Jeux sous forme extensive (Jeux dynamiques)

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1 (Jeux dynamiques) Plan du chapitre ( juillet 008) / éfinitions, exemples et équivalences Arbres de jeux, information et mémoire tratégies et réduction en forme normale Équilibre de Nash parfait en sous-jeux ous-jeux et principe d induction rétroactive as particulier : information parfaite Jeux répétés (à information complète et observation parfaite) Jeux répétés à horizon fini Jeux répétés à horizon infini Négociation : Approche non-coopérative (développée) : prendre en compte de manière détaillée la structure séquentielle du problème de décision (arbre de jeu), l évolution de l information, des croyances, et des possibilités d action Exemples : Jeu d échec, poker,... uopole de tackelberg (leader / follower) Problème d entrée d une firme sur un marché / affinement possible du concept d équilibre de Nash en éliminant, par exemple, des menaces d actions non crédibles (équilibre de Nash parfait en sous-jeux, elten, 965) Exemple : Menace de guerre des prix de la part d une firme installée Tout jeu sous forme extensive peut cependant s écrire sous forme normale si toutes les stratégies possibles de chaque joueur sont spécifiées de manière suffisamment exhaustive

2 Ensemble N = {,,..., i,..., n} des joueurs Ensemble X des noeuds de l arbre elation d ordre partiel transitive et asymétrique x x si et seulement si x précède x 3/ Noeud initial : sans prédécesseur et prédécesseur de tous les autres Tous les autres noeuds ont un et un seul prédécesseur immédiat Noeuds terminaux : sans successeurs Noeuds de décision : noeuds non terminaux associés à un seul joueur (ou bien à la Nature, qui détermine les événements aléatoires) Ensemble des actions pour chaque joueur à chacun de ses noeuds de décision (branches de l arbre) (H i ) i N : partitions des noeuds de décision en ensembles d information. x h i (x), les actions disponibles par le joueur i en x sont les mêmes (u i ) i N : utilités des joueurs aux noeuds terminaux Probabilités des éventuels états de la Nature Exemples ilemme des prisonniers 4/ (,) (3, 0) (0,3) (, ) eux répétitions avec observation parfaite...

3 Jeu de l ultimatum (fini) A (, 0) A (,) (0, ) A 5/ (,0) (0,0) (, ) (0, 0) (0, ) (0,0) Jeu d entrée sur un marché E Entrer Partager I (,3) Ne pas entrer asser les prix (, ) 6/ (0,5)

4 Information parfaite/imparfaite i tous les ensembles d information du jeu sont réduits à des singletons alors chaque joueur, lors de sa prise de décision 7/ connaît tous les événements passés sait ce que les autres ont joué auparavant personne ne joue simultanément Jeu est à information parfaite (jeu d échec, morpion, duopole de tackelberg, jeu de l ultimatum, jeu de l entrée) inon, le jeu est à information imparfaite (poker, duopole de Bertrand/ournot, dilemme des prisonniers) Information complète/incomplète i certains joueurs ne connaissent pas la structure du jeu, i.e., ne connaissent pas parfaitement les préférences des joueurs les actions disponibles l identité ou le nombre de joueurs l ordre des décisions 8/ le jeu est dit à information incomplète Harsanyi ( ) propose une transformation Information incomplète information imparfaite en introduisant un joueur fictif, appelé Nature, qui détermine les éléments aléatoires du jeu (les états de la Nature, incluant les croyances des joueurs), avec une distribution de probabilité a priori commune as particulier : jeux Bayésiens

5 9/ Fig. John. Harsanyi (90 000) Exemple : jeu de signal Un vendeur d un bien propose un prix unitaire p, puis un consommateur doit décider de la quantité de bien q qu il va acheter après avoir observé le prix fixé par le vendeur 0/ Jeu à information incomplète car tous les joueurs ne connaissent pas nécessairement la fonction de profit du vendeur et la fonction d utilité du consommateur (e.g., incertitude sur la qualité du produit) Introduction d un ensemble d états de la Nature Ω, et d une distribution de probabilité a priori µ (Ω) onfiguration la plus simple : un état de la Nature pour chaque niveau de qualité : Ω = {ω, ω } le vendeur connaît toujours la qualité le consommateur ne connaît jamais la qualité Le joueur (le joueur informé) est appelé l émetteur et le joueur (le joueur non informé) le récepteur

