RESOLUTION D UNE INEQUATION. Les symboles utilisés ( symbole d inégalité ) : Appellation 1 Appellation 2 Appellation 3 Vocabulaire à utiliser

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1 THEME : Les symboles utilisés ( symbole d inégalité ) : Appellation 1 Appellation Appellation Vocabulaire à utiliser < plus petit inférieur strictement inférieur strictement inférieur plus petit ou égal inférieur ou égal inférieur inférieur ou égal > plus grand supérieur strictement supérieur strictement supérieur plus grand ou égal supérieur ou égal supérieur supérieur ou égal Exemples : < 7 mais < 6 et 5 > - mais 5 > ,7 et Notion d inéquation : RESOLUTION D UNE INEQUATION Une écriture du type «x + 1 < 7» s appelle une inéquation. ( notion à rapprocher de la notion d équation ) Equation Egalité Exemple : x + 1 = 7 Inéquation Inégalité Exemple : x + 1 < 7 Dans cette écriture, la lettre x s appelle l inconnue. Résoudre une inéquation ( comme une équation ), c est déterminer, si elles existent, les valeurs de l inconnue qui vérifient l inégalité ( c est à dire qui rendent vraie l inégalité ) Par exemple, en reprenant l inéquation x + 1 < 7, nous constatons que : 1 est solution de l inéquation, car, en remplaçant x par cette valeur 1, le premier membre est égal à 1 + 1, soit + 1, soit et est inférieur à 7 ( < 7 ) 5 est également solution car ( - 5 ) + 1 = = - 9 et -9 < 7 4 n est pas une solution, car = = 9 et 9 n est pas inférieur strictement à 7 ( l écriture 9 < 7 est fausse ) n est pas solution, car + 1 = = 7 et 7 n est pas strictement inférieur à 7 ( Remarquons que est solution de l inéquation x + 1 7

2 Propriétés utilisées dans la résolution d une inéquation : Si on ajoute un même nombre aux deux membres d'une inégalité, on obtient une inégalité de même sens. Si a < b alors a + c < b + c Exemple : < 5, donc + 8< Si on retranche ( soustrait ) un même nombre aux deux membres d'une inégalité, on obtient une inégalité de même sens. Si a < b alors a - c < b - c Exemple : 7 < 10, donc 7 - < 10 - Les expressions situées de part et d autre du symbole d inégalité s appellent, comme pour une équation, des membres. Membre de gauche Membre de droite Exemple : Si on multiplie ( ou divise ) les deux membres d'une inégalité par un même nombre strictement positif, on obtient une inégalité de même sens. Si a < b et c > 0 alors a c < b c a b Si a < b et c > 0 alors < c c <, donc 5 5 < 10 < 15, donc 10 < Si on multiplie ( ou divise ) les deux membres d'une inégalité par un même nombre strictement négatif, on obtient une inégalité de sens contraire. Si a < b et c < 0 alors a c > b c Si a < b et c < 0 alors a b > c c ATTENTION! CHANGEMENT DE SENS DE L INEGALITE Exemple : <, donc ( - 4 ) > ( - 4 ) ( car - 8 > -1 ) et 10 < 15, donc > ( - > - ) - 5-5

3 Remarque :Analogie avec la Physique Une inégalité ( ou une inéquation ) Si ALORS Si a < b alors a + c < b + c Si nous ajoutons aux objets de masses a et b, une même quantité c, alors le déséquilibre sera le même. De même, si nous retranchons la même quantité, le déséquilibre restera le même. En ce qui concerne la multiplication ( et la division), l analogie physique est plus difficile ( la multiplication n étant pas une opération «naturelle» ) Exemples Résoudre l inéquation x + 1 < 7 x + 1 < 7 x < 7-1 x < 6 est un nombre positif x < 6 Résolution de l équation «associée» : x + 1 = 7 x = 7-1 x = 6 x = 6 x = La solution est x < Les solutions ont tous les nombres inférieurs strictement à. Par exemple -10 ; -458,7 ; - 0, ;,57 sont des solutions. Il y a donc une infinité de solutions. Cet ensemble infini de solutions peut être représenté graphiquement ( représentation graphique ) : Considérons une droite graduée La valeur limite déterminée par la résolution de l inéquation est. Plaçons ce nombre. Les solutions sont les nombres inférieurs strictement à. Ces nombres sont situés, sur cet axe, à gauche du nombre.

4 Dans notre exemple, les solutions sont les nombres x qui vérifient x <. Si nous avions comme ensemble solution, les nombres qui vérifient x, la représentation graphique serait identique. Pour différencier ces deux cas, nous allons préciser sur le dessin si le nombre limite ( ici ) fait partie des solutions ou non. Nous dessinerons un crochet de ce type ( voir dessin ) sur le nombre pour préciser que n appartient pas aux solutions ( pour préciser que est en dehors des solutions ) Remarque : Si notre ensemble solution était x ( nombres inférieurs ou égaux à ), le nombre serait solution. Pour le préciser sur la représentation graphique, il suffirait de mettre un crochet de ce type ( voir dessin ci-dessous ). Ce crochet indique que appartient aux solutions, c est à dire que nous «prenons» dans l ensemble des solutions. Résoudre l inéquation - x + < 8 Nous avons successivement : - x + < 8 - x < x < 6 Nous devons, à ce stade, diviser par le nombre situé devant l inconnue x, c est à dire. Ce nombre est négatif. La dernière propriété mentionnée ci-dessus, précise que : Si on divise les deux membres d'une inégalité par un même nombre strictement négatif, on obtient une inégalité de sens contraire. Nous pouvons donc diviser par, mains attention, nous devons changer le sens de l inégalité! 6 x > - Nous obtenons donc : - est un nombre négatif. Il y a donc un changement de sens de l inégalité x > - Résoudre l inéquation 5x + 1 x - Précisez la couleur représentant l ensemble des solutions ou mieux, écrivez le mot

