Abstract. Key-words: The flowshop problem, Heuristics, Job scheduling, Total flowtime.

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1 Abstract Since the flowshop scheduling proble has found to be an NP-coplete proble, the developent of heuristic algoriths that give better solutions becoe necessary. In this paper we discuss how to resolve the flowshop proble using heuristic ethodes, we were based on the study of [RAJ 91] in which three heuristic algoriths with the objective of iniizing total flowtie are proposed. In our paper we have detailed the concept introduced and given proofs of the principle forulas used in the algoriths presented. Our paper can be viewed as a contribution to understand better how to develop heuristic solution choosing the best iniizing criteria. Key-words: The flowshop proble, Heuristics, Job scheduling, Total flowtie.

2 2 Une étude d'approches heuristiques pour l'ordonnanceent des jobs dans le "flowshop" * Tayeb LEMLOUMA INRIA Rhône Alpes, Zirst avenue de l'europe - Montbonnot Saint Isier Cedex - France Tel Tayeb.Leloua@inrialpes.fr Résué Puisque l'ordonnanceent des jobs dans les problèes de flowshop représente un problèe NP-coplet, le développeent des algorithes heuristiques qui donnent des solutions approchées devient nécessaire. Cet article discute la résolution du problèe flowshop en utilisant les éthodes heuristiques, il est axé sur l'analyse de l'article [RAJ 91] de Rajendran et Chaudhuri dans lequel trois nouveaux algorithes sont proposés dans le but de fournir des solutions proches des solutions optiales et eilleures de celles trouvées par les éthodes qui existent déjà. Dans notre étude, nous détaillons les concepts introduits et nous donnons quelques preuves concernants les principales forules athéatiques utilisées dans les algorithes présentés. Notre article peut être vue coe une contribution pour coprendre les écanises de base du développeent des solutions heuristiques. Mots clés Le problèe de flowshop, Heuristiques, Ordonnanceent de job, Flowtie total. 1 Introduction Généraleent, le ot "heuristique" est utilisé pour décrire un algorithe ou une procédure qui se base sur des expériences pratiques. Ce ot a été utilisé dans le passé pour dénoter la prograation heuristique [SIM 58, SIM 61] qui s'appliquait dans les problèes de gestions [KAR 64, KUE 63, SIM 60, TON 61]. Dans [KUE 63] on trouve une interprétation détaillée du concept d'heuristique et d'algorithique. Les techniques heuristiques sont utilisées généraleent dans le but de donner des solutions approchées et raisonnables ( du point de vue teps ) pour des problèes

3 3 dont la résolution avec les éthodes conventionnelles nécessite un teps énore voire infini. Cet article est axé principaleent sur l'étude de l'article [RAJ 91] de Rajendran et Chaudhuri, l'article introduit une approche efficace d'ordonnanceent des jobs pour le problèe du flowshop et la copare avec les éthodes qui existe déjà. Nous allons détailler les concepts introduits et nous donnons quelques preuves concernants les principales forules athéatiques utilisées dans les algorithes présentés. 2 Les heuristiques et le problèe du "flowshop" De nobreuses contributions ont été consacrées à la conception d'algorithes d'optiisation et d'heuristiques pour le problèe du flowshop. Etant donné que l'ordonnanceent des jobs dans un problèe de flowshop représente un problèe NP-coplet, le développeent des algorithes heuristiques qui donnent des solutions approchées devient nécessaire. L'article [RAJ 91] de Rajendran et Chaudhuri s'inscrit dans cette direction. Dans cet article trois algorithes heuristiques sont proposés afin de garantir des solutions consistantes qui soient proches des solutions optiales et eilleures de celles trouvées par les éthodes qui existent déjà. Le critère de iniisation, appelé aussi la fonction objective, du flowtie, ou du teps total de l'ordonnanceent des jobs dans un problèe de flowshop, est le cœur de tout algorithe d'heuristique. Ce critère est utilisé pour réduire, de la eilleure façon, les coûts du processus d'ordonnanceent [GUP 71, PAN 73]. L'article étudié introduit trois critères de iniisation, les algorithes qui les utilisent sont siples et efficaces, on les a coparé avec les heuristiques de Miyazaki, Nishiyaa et Hashioto, l'algorithe "MINIT" de Gupta et l'heuristique de Ho et Chang, qui représentent d'après une étude de littérature des problèes d'ordonnanceent, les heuristiques les plus connus et les plus efficaces qui existent. 3 Terinologie et principes générales Nous adoptons dans tout ce qui suit la terinologie suivante : n : le nobre de jobs à ordonner. : le nobre d étages du problèe flowshop. : la séquence de jobs ordonnés. t ij : le teps de traiteent du job i à l étage j. [i] : le job d'ordre i dans la séquence ordonnée. π : l'enseble des jobs non encore ordonnés. b : le dernier job de l'enseble. a, c : jobs de l'enseble π. q(, j) : le teps de terinaison de l'ordre partiel a à l étage j quand a est rajouté à.

