Energie. L intérêt de ce milieu amplificateur est que la fréquence de la transition laser, ν 0 = E 2 E 1

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1 1 Université Paris XI Centre d Orsay Master 1 de Physique Fondamentale Magistère de Physique Fondamentale 2 ième année Examen de Physique des Lasers Examen de 2 ieme cycle Première session Épreuve du 13 mars 2012, durée 3 h ; aucun document autorisé ; les calculatrices sont autorisées ; le texte comporte 5 pages. Les réponses et les formules doivent être justifiées et commentées. Les graphes, pour être considérés valables, devront indiquer des échelles ou des valeurs caractéristiques en abscisse comme en ordonnée. Barème indicatif / 20 ; problème -I- : 11 ; exercice : 2 ; problème -II- : 7 Constantes fondamentales utiles : célérité de la lumière dans le vide = 3, m s 1, constante de Planck h = 6, J s, constante de Boltzmann k = 1, J K 1. Problème -I- : Étude d un laser à colorant continu Partie A : Étude du milieu amplificateur Le milieu amplificateur est un jet de colorant très fin qui coupe l axe de la cavité sur une largeur notée l. Son indice optique est noté n. Ce milieu peut se modéliser par un système à quatre niveaux 0, 1, 2 et 3. Le colorant est pompé optiquement par un faisceau lumineux continu de fréquence P. La transition de pompage se fait du niveau 0 (niveau fondamental vers l état excité 3 appartenant à une bande continue B de niveaux excités à l intérieur de laquelle se produit une désexcitation non radiative très rapide vers le niveau 2 situé en bas de la bande B. La transition laser se produit entre le niveau 2 et un niveau 1 situé dans une bande continue de niveaux d énergie dont le niveau inférieur est le niveau 0. Le niveau 1 se désexcite rapidement vers 0 par désexcitation non radiative (voir les figures 1 et 2. Energie Energie Absorption du faisceau pompe P transition laser 0 bande d'énergie 'B' bande d'énergie 'A' 3 Absorption du faisceau pompe fréquence P 0 transition laser fréquence Figure 1 Figure 2 L intérêt de ce milieu amplificateur est que la fréquence de la transition laser, 0 = E 2 E 1 h peut être choisie sur un certain domaine en fonction de la position du niveau 1 dans la bande inférieure A. Dans la pratique 0 s ajuste à la fréquence pour laquelle les pertes de la cavité sont minimales. La transition est alors résonante entre le niveau 2 et le niveau 1 ainsi fixé. On note : - N : nombre de molécules par unité de volume ; N 0, N 1, N 2, N 3 : populations des niveaux 0, 1, 2 et 3 (niveaux non dégénérés. On a N 0 + N 1 + N 2 + N 3 = N. - pour la transition (0 3. : probabilité par seconde et par atome pour l absorption du rayonnement de pompage. On suppose qu on peut négliger l émission spontanée pour la transition (2 1. σ : section efficace pour l émission induite ; W : probabilité par seconde et par atome pour l émission induite ; g( 0 : profil spectral de la transition. A : probabilité par seconde et par atome pour l émission spontanée pour les transitions (3 2 et (1 0, la probabilité par seconde pour la désexcitation non radiative est notée, elle est identique pour ces deux transitions.

