Systèmes de communications numériques 2

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1 Systèmes de Communications Numériques Philippe Ciuciu, Christophe Vignat Laboratoire des Signaux et Systèmes CNRS SUPÉLEC UPS SUPÉLEC, Plateau de Moulon, Gif-sur-Yvette Université de Marne la Vallée, Équipe syst Lmes de communications esiea, 18 janvier 1999 Systèmes de communications numériques 2 Plan du cours Chapitre I : Introduction aux communications numériques. Chapitre II : Modulations d Impulsions en Amplitude. Chapitre III : Transmission, réception et détection en bande de base. Chapitre IV : Modélisation des signaux passe bande. Chapitre V : Modulations sur onde porteuse. Chapitre VI : Transmission sur onde porteuse (bande transposée).

2 Chapitre I : Introduction aux communications numériques Introudction 4 Information numérique Communications analogiques/numériques communications analogiques : message (Msg) transmis = signal analogique. communications numériques : Msg numérique (données numériques, ex. : fichier d ordinateur), ou digitalisation de signaux analogiques (sons, vidéo) par échantillonnage, quantification et codage binaire. Msg numérique m = suite de symboles appartenant à un ensemble fini appelé alphabet, note A. (Un symbole = 1 v.a. discrète). A = M symboles M-aires. ex : M = 2, symboles binaires ou bits. Toujours possible de passer de symboles M-aire à un ensemble de p symboles binaires, avec : p = [log 2 M] + 1 où [x] désigne la partie entière de x.

3 Introudction 5 hypothèses de transmission : A connu du destinataire, msg transmis inconnu. En pratique, transmission des symboles d information sur le canal par des signaux analogiques. Différence fondamentale entre comm. anal. et comm. num. Problème du destinataire en comm. anal. : retrouver à partir d une observation bruitée et distordue, la forme exacte du signal émis!! Problème different en comm. num. : décider à quel symbole ou quelle suite de symboles correspond le signal reçu. Introudction 6 Théorie des transmissions numériques Transmissions numériques : depuis quand? Développement récent d une théorie satisfaisante pour optimiser les paramètres de la chaîne de transmission : C. Shannon (1948). Idées préconcues sur le bruit tombées à l eau : Bruit appartient aux caractéristiques du canal : pas de limitation sur l exactitude de l information reçue mais simplement sur son débit maximum = C = capacité du canal (cf. th. du codage de canal). Optimisation d un système de transmission numérique (STN) optimisation performance/coût séparée d un STN, à qualité fixée : 1 du processus d obtention de l info num. d une part (quantification, compression) 2 de la chaîne de transmission d autre part (codage de source, codage de canal,...) Ici, on ne s intéresse qu à 2 : on traite des suites de symboles!!

4 Introudction 7 Codage de source Trouve ses fondements dans la théorie de l information. Entropie H : mesure d information. 1 er Théorème de Shannon : théorème du codage de source Une source S d entropie H peut être codée de façon déchiffrable par un alphabet A de r lettres avec des mots (messages) dont la longueur moyenne l vérifie : H log(r) l < H log(r) + 1. But : éliminer la redondance de la source S, et donc réduire le débit, i.e., produire une suite de symboles binaires iid et donc à entropie maximale : ex : codage d Huffman, de Fano-Shannon. Introudction 8 après le codage de source, caractérisation de la source par son débit binaire : D = nombre d éléments binaires émis par unité de temps (bit/s). ex : D = 1/T b, si T b = durée entre l émission de 2 symboles binaires consécutifs. Source synchrone = émission de symboles par la source à cadence constante.

5 Introudction 9 Codage de canal (codes correcteurs d erreurs) Pas d équivalent en transmission analogique : rajout d infos pour améliorer la qualité de la transmission. But : coder l information numérique issue du codage de source afin de pouvoir la transmettre avec une probabilité d erreur fixée arbitrairement, sur un canal de transmission (à bande limitée). pourquoi ça marche? 2 e Théorème de Shannon : théorème du codage de canal discret (sans mémoire) Si l entropie H de la source S est inférieure ou égale à la capacité C du canal bruyant, il existe un codage redondant (codage de canal) tel que la probabilité d erreur de transmission puisse être rendue aussi petite que l on veut. Remarque : Beau résultat théorique, mais comment trouver ce code : limite de Shannon pas atteinte en pratique!! Introudction 10 Comment? Ajout de la redondance pour détecter et corriger les erreurs. ex : contrôle de parité, codes linéaires (Hamming, BCH, Reed-Muller), cycliques, convolutionnels. Effet : du débit binaire D si fenêtre temporelle d emission fixée. Décodeur de canal Connaît la loi de codage utilisée à l émission. Vérifie si cette loi est toujours respectée en réception.

