SÉQUENCE 4 Séance 1. Séquence. Je revise les acquis de l école 1) c) 2) a) 3) d) 4) c) Exercice 1

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1 c Séquence 4 Ce que tu devais faire Je revise les acquis de l école 1) c) 2) a) 3) d) 4) c) Exercice 1 SÉQUENCE 4 Séance 1 Les commentaires du professeur 1) Pour calculer combien Paul dépense, on effectue 7 x 8. 2) Coline possède au total 3 fois 54 cartes plus 15 cartes. On calcule donc 3 x 54. On trouve 162. On y ajoute 15 : on trouve alors 177. Remarque : ce calcul peut s écrire (3 x 54) + 15 Les parenthèses signifient que l on commence par calculer 3 x 54. 3) Cette question était un piège : il ne fallait pas faire de multiplication. Sébastien a gagné billes soit 29 billes. 4) Pour obtenir rapidement le résultat, il suffisait d appliquer la règle de multiplication par 100 : il fallait décaler la virgule de 1,5 de deux rangs vers la droite et compléter par un zéro. La vente des 29 consoles a rapporté au vendeur 317 (en euros) : x x 29 = Le chiffre des centaines du résultat est La lettre associée à 1 est J écris donc dans la 1ère case : [] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Exercice 2 La longueur en cm de la courbe rouge est : 6,2 6,2 x 16 = 99,2 x 1,6 37,2 62,. 99,2 La longueur en mm de la courbe verte est : 73,5 73,5 x 13 = 955,5 x 1,3 955,5 mm = 95,55 cm 220,5 < 317 x 9 (unités) < 317 x 2 (dizaines) (Ne pas oublier de décaler d un rang vers la gauche le résultat de 317 x 2 par rapport à celui de 317 x 9) Ce qu on dit quand on effectue 317 x 29 lorsqu on effectue 317 x 9. 9 x 7? 63. Je pose 3 et je retiens x 1? 9 ; = 15 ; je pose 5 et je retiens x 3? 27 ; = 28 lorsqu on effectue 317 x 2. 2 x 7? 14. Je pose 4 et je retiens x 1? 2 ; = 3. 2 x 3? 6 La courbe rouge est constituée de 16 segments de 6,2 cm. Pour multiplier un décimal par un entier, on effectue la multiplication sans tenir compte de la virgule on place la virgule dans le résultat (Comme 6,2 s écrit avec un chiffre après la virgule, on place la virgule dans le résultat de façon à avoir un chiffre après la virgule) La courbe verte est constituée de 13 segments de 73,5 mm. 99,2 > 95,55 735,. 955,5 La courbe rouge est donc plus longue que la courbe verte. 102 Cned, mathématiques 6e, 2008

2 Séquence 4 c Exercice 3 Le nombre de menus différents comprenant une entrée et un plat, qu on peut composer avec la carte proposée est : 3 x 4 = 12. Exercice 4 Le prix en euros des coquilles 2,75 Saint Jacques est : x 33 2,85 x 6 = 17,10 8,25 Le prix en euros du chapon est : 82,5. 33 x 2,75 = 90,75 90,75 Le montant en euros de la dépense de Madame Martin chez le charcutier est : 17, ,75 = 107,85. La somme en euros que possédait Madame Martin en entrant dans la boutique était : 14, ,85 = 122,77. Exercice 5 Une entrée étant choisie, on a le choix entre 3 plats principaux différents. À chaque entrée, il correspond donc 3 menus différents. insi, aux 4 entrées, il correspond soit 3 x 4 menus différents. Pour répondre à la question posée, il suffit de calculer la dépense de Madame Martin chez le charcutier. Le prix du chapon s obtient en multipliant le prix d un kilo par le nombre de kilos achetés. vant de poser une multiplication, il est bon de réfléchir. Ici, il est plus rapide de poser la multiplication de 2,75 par 33 plutôt que celle de 33 par 2,75. Voici cependant posée la multiplication de 33 par 2,75 pour ceux qui ont utilisé cette méthode : 33 x 2,75 1,65 23,1. 66,.0 90,75 On pouvait déterminer directement le montant de la dépense de Mme Martin, en calculant (2,85 x 6) + (33 x 2,75) Peut-être as-tu obtenu les résultats des trois calculs proposés, en posant une multiplication. Cette méthode permet d obtenir le résultat, mais à l avenir il ne faudra plus l utiliser. Il faut savoir effectuer ces calculs à la main, sans poser d opération. u CM2, tu as vu une règle permettant d obtenir rapidement le résultat d une multiplication par 10, 100 et Il fallait l utiliser ici. D après cette règle, a) 232,57 x 10 = 2 325,7 b) 13,48 x 100 = c) 1 212,3 x = (c est-à-dire 1 212,300) pour multiplier un décimal par 10, on déplace sa virgule de 1 rang vers la droite pour multiplier un décimal par 100, on déplace sa virgule de 2 rangs vers la droite pour multiplier un décimal par 1 000, on déplace sa virgule de 3 rangs vers la droite. Cned, Mathématiques 6e,

