Exemples de problèmes et d applications. INF6953 Exemples de problèmes 1
|
|
- Marie-Ange Bourgeois
- il y a 8 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Exemples de problèmes et d applications INF6953 Exemples de problèmes
2 Sommaire Quelques domaines d application Quelques problèmes réels Allocation de fréquences dans les réseaux radio-mobiles Affectation de commutateurs aux antennes Max-RWA : Routage et affectation de longueur d onde dans le réseaux optiques Alignement multiple de séquences Quelques problèmes classiques Problème SAT (satisfiabilité booléenne) Problème du voyageur de commerce Problème du sac à dos, de recouvrement d ensembles, de bin-packing Problèmes de la théorie des graphes : problèmes de stable max et de clique maximum, problèmes de coloriage de graphe Liens entre problèmes réels et problèmes classiques INF6953 Exemples de problèmes
3 Quelques domaines d application pour les MH Design de réseaux de télécommunications Mise en oeuvre de réseaux de télécommunications - Affectation de fréquences dans les réseaux radio-mobiles - Routage et affectation de longueurs d ondes (max-rwa) - Affectation de fréquences dans les réseaux hertziens (RLFAP, FAPP) Bio-informatique : alignement multiple, recherche de chaîne médiane, Construction d'emploi du temps Tournées de véhicules - Vehicle Routing Problem Ordonnancement - Job Shop Scheduling INF6953 Exemples de problèmes 3
4 Problème d allocation de fréquences dans les réseaux radio-mobiles Contexte - Dans les réseaux radio-mobiles, on doit affecter une fréquence à chacune des antennes (cellules). On donne - Un graphe G = (V, E) représentant le réseau, V =n - Une fonction D : {..n} x {..n} -> N - D(i, j) = distance imposée entre les fréquences des antennes i et j - Un entier L = nombre de longueurs d ondes disponibles INF6953 Exemples de problèmes
5 Problème d allocation de fréquences dans les réseaux radio-mobiles Un appelle plan d affectation de fréquences une application f : {..n} -> {..L} qui indique, pour toute antenne i=..n, la fréquence f(i) allouée à cette antenne. On demande un plan d affectation tel que - Pour toute paire i, j dans {..n}, on vérifie f(i) f(j) >= D(i, j) INF6953 Exemples de problèmes 5
6 Problème d affectation de commutateurs aux antennes Contexte - Dans les réseaux radio-mobiles, on doit affecter un commutateur à chacune des antennes (cellules). On donne - Un entier n = nombre d antennes - Un entier m = nombre de commutateurs - Une fonction c : {..n}x{..m} -> R+ - c(i, j) = coût pour affecter le commutateur j à l antenne i - Une fonction C : {..m} -> N - C(j) = capacité du commutateur j - Une fonction cr : {..n}x{..n} -> R+ - cr(i, i )=coût (de relève) si i et i sont reliés à des commutateurs différents INF6953 Exemples de problèmes 6
7 Problème d affectation de commutateurs aux antennes Un plan d affectation est une fonction h : {..n} -> {..m} - h(i) = commutateur affecté à l antenne i Contrainte - Respecter la capacité de chaque commutateur : pour tout commutateur j, affecte au plus C(j) commutateurs à j. Coût d un plan d affectation = coût des liens + coûts de relève On demande - Un plan d affectation qui respecte la contrainte et de coût minimum INF6953 Exemples de problèmes 7
8 Problème Max-RWA Contexte - Dans les réseaux optiques, on doit satisfaire un maximum de demande de connexion en affectant à chacune d entre elles un chemin et une longueur d onde. - On donne Un graphe G = (V, E) - V représente l ensemble des stations - E représente l ensemble des liens Un entier L = nombre de longueurs d ondes disponibles Un ensemble D de demandes : - Chaque demande i étant définie par - origine(i), destination(i) = l origine et la destination de la demande i - mult(i) = le nombre de routes entre origine(i) et destination(i) INF6953 Exemples de problèmes 8
9 Problème Max-RWA On appelle plan de routage : - tout ensemble S de couples chemin/longueur d onde tel que : - Le nombre de chemins joignant origine(i) à destination(i) est inférieur ou égal à mult(i). - Deux chemins quelconques qui partagent un arc (dans le même sens) n ont jamais la même longueur d ondes On demande - un plan de routage qui maximise le nombre de demandes satisfaites. INF6953 Exemples de problèmes 9
10 Max-RWA : un exemplaire du problème ) Réseau ) Demandes i orig(i) dest(i) mult(i) ) L= (nombre de longueurs d ondes) INF6953 Exemples de problèmes 0
11 Max-RWA : une solution i orig(i) dest(i) mult(i) S = {(--, ), (-3, ), (-, ), (-3-, ), (3-, ) } S = 5 (c.a.d. 5 demandes satisfaites sur 6) INF6953 Exemples de problèmes
12 Problème d alignement multiple de séquences Contexte - Domaine de la bioinformatique On donne - Un ensemble Σ = alphabet - n chaînes s,, sn sur Σ = séquences - Une fonction f : Σ x Σ -> N, où Σ = Σ union { - } - f définit le coût d insertion, de remplacement ou de suppression INF6953 Exemples de problèmes
13 Problème d alignement multiple de séquences Définitions - Un alignement pour s,, sn est obtenu en ajoutant dans chaque chaîne des caractères d insertion - à des positions quelconques de manière à ce que les chaînes obtenues s,, s n aient toutes la même longueur - Le coût d un alignement {s,, s n} est défini par Σ<=p<q<=n Σi=..l f(s p[i], s q[i]) On demande un alignement de coût minimum INF6953 Exemples de problèmes 3
14 Problème d alignement multiple de séquences : un exemplaire du problème Σ ={A, C, T, G} 3 chaînes s=agccagtg, s=gccgtgg, s3=agagagg f (a, b)= pour a et b quelconque appartenant à Σ Voici 3 exemples d alignements M, M et M3 M M M3 AGCCAGTG- AGCCAGT-G AGCCAGT-G- -GCC-GTGG -GCC-GTGG -GCC-GT-GG AG--AGAGG AG--AGAGG -AGA-G-AGG INF6953 Exemples de problèmes
