UN POLYEDRE SYMBOLE DE L EAU

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1 UN POLYEDRE SYMBOLE DE L EAU ATHENEE ROYAL GATTI DE GAMOND 65, rue du MARAIS 1000 Bruxelles Parrain du projet: JEAN DRABBE Professeur Emérite de l ULB Professeur: CHANTAL RANDOUR-GABRIEL

2 Lorsque l Opération Chercheurs d Eau fut lancée, les élèves de 6ème décidèrent de participer avec un sujet qu ils avaient développé lors d une exposition à Gatti de Gamond en avril Le sujet de cette exposition était POLYEDRES: ART OU MATHEMATIQUE? Après un travail de recherche en bibliothèque et sur le web, ces élèves avaient parcouru l histoire et découvert des polyèdres à travers leur représentation artistique et scientifique. Ils avaient représenté ces objets en perspective et étudié en même temps, certaines de leurs propriétés mathématiques. L utilisation de la géométrie descriptive alliée au logiciel Cabri-Géomètre TM permit de représenter notamment la famille des polyèdres réguliers convexes obtenus par symétrie dans des kaléidoscopes. Jean Drabbe était le conseiller scientifique. L exposition montrait divers artistes et mathématiciens qui ont représenté des polyèdres, du Néolithique à nos jours. Divers aspects philosophiques ainsi qu une recherche sur les pyramides à travers différentes civilisations accompagnaient ce voyage au pays des mathématiques. Une recherche des plans de ville de forme polygonale ainsi que l étude géométrique de pierres semi-précieuses complétaient cette exposition. Chaque élève s était consacré à un artiste ou à un mathématicien afin de réaliser des panneaux et un document écrit. Parmi les polyèdres, l icosaèdre, choisi par Platon comme symbole de l eau, devenait le sujet des jeunes chercheurs. Ils ont sélectionné, parmi leurs documents, quelques images, textes et constructions pour réaliser ce diaporama. C.Randour ATHENEE ROYAL GATTI DE GAMOND 65, rue du Marais Bruxelles POLYEDRES ART OU MATHEMATIQUE? Exposition du 22 au 26 avril 2002 de 14 à 16 heures ou sur rendez-vous du 29 avril au 3 mai 2002

3 Vernissage en présence de Monsieur le Ministre Hazette et quelques photos de l exposition en avril 2002

4 Quelques représentations de l icosaèdre au fil des siècles...

5 Des polyèdres au Néolithique Ces cinq solides platoniciens datent de plus de 1000 ans avant Platon. Ashmolean Museum Oxford J.Soares Source: Blackwell, Geometry in architecture, Key Curriculum Press, 1984

6 Platon né à Athènes vers 427 av.j.-c....le troisième est fait de l assemblage de cent vingt éléments; il est formé de douze angles solides, délimités chacun par cinq plans qui sont des triangles équilatéraux, et il a vingt bases qui sont des triangles équilatéraux..attribuons à l eau la forme la moins mobile...le corps le plus grand le troisième corps. Platon Extrait du Timée Platon, tenant le Timée Raphaël L Ecole d Athènes Vatican

7 Piero della Francesca 1410(?) artiste et mathématicien de la Renaissance Piero étudie la perspective et écrit De Prospectiva Pingendi, un véritable manuel de mathématique à l usage des peintres. Son oeuvre mathématique reste longtemps ignorée au profit de la réputation de Luca Pacioli qui publie la majorité des travaux de Piero, son maître, sans mentionner ses sources. Piero redécouvre les solides archimédiens obtenus par troncature des solides platoniciens, vraisemblablement connus d Archimède. Le manuscript de Piero qui remet à la mode la géométrie connue de Platon et d Euclide et fascine les artistes de la Renaissance est conservé à la bibliothèque du Vatican: c est le Libellus De Quinque Corporibus Regularibus. Auto-portrait Résurrection (detail) Museo Civico - San Sepulcro A.Andrino Dessin de Piero d un icosaèdre inscrit dans un cube. Euclide ne mentionne pas cette construction dans ses Eléments. Source: Piero Della Francesca, De la perspective en peinture, In Media Res, 1998

