Communications numériques

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1 Communications numériques 1. Modulation numérique (a) message numérique/signal numérique (b) transmission binaire/m-aire en bande de base (c) modulation sur fréquence porteuse (d) paramètres, limite fondamentale (e) Spectre d un signal numérique 2. Performances en présence de bruit (a) en bande de base (b) sur fréquence porteuse: MDP 1

2 Message numérique/signal numérique en bande de base le message numérique est une suite {d k } de v.a. à valeurs dans {0, 1} supposées i.i.d. avec P [d k = 0] = 1/2, le modulateur associe de façon bijective à chacun des 2 K messages de longueur K un signal à temps continu x(t). Exemple fondamental : le signal numérique est engendré à partir d une impulsion h(t) décalée et modulée par d k : K x(t) = d k h(t kt b ) k=1 où T b désigne l intervalle de temps entre l émission de 2 bits, D b = 1 T b débit binaire en bits/s 2

3 Transmission binaire/m-aire On considère un alphabet A fini à M symboles. Typiquement : A = { (M 1), (M 3),, 1, +1,, (M 3), (M 1)} où M = 2 m soit m = log 2 (M). On choisit un codage qui associe, de façon bijective, à toute suite de m bits du message numérique un symbole a k de l alpabet A. Le modulateur fournit le signal numérique : x(t) = k a k h(t kt ) où T = mt b Par conséquent : R = 1 T = D b log 2 (M) baud 3

4 Codage de Gray message symbole

5 Modulation sur fréquence porteuse Ainsi au k-ième symbole est associé, dans l intervalle de temps (kt, (k + 1)T ) le signal : x(t) = A cos(2πf 0 t + φ k ) où φ k Φ. Il s en suit que l enveloppe complexe de x(t) a pour expression : x b (t) = A k a k rect T (t kt ) (1) avec a k = exp(jφ k ) 5

6 01 Message numerique : Constellation Signal numerique Figure 1: Modulation MDP4 6

7 Autre exemple : MAQ-16 constellation MAQ 16 signal numérique MAQ T 2T 3T 4T 5T Figure 2: Modulation MAQ-16 7

8 Paramètres L efficacité spectrale exprimée en bits/s/hz est définie par : η = D b B (bits/s/hz) où D b désigne le débit binaire et B la bande de fréquence du canal. Le rapport signal sur bruit défini par : ρ = E b N 0 où E b désigne la quantité d énergie par bit, exprimée en nombre de Joules par bit, et N 0 /2 la densité spectrale du bruit additif, blanc sur le canal, exprimée en W/Hz. On en déduit que la puissance moyenne du signal est donnée par P s = E b D b et que la puissance du bruit dans la bande B et donnée par P b = N 0 B. On en déduit le rapport signal sur bruit en 8

9 puissance : P s P b = E b N 0 η = ρη La probabilité d erreur par symbole définie par P e = P (â k a k ) où â k désigne la valeur choisie par le récepteur et a k le symbole émis. On considère aussi le taux d erreur par éléments binaire (TEEB). Dans le cas où le rapport signal sur bruit est grand, nous verrons que le TEEB est donné par : TEEB P e log 2 (M) 9

10 Remarque Le concepteur du modulateur est conduit à considérer des alphabets de taille M > 2 de façon. Il pense ainsi pouvoir augmenter le débit binaire sans toucher à la bande B en fréquence du canal qui est directement liée au débit symbole 1/T. On a en effet B 1/T. Mais en augmentant M, les niveaux d amplitude vont se rapprocher et en présence de bruit, à RSB constant, la probabilité d erreur va augmenter. Réciproquement en réduisant le débit on pouvait espérer diminuer la probabilité d erreur. Ainsi on a longtemps cru que le seul moyen de réduire la probabilité d erreur pour une bande de fréquence et un RSB donnés, était de réduire le débit. Shannon (1948) a montré que si D b < C où C = B log 2 (1 + RSB) bits/s alors il existe un modulateur asymptotiquement sans erreur. 10

11 Ce qui est remarquable est que, au-dessous d une certaine valeur du débit, et donc de l efficacité, il est possible de rendre P e aussi faible que l on veut. Ainsi, sur le canal gaussien sans mémoire, la courbe : η = log 2 (1 + ρη) (bits/s/hz) ρ = 2η 1 η donne une limite fondamentale aux transmissions sûres. Nous avons représenté figure 3 la courbe donnant ρ en db en fonction de η en bits/s/hz. (2) 11

12 25 ρ (db) η (bits/s/hz) Figure 3: Limite fondamentale de transmission sur le canal AGB, ρ en db 12

13 Spectre des signaux numériques x(t) = k a k h(t kt ) (3) Si a k forment une suite aléatoire, à valeurs dans un alphabet A de taille M, et que cette suite est stationnaire au second ordre, S x (f) = 1 T H(f) 2 R a (k)e 2jπfkT + 1 T 2 m a 2 H(k/T ) 2 δ(f k/t ) k k } {{ } } {{ } Sx c(f) Sx d(f) (4) 13

14 Signal binaire NRZ Le signal binaire Non Retour à Zéro (NRZ) est obtenu à partir d une impulsion rectangulaire de durée T et d amplitude A et de l alphabet { 1, +1}. La puissance est : et la d.s.p. est donnée par : R x (0) = A 2 S x (f) = A 2 T sin2 (πft ) (πft ) 2 14

15 Figure 4: Spectre en db du signal NRZ, de puissance égale à 1, en fonction de ft. 15

16 Signal NRZ AMI (Alternate Mark Inversion) Le signal AMI est obtenu d un alphabet ternaire { 1, 0, +1}, avec lequel on code les bits 0 par le symbole 0 et les bits 1 alternativement par +1 et 1. Alors R a (0) = 1/2, R a (±1) = 1/4 et R a (k) = 0 pour k 2. On suppose que h(t) est une impulsion rectangulaire NRZ de durée T. La puissance moyenne est : R x (0) = A 2 /2 et la d.s.p. a pour expression : S x (f) = A 2 T sin4 (πft ) (πft ) 2 16

17 Figure 5: Spectre en db du signal AMI, de puissance égale à 1, en fonction de ft. On note que : S x (0) = 0 Une CS est que la somme courante a k soit bornée. 17

18 Signal MDP L enveloppe complexe du signal a pour expression : x b (t) = k a k h(t kt ) où h(t) est l impulsion rectangulaire NRZ d amplitude A et où a k = e jφ k avec φ k {0, 2π/M,..., 2(M 1)π/M} sont les symboles de codage. On en déduit que : m a = 0, R a (k) = δ(k) La d.s.p. de x b (t) a pour expression : S xb (f) = A 2 T sin2 (πft ) (πft ) 2 La puissance de x(t) est R x (0) = A 2 /2 et sa d.s.p. est : S x (f) = 1 4 S x b (f f 0 ) S x b (f + f 0 ) 18

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