Transmission des signaux numériques

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1 Transmission des signaux numériques par Hikmet SARI Chef de Département d Études à la Société Anonyme de Télécommunications (SAT) Professeur Associé à Télécom Paris. Transmission en bande de base... E Généralités Codes en ligne Modulation d amplitude en bande de base Canal de transmission Filtrage adapté Détection d un signal binaire Transmission à bande limitée Canal symétrique binaire.... Techniques de modulation.... Modulation à déplacement d amplitude (MDA).... Modulation à déplacement de phase (MDP) Modulation d amplitude de deux porteuses en quadrature (MAQ) Modulation à déplacement de fréquence (MDF) Modulations à enveloppe constante Codage de canal Objet et principe du codage Codes en blocs Codes convolutifs Modulations codées en treillis (MCT) MCT multidimensionnelles Modulations codées en blocs (MCB) Égalisation du canal Modèle du canal Récepteur optimal Égaliseurs linéaires Égaliseur à retour de décisions Algorithmes d adaptation Égaliseurs à suréchantillonnage Synchronisation Synchronisation de la porteuse Synchronisation du rythme Boucles à verrouillage de phase (PLL) Applications Modems téléphoniques Faisceaux hertziens Transmissions par satellite Transmissions sur fibres optiques Radiocommunications avec les mobiles Autres applications Références bibliographiques Techniques de l Ingénieur, traité Télécoms E700

2 TRANSMISSION DES SIGNAUX NUMÉRIQUES L es systèmes de transmission numérique véhiculent de l information entre une source et un destinataire en utilisant un support physique comme le câble, la fibre optique ou, encore, la propagation sur un canal radioélectrique. Les signaux transportés peuvent être soit directement d origine numérique comme dans les réseaux de données, soit d origine analogique (parole, image...) mais convertis sous une forme numérique. La tâche du système de transmission est d acheminer le signal de la source vers le destinataire avec le plus de fiabilité possible. Le schéma synoptique d un système de transmission numérique est donné à la figure A où l on se limite aux fonctions de base. La source émet un message numérique sous la forme d une suite d éléments binaires. Le codeur englobe en général deux fonctions fondamentalement différentes. La première, appelée codage en ligne, associe un support physique adéquat aux éléments abstraits émis par la source. La seconde, appelée codage correcteur d erreurs, consiste à introduire de la redondance dans le signal émis en vue de le protéger contre le bruit et les perturbateurs présents sur le canal de transmission. La modulation a pour rôle d adapter le spectre du signal au canal (milieu physique) sur lequel il sera émis. Enfin, du côté récepteur, les fonctions de démodulation et de décodage sont les inverses respectifs des fonctions de modulation et de codage situées du côté émetteur. La qualité d un système de transmission est évaluée, en général, en calculant la probabilité d erreur par bit (élément binaire) transmis. Celle-ci est fonction de la technique de transmission utilisée, mais aussi du canal sur lequel le signal est transmis. Une autre caractéristique essentielle est l occupation spectrale du signal émis. Pour utiliser efficacement le spectre disponible sur le canal de transmission, on est contraint d utiliser de plus en plus des modulations à grande efficacité spectrale. Le troisième aspect important d un système de transmission est la complexité du récepteur dont la fonction est de restituer le signal émis. Ainsi, les performances (probabilité d erreur par bit), l occupation spectrale et la complexité du récepteur constituent les trois caractéristiques principales permettant de comparer entre elles les différentes techniques de transmission. Cet article présente les techniques de transmission numérique avec une attention particulière sur les fonctions de base. Il est organisé en six paragraphes. Le premier est consacré à la transmission en bande de base et à la modélisation du canal ; le second décrit les techniques de modulation, leurs performances et leurs efficacités spectrales ; le troisième présente le codage correcteur d erreur dont l objectif est d améliorer les performances dans un milieu bruité ; le quatrième présente les techniques d égalisation adaptative que l on utilise pour compenser les distorsions subies par le signal lors de la transmission ; le cinquième est consacré à la présentation des techniques de synchronisation de rythme (horloge) et de porteuse nécessaires pour démoduler le signal et l échantillonner pour en extraire l information émise. Enfin, le dernier paragraphe présente les principaux domaines d application et les techniques utilisées. Figure A Schéma simplifié d un système de transmission numérique (0) E700 Techniques de l Ingénieur, traité Télécoms

3 TRANSMISSION DES SIGNAUX NUMÉRIQUES Sigle BSC CPM EQM IES MAQ MCB MCT MDA MDF MDP MLE MSK NRZ OQPSK PLL S/B VCO. Transmission en bande de base. Généralités Signification Binary Symmetric channel (canal symétrique binaire) Continuous-phase modulation (modulation à enveloppe constante et à phase continue) Erreur quadratique moyenne Interférence entre symboles Modulation d amplitude de deux porteuses en quadrature Modulation codée en blocs Modulation codée en treillis Modulation à déplacement d amplitude Modulation à déplacement de fréquence Modulation à déplacement de phase Maximum level error (niveau maximal d erreur) Minimum shift keying (MDF à indice minimal) Nonreturn to zero (non-retour à zéro) Offset quaternary phase-shift keying (MDP-4 à trains décalés) Phase-lock loop (boucle à verrouillage de phase) Rapport signal à bruit Voltage-controlled oscillator (oscillateur commandé par tension) Le terme «bande de base» signifie que le signal est transmis sur le canal sans l opération de modulation qui translate (éventuellement en le modifiant) le spectre du signal pour le centrer sur une fréquence porteuse f 0. Autrement dit, la fréquence porteuse d une transmission en bande de base est la fréquence zéro (f 0 = 0). Le schéma synoptique d un système de transmission en bande de base est illustré à la figure. Le signal à transmettre est une suite d éléments binaires { β n }. Cette suite abstraite prenant ses valeurs de l alphabet {0,} est codée en une suite {a n } qui module l amplitude des impulsions q (t ) à la cadence d émission des symboles que nous notons /T s. Lorsque les symboles a n sont binaires, leur cadence d émission /T s est égale à la cadence d émission des bits /T b (T b est la durée d un bit). Par contre, si les symboles a n sont quaternaires, leur cadence d émission est la moitié de la cadence d émission des bits β n. D une façon générale, la cadence d émission des symboles a n est donnée par /T s = (/T b ) (/log M ) si les symboles prennent leurs valeurs d un alphabet M-aire. Bien qu il existe des systèmes dans lesquels l information est portée par la forme ou même la position des impulsions associées aux symboles à émettre, nous considérons ici le cas le plus fréquent où les impulsions sont régulièrement espacées dans le temps et l information est uniquement portée par leur amplitude. Le signal émis s (t ) est alors de la forme : s (t ) = Σa n q (t nt ) () Le choix de l impulsion q (t ) définit les caractéristiques spectrales et les performances du système. Nous reviendrons sur ce point ultérieurement. Le canal de transmission est modélisé par un filtre linéaire de réponse impulsionnelle h (t ) suivi d un bruit additif gaussien. Le signal reçu passe dans un filtre de réception de réponse impulsionnelle c (t ) et la sortie de ce filtre est échantillonnée à la cadence /T s d émission des symboles a n. Ces échantillons sont envoyés vers un circuit de décision qui fournit une décision â n pour le symbole a n. Enfin, le décodeur au bout de la chaîne restitue une estimée βˆn pour chaque bit β n.. Codes en ligne Il existe un certain nombre de codes en ligne dont la fonction est d associer une suite d impulsions physiques à la suite d éléments binaires à l entrée du système de transmission. Les principales caractéristiques des codes en ligne sont les suivantes : l occupation spectrale : la largeur de la bande de fréquence occupée est fonction du code utilisé. Par ailleurs, le spectre de certains codes n a pas de composante à la fréquence zéro et ses composantes basses fréquences sont fortement atténuées, ce qui est intéressant dans certaines applications ; la densité des transitions dans le signal émis : cette propriété est primordiale pour restituer une horloge à la fréquence /T s dans le récepteur en vue d échantillonner le signal et de restituer l information émise ; l immunité au bruit : le milieu de transmission est toujours bruité et le codage utilisé influe sur le taux d erreur binaire qui constitue la principale mesure de qualité des liaisons numériques. Les propriétés recherchées sont souvent contradictoires et un code donné privilégie l une ou l autre de ces caractéristiques. Dans les paragraphes suivants, nous allons décrire quelques-uns des codes en ligne les plus usuels []. Les formes d onde correspondantes sont illustrées à la figure et le spectre du signal émis est présenté à la figure 3... Codage «non-retour à zéro» (NRZ) Comme le montre la figure a, ce codage associe une impulsion positive au bit et une impulsion négative au bit «0». Les deux impulsions ont la même forme rectangulaire de durée T b et diffèrent seulement par leurs signes. Le spectre d un signal aléatoire dont les bits successifs sont non corrélés est donné par l expression : Sf ( ) = T b sin( π ft b ) π ft b () Figure Schéma simplifié d un système de transmission en bande de base Techniques de l Ingénieur, traité Télécoms E700 3

