Cours et Exercices de Mécanique :

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1 Cours et Eercices de Mécanique : Mécanique du Point Ingénieur CESI Préparation au tests de sélection Version

2 Programme de physique B Mécanique Chapitre 5 : Statique - Forces, moments de forces, - Equations à l équilibre - Notion de frottement Chapitre 6 : Cinématique - Vecteurs position, vitesse et accélération en coordonnées cartésiennes - Mouvements rectilignes uniforme et uniformément accéléré Chapitre 7 : Dynamique - Notion de référentiel galiléen - Relation fondamentale de la dynamique pour les systèmes en translation, dans un référentiel galiléen - Applications, notamment à la chute libre Chapitre 8 : Energétique - Travail, puissance, - Energie cinétique de translation, - Energie potentielle de pesanteur, - Energie mécanique - Théorème de l énergie cinétique Version

3 Répartition des séances : Programme PFI Mars 005 Séance 1 Séance Séance 3 Séance 4 Séance 5 Séance 6 Séance 7 Séance 8 Séance 9 Séance 10 Thème 1 Thème Thème 3 Grandeurs et unités Statique - Grandeurs, unités - Équations au dimensions Cinématique - Mouvement rectiligne uniforme et uniformément accéléré Énergétique - Energie cinétique de translation - Travail et puissance, - Energie potentielle de pesanteur, - Energie mécanique - Théorème de l énergie cinétique Electricité - Notion de résistance, de condensateur, d inductance Dynamique - Systèmes en translation, - PFD, - Application à la chute libre Electrocinétique - Loi d Ohm - Règle du diviseur de potentiel - Lois de Kirchoff - Théorème de superposition - Electrocinétique - Théorème de Millman Régime transitoire Régime alternatif sinusoïdal Etude qualitative des circuits du 1 er et - Grandeurs alternatives du nd ordre en régime transitoire - Circuit RLC série! (RC, LR, LC, RLC) - Diagramme de Fresnel Régime alternatif sinusoïdal - Circuit en notation complee Test blanc Corrigé Approfondissements : partir des sujets demandés par les élèves Recueil d eercices La difficulté des eercices est indiquée par des carrés : Pas de carré Facile Moins facile Difficile Très difficile (pour aller plus loin) Version

4 Table des matières 1 RAPPELS DE NOTIONS FONDAMENTALES 7 11 GRANDEURS PHYSIQUES 7 1 UNITES 7 13 ÉQUATIONS AUX DIMENSIONS 8 14 NOMBRES SANS DIMENSIONS 8 15 PRODUIT SCALAIRE ET PRODUIT VECTORIEL Détermination d un vecteur 8 15 Produit scalaire et norme d un vecteur Produit vectoriel 9 MECANIQUE DU POINT MATERIEL 11 1 GENERALITES Notion d évènement 11 1 Mesure du temps Repère d espace Temps d un repère Référentiel 11 CINEMATIQUE 11 1 Vecteurs position, vitesse et accélération d un point 11 3 DYNAMIQUE DU POINT 1 31 Masse 1 3 Quantité de mouvement 1 33 Principe de l inertie Première loi de Newton : 1 33 Notions de Force Principe fondamental de la dynamique du point Principe des actions réciproques ou troisième loi de Newton Cas Particulier de l équilibre Statique Moment d une force 14 4 CAS PARTICULIER D UN SYSTEME EN EQUILIBRE STATIQUE 14 5 NOTIONS DE FROTTEMENT Généralité 14 5 Coefficient de frottement 15 6 PUISSANCE ET ENERGIE EN REFERENTIEL GALILEEN Puissance d une force dans un référentiel R 16 6 Travail d une force dans un référentiel R Théorèmes de la puissance cinétique et de l énergie cinétique Théorème de la puissance cinétique Théorème de l énergie cinétique Champs de forces conservatives Particule dans un champ de pesanteur uniforme Gradient d une fonction et différentielle totale eacte Énergie potentielle Énergie mécanique d un point matériel dans un référentiel R 18 7 RESUME MECANIQUE : Vitesse et accélération : 19 7 Son accélération est : Principe Fondamental de la dynamique : Poids et Gravitation Moment des forces Théorème de l énergie cinétique Energie potentielle 19 3 ENONCES 0 31 RAPPEL DE NOTIONS FONDAMENTALES Unité de G 0 31 Unité de la constante de raideur d un ressort 0 Version

5 313 Loi de Stefan Unités dérivées Produit scalaire et produit vectoriel Aire d un triangle Double produit vectoriel et scalaire 1 3 MECANIQUE DU POINT MATERIEL 31 Automobile accélérant 3 Représentation graphique du mouvement 33 Course de 100 m 34 La mouche 35 Attaque d une banque 36 Chute libre et rencontre 3 37 Vitesse constante sur route 3 38 Malle sur un parquet 3 39 Boule de bowling Equations paramétriques Le terrain de Volley 3 31 Accélération proportionnelle à la vitesse Mouvement rectiligne uniformément accéléré Equations horaires Equation paramétrique Trajectoire Plus vite que son ombre? Cric Questions Palet glissant sans frottement 5 30 Echelle 5 31 Trajectoire d un javelot 6 3 Balistique: tir au pigeon 6 33 Glissement sans frottement sur un plan incliné 6 34 Freinage d un parachutiste 7 35 Serrage d écrou 7 36 Balance en équilibre 7 37 Clé plate 7 38 Le bâton plié sur le pivot 8 39 Poulies et traction Calcul d énergie cinétique Énergie potentielle du ressort 8 33 Attention au train Energie nécessaire de poussée Puissance de montée Bateau à moteur Ressort horizontal et vertical Plan incliné et ressort Groupement série et parallèle de deu ressorts Rebond d une balle Un paradoe classique 30 4 SOLUTIONS NOTIONS FONDAMENTALES Unité de G Unité de la constante de raideur d un ressort Loi de Stefan Unités dérivées Produit scalaire et produit vectoriel Aire d un triangle Double produit vectoriel et scalaire 3 4 MECANIQUE DU POINT MATERIEL Automobile accélérant 33 4 Représentation graphique du mouvement Course de 100 m La mouche 35 Version

6 45 Attaque d une banque Chute libre et rencontre Vitesse constante sur route Malle sur un parquet Boule de bowling Equations paramétriques Terrain de volley Accélération proportionnelle à la vitesse Mouvement rectiligne uniformément accéléré Equations horaires Equation paramétrique Trajectoire Plus vite que son ombre? Cric Questions Palet glissant sans frottement Echelle Trajectoire d un javelot 41 4 Balistique: tir au pigeon Glissement sans frottement sur un plan incliné Freinage d un parachutiste Serrage d écrou Balance en équilibre Clé plate Le bâton plié sur le pivot Poulies et traction Calcul d énergie cinétique Énergie potentielle du ressort Attention au train Energie nécessaire de poussée Puissance de montée Bateau à moteur Ressort horizontal et vertical Plan incliné et ressort Groupement série et parallèle de deu ressorts Rebond d une balle Un paradoe classique 51 Version

7 1 Rappels de notions fondamentales 11 Grandeurs physiques Une grandeur dite scalaire est caractérisée par un nombre («intensité») et une unité Eemple : La pression s eprime en Pascal (Pa) Une grandeur vectorielle est caractérisée par un vecteur et une unité Un vecteur est lui-même caractérisé par un sens et une norme AB = AB u avec norme de u, u = 1 et AB distance entre les points A et B u B 1 Unités Le système international est basé sur 7 grandeurs fondamentales A Grandeurs Unité Symbole Longueur mètre m Masse kilogramme kg Temps seconde s Courant électrique (intensité) ampère A Température thermodynamique kelvin K Quantité de matière mole mol Intensité lumineuse candela cd Chaque unité reçoit des mesures de référence les plus précises possibles, ce qui implique une évolution avec les précisions disponibles de l époque Par eemple : 1 m : longueur parcouru par la lumière dans le vide pendant 1/ s (auparavant, il s agissait d une barre de platine iridié à la température de 0 C Pavillon de Breteuil) 1 kg : masse du prototype international Pavillon de Breteuil 1 s : durée de périodes du rayonnement correspondant à la transition de niveau hyperfins de base du Cs 133 La définition précédente (en gros 1/ ,9747 de l année 1900) posait des problèmes pour répéter la mesure 1 A : courant qui, maintenu dans conducteurs de longueur infinie et de section négligeable, placés à 1 m de distance dans le vide, produisent une force de 10-7 N par mètre linéaire 1 K : fraction (1/73,16) de la température thermodynamique du point triple de l eau (liquide + solide + vapeur) définie sur le diagramme P = f (t) 1 mol : quantité d entités élémentaires identique à celle contenue dans 0,01 kg de C1 Version

8 1 cd : intensité lumineuse dans une direction donnée pour une source émettant un rayonnement monochromatique à la fréquence de Hz avec une intensité de radiation de 1/688 Wsr Équations au dimensions Les équations au dimensions permettent de vérifier la cohérence d une formule ou de trouver l unité d une grandeur Eemple : le principe fondamental de la dynamique dit que le lien entre la force appliquée et l accélération subie est : F = m a On sait, par ailleurs que la force s eprime en Newton et que l accélération s eprime en ms - On peut en déduire immédiatement l unité du Newton : [F] = [M] [L] [T] - => 1 N = 1 kgms - 14 Nombres sans dimensions À deu dimensions, on définit le radian comme suit : On a : l = R α La longueur de l arc de cercle est égale au rayon multiplié par l angle en radian Si α = π, on retrouve la formule de la circonférence du cercle : L = π R α R l À trois dimensions, on procède de la même manière en définissant le stéradian : On a : S = R ω Dans le cas de la sphère, on a ω = 4π L angle solide sous lequel on R voit tout l espace est 4 π stéradian L aire d une sphère est donc : S = 4πR ω S 15 Produit scalaire et produit vectoriel 151 Détermination d un vecteur Soit deu points, A et B, dans un espace à trois dimensions orthonormé de repère (O, i, j,k ) Les coordonnées des points A et B dans ce repère sont : A( A,y A,z A),B( B,y B,z B) Version

