ÉQUATIONS MISE EN ÉQUATION ET RÉSOLUTION D UN PROBLÈME. 3 x + 5 = 11. x + 4 = x = 4 Mais qui sont ces inconnues?

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1 ÉQUATIONS MISE EN ÉQUATION ET RÉSOLUTION D UN PROBLÈME Utilisation des équations du er degré à une inconnue x + 5 = - z = x + = x = Mais qui sont ces inconnues? Dossier n Juin 005 Tous droits réservés au réseau AGRIMÉDIA Conçu et réalisé par : Marie-Christine LIEFOOGHE Bruno VANBAELINGHEM Annie VANDERSTRAELE

2 C. D. R. AGRIMÉDIA ÉQUATIONS Mise en équation et résolution d un problème Utilisation des équations du er degré à une inconnue Apprentissage Objectifs : - Résoudre un problème par sa mise en équation - Utiliser des équations du er degré à une inconnue Contenu : - Les différentes étapes de la mise en équation d'un problème - Exercices résolus - Exercices avec corrections Pré-requis : - Savoir résoudre les équations du er degré à une inconnue ÉQUATIONS - Mise en équation et résolution d'un problème - Dossier n

3 Mise en équation et résolution d un problème Parfois, la mise en équation d'un problème permet de le résoudre plus facilement. Quatre étapes permettent de bien organiser cette résolution d'un problème : ère étape : ème étape : ème étape : ème étape : choix de l'inconnue mise en équation du problème résolution de l'équation vérification des résultats Découvrons ces étapes dans un premier exemple :? Trois bâtons mesurent ensemble,5 mètres : le deuxième mesure 0, m de plus que le premier, le troisième mesure 0, m de moins que le premier. Quelle est la longueur de chaque bâton? 0, m 0, m Les longueurs du deuxième et du troisième bâton s'expriment en fonction de la longueur du premier bâton. Nous choisirons donc la longueur du premier bâton comme inconnue. On notera x cette inconnue. Soit x la longueur du premier bâton ( en mètres ) ème étape : MISE EN ÉQUATION DU PROBLÈME Si la longueur du premier bâton s'écrit x alors : la longueur du deuxième bâton s'écrit x + 0, et : la longueur du troisième bâton s'écrit x - 0, La longueur totale des trois bâtons s'écrit : x + x + 0, + x - 0, =,5 er bâton ème bâton ème bâton longueur totale ÉQUATIONS - Mise en équation et résolution d'un problème - Dossier n

4 ème étape : RÉSOLUTION DE L'ÉQUATION Reprenons l'équation précédente : x + x + 0, + x - 0, =,5 Résolvons cette équation : x + x + x + 0, - 0, =,5 x + 0, =,5 x =,5-0, x =, x =, x = 0,8 La longueur du premier bâton est 0,8 mètre La longueur du deuxième bâton est donc 0,8 + 0, La longueur du troisième bâton est donc 0,8-0, soit, mètre soit 0,6 mètre Vérifions si ces résultats correspondent au problème posé. La longueur totale des trois bâtons est-elle égale à,5 mètres? 0,8 +, + 0,6 =,5 L'énoncé est vérifié. Les réponses au problème sont donc : la longueur du premier bâton est 0,8 mètre la longueur du deuxième bâton est, mètre la longueur du troisième bâton est 0,6 mètre Très bien! Passons à la suite!! ÉQUATIONS - Mise en équation et résolution d'un problème - Dossier n

5 Deuxième exemple : Un immeuble de étages ( ou niveaux ) mesure 7,6 mètres de haut. La hauteur du toit est,5 fois celle d'un étage. 7,6 m Quelle est la hauteur d'un étage? L'immeuble est composé de niveaux et d'un toit. On peut exprimer la hauteur du toit en fonction de celle d'un étage. On choisira donc comme inconnue la hauteur d'un étage. On notera h cette inconnue. Soit h la hauteur d'un étage ( en mètres ) ème étape : MISE EN ÉQUATION DU PROBLÈME Si la hauteur d'un étage s'écrit h alors : la hauteur des étages s'écrit h et : la hauteur du toit s'écrit,5 h La hauteur totale de l'immeuble s'écrit : h +,5 h = 7,6 étages toit hauteur totale ème étape : RÉSOLUTION DE L'ÉQUATION h +,5 h = 7,6 5,5 h = 7,6 h = 7,6 5,5 h =, La hauteur d'un étage est, mètres ÉQUATIONS - Mise en équation et résolution d'un problème - Dossier n

