUES POUR L INGENIEUR. MAM 3, Polytech Lyon. Ionel Sorin CIUPERCA

COURS METHODES MATHEMATIQUES POUR L INGENIEUR. MAM 3, Polytech Lyon. Ionel Sorin CIUPERCA COURS METHODES MATHEMATIQUES POUR L INGENIEUR MAM 3, Polytech Lyon Ionel Sorin CIUPERCA Le cours s adresse en principal à des élèves des écoles d ingénieurs, filière modélisation mathématique. Une partie

Plus en détail

Approximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2

Approximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2 Approximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2 Albert Cohen Dans ce cours, on s intéresse à l approximation numérique d équations aux dérivées partielles linéaires qui admettent une formulation

Plus en détail

Université de Provence, C.M.I. Master de Mathématiques. T.E.R Equations Elliptiques Couplées

Université de Provence, C.M.I. Master de Mathématiques. T.E.R Equations Elliptiques Couplées Université de Provence, C.M.I. Master de Mathématiques T.E.R Equations Elliptiques Couplées Vincent BLAIN, Alain DOURDIL Mars 2005 Table des matières Introduction Outils d Analyse 3. Espaces L p ().............................

Plus en détail

Espaces vectoriels. Université d Orléans Année 2009-2010 Espaces vectoriels et applications linéaires. 2MA01-Licence de Mathématiques

Espaces vectoriels. Université d Orléans Année 2009-2010 Espaces vectoriels et applications linéaires. 2MA01-Licence de Mathématiques Université d Orléans Année 2009-2010 Espaces vectoriels et applications linéaires 2MA01-Licence de Mathématiques Espaces vectoriels Exercice 1 Soit E un espace vectoriel. Pour x, y E et λ, µ K, montrer

Plus en détail

Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles

Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Denis Vekemans R n est muni de l une des trois normes usuelles. 1,. 2 ou.. x 1 = i i n Toutes les normes de R n sont équivalentes. x i ; x 2

Plus en détail

est diagonale si tous ses coefficients en dehors de la diagonale sont nuls.

est diagonale si tous ses coefficients en dehors de la diagonale sont nuls. Diagonalisation des matrices http://www.math-info.univ-paris5.fr/~ycart/mc2/node2.html Sous-sections Matrices diagonales Valeurs propres et vecteurs propres Polynôme caractéristique Exemples Illustration

Plus en détail

Gestion d'un entrepôt

Gestion d'un entrepôt Gestion d'un entrepôt Épreuve pratique d'algorithmique et de programmation Concours commun des écoles normales supérieures Durée de l'épreuve: 3 heures 30 minutes Juin/Juillet 2010 ATTENTION! N oubliez

Plus en détail

Introduction à la Topologie

Introduction à la Topologie Introduction à la Topologie Licence de Mathématiques Université de Rennes 1 Francis Nier Dragoş Iftimie 2 3 Introduction Ce cours s adresse à des étudiants de Licence en mathématiques. Il a pour objectif

Plus en détail

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés 2012-2013 1 Petites questions 1) Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? 2) Si F et G sont deux tribus, est-ce que F G est toujours une tribu?

Plus en détail

INTRODUCTION À LA THÉORIE DE STABILITÉ DES SYSTÈMES CONSERVATIFS

INTRODUCTION À LA THÉORIE DE STABILITÉ DES SYSTÈMES CONSERVATIFS INTRODUCTION À LA THÉORIE DE STABILITÉ DES SYSTÈMES CONSERVATIFS David Ryckelynck Centre des Matériaux, Mines ParisTech David.Ryckelynck@mines-paristech.fr Bibliographie : Stabilité et mécanique non linéaire,

Plus en détail

TD2 Fonctions mesurables Corrigé

TD2 Fonctions mesurables Corrigé Intégration et probabilités 2012-2013 TD2 Fonctions mesurables Corrigé 0 Exercice qui avait été préparé chez soi Exercice 1. Soit (Ω, F, µ) un espace mesuré tel que µ (Ω) = 1. Soient A, B P (Ω) deux sousensembles

Plus en détail

Applications linéaires

Applications linéaires Applications linéaires I) Applications linéaires - Généralités 1.1) Introduction L'idée d'application linéaire est intimement liée à celle d'espace vectoriel. Elle traduit la stabilité par combinaison