9 k z A z B A B z u v B 0 y A y B j 0 u φ v y i A Le vecteur OA s écrit : OA = Ai + yaj + zak Le vecteur OB s écrit : OB = Bi + ybj + zbk Le vecteur AB se calcule aisément : AB = AO + OB = OA + OB = i + y y j + z z k ( ) ( ) ( ) B A B A B A 15 Produit scalaire et norme d un vecteur Soient u et v deu vecteurs dans un espace à 3 dimensions orthonormé de repère (O, i, j,k ) Le produit scalaire de u par v est : u v = u v cos( u, v ) = u v cos φ Le résultat est un scalaire Dans le repère, il est facile de montrer que : u v = u v + u y v y + u z v z Remarque : u v = v u La norme au carré d un vecteur, u, est donnée par le produit scalaire du vecteur par luimême : u = u u = u + u + u y z Remarque : lorsque l on effectue le produit scalaire de deu vecteur, géométriquement, cela revient à projeter un vecteur sur l ae définit par le second 153 Produit vectoriel Le produit vectoriel de u par v est : u v = u v sin( u, v ) e = u v sin φ e Le résultat est un vecteur perpendiculaire au deu autres vecteurs tel que ( u, v, u v ) forme un trièdre directe Dans le repère, le produit vectoriel s obtient en écrivant : Version

10 Remarque : u v = - v u u v u v u v u v= u v = u v u v y z z y y y z z u v u v u v z z y y On pourra vérifier ou démontrer que : a ( b c) = b( a c) c( a b) cab», relation dite : «back Version

11 Mécanique du point matériel 1 Généralités 11 Notion d évènement Les phénomènes physiques peuvent être considérés comme des ensembles d évènements, de phénomènes élémentaires caractérisés en associant à l espace ambiant et au temps deu espaces métriques, l un à 3D et l autre à 1D 1 Mesure du temps La mesure du temps suppose une orientation du temps, du passé vers le futur Elle nécessite une origine et un moyen de mesure, soit une horloge 0 t 13 Repère d espace On appelle repère d espace R un ensemble de points dont les distances mutuels sont invariables au cours du temps On caractérise généralement un tel repère d espace par un point d espace O, choisi conventionnellement comme origine du repère, et une base orthonormée ( e,e,e y z ) On note alors R = (O, e, e, y ez ) ou plus brièvement R = Oyz 14 Temps d un repère Référentiel L ensemble d un repère d espace et d un repère de temps constitue un référentiel Cinématique La cinématique est l étude des mouvements des corps indépendamment des causes qui les produisent z 0 φ 1 Vecteurs position, vitesse et accélération d un point ρ A H y Le vecteur position lié au point A dans le référentiel R(O,,y,z) est : OA Par définition, la vitesse du point A par rapport à R est : doa v( A/R) = dt Son accélération est : dv( A / R) doa γ ( A/R) = = dt dt R R R Version

12 En coordonnées cartésiennes : OA = e + y ey + z ez où e,e,e y z sont les vecteurs de la base et sont normés à l unité On peut écrire : OA y z La vitesse s obtient en dérivant le vecteur position par rapport au temps La dérivée des vecteurs de la base dans le repère R est nulle puisqu ils sont constants On en déduit : v A/R ( ) y z et γ ( A/R) y z ; la notation avec un point signifie t 3 Dynamique du point La dynamique est l étude des mouvements des corps en relation avec les causes, appelées Forces, qui les produisent 31 Masse Epérience : il est plus difficile de communiquer une vitesse à un ballon de football qu à une balle de tennis La vitesse d un corps ne suffit pas à décrire son mouvement Il faut introduire une quantité caractérisant la «répugnance» du corps à toute modification de son mouvement, c est-à-dire son inertie Nous admettons qu il est possible d associer à un point matériel un scalaire positif, m, qui est sa masse La masse est supposée indépendante de l état du mouvement du point et du référentiel choisi 3 Quantité de mouvement La quantité de mouvement (parfois appelé Impulsion) pour un point matériel de masse m et de vitesse v par rapport à R est : p = mv 33 Principe de l inertie 331 Première loi de Newton : Enoncé historique : Tout corps persévère dans son état de repos ou de mouvement rectiligne uniforme, sauf si des forces «imprimées» le contraignent d en changer Enoncé actuel : Par rapport à tout référentiel privilégié R, qualifié de galiléen, tout point matériel A, éloigné de tout autre corps, a un mouvement rectiligne uniforme : v= cte La propriété ci-dessus constitue une définition des repères galiléens et le principe d inertie postule leur eistence Le caractère «privilégié» des référentiels galiléens apparaît dans le fait que les lois de la mécanique et notamment le Principe Fondamental ne sont valables que dans de tels référentiels Version

13 On introduit le référentiel de Copernic : Le référentiel de Copernic a, par définition son origine au barycentre du système solaire ; ses aes sont définis par les directions de trois étoiles très éloignées (dites «fies») Un repère galiléen est un repère en translation rectiligne et uniforme dans le repère de Copernic 33 Notions de Force Considérons un point dont le mouvement n est pas rectiligne uniforme dans un référentiel galiléen (son accélération est différente de 0) Pour epliquer un tel mouvement, on admet que le point n est pas isolé : il est soumis à une interaction L epérience montre que toutes les interactions peuvent être décrites par une grandeur vectorielle que nous appellerons Force 34 Principe fondamental de la dynamique du point Dans un référentiel galiléen, une modification de la vitesse d un point doit être attribuée à une cause : la force F agissant sur le point Encore faut-il tenir compte de l inertie du point sur lequel s eerce la force : Enoncé historique : Le changement de mouvement est proportionnel à la force imprimée et s effectue suivant la droite par laquelle cette force est imprimée Enoncé actuel : Par rapport à un référentiel galiléen R, le mouvement d un point matériel A de masse m soumis à plusieurs forces etérieures, dont la somme est F, satisfait la relation : soit si la masse m est constante : F et dp =, dt F et = m γ 35 Principe des actions réciproques ou troisième loi de Newton Soit deu points matériels M 1 et M en interaction Les forces d interaction F MM et F 1 MM sont 1 opposées et colinéaires à l ae (M 1 M ) Ce principe des actions réciproques, nommés principe de l action et de la réaction, se traduit par : F = F MM 1 MM1 Cas particulier des forces intérieures : La somme des forces intérieures appliquées à un point matériel ou un objet solide est nulle Dans le cas contraire, il s animerait d un mouvement ou se déformerait Version

14 36 Cas Particulier de l équilibre Statique Lorsqu un système est à l équilibre, la somme des forces et nulle et donc l accélération est nulle F = 0 37 Moment d une force Par définition, le moment en un point O de la force F appliquée en un point M est : et M M F/O F M = OM F F/O Si la force est colinéaire à OM, le moment est nul Si les points M et O sont confondus, le moment est nul L unité du moment d une force est : Nm O 4 Cas particulier d un système en équilibre statique On se limite au cas particulier où le solide considéré est à l équilibre Dans ce cas, d après le paragraphe sur le principe fondamental de la dynamique, la somme des forces est nulle Par ailleurs, le solide étant à l équilibre statique ou en mouvement de translation uniforme, la somme des moments des forces appliquées au même point A est nulle aussi M = 0 F/A Cela se traduit par : F= 0 5 Notions de frottement 51 Généralité Les forces de frottements s opposent au déplacement relatif de deu surfaces en contact Ces forces sont parallèles au surfaces Le frottement statique intervient entre surfaces immobiles l une par rapport à l autre Lorsqu une force croissante est appliquée à un objet reposant sur une surface, par eemple, la force de frottement statique croît d abord en même temps qu elle pour s opposer au mouvement Une certaine force limite est atteinte que la force de frottement statique ne peut dépasser et compenser, l objet se met alors en mouvement Une fois que l objet est en mouvement, la force de frottement de glissement (ou dynamique) demeure constante et prend une valeur ordinairement quelque peu inférieure au maimum atteint par la force de frottement statique Version

15 5 Coefficient de frottement Les forces de frottement entre deu surfaces dépendent de la nature de ces surfaces et de la force normale qu elles eercent l une sur l autre La nature de ces forces se traduit par un coefficient de frottement µ dont la valeur dépend des matériau en contact L epression de la norme de la force de frottement s écrit : F f = µ N Force de frottement = coefficient de frottement force normale On distingue le coefficient de frottement statique µ s qui représente la valeur maimale Le coefficient de frottement de glissement µ est toujours inférieur à µ s Valeurs typiques : Bois sur le bois : µ s = 0,5 ; µ = 0,3 Version