6 Vérifions si ces résultats correspondent au problème posé. L'immeuble mesure-t-il 7,6 mètres de haut? étages + le toit = hauteur de l'immeuble x, +,5 x, =?,8 +,8 = 7,6 L'immeuble mesure bien 7,6 mètres de haut. La réponse au problème est donc : La hauteur d'un étage est, mètres. Résumons la méthode de résolution d'un problème par une mise en équation : La lecture attentive de l'énoncé du problème et de la question posée permet de choisir l'inconnue. On note souvent cette inconnue x, mais on peut utiliser n'importe quelle autre lettre. ème étape : MISE EN ÉQUATION DU PROBLÈME On exprime les données du problème en fonction de l'inconnue choisie. On obtient ainsi une équation. ème étape : RÉSOLUTION DE L'ÉQUATION On résout cette équation. On reporte les résultats trouvés dans l'énoncé et on vérifie leur validité. Si la vérification est confirmée, on rédige clairement la réponse au problème. Très bien! Passons à la suite!! ÉQUATIONS - Mise en équation et résolution d'un problème - Dossier n 5

7 Maintenant à vous! EXERCICES Exercice : Pour la rentrée scolaire, Blandine achète 6 classeurs et un livre. Elle paie au total 7,60. Sachant que le prix du livre est, quel est le prix d'un classeur? ème étape : MISE EN ÉQUATION DU PROBLÈME ème étape : RÉSOLUTION DE L'ÉQUATION Réponse : Voir réponse page suivante ÉQUATIONS - Mise en équation et résolution d'un problème - Dossier n 6

8 Exercice : RÉPONSE Pour la rentrée scolaire, Blandine achète 6 classeurs et un livre. Elle paie au total 7,60. Sachant que le prix du livre est, quel est le prix d'un classeur? Soit p le prix d'un classeur ( en euros ) ème étape : MISE EN ÉQUATION DU PROBLÈME Blandine a payé 7,60 pour l'achat de 6 classeurs et un livre qui coûte. prix des 6 classeurs + prix du livre = 7,60 6 p + = 7,60 ème étape : RÉSOLUTION DE L'ÉQUATION 6 p + = 7,60 6 p = 7,60-6 p = 5,60 p = 5,60 6 p =,60 Le prix d'un classeur est,60 Blandine a-t-elle payé 7,60? prix des 6 classeurs + prix du livre =? 6 x,60 + =? 5,60 + = 7,60 Blandine a effectivement payé 7,60. Réponse : Le prix d'un classeur est donc,60. ÉQUATIONS - Mise en équation et résolution d'un problème - Dossier n 7

9 Exercice : Le périmètre d'un terrain de football rectangulaire est 90 mètres. Sa largeur mesure 5 mètres. Calculer la longueur de ce terrain. Exercice : Une famille arrive au restaurant. A la fin du repas, elle donne un billet de 50 pour payer l'addition. Le serveur rend la monnaie soit 8,80. Sachant que le prix du repas revient à 0,0 par personne, combien de personnes composent cette famille? Exercice : La somme de trois nombres consécutifs est 75. Quels sont ces trois nombres? Rappel : des nombres consécutifs sont des nombres qui se suivent ( exemple : et ). Exercice 5 : Un viticulteur dispose de deux modèles de tonneaux. Le plus grand tonneau contient 75 litres de plus que le petit. Avec litres de vin ce viticulteur remplit exactement 50 grands tonneaux et 5 petits. Calculer la capacité de chaque modèle de tonneau. Exercice 6 : Michel, Claire et Francis ont 0 ans à eux trois. Michel et Claire ont le même âge ; Francis a 7 ans de moins que Michel. Quel est l'âge de chacun? Exercice 7 : Cinq personnes se partagent 90. Sachant que la deuxième a de plus que la première, que la troisième a de plus que la deuxième et ainsi de suite jusqu'à la cinquième, calculer la part de chaque personne. Voir réponses pages suivantes ÉQUATIONS - Mise en équation et résolution d'un problème - Dossier n 8

10 Exercice : RÉPONSES Le périmètre d'un terrain de football rectangulaire est 90 mètres. Sa largeur mesure 5 mètres. Calculer la longueur de ce terrain. Soit L la longueur du terrain ( en mètres ) ème étape : MISE EN ÉQUATION DU PROBLÈME Le périmètre d'un rectangle se calcule ainsi : ( Longueur + largeur ) x = Périmètre ( L + 5 ) x = 90 ème étape : RÉSOLUTION DE L'ÉQUATION ( L + 5 ) x = 90 L + 5 = 90 L + 5 = 5 L = 5-5 = 00 L = 00 La longueur de ce terrain est 00 mètres Le périmètre du terrain est-il 90 mètres? ( Longueur + largeur ) x =? ( ) x =? ( 5 ) x = 90 Le périmètre du terrain est donc bien égal à 90 mètres. Réponse : La longueur de ce terrain est donc 00 mètres ÉQUATIONS - Mise en équation et résolution d'un problème - Dossier n 9