4 TRANSMISSION DES SIGNAUX NUMÉRIQUES Figure Formes d onde correspondant à quelques codes en ligne L occupation spectrale est théoriquement infinie et le premier passage par zéro du spectre a lieu à la fréquence /T b (Hz) (figure 3a ). Ce spectre est tout de même plus étroit que ceux des autres codes en ligne qui sacrifient de la bande pour privilégier les transitions dans le signal émis en vue de simplifier l extraction d horloge. On remarque, en effet, que dans le code NRZ les transitions dans le signal émis sont celles de la séquence binaire à l entrée du système de transmission. Une conséquence de cette propriété est que le signal ne donne pas d information de rythme (horloge) lors de la transmission d une longue séquence de «0» ou de. Ce problème est résolu en pratique soit en insérant dans le signal émis des blocs de synchronisation riches en transitions, soit par une technique d embrouillage, mais la présentation de ces techniques sort du cadre de cet article... Codage bipolaire Ce codage est illustré à la figure b. On remarque que les successifs sont codés en des impulsions rectangulaires de polarités alternées. Les «0» par contre sont codés en un niveau zéro, ce qui correspond à l absence d émission d énergie. Le signal réellement émis a ainsi trois niveaux, mais un symbole émis ne transporte qu un seul bit d information ; nous avons T s = T b. La densité spectrale de puissance d un signal aléatoire avec codage bipolaire est donnée par l expression : sin( π ft Sf ( ) T b sin ( πft b ) b ) = (3) π ft b Comme on le voit sur la figure 3b, le spectre du code bipolaire passe par zéro à la fréquence zéro, ce qui rend ce code attrayant pour les canaux ne pouvant passer les basses fréquences. En Figure 3 Spectres correspondant aux codes de la figure revanche, la décroissance de la densité spectrale S (f ) avec la fréquence est plus lente que dans le code NRZ, ce qui nécessite une bande plus large pour la transmission du signal. Dans sa forme d origine, le code bipolaire ne résout pas le problème lié aux longues suites de «0», car une telle suite implique l absence d émission d énergie et par conséquent de transitions. Une variante de ce code consiste à émettre une impulsion pour le huitième bit dans une suite de «0» consécutifs. Ainsi, l absence de transitions dans le signal ne peut excéder une durée de 7 bits. Cette impulsion est de même polarité que la dernière impulsion correspondant à l émission d un. Dans le récepteur, cette impulsion est aisément reconnue, car elle «viole» la loi d alternance des polarités des impulsions correspondant à l émission de...3 Code Manchester Comme le montre la figure c, ce code génère des transitions à chaque durée de bit, quelle que soit la séquence émise. Un dans ce code est codé en une impulsion rectangulaire de durée T b avec inversion de polarité au milieu du bit, la première moitié étant de signe positif. Un «0» est codé en une impulsion identique, mais de polarité opposée. Les transitions à chaque durée bit rendent l extraction d horloge très facile, mais une suite de «0» ou de générant des impulsions de largeur T b /, l occupation spectrale se trouve élargie. E700 4 Techniques de l Ingénieur, traité Télécoms

5 TRANSMISSION DES SIGNAUX NUMÉRIQUES La densité spectrale de puissance du signal est donnée par l expression : sin 4 π ft b / Sf ( ) = T b ( ) (4) ( π ft b /) La forme du spectre est donnée à la figure 3c où l on remarque qu une bonne partie de l énergie est au-delà de la fréquence /T b. On remarque également qu aussi bien la densité spectrale S (f ) que sa dérivée première s annulent à la fréquence f = 0, ce qui rend ce code bien adapté à la transmission sur canaux ne passant pas les basses fréquences...4 Code de Miller Ce code est illustré à la figure d. Un est codé en utilisant une impulsion Manchester, c est-à-dire une impulsion rectangulaire de durée T b avec une inversion de polarité au milieu du bit et un «0» est codé en utilisant une impulsion rectangulaire sans changement de polarité. La polarité des impulsions correspondant à l émission d un est choisie de façon à garantir une continuité avec l impulsion précédente. Quant à la polarité des impulsions correspondant à l émission d un «0», elle assure une continuité (non-transition) après un, mais elle est inversée après un autre «0». Dans ce code, le signal contient une transition au plus toutes les deux durées bit, ce qui assure suffisamment de transitions pour la récupération du rythme. Par ailleurs, la forme du signal ne contient pas d impulsion d une largeur inférieure à T b, ce qui réduit notablement l occupation spectrale par rapport au code Manchester. La densité spectrale de puissance est donnée par : S (f ) = T b [ cos(π ft b )] [ cos(π ft b )]/(π ft b ) (5) Là aussi, S (f ) et sa dérivée première passent par zéro à f = 0 (figure 3d ), ce qui rend le code intéressant pour la suppression des composantes basse fréquence. Avant de terminer la présentation des codes en ligne, il est utile de préciser que ces codes trouvent application notamment en transmission en bande de base sur câble coaxial ou sur fibre optique où l occupation spectrale n est pas d une importance capitale. Par contre, dans les systèmes de transmission sur onde porteuse, comme les modems téléphoniques, les faisceaux hertziens ou les liaisons par satellite où l efficacité spectrale est un critère important, on utilise naturellement le codage NRZ et on résout le problème de longues suites de ou de «0» par une technique d embrouillage des données émises. Pour encore augmenter l efficacité spectrale par rapport au codage NRZ binaire, une technique efficace consiste à faire un codage multiniveaux que nous allons maintenant décrire..3 Modulation d amplitude en bande de base Tous les codes que nous venons de présenter dans les paragraphes précédents sont des codes binaires qui n utilisent pas efficacement le spectre disponible. En se limitant maintenant au code NRZ dont l occupation spectrale est décrite par l équation (), nous allons présenter sa généralisation à un codage multiniveaux qui transmet plusieurs bits par symbole émis. Dans ce codage, les bits d information sont pris par paquets de M bits et la durée T s d un symbole est égale à T b log M. Les symboles M-aires prennent leurs valeurs d un alphabet {±, ± 3,..., ± (M )} dont les niveaux sont centrés et équidistants. Avec un codage M-aire et des impulsions rectangulaires (NRZ), la densité spectrale du signal est donnée par : sin( π ft s ) Sf = π ft s sin( π ft ( T b log M ) b log M ) = π ft b log M (6) En comparant cette expression à celle donnée par l équation (), on voit que le spectre est en effet comprimé par un facteur log M par rapport au codage binaire. La contrepartie de l occupation spectrale réduite est la réduction de l immunité au bruit additif du canal. Nous expliciterons ce point ultérieurement, après la modélisation du canal et la présentation du filtrage adapté. ( ) T s.4 Canal de transmission Le canal de transmission est en général modélisé par un filtre linéaire suivi d une addition de bruit. En notant h (t ) la réponse impulsionnelle du filtre linéaire, la sortie r (t ) du canal est reliée à son entrée s (t ) par : rt ( ) = ht ( ) * st ( ) + wt ( ) + = h( θ )s( t θ)dθ + wt ( ) (7) où * désigne le produit de convolution et w (t ) le bruit additif. Dans le domaine fréquentiel, le filtrage du canal revient à multiplier S(f ) qui représente la transformée de Fourier de s (t ) par sa fonction de transfert H (f ) obtenue par transformée de Fourier de h (t ). Pour le moment, nous supposerons que la fonction de transfert H (f ) est constante dans la bande du signal, ce qui élimine l opération de filtrage et la seule perturbation restant est alors le bruit additif w (t ). Le bruit w (t ) du canal de transmission est principalement d origine thermique et peut être modélisé par un processus aléatoire gaussien centré et de variance σ. Sa densité de probabilité est de la forme : pb ( ) = exp (8) σ π Le signal r en sortie du canal s écrit : r = s + w (9) et la densité de probabilité de la variable r est donnée par : w σ ---- py ( ) = exp (0) σ π σ Une erreur se produit lorsque le bruit additif fait passer le signal de la zone de décision du symbole émis vers une autre zone de décision (en sortie du filtre de réception). Une autre caractéristique du bruit additif d origine thermique est que sa densité spectrale de puissance est indépendante de la fréquence. Il est dit «blanc» par analogie à la lumière blanche composée de parts égales de différentes couleurs ou fréquences. Au sens strict du terme, un bruit blanc n est pas physique, car il serait forcément de puissance infinie, ce qui n est pas le cas du bruit sur le canal. Toutefois, du moment que le bruit a une densité spectrale constante sur une bande plus large que la bande du signal, on parle de bruit blanc, car une fois filtré par le filtre de réception, celui-ci ne peut être distingué d un bruit blanc réel r s Techniques de l Ingénieur, traité Télécoms E700 5

6 TRANSMISSION DES SIGNAUX NUMÉRIQUES.5 Filtrage adapté Le filtre adapté est un filtre linéaire qui maximise le rapport signal à bruit (S/B) aux instants de décision. Considérons qu un signal connu s (t ) est transmis sur un canal avec un bruit additif gaussien w (t ). Le récepteur consiste en un filtre linéaire de réponse impulsionnelle f (t ) suivi d un échantillonneur opérant à la cadence d émission des symboles et d un circuit de décision à seuils (figure 4). Supposons maintenant qu une seule impulsion a été émise et examinons la sortie du filtre de réception x (t ) à l instant t = T s qui consiste en deux composantes : une composante signal u et une composante bruit b. Le rapport S/B à l instant T s est : S B u = σ b () où σ b désigne la variance du bruit b (t ) en sortie du filtre de réception. Notons que ce bruit est gaussien, puisque le passage par un filtre linéaire d un bruit gaussien ne détruit pas sa forme gaussienne. Nous voulons maintenant maximiser le rapport S/B donné par l équation () par un choix judicieux du filtre de réception avec une réponse impulsionnelle f (t ) ou fonction de transfert F (f ). Le signal utile en sortie de ce filtre est donné par l expression : + u() t = F( f )S( f ) exp ( jπft)dt () où S (f ) désigne la transformée de Fourier du signal s (t ) émis. Ensuite, en désignant par N 0 / la densité spectrale bilatérale du bruit additif, la variance de la composante bruit dans le signal en sortie du filtre de réception est donnée par : N 0 σ b = Le rapport S/B à l instant t = T s s écrit alors : S B = + F( f ) df + Ff ( )Sf ( ) exp( jπ ft s )df N F( f ) df (3) (4) Sans en donner les détails de calcul que le lecteur peut trouver dans [], nous allons donner le résultat principal : la fonction de transfert du filtre optimal maximisant le rapport S/B est de la forme : F (f ) = λs*(f ) exp ( jπft s ) (5) et sa réponse impulsionnelle est : f() t λs( T s t) pour 0 t T s = 0 ailleurs (6) Dans les expressions (5) et (6), λ est un nombre réel quelconque et le retard T s est introduit pour rendre la réponse du filtre causale. Il est implicitement supposé que le signal est réel et que la durée de l impulsion est T s. Une représentation plus générale du filtre adapté est : f (t ) = λs*( t ) (7) Avec un filtre adapté dans le récepteur, le rapport S/B à l instant de décision est : S B ---- max E = s N 0 (8) Figure 4 Détection d un signal en présence d un bruit additif blanc gaussien où E s désigne l énergie du signal s (t ) donnée par : + E s = S( f ) df (9) Ainsi, le rapport S/B ne dépend pas de la forme, mais seulement de l énergie du signal émis..6 Détection d un signal binaire.6. Règle de décision Maintenant que nous avons vu la modélisation du canal et le filtrage adapté maximisant le rapport S/B aux instants de décision, nous allons examiner le problème de détection en considérant un signal binaire. Le système considéré transmet un signal s (t ) de durée limitée à l intervalle (0, T b ) et les deux valeurs possibles de ce signal sont notées s (t ) et s (t ). Le signal reçu peut alors s écrire : r (t ) = s i (t ) + b (t ) (0) avec i = ou et où b (t ) est un bruit blanc, gaussien et centré. Ce signal passe à travers le filtre adapté et l échantillonneur fournissant un échantillon x (T b ). La densité de probabilité de x (T b ) conditionnelle à l émission du signal s (t ) peut être exprimée sous la forme : px/s ( ) = exp σ b π σ b u () où u désigne la partie utile de x (T b ) et σ b est l écart-type de la composante bruit. De même, la densité de probabilité de x (T b ) conditionnelle à l émission du signal s (t ) s exprime sous la forme : p( x/s ) σ b π ---- u = exp σ b () où u désigne le signal utile dans x (T b ) lorsque s (t ) a été émis. Les densités de probabilité p (x/s ) et p (x/s ) sont illustrées à la figure 5 qui montre également le seuil de décision noté γ. Sur cette figure, nous avons aussi indiqué un point x (T b ) situé entre le seuil γ et le point u. En supposant que les signaux s (t ) et s (t ) sont équiprobables, il est clair que pour ce point la probabilité p d émission du signal s (t ) est nettement supérieure à la probabilité p d émission du signal s (t ). À la réception de ce point x (T b ), le récepteur doit alors tout naturellement décider que le signal émis est s (t ) et non pas s (t ). L inverse est évidemment vrai pour un point x (T b ) situé entre γ et u. Après filtrage adapté et échantillonnage, la détection consistera donc à comparer au seuil γ le signal x (T b ). Le détecteur décide en faveur de s (t ) si x (T b ) > γ et en faveur de s (t ) si x (T b ) < γ. Le choix du seuil γ est fait de façon à minimiser la probabilité d erreur. Pour des signaux s (t ) et s (t ) équiprobables, le seuil est situé exactement E700 6 Techniques de l Ingénieur, traité Télécoms