6 Introudction 11 Émetteur Msg numérique = suite de symboles binaires : grandeur abstraite!! Association d une représentation physique (signal électrique) à ce message : «signal véhiculé par le canal grandeur analogique.» fonction de l émetteur : adaptation du signal au milieu de transmission À chaque n-uplet issu du message, on associe S i (t), i = 1,..., M de durée T = nt b, choisi parmi M = 2 n signaux, en fonction de la réalisation du n-uplet. caractéristique du Msg numérique D ; caractéristiques des signaux S i (t) R : Rapidité de modulation. Transmission binaire : R = 1/T (Bauds). Transmission M-aire : R = D/log 2 M. Introudction 12 Choix des S i (t) en fonction des propriétés physiques du milieu de transmission (largeur de bande,...). Traitements effectués par l émetteur : modulation d impulsion ou sur porteuse (translation en fréquence), filtrage (limitation spectrale) pour multiplexage fréquentiel sans interférence.

7 Introudction 13 Canal de transmission Définition variable selon le point de vue (propagation, th. de l information, th. des communications). Ici : Canal = Milieu de transmission + bruit. Milieu de transmission câble bifilaire : bande passante faible, (D < 2Mbit/s sur RTC). câble coaxial : bande passante plus grande. Débit assez élevé jusqu à plusieurs centaines de Mbit/s (D = 565Mbit/s sur RTC). fibre optique : bande passante très élevée, et faible atténuation ; débit de plusieurs Gbit/s. l espace libre : propagation d une onde éléctromagnétique dans l atmosphère. Milieu réservé aux transmissions par satellite ou par faisceaux hertziens, et radiocom. Introudction 14 Modélisation du milieu de transmission filtre linéaire de transmittance C(f), filtre linéaire non stationnaire de transmittance C(f, t), non linéarités, effet Doppler : canaux dispersifs (pas abordés ci). Bruit = perturbation aléatoire d origines : milieu de transmission (bruit externe, ex : rayonnements captés par l antenne, interférences entre utilisateurs,...) dispositifs électroniques utilisés dans le récepteur (bruit interne : mouvement brownien des électrons dans composants actifs (semi-conducteurs) et passifs (résistances) qui constituent les dispositifs de réception). bruit interne = blanc gaussien (th. limite centrale). Modélisation du bruit : 1 source n(t) en amont du récepteur, n(t) N (0, N 0 I), et

8 Introudction 15 de DSP γ n (f) uniforme : γ n (f) = N 0, f Transmission en bande de base (chap. II & III) : B : Bande de fréquence allouée à la transmission du message num : 0 f 1 B f 2. Utilisation des câbles comme milieu de transmission. Transmission en bande transposée (chap. IV, V & VI) : Bande de fréquence B allouée, centrée autour d une fréquence porteuse f 0, telle que f 0 >B (transmission dans l espace libre). Remarques : Modulation d impulsions en amplitude ou code en ligne (line code) pour transmission en bande de base. Modulation sur onde portesue utilisée pour transmission en bande transposée. Introudction 16 Théorème de la capacité d information (canaux continus) But : définir 1 capacité de transfert sans erreur maximale pour les canaux continus en fonction de leur caractéristiques. Canaux gaussiens (temps discret) Entrée x réelle, sortie y réelle, telles que la distribution conditionnelle de y sachant x suit 1 loi normale y N (x, σ 2 ). Intérêt du canal gaussien Canal réel (électrique) dont les entrée et sortie sont à temps continu : entrée x(t) signal à bande limitée et sortie y(t) = x(t) + n(t), avec n(t) N (0, N 0 I). Coût de la transmission = puissance consommée, exprimée par la contrainte : 1 T T 0 x 2 (t)dt P

