Une premiere approche des elements nis sur un exemple tres simple

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1 EDP MTH Analyse 2215 EmmanuelFrenod numeri Premiere partie Une premiere approche s elements nis un exemple tres simple 1 Equation la chaleur dans barre 2 Resolution u00 f [0;1] par elements nis avec un maillage regulier L'analyse d'inversion numeri matrice. s L'objectif EDP consiste est d'illustrer a traduire ceci problemes un exemple resolution simple. d'edp en problemes Soit le probleme suivant: Trouver u:[0;1]!r telle u00 f [0;1] telle u(0)u(1)0: (1) xi lacoordonneeduiieme 1 place [0;1] nudpi.supposex00xn+1 un maillage regulier n+2 nuds(pi)i0;:::;n+1 on appelle nits Donner l'abscisse xii par:i pi. i(pj)ij. estcontinue[0;1]anechaintervalle]pi;pi+1[ Quelle Pour l est 0i valeurs (la rivee i, i i)? verie-t-elle i(0)i(1)0? 2 cherche ~uapproximationusouslaforme ~u n X i1 U ii (2) A-t-on Multiplier ~u(0) u00f ~u(1)0? parj Combien pourj1;:::;n,integrer0a1enutilisantintegrationpar vaut ~u(xi)? parties Remplacer pour exprimer dans l'equation le membre obtenue gauche. Exprimer ~u0 u par ~u SionposeU Quel probleme(ui)i1;:::;n (Ui)i1;:::;n,donnerlamatriceAlevecteurF verie-t-il? telsau F. lineaire.anpouvoiradapterctemarcheasproblemespluscomplexes(plusieursvariab vient voir comment transformer un probleme resolution d'edp en un probleme d'algebre d'espace, vientfaireunproblemeuntoutpitpeupluscomplexeenutilisantmhopluslour solution a plusieurs dimensions, elements nis plus haut gre) on va refaire ce qu'on mais qui s'adaptera. reguliern+2nuds[0;1].parnitiononappelle 3 souhaite encore resoudre le probleme(1). xi lacoordonneeduiieme Pour cela on place un maillage nudpi. non 1

2 lamanieresuivante:lenumero]pi suppose0x0 <x1 < <xi <xi+1 1;pi[estipourivariant1an+Lesi < <xn+1 numerotesegments]pi 1;pi[ m^eme nition ci-ssus. ontla Refaire A ls brievement coecients Alk stions A le segment a i apporte-t-il l'exercice 1 contribution l'exercice ctecontributionen xi 1 xi. non nulle? Exprimer segments. Ecrire un algorithme permtant construire la matrice A en realisant boucle regulier 4 n+2 nuds souhaite (pi) encore [0;1]. resoudre Ici on le suppose probleme(1). le maillage Pour cela n'est on place pas structure, un maillage c'est non dire qu'on ne suppose plus nuds sont ranges par ordre croissant. suppose l'on a dispose pi d' qui verie C(0) C : 0f0;1:::n+1g C(n+1)! [0;1] suppose injective aussi qui est telle l'on dispose C(i) d' est l'abscisse P :f1;2;:::;n+1g!f0;1;:::;ng d' S :f0;1;:::;ng!f1;2:::;n+1g telle suppose P(i) est enn le nud precent l'on a numerote pi dans le maillage segments, S(i) c'est le nud a dire suivant l'on pi dispose dans le d' maillage. E du : iieme f1;2;:::;n+1g!f0;1;:::;ng f1;2;:::;n+1g segment E2(i) le nud superieur. qui est telle E1(i) est le nud inferieur nits Montrer l'on doit avoir par:i S(E1(i))E2(i) estcontinue[0;1]anechaintervalle]e1(k);e2(k)[ P(E2(i))E1(i) pour tout i1;:::n+1 (k avec cte 1;:::n+1 nouvelle ) nition i(pj) s ij. i. cherche encore approximation u sous la forme (2) Refaire A ls brievement coecients Alk stions A le segment a 6. i apporte-t-il l'exercice cte contribution en E1(i) E2(i). contribution non nulle? Exprimer segments. Ecrire un algorithme permtant construire la matrice A en realisant boucle 3 Estimation l'erreur lors la resolution u00 f [0;1] par elements nis Dans sation cte s element section nis. on eectue un calcul d'erreur representatif s calculs d'erreur associes a l'utili- Dans cte section on utilise la nition suivante l'espace Sobolev H1([0;1]). H1([0;1]) n h2l2([0;1]);9g2l2([0;1])telle Z 1 0 h' 0dx Z 1 0 8'2C1([0;1])telle'(0)'(1)0 g'dx o : (1) Dans la nition ci-ssus on dit g est la rivee au sens s distributions gh0.l'espaceh1([0;1])munilanormekhkh1([0;1]) h. note q khk2l2([0;1])+kh0k2l2([0;1])estun espace Hilbert nit separable. egalement l'espace Sobolev H10([0;1]) par H10([0;1]) n h2h1([0;1])tellequ'ilexistesuite(hn)n2n veriant: 8n2N;hn 2C1([0;1]) hn(0)hn(1)0; telle n!1kh lim hnkh1([0;1])0 o : (2) 2