7 TRANSMISSION DES SIGNAUX NUMÉRIQUES à mi-chemin des points u et u. Cette règle de décision est basée sur le maximum de vraisemblance, le rapport de vraisemblance dans le problème en question étant : p( s ϕ ) p( x/s ) = p( s ) p( x/s ) (3) où p (s ) et p (s ) sont les probabilités d émission respectives des signaux s (t ) et s (t ). Pour p (s ) = p (s ), on voit naturellement que le détecteur compare simplement les probabilités conditionnelles p (x /s ) et p (x /s ), ce qui revient à dire que le seuil γ doit être placé à des distances identiques de u et u..6. Probabilité d erreur Avec la règle de décision présentée au paragraphe précédent, une erreur se produit dans deux cas de figure : un signal s (t ) est émis et le signal en sortie du filtre adapté se trouve dans la zone de décision de s (t ) ; un signal s (t ) est émis et le signal en sortie du filtre adapté se trouve dans la zone de décision de s (t ). Les probabilités respectives de ces deux événements s écrivent : et : La probabilité d erreur s écrit alors : (4) (5) P (e) = P (s ) p (e/s ) + P (s ) p (e/s ) (6) Sous l hypothèse que les signaux s (t ) et s (t ) sont équiprobables, c est-à-dire p (s ) = p (s ) = /, et en utilisant la propriété que le bruit est gaussien, centré et de variance σ b, on trouve que la probabilité d erreur se met sous la forme : où la fonction erfc(u ) est donnée par l expression : (7) (8) La fonction erfc(u ) est une fonction décroissante de l argument u et le rôle du filtre adapté est justement de maximiser son argument et de minimiser la probabilité d erreur pour une énergie émise donnée. Dans le cas binaire considéré, un filtre adapté à s (t ) s (t ) donne, à l instant t = T b, le rapport S/B : avec : γ p( e/s ) = p( x/s )dx p( e/s ) = p( x/s )dx γ Pe ( ) erfc ( u) S ---- B = u ---- erfc u σ b + = exp ( θ π u )dθ ( u u ) = = σ b E d N 0 T E d b = s () t s () t dt 0 (9) (30) En reportant (9) dans (7), la probabilité d erreur se met sous la forme : P( e) = E ----erfc d 4N 0 (3) Figure 5 Densités de probabilité correspondant à l émission des signaux Maintenant, nous allons expliciter cette formule pour une transmission NRZ définie par s (t ) = + A, 0 t T b et s (t ) = s (t ). Les deux signaux s et s sont donc antipodaux. Dans ce cas, nous avons également en sortie du filtre adapté u = u et le seuil de décision γ est bien entendu 0. La détection consiste à comparer x (T b ) à 0 et à décider en faveur de s (t ) si x (T b ) > 0 et de s (t ) si x (T b ) < 0. La décision est arbitraire pour x (T b ) = 0. Le paramètre E d donné par l expression (30) est dans ce cas égal à (A) T b et la probabilité d erreur s écrit : Pe ( ) A ----erfc T b N 0 E ----erfc b = = N 0 (3) où E b désigne l énergie par bit émis. Nous verrons ultérieurement ( ) que cette expression de la probabilité d erreur est également valable pour la modulation de phase à deux états avec détection cohérente. Pour un signal NRZ unipolaire défini par s (t ) = A, 0 t T et s (t ) = 0, nous avons u (T b ) = A b T b et u (T b ) = 0 en sortie de l échantillonneur placé après le filtre adapté. Le seuil de décision est alors γ = A T b /, le paramètre E d est égal à A T b. En utilisant ces valeurs, on trouve que la probabilité d erreur est donnée par : P( e) ----erfc A T b E (33) N erfc b = = N l énergie par bit E b étant donnée par E b = A T b /. Cette probabilité d erreur est également valable pour la modulation de fréquence à deux états avec détection cohérente. En comparant les expressions (3) et (33), on remarque que la transmission NRZ unipolaire perd 3 db en rapport S/B par rapport à la transmission NRZ bipolaire utilisant s (t ) = s (t ). Les probabilités d erreur respectives de ces deux modulations sont tracées sur la figure 6. Avant de terminer ce paragraphe, nous allons généraliser les résultats à une transmission M-aire définie par s i (t ) = id sur 0 t T s avec i {±, ± 3,..., ± (M )}, d est un réel quelconque et T s = T b log M. La probabilité d erreur n est pas simple à évaluer dans ce cas, car une erreur de décision ne se fait pas nécessairement en faveur d un niveau adjacent. Par ailleurs, le passage de la probabilité d erreur par symbole que nous noterons P s (e) à la probabilité d erreur par bit P b (e) nécessite que l on spécifie la règle utilisée pour générer les M niveaux d amplitude à partir des log M bits d information. Pour pallier ces difficultés, nous nous contenterons de donner ici une valeur approximative de la probabilité d erreur par symbole comme dans le cas binaire. Ici aussi deux niveaux adjacents sont séparés par une distance d, mais l intégrale fournissant le paramètre E d est définie sur une durée T s = T b log M. Nous avons ainsi : E d = 4d T s = 4d T b log M Quant à la puissance du signal, elle est donnée par : = d ( M )/3 Techniques de l Ingénieur, traité Télécoms E700 7

8 TRANSMISSION DES SIGNAUX NUMÉRIQUES Figure 6 Probabilité d erreur des codes NRZ bipolaire et unipolaire En utilisant ces valeurs dans (3), on trouve une valeur approximative de la probabilité d erreur P s (e) sous la forme : P s ( e) erfc M 3log M E b M N (34) Par rapport à la transmission NRZ binaire dont la probabilité d erreur est exprimée par la relation (3), la transmission M-aire perd ainsi un facteur 3log M /(M ) en rapport S /B. On vérifie aisément que ce facteur vaut bien pour M =. Par ailleurs, pour M suffisamment grand, ce facteur multiplicatif de E b /N 0 figurant dans l expression de la probabilité d erreur est approximativement divisé par 4 chaque fois que M est multiplié par. Autrement dit, on perd 6 db en rapport S /B (défini comme E b /N 0 ) chaque fois qu on double l alphabet M-aire, ou encore chaque fois que l on ajoute un bit d information au symbole émis..7 Transmission à bande limitée Tous les signaux que nous avons considérés jusqu ici sont à bande illimitée, car l impulsion élémentaire était limitée à la durée T b dans le cas binaire ou à T s dans le cas plus général des signaux multiniveaux. Cette propriété découle du fait qu un signal ne peut être à la fois à bande limitée et à durée limitée. Or, dans les applications pratiques, la bande de fréquence est une ressource rare que l on essaie d utiliser de la manière la plus efficace possible. Il se pose alors le problème de transmettre le débit le plus grand possible dans une bande de fréquence donnée et sans perdre en performances par rapport à la transmission sur une bande illimitée. La réponse à cette question est donnée par le critère de Nyquist et le filtrage vérifiant ce critère, que l on appelle filtrage de Nyquist..7. Critère de Nyquist Du moment que le signal est à bande limitée, les impulsions élémentaires associées aux symboles composant ce signal sont de durée infinie. Nous allons considérer un système de transmission dans lequel des symboles M-aires sont émis à une cadence /T s (un symbole émis toutes les T s secondes). Pour transmettre à cette cadence et sans qu il y ait une perte en performances par rapport à la transmission à bande illimitée (impulsions rectangulaires de durée T s à l émission et filtrage adapté à la réception), il faut déterminer des impulsions élémentaires avec des passages par zéro espacés de T s secondes. Autrement dit, la forme de l impulsion q (t ) nécessite l existence d un instant τ tel que : q (τ ) = µ et q (nt s + τ) = 0, pour n 0 (35) µ étant un paramètre réel non nul. Cette propriété est précisément le critère de Nyquist pour une transmission sans interférence entre symboles (IES). Elle assure que chaque échantillon du signal reçu provient d un seul symbole. La seconde question qui se pose ici concerne la bande minimale nécessaire pour transmettre sans IES à une cadence /T s. La bande minimale est précisément /T s Hz, que l on appelle la bande de Nyquist. La figure 7 montre la fonction de transfert d un filtre passebas idéal indiqué par α = 0. Il est bien connu que la réponse impulsionnelle de ce filtre est un sinus cardinal passant par zéro en tout point de la forme nt s sauf pour n = 0. Le problème de ce filtre est qu il n est pas physiquement réalisable. Il existe heureusement une multitude de filtres dont la bande est inférieure à /T s Hz et vérifiant le critère de Nyquist pour transmettre des symboles à la cadence /T s. Leur fonction de transfert présente une symétrie impaire par rapport au point f = /T s, comme on peut le voir pour deux filtres sur la figure 7. Leurs réponses impulsionnelles sont données à la figure 8. Les fonctions de transfert de ces filtres suivent une caractéristique de cosinus surélevé donnée par l expression [3] : α Q( f ) = T s pour 0 f < T s T s πt s f sin T s α = pour α T f α s T s = 0 pour f + α > T s (36) où α est un paramètre réel compris entre 0 et. Pour α = 0, on obtient le filtre passe-bas idéal de bande /T s et, pour α =, on a un filtre occupant une bande /T s. Le paramètre α qui définit la bande supplémentaire par rapport à la bande de Nyquist est appelé facteur de roll-off, facteur d arrondi ou encore facteur de retombée. La réponse impulsionnelle des filtres de Nyquist en cosinus surélevé est la transformée de Fourier inverse de la fonction Q(f ). Elle est donnée par l expression : q( t) sin( πt /T s ) cos( απt /T s ) = πt /T s 4α t /T s (37) Comme le montre la figure 8, la décroissance de cette réponse en partant de zéro est d autant plus forte que α est grand. Les grandes valeurs de α facilitent ainsi la réalisation du filtre, alors que les faibles valeurs de α sont plus attrayantes en vue de réduire la bande occupée, et le choix de ce paramètre constitue bien un compromis auquel font face les concepteurs de systèmes de transmission numérique. Les filtres en cosinus surélevé, décrits par (36) en fréquence et par (37) en temps, ne sont pas les seuls filtres de Nyquist. En effet, le critère de Nyquist résumé par (35) s exprime dans le domaine fréquentiel par : Q e ( f ) = Qf ( + n/t s ) n = constante pour f /T s (38) E700 8 Techniques de l Ingénieur, traité Télécoms