15 Problème d alignement multiple de séquences : une solution On suppose un coût d insertion égal à pour une insertion, une suppression ou un remplacement quelconque Alignement M A G C C A G T G - - G C C - G T G G A G - - A G A G G > coût total égal à INF6953 Exemples de problèmes 5
16 Quelques problèmes classiques Satisfiabilité booléenne (SAT) : problème du calcul des propositions. Satisfiabilité booléenne maximale (max-sat) Voyageur de commerce (TSP, Traveling Salesman Problem ) Coloriage de graphe, k-coloriage de graphe Stable maximal, clique maximale Sac-à-dos (knapsack), sac-à-dos multidimensionnel Placement (bin-packing) Recouvrement d ensembles Affectation quadrique INF6953 Exemples de problèmes 6
17 Problème de satisfiabilité booléenne (SAT) Définition préliminaires - Soit un ensemble de variables booléennes x,, xn. Un littéral est soit une variable, soit la négation d une variable. Une clause et une disjonction de littéraux (littéraux reliés par le connecteur OU). - La longueur d une clause correspond au nombre de ses littéraux. Exemple - x7, NOT x sont des littéraux - Exemple : x7 OR (NOT x) OR x est une clause de longueur 3 INF6953 Exemples de problèmes 7
18 Problème SAT On donne - n variables booléennes x,, xn - m clauses définies sur x,, xn On demande - une fonction {x,, xn } -> {V, F } qui satisfait toutes les clauses INF6953 Exemples de problèmes 8
19 Problèmes SAT et k-sat Le problème k-sat correspond au cas particulier du problème SAT dans le cas où les clauses ont toutes une même longueur fixée égale à k. - Par exemple, 3-SAT est le problème SAT avec des clauses toutes de longueur 3. Complexité - Le problème SAT est NP-complet. - k-sat est NP-complet pour k >= 3. - Les problèmes -SAT, Horn-SAT sont polynomiaux. INF6953 Exemples de problèmes 9
20 Problème de satisfiabilité booléenne maximale (max-sat) Le problème max-sat (problème d optimisation) - On donne : n variables booléennes x,, xn m clauses définies sur x,, xn - On demande de trouver une affectation des variables x,, xn qui satisfait un nombre maximum de clauses. Variante : Dans max-sat pondéré, on donne des pondérations réelles sur les clauses w,, wn et on doit trouver une solution qui maximise le poids total des clauses satisfaites. Les problèmes max-sat et max-sat pondéré sont NP-difficiles. INF6953 Exemples de problèmes 0
21 Problème du voyageur de commerce (TSP) Le voyageur de commerce (TSP = Traveling Salesman Problem) est l un des problèmes combinatoires les plus étudiés en RO et théorie des graphes et en optimisation combinatoire Définition Dans un graphe, un cycle hamiltonien est un cycle qui passe par chaque sommet une fois et une seule On donne - un graphe G=(V, E) - une fonction w : V x V -> R+ - d(x, y) indique la distance entre les sommets x et y On demande de trouver un cycle hamiltonien* de longueur minimale (*i.e., une tournée qui visite chaque ville une fois et une seul). INF6953 Exemples de problèmes
22 Problème du voyageur de commerce (TSP) Complexité - TSP est NP-difficile - Pas approximable dans le cas général - TSP avec inégalité triangulaire approximable en.5 x longueur optimale INF6953 Exemples de problèmes
23 Problème du sac à dos Étant donné un ensemble d objets dont on connaît le poids et l utilité, choisir un sous-ensemble de ces objets dont le poids total ne dépasse pas le poids maximum et dont l utilité totale est maximale. INF6953 Exemples de problèmes 3
24 Problème du sac à dos Étant donné un ensemble d objets dont on connaît le poids et l utilité, choisir un sous-ensemble de ces objets dont le poids total ne dépasse pas le poids maximum et dont l utilité totale est maximale. On donne - Un entier n = nombre d objets - Une fonction u : {..n} -> R+, u(i) représente l utilité de l objet i - Une fonction w : {..n} -> R+, w(i) représente le poids de l objet i - Un réel W = poids total maximum autorisé On demande un ensemble S inclus dans {..n} - tel que Σ e dans S p(e) <= W - qui maximise Σ e dans S w(e) INF6953 Exemples de problèmes
25 Problème de recouvrement d ensemble Étant donné un ensemble E et un ensemble F de parties de E qui recouvre E (dont la réunion est E) et connaissant le coût de chaque partie, choisir un sousensemble de F dont la réunion recouvre E et dont le coût total est minimum. INF6953 Exemples de problèmes 5
26 Problème de recouvrement d ensemble Étant donné un ensemble E et un ensemble F de parties de E qui recouvre E (dont la réunion est E) et connaissant le coût de chaque partie, choisir un sousensemble de F dont la réunion recouvre E et dont le coût total est minimum. On donne - un ensemble E, des ensembles E En dont la réunion égale E - une fonction c : {..n} -> R+ On demande un sous-ensemble S de {..n} - tel que U i dans S Ei = E - et qui minimise Σ i dans S c(i) INF6953 Exemples de problèmes 6
27 Problème de placement (bin-packing) Étant donné un ensemble d objets dont on connaît le poids, connaissant également que la capacité d une boîte, répartir les objets dans des boîtes tout en minimisant le nombre total de boîtes. INF6953 Exemples de problèmes 7
28 Problème de placement (bin-packing) Étant donné un ensemble d objets dont on connaît le poids, connaissant également que la capacité d une boîte, répartir les objets dans des boîtes tout en minimisant le nombre total de boîtes. On donne - un entier n = nombre d objets - une fonction w : {..n} -> R+ - w(i) = poids de l objet i - un entier C = capacité d une boîte On demande une partition {P,..,Pk} de {..n} - telle que Σ i dans Pi w(i) <= C, pour tout i =..k - et qui minimise k INF6953 Exemples de problèmes 8
