Simulation numérique de la réponse d un pieu en cours de battage

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1 Siulation nuérique e la réponse un pieu en cours e battage Philippe LEPERT Ingenieur Division Géotechnique et Mécanique es Chaussées Laboratoire Central es Ponts et Chaussées Daniel MEIGNEN Technicien supérieur RÉSUMÉ Dès 1984, le Laboratoire Central es Ponts et Chaussées (LCPC) arquait son intérêt pour la siulation nuérique u battage en prouisant le logiciel BATLAB. Tirant parti es progrès intervenus epuis cette époque en atière 'algorithes 'intégration es équations e ouveent ans un ilieu uniiensionnel (éthoe es caractéristiques, notaent), le LCPC vient e évelopper un nouveau logiciel, BRUTUS, estiné à replacer BATLAB. Au plan inustriel, ce nouveau logiciel se veut un outil efficace pour l'analyse e esures ynaiques faites lors e battage et la prévision e capacité portante. Au plan e la recherche, c'est aussi un oyen pratique et précis pour tester les lois 'interaction ynaique sol/pieu. Après avoir écrit les bases athéatiques et nuériques u nouveau logiciel, le présent article en écrit la structure et les principales perforances. Un exeple tiré 'un cas concret illustre l'interprétation, par BRUTUS, es esures ynaiques réalisées penant le battage 'un pieu préfabriqué en béton. MOTS-CLÉS : 42 - Battage - Pieu - Logiciel - Siulation - Moèle interactif - Fortran - Sol - Interface - Analyse (Math.) - Prévision - Interprétation - Essai - Charge - Dynaique - Portance. INTRODUCTION Le Laboratoire Central es Ponts et Chaussées s'intéresse à la siulation nuérique u battage epuis près e ix ans [1], [2], [3], [4], [8]. L'intérêt croissant qui s'est fait jour ans le one et spécialeent en France pour les éthoes e prévision e battage et e contrôle e capacité portante basées sur un chargeent ynaique es pieux a otivé cet intérêt. Bien que certaines éthoes siplifiées aient été éveloppées pour analyser les esures e site, sur la base e corrélations epiriques avec es résultats e chargeents statiques [10], il reste ais que la siulation nuérique u battage est un éléent essentiel es analyses prévisionnelles e battage coe u contrôle e capacité portante. Cette approche se heurte à eux ifficultés : - la oélisation u pieu et e son interaction avec le sol, - l'intégration es équations. En 1982, un preier prograe fut éveloppé au LCPC : BATLAB. Le pieu y était oélisé par une suite e asses et e ressorts [1]. Les équations e ouveent étaient intégrées par un algorithe e Runge-Kutta. Deux oèles 'interaction sol/ pieu y étaient iplantés : le oèle e Sith [11] et une loi visco-élastoplastique. BATLAB fut largeent utilisé pour analyser es esures sur site et en laboratoire [3], [8]. Réceent, une nouvelle éthoe a été proposée pour oéliser le pieu et résoure le problèe ynaique [5]. Cette éthoe, ite "es caractéristiques", est brièveent rappelée ci-après (voir paragraphe " éthoe es caractéristiques "). Elle représente un progrès iniscutable ans la siulation u battage en ce qu'elle éliine les ifficultés nuériques (stabilité, précision,...) rencontrées avec les éthoes 'intégration irecte classiques. Cette éthoe peut êe fournir une solution exacte au problèe lorsque la forulation e la loi 'interaction s'y prête. En pratique, la loi 'interaction peut toutefois avoir une fore très générale. On calcule 5 Bull, liaison Labo. P. et Ch sept.-oct fief. 3524