3 c Séquence 4 Exercice 6 a) Le prix en euros de 10 timbres à 0,53 est : 0,53 x 10 = 5,3. b) La masse totale en kg des 100 sacs est : 25,43 x 100 = c) La recette totale en euros est : 1,50 x = Exercice 7 1) 1,956 7 x 10 = 19,567 N oublie pas que : 1,50 = 1,500 Les trois calculs devaient être effectués à la main, sans poser d opération. 1) On passe du premier nombre au deuxième en déplaçant la virgule de 1 rang vers la droite : 1,956 7 Le nombre cherché est donc 10. 2) 26,18 x = ) 16 x 100 = ) On passe du premier nombre au deuxième en déplaçant la virgule de 3 rangs vers la droite : 26,180 4) 8,442 3 x 10 = 84,423 Le nombre cherché est donc ) Multiplier un décimal par 10 revient à déplacer sa virgule de 1 rang vers la droite. On a donc obtenu 84,423 en déplaçant la virgule de 1 rang vers la droite. 84,423 5) 14,92 x = Le nombre cherché est donc 8, ) On a obtenu ,0 en déplaçant la virgule de 3 rangs vers la droite ,0 Le nombre cherché est donc 14,920 (soit 14,92) 6) 0, x 100 = 1,278 6) On a obtenu 001,278 en déplaçant la virgule de 2 rangs vers la droite. 001,278 Le nombre cherché est donc 0, ) 0, x = 4,76 7) On a obtenu 0 004,76 en déplaçant la virgule de 3 rangs vers la droite ,76 Le nombre cherché est donc 0, ) 0,01 x 100 = 1 8) On a obtenu 001,0 en déplaçant la virgule de 2 rangs vers la droite. 001,0 1 Le nombre cherché est donc 0,01 (soit ) 100 Remarque : Comme 1 = 100 centièmes, le résultat était prévisible. 104 Cned, mathématiques 6e, 2008

4 Séquence 4 c Exercice 8 Observons la technique utilisée pour effectuer 843 x 76. obtenu en multipliant 7 par obtenu en multipliant 6 par 3 Le résultat de 843 x 76 a été obtenu en ajoutant en biais des chiffres contenus dans le grand rectangle On a commencé par écrire ce chiffre (On a juste recopié celui qui était dans la case immédiatement au-dessus) On a calculé On a obtenu 6. On a calculé On a obtenu 20. On a écrit 0 et on a retenu On a calculé On a obtenu 12. Or, il y avait 2 de retenue. Comme : = 14, on a écrit 4 et on a retenu 1. On a calculé On a obtenu x 78 = Cned, Mathématiques 6e,

5 c Séquence 4 Séance 2 Exercice 9 1) 1) Pour calculer 976 x 608 on peut procéder ainsi : 976 x On peut aussi ne pas écrire la ligne 000. Le produit de 97 par est 976 x 608 x 608 c est-à-dire ) a) 72 = 8 x 9 Pour calculer 976 x 608, on calcule 976 fois 8 unités et 976 fois 6 centaines. Observe bien la disposition ci-contre. fl 976 x 8 unités fl 976 x 6 centaines Il est plus rapide de procéder comme à gauche. 2) a) Comme on te l a déjà rappelé, deux entiers consécutifs sont deux entiers qui se suivent. b) Il est assez naturel de commencer par écrire : 700 = 7 x est impair. Pour répondre à la question posée, il suffit d écrire 100 sous la forme d un produit de deux facteurs, l un étant impair. On a, par exemple : 100 = 1 x 100. b) 700 = 7 x 1 x 100 D où la réponse à la question posée, ci-contre. Exercice 10 1) a) 9 x 0,7 x 6 = 6,3 x 6 = 37,8 b) 0,7 x (6 x 9) = 0,7 x 54 = 37,8 2) Je remarque que : 9 x 0,7 x 6 = 0,7 x (6 x 9) Je pouvais prévoir le résultat. D après le cours du CM2, dans un produit, on peut changer l ordre des facteurs et les grouper comme on veut. Il existe d autres réponses possibles, par exemple : 7 x 4 x 25, 7 x 5 x 20, 35 x 4 x 5 9 x 0,7 x 6 est le nombre obtenu en effectuant les calculs de gauche à droite. Vu la parenthèse autour de 6 x 9, 0,7 x (6 x 9) est le nombre obtenu en multipliant 0,7 par le résultat de 6 x Cned, mathématiques 6e, 2008