29 Graphes : quelques définitions Étant donné un graphe G=(V, E) : - On appelle ensemble stable tout sous-ensemble de V qui ne contient aucune paire de sommets reliés entre eux. - On appelle k-coloriage (total légal) toute fonction (totale) c : V -> {,..,k} telle que - pour toute arête xy, c[x]<>c[y]. - INF6953 Exemples de problèmes 9
30 Graphe (non orienté) INF6953 Exemples de problèmes 30
31 Ensemble stable V = {, 7, 8} constitue un ensemble stable INF6953 Exemples de problèmes 3
32 Clique V = {,, 5} constitue une clique INF6953 Exemples de problèmes 3
33 k-coloriage (légal) La figure représente un 3-coloriage complet légal de G. INF6953 Exemples de problèmes 33
34 Problèmes de stable maximum et de clique maximum Problème de stable maximum - Étant donné un graphe G=(V, E), - Trouver un stable maximum de G (de cardinal aussi grand que possible). Problème de clique maximum - Étant donné un graphe G=(V, E), - Trouver une clique maximum de G (de cardinal aussi grand que possible). INF6953 Exemples de problèmes 3
35 Problèmes de stable maximum et de clique maximum Remarques - Un ensemble V de sommets est une clique ssi c est un ensemble stable dans le graphe complémentaire, et inversement. - Trouver une clique maximum revient à trouver un stable maximum dans le graphe complémentaire, et inversement. Les deux problèmes sont donc «équivalents». - Les deux problèmes sont NP-difficiles. INF6953 Exemples de problèmes 35
36 Problèmes de k-coloriage et de coloriage Problème de k-coloriage de graphe - Étant donné un graphe G et un entier k, - Trouver un k-coloriage de G. Problème de coloriage de graphe - Étant donné un graphe G, - Trouver un k-coloriage de G avec un nombre minimum k de couleurs. Remarques : - Le problème de -coloriage est polynomial. - Les problèmes de coloriage et de k-coloriage (k >= 3) est NP-difficile dans le cas général. INF6953 Exemples de problèmes 36
37 Applications réelles et problèmes académiques Les problèmes «académiques» (voyageur de commerce, coloriage, sac à dos, stable max, etc.) : - Ils possèdent une définition très simple. - Ils peuvent être vus comme des versions simplifiées ou «épurées» de problèmes réels. De nombreux problèmes réels ressemblent à un problème académique : - Le FAP (affectation de fréquence) est une extension du coloriage - Le VRP (problème de tournées de véhicule) est analogue au voyageur de commerce, avec des contraintes supplémentaires (plusieurs véhicules, capacité maximales à respecter, etc.). Les problèmes classiques ont été très étudiés. - Il est utile de les connaître et de connaître les algorithmes proposés pour les résoudre. INF6953 Exemples de problèmes 37
38 Exemples d applications liées au coloriage de graphe Emploi du temps Allocation de registres : voir la thèse de doctorat (Kri 0) Max-RWA : Routage et affectation de longueur d onde dans le réseaux optiques Allocation de fréquences dans les réseaux radio-mobiles : FAP Affectation de fréquences dans les réseaux par voie hertzienne : - RLFAP - Affectation de fréquences avec polarisation (FAPP) INF6953 Exemples de problèmes 38
39 Max-RWA : Définition Étant donné. Un réseau représenté par un graphe G = (V, E) : - V représente l ensemble des stations - E représente l ensemble des liens. Le nombre L de longueurs d ondes disponibles 3. Un ensemble D de demandes : Chaque demande i étant définie par origine(i), destination(i) et mult(i). On appelle plan de routage : - tout ensemble S de couples chemin/longueur d onde tel que :. Le nombre de chemins joignant origine(i) à destination(i) est inférieur ou égal à mult(i).. Deux chemins qui partagent un arc (dans le même sens) n ont jamais la même longueur d ondes. On cherche : - un plan de routage qui maximise le nombre de demandes satisfaites. INF6953 Exemples de problèmes 39
40 Max-RWA : un exemplaire du problème ) Réseau ) Demandes i orig(i) dest(i) mult(i) ) L= (nombre de longueurs d ondes) INF6953 Exemples de problèmes 0
41 Max-RWA : graphe auxiliaire de à : demandes de à 3 : demande de à : demandes -3- de 3 à : demande INF6953 Exemples de problèmes
42 Max-RWA et coloriage de graphe Il y a un lien étroit entre max-rwa et le coloriage de graphe : résoudre le max-rwa revient à résoudre un problème de coloriage de graphe «non standard» pour un certain graphe (le graphe auxiliaire). Problème max-rwa Graphe auxiliaire - Demande i - groupe de sommets - Un chemin de o(i) à d(i) - un sommet du groupe - Paire de chemins adjacents - arcs entre les deux sommets Une configuration est représentée par : - un multi-coloriage partiel S (un ensemble de couples sommet/couleur, i.e. un sommet peut être colorié avec 0,, ou plusieurs couleurs) tel que - Dans un groupe, le nombre de couples est inférieur ou égal à mult(i) - Deux sommets adjacents n ont pas la même couleur - La qualité d une solution est le nombre de couples ( S ). INF6953 Exemples de problèmes
43 Max-RWA : coloriage du graphe auxiliaire de à : demandes de à 3 : demande de à : demandes -3- de 3 à : demande INF6953 Exemples de problèmes 3
44 Max-RWA : solution i orig(i) dest(i) mult(i) S = {(--, ), (-3, ), (-, ), (-3-, ), (3-, ) } S = 5 (c.a.d. 5 demandes satisfaites sur 6) INF6953 Exemples de problèmes
La NP-complétude. Johanne Cohen. PRISM/CNRS, Versailles, France.
