Chapitre 7 Tests d hypothèse (partie 1)

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1 Chapitre 7 Tests d hypothèse (partie 1) I Qu est ce qu un test statistique? La philosophie est toujours la même : déterminer des informations sur une population à partir d informations sur un échantillon exhaustif. Il s agit maintenant, dans le cadre d un contrôle d une production industrielle par exemple, de parvenir à établir des règles de décision pré-établies. Ainsi, on serait en mesure d indiquer en temps réel (ou presque) si notre production est conforme (ou non) à un cahier des charges donnés. A partir des résultats collectés sur un échantillon, on prendra la décision de poursuivre la production ou bien de remédier aux problèmes de conception. En statistiques inférentielles, nous avons déjà vu qu il nous est impossible d émettre des certitudes : en effet, ne connaissant que des informations partielles sur une population, on risque de se tromper en prenant une décision, il importe donc de contrôler au maximum tout risque d erreur. Ainsi, on se fixera, pour commencer, une certaine tolérance, un niveau de risque maximal acceptable. Une fois ce niveau fixé, on pourra déduire des valeurs critiques d un certains nombres de paramètres (par exemple, le diamètre moyen des boulons fabriqués dépassent une certaine valeur), pour le niveau de risque requis. Une fois l échantillon prélevé, nous serons en mesure de décider, par comparaison avec la ou les valeurs critiques déterminées, s il y a lieu de remettre en question un procédé de fabrication. On s interessera dans ce cours à deux types de tests : les tests de comparaison par rapport à un nombre de référence [tests de conformité] et les tests de comparaisons entre deux populations [tests d homogénéité]. Nous détaillerons les tests relatifs à une moyenne et les tests relatifs à une proportion (ou une fréquence). II Tests de conformité A Tests de conformité pour la moyenne A.1 Test bilatéral pour la moyenne Finalité Vérifier si un échantillon de moyenne x peut être considéré comme extrait d une population donnée dont un caractère donné à pour moyenne m dans cette population. Autrement dit, déciser si x ne diffère de m que par des fluctuations d échantillonnage ou bien appartient à une autre population inconnue de moyenne m m. Exemples. Contrôle qualité. Une société s approvisionne en pièces brutes qui, conformément aux conditions fixées par le fournisseur, doivent avoir une masse moyenne de 780g. Au moment où 500 pièces sont réceptionnées, on en prélève au hasard un échantillon de 36 pièces dont on mesure la masse. masse des pièces [745;755[ [755;765[ [765;775[ [775;785[ [785;795[ [795;805[ nb de pièces La masse moyenne des pièces de l échantillon vaut 774, 7 g. On suppose que l écart-type des masses pour la population des 500 pièces vaut σ = 12,5 g. Question : Peut-on considérer que les 500 pièces de la population ont une masse moyenne de 780 g, comme le prévoient les conditions fixées par le fournisseur? Autrement dit, doit-on accepter ou refuser la livraison de ces 500 pièces au vu du résultat obtenu sur l échantillon? Ainsi présenté, il paraît délicat d apporter une réponse. En effet, dans quelle mesure peut-on dire que 774,7 est proche de 780? Il s agit ici d interprêter cette distance entre la moyenne m de la population de référence et la moyenne x pour l échantillon. Construction d un test On considère le problème sous cette forme, on fait l hypothèse que la population des 500 pièces admet pour moyenne 780 : c est l hypothèse nulle, noté H 0 : m = 780 et l hypothèse alternative (que l on adoptera à défaut de H 0 ) sera H 1 : m 780. Si l hypothèse nulle est vérifiée, d après le cours sur l échantillonnage, la variable aléatoire X, qui a chaque échantillon exhaustif de 36 pièces prises au hasard dans la population, associe leur masse moyenne, suit approximativement la loi normale N(m; n ) avec m = 780. On déduit ainsi (on passe les détails des σ calculs)

