Exercices et corrigés Mathématique générale Version β

Transcription

1 Université libre de Bruxelles Années académiques Université catholique de Louvain Exercices et corrigés Mathématique générale Version β Laurent Claessens Nicolas Richard Dernière modification : 5 septembre

2 2 Copyright (c) Laurent Claessens. Permission is granted to copy, distribute and/or modify this document under the terms of the GNU Free Documentation License, Version.3 or any later version published by the Free Software Foundation ; with no Invariant Sections, no Front- Cover Texts, and no Back-Cover Texts. A copy of the license is included in the section entitled GNU Free Documentation License. Si vous n avez pas envie de lire toute la licence (ce que je comprends), en voici un mini résumé : Si vous donnez un pdf du document ou d une partie à quelqu un, vous devez lui dire en même temps où il peut télécharger les sources L A TEX. En pratique, le site sur lequel j ai mit les sources actuelles est déjà indiqué sur la page de garde. Il n y a donc rien à faire. Si vous modifiez le document, les nouvelles sources L A TEX doivent être publiées sur internet à une adresse publiquement accessible, et le site où les sources se trouvent doit être indiqué dans le document. En cas de modification, vous pouvez ajouter votre nom à la liste des auteurs des fichiers modifiés, mais vous ne pouvez pas retirer les noms déjà existants, de plus les modifications elles-mêmes doivent être publiés sous la même licence, et les sources L A TEX des modifications doivent également être publiquement accessibles. Le but principal de ces conditions est d éviter que le document deviennent inutilisable parce que les sources L A TEX seront perdues dans 5 ans. Cela arrive trop souvent. Il s agit d un échange : je donne gratuitement le droit de copier, modifier et redistribuer le document, mais en échange, vous devez prendre soin des sources, et transmettre ces droits aux personnes à qui vous distribuez des versions modifiées. Vous n êtes par contre absolument pas obligés de me tenir au courant des modifications que vous apportez, bien que cela soit souhaitable pour que chacun puisse profiter des améliorations de tous les autres.. Les sites protégés par un mot de passe ne sont pas valables ; la dropbox non plus.

3 Table des matières Introduction 7 Corrigez vous vous-même 9. Propagande : utilisez un ordinateur! Exemples de ce que Sage peut faire pour vous Rappels théoriques 2. Techniques d intégration Reformer un carré au dénominateur Primitives et surfaces Longueur d arc de courbe Aire de révolution Équations différentielles Équations à variables séparées Équations homogènes Équations linéaires Équations différentielles du second ordre Avec second membre Fonctions réelles de deux variables réelles Limites de fonctions à deux variables Dérivées partielles Différentielle et accroissement Recherche d extrema locaux Méthode de Gauss pour résoudre des systèmes d équations linéaires Matrices, applications linéaires et directions conservées Comment trouver la matrice d une symétrie donnée? Symétrie par rapport à un plan Symétrie par rapport à une droite En résumé Orthogonalité

4 4 TABLE DES MATIÈRES 3 Analyse Limites Dérivées et optimisation Primitives et intégration Longueur d un arc de courbe Aire d une surface de révolution Équations différentielles Équations à variables séparées Équations homogènes Équations linéaires Problèmes divers Équations différentielles du second ordre Fonctions de deux variables réelles Tracer Limites à deux variables Dérivées partielles, différentielles totales Différentiabilité, accroissements finis Plan tangent Dérivées de fonctions composées Dérivées de fonctions implicites Extrema Réserve Algèbre linéaire, vecteur et matrices Déterminants et systèmes d équations Opérations sur les matrices Espaces vectoriels Orthogonalité Valeurs propres et vecteurs propres Triangularisation Formes quadratiques Réserve Interrogation de janvier 2009 (ULB) 63 6 Interrogation de mars 200 (UCL) 67 7 Travaux personnels 2009 (ULB) TP TP TP