16 6 Puissance et énergie en référentiel galiléen 61 Puissance d une force dans un référentiel R Soit un point matériel de masse m, se trouvant au point M du référentiel R avec la vitesse v( M) /R Ce point matériel subissant une force F, la puissance P( F ) de cette force est : /R P F ( ) = Fv( M) /R /R L unité de puissance est le Watt, 1 W = 1 kg m s -3 6 Travail d une force dans un référentiel R Le travail élémentaire dw ( F ) /R durée infinitésimale dt : de la force F appliquée à un point matériel M est, pour la dw F = P F dt = Fv M dt = FdOM ( ) ( ) ( ) /R /R /R, avec O un point fie du référentiel R L unité du travail est le Joule, 1 J = 1 kg m s - 63 Théorèmes de la puissance cinétique et de l énergie cinétique 631 Théorème de la puissance cinétique Soit F la force appliquée à un point matériel M, de masse m et animé d une vitesse v( M) /R En multipliant scalairement les deu membres de la relation fondamentale de la dynamique, on obtient : 1 d mv ( ) ( M )/R dv M /R dec Fv ( M) = mv ( M ) = =, /R /R dt dt dt 1 La quantité Ec = mv est par définition l énergie cinétique de la particule dans le référentiel R Elle a la même dimension que le travail et s eprime en joule Ainsi : Dans un référentiel Galiléen, la puissance de la force appliquée à un point matériel est égale à la dérivée par rapport au temps de son énergie cinétique dec P( F) = /R dt Version

17 63 Théorème de l énergie cinétique P F dt = de On peut réécrire l epression précédente comme suit : ( ) c /R D où : dw ( F) = P( F) dt = dec dec = dw ( F) /R /R /R Considérons le déplacement du point M d une position M 1 au temps t 1 à une position M au temps t le long d une courbe, alors : t M W = P F dt = FdM = E t E t ( ) c( ) c( 1) /R t1 M1 La variation d énergie cinétique d un point matériel entre deu instants est égale au travail de la force totale qui lui est appliquée On peut écrire : W =Δ E Cette formule est à retenir absolument c 64 Champs de forces conservatives Introduction par l eemple : 641 Particule dans un champ de pesanteur uniforme Soit une particule de masse m dans un champ de pesanteur caractérisé par travail élémentaire du poids P = mgez sur l intervalle dz est : dw = mge e dz = mg dz = d mgz, P z z ( ) g = g e Le Le travail du poids entre les points M 1 (z 1 ) et M (z ) est : W = mg dz = mg( z z ) z P 1 z z g M m e mg z Le travail du poids est indépendant du chemin suivit entre les point M 1 (z 1 ) et M (z ) 1 z 64 Gradient d une fonction et différentielle totale eacte Soit φ(,y,z) une fonction scalaire des coordonnées cartésiennes, y et z d un point de l espace, et soient e, e y, e z des vecteurs unitaires de base sur les aes O, Oy et Oz On appelle gradient de la fonction φ(,y,z) le vecteur : φ φ φ grad φ= e + ey + e z y z Version

18 Considérons un déplacement infinitésimal MM ' = dom du point M Nous pouvons écrire : dom = d e + dy ey + dz e z Effectuons le produit scalaire de grad φ par dom : φ φ φ grad φ dom = d + dy + dz = d φ y z Nous reconnaissons la différentielle totale eacte de φ(,y,z) 643 Énergie potentielle Dans certains cas (e : champ de forces newtonien de gravitation, électrique, etc), le travail total effectué par la force f lorsque la particule se déplace de M 1 à M est indépendant du trajet suivi, donc indépendant de la courbe (C) qui relie M 1 et M Dans ce cas, on dit que la force f est conservative, ou encore que la force f dérive d une énergie potentielle E p définie par : ou Ep = f dr f = grad E La fonction scalaire E p (,y,z) est appelée potentiel du champ f ou énergie potentielle du point dans le champ Si l on calcule le travail de la force sur un déplacement infinitésimal dom, on a : dw = f dom = grad Ep dom = dep = dw On en déduit : f p et donc : f dw = de f ( ) ( ) W = E M E M p 1 p p Remarque : Si M 1 et M sont confondus, le travail de la force est nul Eemple : On a démontré que le travail du poids est indépendant du chemin suivit Cela signifie que le poids dérive d une énergie potentielle P = grade dw P = PdOM = grade dom = de = mg dz ( ) P P P /R D où l epression de l énergie potentielle associée au poids : E P = mgz + cte 644 Énergie mécanique d un point matériel dans un référentiel R Le théorème de l énergie cinétique s écrit, sous forme différentielle : dw = -de c Si le champ de force dérive d un potentiel alors : Version

19 f = grad E, on a donc : dw = f dom = de, qui donne : ( c p) p d E + E = 0, par intégration : E + E = E c p m La quantité somme de l énergie cinétique et de l énergie potentielle est l énergie mécanique du système D après la relation encadrée : Lorsqu un point matériel se déplace dans un champ de force dérivant d un potentiel, son énergie mécanique reste constante au cours du mouvement p 7 Résumé Mécanique : 71 Vitesse et accélération : Soit un point A mobile dans R(O,,y,z), sa vitesse est : v( A/R) 7 Son accélération est : dv( A / R) doa γ ( A/R) = = dt dt R 73 Principe Fondamental de la dynamique : p = mv dp, F = = m γ si la masse est constante et dt P = mg mm 1 F > = G e d Poids et Gravitation 75 Moment des forces M = 0 F M = OM F F/O A l équilibre : F= 0 R doa = dt 76 Théorème de l énergie cinétique Energie potentielle Δ Ec = WF et avec dw ( F) = FdOM /R Travail du poids : W P = mgh avec h la hauteur algébrique Théorème de l énergie mécanique : E m = E c + E p R Version

20 3 Enoncés 31 Rappel de notions fondamentales 311 Unité de G L accélération de la pesanteur à la surface de la Terre est donnée par l epression : g = G Mt / R t G est l accélération de la pesanteur G est la constante de gravitation universelle, Mt, la masse de la Terre, R t, le rayon de la Terre Quelle est l unité de G? 31 Unité de la constante de raideur d un ressort La force de rappel d un ressort lorsque l on s écarte de la position d équilibre est donnée par l epression suivante : F = - k L ou L est la l allongement dudit ressort Quelle est l unité de k, constante d élasticité du ressort dans le système MKSA? 313 Loi de Stefan Un corps noir émet un rayonnement qui obéit à la loi de Stefan Cette loi donne la puissance émise P en fonction de la surface S de la température T du corps et de la constante de Stefan σ : P = σ S T 4 En déduire l unité de la constante 314 Unités dérivées Connaissant les 7 grandeurs internationales : Grandeurs Unité Symbole Longueur mètre m Masse kilogramme kg Temps seconde s Courant électrique (intensité) ampère A Température thermodynamique kelvin K Quantité de matière mole mol Intensité lumineuse candela cd Déterminer les unités des grandeurs suivantes : Version

21 Grandeurs Unité Symbole Force Newton N : Pression Pascal Pa : Energie Joule J : Puissance Watt W : Charge électrique Coulomb C : Résistance électrique Ohm Ω : Diff de potentiel Volt V : Densité Champ Magnétique Tesla T : Fréquence Hertz Hz : 315 Produit scalaire et produit vectoriel Soient deu vecteurs de coordonnées u (,3,1) et v (1,-1,1) Calculer le produit scalaire des deu vecteurs En déduire l angle entre les deu vecteurs Conclusion Calculer le produit vectoriel u v Si v (8,1,4), calculer le produit vectoriel u v En déduire l angle entre les deu vecteurs Conclusion 316 Aire d un triangle Soit un triangle formé par trois points A, B et C Montrer que l aire du triangle est égale à la moitié de la norme du produit vectoriel de deu vecteurs issus du même point 317 Double produit vectoriel et scalaire a b c = b a c c a b a b c = b c a = c a b Vérifier sur un eemple de votre choi que : ( ) ( ) ( ) De la même manière, vérifier que : ( ) ( ) ( ) Version

22 3 Mécanique du point matériel 31 Automobile accélérant a) Quelle est l intensité de l accélération, supposée uniforme, d une automobile se déplaçant en ligne droite, dont la vitesse passe de l intensité v 1 = 0 km h -1 à l intensité v = 30 km h -1 en 1,5 s? b) À la même accélération, combien de temps faut-il pour que l intensité de la vitesse passe de v = 30 km h -1 à v 3 = 36 km h -1? 3 Représentation graphique du mouvement Un mobile au repos part de l origine avec une accélération de m/s² qu il garde pendant s Ensuite, il garde la vitesse acquise pendant 3 s Enfin, il est freiné jusqu à l arrêt avec une décélération de 1 m/s² Représenter graphiquement la position, la vitesse et l accélération en fonction du temps 33 Course de 100 m Au départ d une course de 100m, Pierre accélère pendant 18 s pour atteindre une vitesse de 95 m/s Un second athlète, Patrick, accélère durant s pour atteindre la vitesse de 96 m/s Ils conservent leur vitesse acquise durant le reste de la course Lequel de ces deu athlètes va gagner la course? Justifiez votre réponse en donnant le temps qui sépare les arrivées des deu athlètes (en secondes et centièmes de seconde) Quelle distance sépare les deu athlètes lorsque le premier passe la ligne d arrivée? 34 La mouche Un homme doit transporter des fruits en camionnette entre deu villes distantes de 90 km Il roule à vitesse constante égale à 90 kmh -1 Une mouche curieuse (ou plutôt une curieuse mouche) démarre au même moment et du même lieu et effectue sans arrêt l aller et retour entre la camionnette et la destination finale à la vitesse constante de 10 kmh -1 Quelle distance parcourt la mouche? 35 Attaque d une banque La voiture B des gangsters qui viennent de dévaliser la banque démarre en trombe Le scénariste voudrait qu elle entre en collision de plein fouet avec le véhicule A qui roule à la vitesse constante de 80 km/h dans la rue transversale éloignée de 30 m Lorsque le véhicule B démarre, le véhicule A se trouve à 80 m du carrefour Quelle doit être l accélération (supposée constante) du véhicule B? Quelle est la vitesse (eprimée en km/h) du véhicule B lors de la collision? Version