9 Introudction 17 Communication sur un tel canal : Émission de {x k } K k=1 via x(t) de durée T : K x(t) = x k ϕ k (t), où {ϕ k (t)} K k=1 forment 1 base orthogonale. k=1 Réception : y k = x k + n k. n k N (0, N 0 /2) n(t) gaussien comme 1 c.l. de canaux scalaires gaussiens. Canal continu équivalent à un canal gaussien. Contrainte de puissance introduit une contrainte sur les x k : T 0 x 2 (t) P T K k=1 x 2 k P T x 2 P T K Introudction 18 Définition de la bande passante du canal à temps continu W = K 2T en Hertz, où K = nb max. de fonctions orthogonales pouvant être émises dans [0, T ]. Justification de la définition Création de x(t) à bande limitée de durée T à partir de sinus et cosinus orthogonaux de fréquence maximum W. Nombre de fonctions orthogonales alors égal à K = 2W T. Lien avec le théorème d échantillonnage de Shannon Nyquist d un signal de fréquence maximale W. donc : l utilisation d un canal réel à temps continu, de bande passante W, de DSP de bruit N 0 et de puissance P est équivalente à l utilisation K/T = 2W fois par seconde d un canal gaussien à temps discret avec σ 2 = N 0 /2 et soumis à la contrainte x 2 P/W.

10 Introudction 19 Capacité d un canal gaussien Entrées infinies S il était possible de transmettre n importe quel nombre x à travers un canal gaussien, alors on écrirait tout le message sur un seul nombre, avec beaucoup de zéros supplémentaires (pour réduire la proba d erreur)!! Quantité d information transmise sans erreur serait infinie!! Introduction d une fonction de coût v(x) pour tout entrée x et fixation d une contrainte de coût moyen maximum v sur les codes. Ex : coût quadratique, v(x) = x 2 moyenne de l entrée. (canaux électriques), contraignant la puissance Généralisation aux canaux continus du th. de codage de canal pour canaux discrets. Impossible de transmettre une info. infinie sur un canal gaussien. Introudction 20 Précision de la transmission Mesure d information discrète admettant une limite bien définie pour des variables réelles : Information mutuelle. Cas discret (rappel) : I(X, Y ) = x,y Cas continu : I(X, Y ) = f(x, y) log P (x, y) log P (x, y) P (x)p (y) f(x, y) f(x)f(y) dxdy (a) Est ce que l information mutuelle maximale mesure, comme dans le cas d un canal discret, le taux d information maximum transmissible sans erreur de ce canal? Réponse : Oui. Pour le démontrer on pourrait définir une suite de canaux discrets, tous basés sur le canal gaussien (rel y x N ) avec un nombre croissant d entrées et de sorties, et montrer que l information mutuelle maximale de ces canaux tend vers C. capacité C d un canal continu = taux critique de transmission sans erreur satisfaisant

11 Conclusion : Il vaut donc beaucoup mieux (en termes de capacité) transmettre avec un faible RSB dans un canal large bande qu avec un fort RSB dans un canal bande étroite. Introudction 21 la contrainte de puissance : [ [ C = max I(X, Y ) E X 2 ] = P ] (1) X,Y (b) Recherche de la densité de probabilité f(x) qui maximise sous la contrainte x 2 = v l information mutuelle. On montre par les multiplicateurs de Lagrange que f(y) est gaussienne au maximum de I(X, Y ), si bien que f(x) est gaussienne, puisque f(y x) est gaussienne car le canal est gaussien. Si f(x) N (0, v) et f(y x) N (x, σ 2 ), alors f(y) N (0, v + σ 2 ) et : C = 1 2 log ( 1 + v σ 2 ) (2) La capacité d un canal gaussien est fonction du RSB v/σ 2. Capacité d un canal continu En reportant le resultat obtenu en (2) pour un canal réel continu de bande passante Introudction 22 W, de DSP N 0 et de puissance P, on trouve que σ 2 = N 0 /2, x 2 P/2W, et donc la capacité du canal continu vaut : C = W log ( 1 + P ) N 0 W compromis à réaliser en pratique : si contrainte sur P est fixée, quelle est la meilleure bande passante pour utiliser cette puissance? En introduisant W 0 = P/N 0 la bande passante pour laquelle le RSB, égal à P/W 0 B, vaut 1, on voit donc que : C = W ( log 1 + W ) 0 W 0 W 0 W autrement dit, la capacité croit en fonction de W/W 0 (l inverse du RSB) pour atteindre l asymptote W 0 log e. (3)