5 TABLE DES MATIÈRES TP Quelque fautes usuelles TP Autres exercices Limites et continuité Suites numériques Des corrections pour les pharmaciens (ULB) 8 0 Corrections 85 GNU Free Documentation License 24. Preamble APPLICABILITY AND DEFINITIONS VERBATIM COPYING COPYING IN QUANTITY MODIFICATIONS COMBINING DOCUMENTS COLLECTIONS OF DOCUMENTS AGGREGATION WITH INDEPENDENT WORKS TRANSLATION TERMINATION FUTURE REVISIONS OF THIS LICENSE RELICENSING ADDENDUM : How to use this License for your documents Bibliographie 25

6 6 TABLE DES MATIÈRES

7 Introduction Ces notes proviennent des exercices tant du cours de mathématique générale pour les géographes de l ULB que de celui pour les ingénieurs de l UCL. Les matières sont similaires (algèbre linéaire et analyse de base), et il semble donc profitable aux deux de proposer tous les exercices dans un unique document. Ces notes sont les vôtres! Ces notes sont en rédaction perpétuelle ; il y a encore certainement des erreurs, des fautes de frappe et des choses pas claires. Je compte sur vous (oui : toi!) pour me signaler toute imperfection. Plus vous signalez de fautes, plus la qualité du texte augmentera, et plus les étudiants de l année prochaine vous seront reconnaissants. Avouons les sources inavouables Plusieurs corrections viennent presque mot à mot de feuilles que des étudiant(e)s m ont données pour relecture. Autres notes Un certain nombre de pré requis qui auraient pu ou dû être vus en secondaire sont disponibles 2, ou dans la section de sixième année du site enseignons.be

8 8 TABLE DES MATIÈRES

9 Chapitre Corrigez vous vous-même. Propagande : utilisez un ordinateur! Si vous faites des exercices supplémentaires et que vous voulez des corrections, n oubliez pas que vous avez un ordinateur à disposition. De nos jours, les ordinateurs sont capables de calculer à peu près tout ce qui se trouve dans vos cours de math. D ailleurs, je te rappelle qu on est déjà largement dans le vingt et unième siècle et que tu te destines à une carrière professionnelle dans laquelle tu auras des calculs à faire ; si tu n es pas encore capable d utiliser un ordinateur pour faire ces calculs, il est temps de combler cette lacune. Le logiciel que je vous propose est Sage[]. Pour l utiliser, il n est même pas nécessaire de l installer sur votre ordinateur : il tourne en ligne, directement dans votre navigateur. a. Aller sur http :// b. Créer un compte c. Créer des feuilles de calcul et amusez-vous!! Il y a beaucoup de documentation sur le site officiel. Si vous comptez utiliser régulièrement ce logiciel, je vous recommande chaudement de l installer sur votre ordinateur 2. Ce logiciel étant distribué sous licence GPL, vous ne devez ni payer ni vous procurer de codes.. http :// 2. Le paquet sagemath.deb fourni par Ubuntu est très bogué, ne l utilisez pas. 9

10 0 CHAPITRE. CORRIGEZ VOUS VOUS-MÊME.2 Exemples de ce que Sage peut faire pour vous Pour certaines choses complexes, j ai tapé un module nommé outilsinge. Pour l obtenir, allez sur gitorious et téléchargez le fichier outilsinge.py ainsi que tous les fichiers dont le nom termine par.sage. Ces derniers contiennent le code qui fournit les réponses pour un certain nombre d exercices. Voici une liste absolument pas exhaustive de ce que Sage peut faire pour vous, avec des exemples. a. Calculer des limites de fonctions, voir l exercice janvier 2009, 8, b. D autres limites et tracer des fonctions, voir l exercice janvier 2009, 2. c. Calculer des dérivées, voir exercice 4. d. Calculer des dérivées partielles de fonctions à plusieurs variables, voir exercice 49. e. Calculer des primitives, voir certains exercices 8 f. Résoudre des systèmes d équations linéaires. Lire la documentation est ce qui fait la différence entre l être humain et le non scientifique. Voir les exercices 93 et 95. g. Tout savoir d une forme quadratique, voir exercice 48. h. Calculer la matrice Hessienne de fonctions à deux variables, déterminer les points critiques, déterminer le genre de la matrice Hessienne aux points critiques et écrire extrema de la fonctions (sous réserve d être capable de résoudre certaines équations), voir les exercices 76 et 77. i. Lorsqu il y a une infinité de solutions, Sage vous l indique avec des paramètres (ne fonctionne hélas pas avec les fonctions trigonométriques), voir l exercice 78.