9 TRANSMISSION DES SIGNAUX NUMÉRIQUES Nous allons maintenant exprimer l argument d /σ b en fonction du rapport E b /N 0, E b étant l énergie moyenne émise par bit d information et N 0 / étant la densité spectrale bilatérale du bruit additif du canal. En utilisant les relations (36) et (39) et en notant par σ a la puissance moyenne des symboles émis, on montre sans difficulté que la puissance moyenne du signal émis s écrit : Figure 7 Fonction de transfert de filtrage de Nyquist + s = σ T a s F e( f )df M = d (4) 3 Par ailleurs, la variance σ b du bruit à l entrée du détecteur s exprime sous la forme : N + 0 N σ b = F r ( f )df = T s À partir de (4) et (43), nous avons : (43) d σ b = = M Es N 0 6log M E b M N 0 (44) ce qui donne : P s ( e) = M E b M N erfc 3log M (45) Figure 8 Réponse impulsionnelle du filtrage de Nyquist En se limitant aux fonctions Q (f ) avec Q (f ) = 0 pour f > /T s, on voit que la relation (38) est vérifiée pour toute fonction consistant de la somme de la fonction rectangulaire (correspondant à α = 0 dans (36)) et d une fonction quelconque avec une symétrie impaire autour du point f = /T s. Il existe donc une infinité de fonctions de transfert qui s annulent pour f > /T s et vérifiant le critère de Nyquist pour annuler l IES. Nous allons maintenant examiner les performances d un système M-aire avec un filtrage de Nyquist en supposant que ce filtrage est équitablement partagé entre l émission et la réception de façon à maximiser le rapport S/B aux instants de décision (filtrage adapté). Plus précisément, nous représentons les filtres d émission et de réception par les fonctions de transfert suivantes : F e ( f ) = T s Qf ( ) (39) et F r ( f ) = Q( f) (40) T s où la fonction Q (f ) désigne la fonction de transfert globale de la chaîne supposée correspondre à un filtrage de Nyquist. Avec les symboles émis prenant leurs valeurs de l alphabet {± d, ± 3d,..., ± (M )d }, la probabilité d erreur par symbole peut être approximée comme : P s ( e) (4) M erfc d / σ b où σ b désigne l écart-type du bruit à l entrée du détecteur à seuils. pour la probabilité d erreur par symbole. On remarque que l expression (45) est identique à l expression (34), ce qui implique que la limitation de la bande de fréquence est sans conséquence sur les performances du système pourvu que le filtrage global de la chaîne soit de Nyquist et qu on le partage équitablement entre l émission et la réception..7. Transmission duobinaire En 963, il a été démontré par Lender [4] qu il est possible de transmettre des données à une cadence /T s dans la bande de Nyquist [/T s Hz] et sans avoir nécessairement recours à un filtre passe-bas idéal. La technique duobinaire introduite par Lender est basée sur l introduction d IES prédéterminée dans le signal émis. Cette interférence étant connue d avance, elle peut être soustraite dans le récepteur avant la prise de décision sur les symboles émis. Avant de décrire la technique de transmission par réponses partielles dans sa généralité, nous allons étudier la transmission duobinaire de Lender représentée sur la figure 9. L émetteur dans ce système est constitué d un codeur décrit par : v k = a k + a k (46) suivi d un filtre passe-bas idéal de bande ( /T s, + /T s ). À la réception, le signal est échantillonné à la cadence /T s et les échantillons sont envoyés vers un décodeur effectuant l opération inverse du codeur utilisé à l émission. En notant par x k la sortie de l échantillonneur, par y k l entrée du décodeur et par â k sa sortie, nous avons la relation : y k = x k â k (47) Techniques de l Ingénieur, traité Télécoms E700 9

10 TRANSMISSION DES SIGNAUX NUMÉRIQUES À l origine, cette technique était proposée pour des entrées binaires, d où le nom duobinaire qui signifie qu un élément binaire est transmis par ses composantes sur deux durées bit successives. En effet, un bit a k donné contribue aussi bien à la génération de l échantillon v k qu à la génération de l échantillon suivant, v k +. Avec des entrées a k binaires prenant leurs valeurs de l alphabet {, + }, les signaux codés v k sont ternaires et prennent leurs valeurs de l alphabet {, 0, + }. En supposant que les valeurs ± de a k sont équiprobables, le signal v k prend la valeur 0 avec une probabilité / et chacune des valeurs + et avec une probabilité /4. Un signal duobinaire se présente donc comme un signal ternaire dont les niveaux ne sont pas équiprobables et portant un seul bit d information par symbole émis. Par ailleurs, toutes les transitions ne sont pas autorisées : on vérifie aisément que l on ne peut passer d un niveau + directement à un niveau et réciproquement. On peut aussi vérifier que, si l état présent est un 0 et l état précédent est un (respectivement + ), l état suivant ne peut être que soit 0, soit + (respectivement ). La technique de décodage portée sur la figure 9 et décrite par l équation (47) est intéressante pour expliquer la détection des signaux duobinaires, mais pas pour une réalisation pratique. En effet, le décodeur utilise les décisions antérieures qui peuvent être erronées à cause du bruit additif ou d autres perturbations sur le canal. Une décision erronée se propage dans la boucle du décodeur et peut causer d autres erreurs à son tour. Il existe heureusement une solution très simple pour s affranchir de ce problème. Pour comprendre cette solution, il suffit de remarquer que deux symboles a k successifs de signes opposés donnent un niveau 0 après l opération de codage duobinaire. De même, deux symboles a k successifs de même signe donnent un niveau + ou. Si maintenant les bits d information sont codés dans les transitions et non pas dans la valeur instantanée des symboles a k, ils peuvent être extraits du signal reçu en comparant les échantillons de celui-ci à des seuils placés à et +. Si l échantillon se trouve entre ces deux seuils, on décide que le bit émis est un et, dans le cas contraire, on décide que le bit émis est un 0. Le codage différentiel du côté émission, quant à lui, génère une transition (a k = a k ) lorsque le bit d information β k à son entrée est un et une non-transition (a k = a k ) lorsque le bit d information est un Réponses partielles généralisées Comme mentionné précédemment, la technique duobinaire de Lender est aussi directement applicable avec des symboles d entrée a k multiniveaux. Si par exemple les symboles a k sont quaternaires, le signal en sortie du codeur sera à 7 états d amplitude avec une densité de probabilité de forme triangulaire et une loi de transitions bien déterminée. Une autre génération, plus importante, de la technique duobinaire concerne le codeur lui-même qui peut être de forme différente et introduire encore plus de mémoire (et de niveaux d amplitude) dans le signal émis. Le terme «réponse partielle» traduit le fait qu un échantillon fourni par le codeur et transmis sur le canal ne porte qu une partie de l information provenant d un symbole a k donné. On peut maintenant se poser la question d utilité de la transmission duobinaire et plus généralement des réponses partielles. Nous avons commencé au paragraphe.7. en présentant la transmission duobinaire comme une technique ne nécessitant pas un filtrage passe-bas idéal que l on ne peut réaliser en pratique. Or, le schéma de la figure 9 contient bien un tel filtre après le codeur duobinaire. Nous allons maintenant donner un schéma équivalent qui affranchit de ce problème. La fonction de transfert du codeur duobinaire est : C (f ) = + exp ( j π ft s ) (48) et celle du filtre passe-bas idéal qui suit le codeur : F (f ) = T s pour f < /T s = 0 ailleurs (49) Le filtrage global équivalent à ces deux opérations en cascade a pour fonction de transfert : Q (f ) = T s exp ( j π ft s )cos(πf T s ) pour f < /T s = 0 ailleurs (50) En nous intéressant uniquement à la réponse en amplitude du filtrage global, on trouve que celle-ci est une portion de cosinus définie sur l intervalle de fréquence ( /T s, + /T s ), comme le montre la figure 0. Un tel filtrage, avec une fonction de transfert arrondie est manifestement plus simple à réaliser que le filtrage passe-bas idéal de la figure 9. En plus de la transmission duobinaire, il existe une large classe de signaux à réponses partielles. En se référant de nouveau au schéma de principe de la figure 9, on peut définir une forme générale de codeur que l on peut décrire à l aide de la fonction de transfert en z : c (z ) = α 0 + α z α n z n (5) où z désigne un retard unitaire de durée T s. Noter que la transmission duobinaire est définie par n = et α 0 = α =. La figure 0 montre quatre autres fonctions de transfert correspondant à des techniques de réponses partielles bien connues. À l intérieur de la famille des signaux à réponses partielles, ces quatre types de signaux portent les désignations classe, classe 3, classe 4 et classe 5 [], la classe étant la technique duobinaire. La figure 0 indique également la forme du polynôme c (z ) ainsi que l expression mathématique exacte de la réponse en amplitude Q (f ). On remarque que dans la classe l énergie est mieux concentrée dans les basses fréquences et la transition est plus douce au voisinage de f = /T s, ce qui rend le filtrage encore plus simple à réaliser qu en classe (duobinaire). La classe 4 des réponses partielles présente un zéro spectral à f = 0, ce qui la rend intéressante pour des canaux ne passant pas les basses fréquences. Enfin, la classe 5, tout en présentant un zéro spectral à f = 0, a aussi l avantage d avoir des transitions douces (dérivée première continue) aussi bien à la fréquence 0 qu aux fréquences f = ± /T s. Figure 9 Technique de transmission duobinaire E700 0 Techniques de l Ingénieur, traité Télécoms

