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1 Partie #1 : La jonglerie algébrique Résous les (in)équations suivantes a) 3 2x 8 =x b) Examen maison fonctions SN5 NOM : 2x 9 =5 c) 4 2 x 5 1= x 1 x d) 2 x e) x 2 5 = 1 9 f) 2 x

2 2. Effectue les opérations sur les fonctions suivantes et simplifie à la plus simple expression. f x =x 2 9 g x = x 3 x 3 h x =3 x 1 11 i x = 3 4 x 5 a) f X g b) f i c) i f d) f g

3 3. Sachant que le domaine des fonctions suivantes est contraint dans l'intervalle [-3, 9], trouve l'image (sous forme d'intervalle). a) g x = 6 x 5 1 b) h x = 1 x 3 c) i(x)=12 4 x

4 Partie #2 : Les pros blêmes! 1. Lors des tests sur un nouveau modèle d'automobile, on fait varier la vitesse, en kilomètres par heure, selon la règle v= 4 t où t est le temps écoulé en secondes depuis le début du test. Pendant combien de temps la vitesse de l'auto a-t-elle été supérieure ou égale à 105 km/h? 2. On estime que le profit unitaire p généré par la vente de macarons varie selon la règle p x = 2x 100 x 20 où x représente le nombre de macarons vendus. a) Quelles sont les équations des asymptotes à la courbe de la fonction qui sert de modèle à la situation? b) Combien de macarons faut-il vendre avant de réaliser un profit unitaire positif?

5 3. Une entreprise manufacturière dispose d'une marge de crédit de $ auprès d'une institution financière dont elle se sert uniquement lorsque son solde est négatif. Cette dernière produit un état de compte des opérations à la fin de chaque semaine. Au cours de la dernière année, le solde hebdomadaire du compte de l'entreprise a varié selon une fonction valeur absolue dont le graphique apparaît ci-contre. a) Trouve la règle de la fonction qui sert de modèle à la situation. Solde en millier de $ (0,1300) Nombre de semaines Sommet : (35, -450) b) Détermine algébriquement le nombre de semaines pendant lesquelles l'entreprise a utilisé sa marge de crédit. c) À quel(s) moment(s) le solde a-t-il été inférieur à $?

6 4. Une représentante commerciale utilise son auto pour son travail. À la fin de chaque année, elle note le kilométrage à partir de l'odomètre. La table de valeurs ci-contre contient quelques-unes de ces lectures arrondies (au millier près). Elle a observé que le kilométrage a varié, en fonction des années, selon une fonction racine carrée. Le sommet de la demi-parabole associée à cette fonction correspond au point (1,25) a) Détermine la règle de cette fonction. Nombre d'années Nombre de km (en milliers) b) Trouve la règle de la fonction réciproque. c) En supposant que le kilométrage varie toujours selon la même fonction, détermine algébriquement à quel moment il sera d'au moins km.

7 5. Suite à une panne de système de chauffage, la température à l'intérieur d'une maison a varié selon la règle T h = 2 h 20 où T(h) représente la température en degrés Celsius et h, le nombre d'heures écoulées depuis le début de la panne, qui a duré 4 jours complets. a) Détermine la règle de la réciproque de la fonction T et explique dans tes propres mots l'utilité de cette réciproque. b) Quelle aurait dû être la durée de la panne pour que la température atteigne le point de congélation. c) La fonction F(c)=1,8c + 32 convertit les Celsius en Fahrenheit.(où c est la température en Celsius et F(c) est la température en Fahrenheit). Trouve la fonction qui permet de trouver la température de la maison en Fahrenheit en fonction du nombre d'heures écoulés lors de la panne décrite ci-haut.

8 6. Le 1 er janvier dernier, Maxime décidait de surveiller son alimentation dans le but de perdre du poids. Depuis ce temps, sa masse varie selon la règle de la fonction suivante : 500 M ( t) = + 80 t + 50 où t représente le nombre de jours écoulés depuis le 1 er janvier et M(t) représente la masse de Maxime en kilogrammes. D'après la règle de cette fonction, quelle masse minimale, arrondie à l'unité près, Maxime peut-il espérer atteindre? 7. Michelle joue au basket-ball. Lorsqu elle peut lancer librement, elle réussit 60% des paniers qu'elle tente. Elle a en effet réussi 24 des 40 tirs qu'elle a effectués. La fonction f définie par f x = 24 x x 40 représente la moyenne qu'elle atteindra si elle réussit x paniers consécutifs à partir de maintenant. a) Combien de paniers consécutifs Michelle doit-elle réussir pour atteindre 75% b) Quelle est la signification de l'asymptote horizontale dans cette situation (selon le contexte)?