11 Chapitre 2 Rappels théoriques 2. Techniques d intégration 2.. Reformer un carré au dénominateur Lorsqu on a un second degré au dénominateur, le bon plan est de reformer un carré parfait. Par exemple : x 2 + 2x + 2 = (x + ) 2 +. (2.) Ensuite, le changement de variable t = x + est pratique parce que cela donne t 2 + au dénominateur. Cherchons I = x x 2 + 2x + 2 dx = x (t ) (x + ) 2 + dx = t 2 + (2.2) où nous avons fait le changement de variable t = x +, dt = dx. L intégrale se coupe maintenant en deux parties : I = t t La seconde est dans les formulaires et vaut tandis que la seconde est presque de la forme f /f : t t 2 + = 2 2 t 2 +. (2.3) 2 arctan(t) = 2 arctan(x + ), (2.4) 2t t 2 + = 2 ln(t + ) = 2 ln(u2 + 2u + 2). (2.5)

12 2 CHAPITRE 2. RAPPELS THÉORIQUES 2.2 Primitives et surfaces Soit f :Ê Ê, une fonction continue, et x Ê. Pour chaque x Ê, nous pouvons considérer le nombre F(x) défini par F(x) = La fonction F ainsi définie a deux importantes propriétés : x a f(t)dt. (2.6) f(x) S = F(x) = x a f(t)dt a x Figure 2. La primitive décrit la surface a. C est une primitive de f, b. Elle donne la surface en dessous de f entre les points a et x, voir la figure 2.. Notons que tant que f est positive, la surface est croissante. La manière de calculer la surface comprise entre deux fonctions est dessinée à la figure 2.2. La surface entre les deux fonctions y (x) et y 2 (x) se calcule comme suit. a. On calcule les intersections entre y et y 2. Notons a et b les ordonnées obtenues. b. La surface demandée est la différence entre la surface sous la fonction y (la plus grande) et la surface sous la fonction y 2 (la plus petite), donc S = b a y b a y. (2.7)

13 2.2. PRIMITIVES ET SURFACES 3 a (a) Nous voulons savoir la surface entre ces deux courbes. b a (b) La plus grande surface b a (c) La surface à soustraire b Figure 2.2 Le calcul de la surface comprise entre deux fonctions Longueur d arc de courbe La longueur de l arc de courbe de la fonction y = f(x) entre les abscisses x 0 et x est donné par la formule x l(x 0, x ) = + y (t) 2 dt. (2.8) x 0 Lorsque la courbe est donnée sous forme paramétrique { x = x(t) (2.9a) alors la formule devient où ẋ(t) = x (t). l(t, t 2 ) = t2 t y = y(t), (2.9b) ẋ(t) 2 + ẏ(t) 2 dt, (2.0)

14 4 CHAPITRE 2. RAPPELS THÉORIQUES Aire de révolution Pour savoir l aire engendrée par la ligne y = f(x) entre a et b autour de l axe Ox, on utilise la formule S = 2π b 2.3 Équations différentielles 2.3. Équations à variables séparées a + f (x) 2 f(x)dx. (2.) Ce sont les équations pour lesquelles on peut mettre tous les y d un côté. Elles se présentent sous la forme y = u(x)f(y). (2.2) On peut évidement mettre tous les y et y d un côté : y = u(x). (2.3) f(y) Une fois que cela est fait, on écrit y = dy, et on envoie le dx du côté des x : dx dy = u(x)dx. (2.4) f(y) Maintenant il suffit de prendre l intégrale des deux côtés : comme la position des dx et dy l indiquent, il faut intégrer par rapport à y d un côté et par rapport à dx de l autre côté. L intégrale à gauche est facile : c est ln(y). À droite, par contre, ça dépend tout à fait de u Équations homogènes Une équation différentielle homogène se présente sous la forme y = degré n en x, y degré n en x, y, (2.5) avec pas de y à droite : juste du y et du x. Pour traiter une équation différentielle homogène, le bon plan est de changer de fonction inconnue et poser u(x) = y(x) x, (2.6) ce qui fait y = ux et y (x) = u(x) + xu (x), à replacer dans l équation de départ.