2 que ( P m tσ X m + tσ ) = 2Π(t) 1. n n Ainsi, par exemple, pour le seuil de signification t = 1,96, on obtient après calculs P(775,92 X 784,08) = 0,95. Ainsi, sous l hypothèse H 0, on peut dire que dans 95% des cas, la moyenne X, soumise aux fluctuations d échantillonnage, appartient à la fourchette [775,92; 784,08]. Autrement dit, si l hypothèse H 0 est vraie, il n y a que 5% de risques de prélever un échantillon aléatoire de taille 36 dont la moyenne soit inférieure à 775,92 ou supérieure à 784,08. Règle de décision On émet alors la règle suivante. Une fois un échantillon prélevé et x sa moyenne calculé, si x appartient à l intervalle [775,92; 784,08], on accepte l hypothèse H 0 sinon, on rejette H 0 au profit de H ,92 784,08 Zone critique Zone de fluctuation d échantillonnage normale Zone critique Acceptation de H 0 Notez que le risque de rejeter l hypothèse H 0 alors qu elle est vraie est de 0,05 : c est l erreur de première espèce du test. Décision Dans le cas de notre échantillon nous avons trouvé x = 774,7 qui n appartient pas à la fourchette [775,92; 784,08]. On décide donc d écarter l hypothèse H 0 (les fluctuations d échantillonnage ne justifient pas, pour le seuil de signification 0,95, une moyenne x aussi faible) et d accepter l hypothèse alternative H 1. Application. On choisit maintenant de prendre α = 1% afin de diminuer le risque de rejeter H 0 alors que H 0 est vraie. Construire alors un test pour H 0 : m = m 0 contre H 1 : m m 0 pour ce cette valeur de α. Appliquer ce test, accepte-t-on H 0 dans ce cas? Conclusion : Plus le risque α de rejeter H 0 diminue, plus la région d acceptation de H 0... Ainsi, on peut se demander si en acceptant H 0, on ne court pas le risque d accepter alors que H 0 est fausse : c est l erreur de seconde espèce β. Cependant, on peut montrer que lorsque l on diminue α, alors l erreur β augmente et vice-versa. A notre niveau, nous laisserons ce point (certes important) de côté. En pratique, on essaye de faire en sorte de limiter la plus grave des deux erreurs (elles n ont pas la même importance suivant le problème auquel on est confronté). Un exo type BTS... Une grande surface vend du matériel photographique. Le montant moyen d un ticket de caisse client s élève à 550 euros, l écart-type étant de σ = 195 euros. Un concurrent de cette grande surface propose une campagne promotionnelle. Le responsable craint une baisse des ventes dans son enseigne et donc du montant moyen des tickets. Afin de contrôler que la moyenne µ des achats reste égale à 550 euros, il se propose de construire un test d hypothèse bilatéral pour la moyenne.

3 On désigne par X la variable aléatoire qui, à chaque échantillon aléatoire de 50 tickets de caisse, associe la moyenne des montants en euros de ces tickets (le stock de tickets est assez important pour qu on puisse assimiler des prélèvements à des tirages de 50 avec remise). L hypothèse nulle est H 0 : µ = 550. L hypothèse alternative est H 1 : µ 550. Le seuil de signification du test est fixé à 0,05. On admet que sous l hypothèse nulle H 0, la variable aléatoire X suit la loi normale de moyenne 550 et d écarttype ) Déterminer, à l unité près, le nombre réel positif h tel que P(550 h X h) = 0,95. 2) Enoncer la règle de décision permettant d utiliser ce test. 3) La moyenne des montants d un échantillon aléatoire de 50 tickets prélevés après la campagne du concurrent est x = 597. Peut-on conclure, au risque de 5% que le montant moyen d un ticket est de 550 euros? A.2 Test unilatéral pour la moyenne Exemples. Durée de vie d ampoules. La durée de vie (en heures) des ampoules électriques produites par une usine est une variable aléatoire X d écart-type 120. Le fabricant annonce qu en moyenne les ampoules ont une durée de vie de 1120 h. On souhaite rédiger une règle de décision pour vérifier l affirmation du fabricant au seuil de risque de 5%, en testant un échantillon de 36 ampoules. Construction du test Soit X la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de 36 ampoules associe la moyenne des durées de vie des 36 ampoules. La taille des échantillons étant suffisamment grande, la théorie de l échantillonnage nous permet d écrire ( ) σ X N m;. n On prendra comme hypothèse nulle H 0 : m = 1120 contre l hypothèse alternative H 1 : m < 1120 (en effet, ce qui serait vraiment préjudiciable pour le consommateur c est que la durée de vie d une ampoule soit très inférieure à la durée de vie moyenne annoncée). Ainsi, la zone critique se trouve ici d un seul côté de la moyenne. Le test est ainsi qualifié d unilatéral. Sous l hypothèse H 0, ( P 1120 t σ ) X = 0,95 t σ 33 n n Ainsi, la zone critique du test au seuil de signification 5% est ] ; 1087[ et la zone d acceptation de l hypothèse H 0 sera [1087; + [. Règle de décision On émet alors la règle suivante. Une fois un échantillon prélevé et x sa moyenne calculé, si x appartient à l intervalle [1087; + [, on accepte l hypothèse H 0 sinon, on rejette H 0 au profit de H 1.