23 36 Chute libre et rencontre Un corps tombe d une hauteur de 800 mètres Simultanément, un deuième corps est lancé à partir du sol vers le haut avec une vitesse initiale v0 = 00 m/s Après combien de temps et à quelle hauteur les deu corps se rencontrent-ils? 37 Vitesse constante sur route Quelle est la force nécessaire pour maintenir en mouvement à vitesse constante sur une route en béton horizontale une automobile pesant 1500 kg L accélération de pesanteur vaut : 10 ms - On admettra que l automobile roule trop lentement pour que la résistance de l air soit appréciable et on prendra µ = 0,04 comment coefficient de frottement 38 Malle sur un parquet Une force de 00 N est juste suffisante pour mettre en mouvement une malle en acier de 50 kg sur un parquet de bois Trouver le coefficient de frottement statique On place la malle sur un plan incliné, quelle doit être la valeur de l angle pour que la malle se mette en mouvement 39 Boule de bowling Une boule de bowling de vitesse initiale 3 ms -1 roule sur un parquet sur 50 m avant de s immobiliser Quel est le coefficient de frottement? 310 Equations paramétriques Par rapport à un repère orthonormé (O, i, j,k ), une particule M est soumise à l accélération constante γ= 9,8 k (SI) A l instant t = 0, elle se trouve au point O et a pour vitesse v0 = 4i (SI) 1) Déterminer les équations paramétriques du mouvement : (t), y(t), z(t) v t et calculer la vitesse à t = 0,5 s ) Donner en ms -1 l epression de ( ) M 311 Le terrain de Volley On connaît la position du ballon de volley à trois moments A l origine le ballon a une altitude de m A 10 m du lanceur le ballon a une altitude de 7 m et finalement il touche le sol à une distance de 185 m du joueur 1 Calculez les composantes verticale et horizontale de la vitesse initiale du ballon Calculez l angle avec lequel le ballon est lancé 3 Quel temps s écoulera entre le lancer et le contact avec le sol? 31 Accélération proportionnelle à la vitesse Un point effectue un mouvement rectiligne tel que, à chaque instant, son vecteur accélération est opposé à son vecteur vitesse et tel que le module de l accélération est double de celui de la vitesse A t = 0, la vitesse est v = 4u, où u est un vecteur unitaire de la trajectoire Calculer, l epression du vecteur vitesse en fonction du temps t Version

24 313 Mouvement rectiligne uniformément accéléré Un point matériel à l abscisse o et à la vitesse v o au temps t o est soumis à une accélération constante γ parallèle à l ae O Donner les epressions de la vitesse et de l abscisse à un temps t quelconque Donner la relation liant v et v o Qu deviennent les epressions si l accélération est nulle? 314 Equations horaires Un point mobile a pour équations horaires, en unités SI : = t 3 + 4t + y = t t + 1 z = t 1) Calculer les vecteurs vitesse et accélération à tout instant t ) À quel instant t 0 et en quel point M 0 le mobile se trouve-t-il dans le plan Oz? Quelle est alors sa vitesse (sens et norme)? 315 Equation paramétrique Trajectoire Un mobile ponctuel est animé d un mouvement plan dont les équations horaires, dans un repère orthonormé Oy sont les suivantes (t en s, et y en m) : = 5t +, y = -5 t + 8t, 1) Trouver l équation de la trajectoire ) Déterminer les coordonnées et le module du vecteur vitesse à t = Plus vite que son ombre? Un piéton marche la nuit sur un trottoir, en ligne droite, à vitesse constante La vitesse de l ombre de sa tête sur l asphalte diminue-t-elle, augmente-t-elle ou reste-t-elle constante, lorsqu il s approche du réverbère responsable de cette ombre? 317 Cric La figure ci-contre représente un cric pour voiture Soit v A1 la vitesse du point A dans le repère O 1, 1,y 1 Soit v B1 la vitesse du point B dans le repère O 1, 1,y 1 et v B la vitesse du point B dans le repère O,,y Calculer l intensité v B de v B en fonction de v A1 et de l angle α AN : α = 30 et v A1 = 4 mms-1 O 1 O y,y 1 B α A 1 Version

25 318 Questions 1) Est-il suffisant quel le vecteur vitesse d un point soit constant pour que ce point soit en mouvement a) rectiligne? b) uniforme? ) Un système qui se déforme peut-il être en translation? 3) Un point se déplace d un mouvement uniforme Comment doit être sa trajectoire pour qu il ait un vecteur vitesse constant? 4) Une personne se trouve dans un ascenseur qui est accéléré vers le haut Qu indique un pèse-personne? 5) Lors d un orage, pourquoi percevons le bruit du tonnerre après avoir vu l éclair? 6) Un aérostat se déplace avec le vent en direction du Nord Dans quelle direction les drapeau sur sa nacelle se dirigent-ils? 7) Quel rôle joue la friction lors de la marche des êtres vivants? 8) La mouche dans le bocal Un bocal fermé contenant une mouche est placé sur un des plateau d une balance équilibrée très sensible La mouche est posée sur la paroi du bocal Que se passe-t-il lorsque la mouche quitte sa place et commence à voler dans le bocal? Solution : Cet eercice est paru dans le magazine allemand Umschau Il devint le sujet de vives discussions auquelles participèrent de nombreu ingénieurs qui donnèrent de nombreuses solutions pas toujours justes 319 Palet glissant sans frottement Un palet glisse sans frottement sur de la glace (plan horizontal) Faire un schéma Définir un repère, un référentiel, identifier les forces auquelles il est soumis, déterminer l équation horaire et la trajectoire du palet assimilé à un point matériel de masse m 30 Echelle Une échelle de trois mètres de haut a une masse de 0 kg On la place contre un mur vertical en lui donnant une pente faisant un angle α avec l horizontale L appui au sol se fait avec un coefficient de frottement de µ = 0,4 Une personne de 80 kg est placée au deu tiers de la hauteur de l échelle à partir du sol On suppose que le coefficient de frottement sur le mur vertical est nul 1) Quelle est la réaction du sol sur l échelle en fonction de α Montrer qu en l absence de frottement au sol, l échelle ne peut tenir avec un angle différent que l on eplicitera Commentez Version

26 ) Déterminer l angle α à partir duquel l équilibre est rompu 31 Trajectoire d un javelot Un javelot de masse m est lancé avec un angle α par rapport à l horizontale à la vitesse initiale v o depuis une hauteur h o 1) Déterminer la force à laquelle est soumis le javelot Définir un repère et les conditions initiales ) En déduire l accélération et les epressions des vitesses, des abscisses et de la trajectoire Quelle est la nature de la trajectoire? La tracer approimativement 3) À quelle distance d, le javelot touche-t-il le sol? A quel moment t d? 4) Quel est l angle d incidence par rapport à l horizontale du javelot au moment de l impact? Quelle relation lie α et β si h o est nulle? 5) Déterminer l équation à résoudre pour évaluer l angle permettant d envoyer le javelot le plus loin du lanceur Résoudre la dite équation dans le cas où la hauteur initiale est nulle 6) Quelle est la hauteur maimale atteinte? 7) Quel phénomène physique réel vient fausser les résultats précédents? On vous donnera ensuite les équations Données : m = kg, g = 9,81 ms -, h o = 1,60 m, v o = 0 ms -1, α = 30 3 Balistique: tir au pigeon A l instant t = 0, un pigeon en argile est éjecté depuis la position ( 0,0), avec une vitesse v = (v cosα, v sinα ) connue Un tireur est placé en (0,0) avec un fusil tirant de la chevrotine à une vitesse v 1 sous un angle α 1 avec l horizontale L angle α 1 et la vitesse v 1 sont également connus A quel temps la personne doit-elle tirer pour atteindre la cible? La solution est-elle unique? 33 Glissement sans frottement sur un plan incliné Un objet de masse m glisse sans frottement sur un plan incliné faisant un angle α avec l horizontale Y y Z X z α 1) Etude statique L objet est soutenu par un câble parallèle au plan incliné Déterminer la tension du fil ainsi que la réaction du plan incliné ) Frottement statique R P T Version

27 Le fil est coupé Le mobile reste immobile à cause des frottements statiques Eprimer le coefficient de frottement statique en fonction de α 3) Etude dynamique L objet n est plus retenu par le câble Il est lâché avec une vitesse v 0 dans le plan XY Déterminer les équations X(t) et Y(t) En déduire l équation de la trajectoire 4) Etude dynamique avec prise en compte des frottements Une force de frottement dynamique apparaît lors du déplacement du solide Elle est modélisée à faible vitesse par l epression : F= kv, avec k une constante réelle positive A l instant initial, le solide possède une vitesse selon X a) Déterminer l unité de k b) Faire un schéma des forces appliquées au solides Ecrire le bilan des forces et déterminer les composantes des forces sur les deu aes OX et OZ c) En déduire la valeur de la réaction du support Déterminer l équation différentielle vérifiée par v mg d) Démontrer ou vérifier que v (t) peut se mettre sous la forme : v (t) = a e + sinα k En déduire a et la vitesse limite v lim que peut atteindre le solide ; en déduire l epression finale de v (t) e) Par intégration, déterminer l epression de X(t) 34 Freinage d un parachutiste Un parachutiste de masse totale m = 100 kg subit lors de sa descente, parachute ouvert, une force de freinage dont le module est donné par l epression F = 0 v où v est sa vitesse eprimée en m s -1 Déterminer la vitesse limite atteinte par le parachutiste (g = 9,81 m s - ) 35 Serrage d écrou On doit serrer les écrous de tête de bielle d une voiture à 4,5 mn Quelle force minimale doiton eercer à l etrémité d une clé dont le bras a une longueur de 1 m? Quelle force doit-on eercer si on l applique avec un angle de 30 par rapport à la clé? 36 Balance en équilibre Un balance possède deu bras de longueur l 1 = 10 cm et l = 3 cm Quelle masse faut-il placer sur le plateau 1 de la balance pour équilibrer une masse de 15 g sur le plateau? 37 Clé plate Application d un effort de serrage sur une clé plate : k t m Version