15 2.3. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES Équations linéaires Tant qu il n y a pas de second membre, c est facile. Prenons l exemple suivant : y + 2xy = 0. (2.7) Nous mettons tous les x d un côté et tous les y et y de l autre : y y = 2x, (2.8) et puis on intègre sans oublier la constante d intégration : ln(y) = x 2 + C, (2.9) et donc y(x) = Ke x2. Lorsqu il y a un second membre, il y a une astuce. Prenons par exemple y + 2xy = 4x. (2.20) L astuce est de commencer par résoudre l équation sans le second membre (l équation homogène associée). Nous notons y H la solution. Ici, la réponse est y H (x) = Ke x2. (2.2) Ensuite le truc est d essayer de trouver la solution de l équation (2.20) sous la forme y(x) = K(x)e x2. (2.22) L idée est de prendre la même que la solution de l équation homogène (sans second membre), mais en disant que K est une fonction. Afin de trouver la fonction K qui donne la solution, il suffit de remettre l essai (2.22) dans l équation (2.20) : K e x2 2xKe x2 + } {{ } } 2xKe {{ x2 } = 4x (2.23) y (x) 2xy(x) Les deux termes avec K se simplifient et il reste K (x) = 4xe x2, (2.24) ce qui signifie K(x) = 2e x2 +C. Nous avons donc déterminé la fonction qui fait fonctionner l essai, et la solution à l équation est y(x) = ( 2e x2 + C ) e x2 = 2 + Ce x2. (2.25)

16 6 CHAPITRE 2. RAPPELS THÉORIQUES 2.4 Équations différentielles du second ordre 2.4. Avec second membre Une équation différentielle du second ordre avec un second membre se présente sous la forme ay (x) + by (x) + cy(x) = v(x) (2.26) où v(x) est une fonction donnée. Le truc est de commencer par résoudre l équation différentielle sans second membre, c est à dire trouver la fonction y H (x) telle que ay H (x) + by H (x) + cy H(x) = 0. (2.27) Cela se fait en utilisant la méthode du polynôme caractéristique. Ensuite, il faut trouver une solution particulière y P (x) de l équation avec le second membre. Une seule. Pour y parvenir, il faut du doigté et un peu de technique. Il faut faire des essais en fonction de ce à quoi ressemble le v(t) : a. Si v(x) est un polynôme, alors il faut essayer un polynôme, b. Si v(x) = cos(ωx) ou bien v(x) = sin(ωx), alors essayer y P (x) = A cos(x) + B sin(ωx), c. Si v(x) = e ωx, alors essayer y P (x) = Ae ωx. 2.5 Fonctions réelles de deux variables réelles Une fonction réelle de 2 variables réelles est une fonction f : A Ê2 Ê:(x, y) z = f(x, y). Le graphe de f, noté Gr f, est un sous-ensemble deê3 : Gr f = {(x, y, z) Ê3 (x, y) A et z = f(x, y)} Les courbes de niveau de la fonction f sont obtenues en posant f(x, y) = λ Limites de fonctions à deux variables À peu près tout ce qu une personne de ton âge peut savoir sur les limites à deux variables se trouve dans la référence [2]. Ici nous n allons pas entrer dans tous les détails, mais simplement mentionner les quelque techniques les plus courantes. Théorème. Soient deux fonctions f :Ên Êp et g :Êp Êq. Si a est un point adhérent au