4 4 W ba : la soe des durées d'attentes du job a quand il suit le job b dans la séquence d'ordre partielle. Soit a une séquence d'ordre partielle, i.e. un sous enseble ( de π ) de jobs ordonnés. Le teps de terinaison de la séquence a qui correspond à un étage j, q (a, j) peut être calculé par la forule suivante : q(a, j) = ax[q(, j), q(a, j-1)] + t aj. (I) La quantité q(a, j) peut être calculée d'une anière récursive en prenant coe conditions initiales : (i) q(a, 0) = 0. (ii) q(φ, j) = 0 j {1,2,,}. La condition (i) signifie que le teps de terinaison d'une séquence a de jobs en ne passant par aucun étage est nulle. La deuxièe condition signifie que le teps de terinaison d'une séquence vide de jobs est nulle pour n'iporte quel étage. Notons que q(, j) et q(a, j-1) sont incoparables, c'est pour cela dans (I) on prend le axiu des deux quantités. La figure suivante illustre les deux cas possibles, i.e. le cas q(, j) q(a, j-1) et le cas q(, j) > q(a, j-1). Les deux situations dépendent du fait que le teps de terinaison du dernier job de la séquence ( x dans la figure 1 ) qui correspond à l étage j, soit supérieur ou pas au teps de terinaison de a dans l étage j-1. Calculons aintenant q(a, 1), sachant que est une séquence quelconque de jobs ordonnés. D'après la forule (I), nous avons : q(a, j) = ax[q(, 1), q(a, 0)]+t a1. = q(, 1) + t a1. (*) ( car q(a, 0) = 0 et q(, 1) est positif ) De (*), et sachant que q(φ, 1) = 0 ( d'après les conditions initiales ) on peut conclure que : q(, 1) = t x1. (R1) De la forule (I), on peut conclure que le flowtie totale, F a, des jobs d'une séquence a est égal au flowtie des jobs de la séquence, plus le teps de terinaison du job a correspondant au dernier étage d'exécution( qui peut se calculer en utilisant (I) ). Forelleent on a : F a = F + q(a, ). (II) x

5 5 étages j j-1 x x a q(,j) q(a, j-1) teps (a) Cas où q(, j) q(a, j-1). étages j j-1 x a x q(,j) q(a, j-1) teps (b) Cas où q(, j) >q(a, j-1). Figure 1: Les deux cas concernant la terinaison de (a, j-1) et (, j). 4 Principes des algorithes heuristiques Si un job a ne fait aucun retard durant l'exécution des différents étages, son teps de terinaison correspondant au dernier étage, ( sachant que a suit le job b dans la séquence ) est : q(a, ) = q(, 1) + t aj. (III) La figure 2 ontre cela. Si le job a fait des attentes durant son exécution, le teps de terinaison devient : q(a, ) = q(, 1) + W ba + t aj. (IV) La quantité W ba représente l'attente que fait le job a durant son exécution s'il suit le job b dans l'ordre. Cette quantité se calcule coe suit : j = 1 j = 1 W ba = ax[q(, j) - q(a, j-1),0] (V) j = 2