La NP-complétude Johanne Cohen PRISM/CNRS, Versailles, France. Références 1. Algorithm Design, Jon Kleinberg, Eva Tardos, Addison-Wesley, 2006. 2. Computers and Intractability : A Guide to the Theory of
Plus en détailAnnexe 6. Notions d ordonnancement.
Annexe 6. Notions d ordonnancement. APP3 Optimisation Combinatoire: problèmes sur-contraints et ordonnancement. Mines-Nantes, option GIPAD, 2011-2012. Sophie.Demassey@mines-nantes.fr Résumé Ce document
Plus en détailCours Optimisation Partie Optimisation Combinatoire. Année scolaire 2008-2009. Gérard Verfaillie ONERA/DCSD/CD, Toulouse Gerard.Verfaillie@onera.
Cours Optimisation Partie Optimisation Combinatoire 3ième année ISAE Année scolaire 2008-2009 Gérard Verfaillie ONERA/DCSD/CD, Toulouse Gerard.Verfaillie@onera.fr Septembre 2008 Résumé Ce document couvre
Plus en détailThéorie des Graphes Cours 3: Forêts et Arbres II / Modélisation
IFIPS S7 - informatique Université Paris-Sud 11 1er semestre 2009/2010 Théorie des Graphes Cours 3: Forêts et Arbres II / 1 Forêts et arbres II Théorème 1.1. Les assertions suivantes sont équivalentes
Plus en détailPlus courts chemins, programmation dynamique
1 Plus courts chemins, programmation dynamique 1. Plus courts chemins à partir d un sommet 2. Plus courts chemins entre tous les sommets 3. Semi-anneau 4. Programmation dynamique 5. Applications à la bio-informatique
Plus en détailInfo0804. Cours 6. Optimisation combinatoire : Applications et compléments
Recherche Opérationnelle Optimisation combinatoire : Applications et compléments Pierre Delisle Université de Reims Champagne-Ardenne Département de Mathématiques et Informatique 17 février 2014 Plan de
Plus en détailChapitre 5 : Flot maximal dans un graphe
Graphes et RO TELECOM Nancy A Chapitre 5 : Flot maximal dans un graphe J.-F. Scheid 1 Plan du chapitre I. Définitions 1 Graphe Graphe valué 3 Représentation d un graphe (matrice d incidence, matrice d
Plus en détailObjectifs du cours d aujourd hui. Informatique II : Cours d introduction à l informatique et à la programmation objet. Complexité d un problème (2)
Objectifs du cours d aujourd hui Informatique II : Cours d introduction à l informatique et à la programmation objet Complexité des problèmes Introduire la notion de complexité d un problème Présenter
Plus en détailOptimisation Combinatoire et Colonies de Fourmis Nicolas Monmarche April 21, 1999 Sommaire Inspiration biologiques Ant Colony Optimization Applications TSP QAP Flow Shop Problemes dynamiques 1 Historique
Plus en détailCommunications collectives et ordonnancement en régime permanent pour plates-formes hétérogènes
Loris MARCHAL Laboratoire de l Informatique du Parallélisme Équipe Graal Communications collectives et ordonnancement en régime permanent pour plates-formes hétérogènes Thèse réalisée sous la direction
Plus en détailResolution limit in community detection
Introduction Plan 2006 Introduction Plan Introduction Introduction Plan Introduction Point de départ : un graphe et des sous-graphes. But : quantifier le fait que les sous-graphes choisis sont des modules.
Plus en détailPROBLEMES D'ORDONNANCEMENT AVEC RESSOURCES
Leçon 11 PROBLEMES D'ORDONNANCEMENT AVEC RESSOURCES Dans cette leçon, nous retrouvons le problème d ordonnancement déjà vu mais en ajoutant la prise en compte de contraintes portant sur les ressources.
Plus en détailConception de réseaux de télécommunications : optimisation et expérimentations
Conception de réseaux de télécommunications : optimisation et expérimentations Jean-François Lalande Directeurs de thèse: Jean-Claude Bermond - Michel Syska Université de Nice-Sophia Antipolis Mascotte,
Plus en détailDe même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que
Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer
Plus en détailIntroduction à la théorie des graphes. Solutions des exercices
CAHIERS DE LA CRM Introduction à la théorie des graphes Solutions des exercices Didier Müller CAHIER N O 6 COMMISSION ROMANDE DE MATHÉMATIQUE 1 Graphes non orientés Exercice 1 On obtient le graphe biparti
Plus en détailEléments de Théorie des Graphes et Programmation Linéaire
INSTITUT NATIONAL POLYTECHNIQUE DE LORRAINE Ecole Nationale Supérieure d Electricité et de Mécanique Eléments de Théorie des Graphes et Programmation Linéaire Didier Maquin Professeur à l INPL Version
Plus en détailProgrammation linéaire
Programmation linéaire DIDIER MAQUIN Ecole Nationale Supérieure d Electricité et de Mécanique Institut National Polytechnique de Lorraine Mathématiques discrètes cours de 2ème année Programmation linéaire
Plus en détailCapacité d un canal Second Théorème de Shannon. Théorie de l information 1/34
Capacité d un canal Second Théorème de Shannon Théorie de l information 1/34 Plan du cours 1. Canaux discrets sans mémoire, exemples ; 2. Capacité ; 3. Canaux symétriques ; 4. Codage de canal ; 5. Second
Plus en détailLa programmation linéaire : une introduction. Qu est-ce qu un programme linéaire? Terminologie. Écriture mathématique
La programmation linéaire : une introduction Qu est-ce qu un programme linéaire? Qu est-ce qu un programme linéaire? Exemples : allocation de ressources problème de recouvrement Hypothèses de la programmation
Plus en détailOptimisation Combinatoire (Méthodes approchées) II. Recherche Locale simple (Les bases)
Optimisation Combinatoire (Méthodes approchées) II. Recherche Locale simple (Les bases) Heuristique Constructive Itérativement, ajoute de nouvelles composantes à une solution partielle candidate Espace
Plus en détailNouvelles propositions pour la résolution exacte du sac à dos multi-objectif unidimensionnel en variables binaires
Nouvelles propositions pour la résolution exacte du sac à dos multi-objectif unidimensionnel en variables binaires Julien Jorge julien.jorge@univ-nantes.fr Laboratoire d Informatique de Nantes Atlantique,
Plus en détailCours de Recherche Opérationnelle IUT d Orsay. Nicolas M. THIÉRY. E-mail address: Nicolas.Thiery@u-psud.fr URL: http://nicolas.thiery.