3 L'espaceH10([0;1])peut^remunilanormekhkH1([0;1])oulanormekhkH1 Ces ux normes sont equivalentes H10([0;1]) en font un espace Hilbert 0([0;1])kh0kL2([0;1]). separable. Ecrire la 1 formule seplaceicidanslecontextesexercices1 Montrer pour toute Cauchy-Schwarz 2C1([0;1]) pour ux s telle (0) L2([0;1]). (1)0la solution (1) verie: Z 1 0 u 0(x) 0(x)dx Z 1 0 f(x) (x). REMARQUE:cteformuleestvraiepourtoute intervalle]pi;pi+1[ telle '(0)'(1)0. Explir pourquoi 'continue[0;1]anecha Montrer pour toute ' continue [0;1] ane cha intervalle]pi;pi+1[ telle'(0)'(1)0, ~uverie: Z 1 0 ~u 0(x)'0(x)dx Z 1 0 W(0) appelle W(1) W la 0, qui continue minimise [0;1] ane cha f(x)'(x): ku intervalle ]pi;pi+1[ telle 'kh1 continues [0;1] anes cha intervalle]pi;pi+1[ 0([0;1]) pour ' tel variant '(0)'(1)0. dans l'espace s s Enutilisantstions avecla~u W,montrerl'ona Z 1 0 ((u ~u) 0(x))2dx Z 1 0 (u ~u) 0(x)(u W)0(x)dx 5. Enappliquantlastion,Montrerku ~ukh1 0([0;1])ku WkH1 6. En duire ~uw. 0([0;1]). Pour^recompl,ilfautmontreruxnormeskhkH1 H10([0;1]). 0([0;1])khkH1([0;1])sontbienequivalentes 2 Montrerpourtouth2H10([0;1])onakhkH1 0([0;1])khkH1([0;1]) Montrerpourtouth2H10([0;1])onah(x) Z x 0 h0()d (pp). En utilisant la formule Cauchy-Schwarz duire la stion x2[0;1] sup kh0kl2([0;1]). jh(x)j 5. DeduirenalementkhkH1([0;1]) khkl2([0;1]) kh0kl2([0;1]). p 2khkH1 0([0;1]). 6. Quepeut-ondiresuxnormeskhkH1([0;1]) khkh1 0([0;1]) H10([0;1])? 4 Prise en compte conditions aux limites non nul Commentaborrleproblemesuivantal'aicequiaefait? Trouver u:[0;1]!r telle u00 f [0;1] telle u(0)a;u(1)b: (1) pourabuxreels. Trouver 1 posewu Rouuestlasolution(1).Quelleedp R uxfoiscontin^umentrivabur[0;1]telle wsatisfait-elle? R(0)a R(1)b. En duire mho pour calculer approximation u. Nous probleme. allons maintenant udier version plus dans l'esprit \elements nis" du traitement ce 3

