Introduction aux Communications Numériques

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1 Université de Cergy-Pontoise Communications numériques Introduction aux Communications Numériques Master M1 ISIM March 19, 01 Iryna ANDRIYANOVA 1

2 Contenu du cours 1 Chaîne de la communication numérique Chaîne de communication Modules de la chaîne de communication Brève description Diagramme detaillé du module mise-en-forme de signal Modeles des canaux de communications à considerer Diagramme detaillé du détecteur de signal Messages et signaux dans la chaîne de communication Débit de transmission Messages dans le domaine spectrale Transmission en absence du bruit 16.1 Interférence entre symboles (IES) Annulation de l IES : conditions de Nyquist Condition de Nyquist dans le domaine temporel Condition de Nyquist dans le domaine spectral Egalisation Détection en présence du bruit Probabilité d erreur Définitions Cas des symboles binaires Cas des symboles M-aires Récepteur optimal Filtre adapté

3 Université de Cergy-Pontoise Communications numériques 3.. Réponse du filtre adapté Partage optimal du canal de Nyquist Perfomances du schéma de transmission Probabilité d erreur minimal, rapport signal-à-bruit Taux d erreurs binaires Transmission en bande transposée Quelques notions utiles sur la transformée de Fourier Détection en absence du bruit: équivalent du signal en bande transposée dans la bande de base Conversion bande de base/bande transposée Bruit du canal équivalent en bande de base Bruit additif équivalent en bande de base Exemple important Modulations numériques Compromis entre l efficacité spectrale, la puissance et le taux d erreurs Modulation/démodulation dans la chaîne de communication Types des modulations Etiquettage des points de constellation Comparaison des modulations diverses Détection vectorielle Cas binaire sur le canal gaussien vectoriel Cas M-aire sur le canal gaussien vectoriel Borne de l union (des évenements) Codage de canal et de source Codage de canal: quelques schémas de base Théorie de codage classique Théorie de codage moderne Codage de source Codes à longueur variable Code à longueur fixe Canaux de transmission dans les systèmes des communications sans fils 71 CONTENU DU COURS 3

4 Université de Cergy-Pontoise Communications numériques 8.1 Modèles des canaux de transmission sans fils Espace libre, émetteur et récepteur fixes Espace libre, récepteur mobile Emetteur et récepteur fixes, obstacle fixe Récepteur mobile, obstacle fixe Reflection du sol, effet de la distance et des grands obstacles Modèle mathematique du canal sans fil Canal sans fil comme un système linéaire variant en temps Modèle équivalent en bande de base Modèle du canal après l échantillonage Présence du bruit blanc additif gaussien Performance sur le canal de Rayleigh Exercises 78 CONTENU DU COURS 4

5 Section 1 Chaîne de la communication numérique Dans cette section nous allons voir la chaîne de communication point-à-point et la plupart de ses modules. Nous allons aussi étudier les différents types de canaux de transmission et des méthodes de transmission adaptées à chacun des types. Nous allons voir le modèle de communication entre le source et le destinataire et la transformation des signaux avec la communication. 1.1 Chaîne de communication Nous avons tous utilisés un téléphone portabe ou un ordinateur pour communiquer une certaine information. Dans ce cours nous allons voir les mécanismes qui permettent à ces communications d avoir lieu. La chaîne de communication totale est donnée sur Figure 4.3. Cette chaîne de communication représente la communication appelée point-à-point, c est-à-dire d une seule source à un seul destinataire, et est la base pour les autres modèles des communications, comme - communication multi-utilisateurs (plusieurs sources - un destinataire), - communication broadcast (un source - plusieurs destinataires) - reseaux adhoc (plusieurs sources - plusieurs destinataires) 5

6 Université de Cergy-Pontoise Communications numériques Figure 1.1: Chaîne de communication 1. Modules de la chaîne de communication 1..1 Brève description Canal de communication : Un canal de communication donne une possibilité de communiquer à grandes distances. Ce module représente les signaux extérieurs et le bruit qui affectent la transmission. Evidemment, chaque système de communication a un modèle de canal approprié. L objectif principal de ce cours est de comprendre les techniques du traitement du signal permettant de communiquer sous différents types de canaux. Exemples des canaux de communication différents: lignes téléphoniques, cables TV, réseaux sans fils, liens satélitaires. Codage de source : Le but de communiquer est d être capable de parler, écouter la musique, regarder un video, regarder une page web par Internet etc. Dans tous ces cas le signal étant respectivement la voix, la musique, le video, les graphiques sont à convertir en une suite des bits. Un tel appareil est appelé le quantificateur. Il existent plusieurs méthodes de quantification qui convertissent et compriment le signal en bits. Codage de canal : Le codeur de canal ajoute une redondance pour proteger l information contre les erreurs introduites par un canal de communication bruité. Mise en forme du signal : ceci une partie de la chaîne que nous allons étudier le plus en détail. Ce module convertit les bits en signal approprié pour le canal de communication, qui est typiquement Modules de la chaîne de communication 6