Cours de Recherche Opérationnelle IUT d Orsay Nicolas M. THIÉRY E-mail address: Nicolas.Thiery@u-psud.fr URL: http://nicolas.thiery.name/ CHAPTER 1 Introduction à l optimisation 1.1. TD: Ordonnancement
Plus en détailPrénom : Matricule : Sigle et titre du cours Groupe Trimestre INF1101 Algorithmes et structures de données Tous H2004. Loc Jeudi 29/4/2004
Questionnaire d'examen final INF1101 Sigle du cours Nom : Signature : Prénom : Matricule : Sigle et titre du cours Groupe Trimestre INF1101 Algorithmes et structures de données Tous H2004 Professeur(s)
Plus en détailSouad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/
Recherche opérationnelle Les démonstrations et les exemples seront traités en cours Souad EL Bernoussi Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Table des matières 1 Programmation
Plus en détailFaculté des sciences Département de mathématiques. Théorie des graphes
Faculté des sciences Département de mathématiques Théorie des graphes Deuxièmes bacheliers en sciences mathématiques Année académique 2009 2010 Michel Rigo Table des matières Introduction 1 Chapitre I.
Plus en détailProgrammation linéaire
1 Programmation linéaire 1. Le problème, un exemple. 2. Le cas b = 0 3. Théorème de dualité 4. L algorithme du simplexe 5. Problèmes équivalents 6. Complexité de l Algorithme 2 Position du problème Soit
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme
Plus en détailCours de Master Recherche
Cours de Master Recherche Spécialité CODE : Résolution de problèmes combinatoires Christine Solnon LIRIS, UMR 5205 CNRS / Université Lyon 1 2007 Rappel du plan du cours 16 heures de cours 1 - Introduction
Plus en détailINFO-F-425 Modèles mathématiques et algorithmes pour l ordonnancement. Bernard Fortz
INFO-F-425 Modèles mathématiques et algorithmes pour l ordonnancement Bernard Fortz 2008-2009 Table des matières 1 Définition et classification des problèmes d ordonnancement 2 1.1 Introduction....................................
Plus en détailINF 232: Langages et Automates. Travaux Dirigés. Université Joseph Fourier, Université Grenoble 1 Licence Sciences et Technologies
INF 232: Langages et Automates Travaux Dirigés Université Joseph Fourier, Université Grenoble 1 Licence Sciences et Technologies Année Académique 2013-2014 Année Académique 2013-2014 UNIVERSITÉ JOSEPH
Plus en détailElectrotechnique: Electricité Avion,
Electrotechnique: Electricité Avion, La machine à Courant Continu Dr Franck Cazaurang, Maître de conférences, Denis Michaud, Agrégé génie Electrique, Institut de Maintenance Aéronautique UFR de Physique,
Plus en détailBaccalauréat ES Polynésie (spécialité) 10 septembre 2014 Corrigé
Baccalauréat ES Polynésie (spécialité) 10 septembre 2014 Corrigé A. P. M. E. P. Exercice 1 5 points 1. Réponse d. : 1 e Le coefficient directeur de la tangente est négatif et n est manifestement pas 2e
Plus en détailLE PROBLEME DU PLUS COURT CHEMIN
LE PROBLEME DU PLUS COURT CHEMIN Dans cette leçon nous définissons le modèle de plus court chemin, présentons des exemples d'application et proposons un algorithme de résolution dans le cas où les longueurs
Plus en détailContexte. Pour cela, elles doivent être très compliquées, c est-à-dire elles doivent être très différentes des fonctions simples,
Non-linéarité Contexte Pour permettre aux algorithmes de cryptographie d être sûrs, les fonctions booléennes qu ils utilisent ne doivent pas être inversées facilement. Pour cela, elles doivent être très
Plus en détailModélisation et Simulation
Cours de modélisation et simulation p. 1/64 Modélisation et Simulation G. Bontempi Département d Informatique Boulevard de Triomphe - CP 212 http://www.ulb.ac.be/di Cours de modélisation et simulation
Plus en détailObjets Combinatoires élementaires
Objets Combinatoires élementaires 0-0 Permutations Arrangements Permutations pour un multi-ensemble mots sous-ensemble à k éléments (Problème du choix) Compositions LE2I 04 1 Permutations Supposons que
Plus en détailStratégie de recherche adaptative en programmation par contrainte
Université Paul Sabatier École Nationale de l Aviation Civile Master 2 Recherche Informatique et Télécommunication parcours Intelligence Artificielle Simon Marchal Stratégie de recherche adaptative en
Plus en détailUFR de Mathématiques et Informatique Année 2009/2010. Réseaux Locaux TP 04 : ICMP, ARP, IP
Université de Strasbourg Licence Pro ARS UFR de Mathématiques et Informatique Année 2009/2010 1 Adressage IP 1.1 Limites du nombre d adresses IP 1.1.1 Adresses de réseaux valides Réseaux Locaux TP 04 :
Plus en détailIntroduction au maillage pour le calcul scientifique
Introduction au maillage pour le calcul scientifique CEA DAM Île-de-France, Bruyères-le-Châtel franck.ledoux@cea.fr Présentation adaptée du tutorial de Steve Owen, Sandia National Laboratories, Albuquerque,
Plus en détailCours des Méthodes de Résolution Exactes Heuristiques et Métaheuristiques
Université Mohammed V, Faculté des Sciences de Rabat Laboratoire de Recherche Mathématiques, Informatique et Applications Cours des Méthodes de Résolution Exactes Heuristiques et Métaheuristiques MASTER
Plus en détailFIMA, 7 juillet 2005
F. Corset 1 S. 2 1 LabSAD Université Pierre Mendes France 2 Département de Mathématiques Université de Franche-Comté FIMA, 7 juillet 2005 Plan de l exposé plus court chemin Origine du problème Modélisation
Plus en détailSéparation et Evaluation pour le problème d ordonnancement avec blocage.