4 nit 2 pose w R par u Ra0+bn+ R ou u est la solution A-t-on R(0)a (1). Quelle R(0)b? probleme avec R00? edp w satisfait-elle? Il y a-t-il un En suivant la marche l'exercice 2, duire mho pour calculer approximation u. Deuxieme partie Quels fonments theoris 5 Distributions 6 Utilisation s distributions pour edp encore moins 6.1 reguliers Dans c exercice ca, peuvent on montre ^re solution s d'edp. s non rivab, m^eme s objs Soit @x 0: (6.1) u(t;x)g(x Montrerpourtoutegcontin^umentrivaburR,launieR2par Montrerpourtoute t) verie(6.1) au sens g R,launieR2 classi. (6.1) au sens s distributions. paru(t;x)g(x t)verie nit la distribution D0(R2): [xt] par <[xt];'> p 2 Z +1 1 '(s;s)ds: (6.2) Montrer [xt] est solution (6.1). va maintenant ecrire plusieurs edp usuel au sens s distributions. l'edp l'on 6.2 veut En prati traiter. C onasouventle exercice illustre choix ce fait. la formulation \ausens s distributions" faisant s'interesse intervenir u00 au probleme(1). secon u0 Ecrire troisieme 3 formulations\au u. sens s distributions" (1); formulation\au udie la troisieme(celle sens s distributions" faisant intervenir faisant intervenir u). suppose s integra. u est Pour dans l L2([0;1]),ecrire s test la peut-on udie ecrire cte la uxieme formulation? fv 2L2[0;1]t.q. v0 2L2[0;1] (celle v(0)v(1)0g",ecrirelaformulation\ausenssdistributions" faisant intervenir u0). suppose u est dans H10([0;1]) " faisant intervenir s integra. Pour l s test peut-on ecrire cte formulation? (2). Dans l'exercice peut aussi 6.1 on dire a donne est H1([0;1])fv nition entre 2L2([0;1]) guillems t:q: v0 H10([0;1]) 2L2([0;1])g, sa nition qu'il est muni precise est la norme khkh1([0;1]) khkl2([0;1])+kh0kl2([0;1]) H10([0;1])D(]0;1[)H1([0;1]). 4

5 consire le 6.3 probleme Soitunouvertborneconnexe suivant: R2 frontiere reguliere f 2L2(). u+uf; dans; u0 : (6.3) ruulatroisiemeu. Ecriresformulations\ausenssdistributions"(6.3)faisantintervenir uu,l'autre Comment, Ecrire dans formulations\au ces formulations, sens peut-on s distributions" prendre en (6.3) compte faisant la condition intervenir aux limites? la ru. Bien preciser a l espace u est censee appartenir. s integra 5. Enutilisant Pour l u s commestdanscteformulation,duirequ'itcoherentchercher test peut-on ecrire cte formulation? la solution u2h10(). dimensiondontlasolutionestavaleursreel(exercice6.2)d'unproblemeauxdimensions a vu la formulation\au sens s distributions"(on dit aussi formulation faible) d'un probleme a dont dimensions la solution dont la est solution a valeurs est reel a valeurs (exercice dans R 6.3). Il s'agit va du maintenant systeme voir l'elasticite un probleme lineaire a 2D. ux 0[ (la Soit mee en linei ouvert borne 0 est connexe strictement R2 positive). frontiere represente reguliere. la conguration suppose d'un point objelastilorsqu'iln'estsoumisaaucforce.consire, le placement qu'il subit(on suppose ce placement v:!r2 est pit). quidonnepourtout l'objestencastresoncote 0.Ceciesttraduitpar suppose v0 0: (6.4) appelle tenseur s formations la matrice suivante "(v) 1 ) + A; (6.5) puisonnit,pouruxconstantes lenseurscontraintes: (v)("11+"22)id+2": (6.6) exemple consire le poids) ensuite g f2(l2( 2(L2())2 1))2 molisant molisant forces forces agissant agissant tout 1 (par l'obj(par pression) exemple L'edppermtantlecalcul f2: (6.8) Cte edp est munie s conditions aux limites(6.4) (v) g 1 (6.9) ou Eectuer estlevecteurnorme1,orthogonala le produit scalaire (6.7)-(6.8) 1par pointantversl'exterieur. '('1;'2)2(D())2 duire 5