28 y z o 1 mm mm A B C 31 mm Soient trois forces A,B,C appliquées au points A, B et C et de norme : A = 60N, B = 40N, C = 50N 1) Déterminer dans le repère R(O,,y,z), les coordonnées des vecteurs forces ) Déterminer dans le repère R(O,,y,z), les coordonnées des vecteurs moments par rapport au point O Déterminer la norme de chacun de ces vecteurs moments 3) a) Pour obtenir le meilleur serrage, laquelle des forces faut-il appliquer? b) Si vous aviez le choi de la force et de la position, laquelle choisiriez vous et où l appliqueriez vous? Déterminer le vecteur moment correspondant 38 Le bâton plié sur le pivot Un bâton homogène est en équilibre sur un pivot s il y est placé en son milieu Que se passe-t-il quand on plie la moitié droite du bâton? L équilibre est-il encore possible? Sinon, quelle est la nouvelle position d équilibre? 39 Poulies et traction Les poulies représentées ci-contre sont mobiles sans frottement 1) Quelle force faut-il eercer à l etrémité E de la corde pour maintenir la masse M = 5 kg en équilibre? ) Quel travail faut-il effectuer pour soulever la masse de 0,5 m? Quelle longueur de corde est tirée? 3) Connaissez vous le principe du palan? E M 330 Calcul d énergie cinétique Calculer l énergie cinétique d une automobile de masse 100 kg, en mouvement de translation rectiligne à la vitesse de 7 km h-1 Calculer l énergie cinétique pour une vitesse double 331 Énergie potentielle du ressort Un ressort s allonge de 1 cm sous l action d une force de 1 N Déterminer l énergie potentielle de déformation qu il acquiert lorsqu on l allonge de 10 cm (on supposera le ressort parfait) On rappelle que la force eercée par un ressort est proportionnelle à son allongement et vérifie la relation : F = k où représente le vecteur allongement Version

29 33 Attention au train Un train de masse M = 400 tonnes se déplace sur une voie rectiligne à la vitesse v = 100 kmh -1 a) Calculer l énergie cinétique du train b) Si cette énergie était utilisée pour soulever le train, quelle hauteur h atteindrait-on? Donnée : g = 9,8 m s Energie nécessaire de poussée Une force de 300 N est utilisée pour pousser sur 3 m une caisse pesant 75 kg (g = 10 ms - ) sur le sol horizontal d un entrepôt Quel est le travail effectué? Quelle est la variation d énergie potentielle de la caisse? Quel est le coefficient de frottement? 334 Puissance de montée Un homme pesant 75 kg grimpe un escalier haut de 3 m en 5 s Trouver la puissance minimum dépensée Trouver l énergie correspondante Sur une canette de soda d une marque très célèbre est indiquée la quantité d énergie assimilable par l organisme : 180 kj Quelle hauteur doit monter l homme pour «dépenser» cette énergie 335 Bateau à moteur Un bateau à moteur nécessite 80 ch pour se déplacer à la vitesse constante de 10 km/h Quelle est la force de résistance de l eau sur le bateau à cette vitesse? Donnée : 1 ch = 746 W 336 Ressort horizontal et vertical 1) Un ressort de raideur k, de longueur à vide l o Un point matériel M de masse m est accroché à une etrémité tandis que l autre est fie On allonge le ressort sur un ae horizontal jusqu à une longueur l m et on le lâche L allongement maimal est m On notera = l-l o a) Faire un schéma détaillé du montage en indiquant les longueurs l et l o, la position correspondant à l allongement maimal et à une position quelconque, la raideur k, la masse m de M Indiquer les forces appliquées à la masse b) Calculer le travail de chaque force pour l allongement c) Appliquer le théorème de l énergie cinétique et en déduire une équation Identifier l énergie potentielle et l énergie mécanique d) Déterminer la vitesse maimale du point M e) En dérivant par rapport au temps l équation trouvée en c), déterminer l équation différentielle vérifiée par Montrer que l équation horaire (t) satisfaite par le point matériel est de la forme (t) = a cos(ωt+φ) Identifier les termes a, ω et φ Déterminer la période et la fréquence des oscillations f) Montrer que l on peut obtenir rapidement l équation différentielle vérifiée par en appliquant le Principe Fondamental de la dynamique Version

30 ) On retourne le ressort sur l ae vertical, masse vers le bas Il est lâché sans vitesse initiale d un allongement m par rapport à la position du ressort à vide a) Faire un schéma du ressort à vide, à l équilibre en présence de la masse, en mouvement et lors de l allongement maimal en indiquant la longueur à vide l o, l e et e la longueur et l allongement à l équilibre, l et la longueur et l allongement quelconque et l m et m la longueur et l allongement maimal b) On considère la position à l équilibre A partir du PFD, déterminer l e en fonction de m, g k et l o c) Appliquer le PFD lorsque la masse est en mouvement Déterminer l équation horaire (t) On pourra introduire = e + X 337 Plan incliné et ressort Un point matériel M de masse m est lâché sans vitesse initiale sur un plan incliné sans frottement à une distance L d un ressort de raideur k L angle du plan incliné avec l horizontal est α 1) Identifier les forces ) Calculer les travau des forces 3) En appliquant le Théorème de l Energie cinétique, déterminer l allongement maimal du ressort 4) Calculer la vitesse maimale e α L R P α 338 Groupement série et parallèle de deu ressorts Soient deu ressorts de constante de raideur k 1 et k k 1 k Déterminer la constante de raideur équivalente k à l association de ces deu ressorts en parallèle et en série k 1 k 339 Rebond d une balle Un paradoe classique On lâche une balle sans vitesse initiale d une hauteur h sur un sol plan Le coefficient de restitution est e <1 1) À quelle hauteur la balle remonte au n ième rebond? ) Quel est le nombre théorique total de rebonds? Quelle est leur durée totale? 3) Quel est le paradoe ainsi évoqué? Comment lever le paradoe? Version

31 4 Solutions 41 Notions fondamentales 411 Unité de G [G] = m 3 s - kg -1 [k] = kg s - 41 Unité de la constante de raideur d un ressort 413 Loi de Stefan [σ] = [P] [S] -1 [T] -4 = Wm - K -4 = kgs -3 K Unités dérivées Grandeurs Unité Symbole Force Newton N : mkgs - Pression Pascal Pa : m -1 kgs - Energie Joule J : m kgs - Puissance Watt W : m kgs -3 Charge électrique Coulomb C : sa Résistance électrique Ohm Ω : m kgs -3 A - Diff de potentiel Volt V : m kgs -3 A -1 Densité Champ Magnétique Tesla T : kgs - A -1 Fréquence Hertz Hz : s Produit scalaire et produit vectoriel u v = (-1) + 11 = 0 = u v cos φ ce qui implique que cos φ = 0 et donc φ = π u v = u3 v 1= 1 = u v= u 3 v1= 8 4 = 0= 0, u v = uvsin φ= 0 sin φ= 0 φ= 0 Version

32 416 Aire d un triangle L aire du triangle est égale à la somme des produits de AH par HC et de HB par HC, le tout divisé par deu Aire = (AH HC + HB HC)/ = AB HC / AC AB = AC AB sin ( BAC) AC AB HC HC = sin AB ( BAC) = AC 1 Aire = AC AB A C H B 417 Double produit vectoriel et scalaire Version

33 4 Mécanique du point matériel 41 Automobile accélérant a) L accélération est uniforme donc γ= cte, l automobile se déplace en ligne droite donc on dv peut projeter la relation sur un ae et γ = cte Or γ= dv =γ dt, il ne reste qu à intégrer : dt dv = γ dt =γ dt + =γ+ =γ+ Reste à déterminer la constante qui donne : v A t B v t C C, pour cela on utilise les conditions indiquées dans le tete À t = 0, v = v 1 = C et à t 1 = 15s, v v1 v = v, on a donc v = v 1 + γ t 1 qui donne γ= =1,85 ms - t1 v3 v v3 v b) L accélération étant constante : γ= t 3 = = 0,9 s t γ 3 4 Représentation graphique du mouvement Entre t = 0 et t = t 1 = s, γ = m/s² γ = dv/dt => v = γt = t d/dt = t => = ½ γ t² = t² à t = t 1, 1 = 4m et v 1 = 4 ms -1 Entre t = t 1 et t = t = 5s, γ = 0 m/s² γ = dv/dt => v = cte = v = 4 ms -1 d/dt = 4 => = 1 + v (t t 1 ) à t = t, = 16 m et v = 4 ms -1 Pour t > t = 5s, γ = -1 m/s² v t dv =γ dv dt v v dt = γ =γ t t v t = v +γ t t γ = dv/dt ( ) ( ) ( ) v t d = v +γ( t t) d ( v ( t t) ) dt dt = +γ t 1 () t = + ( v γt)( t t) + γ( t t ) v = 0 pour t 3 = 9 s (t 3 ) = 4 m t Version