Séparation et Evaluation pour le problème d ordonnancement avec blocage. Abdelhakim Ait Zai 1, Abdelkader Bentahar 1, Hamza Bennoui 1, Mourad Boudhar 2 et Yazid Mati 3 1 Faculté d Electronique et d Informatique,
Plus en détailCorrigé du baccalauréat S Asie 21 juin 2010
Corrigé du baccalauréat S Asie juin 00 EXERCICE Commun à tous les candidats 4 points. Question : Le triangle GBI est : Réponse a : isocèle. Réponse b : équilatéral. Réponse c : rectangle. On a GB = + =
Plus en détailThéorie et Codage de l Information (IF01) exercices 2013-2014. Paul Honeine Université de technologie de Troyes France
Théorie et Codage de l Information (IF01) exercices 2013-2014 Paul Honeine Université de technologie de Troyes France TD-1 Rappels de calculs de probabilités Exercice 1. On dispose d un jeu de 52 cartes
Plus en détailCours de Probabilités et de Statistique
Cours de Probabilités et de Statistique Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université Paris-Est Cours de Proba-Stat 2 L1.2 Science-Éco Chapitre Notions de théorie des ensembles 1 1.1 Ensembles
Plus en détailBaccalauréat ES/L Amérique du Sud 21 novembre 2013
Baccalauréat ES/L Amérique du Sud 21 novembre 2013 A. P. M. E. P. EXERCICE 1 Commun à tous les candidats 5 points Une entreprise informatique produit et vend des clés USB. La vente de ces clés est réalisée
Plus en détailCours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables
Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........
Plus en détailSystèmes décisionnels et programmation avancée
Systèmes décisionnels et programmation avancée M1 SIR Philippe Muller et Mustapha Mojahid, Matthieu Serrurier, Marie-Christine Scheix 2014-2015 Introduction structure du cours intervenants introduction
Plus en détailOrdonnancement temps réel
Ordonnancement temps réel Laurent.Pautet@enst.fr Version 1.5 Problématique de l ordonnancement temps réel En fonctionnement normal, respecter les contraintes temporelles spécifiées par toutes les tâches
Plus en détailOptimisation for Cloud Computing and Big Data
1 / 23 Optimisation for Cloud Computing and Big Data Olivier Beaumont, Lionel Eyraud-Dubois 2 / 23 Aujourd hui Problèmes de fiabilité on va oublier la dynamicité Placement de VMs en programmation par contraintes
Plus en détailCOURS EULER: PROGRAMME DE LA PREMIÈRE ANNÉE
COURS EULER: PROGRAMME DE LA PREMIÈRE ANNÉE Le cours de la première année concerne les sujets de 9ème et 10ème années scolaires. Il y a bien sûr des différences puisque nous commençons par exemple par
Plus en détailMABioVis. Bio-informatique et la
MABioVis Modèles et Algorithmes pour la Bio-informatique et la Visualisation Visite ENS Cachan 5 janvier 2011 MABioVis G GUY MELANÇON (PR UFR Maths Info / EPI GRAVITE) (là, maintenant) - MABioVis DAVID
Plus en détailSommaire. Introduction.2. 1. Définition..2. 2. Historique.2. 3. Domaine d application.2. 4.Les Travaux réalisés sur les domaines d application.
Sommaire Introduction.2 1. Définition..2 2. Historique.2 3. Domaine d application.2 4.Les Travaux réalisés sur les domaines d application.3 5.Algorithme 4 6.Exemple d application 5 7. Avantage et inconvénient..6
Plus en détailUniversité Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications
Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010 Applications 1 Introduction Une fonction f (plus précisément, une fonction réelle d une variable réelle) est une règle qui associe à tout réel x au
Plus en détailProgrammation Par Contraintes
Programmation Par Contraintes Cours 2 - Arc-Consistance et autres amusettes David Savourey CNRS, École Polytechnique Séance 2 inspiré des cours de Philippe Baptiste, Ruslan Sadykov et de la thèse d Hadrien
Plus en détailDéfinitions. Numéro à préciser. (Durée : )
Numéro à préciser (Durée : ) On étudie dans ce problème l ordre lexicographique pour les mots sur un alphabet fini et plusieurs constructions des cycles de De Bruijn. Les trois parties sont largement indépendantes.
Plus en détailTable des matières. 1 Programmation linéaire 1
Table des matières 1 Programmation linéaire 1 2 La théorie des graphes 3 2.1 Dénitions et premières exemples................... 6 2.2 Représentation non graphique d'un graphe.............. 9 2.2.1 Représentation
Plus en détailExercices Alternatifs. Quelqu un aurait-il vu passer un polynôme?
Exercices Alternatifs Quelqu un aurait-il vu passer un polynôme? c 2004 Frédéric Le Roux, François Béguin (copyleft LDL : Licence pour Documents Libres). Sources et figures: polynome-lagrange/. Version
Plus en détailExercices Alternatifs. Quelqu un aurait-il vu passer un polynôme?