17 2.5. FONCTIONS RÉELLES DE DEUX VARIABLES RÉELLES 7 domaine de g f et si alors lim f(x) = b x a lim g(y) = c, (2.28) y b lim(g f)(x) = c. (2.29) x a Les techniques usuelles sont a. La règle de l étau. Cette technique demande un peu plus d imagination parce qu il faut penser à un «truc» différent pour chaque exercice. En revanche, la justification est facile : il y a un théorème qui dit que ça marche. b. Lorsqu on applique la règle de l étau, penser à x = x 2 x 2 + y 2. (2.30) Cela permet de majorer le numérateur. Attention : ce genre de majoration ne fonctionnent qu au numérateur : agrandir le dénominateur ferait diminuer la fraction. c. Il n est pas vrai que x = x 2 x 4 En effet, si x est petit, alors x 2 > x 4, et non le contraire. x 4 + 2y 4. (2.3) Une technique très efficace pour les limites (x, y) (0, 0) est le passage aux coordonnées polaires. Il s agit de poser { x = r cos(θ) (2.32a) y = r sin(θ) (2.32b) et puis de faire la limite r 0. Si la limite obtenue ne dépend pas de θ, alors c est la limite cherchée. Des exemples sont donnés dans les corrections de l exercice Dérivées partielles La dérivée partielle par rapport à x au point (x, y) est notée f (x, y) (2.33) x et se calcule en dérivant f par rapport à x en considérant que y est constante.

18 8 CHAPITRE 2. RAPPELS THÉORIQUES De la même manière, la dérivée partielle par rapport à y au point (x, y) est notée f (x, y) (2.34) y et se calcule en dérivant f par rapport à y en considérant que x est constante. Pour les dérivées partielles secondes, f xx (x, y) = (f x ) x = 2 f x 2 (x, y) = x ( f x ). f yy (x, y) = (f y ) y = 2 f (x, y) = ( f ). y 2 y y f xy (x, y) = (f x ) y = (f y ) x = f 2 f y x (x, y). yx (x, y) ou 2 f x y Différentielle et accroissement (x, y) = x ( f y ) = y ( f x ) = La différentielle totale de f au point (a, b) est donnée, quand elle existe (!), par la formule df(a, b) = f f (a, b)dx + (a, b)dy. (2.35) x y De la même façon que la formule des accroissements finis disait que f(x + a) f(x) + af (x), en deux dimensions nous avons que l accroissement approximatif de f au point (a, b) pour des accroissements x et y est f(x + x, y + y) = f(x, y) + x f f (x, y) + y (x, y). (2.36) x y Le plan tangent au graphe de f au point ( a, b, f(a, b) ) est T (a,b) (x, y) = f(a, b) + f f (a, b)(x a) + (a, b)(y b) (2.37) x y Essayez d écrire l équation de la droite tangente au graphe de f(x) au point x = a en terme de la dérivée de f, et comparez votre résultat à cette formule. Un des principaux théorèmes pour tester la différentiabilité d une fonction est le suivant. Théorème 2. Soit une fonction f :Êm Êp. Si les dérivées partielles existent dans un voisinage de a et donc continues en a, alors f est différentiable en a. Le plus souvent, nous prouvons qu une fonction est différentiable en calculant les dérivées partielles et en montrant qu elles sont continues.

19 2.6. MÉTHODE DE GAUSS POUR RÉSOUDRE DES SYSTÈMES D ÉQUATIONS LINÉAIRES Recherche d extrema locaux (ULB : Théorème p. 68) a. Rechercher les points critiques, càd les (x, y) tels que f (x, y) = 0 x f (x, y) = 0 y En effet, si (x 0, y 0 ) est un extrémum local de f, alors f (x x 0, y 0 ) = 0 = f (x y 0, y 0 ). b. Déterminer la nature des points critiques : «test» des dérivées secondes : On pose H(x 0, y 0 ) = 2 f x (x 0, y 2 0 ) f 2 ( 2 ) 2 y (x f 0, y 2 0 ) x y (x 0, y 0 ) (a) Si H(x 0, y 0 ) > 0 et 2 f x 2 (x 0, y 0 ) > 0 = (x 0, y 0 ) est un minimum local de f. (b) Si H(x 0, y 0 ) > 0 et 2 f x 2 (x 0, y 0 ) < 0 = (x 0, y 0 ) est un maximum local de f. (c) Si H(x 0, y 0 ) < 0 = f a un point de selle en (x 0, y 0 ). (d) Si H(x 0, y 0 ) = 0 = on ne peut rien conclure. Dérivation implicite : Soit F(x, f(x)) = 0 la représentation implicite d une fonction y = f(x) alors y = f (x) = F x. F y 2.6 Méthode de Gauss pour résoudre des systèmes d équations linéaires Pour résoudre un système d équations linéaires, on procède comme suit : a. Écrire le système sous forme matricielle. p.ex. 2x + 3y = 5 x + 2y = 4 ( b. Se ramener à une matrice avec un maximum de 0 dans la partie de gauche en utilisant les transformations admissibles : )