Plus en détail

1 Topologies, distances, normes

1 Topologies, distances, normes Université Claude Bernard Lyon 1. Licence de mathématiques L3. Topologie Générale 29/1 1 1 Topologies, distances, normes 1.1 Topologie, distances, intérieur et adhérence Exercice 1. Montrer que dans un

Plus en détail

Théorie spectrale. Stéphane Maingot & David Manceau

Théorie spectrale. Stéphane Maingot & David Manceau Théorie spectrale Stéphane Maingot & David Manceau 2 Théorie spectrale 3 Table des matières Introduction 5 1 Spectre d un opérateur 7 1.1 Inversibilité d un opérateur........................... 7 1.2 Définitions

Plus en détail

Examen - septembre 2012. Question de cours Enoncer et démontrer l inégalité de Cauchy-Schwarz dans un espace euclidien. Quel est le cas d égalité?

Examen - septembre 2012. Question de cours Enoncer et démontrer l inégalité de Cauchy-Schwarz dans un espace euclidien. Quel est le cas d égalité? Université Paris Dauphine DEMIE e année Algèbre linéaire 3 Examen - septembre 01 Le sujet comporte pages. L épreuve dure heures. Les documents, calculatrices et téléphones portables sont interdits. Question

Plus en détail

Calcul Matriciel. Chapitre 10. 10.1 Qu est-ce qu une matrice? 10.2 Indexation des coefficients. 10.3 Exemples de matrices carrées.

Calcul Matriciel. Chapitre 10. 10.1 Qu est-ce qu une matrice? 10.2 Indexation des coefficients. 10.3 Exemples de matrices carrées. Chapitre 10 Calcul Matriciel 101 Qu est-ce qu une matrice? Définition : Soit K un ensemble de nombres exemples, K = N, Z, Q, R, C, n, p N On appelle matrice à n lignes et p colonnes la données de np nombres

Plus en détail

Un corrigé de l épreuve de mathématiques du baccalauréat blanc

Un corrigé de l épreuve de mathématiques du baccalauréat blanc Terminale ES Un corrigé de l épreuve de mathématiques du baccalauréat blanc EXERCICE ( points). Commun à tous les candidats On considère une fonction f : définie, continue et doublement dérivable sur l

Plus en détail

Implémentation de Nouveaux Elements Finis dans Life et Applications

Implémentation de Nouveaux Elements Finis dans Life et Applications 1 Département Informatique et Mathématiques Appliquées Année Universitaire 29-21 Rapport de stage Implémentation de Nouveaux Elements Finis dans Life et Applications Présenté par Abdoulaye Samake M1 Mathématiques

Plus en détail

Plan du cours. Espaces métriques. Espaces vectoriels normés

Plan du cours. Espaces métriques. Espaces vectoriels normés L3 Maths, 1 er semestre 20112012 Espaces métriques Plan du cours On suppose connues les propriétés élémentaires des nombres réels et des espaces vectoriels et, uniquement pour les exemples, quelques propriétés

Plus en détail

2 Opérateurs non bornés dans un espace de Hilbert

2 Opérateurs non bornés dans un espace de Hilbert 2 Opérateurs non bornés dans un espace de Hilbert 2. Opérateurs non bornés: définitions et propriétés élémentaires Soit H un espace de Hilbert et A un opérateur dans H, c est-à-dire, une application linéaire

Plus en détail

L3 MASS Calcul différentiel (cours et exercices) John BOXALL (Année universitaire 2009 2010 ) Introduction

L3 MASS Calcul différentiel (cours et exercices) John BOXALL (Année universitaire 2009 2010 ) Introduction L3 MASS Calcul différentiel (cours et exercices) John BOXALL (Année universitaire 2009 2010 ) Introduction (0.1) Ce cours s articule autour du calcul différentiel et, en particulier, son application au

Plus en détail

Méthodes de Décomposition de Domaine de Type Optimisation

Méthodes de Décomposition de Domaine de Type Optimisation Méthodes de Décomposition de Domaine de Type Optimisation Jonas Koko LIMOS, Université Blaise Pascal CNRS FRE 2239 ISIMA, Campus des Cézeaux BP 10125 F63173 Aubière cedex, France email: koko@sp.isima.fr