Exercices Alternatifs Quelqu un aurait-il vu passer un polynôme? c 2004 Frédéric Le Roux, François Béguin (copyleft LDL : Licence pour Documents Libres). Sources et figures: polynome-lagrange/. Version
Plus en détailLES CARACTERISTIQUES DES SUPPORTS DE TRANSMISSION
LES CARACTERISTIQUES DES SUPPORTS DE TRANSMISSION LES CARACTERISTIQUES DES SUPPORTS DE TRANSMISSION ) Caractéristiques techniques des supports. L infrastructure d un réseau, la qualité de service offerte,
Plus en détailProblèmes d ordonnancement dans les systèmes de production. Journée Automatique et Optimisation Université de Paris 12 20 Mars 2003
Problèmes d ordonnancement dans les systèmes de production Michel Gourgand Université Blaise Pascal Clermont Ferrand LIMOS CNRS UMR 6158 1 Le LIMOS Laboratoire d Informatique, de Modélisation et d Optimisation
Plus en détailLE DIPLOME DE MAGISTER
Département d Informatique MEMOIRE Présenté par DEDDOUCHE Yamina Pour obtenir LE DIPLOME DE MAGISTER Spécialité : Informatique Option : Informatique et Automatique Intitulé : Contribution à l Ordonnancement
Plus en détailOUTILS EN INFORMATIQUE
OUTILS EN INFORMATIQUE Brice Mayag brice.mayag@dauphine.fr LAMSADE, Université Paris-Dauphine R.O. Excel brice.mayag@dauphine.fr (LAMSADE) OUTILS EN INFORMATIQUE R.O. Excel 1 / 35 Plan Présentation générale
Plus en détailNouvelles propositions pour la résolution exacte du problème de sac à dos bi-objectif unidimensionnel en variables binaires
Nouvelles propositions pour la résolution exacte du problème de sac à dos bi-objectif unidimensionnel en variables binaires Julien Jorge, Xavier Gandibleux Laboratoire d Informatique de Nantes Atlantique
Plus en détailModélisation multi-agents - Agents réactifs
Modélisation multi-agents - Agents réactifs Syma cursus CSI / SCIA Julien Saunier - julien.saunier@ifsttar.fr Sources www-lih.univlehavre.fr/~olivier/enseignement/masterrecherche/cours/ support/algofourmis.pdf
Plus en détailBig Data et Graphes : Quelques pistes de recherche
Big Data et Graphes : Quelques pistes de recherche Hamamache Kheddouci Laboratoire d'informatique en Image et Systèmes d'information LIRIS UMR 5205 CNRS/INSA de Lyon/Université Claude Bernard Lyon 1/Université
Plus en détailSujet 4: Programmation stochastique propriétés de fonction de recours
Sujet 4: Programmation stochastique propriétés de fonction de recours MSE3313: Optimisation Stochastiqe Andrew J. Miller Dernière mise au jour: October 19, 2011 Dans ce sujet... 1 Propriétés de la fonction
Plus en détailPROBABILITES ET STATISTIQUE I&II
PROBABILITES ET STATISTIQUE I&II TABLE DES MATIERES CHAPITRE I - COMBINATOIRE ELEMENTAIRE I.1. Rappel des notations de la théorie des ensemble I.1.a. Ensembles et sous-ensembles I.1.b. Diagrammes (dits
Plus en détailPourquoi l apprentissage?
Pourquoi l apprentissage? Les SE sont basés sur la possibilité d extraire la connaissance d un expert sous forme de règles. Dépend fortement de la capacité à extraire et formaliser ces connaissances. Apprentissage
Plus en détailLimites finies en un point
8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,
Plus en détailPartie 7 : Gestion de la mémoire
INF3600+INF2610 Automne 2006 Partie 7 : Gestion de la mémoire Exercice 1 : Considérez un système disposant de 16 MO de mémoire physique réservée aux processus utilisateur. La mémoire est composée de cases
Plus en détail3 Approximation de solutions d équations
3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle
Plus en détailFonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre
IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables
Plus en détailOrdonnancement en temps réel d un jobshop par métaheuristique hybride : étude comparative
Ordonnancement en temps réel d un jobshop par métaheuristique hybride : étude comparative Y. Houbad, M. Souier, A. Hassam, Z.Sari Laboratoire d automatique Tlemcen Faculté de technologie, Université Abou
Plus en détailQuantification Scalaire et Prédictive
Quantification Scalaire et Prédictive Marco Cagnazzo Département Traitement du Signal et des Images TELECOM ParisTech 7 Décembre 2012 M. Cagnazzo Quantification Scalaire et Prédictive 1/64 Plan Introduction
Plus en détailProjet de traitement d'image - SI 381 reconstitution 3D d'intérieur à partir de photographies
Projet de traitement d'image - SI 381 reconstitution 3D d'intérieur à partir de photographies Régis Boulet Charlie Demené Alexis Guyot Balthazar Neveu Guillaume Tartavel Sommaire Sommaire... 1 Structure
Plus en détailG.P. DNS02 Septembre 2012. Réfraction...1 I.Préliminaires...1 II.Première partie...1 III.Deuxième partie...3. Réfraction
DNS Sujet Réfraction...1 I.Préliminaires...1 II.Première partie...1 III.Deuxième partie...3 Réfraction I. Préliminaires 1. Rappeler la valeur et l'unité de la perméabilité magnétique du vide µ 0. Donner
Plus en détailBig Data et Graphes : Quelques pistes de recherche
Big Data et Graphes : Quelques pistes de recherche Hamamache Kheddouci http://liris.cnrs.fr/hamamache.kheddouci Laboratoire d'informatique en Image et Systèmes d'information LIRIS UMR 5205 CNRS/INSA de
Plus en détailMétriques de performance pour les algorithmes et programmes parallèles
Métriques de performance pour les algorithmes et programmes parallèles 11 18 nov. 2002 Cette section est basée tout d abord sur la référence suivante (manuel suggéré mais non obligatoire) : R. Miller and