6 Séquence 4 c Exercice 11 1) a) 5 x 1,8 x 2 = (2 x 5) x 1,8 = 10 x 1,8 = 18 b) 2 x 2 x 2 x 0,003 x 5 x 5 x 5 = (2 x 5) x (2 x 5) x (2 x 5) x 0,003 = 10 x 10 x 10 x 0,003 = x 0,003 = 3 Commentaires du professeur : Dans les deux produits donnés, on remarque les facteurs 2 et 5. 2 x 5 = 10 Multiplier par 10 est facile. On peut utiliser l égalité précédente, puisque dans un produit on peut changer l ordre des facteurs et les grouper comme on veut. 2) a) La lettre associée à 18 est la 18ème de l alphabet, soit R. J écris donc R dans la deuxième case du «nom secret». [] [R] [ ] [ ][ ][ ][ ][ ][ ] b) La lettre associée à 3 est C. J écris donc C dans la troisième case du «nom secret». [] [R] [C] [ ][ ][ ][ ][ ][ ] Exercice 12 1) 4 x 25 = x 125 = ) a) 4 x 0,25 = 1 b) 0,8 x 125 = 100 Exercice 13 1) K = 9 x 25 x 8,1 x 4 K = (25 x 4) x (9 x 8,1) K = 100 x 72,9 K = ) L = 3 x 1,25 x 96 x 8 L = (1,25 x 8) x (96 x 3) L = 10 x 288 L = ) M = 10 x 9 x 0,4 x 9 x 25 M = 10 x (0,4 x 25) x (9 x 9) M = 10 x 10 x 81 M = Retiens ces deux égalités. Cela t aidera à voir comment calculer rapidement certaines expressions. On remarque les facteurs 25 et 4. On pense à l égalité : 25 x 4 = 100. Multiplier par 100 est facile. On pense à utiliser : 125 x 8 = On pense à utiliser : 4 x 25 = 100 Cned, Mathématiques 6e,

7 c Séquence 4 Exercice 14 1) Le double de 7,9 est 2 x 7,9 soit 15,8. Le triple de 6,84 est 3 x 6,84 soit 20,52. 2) a) Le double de 9,6 est 2 x 9,6 soit 19,2. Le triple du double de 9,6 est donc 3 x 19,2 soit 57,6. Le triple de 9,6 est 3 x 9,6 soit 28,8. Le double du triple de 9,6 est donc 2 x 28,8 soit 57,6. b) Je remarque que le triple du double de 9,6 est égal au double du triple de 9,6. c) Le triple du double de 9,6 est 3 x (2 x 9,6). Le double du triple de 9,6 est 2 x (3 x 9,6). Comme dans un produit, on peut changer l ordre des facteurs et les grouper comme on veut : 3 x (2 x 9,6) = 2 x (3 x 9,6) On pouvait donc prévoir le résultat. Exercice 15 1) x 650 = (987 x 100) x (10 x 65) x 650 = (987 x 65) x (100 x 10) x 650 = (987 x 65) x Pour calculer x 650, il suffit de calculer 987 x 65 et de placer 3 zéros à droite du résultat. Exercice 16 Le produit de par est x x Le produit de par est donc En effet, dans un produit, on peut changer l ordre des facteurs et les grouper comme on veut. 108 Cned, mathématiques 6e, 2008

8 Séquence 4 c Exercice17 1) 143 x x 14 = ) a) x 1,40 = x 1,4 143 x 14 = (d après le 1-) donc : x 14 = Par suite : x 1,4 = c est-à-dire x 1,40 = b) 286 x 28 = (143 x 2) x (14 x 2) Or, dans un produit de facteurs, on peut changer l ordre des facteurs et les grouper comme on veut, donc : 286 x 28 = (143 x 14) x (2 x 2) Par conséquent : 286 x 28 = x 4 = On commence par se débarrasser du zéro inutile. Pour calculer x 1,4 on effectue x 14 puis on place la virgule. fl car ,0 = fl Il est indispensable d écrire cette ligne pour bien répondre à la question posée. Remarque : 286 et 28 sont respectivement 2 fois plus grands que les nombres 143 et 14. Le produit 286 x 28 est 4 fois plus grand que le produit 143 x 14. Cned, Mathématiques 6e,

9 c Séquence 4 Exercice 18 1) a) Le produit de 43 et de est 43 x 68 soit x b) 43 s écrit «à l envers» s écrit «à l envers» 86. x Le produit de 34 et de 86 est 34 x 86 soit c) Les produits 43 x 68 et 34 x 86 sont égaux ) a) Le produit de 32 et de est 32 x 69 soit x b) 32 s écrit «à l envers» s écrit «à l envers» 96. x Le produit de 23 et de 96, est 23 x 96 soit c) Les produits 32 x 69 et 23 x 96 sont égaux ) a) Le produit de 26 et de est 26 x 31 soit 806. x b) 26 s écrit «à l envers» x s écrit «à l envers» Le produit de 62 et de 13 est 62 x 13 soit c) Les produits 26 x 31 et 62 x 13 sont égaux. 4) 85 x 73 = Lorsqu on écrit «à l envers» 85 on obtient 58. Lorsqu on écrit «à l envers» 73 on obtient x 37 = Les produits 85 x 73 et 58 x 37 ne sont pas égaux. Le produit de deux entiers n est pas toujours inchangé lorsqu on écrit «à l envers» les deux nombres. Pour convaincre Sony, on cherche un produit de deux entiers «qui change» quand on écrit «à l envers» chacun des entiers. Cet exercice met en évidence que ce n est pas parce qu une propriété est vraie plusieurs fois qu elle est toujours vraie. 110 Cned, mathématiques 6e, 2008