2 2 1. Représenter le système à quatre niveaux en y reportant les indications de l énoncé. Que signifie l hypothèse niveaux non dégénérés? Que vaut la probabilité par seconde pour l absorption entre 1 et 2? Existe-t-il de l émission induite entre 3 et 0? 2. Écrire les équations d évolution temporelle des populations N 0, N 1, N 2 et N Dans la suite, on se place en régime stationnaire (laser en fonctionnement continu. Quelle relation entre N 3 et N 1 se déduit très simplement des équations d évolution dn 0 = 0 et dn 3 = 0? Exprimer en régime stationnaire N 0 puis N 2 en fonction de N 1, W,, A et. A quelle condition sur les probabilités par seconde a-t-on inversion de population sur la transition laser 2 1? (il n est pas nécessaire de faire de nouveaux calculs pour répondre à cette question. 4. La désexcitation des niveaux 3 et 1 est très rapide de sorte que est très grand devant les probabilités par seconde A, W et. (a Simplifier les expressions de N 0 et N 2 en fonction de N 1 pour A, W,. (b Ce système à quatre niveaux est-il de type ouvert ou fermé? Quelle relation sur les populations cela implique-t-il? Déterminer N 1 en fonction de N,, A, W et, toujours dans le cas A, W,. (c Compte tenu des hypothèses faites, a-t-on N 2 /N 1 très petit ou très grand devant 1? En déduire l expression de la différence de population N = N 2 N 1 en fonction de N 1. Exprimer N en fonction de N, A, W et. Vérifier que N est indépendant de pour A, W,. (d Donner l expression de la différence de population non saturée N 0, puis le rapport N/ N 0. Exprimer l intensité de saturation I s en fonction de σ et des autres données utiles du problème. 5. Écrire σ en fonction de A, 0, g(0 (profil spectral à résonance, (vitesse de la lumière dans le vide et n (indice du colorant. 6. Ce milieu amplificateur est à élargissement spectral homogène. Comment peut-on justifier physiquement que des molécules actives diluées dans un liquide présentent un tel type d élargissement spectral? 7. En déduire le coefficient d amplification non saturée α 0 du système. 8. Applications numériques : λ 0 = 0 = 590 nm ; A = 1, s 1 ; g(0 = 1, Hz 1 ; = 8, s 1 ; n = 1,43 ; N = 4, m 3 ; Calculer numériquement la fréquence 0, la différence de population non saturée N 0, la section efficace σ, l intensité de saturation I s et le coefficient d amplification non saturée α 0. Partie B : Pertes de la cavité S 1 filtre spectral T ( e M 1 M 2 " amplificateur (jet de colorant S 3 Figure 3 M 3 S 2 La cavité est constituée de trois miroirs M 1, M 2 et M 3 disposés en anneau. Leurs sommets sont notés S 1, S 2 et S 3 respectivement. Un isolateur optique (non représenté impose le sens de parcours de la lumière comme indiqué sur la figure 3. La cavité contient également un filtre spectral dont le facteur de transmission T f ( vaut 1 pour la fréquence de fonctionnement 0 du laser, et 0 pour les autres fréquences. On note T 1, T 2, T 3 les facteurs de transmission des miroirs M 1, M 2 et M 3. Soient R 1 = 1 - T 1, R 2 = 1 - T 2 et R 3 = 1 - T 3 les facteurs de réflexion correspondants. Soit η la perte relative d intensité pour un parcours complet de la cavité, dûe aux pertes autres que celles des miroirs et du filtre spectral. On note l la longueur du milieu amplificateur et d = [S 1 S 2 ] + [S 2 S 3 ] + [S 3 S 1 ] = 60 cm la longueur optique de la cavité en anneau. 1. Exprimer le coefficient de pertes α P (par unité de longueur du milieu amplificateur en fonction de l, η, R 1, R 2, R 3 et T f (.