6 π V (p, q ; ω ) π V (p, q ; ω ) π V (p, q ; ω ) π V (p, q ; ω ) u (p, q ; ω ) u (p, q ; ω ) u (p, q ; ω ) u (p, q ; ω ) q q onsommateur q q p Vendeur ω N ω p Vendeur (p p ) / q p q onsommateur q p q π V (p, q ; ω ) π V (p, q ; ω ) π V (p, q ; ω ) π V (p, q ; ω ) u (p, q ; ω ) u (p, q ; ω ) u (p, q ; ω ) u (p, q ; ω ) Lorsque l utilité des joueurs est indépendante de l action de l émetteur, un tel jeu est appelé jeu de communication pure, ou jeu de cheap talk Mémoire parfaite/imparfaite Un jeu est à mémoire parfaite si chaque joueur se souvient de toutes ses actions et de toutes ses informations antérieures Exemples de jeux à mémoire imparfaite : image / g m d

7 N ω ω 3/ tratégies et réduction en forme normale Une stratégie est un plan d action d un joueur à chacun de ses ensembles d information (atteints ou non) de telle sorte que la donnée des stratégies choisies par chaque joueur et de l état de la nature définisse complètement le déroulement (trajectoire, chemin) futur du jeu à partir de n importe quel noeud de l arbre 4/ Plus précisément, une stratégie pure du joueur i est une fonction s i : H i A i h i a i A(h i ) qui associe à chaque ensemble d information h i H i une action a i A(h i ), où A(h i ) est l ensemble des actions disponibles à l ensemble d information h i

8 Profil de stratégies + distribution de probabilité sur Ω istribution de probabilité sur les noeuds terminaux 5/ Utilités espérées associées à chaque profil de stratégies } {{ } Jeu sous forme normale Exemple : jeu de l ultimatum (fini) A (, 0) A (,) (0,) A (, 0) (0,0) (,) (0, 0) (0, ) (0, 0) 6/ AAA AA AA AA A A A (, 0) (, 0) (0, 0) (, 0) (, 0) (0, 0) (0, 0) (, 0) (0,0) (, ) (, ) (, ) (0, 0) (, ) (0, 0) (, ) (0, 0) (0,0) (0, ) (0, ) (0, ) (0, ) (0, 0) (0, ) (0, 0) (0, 0) (0,0)

9 Exemple : jeu de l entrée E Entrer Partager I (,3) Ne pas entrer asser les prix (, ) 7/ (0,5) E I Partager asser les prix Entrer, 3, Ne pas entrer 0,5 0,5 tratégies mixtes Une stratégie mixte du joueur i est une distribution de probabilité sur l ensemble de ses stratégies pures : σ i Σ i ( i ) ans les jeux sous forme extensive on peut définir un équilibre de Nash (en stratégies pures ou mixtes) 8/ les stratégies dominées / rationalisables la valeur du jeu s il est à somme nulle comme dans les jeux sous forme normale Il est cependant tentant de vouloir considérer les choix aléatoires des actions aux différents ensembles d information plutôt que les choix aléatoires de la stratégie pour tout le jeu au départ...

10 tratégies comportementales Une stratégie locale β hi du joueur i à son ensemble d information h i est une mesure de probabilité sur l ensemble des actions disponibles en h i : β hi (A(h i )) Une stratégie comportementale β i du joueur i est un profil de stratégies locales, une par ensemble d information de ce joueur : β i = (β hi ) hi H i 9/ Exemple : jeu de l ultimatum tratégie mixte du joueur stratégie comportementale du joueur tratégie mixte du joueur : distribution de probabilité sur {AAA,..., } tratégie comportementale du joueur : 3 distributions de probabilité sur {A, } Une stratégie mixte est équivalente en terme de résultats à une stratégie comportementale si quelles que soient les stratégies des autres joueurs les deux stratégies induisent la même distribution de probabilité sur les issues possibles du jeu (les noeuds terminaux) Exemple. ans le jeu de l ultimatum (, 0) (,) (0,) A A A (, 0) (0,0) (,) (0, 0) (0, ) (0, 0) 0/ la stratégie mixte σ (AAA) = σ (AA) = σ (AA) = /3 est équivalente à la stratégie comportementale β h (A) =, β h (A) = β h (A) = /3, où h, h, h sont les ensembles d information du joueur emarque : Plusieurs stratégies mixtes sont équivalentes à β (par exemple, σ (AAA) = /3 et σ (A) = /3)