9 8. Trouve l'aire du triangle que forme l'intersection des fonctions f x =3 x 2 10 et g x = x 2

10 9. Trouve l'équation d'une fonction racine carrée qui possède les caractéristiques suivantes : Le maximum est 2 Son domaine est ]-, 10] Elle croise l'axe des ordonnées lorsque y vaut Trouve le(s) point(s) d'intersection entre la fonction f x = 2 5 et sa réciproque. x 3

11 11. Dans une entreprise de fabrication de casquette, on a établi que le profit (P), en milliers de dollars, est donné par l équation P(x)= 4 x selon le prix d'une casquette (x). a) Si le prix de vente d'une casquette est de 15$, à combien s'élèvera le profit de cette entreprise? b) Si l'entreprise a réalisé un profit de $, quel était le prix de vente possible de chaque casquette? c) On aimerait qu'en vendant les casquettes 20$, la compagnie fasse un profit de $. Modifie certains paramètres de l'équation (tout en demeurant une fonction valeur absolue) afin que ce soit possible! d) À la suite de ta modification (en c), quel être le prix de vente d'une casquette si le profit est de $?

12 12. Soit la fonction f (x)= On veut faire passer une courbe issue d'une fonction racine carrée dans x+1 le premier quadrant qui épousera le plus fidèlement possible la fonction f. Tu dois me trouver la règle de cette fonction racine carrée tant recherchée. Attention! Il n'y a pas de bonne réponse, mais la personne qui me trouvera le meilleure solution méritera 2 points bonis!!

13 13. La neige qui s accumule en bordure des toits à versants peut représenter un danger pour les personnes qui circulent près des bâtiments. De plus, la pluie qui s ajoute à la neige accumulée ainsi que la température douce qui fait fondre cette neige peuvent provoquer l affaissement et même l effondrement des toitures. Dans la majorité des cas, il existe des signes précurseurs d un affaissement possible de la toiture. Par exemple, des fissures qui apparaissent sur les murs intérieurs ou encore des portes intérieures qui coincent. Parfois, surtout dans le cas des toits plats, il arrive que les plafonds bombent vers l'intérieur. Si ces signes sont importants, vous devez faire enlever la neige peu importe la quantité présente sur la toiture. À la Régie du bâtiment du Québec (RBQ), qui fait des rappels chaque hiver sur les dangers de l'accumulation de neige, on précise qu'il existe des normes de charge établies pour chaque secteur et région du pays et des provinces. Par exemple, au Québec, les exigences sont moindres pour les toits du côté de Montréal, Sorel et Trois-Rivières, que de régions plus montagneuses comme Québec, Charlevoix, l'estrie ou Tremblant. A titre d'exemple, la capacité d'un toit pour un bâtiment dans la région de Montréal est de l'ordre de 232 kg/m 2 alors que pour la région de Québec, on doit prévoir 302 kg/m 2. La régie du bâtiment désire donc communiquer une règle afin de permettre aux propriétaires de vérifier si la neige accumulée sur leur propriété représente des risques d effondrement. Voici la règle : C M, où M représente la masse volumique de la neige (en kg/m 3 ), C la capacité du toit (en E kg/m 2 ) et E, l épaisseur de la neige sur le toit de l immeuble (en mètres). La masse volumique de la neige est de 200 kg/m 3. Alfredo vient d acheter un bâtiment à Montréal afin de partir une petite entreprise. Son commerce se nomme Oplus, on y vend des accessoires permettant de réduire la consommation d eau potable. Il se demande si la structure de l immeuble a pu être endommagée pendant l hiver 2009 car le toit de celui-ci n a jamais été déneigé. Il consulte donc les données recueillies par Météomédia sur les précipitations sous forme de neige à partir du mois de mars 2009, mois de l hiver où la plus grande quantité de neige a été enregistrée. À l aide de ces données, Alfredo a pu déterminer la règle suivante : h(t )=24 t +20 indique l épaisseur (en cm) de la neige sur le toit d un immeuble à Montréal selon le nombre t de jours écoulés depuis le 2 mars On lui indique qu à partir du 27 mars, la neige a commencé à fondre suivant le modèle d une fonction racine carrée, et qu à la 31 e journée d observation, il n y avait plus de neige sur les toits. Voici le graphique représentant cette situation. Alfredo fait donc appel à ton expertise mathématique et te demande de calculer le Épaiss eur nombre de jours (au (cm) dixième près) pendant lesquels son immeuble ne respectait pas les normes de sécurité établies par la Régie du bâtiment du Québec. Est-ce qu Alfredo a raison de s inquiéter? Épaisseur de la neige sur le toit d un immeuble à Montréal selon le nombre de jours écoulés depuis le 2 mars temps (jours)

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