34 Accé lération Hmês²L thsl Vitesse 4 HmêsL thsl Position HmL thsl 43 Course de 100 m Pierre, coureur 1 t 1 = 18 s, v 1 (t 1 ) = 95 ms -1 Patrick, coureur, t = s, v (t ) = 96 ms -1 1 Pierre : v1 t1 dv v a = dv adt a dt = = t 0 0 v t dv v1 v1 a = dv = dt v = t dt t t t d v v 1 = t d tdt 1 v1t1 855m dt t = = = t Version

35 Il lui reste à parcourir d = m à la vitesse constante v 1 en un temps t 11 = d/v 1 = 96 s Le temps de la course est donc : T = t 1 + t 11 = 1143 s Patrick : Les mêmes calculs mènent à : T = 115 s Pierre gagne la course avec 009 s d avance à l arrivée Quand Pierre franchit la ligne, Patrick est en position : (T Pierre ) = + v (T Pierre t ) = 9913 m Il est donc 87 cm derrière la ligne 10 km 44 La mouche 45 Attaque d une banque On pose l origine en B On a donc : v A = 80 km/h, 0A = -80 m, y 0A = 30 m v 0B = 0, 0B = 0, y 0B = 0 t da v A = d A = v Adt d A = v Adt A() t = 0A + v At dt 0A 0 vb t dv B B B B B B B() B dt 0 0 yb t γ = dv = γ dt dv = γ dt v t = γ t dy 1 v t = dy = v dt = γ tdt dy = γ t dt y t = γ t B () () B B B B B B B B dt 0 0 0A ti A( ti) 0B 0 = = = v A A l impact : y0a = yb ( ti) y0a y0a γ B = = v A = 0,6 kmh ti 0A 46 Chute libre et rencontre Corps A : h A = 800 m Il est soumis à son poids Corps B : v 0 = 00 m/s Il est soumis à son poids dva dya P= mg= mγ γ = g= va() t = gt = dya = gtdt dt dt ya A A A ha 0 yb t 1 dy = gt dt y () t = h gt vb t dv B dyb g dv B gdt v B() t v0 gt dyb ( v0 gt) dt dt dt v0 0 γ= = = = = = t 1 dy = ( v gt ) dt y ( t) = v t gt B 0 B A la rencontre : ( ) ( ) 1 1 ha ya ti = ha gti = yb ti = v0ti gti d où : ti = = 4 s yi = 70 m v 0 Version

36 47 Vitesse constante sur route La force normale est le poids de l automobile L accélération de pesanteur est g = 10 ms - Le poids est égale à : P = mg = = N F = µn = 0, = 600 N 48 Malle sur un parquet La force normale est le poids de la malle F 00 µ s = = = 0,4 N 5010 Sur le plan incliné, l angle est donné par la relation : tan a = F f / N = µ Pensez à tracer les vecteurs dans un triangle 49 Boule de bowling dv On suppose un mouvement rectiligne accéléré γ= dv =γdt v =γ t + v i dt d 1 v = d = vdt = γ t + vit+ i La combinaison des deu équations, en éliminant dt v v t = i 1 v vi v vi, donne : i = γ + vi v vi = γ( i) γ γ γ On en déduit : γ = ms - La force normale est le poids et donc : F f = µ mg D après le principe de la dynamique, sur l ae du mouvement, seule la force de frottement γ 0,09 3 agit et donc : F f = µ mg = mγ => µ = = = 9, 10 g 9, Equations paramétriques 1) (t) = v0 t = 4 t ; y(t) = 0 ; z(t) = -1/ γ t = -4,9 t ) vm () t = 4i 9,8 t k -1 v 0,5 = 4i 4,9 k v 0,5 = 4 + 4,9 = 6,33 ms A t = 0,5, ( ) ( ) ( ) M M 411 Terrain de volley 1 Le système considéré est le ballon Le ballon est soumis à une seule force, son poids Le PFD donne : P = mg = mγ Les conditions initiales sont : A t = 0, z = z 0 = m, v (0) = v 0, v z (0) = v z0 En 1 = 10 m, z 1 = 7 m En F = 185 m, z F = 0 m On pose un repère Oz et l on projette la relation vectorielle sur les deu aes On intègre sur le temps : Version

37 dv = 0 v () () t v0t t cte v = γ = 0 dt = = 0 g dv 1 γ = v () t = gt+ v = g z() t = gt + v t+ z dt L équation de la trajectoire s obtient directement : 1 vz0 z = g + + z 0 v0 v0 On doit donc résoudre le système d équations : 1 1 vz0 z1 = g + 1+ z 0 v0 v0 1 F vz0 0 = g + F + z 0 v0 v0 1 F v0 vz0 = g z0-1 v 0 F v0 = 157 ms -1 1 F 1 v vz0 39 ms 0 = g1 = F Fz1 Fz0 1z0 Tan α = v z0 / v 0 donne α = 14 z z z z0 z0 0 3 Cela revient à déterminer la solution de l équation : ( ) vz0 vz0 z0 t F = + + = 117 s 1 z tf = gtf + vz0tf + z0 = 0 g g g Une autre solution plus astucieuse consiste à utiliser la relation : t = v tappliquée en F connaissant l epression de v 0 On a donc : ( ) 0 = F t F 1 F g 1 1 F z z z F 1 F Accélération proportionnelle à la vitesse dv γ= v = v, on cherche une fonction qui dérivée donne elle-même à une constante dt près La fonction eponentielle répond à cette condition ; on cherche le vecteur vitesse sous la at forme : v = b e w dv, on obtient par substitution : ba e at w b e at w dt = = d où l on tire : -t v = b e w En tenant compte de la condition initiale : à t = 0, -t v = 4u = b w b = 4,w = u v = 4 e u 413 Mouvement rectiligne uniformément accéléré v = v o + γ (t-t o ) = ½ γ (t-t o ) + v o (t-t o ) + o Version

38 (t-t o ) = (v - v o )/γ injecté dans l epression de - o On trouve : v - si γ = 0, v = v o et = v o (t-t o ) + o v o = γ ( - o ) 1) 414 Equations horaires d / dt 6t + 8t dv / dt 1t + 8 v = dy / dt = t,a = dv / dt = dz / dt dv / dt 0 y z ) En Oz, y = 0 Il faut résoudre t t + 1 = 0 = (t - 1) = 0 => t = 1 Dans ce cas : 14 v = 0 v = 14 + = Equation paramétrique Trajectoire 1) t = y = 0, +, ) v() t v( 0) v( 0) = = 9,43 10t Plus vite que son ombre? LD LO LD = donc : AD = OB LD et LO sont fies, par AD OB LO conséquent : LD va = v B La vitesse de l ombre est constante LO B A L D O 417 Cric d( OO1 + O1B) vb = or OO1 = O1B d où : vb = v B1 dt La longueur AB est constante, on utilise cette propriété : do1b do1a OB + 1 OA = 1 AB OB 1 OA 1 0, dt + dt = or tan OB 1 α= et donc : OA do1b 1 do1a + = 0 et finalement : vb1 = 1 va1 v B = v A1 dt tan α dt tan α tan α 418 Questions 1) Est-il suffisant quel le vecteur vitesse d un point soit constant pour que ce point soit en mouvement 1 Version

39 c) rectiligne? d) uniforme? Solution : v= cte implique que le vecteur vitesse a une direction, un sens et une norme constante donc oui au deu questions ) Un système qui se déforme peut-il être en translation? Solution : Non, la position finale de tous les points du système doit pouvoir se déduire de leur position initiale par translation or la translation conserve les distances 4) Un point se déplace d un mouvement uniforme Comment doit être sa trajectoire pour qu il ait un vecteur vitesse constant? Solution : Un vecteur vitesse constant signifie une direction et un sens constant Comme le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire, cela signifie que la trajectoire est nécessairement une droite 5) Une personne se trouve dans un ascenseur qui est accéléré vers le haut Qu indique un pèse-personne? Solution : Il indique le poids plus la masse de la personne multipliée par l accélération, le tout normé par l accélération de la pesanteur La personne voit donc sa masse augmentée 6) Lors d un orage, pourquoi percevons le bruit du tonnerre après avoir vu l éclair? Solution : La vitesse du son est très inférieure à celle de la vitesse de la lumière 7) Un aérostat se déplace avec le vent en direction du Nord Dans quelle direction les drapeau sur sa nacelle se dirigent-ils? Solution : L aérostat se déplace avec le courant d air Sa vitesse est donc nulle par rapport à l air qui l entoure Les drapeau pendent donc verticalement 8) Quel rôle joue la friction lors de la marche des êtres vivants? Solution : Lorsque l on marche, on ne peut porter une jambe en avant que si le reste du corps va en arrière Sur une surface glissante, il ne se passe rien (vous avez pu constater comme il est difficile d avancer en marchant sur de la glace) Mais quand la friction s avère suffisante, le recul du corps ne se produit pas et le centre de masse du corps se trouve projeté en avant Le pas est fait La friction qui est une force de frottement crée le mouvement! Version