10 Séquence 4 c Séance 3 Exercice 19 a) = D = 1 L aire du «grand» carré CD est donc : 1 x 1 = 1 b) La longueur d un côté d un petit carré est le nombre? tel que : 10 x? = 1, c est-à-dire le nombre 0,1. De la même manière : Puisque le «grand» carré CD a pour aire 1 et est composé de 100 petits carrés de même aire, l aire d un petit carré est donc le nombre? tel que : 100 x? = 1, c est-à-dire le nombre 0,01. c) Conclusion L aire d un petit carré est 0,01, son côté est 0,1. On a donc : 0,1 x 0,1 = 0,01. a) Les quatre côtés d un carré ont la même longueur, ici 1. Son aire est donc 1 x 1 = 1. b) La longueur est égale à 10 fois la longueur du côté du petit carré. Comme la longueur est égale à 1, la longueur du petit carré est le nombre qui multiplié par 10 est égal à 1 : c est 0,1 (ou un dixième ou encore 1 ). Même type de raisonnement que dans 10 l exercice 7 de cette séquence. Le nombre qui multiplié par 100 est égal à 1 est 0,01 (ou un centième, ou encore 1 ). Tu 100 as vu cela dans l exercice 7 de cette séquence. c) On peut également écrire : 1 10 x 1 10 = Exercice 20 1) dèle réfléchit dèle remarque sur le marché un beau ruban à 1,42 le mètre. Elle décide d en acheter 3,2 m. Pour calculer le montant en de son achat, elle doit multiplier le prix d un mètre de ruban par le nombre de mètres achetés. Elle doit doit effectuer le calcul suivant : 1,42 x 3,2. 2) dèle utilise sa calculatrice. Ne sachant pas effectuer à la main ce calcul, elle utilise sa calculatrice : 1,42 x 3,2 = 4,544. Elle tape 142 x 32. Elle obtient Elle fait ensuite l observation suivante : Nombre de chiffres après la virgule 1,42 3,2 4, Le nombre de chiffres après la virgule dans le résultat s obtient en ajoutant le nombre de chiffres après la virgule de 1,42 et celui de 3,2. 3) dèle voudrait obtenir le résultat de 1,42 x 3,2 sans utiliser la calculatrice. Elle écrit : 142 x 32 = (1,42 x 100) x (3,2 x 10) donc 142 x 32 = (1,42 x 3,2) x (100 x 10) Or : 142 x 32 = x D où : = (1,42 x 3,2) x Or, le nombre dont le produit par est égal à est 4,544. insi : 1,42 x 3,2 = 4,544 Cned, Mathématiques 6e,

11 c Séquence 4 Exercice 21 a) 86,5 x 9,8 69,2,0 778,5,. 847,7,0 86,5 x 9,8 = 847,70 b) 3,42 x 0,65 17, ,2230 3,420 x 0,65 = 2,223 c) 3,9,6 x 7,0,7 27,7,2 2772,0,0 2799,7,2 70,7 x 39,6 = 2 799,72 Exercice 22 a) = 294,603 b) = 294,603 c) C = 2 946,030 d) D = 294,603 e) E = 2 946,030 f) F = 2, a) Pour faire le calcul proposé, on applique ce qu on vient de copier. On effectue donc la multiplication sans tenir compte des virgules On compte le nombre total de chiffres après la virgule dans l écriture 86,5 x 9,8 (Il y a soit 2 chiffres après la virgule) Ce nombre donne le nombre de chiffres après la virgule au résultat. b) 3,420 = 3,42 Effectuer 3,420 x 0,65 c est donc effectuer 3,42 x 0,65 (Il ne faut pas travailler avec des zéros inutiles) Remarque bien ci-contre, qu une fois qu on a multiplié 342 par 5, puis par 6, il ne servirait à rien de multiplier 342 par 0. La question posée était : «calcule 3,420 x 0,65». Par suite, lorsque je donne le résultat, j écris : 3,420 x 0,65 = c) Il est plus rapide de calculer 39,6 x 70,7 que 70,7 x 39,6 (Lorsqu on calcule 39,6 x 70,7 on est amené à effectuer 2 fois 396 x 7) Voici cependant posée la multiplication de 70,7 par 39,6 pour ceux qui ont utilisé cette méthode. 70,7 x 39,6 424,2 6363, ,0 2799,7,2 a) D après ce que tu as noté en dernier dans ton cahier de cours, pour calculer, on commence par calculer 347 x 849, puis on place correctement la virgule dans le résultat. D après l énoncé : 347 x 849 = On compte le nombre total de chiffres après la virgule dans l écriture 34,7 x 8,49 : il y en a 3. Par suite, on met autant de chiffres après la virgule dans le résultat. insi : 34,7 x 8,49 = 294,603 b) Même raisonnement que précédemment. c) Pour calculer C, on commence par effectuer 347 x Pour cela, on calcule 347 x 849 puis on place un zéro à droite du résultat de 347 x 849. insi : 347 x = Ensuite, on s occupe de la virgule. d) Même raisonnement que pour le calcul de e) Même type de raisonnement que pour le calcul de C f) Même raisonnement que pour le calcul de 112 Cned, mathématiques 6e, 2008