6 6 étages t a 3 t a3 2 t a2 1 b t a1 teps Teps de terinaison du job a Figure 2: Le teps de terinaison d'un job. Cette forule est basée sur le calcul du axiu entre q(, j) - q(a, j-1) et 0, car la quantité Q = q(, j) - q(a, j-1) peut être négative, nulle ou positive. Dans le cas où il n'y aurait pas de teps d'attente, Q sera négative ou nulle coe le ontre la figure suivante : étages j j-1 a D a q(,j) q(a, j-1) teps (a) Cas où D < 0.

7 7 étages j j-1 a a q(,j) q(a, j-1) teps (b) Cas où D = 0. Figure 3: L'absence d'attente du job a durant son exécution de l étage j. Dans le cas où D serait positive, cela signifie que le job a attend une certaine durée avant qu'il entae l étage j. Cette durée est exacteent égale à D. En utilisant le résultat (R1) que nous avons déontré, la forule (IV) peut être réécrite de la façon suivante : q(a, ) = t [i]1 + W ba + t aj. (VI) Rappelons que [i] représente le job d'ordre i dans la séquence, et n' est le nobre de job dans cette séquence. Calculons aintenant le flowtie total quand tous les jobs du systèe deviennent ordonnés. On a d'après la forule (II) : F a = F + q(a, ). On peut la réécrire sous la fore suivante : F = q([1], ) + q([1][2], ) + + q([1] [n-1], ) + q([1]..[n], ). n = q([1], ) + q([1]..[i], ). i = 2 n' i = 1 Avec n est la taille de la séquence, et [1]..[k] représente la sous séquence ordonnée des k preiers jobs de. D'un autre coté on a : q([1], ) = q( φ[1], ). Donc d'après (VI) on a : q([1], ) = t [1]j. Car le job [1] est le preier dans la j = 1 séquence ordonnée et donc il n'existe aucun job ( b ) qui le précède, ce qui justifie le 0 fait que la quantité t [i]1 + W b[1] soit nulle. i = 1 Par conséquent on a : j = 1

8 8 n F = t [1]j + q ([1]..[i], ) j = 1 i = 2 n i-1 = t [1]j + ( t [j]1 + W [i-1] [i] + t [i]j ) j = 1 i = 2 j = 1 j = 1 n i-1 n n = t [1]j + t [j]1 + W [i-1] [i] + t [i]j j = 1 i = 2 j = 1 i = 2 i = 2 j = 1 n i-1 n n = t [j]1 + W [i-1] [i] + t [i]j i = 2 j = 1 i = 2 i = 1 j = 1 n-1 n n = (n-i) t [i]1 + W [i-1] [i] + t ij i = 1 i = 2 i = 1 j = 1 (VII) Notons que la quantité F cuule les durées d'attentes ( W [i-1] [i] ) des jobs [i] durant les différents étages. Afin de iniiser le teps de traiteent, il est préférable d'ordonner les jobs les plus courts avant les jobs qui nécessitent plus de teps de traiteent [CON 67, SZW 83]. Dans le cas où les jobs qui consoent un grand teps de traiteent sont ordonnés au début, les jobs qui suivent dans l'ordre auront de grandes durées d'attente ce qui augente le flowtie totale. Rajendran et Chaudhuri proposent dans [RAJ 91] trois critères heuristiques : 1) ax[q(a, j-1) - q(, j), 0]. j = 2 2) abs[q(a, j-1) - q(, j)]. j = 2 3) abs[q(a, j-1) - q(, j)] + q(a, j). j = 2 j = 1 Le preier critère représente la soe des durées de repos. Une durée de repos ( idle tie ) pour un job a et un étage j, est égal au axiu de q(a, j-1) - q(, j) et zéro sachant que est la séquence des jobs déjà ordonnés. La durée de repos représente la durée d'inoccupation d'un étage j avant qu'un job a entaera cet étage. Le deuxièe critère considère la soe des durées de repos et d'attentes. Le troisièe critère considère, en plus des facteurs utilisés dans le deuxièe critère, le teps de terinaison de l'ordre partiel résultant à chaque étage. 5 Algorithes heuristiques I) Preier algorithe : Le preier algorithe présenté dans [RAJ 91] consiste à exécuter les étapes suivantes : Etape 1 : Initialiser ( la séquence des jobs ordonnés ) à vide et n' ( le cardinal de