7 Université de Cergy-Pontoise Communications numériques analogique. Alors les messages (les groupes de bits) sont convertis en ondes de transmission qui seront envoyés par le canal. Détecteur de signal : se basant sur l observation bruité du signal, le détecteur doit décider quel message a été émis. La procedure de détection dépend des techniques de mise-en-forme utilisés, aussi que du canal de communication. Dans ce cours nous allons discuter de plusieurs techniques de détection. 1.. Diagramme detaillé du module mise-en-forme de signal Voici le schéma detaillé du module de mise-en-forme du signal: m[n] A[k] e(t) x(t) h e (t) Figure 1.: Mise en forme de signal La notation utilisée: - m[n]: un message binaire émis constitué de n bits - A[k]: k vecteurs, chacun contenant n/k bits - e(t): un signal modulé obtenu par la transformation des symboles en signaux - h e (t): filtre de mise-en-forme - x(t): signal numérique émis 1..3 Modeles des canaux de communications à considerer Figure 1.3 représente un modele général d un canal de communication. Notation utilisée: - h c (t) : réponse impulsionelle du canal Modules de la chaîne de communication 7

8 Université de Cergy-Pontoise Communications numériques z(t) x(t) s(t) y(t) h c (t) Figure 1.3: Modele général du canal de communication - z(t) : bruit additif gaussien - y(t): signal à la sortie du canal / à l entrée du détecteur de signal Nous allons considérer les types de canaux suivants: canal du bruit additif gaussien (AWGN): y(t) = x(t) + z(t) canal invariant: h c (t) constant canal sélectif en fréquence: h c (t) = h c (t, f 0 ) canal sélectif en temps: h c (t) = h c (t, T 0 ) canal variant en temps et en fréquence: h c (t) = h c (t, f 0, T 0 ) 1..4 Diagramme detaillé du détecteur de signal Figure 1.4 présente le schéma du détecteur de signal. y(t) r[kt ] â k  k ˆm[n] h r (t) Figure 1.4: Détecteur de signal Modules de la chaîne de communication 8

9 Université de Cergy-Pontoise Communications numériques Notation utilisée: - h r (t): filtre de réception - r[kt ]: signal filtré échantilloné - â k : symboles détectés - Âk : vecteurs de bits demodulés - ˆm[n] : message binaire estimé 1.3 Messages et signaux dans la chaîne de communication Considérons la transformation des signaux dans la chaîne de communication. Supposons que nous avons un paquet de v bits a l entrée du codeur du canal. Ce paquet de bits utiles (ne contenant que l information) est encodé pas le codeur de canal en message (encodé) de n bits, noté comme m[n]. Ensuite la conversion série-parallèle est réalisée: on obtient k veteurs de n/k bits chacun, noté comme A[k]. Le modulateur effecture la transformation des vecteurs A en symboles a k, qui peuvent prendre comme les valeurs réelles ainsi que complexes. Exemple : Dans Figure 1.5, la génération d un signal émis est présenté. Pour cet exemple, la longueur des vecteurs A est égale a, et la transformation suivante est effectuée: A[k] a k Dans le cas des valeurs réelles, chaque symbole a k peut prendre une valeur parmi M. Les symboles a k donc sont les symboles M-aires. Les symboles {a k } M-aires normalisés prennent des valeurs situées symétriquement de part et d autre du zéro : a k {±1, ±3,..., ±M/}. Chaque symbole a k d information transporte à lui seul log M bits. Le signal à la sortie du modulateur est constitué d une suite d impulsions réalisant le support physique de symboles d information {a k }. Le signal e(t) est donc obtenu de façon équivalente avec un filtre de mise-en-forme de réponse impulsionnelle excité par le train d impulsions de Dirac Messages et signaux dans la chaîne de communication 9