8 Leonardo da Vinci artiste et ingénieur de la Renaissance. Il illustre La Divine Proportion de Luca Pacioli. Source: Divine Proportion, Librairie du Compagnonnage, Paris, 1988

9 Pacioli offrant De Divina Proportione à Ludovic Le Maure Bibliothèque publique et universitaire de Genève Luca Pacioli Moine franciscain, né à Borgo San Sepolcro, ville natale de Piero della Francesca. Professeur de mathématiques, il se lie d amitié avec Alberti, son maître Piero et Vinci. En 1494, il publie la Summa di arithmetica, geometria, proportione et proportionalita qu il dédicace à Federico da Montefreltro, Duc d Urbino. Il devient professeur de Guidobaldo, fils du Duc. En 1509, De Divina proportione est imprimée à Venise. Pacioli avait offert le manuscrit à Ludovic le Maure, duc de Milan quelques années auparavant. Bal Leila, Tabich Hafsa Source:Haulotte et Stevelinck, Luca Pacioli, Ed Institut des Experts-Comptables,1994

10 Albrecht Dürer originaire de Nüremberg en Allemagne. Peintre et graveur de la renaissance allemande qui développe la gravure sur bois et sur cuivre. Il voyage à de nombreuses reprises aux Pays-Bas et en Italie où il est influencé par les artistes qu il y rencontre. Il réalise de nombreux autoportraits et se détache ainsi de l art médiéval. Dürer est un humaniste intéressé par les mathématiques. Il écrit en 1525 l Underweissung der messung à l usage des artistes et des artisans. Il y décrit les corpus redécouverts des écrits d Euclide et d Archimède. Son but est de donner aux artisans les moyens de construire avec du bois ou du papier les solides décrits par Pacioli et dessinés par Vinci. Autoportrait source : Dürer, Art-Poche Ed. de la Martinière 1999 Instruction sur la manière de mesurer, avec le compas et la règle, les lignes, les surfaces, les corps entiers/composée par Albrecht Dürer/ à l intention de tous les amateurs d art, accompagnée de figures/ portée à l impression en 1525.

11 La Mélancolie, gravure sur bois de Dürer, 1514 représente un cube dont le sommet supérieur est coupé. Remarquer que la projection verticale est erronnée: les 6 sommets ne peuvent être sur le cercle. Chellai Imane Source: Albrecht Dürer Géométrie, Présentation et traduction de Jeanne Peiffer, Sources du savoir - Seuil- Paris-1995

12 Icosaèdre représenté avec Cabri. Les constructions sont réalisées géométriquement. Cliquer sur cette image pour animer la construction Cabri Chellai I. et Tabich H.

13 Construction de l icosaèdre inscrit dans une sphère de plastique. Les dimensions sont calculées avec Cabri et le patron de l icosaèdre dessiné à l aide de ce logiciel. Source: Dalle 2000 théorèmes et problèmes de géométrie avec solutions la Procure, 1943

14 Wentzel Jamnitzer Orfèvre, graveur des poinçons de Nuremberg en 1543, nommé échevin de cette ville en 1573, il recherche le perfectionnement dans sa corporation. Il publie en 1568 le Perspectiva Corporum Regularium. Kayaalp T. Source: Wentzel Jamnitzer, Perspectiva Corporum Regularium, préface d André Flocon, Gutenberg reprints, Paris, 1981

15 Johannes Kepler Astronome allemand connu par ses trois lois sur le mouvement des planètes, c est aussi un mathématicien qui classe les polyèdres. Il décrit en 1619 dans l Harmonice Mundi, les solides de Platon et semble alors encore attaché aux symboles mystiques.