2 alors la solution soit irecteent, ais en aettant un certain niveau 'approxiation, soit par le biais 'une procéure itérative. Cette secone approche requiert avantage e calculs ais conuit à es résultats plus cohérents. Le prograe e calcul BRUTUS, qui vient 'être is au point au LCPC autour e cette éthoe, succèe à BATLAB. Son éveloppeent vise eux buts : - Jeter les bases 'un outil inustriel pour l'analyse e esures ynaiques faites lors e battage (auscultation sonique, capacité portante) et pour la siulation prévisionnelle e battage. Ainsi, bien que le prograe s'exécute généraleent en oe interactif, une option peret 'enchaîner plusieurs calculs sur un oèle, en faisant varier les paraètres. - Proposer un outil pratique et précis pour tester e nouvelles lois 'interaction : pratique car le prograe, écrit ans un Fortran bien coenté, peret l'insertion e nouvelles lois 'interaction ; précis, car les ifficultés 'orre nuérique étant éliinées, les résultats ne épenent plus que es oèles e pieu et 'interaction sol/pieu, ainsi que e leurs paraètres. SUPPORT THEORIQUE Propagation 'ones forule ans laquelle : E est le oule 'Young, p est la asse voluique e la barre. La solution générale e cette équation aux érivées partielles s'écrit : u(x,t) - h(x - et) + g(x + et), (2) où c - (Elp) est la célérité es ones ans la barre. Le preier tere est constant le long es lignes x - et, alors que le secon est constant le long es lignes x = - et. Ces lignes sont ites " caractéristiques ". Le tere h (resp. g) trauit le éplaceent û aux ones escenantes (resp. ontantes). On peut éuire la vitesse particulaire v et l'effort noral N e l'équation (2) par : v(x,f) = [ h'(x - et) + g'(x + xt) ], (3) N(x,t) = EA [ h\x - et) + g\x + et) ], (4) et les exprier coe la soe e eux coposantes, l'une ue aux ones escenantes, l'autre ue aux ones ontantes. Les coposantes e la vitesse et e l'effort noral sont onc liées par les relations suivantes : Z v (x,t) = N (x,t), (5a) Z v (x,t) = N (x,t), (5b) Lorsqu'un pieu reçoit un ipact vertical en tête, es ones planes se propagent jusqu'à sa pointe où elles se réfléchissent partielleent ou en totalité. On peut analyser cette propagation en consiérant une longue barre ince (fig.l). On écrit l'équilibre 'un tronçon e barre e longueur éléentaire x en appliquant la loi e Newton : Ecfu/x 2 - p 2 ult 2 = 0, (1) où A est la section e la barre et Z = EA/c est l'ipéance e la barre. Effet es iscontinuités L'effet 'un effort concentré le long u pieu pouvant être analysé selon la êe éarche que celui 'une iscontinuité e l'ipéance u pieu, les eux cas seront traités ans ce paragraphe. \ x E. A N (x) u (x) N (x + Fig. 1 - Équilibre 'un segent éléentaire e barre. 6

3 Discontinuité 'ipéance Effet 'un effort concentré Ce cas est illustré par la figure 2. L'effort noral et la vitesse particulaire oivent être ientiques e chaque côté e la iscontinuité, ce que l'on peut écrire : Ce cas est illustré par la figure 3. La section sur laquelle s'exerce l'effort concentré oit être en équilibre, et la vitesse égale e chaque côté : N + N = N 2 + N 2, (6a) N + N x = N 2 + N 2 + F, (9a) v* + v x = v 2 + v 2. (9b) v* + v = V 2 + v 2. (6b) Ici aussi, si l'on suppose que l'one escenante est connue au-essus e la section où s'applique l'effort, et l'one ontante connue au-essous e celle-ci, les équations (9) perettent e calculer l'one escenante au-essous e cette section et l'one ontante au-essus : N = N - F I 2, (10a) AT = AT + F I 2. (10b) N 2, N 2 z 2 Les forules suivantes s'appliquent aux ones se réfléchissant à l'extréité e la barre lorsqu'une force s'y exerce : Fig. 2 - Discontinuité 'ipéance 'un pieu. Si l'one escenante est supposée connue au-essus e la iscontinuité, et l'one ontante connue au-essous e cette section, les équations (6) perettent e calculer l'one escenante au-essous e la iscontinuité et l'one ontante au-essus e celle-ci : N = A/ - F, (lia) pour l'extréité supérieure, et : N - - N + F, (11b) pour l'extréité inférieure. N 2 = [2Z 2 Ni I (Z, + Z 2 )] + [Z, - Z 2 ) N 2 /(Z, + Z 2 ), N? = [2Z X N 2 [(Z 2 - Z x ) N I (Z, + Z 2 )l I (Z, + Z 2 )] + (? b ) Concrèteent, une iscontinuité ans l'ipéance e la barre peut résulter 'une iscontinuité e sa section, e son oule 'Young