6 formulation suppose au sens v est s dans distributions H1() pour (6.7). au sens s distributions. l s test peut onecrire cte formulation va utiliser la formule Stokes suivante valable pour s s regulieres: + @x2 )' 2dx1dx dx 1dx2 Z 'dl (6.10) faible(6.7)-(6.8)-(6.4)-(6.9) Sachantcteformulerestevraielorsssontdans H1(),ecrireformulation 7 Mise en place s elements nis un probleme variationnel abstrait appli presente la mho un cadre s general elements abstrait nis. dans lel entrent nombreux problemes auxls on sedonnespacehilbert normeassocieeaceproduitscalaire)onnote V (espacevectorielmunid'unproduitscalaire,complpourla bilineaire symri a( ; ) telle kksanorme.sedonneegalementforme 9c0;8u2V;8v 2V;a(u;v)ckukkvk; (7.1) 9>0;8v 2V;a(v;v)kvk2; (7.2) forme lineaire L( ) veriant 9c0;8v 2V;L(v)c0kvk: (7.3) consireleprobleme: Trouveru2V telle8v2v;a(u;v)l(v): (7.4) entredanslecadrecritici.sic'estlecasdonnerexplicitement 7.1 Pour cha formulation faible ablie dans exercices V,a( ; )L( ). 6.2, dire si elle approximation 7.2 Soit u n sous s la forme lineairement inpendantes V : 1;2;:::;n. cherche ~u ~u n X i1 U ii: (7.5) Dans(7.4) Dans l'equation remplacer obtenue v par remplacer i pour u i1;:::;n. Deduire le systeme satisfait par U (Ui)i1;:::;n. par ~u. ou P(~u) Enprocedantd'faconanalogueal'exercice1,montrer est la projection u l'espace vectoriel engendre par (i)i1;:::;n. a(u ~u;u ~u)a(u ~u;u P(u)) 5. Deduireku ~uk cku P(~u)k. 6

7 Troisieme partie Mise en place s elements nis pour ls exemp 8 Resolution l'equation la chaleur avec un maillage regulier Soit ]0;1[2 frontiere f 2L2(). consire le probleme suivant: u+uf; dans; u0 : (8.1) 8.1 Rappeler la\bonne" formulation faible (8.1) lignesnnuds.lapremierelignenudsestsitueel'axes 8.2 construit ]0;1[2 un maillage regulier la maniere x,aveclepremiernun suivante. place n (0;0)lernieren(1;0).Larnierelignenudsestsitueeegmentsuperieur,avec nudnumero1estsitueen(0;0)lenumero2estceluisitueimmediatementaladroitedunumero lepremiernun(0;1)lernieren(1;1).numerotenudslamanieresuivante:le Lenudnumeronesten(1;0)lenudnumeron+1estceluisitueimmediatementaussus (0;0) Representer c. Combien y-a-t'il nuds nuds? un Donner schema. consirel lageentriangsuivant:lrianglenumero coordonnees du nud j(pourj numero 1;:::n2 j. du nud numero j du nud immediatement a sa droite (si il existe) du nud immediatement 1)estconstitue au j du ssus(si nud immediatement il existe). le triangle a sa gauche numero (si j+n2 il existe) (pour j du 2;:::n2) nud immediatement est constitue du en nud ssous numero existe). (si il 5. Reperertriangnumero1,4, Representer le maillage un schema. existent-ils? n 1,n+1,n+2+n2,2n+Lestriang1+n2,(n 1)n+1 i(pj)ij nit ou s pj signe i le par nud : i numero est continue j., ane cha triangle du maillage 6. le domaine, Representer la le frontiere, support s dans coins. i, pour plusieurs i correspondant a s nuds situes dans 8.3 cherche ~uapproximationusouslaforme ~u X i2i U ii; (8.2) oui estnsemblel ~u0. Derminer Dans la formulation un I convenable. pourj2i. faible (8.1) ablie dans l'exercice 8.1, remplacer u par ~u ' par j AssemblerlamatriceAlevecteurF pose U (Ui)i2I, l probleme U verie-t-il? telsau F. 7