11 TRANSMISSION DES SIGNAUX NUMÉRIQUES Figure 0 Illustration de 5 classes de réponses partielles La famille des réponses partielles présente ainsi des caractéristiques spectrales très intéressantes puisque la bande occupée est strictement limitée à la bande de Nyquist ( /T s, +/T s ) et permet de faire une mise en forme spectrale à l intérieur de cette bande. La contrepartie est une dégradation des performances par rapport aux transmissions sans IES, mais nous ne rentrerons pas ici dans le calcul des performances des systèmes à réponses partielles que le lecteur peut trouver dans [3]. Nous préciserons simplement que le filtrage global de fonction de transfert Q (f ) doit être équitablement partagé entre l émission et la réception pour maximiser les performances..8 Canal symétrique binaire Nous avons vu au paragraphe.4 que le canal de transmission était modélisé par un filtrage linéaire suivi de l addition d un bruit blanc gaussien. Lorsque la réponse en amplitude du canal est constante et que sa phase est linéaire sur toute la bande du signal émis, son effet se réduit à l addition d un bruit gaussien. Avec des symboles prenant leurs valeurs dans un alphabet discret à son entrée, le canal gaussien fournit des échantillons (aux instants de décision) analogiques, c est-à-dire que leur amplitude ne prend pas de valeurs discrètes. C est le détecteur à seuils dans le récepteur des valeurs discrètes (les estimées des symboles émis) à partir des échantillons à valeurs continues présentes à son entrée. Si l on prend une définition plus générale du canal en y incluant le circuit de décision, on aboutit à un canal avec son entrée et sa sortie prenant leurs valeurs du même alphabet M-aire. Considérons maintenant plus particulièrement le cas M = (transmission binaire). Le bruit étant indépendant du signal, la probabilité d erreur de décision ne dépend pas du signal émis. En désignant par p cette probabilité, le canal peut être décrit par le treillis de la figure. Par la suite, nous utiliserons la désignation canal BSC (binary symmetric channel ) pour ce canal sur lequel est basée la théorie classique du codage. En effet, le codage classique suppose que des erreurs de transmission sont survenues sur le canal et s efforce de les corriger. Nous reviendrons sur le canal BSC au paragraphe 4 sur le codage. Techniques de l Ingénieur, traité Télécoms E700

12 TRANSMISSION DES SIGNAUX NUMÉRIQUES Figure Treillis des transitions dans un canal symétrique binaire (canal BSC). Techniques de modulation Le lecteur pourra se reporter au chapitre Modulation. Démodulation [E 3 450] dans le traité Électronique. La fonction de modulation a pour objectif d adapter le signal à émettre au canal de transmission. Cette opération consiste, en général, à moduler la phase, la fréquence et/ou l amplitude d une onde porteuse centrée sur la bande de fréquence du canal. Les modulations qui translatent le spectre du signal vers la fréquence porteuse (sans en modifier la forme) sont appelées modulations linéaires. À l opposé, les modulations qui modifient la forme du spectre du signal en bande de base sont dites non linéaires. Sur un canal gaussien, le choix d une modulation se fait en considérant l occupation spectrale, les performances et la complexité du couple modulateur/démodulateur. Il est à noter que la faible occupation spectrale et les performances sont deux contraintes antagonistes, ce qui nécessite en pratique un compromis lors du choix d une modulation. D autres propriétés peuvent être prépondérantes lors du choix d une modulation pour un canal autre que le canal gaussien. Par exemple, la nécessité d utiliser efficacement l amplificateur de puissance dans le transpondeur favorise l utilisation d une modulation à enveloppe constante ou à faibles fluctuations d enveloppe sur un canal satellite. L atténuation de l espace et la puissance limitée disponible à bord du satellite nécessitent que la modulation soit également performante en termes du taux d erreur. Par contre, l occupation spectrale n a pas le même poids que les deux propriétés précédentes pour cette application. Nous allons maintenant présenter les principaux types de modulations et donner leurs performances.. Modulation à déplacement d amplitude (MDA) Le signal en bande de base module l amplitude d une porteuse que nous notons cos (ω 0 t ) sans aucune perte de généralité. Le signal modulé est de la forme : s( t) = a k q( t kt s ) cos( ω 0 t ) (5) k où q (t ) désigne la réponse impulsionnelle du filtrage de mise en forme placé avant le modulateur et les symboles a k sont M-aires et prennent leurs valeurs dans l alphabet {±d, ±3d,..., ±(M )d }. La MDA est une modulation linéaire. Le spectre du signal modulé est par conséquent obtenu en translatant le spectre du signal en bande de base pour le centrer sur la fréquence porteuse f 0 = ω 0 /π. En supposant que la réponse impulsionnelle q (t ) correspond à un filtrage d émission en racine carrée d un filtrage de Nyquist avec un facteur d arrondi (roll-off ) α, la bande occupée par le signal modulé est : W = ( + α) R s (53) où R s = /T s désigne la fréquence baud (fréquence symboles). Celleci est liée au débit binaire R b = /T b par la relation R s = R b /log M, ce qui donne pour la bande occupée : W = ( + α)r b /log M (54) Du côté récepteur, le signal est démodulé à l aide d un oscillateur synchronisé en phase et en fréquence avec la porteuse utilisée à l émission. Le filtre de démodulation également a une fonction de transfert en racine carrée d un filtre de Nyquist, avec le même facteur d arrondi α que le filtre d émission. La réponse q (t ) des filtres considérés étant symétrique et réelle, le filtrage ainsi défini constitue un filtrage adapté. Il maximise le rapport S/B tout en annulant l IES aux instants de décision. Les décisions sont faites en comparant les échantillons prélevés à la cadence R s du signal démodulé à des seuils placés à mi-chemin entre les niveaux que peut prendre le signal non bruité. Sur un canal gaussien, la probabilité d erreur par symbole en sortie du détecteur à seuils est donnée par : P s ( e) M d = erfc M N 0 (55) où, comme précédemment, N 0 / désigne la densité spectrale bilatérale de puissance du bruit additif supposé blanc dans la bande du signal. Pour comparer les différentes modulations entre elles, il est d usage d exprimer la probabilité d erreur en fonction du rapport E b /N 0 (énergie émise par bit sur densité spectrale de puissance de bruit). En fonction de ce rapport, il est facile de démontrer que la probabilité d erreur par symbole est donnée par la formule : P s ( e) M erfc M 3log M E b = M N 0 (56) La probabilité d erreur par symbole est tracée en fonction de E b /N 0 à la figure. On voit qu au fur et à mesure que M augmente il faut augmenter le rapport E b /N 0 pour garder P s (e ) constante. Pour M = 4, le rapport E b /N 0 requis à une probabilité d erreur donnée est 4 db plus grand que pour M =. Pour M grand, le rapport E b /N 0 doit être augmenté de 6 db chaque fois que l on double M, c est-à-dire chaque fois que l on ajoute bit par symbole émis. Du point de vue pratique, c est la probabilité d erreur par bit qui est la plus importante à déterminer. Toutefois, la probabilité d erreur par bit, que nous notons P b (e ), ne peut être calculée d une manière aisée et dépend du codage utilisé pour affecter les bits à émettre aux points de la constellation. Un codage important est le codage de Gray dans lequel deux points adjacents ne diffèrent que d un seul bit. Le codage de Gray est illustré sur la figure 3 pour la MDA avec M = 4 et M = 8. D une manière générale, P b (e) peut être doublement bornée par : P (57) log M s ( e) P b ( e) P s ( e) car une erreur de symbole cause au moins une erreur de bit et au plus log M erreurs de bit. La borne inférieure serait atteinte si chaque erreur symbole causait une et une seule erreur de bit. C est pratiquement le cas lorsqu on utilise un codage de Gray et que le système opère à un rapport S/B élevé. Dans ce cas, en effet, la grande majorité des erreurs de décision se fait en faveur d un point adjacent dans la constellation, ce qui cause une seule erreur de bit par erreur de décision. E700 Techniques de l Ingénieur, traité Télécoms

13 TRANSMISSION DES SIGNAUX NUMÉRIQUES Figure 3 Exemple de codage de Gray pour la MDA Figure Probabilité d erreur par symbole de la MDA. Modulation à déplacement de phase (MDP) Dans cette technique, c est la phase de la porteuse qui est modulée par le signal en bande de base. Dans une MDP M-aire, le signal modulé est de la forme : s( t) = Re a k qt ( kt s ) exp( jω 0 t ) (58) k où q (t ) a la même signification que précédemment et les symboles a k sont de la forme : a k = A exp [j(ϕ k + φ)] avec ϕ k 0, , π 4π ,..., ( M )π M M M et φ phase arbitraire. ( M )π Il est d usage de prendre φ = de façon à centrer les M valeurs de ϕ k par rapport à la phase 0. On obtient ainsi : π 3π ( M )π ϕ k = ϕ k + φ ± -----, ± ,..., ± M M M Quant au paramètre A dans l expression des symboles a k, il détermine la puissance du signal émis. Une représentation géométrique des signaux MDP est donnée à la figure 4. Les points de la constellation sont ainsi régulièrement espacés sur un cercle de rayon A. Comme le montre cette figure, l affectation des bits aux points de la constellation se fait en général selon un codage de Gray. Comme dans la modulation MDA, l efficacité spectrale augmente avec M, puisque la fréquence baud R s = /T s est donnée en fonction du débit binaire R b = /T b par la relation : R s = R b /log M. Figure 4 Représentation géométrique de signaux MDP Par contre, l augmentation de M réduit la distance entre états adjacents pour un rayon A donné. Cela dégrade naturellement les performances. La modulation MDP est souvent présentée comme une modulation avec des impulsions rectangulaires. Un tel signal a pour spectre : sin( π ft Sf ( ) T s s ) = (59) π ft s et occupe une bande infinie. Le récepteur optimal est un filtre adapté suivi d un échantillonneur fonctionnant à la cadence /T s et d un détecteur à seuils. Dans les applications pratiques, les signaux MDP subissent le même genre de filtrage que les signaux MDA, en vue de limiter la bande du signal émis. Le filtrage global constitue ainsi un filtrage de Nyquist équitablement réparti entre l émission et la réception. Pour présenter la génération des signaux MDP, nous allons considérer la modulation MDP- 4. Le schéma synoptique du modulateur est illustré à la figure 5. La figure montre aussi les trains binaires sur les voies en phase (I) et en quadrature (Q ) correspondant à un train binaire à l entrée du modulateur. Ce schéma se généralise aisément aux modulateurs MDP-M avec M > 4. Toutefois, dans ce cas, les signaux I (t ) et Q (t ) sur les deux branches du modulateur ne sont pas obtenus par une simple conversion série/parallèle du signal d entrée e (t ). Par exemple, dans un modulateur MDP-8, les bits d entrée sont pris par paquets de 3 bits. Un paquet détermine un symbole octal (à 8 états), a k = A exp (jϕ k ) et les signaux I k et Q k sont respectivement les parties réelle et imaginaire de a k. D une manière générale, I k et Q k ne sont donc pas indépendants et doivent être détectés conjointement dans le récepteur. Techniques de l Ingénieur, traité Télécoms E700 3