3 3 2. Application numérique pour = 0, l = 1 mm ; T 2 = 2 %, T 1 = T 3 = 0,1 % ; η = 1 % ; Calculer numériquement α P. 3. Vérifier que α P l 1 donc que le laser fonctionne en régime pertes faibles - gain faible. Etablir dans ce cas la relation existant entre τ c, la durée de vie des photons dans la cavité, et le coefficient α P. Application Numérique. 4. Au niveau de quel miroir sera-t-il le plus judicieux d extraire le faisceau Laser de la cavité? Partie C : Fonctionnement continu du laser On étudie le fonctionnement continu du laser (régime stationnaire. Soient α 0 et α les coefficients d amplification non saturée et saturée, α P le coefficient de pertes (par unité de longueur du milieu amplificateur. Le paramètre intensité de saturation caractéristique du milieu amplificateur est noté I s. On rappelle que le colorant est un milieu à élargissement spectral homogène. On note w 0 le rayon du faisceau, supposé constant sur toute la cavité. 1. Rappeler les définitions du coefficient d amplification saturée, du coefficient d amplification non saturée puis de l intensité de saturation. 2. L intensité lumineuse au niveau du milieu amplificateur est supposée uniforme, notée I. Indiquer la relation existant en régime stationnaire entre le coefficient d amplification saturée, le coefficient d amplification non saturée, l intensité I et l intensité de saturation. 3. Écrire les conditions de fonctionnement laser en régime pertes faibles - gain faible. En déduire l expression littérale de l intensité I au niveau de l amplificateur. 4. Quelle est la puissance lumineuse P c transportée par le faisceau? (on suppose pour simplifier que l intensité est homogène sur un disque de rayon w 0 et nulle ailleurs 5. On suppose que les pertes η (pertes relatives d intensité autres que par les miroirs se produisent ailleurs qu entre l amplificateur et M 2. Quelle est la puissance P L transportée par l onde laser extraite de la cavité? 6. Calculer numériquement P L en utilisant w 0 = 0,27 mm et les valeurs numériques des autres grandeurs physiques utiles déterminées dans les différentes parties du problème. Exercice : Caractéristiques des impulsions produites par un laser en fonctionnement modes bloqués Rappels : soit une cavité laser où l écart entre deux modes spectraux consécutifs est noté δ et où peuvent fonctionner simultanément des ondes sur N modes spectraux. Si ce système fonctionne en régime modes bloqués, il produira une série d impulsions séparées temporelement de 1 δ secondes, chacune ayant la durée 1 caractéristique Nδ. Un laser Cr :LiSAF à cavité linéaire, pompé par une diode laser continue et fonctionnant en régime modes bloqués, délivre des impulsions de durée t = 136 fs (1, s, avec f = impulsions par seconde, et une longueur d onde moyenne λ = 859 nm. Sa puissance moyenne est P = 25 mw. Calculer numériquement la longueur optique d de la cavité, la valeur approchée du nombre N des modes longitudinaux impliqués, la largeur en longueur d onde λ du spectre des fréquences de ce faisceau. Schématiser l évolution temporelle de l intensité lumineuse. Raisonner sur ce graphe pour calculer la puissance crête P max de chaque impulsion. Problème -II- : Spectroscopie par absorption saturée Le but de ce problème est de présenter une méthode expérimentale permettant de mesurer la largeur spectrale homogène d une transition, pour des atomes contenus dans une cellule avec des conditions où l élargissement spectral est dominé très largement par l élargissement inhomogène Doppler.