20 20 CHAPITRE 2. RAPPELS THÉORIQUES (a) Remplacer une ligne par elle-même + un multiple d une autre ; p.ex. ( ) L 2.L 2 L = ( (b) Remplacer une ligne par un multiple d elle-même ; p.ex. ( ) L L = ( ) ) (c) Permuter des lignes. p.ex. ( ) L L 2 et L 2 L = ( ) c. Retransformer la matrice obtenue en système d équations. p.ex. ( ) x = 2 y = 3 Remarques : Si on obtient une ligne de zéros, on peut l enlever : p.ex ( Si on obtient une ligne de zéros suivie d un nombre non-nul, le système d équations n a pas de solution : p.ex x + 0y + 0z = 7 ) Impossible Si on moins d équations que d inconnues, alors il y a une infinité de solutions qui dépendent d un ou plusieurs paramètres : p.ex. ( ) x 2z = 2 y + 3z = 0 x = 2 + 2λ y = 3λ z = λ

21 2.7. MATRICES, APPLICATIONS LINÉAIRES ET DIRECTIONS CONSERVÉES2 2.7 Matrices, applications linéaires et directions conservées Nous savons qu une application linéaire A:Ê3 Ê3 est complètement définie par la donnée de son action sur les trois vecteurs de base, c est à dire par la donnée de Ae, Ae 2 et Ae 3. (2.38) Nous allons former la matrice de A en mettant simplement les vecteurs Ae, Ae 2 et Ae 3 en colonne. Donc la matrice A = 0 0 (2.39) signifie que l application linéaire A envoie le vecteur e sur 0, le vecteur e 2 sur et le vecteur e 3 sur. Pour savoir comment A agit sur n importe quel 0 vecteur, on applique la règle de produit vecteur matrice : 2 3 x x + 2y + 3z y = 4x + 5y + 6z. (2.40) z 7x + 8y + 9z Une chose intéressante est de savoir quelles sont les directions invariantes de la transformation linéaire. Par exemple, on peut lire sur la matrice (2.39) que la direction 0 est invariante : elle est simplement multipliée par 3. Dans cette 0 direction, la transformation est juste une dilatation. Affin de savoir si v est un vecteur d une direction conservée, il faut voir si il existe un nombre λ tel que Av = λv, c est à dire voir si v est simplement dilaté. L équation Av = λv se récrit (A λ½)v = 0, c est à dire qu il faut résoudre l équation x 0 (A λ½) y = 0. (2.4) z 0 Nous savons qu une telle équation ne peut avoir de solutions que si det(a λ½) = 0. La première étape est donc de trouver les λ qui vérifient cette condition.

22 22 CHAPITRE 2. RAPPELS THÉORIQUES 2.7. Comment trouver la matrice d une symétrie donnée? Ceci est une FAQ (Faut Avoir Quompri). Symétrie par rapport à un plan Comment trouver par exemple la matrice A qui donne la symétrie autour du plan z = 0? La définition d une telle symétrie est que les vecteurs du plan z = 0 ne bougent pas, tandis que les vecteurs perpendiculaires changent de signe. Ces informations vont permettre de trouver comment A agit sur une base deê3. En effet : a. Le vecteur 0 est dans le plan z = 0, donc il ne bouge pas, 0 0 b. le vecteur est également dans le plan, donc il ne bouge pas non plus, 0 0 c. et le vecteur 0 est perpendiculaire au plan z = 0, donc il va changer de signe. Cela nous donne directement les valeurs de A sur la base canonique et nous permet d écrire 0 0 A = 0 0. (2.42) 0 0 Pour écrire cela, nous avons juste mit en colonne les images des vecteurs de base. Les deux premiers n ont pas changé et le troisième a changé. Et si maintenant on donne un plan moins facile que z = 0? Le principe reste le même : il faudra trouver deux vecteurs qui sont dans le plan (et dire qu ils ne bougent pas), et puis un vecteur qui est perpendiculaire au plan, et dire qu il change de signe. Voyons ce qu il en est pour le plan x = z. Il faut trouver deux vecteurs linéairement indépendants dans ce plan. Prenons par exemple. pour le trouver, penser au produit vectoriel 0 f =, f 2 = 0. (2.43) 0