14 TRANSMISSION DES SIGNAUX NUMÉRIQUES Figure 6 Schéma d un démodulateur cohérent pour la MDP-4 zones circulaires centrées sur ces points. Une erreur de décision a lieu chaque fois que le signal reçu se trouve en dehors de la zone de décision du point émis. Mathématiquement, cela s écrit : Figure 5 Modulateur MDP-4 π/m P s ( e) = P θ ( x )dx (60) π /M où P θ (x ) désigne la densité de probabilité de l écart de phase entre le point émis et le point détecté et M le nombre d états de phase de la constellation. À des grands rapports S /B, la fonction P θ (x ) peut être approximée par [5] : Il existe deux techniques pour démoduler les signaux MDP, à savoir la démodulation cohérente et la démodulation non cohérente. E P θ ( x ) s cosx exp E πn s /N 0 sin x 0 (6).. Démodulation cohérente La démodulation cohérente est applicable lorsque le récepteur a une connaissance exacte de la fréquence et de la phase de la porteuse. Le schéma synoptique d un démodulateur cohérent pour la MDP-4 est illustré à la figure 6. Le signal reçu (après un filtrage passe-bande éventuel) est démodulé dans deux branches parallèles par deux porteuses en quadrature. Les techniques permettant de synchroniser l oscillateur local générant ces porteuses avec la porteuse à l émission seront présentées dans le paragraphe 5. Les filtres de démodulation sont adaptés au signal reçu. Dans une MDP avec des impulsions rectangulaires, ces filtres prennent la forme d un intégrateur opérant sur une durée symbole T s. L intégrale est remise à zéro à la fin de chaque durée symbole. Dans une MDP avec filtrage de Nyquist, les filtres de démodulation ont une fonction de transfert en racine d un filtre en cosinus surélevé. Le filtrage de Nyquist équitablement réparti entre l émission et la réception permet de maximiser le rapport S /B aux instants de décision tout en annulant l IES et en limitant la bande du signal à ( + α)/t s où α désigne le facteur d arrondi compris entre 0 et. Après le filtrage adapté, le signal est échantillonné par une horloge synchronisée avec l horloge émission. Comme pour la porteuse, les techniques permettant de synchroniser l horloge seront présentées au paragraphe 5. Le signal échantillonné entre ensuite dans un détecteur à seuils pour décider des symboles émis. Dans les MDP d ordre supérieur (MDP-M, avec M = 8, 6...), le démodulateur a la même forme que le démodulateur MDP-4. La seule différence se trouve au niveau de l organe de décision : alors que les décisions sont prises séparément sur les voies I et Q dans la MDP-4, elles doivent être prises conjointement dans les MDP d ordre supérieur. Nous passons maintenant au calcul des performances d une MDP avec démodulation cohérente. Les points de la constellation étant régulièrement espacés sur un cercle, les zones de décision sont des E s /N 0 étant le rapport de l énergie émise par symbole sur la densité spectrale du bruit. En substituant (6) dans (60), on arrive au résultat : P s ( e ) erfc E s π sin N 0 M P s ( e) (6) erfc log M E b π sin N 0 M Cette dernière expression donne la probabilité d erreur par symbole en fonction du rapport E b /N 0 qui constitue la définition la plus appropriée du rapport S/B pour comparer différentes modulations entre elles. Pour passer de la probabilité d erreur pas symbole à la probabilité d erreur par bit P b (e ), il faut connaître la règle utilisée pour affecter les bits à émettre aux points de la constellation. Pour un codage de Gray, une erreur symbole cause en général une seule erreur bit et nous avons alors : P b ( e ) (63) M -----erfc log M E b π sin N 0 M Pour les MDP-M avec M allant de à 3, P s (e ) est donné en fonction de E b /N 0 à la figure 7... Démodulation non cohérente Comme nous venons de le voir, la démodulation cohérente nécessite la synchronisation d un oscillateur local avec la porteuse à l émission. Dans certains cas, il n est pas souhaitable d avoir recours à cette technique soit pour simplifier le récepteur, soit parce qu on ne dispose pas d un temps d acquisition suffisant pour synchroniser le récepteur. Dans ces cas, on utilise une technique de démodulation non cohérente dont le principe consiste à comparer la phase du signal à deux instants séparés. La démodulation non cohérente nécessite que le signal soit différentiellement codé à l émission. E700 4 Techniques de l Ingénieur, traité Télécoms

15 TRANSMISSION DES SIGNAUX NUMÉRIQUES Avec une démodulation différentielle, les performances de la MDP sont naturellement dégradées par rapport à la démodulation cohérente. À des grands rapports S /B, la probabilité d erreur par symbole d une modulation MDP-M avec démodulation différentielle peut être approximée par : P s ( e ) erfc E b log M π sin N 0 M (67) En comparant (67) à (6), on déduit que la démodulation différentielle perd asymptotiquement 3 db en rapport S/B par rapport à la démodulation cohérente. Intuitivement, une telle perte est facile à comprendre, puisque la démodulation différentielle extrait l information à partir de deux informations bruitées. Toutefois, la perte de 3 db est pessimiste pour la modulation MDP- et même pour la MDP-4, mais elle est relativement précise pour M 8. À des grands rapports S /B, il se trouve que la MDP-4 perd approximativement,3 db par rapport à la démodulation cohérente et la perte de la MDP- est négligeable..3 Modulation d amplitude de deux porteuses en quadrature (MAQ) Figure 7 Probabilité d erreur par symbole de la MDP Le codage différentiel consiste à coder les transitions du signal émis. Pour un signal MDP-, cela consiste à faire, par exemple, l opération logique : β k = α k β k (64) où désigne «OU exclusif». Ainsi, nous avons β k = β k lorsque α k = 0 et β k = β k lorsque α k =. Autrement dit, un bit d information β k = 0 implique une transition de phase (de valeur π) dans le signal émis et un bit β k = implique une non-transition de phase. Pour une modulation MDP-4, les bits d information sont pris par paquets de bits. Le codage différentiel peut être effectué en affectant, par exemple, une non-transition au couple 00, une transition de phase de π / au couple 0, une transition de π au couple et, enfin, une transition de 3π / au couple 0. Cette technique se généralise aisément aux MDP-M avec M > 4. Une fois que les bits d information sont codés dans les transitions de phase du signal émis, leur détection peut se faire en observant les transitions de phase plutôt que la phase absolue du signal reçu. Par exemple, un signal MDP- reçu au k e instant d échantillonnage s écrit : r k = a k cos ω 0 t + b k (65) avec a k = ± et où b k désigne le bruit additif. La détection différentielle consiste à faire l opération : x k = r k r k (66) = a k a k cos ω 0 t+ b k Dans cette expression, b k est un terme de bruit constitué de deux produits signal x bruit et d un produit bruit x bruit. À un coefficient multiplicatif près, la partie passe-bas du premier terme de x k est a k a k. Ce produit vaut lorsque a k = a k et 0 lorsque a k = a k. L information étant portée par les transitions de phase, l opération (66) permet ainsi de restituer les bits d information. Cette technique se généralise aisément aux MDP d ordre supérieur. Pour un nombre de points M grand, ni la MDA ni la MDP ne constituent une solution satisfaisante pour utiliser efficacement l énergie émise. La probabilité d erreur étant fonction de la distance minimale entre points de la constellation, la meilleure modulation (pour le canal gaussien) est celle qui maximise cette distance pour une puissance moyenne donnée. Un choix plus rationnel que la MDA où les points de la constellation sont sur une droite et que la MDP où les points sont sur un cercle est de moduler en amplitude deux porteuses en quadrature. La constellation MAQ est illustrée à la figure 8 pour M allant de 4 à 56. Les constellations avec M = p points (avec p entier) ont un contour carré et les constellations avec M = p + points ont un contour en croix. Les exemples de la première famille sont la MAQ-4, la MAQ-6, la MAQ-64 et la MAQ-56. De même, les exemples de la seconde famille sont la MAQ-3 et la MAQ-8. Une modulation MAQ avec un contour carré est constituée de deux modulations MDA en quadrature, les deux axes étant indépendants. La modulation MAQ ne se prête pas à une démodulation non cohérente comme dans le cas de la MDP. La démodulation du signal reçu nécessite l extraction d une porteuse synchronisée en phase et en fréquence avec la porteuse à l émission. Le signal reçu est démodulé dans deux branches parallèles, sur l une avec la porteuse en phase et sur l autre avec la porteuse en quadrature. Les signaux I et Q démodulés sont échantillonnés à la cadence symbole /T s et envoyés ensuite vers deux circuits de décision à seuils. La probabilité d erreur par symbole P s (e ) est simple à calculer lorsque log M est un nombre pair, c est-à-dire lorsque la constellation a un contour carré. Dans ce cas, la modulation MAQ est constituée de deux MDA indépendantes chacune ayant M points et une énergie égale à la moitié de celle de la modulation MAQ. Si p désigne la probabilité d erreur par symbole de l une des composantes MDA, la probabilité d erreur par symbole pour la modulation MAQ est : P s (e) = ( p) (68) ce qui donne asymptotiquement : P s (e) p (69) Techniques de l Ingénieur, traité Télécoms E700 5