40 9) La mouche dans le bocal La solution est la suivante : - Soit la mouche vole horizontalement, à la même hauteur que son point de départ sur la paroi Elle appuie avec ses ailes sur l air avec une force égale à sa masse Cette pression est transmise au fond du bocal comme si elle était toujours sur la paroi En conséquence, la balance ne bouge pas - Soit elle bouge vers le haut ou le bas, c'est-à-dire qu elle change d altitude Dans ce cas, la balance oscille faiblement vers le haut ou le bas suivant le déplacement de la mouche Précisons ce dernier point : Imaginons tout d abord que le bocal fermé contenant la mouche se trouve quelque part dans l espace Que se passe-t-il quand la mouche bouge? Le système {bocal + mouche} forme un système isolé Si une force intérieure quelconque déplace la mouche vers le haut, le centre de masse du système ne conserve sa position que si le bocal se déplace vers le bas Ainsi, si la mouche monte, le plateau va descendre Il faut ajouter que le vol de la mouche, vers le bas ou le haut, est supposé accéléré Un vol à vitesse constante ne provoque aucun changement dans la valeur de la pression du bocal et par conséquent aucun mouvement du plateau 419 Palet glissant sans frottement On définit un repère d origine O et d aes O et Oy, à t = 0, le y R point est en = 0 et y = 0 Le solide est soumis à son poids P dirigé verticalement vers le bas et à la réaction du sol R vo O dirigée elle vers le haut Le solide ne s enfonce pas dans le sol et ne se soulève pas de celui-ci, P d après le principe de l action est de la réaction les deu forces se compensent Aucune force n agit sur l ae O, la relation fondamentale de la dynamique s écrit donc : P + R = mγ On projette la relation sur Oy : γ y = 0, -P + R = 0 => P = R v y = 0, y = 0 On projette la relation sur O : γ = 0 On retrouve bien qu à l équilibre, l accélération est nulle On intègre l accélération pour obtenir la vitesse : v = v o On intègre la vitesse pour obtenir l équation horaire : = v o t La trajectoire est une droite 40 Echelle 1) Le système est l échelle Les forces appliquées sur l échelle sont : R N, la réaction normale du sol, R T la réaction tangentielle du sol due au frottements statiques, R m la réaction du mur, P e le poids de l échelle dont le point d application est le centre de gravité de l échelle, P h le poids de l homme On applique le principe fondamental de la dynamique : R + R + R + P + P = 0 qui donne deu relations : N T m e h M P h R m H E P e R T R S N y R m = R T Version

41 R N P h P e = 0 Ces deu relations ne sont pas suffisantes pour déterminer l ensemble des forces On applique le principe fondamental de la dynamique au moments des forces, le point d application est le point S SM R m + SE Pe + SH Ph = 0 SM R sin SM,R + SE P sin SE,P + SH P sin SH,P = 0 En développant : m ( m) e ( e) h ( h) 1 π π R msin ( π α ) + Pesin α+ + Phsin α+ = Rmsin( α ) + Pe + Ph cos( α ) = 0 3 On a donc trois relations : R m = R T R N P h P e = 0 1 Rmsin( α ) + Pe + Ph cos( α ) = On en déduit : RT = Pe + Ph cotg ( α) 3 En l absence de frottement, R T = 0 implique que α = π/ ce qui se traduit par le fait que l échelle tient en équilibre verticalement Il s agit d un équilibre instable ) L angle limite est celui pour lequel la réaction tangentielle R T est égale à R T =µ R N En remplaçant par l epression de R N, on trouve l angle limite : 1 μ ( Pe + Ph) μ ( Pe + Ph) = Pe + Ph cotg ( α), d où cot g ( α ) = et finalement : 3 1 Pe + Ph 3 1 Pe + Ph arctan 3 α= = 577 μ ( Pe + Ph) 41 Trajectoire d un javelot 1) Le javelot est soumis à son propre poids P = mg L origine du repère est le pied du lanceur On se place dans le plan 0z ; Les conditions initiales sont les suivantes : Positions : (0) = 0, z(0) = h o vitesses : v (0) = v o cos α, v z (0) = v o sin α g = g e ) D après le PFD, F et = m γ, soit P = mg = mγd où γ= g On projette la relation γ = 0 vectorielle sur les deu aes O et Oz γ z = g On intègre entre 0 et t et obtient, en tenant compte des conditions initiales : v (t) = v o cos α z Version

42 v z (t) = v o sin α gt On intègre une fois de plus : (t) = v o t cos α z(t) = - ½ g t + v o t sin α + h o En isolant t, on obtient l équation de la trajectoire : z = - ½ g /( v o cos α) + tan α + ho C est l équation d une parabole, l allure de celle-ci est : z vosinα hog 3) Le javelot touche le sol lorsque z = 0, au temps : td = 1+ 1+, il lui g vo sin α v0sinα h0g correspond l abscisse : d = g v0 sin α 4) Il faut déterminer les deu vitesses sur les aes au temps t d On a : v ( td) = v0 cosα hog vz ( td) = v0sinα 1 + vo sin α hog On en déduit l angle β : tan β= tan α 1 + Si la hauteur initiale est nulle alors les vo sin α deu angles vérifient la relation : tan β = tan α et donc dans ce cas, on a : β = π α 5) Si l on trace l évolution de la distance maimale en fonction de l angle d incidence, on obtient une courbe de type : Version

43 40 d α dd L équation à résoudre est simplement = 0 et vérifier que la valeur obtenue correspond à dα un maimum de d Dans le cas particulier où h o est nulle et avec α compris en 0 et π/ : α = π/4 Dans le cas contraire, la dérivée de d est, pour tout α compris entre 0 et π/ : gho+ vo αd i j 1 + $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 1 + ghocsc@αd y vo z k { g $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 1 + ghocsc@αd vo Elle est positive pour αma arcsin v 0 g h v ( 0 + 0) est maimal pour α ma La valeur correspondante est alors : et négative au dessus Par conséquent d v0 + g h 0 g h 0 dma = 1 g g h0 + v0 6) La hauteur maimale est atteinte lorsque la dérivée de z() par rapport à est nulle, soit dz 0 d = z vo sin α ma = ho + g 7) La résistance de l air ajoute une force opposée au mouvement Selon la vitesse de l objet considéré, elle est proportionnelle à la vitesse ou au carré de la vitesse (vitesse élevée) On a P+ F= mg un système du type δ δ est typiquement compris entre 0 et 4 F = k v v Version

44 4 Balistique: tir au pigeon Le mouvement de la balle de fusil peut être décrit par : 1() t = v1cosα1( t t0) g qui donne pour trajectoire : y1() t = v1sinα1( t t0) ( t t0) ( + tan α ) g1 y = tanα v1 De même pour le pigeon : () t = 0 + vcosαt g y() t = vsinαt t et ( ) ( + tan α ) ( ) g1 y = tanα 0 0 v Au point d impact les coordonnées sont égales et donc : y = y 1 avec le même, cela revient à résoudre une équation du second degré en On a deu solutions Si celles-ci sont complees, cela signifie que la vitesse de la balle ou l angle α 1 est trop petit devant la distance 0 Une fois que l on a les solutions réelles acceptables, on impose que les projectiles y passent en même temps On trouve alors deu solutions, deu temps autorise l impact 43 Glissement sans frottement sur un plan incliné 1) Bilan des forces présentes : Le poids dirigé vers les z négatifs La réaction du support perpendiculaire à ce dernier, et la tension du fil parallèle au plan PFD à l équilibre : P + T + R = 0 On projette la relation vectorielle sur les Z et X : T+ mgsinα = 0 T = mgsinα et donc R mgcos α = 0 R = mgcosα ) On remplace T par F f = µr On a donc : mg sin α = µ mg cos α d où µ = tan α 3) Bilan des forces : Poids et réaction du support Les deu forces n étant pas colinéaires, il ne peut y avoir équilibre PFD : P+ R = ma L accélération selon 0Z est nulle, seul l accélération sur 0X est non nulle mg sin α= ma X gsinα= X d où l on déduit R mgcos α = 0 R = mgcosα Y = vy0t D après les conditions initiales, à t = 0, 1, l équation de la trajectoire X = gsin α t + v0t 1 gsin α v0 est : X = Y + Y : parabole v v y0 y0 4) a) La force a pour unité le Newton ou kgms - [k] = kgs -1 b) Version

45 Y y Z X z α R P F = kv Bilan des forces : P + R + F = mγ mg sin α e mg cos α ez + Rez kv = mγ Le solide reste en contact avec le support, par conséquent, l accélération est selon OX ainsi que la vitesse et donc la force de frottement c) mg cos α+ R = 0 dv mg sin α kv = m dt d) Recherche solution particulière : v =, donc R = mg cos α et Recherche de la solution sans second membre : dv k v gsin dt + = α m mg sin α k dv k + v = 0, on trouve dt m v (t) k t m = a e La solution générale s écrit comme la somme d une solution particulière et de la solution de k t mg m l équation sans second membre : v (t) = a e + sinα k mgsin α En tenant compte de la condition initiale sur la vitesse, on obtient a = v0 k mgsin α Lorsque t tend vers l infini, la vitesse tend vers vlim = k k t m ( 0 lim) lim v (t) = v v e + v X t k t m dx = v0 v lim e + vlim dt e) ( ) 0 0 k m t m X() t = ( v0 vlim ) 1 e + vlimt k 44 Freinage d un parachutiste Lorsque le parachutiste atteint sa vitesse limite, la somme des forces est nulle, on a donc : mg = 0 v², on en déduit immédiatement v = 7 ms Serrage d écrou F = M/d = 4,5 N F = M/(d sin α) = 9 N Version