23 2.7. MATRICES, APPLICATIONS LINÉAIRES ET DIRECTIONS CONSERVÉES23 Nous avons Af = f Af 2 = f 2. (2.44) Afin de trouver un vecteur perpendiculaire au plan, calculons le produit vectoriel : e e 2 e 3 f 3 = f f 2 = 0 0 = e e 3 = 0. (2.45) 0 Nous avons Af 3 = f 3. (2.46) Afin de trouver la matrice A, il faut trouver Ae, Ae 2 et Ae 3. Pour ce faire, il faut d abord écrire {e, e 2, e 3 } en fonction de {f, f 2, f 3 }. La première des équation (2.43) dit que f = e 2. (2.47) Ensuite, nous avons f 2 = e e 3 f 3 = e e 3. La somme de ces deux équations donne 2e 3 = f 2 + f 3, c est à dire Et enfin, nous avons e 3 = f 2 + f 3 2 (2.48) (2.49) e = f 2 f 3. (2.50) 2 Maintenant nous pouvons calculer les images de e, e 2 et e 3 en faisant Ae = Af 2 Af 3 = = 0, Ae 2 = Af = f =, (2.5) 0 Ae 3 = f 2 f 3 2 = 2 0 = La matrice A s écrit maintenant en mettant les trois images trouvées en colonnes : 0 0 A = 0 0. (2.52) 0 0

24 24 CHAPITRE 2. RAPPELS THÉORIQUES Symétrie par rapport à une droite Le principe est exactement le même : il faut trouver trois vecteurs f, f 2 et f 3 sur lesquels on connaît l action de la symétrie. Ensuite il faudra exprimer e, e 2 et e 3 en termes de f, f 2 et f 3. Le seul problème est de trouver les trois vecteurs f i. Le premier est tout trouvé : c est n importe quel vecteur sur la droite. Pour les deux autres, il faut un peu ruser parce qu il faut impérativement qu ils soient perpendiculaire à la droite. Pour trouver f 2, on peut écrire f 2 = 0, (2.53) x et puis fixer le x pour que le produit scalaire de f 2 avec f soit nul. Si il n y a x pas moyen (genre si f a sa troisième composante nulle), essayer avec. Une 0 fois que f 2 est trouvé (il y a des milliards de choix possibles), trouver f 3 est super facile : prendre le produit vectoriel entre f et f 2. En résumé La marche à suivre est a. Trouver trois vecteurs f, f 2 et f 3 sur lesquels on connaît l action de la symétrie. Typiquement : des vecteurs qui sont sur l axe ou le plan de symétrie, et puis des perpendiculaires. Pour la perpendiculaire, penser au produit scalaire et au produit vectoriel. b. Exprimer la base canonique e, e 2 et e 3 en termes de f, f 2, f 3. c. Trouver Ae, Ae 2 et Ae 3 en utilisant leur expression en termes des f i, et le fait que l on connaisse l action de A sur les f i. d. La matrice s obtient en mettant les images des e i en colonnes. 2.8 Orthogonalité Proposition 3. si v,, v k sont des vecteurs non nuls, orthogonaux deux à deux, alors ces vecteurs forment une famille libre.