16 TRANSMISSION DES SIGNAUX NUMÉRIQUES Tableau Gain asymptotique de la MAQ par rapport à la MDP M Gain MAQ/MDP (db) ,4 3 7,0 64 9,95 8, ,90 Figure 8 Constellations MAQ pour M allant de 4 à 56 En utilisant l expression de P s (e) donnée par (56) pour la MDA, on obtient : P s ( e ) M erfc logM Eb ( M ) N 0 (70) pour une MAQ avec log M pair. Lorsque log M est impair, le calcul est moins simple, mais on peut utiliser la borne supérieure suivante : P s ( e ) erfc 3log < M Eb ( M ) N 0 (7) Pour un nombre de points M donné, le gain asymptotique de la modulation MAQ par rapport à la modulation MDP est donné sur le tableau [5]. Avant de terminer, notons que, lorsqu on double le nombre de points de la constellation, on perd 3 db en rapport S /B. Autrement dit, le coût d un bit supplémentaire par symbole émis est de 3 db (à comparer au 6 db dans la MDA)..4 Modulation à déplacement de fréquence (MDF) Dans cette modulation, les bits (ou symboles) à émettre modulent la fréquence de la porteuse. Sur une durée symbole T s, le signal émis est de la forme : s i (t ) = A cos ( πf i t ) (7) avec f i = f 0 + a k h/t s (73) où h désigne l indice de modulation et a k le symbole émis sur cette durée symbole. La fréquence instantanée f i est ainsi déterminée par l indice h ainsi que la donnée a k. Les symboles a k prenant leurs valeurs de l alphabet {±, ± 3,..., ±(M )}, le terme h /T s apparaît comme l espacement entre deux fréquences instantanées adjacentes de la modulation. (0) Une MDF à M états est aisément générée à l aide d une batterie de M oscillateurs générant les M fréquences requises. Dans ce mode de réalisation, la phase du signal est discontinue puisque les phases respectives des différents oscillateurs sont indépendantes. Cette discontinuité n est pas souhaitable en pratique, car elle augmente l amplitude des lobes secondaires dans le spectre du signal. Un autre mode de réalisation consiste à utiliser un seul oscillateur dont la fréquence d oscillation est fonction du signal appliqué à son entrée. Le signal modulé est alors à phase continue et l occupation spectrale est réduite par rapport au cas précédent..4. Démodulation cohérente Cette technique est applicable lorsque le récepteur a une parfaite connaissance des fréquences mises en jeu et que la condition d orthogonalité suivante est vérifiée : s 0T si ( t )s j * ( t )dt = 0 (74) où pour tout i, s i ( t ) désigne l enveloppe complexe de s i (t ). Cette condition est vérifiée lorsque l indice de modulation est tel que h = m /4 avec m entier positif. Ainsi, la valeur minimale de l indice h satisfaisant la condition d orthogonalité est h = /4. La probabilité moyenne d erreur par bit de la MDF avec détection cohérente est donnée à la figure 9. Ces courbes montrent que, contrairement aux modulations MDA, MDP et MAQ, les performances sont améliorées lorsqu on augmente M. Toutefois, il est aussi à noter que l augmentation de M augmente aussi l occupation spectrale. Ces résultats sont valables pour un indice h donné : pour réduire l occupation spectrale avec un paramètre M donné, on est amené à réduire l indice h, mais cela dégrade aussi les performances. À ce stade, il est utile de relier la probabilité d erreur par symbole P s (e ) à la probabilité d erreur par bit P b (e ). D après [5], ces deux probabilités sont reliées entre elles par la relation : P b ( e) M = ( M ) P ( e ) s (75) pour une MDF à M fréquences. À noter, enfin, qu à des rapports S /B élevés, la probabilité d erreur par bit est bornée comme : P b ( e) M 4 erfc E b log N M 0.4. Démodulation non cohérente (76) La démodulation non cohérente simplifie considérablement la réalisation du récepteur et est souvent utilisée en pratique. Il existe différents types de démodulation non cohérente pour les signaux MDF, mais nous allons nous contenter d en décrire un seul, à savoir : la démodulation par un discriminateur de fréquence. Le schéma synoptique du démodulateur est donné à la figure 0. Le filtre passe-bande dans cette figure a pour rôle de limiter la puissance du bruit. Sa bande E700 6 Techniques de l Ingénieur, traité Télécoms

17 TRANSMISSION DES SIGNAUX NUMÉRIQUES doit aussi être suffisamment large pour ne pas distordre le signal reçu. Ensuite, le limiteur limite l amplitude du signal et fournit au discriminateur un signal à enveloppe constante. Quant au discriminateur, il dérive la phase instantanée du signal appliqué à son entrée : xt ( ) = dϕ() t π dt (77) Le signal x (t ) en sortie du discriminateur est échantillonné à la cadence symbole et ses échantillons sont envoyés vers un circuit de décision à seuils qui décide de la fréquence émise..5 Modulations à enveloppe constante La présentation des modulations à enveloppe constante commence souvent par celle de la MSK (minimum shift keying) qui représente la modulation la plus connue entrant dans cette classe. À son tour, la présentation de la MSK s appuie fortement sur celle de la modulation MDP-4 à trains décalés, appelée OQPSK (offset quaternary phase-shift keying). C est cette approche classique que nous adoptons pour présenter les modulations à enveloppe constante. Tout d abord, rappelons que la propriété d enveloppe constante est particulièrement intéressante pour transmission sur les canaux non linéaires. Les modulations de type MDF que nous venons de présenter dans le paragraphe.4 sont bien à enveloppe constante, mais cette propriété est détruite par un filtrage éventuel après l opération de modulation, notamment lorsque la MDF est générée à l aide d une batterie de M oscillateurs et que la phase du signal modulé est discontinue. Il existe aujourd hui de nombreuses modulations à enveloppe constante et à phase continue que l on appelle CPM (continuous-phase modulation) dans la littérature spécialisée. Pour leurs bonnes propriétés spectrales, c est cette classe de modulations à enveloppe constante que nous allons présenter en commençant par les modulations MDP-4 à trains décalés et la MSK. Figure 9 Performances de la MDF avec détection cohérente (M allant de à 64).5. Modulations OQPSK et MSK Le schéma de base d un modulateur MDP-4 à trains décalés (OQPSK) est représenté sur la figure. Il ressemble fortement au schéma du modulateur MDP-4 de la figure 5. La seule différence réside au niveau du retard T b = T s / introduit sur le train Q pour retarder le signal sur cette branche par rapport à celui sur la branche I. Nous supposerons pour le moment que la réponse impulsionnelle g (t ) du filtrage est un rectangle de durée T s, de façon à pouvoir parler de signal à enveloppe constante. Pour limiter l occupation spectrale en pratique, on utilise un filtrage dont la fonction de transfert est une racine carrée de celle d un filtre de Nyquist, exactement comme dans la MDP-4 classique. En utilisant également le même filtrage du côté réception, on aboutit ainsi à un filtrage de Nyquist pour la chaîne globale éliminant ainsi l IES aux instants de décision tout en maximisant le rapport S /B qui détermine les performances. Le schéma de la figure est aussi valable pour la modulation MSK avec la réponse impulsionnelle : cos gt ( ) πt T s pour 0 t T s = 0 ailleurs et un codage approprié au niveau du signal d entrée. Figure 0 Schéma synoptique d un démodulateur non cohérent à base de discriminateur de fréquence (78) Figure Schéma synoptique d un démodulateur OQPSK Le principe de base et les propriétés des modulations MDP-4 à trains décalés et MSK sont simples à expliquer à l aide des figures et 3 qui représentent le diagramme de phase et la forme des signaux respectivement. Comme on le voit sur la figure a, le signal en MDP-4 prend quatre états de phase et les symboles successifs étant indépendants, toutes les transitions sont possibles à un instant donné. Par conséquent, les fluctuations d enveloppe sont très importantes et l enveloppe passe par zéro lorsque les composantes I et Q commutent simultanément d un état vers son inverse. Le diagramme de phase de la MDP-4 à trains décalés représenté sur la figure b montre que dans cette modulation toutes les transitions ne sont pas possibles et on ne peut passer d un état donné que vers l un des deux états adjacents. Les passages par zéro de l enveloppe ainsi disparaissent et les fluctuations d enveloppe sont fortement réduites. Toutefois, les transitions dans la MDP-4 à trains décalés arrivent au rythme d émission des éléments binaires (/T b ), alors que les transitions dans la MDP-4 d origine n arrivent qu à la fréquence d émission des symboles (/T s ). Enfin, la figure c montre le diagramme de phase de la MSK où l on voit que les transitions sont sur un cercle indiquant que cette modulation est bien à enveloppe constante. À un instant donné, la Techniques de l Ingénieur, traité Télécoms E700 7