ou e sa ensité. Par ailleurs, les réflexions 'ones aux extréités e la barre peuvent être étuiées en appliquant les forules (7). Ainsi, si la pointe e la barre est libre, la forule (7b) s'applique avec Z 2 = 0 : N = - N. (8a) Si cette extréité est encastrée, cette forule est encore applicable avec Z 2 > 0 0 : N{" = N. (8b) Fig. 3 - Application 'un effort ponctuel sur une section. Méthoe es caractéristiques Les équations (7) et (10) peuvent être cobinées pour trauire les conitions générales ans lesquelles les ones ontantes et escenantes traversent une section ou s'y réfléchissent, que cette section soit caractérisée par une iscontinuité 'ipéance et/ou l'application 'un effort extérieur. On obtient ainsi les relations : F On étuiera la réflexion 'une one ontante en tête e barre e la êe façon, à partir e la forule (7a). N = [ 2Z 2 N ) I (Z x + Z 2 ) ]+ [ (Z, - Z 2 )AT 2 / (Z, + Z 2 ) ] - F/2, (12a) 7

4 N{" = [ 2Z 2 N 2 I (Z, + Z 2 ) ] + [ (Z 2 - ZJNf I (Z, + Z 2 ) ] - F/2. (12b) La éthoe es caractéristiques est essentielleent basée sur ces équations. Le prograe BRUTUS exécute un calcul incréental ans lequel le teps est ivisé en intervalles e urée t et le pieu en segents e longueur l = c * t (fig. 4). Les iscontinuités 'ipéance sont localisées entre les segents e sorte que l'ipéance est constante sur chaque segent. Les interactions concentrées sol/pieu sont aussi appliquées entre les segents. L'ipact appliqué en tête u pieu est écoposé en une succession 'ipulsions rectangulaires e urée t qui urant chaque intervalle e teps, passent 'un segent au suivant sans oification. A l'issue e chaque intervalle e teps, les équations (12) sont utilisées pour écrire l'équilibre es sections situées entre les segents. Suivant cette approche, chaque ipulsion est toujours localisée ans un segent, et il en reste ainsi êe après réflexion. De cette façon, si es ones ifférentes se recouvrent, elles peuvent être cobinées par siple aition ou soustraction 'aplitue es ipulsions. Aussi longteps que les forces 'interaction ne sont pas prises en copte, cette analyse est irecte et rigoureuse. Introuction es forces 'interaction Pour calculer l'aplitue es ones après traversée es ifférentes sections en appliquant les équations (12), il est nécessaire que les forces 'interaction s'appliquant à ces sections soient connues. Celles-ci épenent généraleent, à travers le oèle 'interaction, e ivers paraètres 'état u pieu et/ou u sol (vitesse, éplaceent,...) voire e l'histoire e certains 'entre eux. Ces paraètres épenent à leur tour e l'aplitue es ones traversant les sections. Ce problèe oit onc être résolu en suivant l'une es eux approches suivantes : - La force 'interaction appliquée à chaque section est calculée en utilisant les valeurs es paraètres 'état obtenues à l'issue u pas e teps précéent. Elle est alors introuite ans les équations (12) pour évaluer l'aplitue es ones traversant la section. Les valeurs es paraètres 'état e la section sont alors actualisées et serviront pour initialiser le pas e calcul suivant. - L'algorithe ci-essus peut être appliqué ans le care 'une procéure itérative. Cette fois, les valeurs es paraètres 'état obtenues à l'issue 'une itération sont utilisées pour éarrer la suivante, et ceci jusqu'à obtenir leur convergence. Cette procéure est appliquée pour calculer l'équilibre e chaque section à chaque pas e teps. La secone approche conuit, après chaque pas e teps, à es valeurs e paraètres 'état et e forces 'interaction qui sont cohérentes entre elles. Elle a onc été préférée à la preière, ans BRUTUS. MISE EN OEUVRE DU PROGRAMME BRUTUS Description générale BRUTUS copren cinq oules (fig. 5). - Brutus-D est un prograe interactif qui crée un " fichier oèle " coportant les onnées écrivant le pieu, les lois 'interactions avec le sol, l'ipact et les