10 1. MODELISATION Université de Cergy-Pontoise Communications numériques 1.1 Signal numérique Un signal : numérique est constitué d'une suite e(t) = d'impulsions réalisant le support a k δ(t kt s ), k Z physique de symboles d'information {a k }. Chaque symbole a k peut prendre une valeur parmi M (symboles "M-aires"), avec une période de répétition T avec une période de répétition T s comme c est montré dans Figure s ou période symbole : 1.5. M e s s a g e b i n a i r e é m i s m [ n ] R e g r o u p e m e n t A [ k ] S y m b o l e M - a i r e a k k S i g n a l n u m é r i q u e é m i s x ( t ) T S t T S T 3 S T S 5 T S Chaque impulsion est un multiple Figured'une 1.5: Signal forme numérique d'impulsion émis de x(t) base he ( t ) : A [ k ] Chaque impulsion est un multiple d une forme d impulsion A ede base, comme par exemple celui présenté dans Figure 1.6. La forme de l impulsion de base est donnée par le réponse impulsionnelle du filtre 1de 0 mise en forme + 3 h e (t). L expression 1 1 générale d un signal numerique émis est donc : t a k h ( t ) + 1 x(t) - 1 = k Z - 3 a k (δ h e -)(t T kt O T S s ) = a k h e (t kt s S ) k Z I m p u l s i o n d e b a s e Le modèle du canal de communication comprend un terme de filtrage linéaire et du bruit additif E.N.S.E.A Michel CHUC Messages et signaux dans la chaîne de communication 10

11 Chaque impulsion est un multiple d'une forme d'impulsion de base he ( t ) : Université de Cergy-Pontoise Communications numériques A [ k ] a k h A ( t ) e t T S O T S I m Figure 1.6: p u l s i o n d e b a s e Impulsion de base h e (t).n.s.e.a gaussien. Le signal à la sortie du canal est y(t) = s(t) + z(t), où z(t) est le bruit gaussien. La composante s(t) est donnée par : Michel CHUC s(t) = (x h c )(t) = (e (h e h c ))(t) = (e h)(t). Alors nous avons y(t) = k Z a k h(t kt s ) + z(t). Le canal introduit une déformation de l impulsion de base émise. A la réception, le signal y(t) passe par le filtre de réception. Nous avons à la sortie du filtre r(t) = (y h r )(t) = (e h h r )(t) + (z h r )(t) = (e g)(t) + b(t). A l échantillonnage, la valeur instantanée de l amplitude de l impulsion est capturée à l instant de décision t = kt s. Cette opération suppose une cohérence locale avec l horloge cadençant les symboles, la synchronisation requise étant effectuée a partir du signal reçu lui-mme (récupération de rythme symbole). Le signal soumis à échantillonnage s écrit : r[kt s ] = a n g(kt s nt s ) + b[kt s ]. n Z Ensuite, la valeur estimée â k du symbole transmis est déterminée a partir de la valeur échantillonnée à l instant de décision, soit r(kt s ). On opère par comparaison avec M seuils de décision. La présence de distorsion et/ou de bruit peut évidemment conduire à une erreur de symbole. Exemple Organe de décision pour M = 4. Le démodulateur estime les vecteurs des bits Â[k] à partir des symboles estimés a k. A[k] sont ensuite reconvertis en paquet ˆm[n] étant une estimation du paquet m[n]. Finalement, le paquet est décodé par le décodeur du canal afin d obtenir une estimation des bits utiles d information. Messages et signaux dans la chaîne de communication 11

