Quantification de l énergie pour les systèmes simples

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1 Les buts de cet amphi Quantification de l énergie pour les systèmes simples Chapitre 4 Utiliser le formalisme de la physique ondulatoire pour aborder des problèmes de physique d une grande importance pratique Propagation de particules microscope à effet tunnel, radioactivité!" Particules confinées énergies quantifiées, liaison chimique. IBM surface d un cristal de cuivre, 48 atomes de fer forment une enceinte d un rayon de 7 nm Les deu types de mouvement classique On considère un potentiel qui tend vers 0 quand r tend vers l infini V (r) = Gmm r 1. États liés et états de diffusion E = E cinétique + V (r) E = 0 énergie O O E < 0 E > 0 états liés états de diffusion électrons dans un atome collisions entre particules

2 Les états stationnaires de l équation de Schrödinger La forme des états stationnaires (1D) Hamiltonien Ĥ = ˆp2 2m + V (ˆ) ˆp = i d d On considère un potentiel qui tend vers quand tend vers l infini V() On s intéresse au états propres de l hamiltonien Ĥψ α () =E α ψ α () E α : valeur propre réelle (dimension d une énergie) «équation de Schrödinger indépendante du temps» Solutions physiquement intéressantes : tend vers 0 quand tend vers l infini Rappel : une fois les ψ(, 0) = α C α ψ α () ψ α () connus, on déduit l évolution de tout état ψ(, t) ψ(, t) = α C α ψ α () e ie αt/ Remarque : on peut chercher des fonctions propres! " réelles. Si! " est solution, alors! " * est solution pour la même énergie. Si, état directement éligible comme fonction d onde état lié se comporte comme une combinaison d ondes planes à l infini : quand On peut l utiliser pour former des paquets d ondes état de diffusion Etats liés et états de diffusion Deu théorèmes importants concernant les états liés (1D) Le théorème de Sturm-Liouville (fonctions propres réelles) V() On peut classer les niveau par valeur croissante de l énergie en fonction du nombre de nœuds (points où le signe change) de la fonction d onde. V min V() 2 ème état ecité : 2 nœuds Aucun état physiquement intéressant avec E < V min 1er état ecité : 1 nœud Entre V min et, états liés en nombre fini ou dénombrable Au dessus de, continuum d énergies : états de diffusion

3 Deu théorèmes importants concernant les états liés (1D) Le cas de potentiels symétriques (ou «pairs») V() Potentiel V() symétrique par rapport à 0 : 2. L eemple du puit semi-infini 0 On peut chercher les états propres de sous forme de fonctions paires ou impaires. A montrer en eercice, en remarquant que si est état propre, alors l est également énergies:? Les fonctions impaires ont toujours au moins un nœud en = 0 État fondamental pair Premier état ecité impair Deuième état ecité pair, Conditions de continuité : résumé Recherche des états de diffusion Potentiel V() continu,borné (cas "réel")!() V() Fonction d'onde #() bornée, continue, 2 fois dérivable état d énergie E supérieure à E région 1 : 1 2 discontinu, borné ("marche") bornée, continue, 1 fois dérivable (#''() est discontinue) région 2 : discontinu, non borné ("mur") bornée, continue, non dérivable (#'() est discontinue) Il faut ensuite raccorder ces fonctions en

4 Recherche des états de diffusion E > (II) Recherche des états liés En = L, la fonction d onde! et sa dérivée! sont continues : état d énergie E inférieure à région 1 : A sin(kl) =B sin(k L)+C cos(k L) ka cos(kl) =k (B cos(k L) C sin(k L)) k = 2mE/ k = 2m(E ) / E 1 2 Système linéaire de 2 équations à 3 inconnues : pour toute E> on trouve une solution différente de la solution nulle A = B = C = 0 région 2 : Pour toute énergie supérieure à la valeur asymptotique du potentiel, on trouve un état propre!() de l hamiltonien. Il se comporte comme une onde plane à l infini, en B sin(k )+C cos(k ) ou de manière équivalente en βe ik + γe ik Il faut encore raccorder ces fonctions en... Recherche des états liés E < (II) Résultats pour le puit semi-infini En = L, la fonction d onde! et sa dérivée! sont continues : A sin(kl) =Be KL ka cos(kl) = KB e KL k = 2mE/ K = 2m( E) / Système linéaire de 2 équations à 2 inconnues : on ne trouve pas toujours une solution différente de la solution nulle A = B = 0 Il faut pour cela Continuum d états libres pour Pour m et donnés, ceci n est possible que pour des valeurs particulières de l énergie E. Nombre fini d états liés pour

5 Energie d interaction Modélisation de la force nucléaire entre un proton et un neutron On ne trouve qu un seul état lié, et cette liaison est faible: 3. L effet tunnel distance p-n V() E 1 deutéron (noyau de deutérium) particule d énergie moyenne E < 0 a? Le coefficient de transmission par effet tunnel Le microscope à effet tunnel Binnig et Rohrer (IBM) Pri Nobel 1986 Le coefficient de transmission est non nul, contrairement au cas classique! Le coefficient de transmission varie eponentiellement avec la hauteur et la largeur a de la barrière nombre ridiculement faible pour des objets macroscopiques retournement «spontané» d une pièce de monnaie : Surface de Nickel (D. Eigler, IBM) Electron : -E = 1 ev, a = 5 Angströms : a = 6 Angströms : Le courant varie etrêmement vite avec la distance!