4 4 Les atomes sont modélisés par un système à deux niveaux d énergies E 1 et E 2 > E 1 non dégénérés. La transition radiative entre ces deux niveaux est caractérisée par la fréquence de résonance 0 = E 2 E 1 h, les coefficients d Einstein A et B et le profil spectral homogène g( 0 = 2 1 ( π h h /2 traduisant l efficacité de l absorption d un photon de fréquence dans le référentiel de l atome. La quantité h représente la largeur totale à mi-hauteur de g( 0 (largeur spectrale homogène. La longueur de la cellule est notée l. L indice optique du gaz est supposé égal à 1, les photons s y propagent à la vitesse. faisceau laser Ι, 0 " z v (vx,vy,vz Figure 4 cellule détecteur Un faisceau laser continu de fréquence ajustable se propage suivant z, vers les z croissants (voir figure 4. Il éclaire sur toute sa largeur la cellule contenant un gaz des atomes étudiés. Leur nombre par unité de volume est noté N. Ce gaz est à la température T. A cause du décalage Doppler, un atome de vitesse v(v x, v y, v z dans le référentiel du laboratoire voit dans son propre référentiel un photon de fréquence = (1 vz. Le nombre d atomes par unité de volume dont la vitesse selon z se trouve dans l intervalle [v z, v z + dv z [ est noté N D(v z dv z. Les questions 2 et 3 sont totalement indépendantes de la question 1 1. (a Soit W (v z la probabilité par seconde pour l absorption d un photon du laser (fréquence dans le référentiel du laboratoire par un atome de vitesse v z selon z. Écrire W (v z en fonction de B, I,, v z, 0, et du profil spectral. En déduire la section efficace σ(v z correspondante. (b L intensité I du faisceau laser est supposée faible de sorte qu on peut jusqu à nouvel ordre négliger le nombre d atomes sur le niveau 2 et considérer qu ils sont tous sur le niveau fondamental 1. Que vaut la différence de population pour les atomes de vitesse selon z dans l intervalle [v z, v z +dv z [? En déduire le coefficient d amplification dα(v z de l onde laser en interaction avec ces atomes. (c Déterminer le coefficient d amplification α de l onde laser en interaction avec l ensemble des atomes de la cellule. Simplifier son expression pour la situation physique où l élargissement spectral Doppler domine très nettement l élargissement spectral homogène. 2. Le faisceau laser possède l intensité I(0 à l entrée de la cellule. L absorption par les atomes fait que son intensité décroît dans la cellule suivant la loi 1 di I dz = α a( par définition du coefficient d absorption α a (. Pour I(0 faible, α a ( peut se mettre sous la forme : α a ( = K exp m (v z0 2 où v z0 est la vitesse selon z pour les atomes voyant la fréquence du laser dans leur référentiel correspondre à la fréquence de résonance 0 de la transition. k est la constante de Boltzmann, m la masse de l atome, K est une constante supposée indépendante de z et de l intensité lumineuse. (a Exprimer v z0 en fonction de, et 0. (b On note I(l l intensité du laser à la sortie de la cellule (z = l. Calculer l absorption relative de la cellule, définie par A r ( = I(l I(0 I(0, dans l approximation α a l 1, en fonction de et des autres données du problème. Justifier physiquement pourquoi, dans l expression de A r (, il est justifié de remplacer 0 par 0 0. (c Évaluer la largeur totale à mi-hauteur D de la fonction A r ( puis schématiser son graphe. 2kT