11 Exercice : Une famille arrive au restaurant. A la fin du repas, elle donne un billet de 50 pour payer l'addition. Le serveur rend la monnaie soit 8,80. Sachant que le prix du repas revient à 0,0 par personne, combien de personnes composent cette famille? Soit n le nombre de personnes ème étape : MISE EN ÉQUATION DU PROBLÈME Le montant de l'addition est : 50-8,80 soit,0. Il correspond au coût de n repas à 0,0 chacun. n x 0,0 =,0 ème étape : RÉSOLUTION DE L'ÉQUATION n x 0,0 =,0 n =,0 0,0 n = Le nombre de personnes de cette famille est Le montant de l'addition correspondant à ces repas est-il égal à,0? x 0,0 =,0 Le montant de l'addition correspondant à ces repas est donc bien égal à,0. Réponse : Le nombre de personnes de cette famille est donc. ÉQUATIONS - Mise en équation et résolution d'un problème - Dossier n 0

12 Exercice : La somme de trois nombres consécutifs est 75. Quels sont ces trois nombres? Soit x le plus petit de ces nombres ème étape : MISE EN ÉQUATION DU PROBLÈME Les nombres consécutifs s'écrivent : x x + x + La somme de ces nombres s'écrit : x + x + + x + = 75 ème étape : RÉSOLUTION DE L'ÉQUATION x + x + + x + = 75 x + = 75 x = 75 - x = 7 x = 7 x = Le plus petit des nombres consécutifs est La somme de ces nombres est-elle égale à 75? x + x + + x + =? =? = 75 La somme de ces nombres est donc 75. Réponse : Les nombres consécutifs sont : ; 5 et 6. ÉQUATIONS - Mise en équation et résolution d'un problème - Dossier n

13 Exercice 5 : Un viticulteur dispose de deux modèles de tonneaux. Le plus grand tonneau contient 75 litres de plus que le petit. Avec litres de vin ce viticulteur remplit exactement 50 grands tonneaux et 5 petits. Calculer la capacité de chaque modèle de tonneau. Soit c la capacité du petit tonneau ( en litres ) ; la capacité du grand tonneau s'écrit donc : c + 75 ème étape : MISE EN ÉQUATION DU PROBLÈME 50 grands tonneaux et 5 petits tonneaux contiennent ensemble litres de vin. 50 x ( c + 75 ) + 5 x c = ème étape : RÉSOLUTION DE L'ÉQUATION 50 x ( c + 75 ) + 5 x c = c + 50 x c = c c = c + 5 c = c = 50 c = c = 50 La capacité du petit tonneau est 50 litres. La capacité du grand tonneau est soit 5 litres. La capacité totale des modèles de tonneaux est-elle de litres? 50 x ( ) + 5 x 50 =? 50 x =? = La capacité totale des modèles de tonneaux est donc litres. D où : la capacité du petit tonneau est 50 litres, la capacité du grand tonneau est 5 litres. ÉQUATIONS - Mise en équation et résolution d'un problème - Dossier n

14 Exercice 6 : Michel, Claire et Francis ont 0 ans à eux trois. Michel et Claire ont le même âge ; Francis a 7 ans de moins que Michel. Quel est l'âge de chacun? Soit a l'âge de Michel ou celui de Claire ; on notera alors ( a - 7 ) l'âge de Francis. ème étape : MISE EN ÉQUATION DU PROBLÈME La somme de ces âges s'écrit : a + a + a - 7 = 0 ème étape : RÉSOLUTION DE L'ÉQUATION a + a + a - 7 = 0 a - 7 = 0 a = = 08 a = 08 a = 6 L'âge de Michel ou celui de Claire est 6 ans. L'âge de Francis est 6-7 soit 9 ans. La somme de ces âges est-elle 0 ans? =? = 0 La somme de ces âges est donc bien 0 ans. D où : L'âge de Michel ou celui de Claire est 6 ans. L'âge de Francis est 9 ans. ÉQUATIONS - Mise en équation et résolution d'un problème - Dossier n

15 Exercice 7 : Cinq personnes se partagent 90. Sachant que la deuxième a de plus que la première, que la troisième a de plus que la deuxième et ainsi de suite jusqu'à la cinquième, calculer la part de chaque personne. Si la part de la première personne s'écrit : s alors la part de la deuxième personne s'écrit : s + la part de la troisième personne s'écrit : s + + ou s + 6 la part de la quatrième personne s'écrit : s ou s + 9 la part de la cinquième personne s'écrit : s ou s + ème étape : MISE EN ÉQUATION DU PROBLÈME La somme totale partagée s'écrit : s + s + + s s s + = 90 ème étape : RÉSOLUTION DE L'ÉQUATION s + s + + s s s + = 90 5 s + 0 = 90 5 s = 90-0 = 60 s = 60 5 s = La part de la première personne est donc Alors la part de la deuxième personne est + soit 5 la part de la troisième personne est 5 + soit 8 la part de la quatrième personne est 8 + soit la part de la cinquième personne est + soit ÉQUATIONS - Mise en équation et résolution d'un problème - Dossier n

16 La somme totale partagée est-elle 90? La somme totale partagée est bien = 90 Réponse : La part de la première personne est la part de la deuxième personne est 5 la part de la troisième personne est 8 la part de la quatrième personne est la part de la cinquième personne est Fin ÉQUATIONS - Mise en équation et résolution d'un problème - Dossier n 5