5 Nous avons successivement ( comme pour une équation ) : 5x + 1 x - 5x - x Soit x - Nous devons maintenant diviser par. Ce nombre est positif. Il n y a donc aucun problème. On continue : x - x = - 1,5 Résoudre l inéquation x - 1 5x - Résolution 1 : Résolution : x - 1 5x - x - 5x x - Nous devons maintenant diviser par -. Ce nombre est négatif. Nous pouvons donc diviser, mais il faut alors changer le sens de l inégalité. Nous obtenons alors : x x - - La seule difficulté, dans la résolution d une inéquation, est la présence d un nombre négatif devant l inconnue. Nous pouvons y remédier en procédant comme suit : x - 1 5x x - x x Le nombre situé devant l inconnue x est positif. Nous devons donc, à ce stade, diviser par le nombre positif. Il n y a aucun problème. x

6 Pour une meilleure lecture, nous écrirons l inconnue x en tête. Nous avons donc : x Nous retrouvons le même ensemble de solutions. Remarque : Changer l écriture x en x n est pas un changement de sens de l inégalité ( la pointe du symbole d inégalité est, dans les deux cas, dirigée vers ). Si est inférieur ou égal à x, alors x est supérieur ou égal à. 0,66 Résoudre l inéquation ( x 1 ) ( x + 1 ) Nous obtenons successivement : ( x 1 ) ( x + 1 ) 6x x + 6x x + 4x 4 x 4 4 ( 4 est positif ) x 1 Résoudre l inéquation ( x ) ( x + 1 ) ( x + 1 ) Nous obtenons successivement : 4 x 6 x - 1 x + 4 x x - x x 9 Nous ne pouvons pas diviser par 0. Le mécanisme de résolution s arrête ici. Quelle que soit la valeur donnée à l inconnue x, la valeur de 0 x sera toujours égale à 0. Comme 0 est inférieur à 9, tous les nombres sont solutions. Résoudre l inéquation ( x + ) ( x + 1 ) x +

7 Nous obtenons successivement : ( x + ) ( x + 1 ) x + x + 6 x - 1 x + x x x x Nous ne pouvons pas diviser par 0. Le mécanisme de résolution s arrête ici. Quelle que soit la valeur donnée à l inconnue x, la valeur de 0 x sera toujours égale à 0. Comme 0 n est pas inférieur à -, cette inéquation n a pas de solution. Résolution d un système d inéquations : Dans certains problèmes, nous sommes amenés à chercher les solutions communes à plusieurs inéquations (,, 4, inéquations ) Résoudre le système x + 1 < 5 - x - 1 c est chercher les solutions communes à l inéquation x + 1 < 5 et à l inéquation - x 1. Méthode : Pour déterminer les solutions communes à ces deux inéquations, il suffit de déterminer les solutions de la première inéquation, de déterminer les solutions de la deuxième inéquation ( puis de la troisième s il y a une troisième inéquation, etc. ), puis de déterminer les solutions communes. Résolution de x + 1 < 5 : x + 1 < 5 x < 5-1 x < 4 x < 4 x < Résolution de - x 1 : ( est positif ) - x 1 - x x x ( - est négatif, donc changement de sens de l inégalité ) - x 1 Résolution du système ( solutions communes ) : Sur un axe, représentons graphiquement les solutions des deux inéquations ( en rouge, les solutions de la première inéquation et en bleu, les solutions de la deuxième inéquation )

8 Les solutions communes aux deux inéquations sont tous les nombres rouges et bleus. Nous avons donc : du système Ecriture mathématique : Les solutions du système sont donc tous les nombres supérieurs ou égaux à 1, mais inférieurs strictement à. Les solutions sont donc tous les nombres compris entre 1 et Nous écrirons : 1 x < Résoudre le système d inéquations suivant : x + 4 > - x + 1 > Résolution de x + 4 > - : x + 4 > - x > - 4 x > x > x > - Résolution de x + 1 > : x + 1 > x > - 1 x > x > ( est positif ) ( est positif ) x > 1 Résolution du système ( solutions communes ) : du système Ecriture mathématique : x > 1 Résoudre le système d inéquations suivant : - 4 x 1 - x + 1 -

9 Résolution de 4 x 1 - : 4 x x x x ( - 4 est négatif, donc changement de sens de l inégalité ) 4 1 x 4 Résolution de x : x x x x x - ( est positif ) Résolution du système ( solutions communes ) : Les solutions du système sont tous les nombres colorés en rouge et en bleu. Il n y en a aucun ici. Ecriture mathématique : Le système n a pas de solution. Résoudre le système d inéquations suivant : Résolution de x : x x 4 1 x x x 1 x x ( est positif ) Résolution de x : x x x x ( est positif )

10 x 1 Résolution du système ( solutions communes ) : Le seul nombre coloré en rouge et en bleu est le nombre 1. Ecriture mathématique : Le système a une seule solution 1