9 9 ) à zéro. Etape 2 : Incréenter n' de 1. Etape 3 : Calculer q(c, j) de j = 1 à n et pour tout job c appartient à π ( l'enseble des jobs non encore ordonnés ). Etape 4 : On utilise dans cette étape le preier critère heuristique de la anière Suivante : Une séquence a est préférée que c si : ax[q(a, j-1) - q(, j), 0] ax[q(c, j-1) - q(, j), 0]. (VIII) j = 2 j = 2 A la fin de cette étape un job a est choisi, par conséquent la séquence a est la eilleure séquence qui vérifie le preier critère proposé. Etape 5 : Rajouter le job a à la séquence et appeler la séquence résultante, ettre à jour les durées de terinaison pour chaque étage et éliiner le job a de l'enseble des jobs non encore ordonnés. Etape 6 : Si n' = n-1 alors aller à l'étape suivante, sinon retourner à l'étape 2. Etape 7 : Rajouter le dernier job qui reste à la séquence et calculer sa durée de terinaison pour chaque étage. Calculer le flowtie total de l'ordre final. II) Deuxièe algorithe : Le deuxièe algorithe est exacteent le êe que preier sauf que là, l'étape 4 utilise le deuxièe critère heuristique proposé. III) Troisièe algorithe : Les étapes de cet algorithe sont les êes que le celles du preier algorithe à l'exception de l'étape 4 qui utilise le troisièe critère heuristique proposé au lieu du preier. 6 Illustration nuérique Afin de coprendre l'approche appliquée dans les algorithes proposés nous allons reprendre l'exeple introduit dans [RAJ 91], considérons un problèe de flowshop à quatre étages avec cinq jobs à ordonner. Les teps de traiteent des différents jobs sont donnés coe suit : Job Étage Tableau 1 : Les teps d'exécution des jobs. La résolution de cet exeple est faite en appliquant le troisièe algorithe proposé, le tableau suivant ontre les étapes du processus d'ordonnanceent :

10 10 φ c q(c, j) pour j La soe des durées de terinaison du job c Durée d'attente du job c Durée de repos des étages Soe totale Le job a choisi = {1} {2} {3} {4} {5} {1} {1} {12} {13} {14} {15} {13} {13} {132} {134} {135} {132} {132} {1324} {1325} {1324} {13245} Tableau 2 : Les étapes de calcul du troisièe algorithe. Coe le ontre le tableau 2, la séquence d'ordre final qui correspond au problèe précédent est = {1,3,2,4,5}. Le flowtie totale de cet ordre est égal à : F = q({1},4) + q({13},4) + q({132},4) + q({1324},4) + q({13245},4) = 374. La solution optiale du problèe est la séquence ordonnée {23145} dont le flowtie est égal à 371. Le pourcentage d'erreur de la solution calculée est donc ( )*100/371 = %. 7 Résultats expérientaux Les trois algorithes d'heuristique proposés et les algorithes déjà existants ( i.e. l'heuristiques de Miyazaki, Nishiyaa et Hashioto, l'algorithe "MINIT" de Gupta et l'heuristique de Ho et Chang ) ont été prograés en FORTRAN sous le systèe E SIMENS Mainfrae. Les expérientations ont été faites en deux phases : Dans la preière phase, 670 problèes de 5, 6, 7, 8, 9 et 10 jobs ont été générés et résolus en utilisant les algorithes heuristiques, et d'une anière optiale en appliquant l'algorithe de Bansal [BAN 77]. Les durées de traiteent des jobs ont été générées aléatoireent [CAM 70, DAN 77] dans l'intervalle [1..99]. Les procédures de test et de coparaison sont appliquées en se basant sur la déviation de la solution calculée par rapport à la solution optiale. Le pourcentage de déviation est calculé en utilisant la forule suivante : (solution heuristique - solution optiale)*100 Pourcentage de déviation = solution optiale