4 Notez que le risque de rejeter l hypothèse H 0 alors qu elle est vraie est de 0,05 : c est l erreur de première espèce du test Zone critique Zone de fluctuation d échantillonnage normale Acceptation de H 0 Décision Après prélévement d un échantillon, nous avons trouvé x = 1130 qui appartient à la région d acceptation. On décide donc d accepter l hypothèse H 0. De la même manière, on peut tester H 0 : m = m 0 contre H 1 : m > m 0. La règle de décision aura alors cette allure m 0 + t σ n Zone de fluctuation d échantillonnage normale Acceptation de H 0 Zone critique Un exo type BTS... Avant d engager une campagne publicitaire, la directon d un groupe d hypermarchés spécialisés dans le bricolage se propose de construire un test unilatéral qui, au vu des chiffres d affaires journaliers des trente jours ouvrables suivant cette campagne, permettra de décider si, au seuil de signification 5%, la moyenne des chiffres d affaires journaliers a augmenté, c est-à-dire dépassé 1,5 million d euros, à la suite de cette campagne publicitaire. Partie 1 : Construction du test unilatéral. On note µ la moyenne inconnue de la nouvelle population des chiffres d affaires journaliers obtenus après la campagne publicitaire et on suppose que l écart type de cette population est 0,3 million d euros. Soit Z la variable aléatoire qui, à tout échantillon aléatoire, non exhaustif, de trente chiffres d affaires journaliers de cette nouvelle poipulation, associe la moyenne de ceux-ci. On suppose que Z sui la loi normale de moyenne µ et d écart type 0, ) Choisir une hypothèse nulle H 0 et une hypothèse alternative H 1, pour ce test unilatéral. 2) Déterminer, à 10 3 près, le nombre réel h tel que, sous l hypothèse H 0, on ait : P(Z h) = 0, 95. 3) Enoncer la règle de décision de ce test. Partie 2 : Utilisation de ce test. Les chiffres d affaires journaliers pendant trente jours ouvrables suivant la campagne publicitaire sont donnés par le tableau suivant : Chiffre d affaires Nombre de jours 1,2 1 1,3 2 1,4 2 1,5 8 1,6 8 1,7 2 1,8 2 1, ,1 1 2,2 0 2,3 1 Dans ce qui suit les résultats approchés seront arrondis à 10 3.

5 1) Calculer la moyenne des chiffres d affaires journaliers pendant ces trente jours. 2) En appliquant la règle de décision du test à cet échantillon de trente chiffres d affaires journaliers que l on assimile à un échantillon aléatoire non exhaustif, peut on conclure, au seuil de signification 5%, qu à la suite de la campagne pbliciaire la moyenne des chiffres d affaires journaliers à dépassé 1,5 millions d euros? B Tests de conformité pour une proportion B.1 Test bilatéral pour une proportion Exemples. Un joueur doit choisir au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes. S il obtient un roi, il obtient certains avantages. On constate qu il a retourné 120 fois un roi sur 800 essais. Peut-on présumer au seuil de risque 1% que le jeu n est pas truqué? Construction du test Soit F la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de 800 essais, associe la fréquence d apparition du roi. La taille des échantillons étant assez grande, la théorie de l échantillonnage s applique et permet d affirmer que ( ) p(1 p) F N p;. n On pose pour hypothèse nulle H 0 : p = 4 32 = 0,125 et pour hypothèse alternative H 1 : p 0,125. On détermine maintenant la zone critique. Si l hypothèse H 0 est vraie, alors F N (0,125; 0,0117). On cherche le réel t tel que P(0,125 t F 0,125 + t) = 0,99 t 0,03. La zone d acceptation de H 0 est donc [0,095; 0,155]. Règle de décision On prélève un échantillon. On a la règle de décision suivante si la fréquence de l échantillon est inférieure à 0,095 ou supérieure à 0,155 alors H 0 est rejetée et H 1 est acceptée. Sinon, on accepte H 0. Décision Ici, sur l échantillon observé, on a trouvé une fréquence de 120/800 = 0,15 < 0,155 donc H 0 est acceptée : le jeu est considéré comme non truqué (rien ne permet d en douter dumoins!). Un exo type BTS... Les