12 Séquence 4 c Exercice 23 1) a) 4,2,3 x 0,7,8 338,4 29,61,. 32,99,4 b) 6,3,6 x 6,9 5,7,2,4 38,1,6,0 43,8,8,4 a) x 4 2, n 0,7 8 7 x se termine par un 1. En récitant la table de 7, on constate que le seul résultat qui se termine 1 2 par un 1 s obtient en effectuant 7 x 3. Par suite, représente un 3. La suite est alors facile. b) 9 x se termine par un 4. x 6 3 n,9 4, 8 4 En récitant la table de 9, on constate que le seul résultat qui se termine par un 4 s obtient en effectuant 9 x 6. Par suite, représente un 6. Grâce au résultat que nous venons de trouver, nous pouvons compléter partiellement la multiplication à trous donnée : x n, , x n, , 8 4 x 6 se termine par un 6. Lorsqu on récite la table de 6, seuls les résultats de 6 x 1 et 6 x 6 se terminent par un 6. Par suite, représente un 1 ou un 6. Il ne peut représenter le chiffre 1. En effet, 636 x 1 est un entier de 3 chiffres. représente donc un 6. La suite est alors très facile. Cned, Mathématiques 6e,

13 c Séquence 4 c) c) x 3 se termine par un 8. x, 7 3 n , En récitant la table de 3, on constate que le seul résultat qui se termine par un 8 s obtient en effectuant 3 x 6. Par suite, représente un 6. Grâce au résultat que nous venons de trouver, nous pouvons compléter partiellement la multiplication à trous donnée : n, 7 3 4,7,3 x 9,6 2,8,3,8 42,5,7,0 45,4,0,8 x , obtenu en effectuant 6 x et en ajoutant 4 de de retenue (6 x ) + 4 = 28 n, 7 3 x , Or le nombre qui ajouté à 4 donne 28 est 28 4 soit 24. Par suite : 6 x = 24 On en déduit que représente le chiffre 4. insi : 4, 7 3 x , 2) Recherche du nom secret : Le résultat de la multiplication à trous du 1- b) est 43,884. Le chiffre des dixièmes de ce résultat est 8. La 8ème lettre de l alphabet est H. J écris donc H dans la quatrième case du «nom secret». [] [R] [C] [H][ ][ ][ ][ ][ ] x 4, 7 3 n , x 3 se termine par un 7. Lorsqu on récite la table de 3, on constate que seul le résultat de 3 x 9 se termine par un 7. Par suite, représente un 9. La suite est alors facile. Exercice 24 On peut obtenir un nombre entier en multipliant deux décimaux non entiers : 0,4 x 2,5 = 1 fl égalité obtenue à partir de : 4 x 25 = Cned, mathématiques 6e, 2008

14 Séquence 4 c Exercice 25 21,17 est proche de 20, 9,53 est proche de 10, donc 21,17 x 9,53 est proche de 20 x 10 soit 200. Moïra a donc commis une erreur. Exercice 26 On a : 42 > 40 et 53 > 50. Par suite : 42 x 53 > 40 x 50 c est-à-dire : 42 x 53 > C est pourquoi l ordinateur affiche : «Faux». Séance 4 Exercice 27 Cherchons un ordre de grandeur de 6,3 x 2,13. 6,3 est proche de 6, 2,13 est proche de 2, donc 6,3 x 2,13 est proche de 6 x 2, c est-à-dire de 12. La bonne réponse est donc 13,419 (celle d Eloïse). Cherchons un ordre de grandeur de 6 x 12,28. 12,28 est proche de 12, donc 6 x 12,28 est proche de 6 x 12 c est-à-dire 72. La bonne réponse est donc 73,68 (celle de Manon). Cherchons un ordre de grandeur de 325,7 x 11,8. Un ordre de grandeur de 325,7 est 300, un ordre de grandeur de 11,8 est 10, un ordre de grandeur de 325,7 x 11,8 est donc 300 x 10 soit La bonne réponse est donc 3 843,26 (celle de Manon). Exercice 28 Le prix en euros du poisson est : 11,6 x 2,1 a) On a : 11,6 > 10 et 2,1 > 2, donc : 11,6 x 2,1 > 10 x 2 soit 11,6 x 2,1 > 20. Maman ne pourra donc pas payer avec un billet de 20. b) On a : 11,6 < 12 et 2,1 < 3 donc 11,6 x 2,1 < 12 x 3 c est-à-dire 11,6 x 2,1 < 36. Maman pourra donc payer avec un billet de 50. En calculant un ordre de grandeur du résultat, tu as décelé que Moïra s était trompée. N oublie pas lorsqu on te demande de faire un calcul, de chercher systématiquement un ordre de grandeur du résultat (même lorsque tu effectues ton calcul à la calculatrice). Chercher un ordre de grandeur d un résultat permet d éviter des erreurs. Toutefois, cela ne permet pas de les déceler toutes. Le prix s obtient en multipliant le prix d un kilo par le nombre de kilos achetés. Cned, Mathématiques 6e,