5 5 (d La mesure de A r ( en fonction de la fréquence du laser accordable permet-elle de déterminer la valeur de h. 3. Le montage est modifié comme indiqué figure 5. Le faisceau laser traverse la cellule (onde aller avant d être renvoyé sur lui-même par un miroir totalement réfléchissant (onde retour. Après cette seconde traversée de la cellule, le faisceau est dévié par une lame séparatrice vers un photodétecteur qui mesure une intensité notée I D (. Le décalage Doppler fait qu un photon de l onde retour est vu par un atome de vitesse v(v x, v y, v z avec la fréquence l atome. = (1 + vz dans le référentiel de faisceau laser séparatrice détecteur 0 " z Figure 5 On simplifie l étude en modélisant le système de la manière suivante : - l onde aller est absorbée par les atomes de vitesse voisine de v + z0 telle qu ils voient la fréquence du rayonnement correspondre à 0, avec le coefficient d absorption α a + ( = K exp m(v+ z0 2 2kT. L intensité laser est telle que 20 % de ces atomes de vitesse v z0 + initialement sur 1 passent en régime stationnaire sur le niveau 2. - l onde retour est absorbée par les atomes de vitesse voisine de vz0 telle qu ils voient la fréquence du rayonnement correspondre à 0, avec le coefficient d absorption αa N 1 (vz0 ( = K N 1 (vz0 + N 2(vz0 exp m (v z0 2 2kT cellule où N 1 (v z et N 2 (v z désignent pour les atomes de vitesse v z selon z les populations des niveaux 1 et 2 obtenues en régime stationnaire après interaction avec l onde aller. - l intensité laser est suffisamment faible pour pouvoir négliger toute émission induite. (a Donner les vitesses v z0 + et v z0 des atomes qui absorbent à résonance l onde l aller et l onde retour respectivement. Pour quelle valeur particulière de la fréquence du laser s agit-il des mêmes atomes? (b Comparer les valeurs de α + a ( et α a ( pour 0 puis pour = 0. Commenter physiquement l origine de la différence entre les deux situation 0 et = 0. (c A quelle condition sur le faisceau peut-il traverser la cellule sans absorption significative? On note ID 0 l intensité obtenue sur le photodétecteur dans ce cas. Pour ce montage, on définit l absorption relative de la cellule par A r( =. En supposant α+ a ( l 1 et I0 D I D( ID 0 α a ( l 1, calculer A r( pour 0 puis pour = 0. Schématiser cette fonction en admettant pour l instant que le phénomène apparaissant autour du point singulier = 0 est très étroit par rapport à la largeur totale de A r(. 4. (a Indiquer qualitativement sur quel intervalle doit se situer la fréquence vue par un atome pour que celui-ci absorbe efficacement l onde aller? l onde retour? (b En déduire une estimation de l intervalle sur lequel doit se trouver pour que les faisceaux aller et retour soient absorbés de manière significative par les mêmes atomes. (c La courbe A r( mesurée pour des atomes de Césium montre que la singularité mise en évidence au 3 est large de 30 MHz. A quelle propriété physique de la transition cette mesure donne-t-elle accès? (d Comparer la précision de la mesure de 0 par les expériences décrites au 2 et au 3. miroir

6 6 Université Paris XI Centre d Orsay Examen de 2 ieme cycle Première session Master 1 Physique Fondamentale Magistère de Physique Fondamentale 2 ième année Examen de Physique des Lasers, corrigé succinct Problème -I- : Étude d un laser à colorant continu Partie A : Étude du milieu amplificateur 1. La transition entre 0 et 3 est par absorption d un photon. Par symétrie, il y a dans ce cas nécessairement de l émission induite entre 3 et 0. Les niveaux 1 et 2 sont non dégénérés (un seul état quantique d énergie E 1, E 2 donc W 12 = W. Rmq : l oubli de l émission induite entre 3 et 0 n a presque aucune conséquence dans la suite de ce problème (en terme de pertes de points. 