Plus en détail1 de 46. Algorithmique. Trouver et Trier. Florent Hivert. Mél : Florent.Hivert@lri.fr Page personnelle : http://www.lri.fr/ hivert
1 de 46 Algorithmique Trouver et Trier Florent Hivert Mél : Florent.Hivert@lri.fr Page personnelle : http://www.lri.fr/ hivert 2 de 46 Algorithmes et structures de données La plupart des bons algorithmes
Plus en détailOptimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications
Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante
Plus en détailTsoft et Groupe Eyrolles, 2005, ISBN : 2-212-11623-3
Tsoft et Groupe Eyrolles, 2005, ISBN : 2-212-11623-3 Configuration requise ForestPrep DomainPrep Installation interactive 5 Installation sans surveillance Module 5 : Installation d Exchange Server 2003
Plus en détailProblème d ordonnancement de véhicules en variables booléennes
Problème d ordonnancement de véhicules en variables booléennes Freddy Hetman 2 juillet 2013 Faculté des sciences Jean Perrin Freddy Hetman () 2 juillet 2013 1 / 22 Sommaire 1 Introduction 2 Le problème
Plus en détailNOTIONS DE RESEAUX INFORMATIQUES
NOTIONS DE RESEAUX INFORMATIQUES GENERALITES Définition d'un réseau Un réseau informatique est un ensemble d'équipements reliés entre eux afin de partager des données, des ressources et d'échanger des
Plus en détailMini_guide_Isis.pdf le 23/09/2001 Page 1/14
1 Démarrer...2 1.1 L écran Isis...2 1.2 La boite à outils...2 1.2.1 Mode principal...3 1.2.2 Mode gadgets...3 1.2.3 Mode graphique...3 2 Quelques actions...4 2.1 Ouvrir un document existant...4 2.2 Sélectionner
Plus en détailPolynômes à plusieurs variables. Résultant
Polynômes à plusieurs variables. Résultant Christophe Ritzenthaler 1 Relations coefficients-racines. Polynômes symétriques Issu de [MS] et de [Goz]. Soit A un anneau intègre. Définition 1.1. Soit a A \
Plus en détailChapitre 2 : Systèmes radio mobiles et concepts cellulaires
Chapitre 2 : Systèmes radio mobiles et concepts cellulaires Systèmes cellulaires Réseaux cellulaires analogiques de 1ère génération : AMPS (USA), NMT(Scandinavie), TACS (RU)... Réseaux numériques de 2ème
Plus en détailIntroduction au Data-Mining
Introduction au Data-Mining Alain Rakotomamonjy - Gilles Gasso. INSA Rouen -Département ASI Laboratoire PSI Introduction au Data-Mining p. 1/25 Data-Mining : Kèkecé? Traduction : Fouille de données. Terme
Plus en détailMIS 102 Initiation à l Informatique
MIS 102 Initiation à l Informatique Responsables et cours : Cyril Gavoille Catherine Pannier Matthias Robine Marc Zeitoun Planning : 6 séances de cours 5 séances de TD (2h40) 4 séances de TP (2h40) + environ
Plus en détailTP 2 Réseaux. Adresses IP, routage et sous-réseaux
TP 2 Réseaux Adresses IP, routage et sous-réseaux C. Pain-Barre INFO - IUT Aix-en-Provence version du 24/2/2 Adressage IP. Limites du nombre d adresses IP.. Adresses de réseaux valides Les adresses IP
Plus en détailPremiers exercices d Algèbre. Anne-Marie Simon
Premiers exercices d Algèbre Anne-Marie Simon première version: 17 août 2005 version corrigée et complétée le 12 octobre 2010 ii Table des matières 1 Quelques structures ensemblistes 1 1.0 Ensembles, relations,
Plus en détailIntégration et probabilités TD1 Espaces mesurés
Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés 2012-2013 1 Petites questions 1) Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? 2) Si F et G sont deux tribus, est-ce que F G est toujours une tribu?
Plus en détailLes évolutions des échanges de données dans le domaine du transport. Bertrand Cuissart 1. 28 septembre 2005 EDI. B. Cuissart.
Les Échanges de données informatisés Les évolutions des échanges de données dans le domaine du transport Bertrand Cuissart 1 1 Département GLT, IUT d Alençon, Université de Caen. 28 septembre 2005 Domaine
Plus en détailExercices types Algorithmique et simulation numérique Oral Mathématiques et algorithmique Banque PT
Exercices types Algorithmique et simulation numérique Oral Mathématiques et algorithmique Banque PT Ces exercices portent sur les items 2, 3 et 5 du programme d informatique des classes préparatoires,
Plus en détailBaccalauréat ES/L Métropole La Réunion 13 septembre 2013 Corrigé
Baccalauréat S/L Métropole La Réunion 13 septembre 2013 Corrigé A. P. M.. P. XRCIC 1 Commun à tous les candidats Partie A 1. L arbre de probabilité correspondant aux données du problème est : 0,3 0,6 H
Plus en détailCryptographie et fonctions à sens unique
Cryptographie et fonctions à sens unique Pierre Rouchon Centre Automatique et Systèmes Mines ParisTech pierre.rouchon@mines-paristech.fr Octobre 2012 P.Rouchon (Mines ParisTech) Cryptographie et fonctions
Plus en détailBases de données réparties: Fragmentation et allocation
Pourquoi une base de données distribuée? Bibliographie Patrick Valduriez, S. Ceri, Guiseppe Delagatti Bases de données réparties: Fragmentation et allocation 1 - Introduction inventés à la fin des années
Plus en détailOPTIMISATION À UNE VARIABLE
OPTIMISATION À UNE VARIABLE Sommaire 1. Optimum locaux d'une fonction... 1 1.1. Maximum local... 1 1.2. Minimum local... 1 1.3. Points stationnaires et points critiques... 2 1.4. Recherche d'un optimum
Plus en détailSystème immunitaire artificiel
République Algérienne Démocratique et Populaire Ministère de l Enseignement Supérieure Université des Sciences et de la Technologie D Oran Mohammed Boudiaf (USTO) Faculté des Sciences Département d Informatique
Plus en détail