12 Introudction 23 Récepteur Fonction de reconstitution du Msg émis par la source à partir du signal reçu. Organes constitutifs : circuits d amplification circuits de changement de fréquence démodulation échantillonnage organe de décision : identifie la valeur des symboles binaires = opération de détection. Introudction 24 Mesure de la qualité d une transmission numérique Mesure de qualité : P eb = probabilité d erreur par symbole binaire (P eb 0) transmission de mauvaise qualité. α k émis en kt b, d une source iid sur A = {0, 1} P eb = Pr(α k = 1)Pr(ˆα k = 0 α k = 1) + Pr(α k = 0)Pr(ˆα k = 1 α k = 0) (4) où ˆα k = décision prise sur symbole α k. Remarque : Pour 1 Canal à bruit n(t) additif stationnaire, P eb indep. de k. Taux d erreur par symbole binaire Apprentissage par 1 séquence binaire connue du destinataire, de longueur N : τ eb : Estimateur de P eb, τ eb = 1 N X k N k=1 où X k : v.a. discrète d «erreur» loi de Bernouilli de paramètre P eb.

13 Introudction 25 m τ = E [ τ eb ] = Peb σ 2 τ = E [( τ eb E [ τ eb ]) 2 ] τ eb : : estimateur sans biais β(τ eb ) = E [ τ eb ] Peb = 0. Erreurs de transmission indépendantes V.A. (X k ) indépendantes variance d estimation : σ 2 τ = P eb(1 P eb ) N Estimation de P eb à partir de τ eb, entachée d une erreur fonction de N, quantifiable à partir de l erreur quadratique relative ε 2 : ε 2 = σ2 τ m 2 = 1 P eb 1 si P eb < 1. τ NP eb NP eb permet de déterminer N et donc la durée N/D nécessaire pour mesurer τ eb à ε fixée. ex : pour estimer P eb = 10 6, avec ε 2 < 10 2, il faut N = 10 8, ce qui nécessiterait 1 sec. pour D = 100 Mbit/s, mais 10 5 sec. pour D = 1 kbit/s. Si n = Nτ eb : nombre de X k égaux à 1 sur les N envoyés v.a. de comptage E [ n ] = 1/ε 2 : pour ε 2 < 10 2, il faut compter n = 100 erreurs en moyenne. Introudction 26 Avantages des communications numériques Obtention d une qualité déterminée : lutte contre le bruit possibilité de conserver intégralement une certaine qualité!! Impossible en transmission analogique (distorsion et bruitage du Msg anal.) garantir une probabilité d erreur inférieure à une limite fixée quelle que soit la distance ou les conditions de la transmission. répéteurs, régénerateurs amplificateurs anal. : régénération d un signal propre en communication digitale. faibles coûts de stockage des infos sous forme numérique, circuits numériques standardisés. perspectives de traitements nouveaux techniquement et économiquement accessibles : multiplexages, compression, cryptage,...

14 Introudction 27 Inconvénients des communications numériques Consommation spectrale B avec D : plus importante en trans. num. ex : transmission téléphonique classique trans. anal. : 3100Hz [300 Hz Hz] trans. num. de qualité équivalente : numérisation du signal de parole (codage sur 8 bits de chaque échantillon numérisé à une fréquence de 8 khz (f e 2f max )). Débit numérique = 64 kbit/s nécessite 7 voies téléphoniques pour un modem V32 (9600 bit/s sur 1 ligne), mais... Multiplexage temporel : transmission de plusieurs infos sur un même canal. ex (suite) : possibilité de descendre sans perte de qualité (par compression), à 9600 bit/s puis de transmettre le Msg sur un modem V32ter (19200 bit/s sur 1 ligne). Complexité : surtout d ordre logiciel maintenant, car faibles coûts des échantillonneurs, quantificateurs, CA/N et CN/A.

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