2. Energie 3 0 WP WP A W W 2 1 dn 0 dn 1 dn 2 dn 3 = (N 0 N 3 + N 1 = W (N 2 N 1 + A N 2 N 1 = W (N 2 N 1 A N 2 + N 3 = (N 0 N 3 N 3 3. En régime stationnaire, dn 0 = dn 1 = dn 2 = dn 3 = 0. De dn 0 = dn 3 = 0, on déduit par différence que N 3 = N 1. De dn 0 = 0 avec N 1 = N 3, on déduit N 0 = + N 1. De dn 1 = 0, on déduit N 2 = W + A+W N 1. Il y a inversion de population si N 2 > N 1 donc si > A (le niveau 1 se vide plus vite que le niveau (a Pour A, W,, on a N 0 N 1 et N 2 A+W N 1. (b Ce système est fermé, N 0 + N 1 + N 2 + N 3 = N. On en déduit N 1 + N 1 + N 1 ( + A + W N 1 + N 1 = N A + W N 1 A + W + (A + W + 2 = N avec = N 2 et N 1 = N (A + + W (c N 2 /N 1 = A+W 1 donc N 2 N 1 et N = N 2 N 1 N 2 = quantité est bien indépendante de (d W est nul lorsque I = 0. N 0 = N (A+ ; identifier la relation précédente à N N 0 = 1 1+ I Is 5. σ = W h 0 I = B u g(0 h 0 n u avec A B = 8πh3 0 ( n 3 donc σ = A c2 0 8πn A+W A+W 2 A + W N 1 = N (A+W +. Cette N N 0 = 1 1+ W A+. On utilise W = σ I h 0 d où I σi I s = h 0 (A+ et I s = h 0(A+ σ g(0 pour

7 7 6. Les molécules actives diluées dans le solvant voient toutes le même entourage moléculaire donc les transferts d énergie des niveaux 1 ou 2 vers le solvant, à l origine du processus d élargissement spectral, ont la même dynamique pour toutes les molécules actives. De plus, en solution, les molécules actives sont trop lentes pour présenter un décalage Doppler significatif. Ces deux raisons font que ce milieu est à élargissement spectral homogène. 7. α 0 = σ N = λ 0 = = 5, s 1 N 0 = 4, ,2 105 = 2 10 (1, , m 3. σ = 1,8 108 ( π(1,43 2 (5, , = 2, m 2 I s = 6, (1, , , , = 2, W m 2. α 0 = 2, = 41,6 m 1. Partie B : Pertes de la cavité 1. Par définition, exp α P l = R 1 R 2 R 3 (1 ηt f ( pour cette cavité en anneau donc α P = 1 l (R ln 1 R 2 R 3 (1 ηt f (. 2. α P = 1 ln((1 0, 001 (1 0, 001 (1 0, 02 (1 0, 01 = 32,25 m On a α P l = 0,03 1, c est un régime de fonctionnent pertes faibles, gain faible. Cf cours pour la démonstration. τ c = d α P l = 0,6 = 6, s Le faisceau Laser doit être extrait de la cavité au niveau du miroir M 2, celui possédant le facteur de transmission le plus élevé. Partie C : Fonctionnement continu du laser 1. Le coefficient d amplification saturée α a été introduit dans le bilan d énergie de l interaction ondemilieu, par la notation α = 1 I ( u t + I z, qui en régime stationnaire devient α = 1 di I dz. Le coefficient d amplification non saturée α 0 est la valeur de α lorsque I tend vers zéro (I I s. L intensité de saturation I s est le paramètre défini par l identification N = N α = α0 (relation de saturation pour un élargissement spectral homogène. 1+ I Is 3. En régime de fonctionnent pertes faibles, gain faible, les conditions de fonctionnement s écrivent (i La fréquence 0 du laser doit correspondre à un mode spectral p = p d (ii En régime stationnaire, le gain compense exactement les pertes ce qui se traduit par α = α P. En utilisant la relation de α saturation valable pour un élargissement spectral homogène, cela entraîne 0 = α P d où I = I s ( α0 α P P c = I πw La puissance se conserve entre O et S 2, une fraction T 2 est extraite au niveau de M 2 donc P L = T 2 πw 2 0 I s( α0 α P 1 6. Application numérique : P L = 0, 02 π (0, , ( 41,6 32,25 1 = 3,86 W Exercice : Caractéristiques des impulsions produites par un laser en fonctionnement modes bloqués L écart temporel 1/δ entre deux impulsions est l inverse du nombre f d impulsions par seconde donc δ = f. Pour une cavité linéaire, δ = 2d donc d = 2δ = 31,9 cm. Le nombre de modes impliqués se déduit de la largeur de chaque impulsion par t = 1 Nδ donc N = 1 t δ = modes. Le spectre des fréquences de ce rayonnement couvre une largeur en fréquence valant = N δ, sachant que λ = λ = = λ2 2 = λ N δ = ( , = 18 nm I Is 1+ I Is