6 Le microscope à effet tunnel Gerd Binnig et Heinrich Rohrer, Pri Nobel 1986 Le microscope à effet tunnel Gerd Binnig et Heinrich Rohrer, Pri Nobel 1986 Surface Métallique Courant électrique: Effet tunnel! Pointe Métallique Mécanisme de déplacement de la pointe Dessin «artistique» Appareil complet Image : un atome est absent! Manipulations d'atomes Un anneau d atomes Etape 1 : La pointe «pousse» les atomes : ils sont rangés un par un! Etape 2 : La pointe s éloigne de la surface : elle «voit» les atomes sans les déplacer Atomes de Fer déplacés sur une surface de Cuivre 48 atomes de Fer rangés sur une surface de Cuivre (IBM) Image «virtuelle» reconstruite par ordinateur

7 «Bonhomme atomique» «Carbone-homme» Réalisé en disposant des molécules C-O (oygène et carbone) sur une surface de platine (D.M. Eigler, IBM, 1990) Ces images ne sont pas des photographies : personne ne pourrait "voir" cela avec son oeil. Ce ne sont pas non plus des images de synthèse. Ce sont des visualisations de mesures epérimentales. La radioactivité alpha Röntgen 1895 : les rayons X (photons) émis dans des tubes à rayons cathodiques impressionnent des plaques photos Le verre du tube est fluorescent au niveau de l impact du faisceau d électrons Becquerel, février 1896 : qu en est-il de la fluorescence de sels d uranium eposés à la lumière du soleil? et quand il n y a pas de soleil??? Pierre et Marie Curie, 1898 : séparations chimiques successives sur les sels, puis sur des résidus de minerais d uranium. Ils isolent le polonium et le radium. Images etraites de: ``The STM image gallery ( ) Caractéristiques de l émission!" particule! = noyau d hélium (Rutherford et Soddy, 1909) énergie de la particule! : E entre 4 et 9 MeV T (s) 4. temps moyen d émission : T entre 10-6 s et s Gamow 1929 : uranium Le modèle du puits double 10 6 V(r) radium 228 puits de potentiel lié au forces nucléaires E " r répulsion coulombienne E (MeV) ou «comment combiner effet tunnel et puits de potentiel»

8 Modélisation (très simple) de la liaison chimique Changement de conformation des molécules Deu noyau et un électron (par eemple l ion H 2+ ) : électron L inversion de la molécule d ammoniac NH 3 : structure pyramidale qui peut se «retourner» comme un parapluie noyau 1 noyau 2 noyau 1 noyau 2 Le «saut tunnel» de l électron de l orbite 1 vers l orbite 2 crée un abaissement d énergie, d autant plus grand que les noyau sont proches. attraction entre atomes liaison chimique configuration «gauche» configuration «droite» L état quantique fondamental de la molécule est une «superposition» des deu configurations classiques «gauche» et «droite» Modélisation par un double puits carré V() G M D $ a position du plan des hydrogènes de NH 3 ou position de l électron assurant la liaison chimique E Les niveau d énergie les plus bas du double puits On fie la largeur a et on choisit comme unité d énergie. On choisit dans cette unité et on fait varier la largeur $" On s intéresse au niveau d énergie E < : quel est le rôle de l effet tunnel à travers la barrière? a Le puits de potentiel V() est pair : on peut chercher les états propres de l hamiltonien sous forme de fonctions paires ou de fonctions impaires $"

9 Les niveau d énergie les plus bas 2a puits infini de largeur 2a E Unité d énergie: antisymétrique symétrique antisymétrique symétrique a deu états de même énergie! On dit que le couplage tunnel "lève la dégénérescence" des deu états initiau $" a E 1, E 2, : niveau d un puits semi-infini de largeur a Les premiers niveau d énergie pour une grande barrière G G Clivage 2A entre les deu états les plus bas : si D D antisymétrique symétrique antisymétrique symétrique avec E 0 premier niveau ecité du puits semi-infini (2 états D ou G) niveau fondamental du puits semi-infini (2 états D ou G) L origine de la liaison chimique électron noyau 1 noyau 2 noyau 1 noyau 2 R Le clivage 2A dépend de la distance R entre les deu noyau Energies propres répulsion électrostatique entre noyau 2A état antisymétrique = orbitale antiliante état symétrique = orbitale liante R