11 11 Nous proposons dans ce qui suit, un schéa qui copare les pourcentages de déviations oyennes des différents algorithes proposés par rapport aux algorithes qui existent déjà. Figure 4: Résultats du calcul la déviation de la solution optiale par rapport aux solutions obtenues ( # de job = 7, # de problèes = 30). La deuxièe phase d'expérientations faites par Rajendran et Chaudhuri, considère 900 problèes de flowshop ayant 12, 18, 24, 30, 40 et 50 jobs. Dans le but d'éviter la coparaison entre les résultats heuristiques, les solutions obtenues en appliquant les différents algorithes, ont été coparés avec une borne inférieure ( un inorant ) qui s'obtient de la anière suivante : On considère l'équation (VII) qui donne le flowtie totale des jobs : n - 1 n n F = (n-i) t [i]1 + W [i-1] [i] + t ij i = 1 i = 2 i = 1 j = 1 Le preier tere de cette expression peut être iniisé en ordonnant les différents jobs dans le preier étage, selon leurs teps d'exécution. Exainons aintenant le deuxièe tere, on peut voir que l'expression : ax[q(b, j-1) - q(ba, j-1), 0]. j = 2

12 12 Représente un inorant pour la soe W ba des durées d'attentes du job a, quand il est rajouté à n'iporte quel ordre partiel qui se terine par le job b. Forelleent on a : ou : W ba ax[q(b, j) - q(ba, j-1), 0]. j = 2 Posons W' a = in { ax[q(i, j) - q(ia, j-1), 0], i = 1,2,,n et i a} (IX) j = 2 Cette quantité représente la soe iniale des durées d'attente pour le job a. Pour construire la borne inférieure, on suppose que tous les jobs de l'ordre final ont des durées d'attente iniales. L'expression suivante représente donc la borne inférieure des soes des durées d'attente, i.e. de W [i-1] [i] : ax[q(, j) - q(a, j-1), 0] ax[q(b, j) - q(ba, j-1), 0], tel que se terine j = 2 j = 2 par b. n i = 2 n W' i - ax[w' i, i = 1, 2,, n] i = 1 Notons que le tere ax[w' i, i = 1, 2,, n] est enlevé, car le preier job ordonné, a une durée d'attente nulle, donc pour que l'expression précédente soit iniale on a enlevé la valeur axiale des durées d'attente calculées. Le troisièe tere de (VII) est constant. Une évaluation de la déviation de la solution optiale par rapport au inorant proposé, ontre pour 520 problèes de 6, 7, 8, 9 et 10 jobs, l'efficacité du inorant proposé, la valeur axiale des déviations oyennes calculées ne dépasse pas la valeur 16,6 %. Dans cette phase d'expérientation, les solutions heuristiques sont évaluées en calculant la déviation par rapport à la borne inférieure de la anière suivante : (solution heuristique - borne inférieure)*100 Pourcentage de déviation = borne inférieure Le nobre de problèes évalués est égal à 900 avec 12, 18, 24, 30, 40 et 50 jobs et un nobre d étages qui varie entre 5 et 25. Nous représentons dans la figure suivante, les résultats d'expérientations du calcul de la déviation des solutions heuristiques par rapport à la borne inférieure proposée.