Plus en détail

Rappels d Algèbre Linéaire de P.C.S.I

Rappels d Algèbre Linéaire de P.C.S.I Rappels d Algèbre Linéaire de PCSI Table des matières 1 Structure d espace vectoriel sur IK 3 11 Définition et règles de calcul 3 12 Exemples de référence 3 13 Espace vectoriel produit 4 14 Sous-espaces

Plus en détail

En 2005, année de sa création, un club de randonnée pédestre comportait 80 adhérents. Chacune des années suivantes on a constaté que :

En 2005, année de sa création, un club de randonnée pédestre comportait 80 adhérents. Chacune des années suivantes on a constaté que : Il sera tenu compte de la présentation et de la rédaction de la copie lors de l évaluation finale. Les élèves n ayant pas la spécialité mathématique traiteront les exercices 1, 2,3 et 4, les élèves ayant

Plus en détail

Méthodes de quadrature. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/48

Méthodes de quadrature. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/48 Méthodes de Polytech Paris-UPMC - p. 1/48 Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 2/48 Polynôme d interpolation

Plus en détail

Exercices théoriques

Exercices théoriques École normale supérieure 2008-2009 Département d informatique Algorithmique et Programmation TD n 9 : Programmation Linéaire Avec Solutions Exercices théoriques Rappel : Dual d un programme linéaire cf.

Plus en détail

Feuilles de TD du cours d Algèbre S4

Feuilles de TD du cours d Algèbre S4 Université Paris I, Panthéon - Sorbonne Licence M.A.S.S. 203-204 Feuilles de TD du cours d Algèbre S4 Jean-Marc Bardet (Université Paris, SAMM) Email: bardet@univ-paris.fr Page oueb: http://samm.univ-paris.fr/-jean-marc-bardet-

Plus en détail

ÉPREUVE OPTIONNELLE D'INFORMATIQUE AU BACCALAURÉAT (juin 1988) - suite - POLYNÉSIE -

ÉPREUVE OPTIONNELLE D'INFORMATIQUE AU BACCALAURÉAT (juin 1988) - suite - POLYNÉSIE - 62 ÉPREUVE OPTIONNELLE D'INFORMATIQUE AU BACCALAURÉAT (juin 1988) - suite - POLYNÉSIE - PREMIÈRE PARTIE (sur 6 points) Le candidat choisira l'un des deux sujets proposés, qu'il traitera en 200 à 300 mots.

Plus en détail

Les relations de Plücker

Les relations de Plücker Université Claude Bernard LYON 1 Préparation à l'agrégation de Mathématiques Les relations de Plücker Michel CRETIN On montre que l'ensemble des sous-espaces vectoriels de dimension r de K n est la sous-variété

Plus en détail

Résolution de systèmes linéaires : Méthodes directes. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/51

Résolution de systèmes linéaires : Méthodes directes. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/51 Résolution de systèmes linéaires : Méthodes directes Polytech Paris-UPMC - p. /5 Rappels mathématiques s Propriétés - p. 2/5 Rappels mathématiques Soit à résoudre le système linéaire Ax = b. Rappels mathématiques

Plus en détail

Espaces vectoriels et applications

Espaces vectoriels et applications Espaces vectoriels et applications linéaires 1 Définitions On parle d espaces vectoriels sur le corps R ou sur le corps C. Les définitions sont les mêmes en substituant R à C ou vice versa. Définition

Plus en détail

Simulation de variables aléatoires

Simulation de variables aléatoires Chapter 1 Simulation de variables aléatoires Références: [F] Fishman, A first course in Monte Carlo, chap 3. [B] Bouleau, Probabilités de l ingénieur, chap 4. [R] Rubinstein, Simulation and Monte Carlo

Plus en détail

Résume du cours de Mécanique Analytique

Résume du cours de Mécanique Analytique Résume du cours de Mécanique Analytique jean-eloi.lombard@epfl.ch 22 janvier 2009 Table des matières 1 Équations de Lagrange 1 1.1 Calcul des variations....................... 3 1.2 Principe de moindre

Plus en détail

Méthodes avancées en décision

Méthodes avancées en décision Méthodes avancées en décision Support vector machines - Chapitre 2 - Principes MRE et MRS Principe MRE. Il s agit de minimiser la fonctionnelle de risque 1 P e (d) = y d(x;w, b) p(x, y) dxdy. 2 La densité