15 c Séquence 4 Exercice 29 On a : 68,4 < 70 et 5,7 < 6 donc : 68,4 x 5,7 < 70 x 6 soit : 68,4 x 5,7 < 420 Cela explique que la réponse d maury est fausse. 68,4 et 5,7 s écrivent avec un chiffre après la virgule. Par suite, 68,4 x 5,7 s écrit avec deux chiffres après la virgule. Cela permet de conclure que la réponse de Ludivine ne convient pas. Un ordre de grandeur de 68,4 x 5,7 est 70 x 6 soit 420. Les résultats proposés par les trois enfants sont donc, au premier abord, vraisemblables. On a : 68,4 < 70 et 5,7 < 6. On en déduit une première remarque. On s intéresse alors aux virgules de 68,4 et 5,7. Comme : 4 x 7 = 28, le deuxième chiffre après la virgule de 68,4 x 5,7 est un 8. Cela explique que la réponse de Mareb ne convient pas. Si l on pose la multiplication de 68,4 par 5,7 on constate que le deuxième chiffre après la virgule du résultat est un 8. 68,4 x 5,7...8 < car 4 x 7 = Exercice 30 1) Ritchie : 2,3 x 3,2 Sony : 2,3 x 0,8 Pascal : 2,3 x 2,6 Jade : 2,3 x 0,65 2) a) Seuls, Sony et Jade (c est-à-dire les personnes qui ont acheté moins d un kilo de pêches) ont payé moins de 2,30. Ritchie et Pascal, qui ont acheté plus d un kilo de pêches, ont payé plus de 2,30. b) 2,3 x 3,2 > 2,3 2,3 x 0,8 < 2,3 2,3 x 2,6 > 2,3 2,3 x 0,65 < 2,3 3) Lorsqu on multiplie 2,3 par un nombre plus grand que 1, on obtient un nombre plus grand que 2,3. Lorsqu on multiplie 2,3 par un nombre plus petit que 1, on obtient un nombre plus petit que 2,3. 1) Le prix des pêches s obtient en multipliant le prix d un kilo par le nombre de kilos achetés. d après le 1) et le 2) a) Exercice 31 C est faux. Justification : 0, < 1 donc x 0, < Lorsqu on multiplie un nombre par un autre plus petit que 1, on obtient un nombre plus petit que celui du départ. 116 Cned, mathématiques 6e, 2008

16 Séquence 4 c Exercice 32 a) Lorsque je tape ,5 x il s affiche l entier Cette réponse n est pas la valeur exacte de. Explication : ,5 est un décimal s écrivant avec un chiffre après la virgule, est un entier, donc ,5 x est un décimal s écrivant avec un chiffre après la virgule. Comme : 7 x 5 = 35, le chiffre après la virgule de ,5 x est un 5. n est donc pas un entier. b) Lorsque je tape sur ma calculatrice 22,557 8 x 3,468 9 il s affiche 78, Cette réponse est la valeur exacte de. Explication : 22,557 8 et 3,468 9 sont deux décimaux s écrivant avec 4 chiffres après la virgule, donc 22,557 8 x 3,468 9 est un décimal s écrivant avec 8 chiffres après la virgule. Comme le résultat affiché sur la calculatrice a 8 chiffres après la virgule, ce résultat est la valeur exacte de. a) fin d éviter certaines erreurs dues à des erreurs de frappe, il est bon, avant de taper chacune des expressions proposées, de chercher un ordre de grandeur du résultat. Un ordre de grandeur de est x soit Compte tenu de l ordre de grandeur de, le résultat est vraisemblable. (Sur certaines calculatrices, il s affiche ) Si le chiffre après la virgule de est 0, alors est un entier. Déterminons ce chiffre après la virgule. Pourquoi la machine n a-t-elle pas affiché la valeur exacte? Nos machines peuvent afficher au plus 10 chiffres. Lorsque le résultat comporte plus de 10 chiffres, selon les modèles, elles tronquent ou arrondissent les résultats. b) Un ordre de grandeur de est 23 x 3 soit 69. Compte tenu de l ordre de grandeur de, le résultat est vraisemblable. c) Lorsque je tape sur ma calculatrice 217,753 x ,6 il s affiche ,71. Cette réponse n est pas la valeur exacte de C. Explication : 217,753 est un décimal s écrivant avec 3 chiffres après la virgule, ,6 est un décimal s écrivant avec un chiffre après la virgule, donc 217,753 x ,6 est un décimal s écrivant avec 4 chiffres après la virgule. 6 x 3 = 18 donc le 4ème chiffre après la virgule de 217,753 x ,6 est 8. Comme ,71 s écrit avec 2 chiffres après la virgule, ce nombre n est pas la valeur exacte de C. d) Lorsque je tape 86,5 x 545,866 il s affiche ,409. Cette réponse est la valeur exacte de D. Explication : 86,5 est un décimal s écrivant avec 1 chiffre après la virgule, 545,866 est un décimal s écrivant avec 3 chiffres après la virgule, donc 86,5 x 545,866 est un décimal s écrivant avec 4 chiffres après la virgule. Comme : 6 x 5 = 30, le 4ème chiffre après la virgule de 86,5 x 545,866 est 0. 86,5 x 545,866 (soit D) s écrit donc avec trois chiffres après la virgule. Comme ,409 (le résultat affiché sur la calculatrice) a 3 chiffres après la virgule, le nombre ,409 est la valeur exacte de D. c) Un ordre de grandeur de C est 200 x soit Compte tenu de l ordre de grandeur de C, le résultat est vraisemblable ,71 (la valeur affichée par la calculatrice) a 2 chiffres après la virgule. On se demande donc si le 3e et le 4e chiffres après la virgule du produit 217,753 x ,6 sont des zéros. Déterminons le 4ème chiffre après la virgule de 217,753 x ,6. 217,753 x ,6 n est pas un décimal pouvant s écrire avec 2 chiffres après la virgule. Un ordre de grandeur de D est 90 x 500 soit Compte tenu de l ordre de grandeur de D, le résultat est vraisemblable ,409 (la valeur affichée par la calculatrice) a 3 chiffres après la virgule. On se demande donc si le 4e chiffre après la virgule du produit 86,5 x 545,866 est 0. Déterminons le 4e chiffre après la virgule de 86,5 x 545,866. Cned, Mathématiques 6e,