8 faisant 8.4 boucle Cexerciceconsisteaassemblerlamatrice triang. Alastion4l'exercice8.3en AlscoecientsAlk Quels sont nuds qui Alrianglenumeroiapporte-t-ilcontributionnonnulle.Calculer forment le triangle numero i? Rappeler coordonees ces nuds. ces contributions Ecrire un algorithme en permtant s coordonees construire s nuds la matrice du triangle. triang. A en realisant boucle 9 Resolutionl'equationlachaleuravecunmaillagenon structure Soit suivant: un ouvert borne connexe frontiere reguliere f 2 L2(). consire le probleme uf; dans; u0 : (9.1) non regulier 9.1 constitue souhaite m resoudre nuds, numerotes le probleme (9.2). 1 a m Pour cela t on triang, place numerotes un maillage t. Plus precisement, on suppose l'on dispose d' C : f1:::mg! telle 1 a C(i)(C1(i);C2(i)) I:f1:::mg!f0;1gtelleI(i)1silenudnumeroiestal'interieurI(i)0silenud sont coordonnees du nud numero i. disposeegalement d' numeroiest pour in+) Enn.(supposeiciqu'ilexisteunindice on dispose d' Ef1:::tg!N3 nteli(i)1pourini(i)0 soient trois nuds composant le triangle k. telle E(k)(E1(k);E2(k);E3(k)) du maillage nit s i(c(j))ij. pour i1;:::m cherche ~u par approximation : i est continue u sous, ane la forme cha triangle ~u n X i1 U ii; (9.2) Remplacerdanscteformulationfaible Ecrire la\bonne" formulation faible (9.1). poseu (Ui)i1;:::n,U estsolutionau upar ~u'parj F.RappelerlanitionAij. pourj1;:::n. 5. Calculer A ls coecients ces contributions. Aij A le triangle numero k apporte-t-il contribution non nulle? 6. Ecrire l'algorithme permtant d'assembler la matrice A en faisant boucle triang. 10 Notion d'elements nis Lagrange forme(7.4)revientaresoudreunsystemelineaire a vu, dans exercices precents, resoudre AU F.avul"assemblagelamatrice edp ayant formulation faible la A Pour se ramenait generaliser a faire cte procedure boucle a s elements triang nis, pour qui ne cha sont triangle, pas forcement a calculer s triang integrale. trois gres liberte, on introduit la notion d'elements nis Lagrange. avec UnelementniLagrange(K; ;P)estniparladonnee UnepartiecompacteK Unensembleni fa1;:::;ang Rn { UnespacevectorielP,dimensionnie,s P estsuppose^reunisolvant,c'estadire,tel: 8(1;:::;N)2RN;9!p2P;p(aj)j;8j K!R. 1:::;N. 8

9 Montrer 10.1 Plus generalement, qu'il existe montrer uni pour toute pi 2P telle v : pi(aj)ij. Pv 2P telle Pv(aj)v(aj). K! R il existe uni Si Donner a(:;:) l'expression est forme bilineaire Pv en symri s donner pi s l'expression v(ai). a( Pv;pi) pour i1:::;n normev s!r,veriant(7.1)(7.2)l(:)formelineairev 10.2 Soient Rn a(:;:) forme bilineaire symri un espace veriant(7.3). vectoriel Pour cherche cela on suppose solution qu'il approchee existe au probleme(7.4). [l1;:::;mkl Int(Kl)\Int(Kk);sil6k.nitalors famille l'elements nis S[l1;:::;M l (Kl; l;pl)l1;:::;m onnumerote telle elements ij l2pl pourtoutll1;:::;m S 1 a Q, i.e. S fs1;:::;sqg. i(sj)ij consire. s (i)i1;:::;q nies par Dans(7.4) remplacer v par i pour i1;:::;q. Dansl'equationobtenueremplacer upar ~u Q X i1 U ii. Deduire A ls elements le systeme satisfait AU F par U (Ui)i1;:::;Q. 5. Ecrire l'algorithme Aij permtant l'elements d'assembler Kl apporte-t-il la matrice contribution A en faisant non nulle. boucle elements. 9

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