résultats à sauvegarer. - Brutus-M peret e oifier ce " fichier oèle " créé avec Brutus-D. Il utilise pour cela une série e coanes qui sont entrées en oe interactif, ou lues sur un " fichier 'enchaîneent " créé par Brutus-A. - Brutus-A est un prograe interactif qui crée un " fichier 'enchaîneent " sur lequel sont préparées plusieurs séquences e coane pour Brutus-M. Ce fichier peret 'utiliser BRUTUS en teps ifféré, en enchaînant autoatiqueent plusieurs calculs sur le êe oèle e pieu avec iverses valeurs e paraètres (interaction, ipact, aortisseent, sauvegares, etc.). - Brutus-B est le coeur u logiciel. Il relit le " fichier oèle ", exécute le calcul e réponse, et sauvegare les résultats pré-sélectionnés sur un " fichier résultat ". La figure 6a présente l'organisation e ce oule. La figure 6b étaille l'organigrae u calcul 'équilibre es sections, qui en est la partie centrale. On notera que le calcul es forces 'interaction fait appel à autant e sous-prograes qu'il y a e oèles 'interaction. De plus, chaque nouvelle itération ne s'applique qu'aux sections n'ayant pas convergé lors es précéentes. La procéure itérative est onc interropue lorsque toutes les sections ont convergé. - Brutus-L, exécutable soit en oe interactif, soit en teps ifféré, peret e tracer les résultats u calcul e réponse lus sur le " fichier résultat ". 8

5 Fit] l = c*t I 'l I I Fig. 4 - Moélisation u pieu, e l'ipact et es forces 'interaction. Brutus D Moélisation Brutus M Moifications u oèle MENU D'APPLICATION Brutus A Enchaîneent e cas Brutus B Calcul e réponse Brutus L Sortie es résultats Fig. 5 - Structure générale e BRUTUS. Fig. 6a - Moule Brutus-B schéa e principe. Calcul es éventuelles solutions analytiques Calcul e l'aplitue es ones par les équations (12) Moèle 1 Calcul es paraètres 'état Calcul es efforts 'interaction Moèle 2 Moèle 3 (Convergence? ) IT Fig. 6b - Moule Brutus-B : organigrae u calcul 'équilibre es sections. Utilisation u logiciel Le logiciel BRUTUS est accopagné 'une ocuentation coplète coprenant les anuels théorique, e prograation et 'utilisation. Ce ernier s'organise en eux parties, l'une consacrée à la préparation et à l'entrée es onnées, l'autre évolue à la prograation e nouveaux oèles 'interaction. Mise en onnées Toutes les onnées sont entrées en oe interactif grâce aux oules D, M, A, ou L e BRUTUS. On entre ans BRUTUS au oyen 'un enu 'application qui offre cinq orientations corresponant chacune à l'un es cinq oules u prograe. Une fois l'orientation choisie, le oule corresponant est exécuté. Brutus-D peret 'introuire les onnées oélisation ans l'orre suivant : - paraètres généraux (titre, etc.), - onnées géoétriques et écaniques pour chaque partie u pieu, - oèles et paraètres 'interaction sol/ pieu - caractéristiques e l'ipact, - table e sélection es sauvegares. e 9

6 Dans ce oule, l'entrée es onnées est organisée en pages (liste e questions u calculateur et e réponses e l'utilisateur). L'entrée es onnées ans Brutus-M, A, ou L se fait au oyen e enus hiérarchisés. Iplantation 'autres lois 'interaction Actuelleent, quatre lois 'interaction sol/ pieu sont iplantées ans le logiciel Brutus : une loi bilinéaire siple, la loi e Sith [11], une loi élasto-visco-plastique, et la loi érivée u oèle proposé en 1986 par Corté et Lepert [2]. Mais la structure e BRUTUS facilite l'iplantation e nouveaux oèles 'interaction. Cela ne requiert que la oification e trois sous-prograes, l'un ans Brutus-D (éfinition et énoination es paraètres e la nouvelle loi), les eux autres ans Brutus-B (calcul e la force 'interaction à partir es paraètres 'état). Il est à signaler que es travaux expérientaux sont en cours au LCPC pour proposer une loi 'interaction qui trauise ieux les phénoènes physiques survenant au niveau e l'interface latérale sol/pieu lors u battage [6], [7]. Cette nouvelle loi est en cours 'introuction ans BRUTUS. une force verticale, érivée e l'effort noral esuré lors e l'essai et appliquée en tête u pieu. La vitesse particulaire en tête u pieu, issue e la siulation nuérique est coparée à celle esurée lors e l'essai. Le calcul e réponse est recoencé en oifiant la valeur es paraètres 'interaction jusqu'à obtenir une bonne concorance [4]. * 8,63 Niveau u terrain naturel Sable fin TpPjs Sable fin faible ent argileux Sable oyen Sable fin faibleent argileux Argile sableuse Sable fin faibleent argileux Argile 10- T 1.60 I T Sable fin argileux I 110,50 %$t Sable fin argileux * coquilles T 11 II Sable fin Exeple Sable fin» traces e coquilles H Les 26 et 27 ai 1988, es essais e chargeent ynaique furent réalisés sur es pieux en béton spécialeent is en place sur un site expériental, ans l'enceinte e l'université e Gan (Belgique). Il s'agissait e pieux forés et coulés 'une part (pieux ATLAS, FUNDEX, et SOCOFONDA), e pieux préfabriqués battus 'autre part (pieux DE WAAL). L'horizon géotechnique u site est écrit ans la figure 7. La figure 8 onne le résultat 'un essai e pénétration statique (CPT) effectué sur le site. Fig. 7 - Horizon géotechnique u site expériental e Gan. Le LCPC fut aené à interpréter certains e ces essais à partir e onnées recueillies sur le site, et aiableent couniquées par le CEBTP. Celui-ci avait instruenté la tête es pieux à l'aie 'accéléroètres et e jauges e contrainte perettant 'accéer, après un traiteent aéquat es signaux, à la vitesse particulaire et à l'effort noral ans les sections e esure [9]. Le chargeent ynaique résultait e l'ipact 'une asse e 4 t tobant 'une hauteur variable. Dans chaque cas, l'interprétation 'un essai consiste à oéliser le pieu et l'interface sol/pieu, en assignant aux paraètres caractéristiques e cette interface es valeurs jugées réalistes. On calcule alors avec BRUTUS la réponse u pieu au chargeent, oélisé par 10 - Fig. 8 - Résultat 'un essai CPT sur le site expériental e Gan. 10

7 Nous avons choisi e présenter ici le résultat e l'interprétation e l'essai e chargeent ynaique 'un pieu préfabriqué battu. La fiche u pieu au oent e l'essai était égale à 13,8, pour une longueur totale u pieu e 15. Les figures 9a à 9c listent les caractéristiques u pieu et onnent une représentation graphique es valeurs es paraètres e l'interaction sol/pieu après ajusteent, en fonction e la profoneur. L'accroisseent e la force liite latérale à une profoneur e 12 à 13 (fig. 9c) est à rapprocher e l'accroisseent e la résistance e pointe esurée au pénétroètre statique (CPT) à la êe profoneur (fig. 8). Les figures 10a et 10b regroupent les courbes esurées et calculées 'effort noral et e vitesse ans la section e esure. On observe que la courbe e vitesse calculée s'ajuste bien sur la courbe expérientale urant un laps e teps corresponant au preier aller et retour e l'one e choc ans le pieu. Au-elà, il n'a pas été possible 'obtenir un ajusteent satisfaisant. Il seble que, ans ce cas, le oèle utilisé pour représenter l'interaction sol/pieu puisse être incriiné. Cette observation a contribué à justifier les étues expérientales en cours au LCPC pour aéliorer notre connaissance es phénoènes qui régissent cette interaction. Tronçon n 1 Longueur : 15 Section : 0,1 J Moule : E Masse voluique N segent : 15 Moélisation u pieu préfabriqué 11N/ z 2i00kg/ 3 \y 0.K00E 07 Calcul 1 Mo 2 Loi LCPC Aortisse. (N/M/S) E 08 Fig. 9a - Répartition es aortisseents u oèle 'interaction latérale sol/pieu. Moélisation u pieu préfabriqué Moélisation u pieu préfabriqué Tronçon n 1 Longueur : 15 Section : Moule : E Masse voluique : N segent : 15 11N/' 2i00kg/ 3 Calcul 1 Mo 2 Loi LCPC Raieur IN/M) Tronçon n 1 Longueur : 15 Section : Moule : E * 11N/ 2 Masse voluique : 2 00kg/ 3 N segent : 15 Calcul 1 Mo 2 Loi LCPC Force li. (N) \y E E UE E + 06 Fig. 9b - Répartition es raieurs u oèle 'interaction latérale sol/pieu. Fig. 9c - Répartition es forces e frotteent sol/pieu latérales. 11