Plus en détail

1.1.1 Composantes contravariantes, covariantes d un vecteur

1.1.1 Composantes contravariantes, covariantes d un vecteur Chapitre 1 Prérequis Ce chapitre regroupe les définitions et les résultats sur les tenseurs qui sont utilisés dans la théorie des coques et des membranes. Il comprend deux parties : 1. L algèbre tensorielle,

Plus en détail

Retournement Temporel

Retournement Temporel Retournement Temporel Rédigé par: HENG Sokly Encadrés par: Bernard ROUSSELET & Stéphane JUNCA 2 juin 28 Remerciements Je tiens tout d'abord à remercier mes responsables de mémoire, M.Bernard ROUSSELET

Plus en détail

TD: Ensembles, applications, dénombrement

TD: Ensembles, applications, dénombrement Université de Provence Année 011/1 Licence Math Info ème année S3 Fondements de l Informatique 1 Ensembles et fonctions TD: Ensembles, applications, dénombrement 1. On suppose que l ensemble de tous les

Plus en détail

Collège du Sud, Bulle 2-ème année OS PAM 3-ème année OC AM. Applications des mathématiques. Equations

Collège du Sud, Bulle 2-ème année OS PAM 3-ème année OC AM. Applications des mathématiques. Equations Collège du Sud, Bulle 2-ème année OS PAM 3-ème année OC AM Applications des mathématiques Equations Résolution de l'équation f(x) = 0 par diverses méthodes Version pour Mathematica Edition 2014/2015 Marcel

Plus en détail

Exo7. Topologie générale. Enoncés : M. Quéffelec Corrections : A. Bodin

Exo7. Topologie générale. Enoncés : M. Quéffelec Corrections : A. Bodin Enoncés : M. Quéffelec Corrections : A. Bodin Exo7 Topologie générale Exercice 1 1. Rappeler les définitions d une borne supérieure (inférieure) d un ensemble de nombres réels. Si A et B sont deux ensembles

Plus en détail

Exo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.

Exo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin. Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).

Plus en détail

Introduction à l analyse des données. Analyse des Données (1) Exemple, ville et (in)sécurité. Exemple, ville et (in)sécurité

Introduction à l analyse des données. Analyse des Données (1) Exemple, ville et (in)sécurité. Exemple, ville et (in)sécurité Introduction à l analyse des données Analyse des Données () Le but de l analyse de données est de synthétiser, structurer l information contenue dans des données multidimensionnelles Deux groupes de méthodes

Plus en détail

Cours de mathématiques - Alternance Gea

Cours de mathématiques - Alternance Gea Cours de mathématiques - Alternance Gea Anne Fredet 11 décembre 005 1 Calcul matriciel Une matrice n m est un tableau de nombres à n lignes( et m colonnes. 1 0 Par exemple, avec n = et m =, on peut considérer

Plus en détail

Calculs approchés d un point fixe

Calculs approchés d un point fixe M11 ÉPREUVE COMMUNE DE TIPE 2013 - Partie D TITRE : Calculs approchés d un point fixe Temps de préparation :.. 2 h 15 minutes Temps de présentation devant les examinateurs :.10 minutes Dialogue avec les

Plus en détail

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante

Plus en détail

2. RAPPEL DES TECHNIQUES DE CALCUL DANS R

2. RAPPEL DES TECHNIQUES DE CALCUL DANS R 2. RAPPEL DES TECHNIQUES DE CALCUL DANS R Dans la mesure où les résultats de ce chapitre devraient normalement être bien connus, il n'est rappelé que les formules les plus intéressantes; les justications

Plus en détail

Sujet proposé par Yves M. LEROY. Cet examen se compose d un exercice et de deux problèmes. Ces trois parties sont indépendantes.

Sujet proposé par Yves M. LEROY. Cet examen se compose d un exercice et de deux problèmes. Ces trois parties sont indépendantes. Promotion X 004 COURS D ANALYSE DES STRUCTURES MÉCANIQUES PAR LA MÉTHODE DES ELEMENTS FINIS (MEC 568) contrôle non classant (7 mars 007, heures) Documents autorisés : polycopié ; documents et notes de

Plus en détail