12 Université de Cergy-Pontoise Communications numériques Canal de Nyquist en bande de base DETECTION EN PRESENCE DE BRUIT 3.1 Probabilité d'erreur Une décision est prise en réception pour estimer le k-ème symbole transmis a k à partir de la valeur échantillonnée à l'instant de décision t = kt s. Exemple en binaire : r ( t ) r ( k T ) s g ( 0 ) r ( t ) r ( k T ) s D é c i s i o n a^ k S e u i l d e d é c i s i o n! k T s t k T s R é c u p é r a t i o n d e ry t h m e s y m b o l e - g ( 0 ) $ r( t) = a. g( t " kt ) + b( t) Figure 1.7: k# Z k L'IES étant supposée nulle (canal de Nyquist), la valeur échantillonnée vaut 1.4 Débit de transmission r( kt ) = a. g( 0) + b( kt ) s k s Cette valeur échantillonnée r( kt s ) comprend deux composantes aléatoires : détecteur de signal. "signal" : ak. g ( 0 ), avec ak = { ± 1, ± 3,..., ± ( M" 1) } = { % 1, %,..., % M } ; "bruit" Le débit: de b( kt symboles s ), centré, symboles/s: de variance & b, non corrélé à la composante "signal" et de densité de probabilité fb ( u ). D s = 1, T s La densité de probabilité conditionnelle de r( kt s ) est donc donnée par. ( = % ) = [ " T% s. ( )] s f u a f u g 0 (17) r k i b i La probabilité d'erreur de symbole est définie par ( ) P ( e) = P a! ' a s k k La probabilité d'erreur binaire (probabilité d'erreur de bit) est, dans le cas général, différente Débit de de la transmission probabilité d'erreur de symbole : 1 Ps ( e) ( M P b( e ) ( P s( log e ) (18) Exemple des seuils de décision Le débit de transmission se mèsure entre l entrée du module de mise en forme et la sortie du Le débit binaire en bits/s: D b = log M

13 Université de Cergy-Pontoise Communications numériques 1.5 Messages dans le domaine spectrale Rappelons-nous que les signaux ont la représentation temporelle et la représentation spectrale, qui sont équivalentes. La représentation spectrale est beaucoup utilisée lors de la description des méthodes de transmission. Considérons le signal émis x(t). comme La densité spectrale de puissance (DSP) de x(p) peut s écrire γ x (f) = γ e (f) h e (f). Le spectre dépend donc à la fois des caractéristiques du signal e(t) transportant les symboles et de la forme de l impulsion de base. La DSP du signal e(t) est donnée par l expression : γ e (f) = 1 σa + γ a [p] cos πpft s + m a T s T s avec : - m a : valeur moyenne des symboles p=1 - γ a [p] : fonction d autocorrélation des symboles - σ a : variance des symboles On en déduit que le spectre du signal numérique possède une partie continue et éventuellement, si m a 0, une partie constituée de raies. Dans le cas simplifié ou les symboles ont une valeur moyenne nulle (m a = 0) et sont non corrélés (γ a [p] = 0 pour p=1,,... ), on obtient que γ x (f) = σ a T s e(f). La puissance moyenne du signal (variance), obtenue par intégration de cette expression, vaut σx = σa E h. T s où E h = h e(t)dt est l énergie de l impulsion de base h e (t). Exemple : signal NRZ M-aire La forme de l impulsion de base est: Les symboles a k = {±1, ±,..., ±(M 1)} sont supposés non corrélés et équiprobables, alors la moyenne m a = 0, la variance est σa = M 1. 3 Messages dans le domaine spectrale 13

14 Eh! h x =! a (10) (10) Ts où où E h E = h" = h " e h ( t ) e ( tdt ) dt est est l'énergie de l'impulsion de de base he h ( te )(. t ). R R Université de Cergy-Pontoise Communications numériques Exemple Exemple : signal : signal NRZ NRZ M-aire x ( t x ) ( t ) 3 A 3 A ( M = 4 ) ( M = 4 ) O O A A Forme de l'impulsion de base : Forme de l'impulsion de base : Figure 1.8: h ( t ) x(t) - signal NRZ M-aire e A h ( t ) e A t - 3 A - 3 A Symboles : ak = { ± 1 ± 3 ± M # 1 } Symboles : a { 1 3 M 1 } O T s s O T s,,..., ( ), supposés non corrélés et équiprobables.. moyenne : m a = 0 k = ±, ±,..., ± ( # ), supposés non corrélés et équiprobables. Figure 1.9: Impulsion de base NRZ M. variance : # 1. moyenne :! m a = a = 0 (11) Nous obtenons donc la densité spectrale de puissance3 suivante: M. variance (voir démonstration : de ces résultats # 1! en annexe 7) a = (11) γ x (f) = M 1 3A T s sin c ft s. 3 Densité spectrale de puissance : (voir démonstration de ces résultats en annexe 7) $ M # 1 Densité spectrale de puissance ( f ) = A T x : s.sin c ( fts ) 3 A A M # 1 M - 1 $ (f ) f x A T A xts c fts 3 3 s $ ( ) =.sin ( ) t - A - A t t M A T s $ (f ) x 9 0 % d e P m o y 9 0 % d e P m o y f O 1 T s T s T s T s f O 1 T s T s T s T Messages dans le domaine spectrale s 14