8 8 La puissance moyenne est P = 25 mw, ce qui signifie que le flux d énergie à travers une surface d onde pendant une seconde vaut 25 mj. Cela correspond à l énergie transportée par f impulsions, contenant chacune une énergie de l ordre de t fois P max. On a donc f t P max = d où P max = 0, W = P max t... 1 seconde f impulsions Problème -II- : Spectroscopie par absorption saturée ( 1. (a W (v z = B I g( 0 = B I g ( σ(v z = hb g (1 vz 0 (1 v z 0 (b Tous les atomes sont sur le niveau 1, la différence de population N(v z = N 2 (v z N 1 (v z pour les atomes [v z, v z + dv z [ vaut ND(v z dv z. On en déduit : dα(v z = σ(v z N(v z = N hb (c α = ( v z dα(v z = N hb v z g (1 vz 0 0 g((1 v z 0 D(v z dv z ( D(v z dv z. La fonction g (1 vz est centrée sur la vitesse v z0 = 0, elle est étroite par rapport à D(v z donc v z g((1 v z 0 D(v z dv z D(v z0 v z g((1 v z 0 dv z = D(v z0. On obtient 2. (a = 0 (1 v z0 = 0 v z0 = ( 0. α = N hb D(v z0 avec v z0 = 0 (b Pour α a indépendant de z, di dz = I α a( s intègre en I(l = I(0 exp α a l d où A r ( = 1 exp α a l α a l = K l exp mv2 z0 2kT = K l exp mc2 0 2kT ( 0 2. L approximation 0 = 0 0 se justifie par le fait que l absorption est possible si 0 est au plus de l ordre de grandeur de l élargissement Doppler, typiquement 1 GHz et très petit devant, 0? Dans ces conditions, 0 dans les termes où n apparaît aucune petite différence de fréquence. (c A r ( est maximum pour = 0 et vérifie A r ( 0 ± D /2 = A r ( 0 /2 pour D = 2 0 2kT ln 2 m. (d La mesure de la fonction A r ( donne les valeurs de D et de 0 mais n apporte aucune information sur h D. 3. (a = (1 v+ z0 = 0 v z0 + = 0. = (1 + v+ z0 = 0 vz0 = + 0. Il s agit des mêmes atomes pour très proche de 0. (b Pour 0, l onde retour interagit avec des atomes qui n ont pas interagi avec l onde aller donc pour lesquels N 1 (v z0 N 1 (v z0 +N 2(v z0 K" K"/ 2 r( = 1. On a dans ce cas α a ( = α + a (. Par contre, pour 0 D

9 9 = 0, l onde retour interagit avec des atomes qui ont interagi avec l onde aller, ce qui avec N 1 (v z0 la modélisation proposée entraîne = 0, 8 et N 1 (v z0 +N 2(v z0 α a ( = 0, 8 α a + (. L onde aller a réduit le nombre d atomes de vitesse v z = vz0 = v+ z0 = 0 sur le niveau 1 donc l onde retour interagissant avec ces mêmes atomes est moins absorbée. (c Le faisceau peut traverser la cellule sans aucune absorption si 0 D. Si l intensité incidente pour l onde aller s écrit I(0, celle obtenue après la première traversée de cellule vaut I(0 exp α + a ( l, celle après la seconde traversée vaut I(0 exp α + a ( l exp α a ( l. Un facteur β traduit la lumière arrivant sur le détecteur compte tenu des réflexions sur les interfaces, le miroir, la séparatrice, d où I D ( = βi(0 exp (α + a ( + α a ( l. Cette valeur correspond à I 0 D pour α+ a ( = α a ( = 0 d où A r( = 1 exp [ (α + a ( + α a ( l ] (α + a ( + α a ( l On a donc : 'r ( h A r( = 2 K l exp mc2 0 2kT ( 0 2 pour 0 D et A r( = 1, 8 K l exp mc2 0 pour = 0. 2kT ( 0 2 = 1, 8 K l 4. (a Les ondes aller ou retour sont absorbées efficacement si respectivement = (1 v z [ 0 h, 0 + h ] et = (1 + v z [ 0 h, 0 + h ], où h est la largeur homogène (b Les photons de l onde aller interagissent à résonance avec les atomes de vitesse v z + 0. Pour ces atomes, l onde retour possède la fréquence (1+ v+ z 0 = (1+ v z 0 +( v+ z 0 v z 0 = 0 +2( 0. Ces atomes absorbent efficacement l onde retour si l écart entre cette fréquence et 0 est inférieur à h c est à dire si 2( 0 < h donc si est dans l intervalle [ 0 h 2, 0 + h 2 ]. (c La largeur de la singularité de A r( est directement liée à la largeur homogène h de la transition. Cette méthode permet de la mesurer bien qu elle soit très petite comparée à la largeur inhomogène D. (d Au -2-, la valeur de 0 est le maximum de A r (, déterminée à une fraction de D près. Ici, le minimum du creux d absorption est pointé à une fraction de h près donc avec une précision nettement meilleure. 0