18 TRANSMISSION DES SIGNAUX NUMÉRIQUES phase transite forcément vers l un des deux états adjacents, autrement dit les seules transitions possibles sont ± π /. Là aussi, les transitions de phase arrivent à la fréquence d émission des éléments binaires /T b. Dans ces trois modulations, le signal émis est de la forme : s (t ) = I (t )cosω 0 t Q (t ) sin ω 0 t (79) la différence étant au niveau de la génération des signaux I (t ) et Q(t ) à partir des éléments binaires à l entrée du modulateur. En considérant des impulsions g (t ) rectangulaires (de durée T s ) dans le cas des modulations MDP-4 classique et MDP-4 à trains décalés, la figure 3 montre un exemple de signaux I (t ) et Q(t ) pour les trois modulations en question. On voit ainsi que les formes d onde I (t ) et Q (t ) sont les mêmes dans les modulations MDP-4 classique et MDP-4 à trains décalés, la seule différence étant le décalage de T b secondes du signal Q (t ) dans le cas de la MDP-4 à trains décalés. Quant à la MSK, elle est bien évidemment obtenue en remplaçant les impulsions rectangulaires de la MDP-4 à trains décalés par des portions de cosinus comme décrit par l équation (77) et le codage : Figure Diagrammes de phase des modulations MDP-4, OQPSK et MSK I k = ( ) k b k (80) et Q k = ( ) k b k + (8) où les signaux I (t ) et Q (t ) sont donnés par : I( t ) = I k δ ( t kt s ) k (8) et Qt () = Q k δ t ( k + /)T s (83) k et, enfin, les {b k } sont les bits d information à émettre. La fonction δ ( ) qui figure dans les expressions de I (t ) et Q (t ) est la fonction de Dirac définie par δ (0) = et δ (t ) = 0 pour t v0. Les équations (80) et (8) indiquent que, sur les voies I et Q, le codage consiste simplement à alterner les signes des bits successifs. La modulation MSK peut aussi être vue comme une MDF binaire (M = ) avec un indice h = 0,5 et à phase continue. En effet, en examinant le diagramme de phase, on remarque que l émission d un bit engendre une transition de phase de +π/ et l émission d un bit 0 engendre une transition de phase de π/ sur la durée du bit correspondant. L évolution de la phase sur une durée bit étant linéaire, l émission d un 0 correspond à l émission d une fréquence: f = f T b (84) et l émission d un correspond à l émission d une fréquence : f = f T b (85) Figure 3 Forme des signaux I (t ) et Q (t ) en MDP-4, OQPSK et MSK L écart entre ces deux fréquences est donc /T b, ce qui confirme d après (85) qu il s agit bien d une modulation à indice h = 0,5. Comme la modulation MDP-4, la MSK peut être démodulée par un démodulateur cohérent ou un démodulateur non cohérent. Comme le montre la figure 4, le récepteur optimal est composé d un démodulateur en quadrature cohérent, suivi d un intégrateur et d un détecteur à seuil sur chacune des voies. L intervalle d intégration est égal à T s. Ce récepteur fournit des performances identiques au démodulateur cohérent de la modulation MDP-4. Le démodulateur cohérent nécessite la récupération de la fréquence et de la phase de la porteuse. La modulation MSK étant une sorte de modulation MDF, elle peut aussi être détectée à l aide d un discriminateur de fréquence suivi d un circuit de décision à seuil. Cette technique simplifie considérablement la réalisation du récepteur, mais dégrade les performances de 6,6 db par rapport au récepteur optimal. Enfin, nous illustrons sur la figure 5 les spectres de la modulation MDP-4 (à trains décalés ou non) sans filtrage et de la MSK. La forme E700 8 Techniques de l Ingénieur, traité Télécoms

19 TRANSMISSION DES SIGNAUX NUMÉRIQUES Figure 4 Récepteur optimal pour la MSK Figure 5 Spectres des signaux MDP-4 et MSK des impulsions dans la MDP-4 est rectangulaire, ce qui implique que les transitions de phase sont instantanées. On remarque que le lobe principal du spectre est plus large en MSK, mais que les lobes secondaires s atténuent plus vite qu en MDP Présentation générale des CPM Une représentation très générale des modulations à enveloppe constante et à phase continue (CPM) est la suivante [6] : st ( ) = E s cos πf T 0 t + ϕ ( t ) s (86) Figure 6 Impulsion en cosinus surélevé g (t ) avec ϕ (t ) = πh Σ a k q (t kt s ) (87) t et q( t) = g( τ)dτ (88) Dans ces expressions, ϕ (t ) est la phase du signal émis dont les variations dans le temps sont continues, f 0 est la fréquence porteuse, h est l indice de modulation et g (t ) est une fonction de mise en forme des trajectoires de phase. La modulation est déterminée par l alphabet des symboles a k, l indice de modulation h et la forme de l impulsion g (t ). On parle de CPM à réponse partielle lorsque les symboles a k sont codés par un filtre à réponse partielle. Dans les MDF à phase continue classique comme la MSK, l impulsion g (t ) est rectangulaire et de durée T s, ce qui implique des transitions de phase linéaire sur une durée symbole. La trajectoire de phase ϕ (t ) subit par contre des variations rapides à chaque transition dans le train de symboles émis (la dérivée de ϕ (t ) en ces instants-là est discontinue). La discontinuité de la dérivée de la trajectoire de phase dans les modulations CPM élargit le spectre du signal émis. Pour minimiser l occupation spectrale avec un alphabet des symboles et un indice de modulation donnés, on peut utiliser une impulsion g (t ) en cosinus surélevé comme l illustre la figure 6. La dérivée de la trajectoire de phase est alors continue et les variations temporelles de ϕ (t ) sont lissées. Le récepteur optimal pour les modulations CPM est un détecteur de Viterbi qui examine les différents chemins dans le treillis représentant les différentes trajectoires de phase et qui sélectionne celle la plus proche de la séquence reçue au sens de la distance euclidienne. L algorithme de Viterbi sera décrit dans le paragraphe 4. Une difficulté que l on rencontre dans la comparaison des CPM est que la bande occupée est, strictement parlant, infinie. Pour pallier cette difficulté, on définit le plus souvent une bande de fréquence contenant 99 % ou 99,9 % de l énergie émise [5]. Le choix d une modulation se fait en considérant l occupation spectrale, les performances ainsi que la complexité du récepteur. Le tableau donne les paramètres principaux de quelques modulations CPM avec une impulsion g (t ) rectangulaire. Dans ce tableau, la bande à 99 % est normalisée par rapport à /T b et le nombre d états à la dernière colonne est celui du décodeur. Ce tableau montre que les CPM quaternaire et octale avec indice h = 4/9 donnent des gains respectifs de,56 db et 4,3 db par rapport à la MSK alors que leurs bandes à 99 % sont sensiblement les mêmes que celle de cette modulation. (0) M h Tableau Comparaison de quelques modulations CPM Gain sur la MSK (db) Efficacité spectrale (99 %) Nombre d états / 0 0, /4,38,5 8 4 /5,8 0, /9,56 0, /8 5,3, /3,76, /9 4,3 0,7 9 Techniques de l Ingénieur, traité Télécoms E700 9

20 TRANSMISSION DES SIGNAUX NUMÉRIQUES 3. Codage de canal Le lecteur pourra se reporter à l article Théorie du codage et protection contre les erreurs [E70] dans le traité Électronique. 3. Objet et principe du codage Nous avons vu, dans le paragraphe précédent, que la probabilité d erreur dans un système de transmission est une fonction du rapport S /B de la liaison. Pour augmenter la qualité de la transmission, on est donc amené à augmenter ce rapport, soit en augmentant la puissance du signal émis, soit en réduisant le facteur de bruit du récepteur. Malheureusement, cela n est pas toujours possible et on se heurte très vite à une limitation souvent d ordre technologique ou économique. Une alternative plus attrayante pour améliorer la qualité de la transmission est de faire usage du codage de canal que l on appelle communément codage correcteur d erreur, bien que cette terminologie ne soit pas correcte au sens strict du terme. En effet, cette terminologie sous-entend qu on laisse les erreurs arriver et qu on les corrige ensuite. Or, cette façon de faire n est pas inhérente au codage lui-même mais plutôt à la technique de décodage utilisée. Bien entendu, il est encore plus intéressant d empêcher les erreurs que de les corriger. Nous reviendrons sur ce point par la suite. Pour l instant, nous allons donner le principe de base du codage. Le codage de canal consiste à introduire de la redondance dans le signal émis. La nécessité d introduire de la redondance pour protéger le signal émis contre les erreurs de transmission est évidente. Supposons que l on émette un message d information binaire et que la détection se fasse bit par bit dans le récepteur. Si le message émis ne contient pas de redondance, chaque bit émis est essentiel et toute erreur de transmission conduit à une perte d information irréversible. Si, au contraire, des bits de redondance sont introduits dans le message, on peut être en mesure de détecter, voire même de corriger, des erreurs de transmission. Pour cela, le décodeur teste si la loi de codage utilisée à l émission est satisfaite au niveau de la séquence en sortie du circuit de décision. Dans le cas où la loi est vérifiée, on décide qu il n y a pas eu d erreur et on adopte définitivement les décisions du récepteur. Par contre, dans le cas où des erreurs sont détectées, le décodeur essaie de les localiser et ensuite de les corriger. Une conséquence directe de la redondance inhérente au codage est l accroissement du débit numérique et de la bande de fréquence occupée, à moins que la modulation soit modifiée en conséquence. Les codes correcteurs d erreurs peuvent être classés en deux grandes catégories : les codes en blocs et les codes convolutifs. 3. Codes en blocs Le codage en blocs consiste à associer, à chaque bloc de k bits d information, un bloc de n bits (n > k ) contenant n k bits de redondance. Les k blocs de n bits délivrés par le codeur sont appelés les mots de code. Le rapport k /n est appelé le rendement de codage. Par la suite, nous utilisons la notation C (n, k ) pour désigner un code ayant une longueur de bloc n et k bits d information par bloc. Les opérations de codage et de décodage dans les codes en blocs se font à l aide d additions et de multiplications sur des éléments binaires. Ces dernières correspondent respectivement aux opérations logiques ET et OU exclusif. 3.. Matrice génératrice Un code en blocs linéaire peut être représenté par une application k binaire g de l ensemble F constitué par les k-uplets d information n vers l ensemble F. k n g : F F (89) m c = g ( m) où m = [m 0, m,..., m k ] désigne un bloc de k bits d information et c = [c 0, c,..., c n ] désigne le mot de code qui lui est associé. Le mot de code m est donné en fonction du bloc d information c par la relation matricielle : c = mg (90) avec : g 0 g G =. =.. g n g 0,0 g 0,... g 0, n g,0 g,... g, n g k,0 g... k, g k, n (9) La matrice G à k lignes et à n colonnes est appelée la matrice génératrice du code C (n, k ). La matrice génératrice d un code en blocs linéaire n est pas unique. En permutant des lignes et des colonnes, n ou encore en faisant un changement de base dans l espace F, il est toujours possible d écrire la matrice G sous la forme : G = I k,p = P 0, P 0,... P 0, n k P, P,... P, n k P k, P k,... P k, n k (9) où I k est la matrice identité de dimension k xk et P une matrice de dimension k x(n k ) utilisée pour calculer les n k bits de redondance. Ainsi écrite, la matrice génératrice G engendre des mots de code de la forme : c = [m, mp] (93) Les k bits d information et les n k bits de redondance étant ainsi séparés, le code correspondant est systématique. 3.. Matrice de contrôle de parité À chaque matrice génératrice G de dimension k n, on peut associer une matrice H de dimension (n k ) n telle que les lignes de G soient orthogonales à celles de H, c est-à-dire : GH T = 0 (94) où l exposant T désigne la matrice transposée. L orthogonalité entre deux vecteurs x = (x 0, x,..., x n ) et y = (y 0, y,..., y n ) signifie ici que le produit scalaire est nul, c est-à-dire : n x i y i = 0 i = 0 (95) E700 0 Techniques de l Ingénieur, traité Télécoms

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