8 1 Moélisation u pieu préfabriqué O.iOE E ,30E*07.. 0,25E* E E E E*06-)-/) O.OOE E-06-L Effort noral total (N) A Calcul 1 Mo 2 1 e la tete Fig. 10a - Coparaison e l'effort noral esuré en tête u pieu (ligne ixte) et e celui calculé à l'aie u oèle après ajusteent (ligne continue). -2-L Vitesse totale (M/S) A Calcul 1 Mo 2 I e la tete Fig. 10b - Coparaison e la vitesse esurée en tête u pieu (ligne ixte) et e celle calculée à l'aie u oèle ajusté (ligne continue). CONCLUSION Le prograe BRUTUS a été 'abor éveloppé pour évaluer les oèles 'interaction sol/pieu. Coe tous les logiciels coparables, il se révèle aapté à la réalisation 'analyses prévisionnelles e battage et à l'interprétation 'essais e chargeent ynaique e pieux ans la esure où les lois 'interaction utilisées sont valies. D'autres possibilités u prograe, qui ne peuvent être aborées ans cette présentation, sont écrites en étail ans les anuels l'accopagnant. Signalons notaent que BRUTUS a été coplété par un logiciel 'accopagneent, PRÉ-BRUTUS, qui traite les esures ynaiques (effort noral, accélération, éplaceent) faites lors u battage 'un pieu pour : - 'une part, en éuire une preière estiation e la résistance ynaique u pieu, par es forules siplifiées [7] ; - 'autre part, ettre ces esures sous un forat qui peret au logiciel BRUTUS e les utiliser irecteent pour caler un oèle nuérique. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] BOSSARD A., CORTE J.-F. (1984), Analysis of pile response to ipact loaing an use of static soil-pile interaction laws, proceeings of the secon international conference on the application of stress wave theory on piles, é. A. Balkéa, Stockhol, pp [2] CORTE J.-F., LEPERT P. (1986), Lateral resistance uring riving an ynaic pile testing, thir international conference on nuerical ethos in offshore piling, é. Technip, Nantes, France, May 21-22, pp [3] LEPERT P. (1986), Un exeple 'analyse e esures effectuées lors u battage e pieux, Bull, liaison P. et Ch., 145, sept.-oct., pp [5] MEUNIER J. (1984), Laws of soil-pile interaction in a riving siulation progra, proceeings of the secon international conference on the application of stress wave theory on piles, é. A. Balkéa, Stockhol, pp [6] LEPERT P., CORTE J.-P., GOULOIS A.(1988), An experiental set-up for investigation of shaft resistance uring riving, thir international conference on the application of stress wave theory on piles, e. B. Fellenius, Ottawa, Canaa, May 25-27, pp [7] LEPERT P., CORTE J.-P, GOULOIS A., MEUNIER J. (1988), Shaft resistance uring riving, in san, fro laboratory tests, thir international conference on the application of stress wave theory on piles, e. B. Fellenius, Ottawa, Canaa, May 25-27, pp [8] MEYNARD A., CORTE J.-F. (1984), Experiental stuy of lateral resistance uring riving, proceeings of the secon international conference on the application of stress wave theory on piles, e. A. Balkea, Stockhol, pp [4] LEPERT P., CORTE J.-F. (1987), Pile ynaic [9] PAQUET J. (1988), Evaluation e la force portante par es essais ynaiques, seinar on testing - Interpretation of ynaic loaing tests at Ghent, Seinar on pile ynaic testing : integrity an bearing capacity, é. ABEM, pile ynaic testing : integrity an bearing Brussels, pp. V.72-V.86. capacity e. ABEM, Brussels, pp. V.7-V.25. [10] RAUSCHE F., GOBLE G., LIKINS G. (1985), Dynaic eterination of pile capacity, Journal of geotechnical engineering, ASCE, vol. Ill, 3, pp [11] SMITH E.A.L. (1960), Pile riving analysis by the wave equation, Journal of the soil echanics an founations ivision, ASCE, vol. 86, SM4, pp

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