13 13 Figure 5: Résultats du calcul la déviation des solutions heuristiques par rapport à la borne inférieure ( # de job = 40, # de problèes = 30) Dans le but de tester les algorithes proposés par rapport au teps d'exécution, Rajendran et Chaudhuri donnent une évaluation - sous le êe environneent - de plusieurs problèes dont le nobre de jobs varie entre 7 et 50. Cette évaluation ontre claireent la rapidité des algorithes proposés par rapport à ceux qui existent déjà. Les résultats d'évaluation des trois algorithes introduits dans [RAJ 91], ontrent que les heuristiques proposées donnent des solutions proches des solutions optiales, et qui sont netteent eilleures par rapport à celles obtenues en utilisant les procédures qui existent déjà que ce soit de point de vue qualité ou traiteent.

14 14 8 Conclusion Rajendran et Chaudhuri ont proposé dans [RAJ 91] trois algorithes d'ordonnanceent du problèe flowshop, dont l'objectif est de iniiser le flowtie totale de l'ordre final des jobs. D'après les résultats d'évaluation, les heuristiques proposées assurent, d'une anière rapide, de bonnes solutions qui sont netteent eilleures par rapport à celles calculées par les heuristiques qui existent déjà. En effet, les trois algorithes étudiés fournissent des résultats d'une anière siple et efficace et iniisent le flowtie total en iniisant les durées de repos et d'attente des jobs ce qui réduit les coûts du processus d'ordonnanceent [GUP 71].Ce résultat encourage l'utilisation pratique des algorithes proposés dans la résolution du problèe flowshop. Références [BAN 77] [CAM 70] [CON 67 [DAN 77] [GUP 71] [KAR 64] [KUE 63] [PAN 73] Bansal S.P. "Miniizing the su of copletion ties of n-jobs over M-achines in a flowshop - A branch and bound approach ". AIEE Transactions 9, pp , Capbell H.G., Dudek R.A., and Sith M.L. "A heuristic algorith for the n-job, M-achine sequencing proble". Manageent Science 16 B630-B637, Conway R.W., Maxwell W.L. and Miller L.W. "Theory of Scheduling". Addision-Wesley, Reading, MA, Dannenbring D.G. "An evaluation of flowshop sequencing heuristics". Manageent Science 23, pp , Gupta J.N.D., and Dudek R.A. "Optiality criteria for flowshop schedule". AIIE Transactions 3, pp , Karg R.L. and Thopson G.L. "A Heuristic Approach to Solving Traveling Salesan Probles". Manageent Science, Vol. 10, No. 2, pp , January Kuehn A.A. and Haburger M.J. "A Heuristic Progra for Locating Warehouses". Manageent Science, Vol. 9, No 4, pp , July Panwalkar, S.S., Dudek R.A. and Sith M.L. "Sequencing research and the industrial scheduling proble".

15 15 Proceeding of the Syposiu on Theory of Scheduling and its Applications ( May 1972 ), Springer-Verlag, Berlin, [RAJ 91] [SIM 58] [SIM 60] [SIM 61] [SZW 83] [TON 61] Rajendran C. and Chaudhuri D. "An efficient heuristic approach to the scheduling of jobs in flowshop". European Journal of Operational Reseach 61, pp , Sion H.A. and Newell A. "Heuristic Proble Solving : The next Advance in Operations Research". Operations Research, Vol. 6, No. 1, pp 1-10, January- February Sion H.A. "The new Science of Manageent Decision". Hareper & Bros., 1960 Sion H.A. and Newell A. "Coputer Siulation of Huan Thinking and Proble Solving". Coputers and Autoation, Vol. 10, No 4, pp 18-26, April Szwarc, W. "The flowshop proble with ean copletion tie". IIE Transactions 15, pp , Tonge, Fred. "The use of Heuristic Prograing in Manageent Science". Manageent Science, pp , April 1961.