15 Forme de l'impulsion de base : A h ( t ) e Université de Cergy-Pontoise Communicationst numériques O T s Symboles : a { 1 3 M 1 } k = ±, ±,..., ± ( # ), supposés non corrélés et équiprobables.. moyenne : m a = 0. variance : M # 1! a = 3 (voir démonstration de ces résultats en annexe 7) Densité spectrale de puissance : $ M # 1 ( f ) = A T x s.sin c ( fts ) 3 (11) M A T s $ (f ) x 9 0 % d e P m o y f O 1 T s T s T s T s Figure 1.10: DSP obtenue Messages dans le domaine spectrale 15

16 Section Transmission en absence du bruit Considérons le cas le plus simple de transmission: Canal le canal de Nyquist est parfait, en bande doncde lebase bruit est 7 absent. Il s avère que même dans telles conditions favorables la transmission correcte peut être impossible...si. INTERFERENCE votre filtre de mise en ENTRE forme est mal SYMBOLES choisi! (IES) Inter-Symbol Interference (ISI).1 Interférence entre symboles (IES).1 Nature de l'ies - diagramme de l'oeil Ce Ce phénomène phénomenese seproduit produitsi sil'amplitude l amplitudede del'impulsion l impulsion soumise aà échantillonnage en réception en réception dépend, dépend, a l instant à l'instant de décision, de de décision, symboles de voisins symboles : voisins : g ( t - k T ) s k T s t ( k - 1 ) T s ( k + 1 ) T s Le contrôle au niveau temporel du degré d'ies s'effectue de façon très simple sur Figure.1: Exemple de l intérference entre symboles un oscilloscope par le diagramme de l'œil : Le contrôle 1 0 au niveau 1 1temporel 1 du 1 degré 0 d IES 0 s effectue 0 0 de façon 1 0tres simple 1 sur un oscilloscope par le A diagramme E de Fl oeil G(Figure H??). En l absence d IES, O l oeil est completement ouvert a t B D T s I 16 N C J K L M

17 k T s t ( k - 1 ) T s ( k + 1 ) T s Université de Cergy-Pontoise Communications numériques Le contrôle au niveau temporel du degré d'ies s'effectue de façon très simple sur l instant de décision: tous les trajets passent par deux points seulement en binaire (par M points un oscilloscope par le diagramme de l'œil : en M-aire) A E F G H O t B D T s I N C J K L M A, E, G F, H E, G, O B D I N J, L C, K, M J, L t ( k - 1 ) T s k T s ( k + 1 ) T s T s En l'absence d'ies, Figure l'oeil.: est Diagramme complètement de l oeil "ouvert" à l'instant de décision: tous les trajets passent par deux points seulement en binaire (par M points en M-aire). Exemple Voici les exemples des diagrammes de l oeil pour la transmission binaire et M-aire: Le diagramme de l oeil met en évidence une ouverture verticale a (immunité au bruit), une ouverture horizontale b (immunité au déphasage de l horloge), une pente c (immunité à la gigue d horloge) et une fluctuation d (amplitude de la gigue du point de passage par zéro) (Figure.4) Interférence entre symboles (IES) 17