25 Chapitre 3 Analyse 3. Limites Exercice. Calculer les limites suivantes ( 0,,,0 ). 0 a. lim x 2 x 2 +x 6 x 2 4. b. lim x π 4 c. lim x π 2 tan(x) cos(2x). sec(x) tan(x). d. lim x 0 x 4 2x 3 2x sin(2x). e. lim x ± x +x 2. f. lim x 0 a x b x x. g. lim x 0 e x e x sin(x). h. lim x ( x x ln(x) i. lim x 0 e x e sin(x) x sin(x). ). j. lim x 0 x+sin(2x) x sin(2x). ( k. lim x 0 cos(x) sin(x) sin(x) l. lim x 0 x+9 3 x. m. lim x 0 tan(x) x. ). n. lim x >0 x m ln(x). ( ) o. lim π x < 2 tan(3x) tan(x). p. lim x x sin(a/x). ) q. lim x π 2 ln ( sin(x). (π 2x) 2 Ici, a et b sont des réels positifs, et m est un entier positif. Corrigé à la page 85. Exercice 2. Calculer les limites suivantes (, 0, 0 0 ). a. lim x 0 cos(x) cotg(x) b. lim x (2 x) /(x ) ( tan(x) c. lim x > x) d. lim x >0(2 cos(x) e x ) ln(x) e. lim x >0 x sin(x) ( ) sin(x) f. lim x >0 sin(x) 25

26 26 CHAPITRE 3. ANALYSE g. lim x 0 (e x + x) /x h. lim x (x 2 + x + ) /x i. lim x >0 x 2x ( j. lim 2 x + x ) x k. lim x ln(x) (x ) l. lim π x < (tan x)cos(x) 2 m. lim x >0 cotg(x) ln(x) n. lim x ( cos( a x ) + β sin( a x )) x. Corrigé à la page Dérivées et optimisation Exercice 3. Déterminer les extréma des fonctions suivantes : a. y = 2 sin(x) + cos(2x) b. y = x /x c. y = e x /x. Corrigé à la page 88. Exercice 4. Que vaut la dérivée de la fonction y = 2 ln 2 ( (2x) 2)? Corrigé à la page 88. Exercice 5. La fonction x x avec x > 0 possède un minimum. Donner la position de ce minimum. Corrigé à la page 89. Exercice 6. Dans le plan euclidien, on considère le point c = (3, 5). Par ce point, on trace une droite D qui coupe l axe Ox en un point a d abscisse positive et l axe Oy en un point b d ordonnée positive. Comment doit être le droite D pour que le triangle Oab ait une aire minimum? (interrogation de janvier 973) Corrigé à la page 89. Exercice 7. Un bateau mouille l ancre à 3 km du rivage. En face d un point situé 4 km plus loin le long de la côte, un autre bateau est ancré à 9 km du rivage. Un canot du premier bateau doit conduire un passager au rivage et aller ensuite rejoindre l autre bateau. Quel est le trajet minimum du canot? Corrigé à la page 89.

27 3.3. PRIMITIVES ET INTÉGRATION Primitives et intégration Exercice 8. Calculer les primitives suivantes (exercice, page 40). (x + x)dx 2. ( ) x 3 x x dx 3. dx 4 x x 7 dx 5. tan(2x)dx 6. cos 2 (7x) dx 7. cotg(x/3)dx 8. e sin(x) cos(x)dx 9. tan(x) sec 2 (x)dx 0. x 2x 2 +3 dx. arctg(x) +x 2 dx 2. cos(x) 6+sin 2 (x) dx Corrigé à la page x ln(x) dx 4. 9 x 2dx x 2 dx 6. x 2 +9 dx 7. x ln dx 2 (x) 8. sin(2x) +cos 2 (x) dx 9. e x e 2x dx 20. arccos 2 (x) x 2 dx 2. 2 x2 xdx 22. x x 4dx 23. e x +e 2x dx 24. a 2 x 2 b 2 dx 25. cos 2 (x) tan(x) dx 26. cos(ln(x)) dx x 27. e x/2 e x 28. e x e x dx 29. 5x 4 +3 cos 2 (x 5 +3x) dx 30. +ln(x) dx x 3. arctg(x) +x 2 dx 32. cotg(x) ln ( sin(x) ) dx 33. x 2 ( x 3 ) 2 dx Exercice 9. Quelque fractions rationnelles à intégrer (exercice 2., page 4, numéros, 2 et 0). a. dx 3x 2 2x+4 b. x 2 +3x+ dx c. 3x+ 4x 2 dx d. 7x+ 6x 2 +x dx Corrigé à la page 95. Exercice 0. Quelque intégrations par partie (exercice 3, page 42). a. xe x dx b. x 2 ln(x)dx c. arcsin(x)dx d. e x sin(x)dx