11 Exemple. L / La stratégie mixte σ (, ) = 0.4, σ (, ) = 0., σ (, ) = 0.5 est équivalente à la stratégie comportementale du joueur qui consiste à jouer et avec probabilité /, et avec probabilité Proposition. (Kuhn, 953) ans tout jeu sous forme extensive fini et à mémoire parfaite, pour toute stratégie mixte (resp. comportementale) d un joueur il existe une stratégie comportementale (resp. mixte) de ce joueur qui est équivalente en terme de résultats Indifférence entre l utilisation des stratégies mixtes ou comportementales pour étudier les équilibres de Nash / Exemples à mémoire imparfaite où la proposition ne s applique pas : m d La stratégie mixte σ (m, ) = σ (d, ) = / n a pas de stratégie comportementale équivalente

12 N ω ω 3/ La stratégie mixte σ (,, ) = σ (,, ) = / a une stratégie comportementale équivalente ( ω, ω, + ) Mais la stratégie mixte σ (,, ) = σ (,, ) = / n a pas de stratégie comportementale équivalente 0 4/ La stratégie comportementale qui consiste à jouer et avec probabilité / génère la distribution (/, /4,/4) sur les noeuds terminaux, alors qu aucune stratégie mixte ne peut générer une distribution de probabilité qui assigne une probabilité strictement positive au deuxième noeud final (l histoire, ) Toutes les stratégies mixtes donnent une utilité égale à 0 (elles sont donc toutes optimales) alors que la stratégie comportementale optimale consiste à jouer et avec probabilité /, qui donne une utilité espérée égale à /4 0

13 Menaces non crédibles ans de nombreux jeux, il existe des équilibres de Nash non raisonnables, qui reposent sur des choix hypothétiques irrationnels, des menaces d actions non crédibles 5/ Exemples : image image Jeu de l entrée : (Ne pas entrer, casser les prix) Jeu de l ultimatum : ((0, ), A) ous-jeux Un sous-jeu d un jeu sous forme extensive est un jeu sous forme extensive de noeud initial x appartenant à dont l ensemble des noeuds non initiaux est le sous ensemble des noeuds successeurs de x dans, et où les joueurs, les ensembles d information et les actions associées aux noeuds non terminaux, ainsi que les utilités associées aux noeuds terminaux sont les mêmes que dans le jeu original Un sous-jeu strict ou propre de est un sous-jeu de différent de Exemple. Le jeu a 4 sous-jeux stricts 6/ 4 A a B 3 (,) b A B α β (, ) α β α β (4, 0) (, ) (3, 3) (, 5) (4,) (5,)

14 Autres exemples : ilemme des prisonniers et jeu de signal : pas de sous-jeux stricts Jeu de l ultimatum fini : 3 sous-jeux stricts Jeu de l entrée : sous-jeu strict 7/ éfinition. (elten, 965) Un équilibre de Nash parfait en sous-jeux (ENPJ) est un profil de stratégies tel que pour chaque sous-jeu le profil de stratégies induit est un équilibre de Nash de ce sous-jeu Fig. einhard elten (930 ) emarques. i pas de sous-jeux stricts alors EN ENPJ {ENPJ} {EN} Proposition. 8/ Tout jeu sous forme extensive fini possède au moins un équilibre de Nash parfait en sous-jeux en stratégies mixtes

15 ésolution par induction rétroactive (Backward induction) ésolution à partir de la fin du jeu : on recherche les EN des plus petits sous-jeux 9/ A a B (, ) b A B α β (,) α β α β (4, 0) (, ) (3, 3) (, 5) (4, ) (5,) Jeu de l entrée. Un seul ENPJ : (Entrer, Partager) Jeu de l ultimatum. eux ENPJ en stratégies pures : ((, 0), AAA) et ((, ), AA) et un continu en stratégies mixtes ((, 0), σ (AAA) / et ((, ), σ (AAA) /) 30/ avec σ (AAA) + σ (AA) = Proposition. (Kuhn, 953) Tout jeu fini à information parfaite possède au moins un équilibre de Nash parfait en sous-jeux en stratégies pures emarques. L ensemble des actions à chaque ensemble d information doit être fini : si A = [0,) et u i (a) = a alors pas d ENPJ