16 En 1596, dans son Mysterium Cosmographicum, Kepler propose un modèle dans lequel un solide de Platon se situe entre 2 sphères associées à chaque planète. Ce modèle est bien sûr faux. Mohammad Rachid N. Source: Kepler, Pour la Science

17 Source: Cromwell, Polyhedra, Cambridge University Press, 1964

18 Mohammad Rachid N. Cliquer sur cette image pour voir la construction Cabri

19 Source: Cromwell, Polyhedra, Cambridge University Press, 1964

20 Cliquer sur cette image pour animer la construction Cabri de l antiprisme.

21 Cliquer sur cette image pour animer la construction Cabri

22 Cliquer sur cette image pour voir la construction Cabri

23 Cliquer sur cette image pour animer la construction Cabri réalisée en classe. Budak G.

24 J.F.Niceron Erudit et mathématicien de l ordre des Minimes à Paris. Il édite en 1638, La Perspective Curieuse, un des premiers traités consacrés à l étude des anamorphoses.. Mutombo F.

25 Euler né à Bâle, élève de Jean Bernoulli, il reste à Berlin entre 1744 et 1766 près de Frédéric II de Prusse et y rencontre Voltaire. Il part en Russie en C est un des mathématiciens les plus productifs de l histoire qui a su utiliser tous les outils forgés par ses prédécesseurs pour établir des théories cohérentes. Timbre illustrant la célèbre formule d Euler liant le nombre de faces, de sommets et d arêtes d un polyèdre convexe. El Hafid B.

26 Un icosaèdre pour bébé!

27 Ernst Haeckel Biologiste allemand. Il pratiqua d abord la médecine. Il dessina entre 1899 et 1904, les planches de Kunstformen der Natur dont certaines représentent des radiolaires (protozoaires marins microscopiques ne possédant qu une seule cellule). Il formula une loi biogénétique controversée selon laquelle le développement de l individu (ontogénèse) reproduirait celui de l espèce (phylogénèse). Source: Ernst von Haeckel, Kunstformen der Natur, Prestel Verlag 1998 Dur A.

28 Maurits Cornelis Escher Né en Hollande, il entre à l Ecole d Architecture et des Arts décoratifs de Harlem. Il s intéresse aux polyèdres et partage cette fascination avec son frère géologue. Son oeuvre est principalement constituée de lithographies et de gravure sur bois. Il dessine pour la Compagnie Verblifa, en 1963 une boîte métallique en forme d icosaèdre décorée de coquillages et d étoiles de mer. Le projet peut se voir sur le site: Des polyèdres en carton décorent notre stand Escher à l Expo-Sciences 2002 Ils proviennet d un album de découpages, M.C.Caleidocycli D.Schattschneider et W.Walker Taco/Librero

29 Buckminster Fuller, est un architecte américain connu pour ses dômes géodésiques qu il inventa en La distorsion de la représentation de la terre sur un plan le préoccupe et en 1944, il propose une représentation du globe sur un cuboctaèdre. Il améliore cette forme de représentation en projetant la surface terrestre sur un icosaèdre (avec le centre de la terre, comme point fixe) Buckminster Fuller Chellai I. et Tabich H. Souce: Blackwell, Geometry in architecture, Key Curriculum Press, 1984

30 Modèle réalisé pour l exposition en utilisant une mappemonde gonflable vendue dans les magasins de jouets.

31 Source: La Recherche n 353 Un icosaèdre dans l espace!

32 Modèle realisé par J.J.Gabriel

33 Casse-tête en bois

34 Bibliographie Blackwell, Geometry in architecture, Key Curriculum Press, 1984 Cromwell, Polyhedra, Cambridge University Press, 1964 Dalle 2000 théorèmes et problèmes de géométrie avec solutions La Procure, 1943 Albrecht Dürer Géométrie, Présentation et traduction de Jeanne Peiffer, Sources du savoir - Seuil- Paris-1995 Dürer, Art-Poche Ed. de la Martinière 1999 Ernst von Haeckel, Kunstformen der Natur, Prestel Verlag 1998 Haulotte et Stevelinck, Luca Pacioli, Ed Institut des Experts-Comptables,1994 Wentzel Jamnitzer, Perspectiva Corporum Regularium, préface d André Flocon, Gutenberg reprints, Paris, 1981 Kepler, Pour la Science Pacioli, Divine Proportion, Librairie du Compagnonnage, Paris, 1988 Piero Della Francesca, De la perspective en peinture, In Media Res, von Haeckel

35 ULB Printemps des Sciences 2003 Expo-Sciences des Jeunesses Scientifiques 2003