17 c Séquence 4 Séance 5 Exercice 33 1) a) 39,4 x 0,1 = 3,94 b) 115,86 x 0,01 = 1,158 6 c) 564,3 x 0,001 = 0, ) Multiplier un décimal par 0,1 revient à déplacer sa virgule vers la gauche de 1 rang. Multiplier un décimal par 0,01 revient à déplacer sa virgule vers la gauche de 2 rangs. Multiplier un décimal par 0,001 revient à déplacer sa virgule vers la gauche de 3 rangs. Exercice ,1 930,1 9,3 564,3 = 0564,3 Remarque : Multiplier un décimal par 0,1 ; 1 0,01 ; 0,001 c est le multiplier par 10, 1 100, Calcul de 101 x 0,1 Penser que : 101 = 101,0 Calcul de 9,1 x 100 x 0,1-1 x ,1 x 0,01-0,001 x 0,01 10, ,301 0,093 Penser que : 9,1 = 9,10 Calcul de 9,3 x 0,01 Penser que : 9,3 = 009,3 Exercice 35 Le produit de 57 par 0,01 est 57 x 0,01 soit 0,57. 0,57 + 8,43 = 9,00 = 9 La lettre de l alphabet associée à 9 est I. J écris donc I dans la 5ème case du «nom secret» : [] [R] [C] [H][I][ ][ ][ ][ ] Exercice 36 1) = 0,1 x 0,1 = 0,01 00,1 2) = 0,1 x 0,01 = 0,001 3) C = 0,01 x 0,01 = 0, ) Pour multiplier un décimal par 0,1 on déplace sa virgule de 1 rang vers la gauche. 2) Pour multiplier un décimal par 0,01 on déplace sa virgule de 2 rangs vers la gauche. 000,1 3) Même règle que précédemment. 000,01 Exercice 37 1) D = 10 x 0,1 = 1 2) E = 100 x 0,1 = 10 3) F = x 0,001 = 1 10,0 100, ,0 Remarque : Pour calculer les nombres D et F on aurait pu aussi raisonner ainsi : 1 D = 10 x 0,1 = 10 x 10 = = 1 1 F = 1000 x 0,001 = 1000 x = = Cned, mathématiques 6e, 2008

18 Séquence 4 c Exercice 38 a) 86 x 0,1 = 8,6 b) 16,4 x 0,01 = 0,164 c) 940 x 0,001 = 0,940 d) x 0,001 = 9,4 e) 18,20 x 100 = f) 0,000 3 x 0,001 = 0, g) 100 x 0,001 = 0,1 h) 0,001 x = 4,34 Exercice 39 a) 100 x 71,63 = x 7,15 = 71, > 71,5 donc 100 x 71,63 > 10 x 7,15 b) x 0,981 8 = 981,8 0,1 x 9 818,7 = 981,87 10 x 98,175 = 981,75 981,75 < 981,8 < 981,87 donc : 10 x 98,175 < x 0,981 8 < 0,1 x 9 818,7 a) On passe de 86,0 à 8,6 en déplaçant la virgule de 1 rang vers la gauche. 86,0 Le nombre cherché est donc 0,1. b) On passe de 016,4 à 0,164 en déplaçant la virgule de 2 rangs vers la gauche. 016,4 Le nombre cherché est donc 0,01. c) 0940,0 d) On passe de 9 400,0 à 9,4 en déplaçant la virgule de 3 rangs vers la gauche ,0 Le nombre cherché est donc 0,001. e) Multiplier un décimal par 100 revient à déplacer sa virgule de 2 rangs vers la droite. On a donc obtenu 1 820,0 en déplaçant la virgule de 2 rangs vers la droite ,0 Le nombre cherché est donc 18,20. f) 0 000,000 3 g) On passe de 0 100,0 à 0,1 en déplaçant la virgule de 3 rangs vers la gauche ,0 Le nombre cherché est donc 0,001. h) Multiplier un décimal par 0,001 revient à déplacer sa virgule de 3 rangs vers la gauche. On a donc obtenu 4,34 en déplaçant la virgule de 3 rangs vers la gauche. 4,340 Le nombre cherché est donc a) Comparer deux nombres c est dire lequel est le plus grand (ou le plus petit) 71,63 7,15 ttention! Il faut répondre exactement à la question posée. Il était demandé de comparer 100 x 71,63 et 10 x 7,15. Il ne fallait pas s arrêter à la conclusion : > 71,5 b) Ranger des produits dans l ordre croissant, c est les écrire du plus petit au plus grand. 0, ,7 98,175 Penser que : 981,8 = 981,80 Cned, Mathématiques 6e,

