UV Traitement du signal. Cours n 2 : Transformée de Fourier Discrète

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1 UV Traitement du signal Cours n : Transformée de Fourier Discrète TF des signaux discrets vers TF discrète TF discrète d un signal périodique, d un signal limité TF discrète et convolution circulaire Précision et résolution de la TF discrète Effets de fenêtrage sur la resolution de la TF discrète Mise en oeuvre de la TFD par la transformée de Fourier rapide TF de signaux discrets vers TF discrète Objectif : Calculer la TF d un signal discret à l aide d un calculateur Difficulté : e calcul de la TF nécessite une infinité de points N de mesure. e calculateur ne peut calculer le contenu fréquentiel du signal discret qu en un nombre fini de points fréquentiels, or f varie continûment. Solution : Transformée de Fourier Discrète Question : Quel est l impact sur la précision et la resolution de l observation spectrale d un nombre fini N de points de mesure et d un nombre fini de points de calcul?

2 TF discrète d un signal périodique Signal discret périodique : x n N, n Calcul de la TF d un signal discret périodique points de mesure X f N x n e j n f x n sur un nb. fini N de et sur un nb. fini de points fréquentiels suite à une discretisation de la fréquence : f=k/ avec k=0,, N x n e j n k avec k=0,, 3 TF discrète d un signal périodique Définition : N x n W nk avec W e j et n=0,,n et k=0,, Propriétés : Suite périodique x n TFD de période N > Suite périodique X(k) de même période TFD Puisque TFD bijective, la Trans. de Fourier Discrète Inverse existe : X k e j n k k 0 X k W k 0 nk Avec n=0,,n et k=0,, 4

3 TF discrète d un signal périodique Définition : Propriétés : N x n W nk avec W e j et n=0,,n et k=0,, Séparabilité : W l k W l W k Périodicité : W l k W l Evaluation par la TZ : X z z e j k 5 TF discrète d un signal limité Soit un signal discret limité : x n U n U n N 0, n 0,, N 0, sinon x n, n 0,, N Calcul de la TF discrète d un signal discret limité x n sur un nb. fini N de points de mesure et sur un nb. fini de points fréquentiels : N j x n e n k N x n W nk avec W e j et n=0,,n et k=0,, 6

4 TF discrète Propriétés : Présente les propriétés classiques d une TF, mais tous les calculs d indices k et n se font modulo et N j X k e n k X nk k W Avec n=0,,n k 0 k 0 et k=0,, inéarité a x n b y n a X k b Y k Décalage temporel x n n 0 modn X k e j n 0 k Décalage fréquentiel ou modulation x n e j n Conservation de l énergie du signal 7 k 0 X k k 0 mod N n 0 x n k 0 X k TF discrète et convolution circulaire Soit x(n) et y(n) des signaux discrets limités constitués de N points, leur produit de convolution circulaire est un signal à support temporel discrets : {0,, N } N c n x n y n k 0 x k y n k mod N c(n) est un signal discret périodique de période N Propriétés : x n y n X k Y k x n y n X k Y k Exemple : Soit x(n)= pour n {0,,, 7} => conv. linéaire : x(n)*x(n) = {,,, 7, 8,,, } pour n {0,,, 5} => conv. circulaire : x(n) x x(n) = 8 pour n {0,,, 7} 8

5 Précision de la TF discrète Évaluer la précision de mesure de la fréquence d une seule sinusoide X(f) la précision dans le domaine spectral : fe/ f de f e ( de precision en temporel) du nombre de points fréquentiels rajout d échantillons nuls, puis interpolation entre échantillons Et si x(n) => raies spectrales non multiple de f e /? a TFD d une sinusoide pure apparaît sous forme de plusieurs valeurs non nulles, dont la plus importante en module est proche de la vraie fréq. => Si désigne le nb. de points de calcul de la TFD, la précision en fréquence est f e / [Hz]. 9 Résolution de la TF discrète Objectif : Évaluer le pouvoir de séparer fréquences voisines dans un signal Définition : Écart MIN en fréquence qu il faut mettre entre sinusoïdes d amplitudes différentes pour observer sur le spectre de leur somme un creux de plus de 3 db entre les maxima Problème : Si x(n) constitué de N points de mesure => apparition de lobes dans le spectre d une sinusoide, dont le lobe principal a une largeur égale à /N. Exemple : Soit x(n)= A cos(f n)+a cos(f n) un signal constitué de N points de mesure Si f f </N => les lobes principaux de chacune seront très proches qu il sera difficile de distinguer avec certitude => la résolution est de l ordre de f e /N [Hz] ou autrement est de l ordre de l inverse du temps total d analyse N T e 0

6 Effets de fenêtrage sur la resolution de la TF discrète N j x n e n k n x n w N j n e n k et n=0,,n et k=0,, w N n 0,, N n fenêtre rectangulaire de largeur N Convolution de la TF de x(n) avec la TF de w N (n) qui est : W N f sin N f sin f e j N f Ondulations dans le spectre ; Interprétation : a TFD est constituée d échantillons de la TF à temps discret filtrée à travers un filtre de réponse fréquentielle W N (f) Effets de fenêtrage sur la resolution de la TF discrète Objectif : Amélioration de l! analyse spectrale par pondération des échantillons avant filtrage Réalisation : Remplacement de la fenêtre rectangulaire par une fenêtre dont la TF présente des ondulations plus faibles Fenêtre de Hamming Fenêtre de Hanning w N n " 0,54# 0,46cos $ n N 0, sinon, n% 0,, N# w N n & ' cos ( n N 0, sinon, n) 0,, N* En général la résolution en fréquence est d autant meilleure : que le lobe principal est étroit et que les lobes secondaires sont bas => élargissement du lobe principal

7 & ' ' Exemples de fenêtres Hanning Hamming Kaiser 0.5 Rectangle Hanning Hamming A db W(f) A S f Critères de selection : rapport A entre les maxima du lobe central et des lobes secondaires de la TFD de fenêtres atténuation S des lobes secondaires de la TFD de fenêtres largeur du lobe central 3 Transformée de Fourier rapide X 0 X X + Objectif :Trouver un algorithme de calcul efficace de la TFD de {x n } qui s écrit X k N W W x n W nk W 4 W 4 W + W Avec x 0 x x + W e j W + + W W 3 W W W 6 W + W 3 + W + + x x 3 x + X 0 X X + & T x 0 x x W W + T x x 3 x + X 0,,, - X,,, - T T x pair. DT x pair/ DT x impair x impair 4

8 Transformée de Fourier rapide X 0,,, - X,,, - T T x pair. DT x pair/ DT x impair x impair e calcul d une TFD d ordre N necesite le calcul de TFD d ordre N/ + N/ Multiplications + N Additions Si N= m, on peut réitérer ce processus et le calcul de la TFD d ordre N se ramène au calculs de TFD d ordre N/, N/4,0, => m itérations Chaque itération nécessite N/ multiplications complexes et N additions Soit la complexité globale devient : N Multiplications et Additions log N N log N Contre N Multiplications et Additions pour la TFD 5