18 Communications numériques 8 Communications numériques Exemples de diagramme de l'oeil - Transmission Exemples de binaire diagramme : de l'oeil Université de Cergy-Pontoise Communications numériques - Transmission binaire : Transmission binaire Transmission M-aire Transmission sans sans IES IES Transmission avec IES avec IES Transmission sans IES sans IES Transmission sans IES Figure Transmission.3: Exemples Caractéristiques Canal avec de du IES Nyquist diagramme en bande de de l'oeil base 9 - Diagramme de l'oeil en transmission M-aire : M= 4 Exemple : Le diagramme de l'oeil met en évidence une ouverture verticale (a - Diagramme de l'oeil en transmission M-aire : bruit), une ouverture horizontale (b) (immunité au déphasage de l'hor c M= 4 Exemple : a (c) (immunité à la gigue d'horloge) et une fluctuation (d) (amplitude Figure.4: point de passage par zéro) : d b t Charactéristiques du diagramme de l oeil. Annulation de l IES : conditions de Nyquist t..1 Condition de Nyquist dans le domaine temporel Le signal soumis a échantillonnage en réception r(t) ne comprend qu une partie signal, la partie bruit étant absent. r(t) donc s écrit comme: r(t) = a n g(t kt s ) = a k g(t kt S ) + Transmission n Z sans IES a n g(t kt s ) n Z,n k Caractéristiques La valeur du diagramme échantillonnée Transmission de l'oeil à l instant de sans décision IES t = kt s vaut : Le diagramme Caractéristiques de l'oeil met du en diagramme évidence de une r[kt l'oeil ouverture s ] = a k g(0) verticale + a n (a) g((k (immunité n)t s ) au uit), une ouverture horizontale (b) (immunité au déphasage de n Z l'horloge), une pente Le diagramme de l'oeil met en évidence une ouverture verticale (a) (immunité au (immunité à la oùgigue a k g(0) d'horloge) est l amplitude et une defluctuation l impulsion utile (d) (amplitude attendue de et le la deuxième gigue du terme est le terme parasite bruit), une ouverture horizontale (b) (immunité au déphasage de l'horloge), une pente int de passage par d IES. zéro) L IES : est nulle si l on vérifie (c) (immunité à la gigue d'horloge) et une fluctuation (d) (amplitude de la gigue du point de passage par zéro) : a n g((k n)t s ), a n. n Z Annulation de l IES : conditions de Nyquist 18

19 $ : terme parasite d'ies. an g[ ( k! n) Ts ] n" Z, n# k L'IES est nulle si l'on vérifie: [ ] Université de Cergy-Pontoise - 01$ - Communications an g ( k! n) Ts = numériques 0, % an (13) n" Z, n# k Une condition Une condition nécessaire nécessaire et suffisante et suffisante pour ne pour pas avoir ne pas d IES avoir est d'ies que l impulsion est que l'impulsion de base g(t) = de base g(t) possède la propriété : (h e h c h r )(t) possède la propriété (14) g( kt ) = g( 0 ).&[ k] g(kts s ) = g(0)δ[k]. Les impulsions Les impulsions suivantes suivantes vérifient vérifient la condition la condition de Nyquist de dans Nyquist le domaine au niveau temporel temporel : : a b c g ( t ) g ( 0 ) - T s - T s 0 T s T s g ( t ) g ( 0 ) - T s - T s 0 T s T s g ( t ) g ( 0 ) - T s - T s 0 T s T s t t t Figure.5: Exemples des impulsion vérifiant la condition de Nyquist (domaine temporel).. Condition de Nyquist dans le domaine spectral Si la condition de Nyquist dans le domaine temporel est vérifiée, l échantillonnage avec une période T S de l impulsion de base g(t) conduit alors à un seul Dirac en zéro : g(t)... = g(0)δ(t). En prenant la transfrmée de Fourier (TF) des deux membres, on en déduit la condition dans le domaine spectral : k Z ) g (f kts = T s g(0). Annulation de l IES : conditions de Nyquist 19

20 En prenant la TF des deux membres, on en déduit la condition au niveau spectral : $ k ' *. ( ) g& f # ) = Ts g 0 T Université de Cergy-Pontoise - 01 k" -Z Communications % s( numériques (15) DesExemples exemples de de spectres spectres d impulsions d'impulsions de base de vérifiant base vérifiant cette condition la condition sont présentés spectrale dansde Figure.6. Nyquist Notons (15) que les : spectres 1, et 3 des exemples ont un support fréquentiel borné alors que le spectre 4 possède un support fréquentiel infini. T. g ( 0 ) s g ( f ) g (f - 1 ) g (f - ) T s T s 1 f - / T s - 1 / T s - 1 / T s 0 1 / T 1 / T - / T s s s T. g ( 0 ) s g ( f ) f - / T s - 1 / T s - 1 / T s 0 1 / T 1 / T - / T s s s T. g ( 0 ) s g ( f ) 3 f - / T s - 1 / T s - 1 / T s 0 1 / T s 1 / T s - / T s 4 T. g ( 0 ) s g ( f ) f Figure.6: - / T s - 1 / T s - 1 / T s 0 1 / T 1 / T - / T s s s Exemples des impulsion vérifiant la condition de Nyquist (domaine spectral) Les spectres 1, et 3 ont un support fréquentiel borné alors que le spectre 4 Compte-tenu des propriétés de la TF, il est impossible d avoir un support borné a la fois dans les possède un support fréquentiel infini (TF de l'impulsion g(t) triangulaire (a) vérifiant domaines temporel et fréquentiel. En pratique, le choix est imposé : la transmission doit s effectuer la con-dition temporelle de Nyquist : la vérification au niveau spectral n'est pas dans un canal à bande passante limitée [ B, B]. On suppose que la TF de l impulsion de base a évidente). un support fréquentiel borné, avec g(f) = 0 pour f 1. T s Cette situation est observée dans les exemples de spectres 1, et 3 précédents. On vérifie alors facilement que la condition dans le domaine spectral conduit a la condition ci-dessous, de laquelle Annulation de l IES : conditions de Nyquist 0