19 c Séquence 4 Exercice 40 1) 0,01 x 134 x 100 x 0,1 = (0,01 x 100) x 134 x 0,1 = 13,4 1 La partie entière de 13,4 est 13. La lettre de l alphabet associée à 13 est M. J écris donc M dans la 6ème case du «nom secret». [] [R] [C] [H][I][M][ ][ ][ ] 2) 1000 x 50 x 0,1 x 0,1 x 0,01 = 1000 x (0,1 x 0,01) x 50 x 0,1 = 1 x 50 x 0,1 = 5 0,001 La lettre de l alphabet associée à 5 est E. J écris donc E dans la 7ème case du «nom secret». [] [R] [C] [H][I][M][E][ ][ ] 1) On remarque les facteurs 0,01 et ,01 x 100 = 1 On peut utiliser cette égalité vu que dans un produit on peut changer l ordre des facteurs et les grouper comme on veut. 2) On remarque les facteurs 0,1 et 0,01. 0,1 x 0,01 = 0,001 Cette dernière égalité est «intéressante» vu que : x 0,001 = 1 On pouvait également utiliser une autre méthode : On remplace par 10 x 100. insi, on peut utiliser les égalités : 10 x 0,1 = 1 et 100 x 0,01 = x 50 x 0,1 x 0,1 x 0,01 = 10 x 100 x 50 x 0,1 x 0,1 x 0,01 = (10 x 0,1) x (100 x 0,01) x 50 x 0,1 = Cned, mathématiques 6e, 2008

20 Séquence 4 c Séance 6 Exercice 41 La distance en km qu Ydriss parcourt les jours de classe, pour suivre ses cours, est : 2,4 x 2 = 4,8 Il va 5 fois par semaine au collège. La distance en km qu il parcourt chaque semaine pour suivre sa scolarité est donc : 4,8 x 5 = 24 La distance en km qu il parcourra cette année scolaire en allant au collège est : 24 x 36 = 864 Le chiffre des unités de 864 est 4. La lettre de l alphabet associée à 4 est D. J écris donc D dans la 8ème case du «nom secret». [] [R] [C] [H][I][M][E][D][ ] Exercice 42 Chaque minute, l aiguille des secondes d une pendule fait un tour de cadran. 1 h = 60 min En 1 h, elle fait donc 60 tours de cadran. 1 journée = 24 h En 1 journée, le nombre de tours de cadran que fait l aiguille des secondes est donc : 60 x 24 = En 1 année de 365 jours, le nombre de tours de cadran que fait cette aiguille est donc : x 365 = Exercice 43 1) Le nombre total de places du cinéma est : 36 x 18 = 648 Le nombre de places libres à la séance de 15 h était : = 189 2) Le nombre de personnes ayant payé le prix normal est : = 188 La recette en euros de la séance de 15 h a été (6,40 x 188) + (5,60 x 271) soit 1 203, ,6 c est-à-dire 2 720,8. 3) Le nombre de tickets vendus dans la journée a été : ( ) + 1 = = 787 L année scolaire compte 36 semaines de classe. Pour répondre à la question posée, il sufffit de commencer par calculer la distance en km qu Ydriss parcourt chaque semaine pour suivre ses cours. Si nécessaire, commence par regarder tourner l aiguille des secondes d une pendule. Combien de temps met-elle pour effectuer un tour de cadran? Commençons par calculer combien de tours elle effectue en une journée. 2) On sait combien de personnes ont payé au tarif réduit. Pour calculer la recette de la séance de 15 h, il faut savoir combien de personnes ont payé au tarif normal. 3) ttention! Le nombre de tickets vendus ne s obtient pas en calculant Pour t en convaincre, imagine que le dernier billet vendu ait porté le numéro 188. Seulement deux billets auraient été vendus dans la journée. Des deux calculs et ( ) + 1, c est bien le deuxième qui permet d obtenir 2. Lorsqu on te demande de répondre à une question du type de celle qui t a été posée, ramène-toi toujours au brouillon à un cas plus simple, afin de vérifier que le calcul que tu proposes a des chances d être correct. Cned, Mathématiques 6e,

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