46 46 Balance en équilibre La solution donnée par la grande majorité des candidat est la suivante : lm 1 1 = lm donnant immédiatement la valeur de la masse cherchée Le résultat est bon mais il n est pas justifié l 1 l M 1 M O Le système considéré est la balance avec un point fie O Les forces en présence sont les poids P 1 et P ainsi que la réaction de la balance (sans laquelle elle tomberait ) Le bilan des forces est : R + P 1+ P = 0 qui donne R = m + m g immédiatement : ( ) 1 P 1 P L équilibre des moments donne : OP1 P1+ OP P = 0 où P 1 et P sont les points d applications des poids Les propriétés du produit vectoriel amène à OM1 P + OM P = 0 et donc à lm 1 1 = lm m 1 = 400 g 1 1) ) 47 Clé plate A 60,B 40,C M A = OA A = 0 60 = 0, M A = 70Nmm = 0, 7Nm o o o ( ) o( ) M B = OB B = 0 40 = 0, M B = 880Nmm = 0,88Nm ( ) o( ) M C = OC C = 0 50 = 0, M C = 1550Nmm = 1,55Nm ( ) o( ) ) a) La force C car c est elle qui engendre le moment le plus élevé b) La force A au point C : OC A = 0 60 = 0, M = 1,86Nm Le bâton plié sur le pivot La masse est égale de chaque côté, donc le poids est identique En revanche les centres de masse, soient les points d application des deu forces ne sont plus équidistants du pivot Le moment des forces n est plus égal Il y a déséquilibre Pour retrouver le nouvel point d équilibre, on applique le moment des forces Version

47 Soit µ la masse linéique : µ = M/L Soit G le nouveau centre d inertie Le bâton est soumis à quatre forces La réaction du support en G Les trois poids en G A, G O et G C, milieu des segments GA, GC et OC P A = µgag, P O = µgog, P C = µcog L GO OC L GGA = OA OG = OG,GG O =,GGC = OG + = OG + 8 On effectue la somme des moments L GGA PA + GGO PO + GGC PC = 0 OG = 16 A G O C 49 Poulies et traction 1) Il faut considérer deu systèmes formés par les deu poulies La première poulie supportant la masse : Les forces appliquées sur cette dernière sont : le poids dû à la masse M, la tension du fil relié au support, la tension du fil transmis par la deuième poulie La seconde poulie où s eerce la contre réaction : Les forces appliquées sont la force de traction, la tension du fil due à la première poulie et la réaction du support en son centre E P+ Ts + Tp = 0 Ts + Tp = mg OMTs Ts + OMTp Tp = 0 Ts = T p OMF F + OMTp Tp = 0 F = T p 1 F = mg F = mg AN : F = 5 N ) La masse se soulève de 05 m, le travail du poids est donnée par l epression W p = mgh, on a donc W p = = -5 J car il est résistif Le travail effectué est donc l opposé de cette valeur W = 5 J Le travail de la force est donnée par W f = F l = 5 J, on a donc : l = 1 m, soit l = h 3) Le principe du palan est de mettre à la suite des poulies fies et libres afin de réduire l effort Il est facile de montrer que l effort pour soulever une masse est divisée par deu pour chaque poulie libre M 430 Calcul d énergie cinétique E c (v) = ½ m v = 0, = J E c (v) = 4 E c (v) = J 431 Énergie potentielle du ressort F = k, k = F/ = 1/0,01 = 100 SI, Version

48 E p = ½ k = 0, ,01 = 0,5 J 43 Attention au train Solution : a) E c1 = ½ m v = 0, (100/3,6) = 1, J, b) Par application du théorème de l énergie cinétique pour un système conservatif, on a conservation de l énergie mécanique, somme de l énergie cinétique et de l énergie potentielle On a donc E c1 + E p1 = E c + E p Or E p1 = 0 et E c = 0 On a donc : E p = mgh = > h = 1, / ( ,8) = 39,5 m 433 Energie nécessaire de poussée Par définition, le travail est : dw = Fd W = Fd = F = 3003 = 900 N Il n y a pas de variation d altitude donc l énergie potentielle reste constante F = µr avec R réaction du sol et donc égale et opposé au poids, µ=f/r = 300/750 = 0,4 434 Puissance de montée L énergie nécessaire pour monter l escalier est de : E = mgh = = 50 J La puissance vaut : P = E/t = 50/5 = 450 W La hauteur est donnée par : h = E canette / mg = /750 = 40 m Si l on admet qu un étage d un immeuble mesure,40 m, cette hauteur correspond à 10 étages 435 Bateau à moteur Par définition, la puissance est le produit scalaire de la vitesse par la force On a donc ici : P = F v Le mouvement étant rectiligne uniforme, la force de traction est égal et opposée à la force de frottement On a donc : F f = P/v = / 77 = 1485 N 1) a) 436 Ressort horizontal et vertical l o m A k M e l f P Le point matériel est soumis à deu forces, son poids P = mg et à la force de rappel due au ressort F= k e b) Travail du poids entre les positions m et : perpendiculaire à la force Travail de la force élastique : m P W = mg e d = 0car l allongement est m 1 1 W = k e e d = k + k F m Version

49 1 c) ΔE c = 0 mv D après le théorème de l énergie cinétique : W = ΔE c se traduisant k + mv = km par : k + km = mv On a donc : Ep + Ec = Em k d) La vitesse maimale est obtenue lorsque l allongement est nul, soit vma = m m d k e) Immédiatement : + = 0 Par identification à (t) = a cos(ωt+φ), on trouve : dt m k ω =, a = m et φ = 0 La solution s écrit finalement : (t) = m cos ω t avec m π m 1 k pulsation propre La période et la fréquence sont : T= = π,f = ω k π m f) D après le PFD, F d et = m γ, soit en projetant sur l ae, k = m dt )a) À vide À l équilibre En mouvement e A Allongement maimal k ω= la m l o k l e l l m f P M b) A l équilibre, P + F = 0 soit mg e kee = 0 mg mg e =,le = l 0 + k k d c) PFD : P+ F= ma soit : mg k m dt = 0 dx e mg k kx = m dt soit : e f P f P m avec e = le l0 et donc : = On pose = e + X On a alors : dx k X 0 dt + = On cherche X(t) sous la forme : m X(t) = a cos(ωt+φ) X(0) = ( m - e ) = a cos φ X (0) = 0 = -a ω sin φ Ceci implique que φ = 0 k et a = m - e De la même manière qu au 1), on trouve que ω= et finalement : m k k X(t) = ( m - e ) cos t m et (t) = e + ( m - e ) cos t m Version

50 437 Plan incliné et ressort 1) Le poids P = mg, la réaction du plan incliné R La force de rappel du ressort : F = k e ) R est orthogonale à la direction de propagation et pas conséquent le travail de la force est nul Travail du poids entre la position initiale (M à -L du ressort) et une position intermédiaire : W = mg e d = mg sin α d = mg sinα + L P Travail de la force élastique : ( ) L L 1 W = k e F ed = k d = k 0 0 m = mg sin α + L k 1 d 1 3) ( ) Lorsque l allongement est maimal, la vitesse est dt 1 nulle et donc : mg sinα ( + L) k = 0 Il reste à résoudre l équation du second degré mg sinα On pose : a =, m = a+ a + al k 4) La vitesse est maimale lorsque l énergie cinétique l est, on dérive l énergie cinétique par dec rapport à : mgl sin km 0, d = α = m = a 438 Groupement série et parallèle de deu ressorts Association en parallèle : Pour allonger le ressort de, il faut fournir la force F 1 = k 1 et F = k, la somme des forces est donc : F = (k 1 + k ) = k d où l on déduit : k // = k 1 + k Association en série : On considère le point A situé entre les deu ressorts et le point B situé à l etrémité du ressort () En B, la force eercée est : F= k( l l0) e À l équilibre, le point A est immobile ce qui implique que la somme des forces appliquée en ce point est nulle La force eercée par le ressort (1) est : F1 = k1( l1 l01) e La force eercée par le ressort () est : F = F=+ k( l l0) e, on a donc : F1+ F = 0 F1 = F En B, on a donc : F1 F 1 1 F= k( l l0) e = k( l l0 + l1 l01) e = k = k + F k1 k k1 k ce qui implique : k + = 1 = + k1 k ksérie k1 k Version

51 439 Rebond d une balle Un paradoe classique 1) 1 er rebond : Chute de h : la balle arrive au sol à une vitesse : mgh = ½ m v o => v0 Au rebond, v 1 = e v o et donc on détermine h 1 / mgh 1 = ½ m v 1 => h 1 = e h = gh ème rebond : après être remontée jusqu à h 1, elle chute d autant, arrive à la vitesse v 1 sur le sol et rebondit avec une vitesse v = e v 1 On détermine h / mgh = ½ m v => h = e h 1 = e 4 h n ième rebond : h n = e n h ) Le nombre de rebond théorique est infini! Un objet avec une vitesse nulle lâché dans le vide suit la loi : z =½ g t h hn On a donc : t0 = et t n = g g Le temps total est : h 1+ e T = t 0 + (t 1 + t + t t n + ) On a donc : T = g 1 e Vous pouvez vous amusez à démontrer que la distance parcourue par la balle est finie et égale 1+ e à : H= h 1 e 3) Le paradoe est donc le suivant : la balle rebondie un nombre de fois infini mais parcourt une distance finie et ce pendant un temps fini La physique classique ne permet pas de lever le paradoe si l on suppose l epérience parfaite sans résistance de l air et autres effets perturbateurs La solution est peut être à rechercher dans la mécanique quantique Version