21 transmission Cette doit situation s'effectuer est observée dans un canal dans à les bande exemples passante de limitée spectres [-B, 1, B]. et 3 précédents. On On vérifie suppose alors que facilement la TF de l'impulsion que la relation de base (15) a un conduit support à fréquentiel la condition borné, ci-dessous, avec : de laquelle découle le critère spectral de Nyquist g( f ) = 0 pour : f! 1 T s Université de Cergy-Pontoise " Communications numériques Cette situation est observée dans 1 % les exemples de spectres g$ + f g f g 1, et 3 précédents. On vérifie alors facilement que la # relation T s & ' + " 1 ( % ) $ ) ' = ( 0) (15) # conduit T s à & la condition ci-dessous, de laquelle découle le le critere critère spectral de de Nyquist : : Critère spectral de Nyquist : " g( % 1 + f) + g( 1 f) = g(0) 1 g f T s f T s $ + g # T s & ' + " 1 $ # ( % ) ) ' = ( 0) g g ( f ) ( 0 ) T s & ( ) Critere spectral de Nyquist : l IES est nulle si le point 1 T s, g(0) de la réponse en Critère spectral de Nyquist : g ( 0 ) fréquence globale g(f) est un centre de symétrie P (voir Figure.8 pour a demonstration). f g g ( f ) ( 0 ) 0 1 / T s 1 / T s g ( 0 ) " % P $ 1 g( 0) ' L'IES est nulle si le point P, de la réponse en fréquence globale $ T f s ' # & 0 1 / T s 1 / T s g ( f ) est un centre de symétrie centrale. Figure.7: " Demonstration % du critere spectral de Nyquist $ 1 g( 0) ' L'IES est nulle si le point P $, T s ' de la réponse en fréquence globale Lorsque les conditions de Nyquist # sont & vérifiées, l'ensemble du système constitue un Lorsque "canal de lesnyquist". conditions de Nyquist sont vérifiées, l ensemble du systeme constitue un canal de Nyquist. Notons que g ( f la ) est transmission un centre de sans symétrie IES est centrale. impossible si la bande passante B du canal est Remarques : inférieure a la limite appelée la fréquence de Nyquist : - la transmission sans IES est impossible si la bande passante B du canal est Lorsque les conditions de Nyquist 1 Dsont vérifiées, l'ensemble du système constitue B < 1 = D s s un "canal inférieure de Nyquist". à la limite = (appelée "fréquence T s de ; Nyquist") : Ts Remarques : g ( f ) - la transmission sans IES est impossible si la bande passante B du canal est 1 Ds inférieure à la limite = (appelée "fréquence de Nyquist") : f Ts - 1 / T - B g 0( f ) B 1 / T s - 1 / T s s 1 / T Figure.8: Bande passante inférieure s a 1/T s - g ( f ) est supposée ici réelle, d'où une forme d'impulsion de base g(t) non causale. f Présentons En pratique, un exemple on introduira tres important un retard - 1 / T - B de filtre pur supplémentaire cosinus surélevé. suffisant Exemple: pour filtre que de la Nyquist en 0 B cosinus fonction surélevé g(t) puisse (raised 1 / T s - être 1 cosine / Tconsidérée filter) comme nulle s s 1 / pour T t < 0. s - g ( f ) est supposée ici réelle, d'où T s ( ( une forme d'impulsion de base g(t) non causale. 1 sin π α [ f T s 1] )) 1 α, T s f 1+α T s, En pratique, on introduira g(f) = un T s, retard pur supplémentaire suffisant 0 f pour 1α T s, que la fonction g(t) puisse être considérée 0, comme nulle pour t < 0. autrement, avec 0 α 1. Dans le domaine temporel Annulation de l IES : conditions de Nyquist 1

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