16 La durée du jeu doit être finie : / 3 k k + Unicité de l ENPJ dans les jeux à information parfaite si les joueurs ne sont jamais indifférents entre deux issues possibles i information parfaite et unicité alors il existe un ordre d élimination des stratégies faiblement dominées qui est équivalent à l induction rétroactive (cf. aussi paradoxes) i la Nature intervient et si aucun joueur n a d information privée alors le jeu peut être réécrit comme un jeu à information parfaite (la Nature intervient à la fin) Autre exemple à voir : connaître le gagnant sans connaître la solution pdf Exemple. Engagement/menace crédible. L armée du pays doit décider si elle attaque l armée du pays qui est située sur une île entre les deux pays. En cas d attaque, l armée a le choix entre combattre l armée ou battre en retraite en utilisant le pont qui rejoint son pays. haque armée préfère que ce soit elle qui occupe l île plutôt que l armée ennemie. ependant, pour chaque armée la pire des issues est la bataille. Forme extensive et équilibre de Nash parfait en sous jeu? 3/ Montrer que l armée peut améliorer son paiement d équilibre en détruisant le pont qui relie l île au pays à l avance (cette action est observée par l armée avant qu elle prenne sa décision) econsidérons la situation initiale (sans possibilité de destruction du pont) i les deux armées devaient prendre leur décision simultanément, de quel type de jeu s agirait-il? (dans le cas où l île n est occupée par aucune armée, supposer une préférence intermédiaire entre le fait d être seul sur l île et le fait d avoir cédé l île)

17 uopole de tackelberg Firme i =, produit q i avec coût fixe nul et coût marginal constant λ > 0 emande inverse linéaire : p(q + q ) = a (q + q ), où a > λ Profit de chaque firme i : u i (q, q ) = p(q + q ) q i λ q i = q i (a λ (q + q )) 33/ écisions séquentielles : La firme (leader) choisit (de manière irréversible) q puis la firme (follower) choisit q en connaissant le niveau choisi par la firme tratégie de la firme : choix d une quantité q (comme dans le modèle de ournot) tratégie de la firme : fonction qui associe à chaque niveau de production q un niveau de production q (q ) pour la firme ésolution par induction à rebours. Production optimale de la firme en fonction de q : q (q ) = M (q ) = arg max q u (q, q ) = a λ q Production optimale de la firme étant donné la stratégie de la firme maximiser 34/ u (q, q (q )) = q (a λ (q + q (q ))) = q (a λ q ) soit q = a λ q (q ) = a λ 4 Firme Firme ournot tackelberg (firme leader) q = a λ u 3 = (a λ) q 9 = a λ u = (a λ) 8 q = a λ u 3 = (a λ) q 9 = a λ u 4 = (a λ) 6 Tab. Niveaux de production et profits dans les modèles linéaires de duopole de ournot et de tackelberg

18 Paradoxes de l induction rétroactive 50, /,0 0, 0 00,5 Que doit faire (penser) le joueur s il est effectivement amené à jouer? Le dilemme des prisonniers joué deux fois. (, ) (3, 0) (0, 3) (, ) 36/, 4, 4, 6,0,4 3,3 3,3 5,,4 3, 3 3,3 5, 0,6,5,5 4,4 Unique EN (ENPJ) : les deux joueurs dénoncent aux deux périodes Même résultat quelle que soit la durée (finie et de connaissance commune) du jeu Que doit faire (penser) un joueur s il observe que l autre joueur a coopéré? emarque. On verra que répétition infinie coopération possible

19 éférences Harsanyi, J.. ( ) : ames with Incomplete Information Played by Bayesian Players. Parts I, II, III, Management cience, 4, 59 8, , Kuhn, H. W. (953) : Extensive ames and the Problem of Information, dans ontributions to the Theory of ames, ed. par H. W. Kuhn et A. W. Tucker, Princeton : Princeton University Press, vol.. elten,. (965) : pieltheoretische Behandlung eines Oligopolmodells mit Nachfrageträgheit, Zeitschrift für dis gesamte taatswissenschaft,, and /

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