statistiques ont permis d établir qu en période de compétition la probabilité, pour un sportif pris au hasard d être décalré positif au contrôle antidopage est égale à 0,02. On décide de construire un test qui, à la suite des contrôles sur un échantillon de 50 sportifs prélevé au hasard, permette de décider si, au seuil de signification de 10%, le pourcentage de sportifs contrôlés positifs est de p = 0,02. Construction du test bilatéral. Dans ce qui suit, tous les résultats approchés seront arrondis à Soit F la variable aléatoire qui, à tout échantillon aléatoire (supposé non exhaustif) de 50 sportifs contrôlés, associe le pourcentage de sportifs contrôlés positivement. On suppose que F suit la loi normale de paramètres p et p(1 p)/n avec p = 0,02 et n = 50. 1) Enoncer une hypothèse nulle H 0 et une hypothèse alternative H 1 pour ce test bilatéral. 2) Déterminer, sous l hypothèse H 0, le réel positif a tel que P(p a F p + a) = 0,9. 3) Enoncer la règle de décision du test.

6 Utilisation du test. Dans l échantillon E deux contrôles antidpâge ont été dclarés positifs. En appliquant la règle de décision du test à cet échantillon assimilé à un échantillon alatoire non exhaustif, peut-on conclure au seuil de risque 10% que l échantillon observé est représentatif de l ensemble de la population sportive? B.2 Test unilatéral pour une proportion Exemples. Un joueur doit choisir au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes. S il obtient un roi, il obtient certains avantages. On constate qu il a retourné 134 fois un roi sur 800 essais. Peut-on présumer au seuil de risque 1% que ce joueur est un tricheur? Construction du test Soit F la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de 800 essais, associe la fréquence d apparition du roi. La taille des échantillons étant assez grande, la théorie de l échantillonnage s applique et permet d affirmer que ( ) p(1 p) F N p;. n On pose pour hypothèse nulle H 0 : p = 4 32 = 0,125 (pas de triche) et pour hypothèse alternative H 1 : p > 0,125 (il y a triche!). On détermine maintenant la zone critique. Si l hypothèse H 0 est vraie, alors F N (0,125; 0,0117). On cherche le réel t tel que P(F 0,125 + t) = 0,01 t 0,027. La zone critique est donc ]0,152; + [. Règle de décision On prélève un échantillon. On a la règle de décision suivante si la fréquence de l échantillon est supérieure à 0,152 alors H 0 est rejetée et H 1 est acceptée. Sinon, on accepte H 0. Décision Ici, sur l échantillon observé, on a trouvé une fréquence de 134/800 = 0,1675 < 0,152 donc H 0 est rejetée : le joueur est considéré comme tricheur (avec un risque de 1% tout de même!). Un exo type BTS... Un candidat à une élection fait effectuer un sondage dans sa circonscription comportant électeurs : sur 1068 personnes interrogées, 550 déclarent voter pour ce candidat. On suppose que cet échantillon peut être assimilé à un échantillon prélevé au hasard dans la population des électeurs de la criconscription. Soit F la variable aléatoire qui, à tout échantillon aléatoire (supposé non exhaustif) de taille n = 1068 prélevé au hasard dans cette population, associe le pourcentage d électeurs de cet échantillon voulant voter pour le candidat. On suppose que F suit la loi normale de paramètres p et p(1 p)/n avec p est le pourcentage inconnu des lecteurs de la circonscription voulant voter pour le candidat. Dans ce qui suit, tous les résultats approchés seront arrondis à On souhaite construire un test permettant d accepter ou de rejeter, au seuil de signification de 5%, l hypothèse selon laquelle, au vu d un sondage portant sur 1068 personnes interrogées, le candidat sera élu au premier tour, c est-à-dire : 1) Enoncer une hypothèse nulle H 0 et une hypothèse alternative H 1 pour ce test unilatéral. 2) Déterminer, sous l hypothèse H 0, le réel positif a tel que P(F a) = 0,95. 3) Enoncer la règle de décision du test. 4) Utiliser ce test avec l échantillon de l énoncé.