Mécanique des fluides

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1 Exercice I. Pression dans l'eau Mécanique des fluides a. La pression atmosphérique est égale à 03 hpa. Calculer la masse de la colonne d'air au dessus d'un cercle de 30 cm de diamètre (l'accélération de la pesanteur est supposée constante et égale à 9,8 m.s ). p= mg S S= d avec p la pression, m la masse de la colonne d'air et S sa section et m= S p g donc m= d P g =.0,3, =730 kg. 9,8 b. Calculer la hauteur h de la colonne d'eau permettant d'obtenir la même pression. La masse volumique de l'eau ( eau ) est égale à 000 kg.m 3. La masse d'eau m contenue dans une colonne d'eau de hauteur h et de section S s'écrit m= eau. S.h. La pression de cette colonne est égale à p= mg S = eau. S.h.g = S eau.h.g soit h= p eau. g =, =0, m On remarque que la pression ne dépend pas de la section de la colonne d'eau. c. En déduire la pression totale à laquelle est soumis un plongeur à 0 m de profondeur puis à 00 m de profondeur. Comment va évoluer le volume de sa cage thoracique? À 0 m, la pression que subi le plongeur est égale à deux fois la pression atmosphérique ; à 00 m, elle est égale à onze fois la pression atmosphérique. Le volume de sa cage thoracique diminue.. Pour mesurer la pression atmosphérique, on utilise un tube rempli d'un liquide plongé dans un réservoir (expérience de Torricelli). Calculer la hauteur h si le tube est rempli d'eau (000 kg.m 3 ) puis s'il est rempli de mercure (356 kg.m 3 ). Pour compenser la pression atmosphérique, il faut environ 0 m d'eau (voir ci dessus). Avec du mercure h= p,03.05 = =76, cm, ce qui est ρ Hg. g 356 9,8 beaucoup plus pratique... (Hg est le symbole chimique du mercure). 3. Le dispositif étudié est représenté ci dessous. Un tube en U, dont les branches ont des largeurs différentes est rempli d'un liquide. Sur la partie gauche, une masse m est placée sur un piston de surface S g. Sur la partie droite, une force F agit sur un piston de surface S d. La dimension dans le plan perpendiculaire au schéma est constante. a. Exprimer la pression exercée par la force F en fonction de S d. Pression sur la branche de droite : p d = F S d b. Exprimer la pression exercée par la masse m en fonction de m, S g et g (accélération de la pesanteur). Corrigé mécanique des fluides Page /9 TS ET 0 05

2 Pression sur la branche de gauche : p g = m g S g c. Calculer la valeur minimale de F pour que la masse se déplace si m = 500 kg, S d = 0 cm et S g = 000 cm. Pour qu'il y ait déplacement, il faut que p d p g, soit F =500.9, =9 N F m g ce qui donne F m g S d S d S g S g d. La masse est montée de cm, de quelle hauteur est descendu le piston de droite?. À la limite On note x d le déplacement du piston de droite et x g celui du piston de gauche. Le volume de liquide déplacé s'écrit S d. x d à droite et S g. x g à gauche. Ces deux volumes sont égaux donc S d. x d =S g. x g soit Δ x d = S g.δ x S g = 000. =00 cm. d 0 e. Calculer le travail de la force F et du poids de la masse m en négligeant toutes les pertes. Indiquer s'il s'agit de travail moteur ou résistant. Le travail de la force F est égal à Δ W F =F. Δ x d =9.=9 J. Le travail du poids de la masse m est égal à Δ W m = m g. Δ x g = 500.9,8.0,0= 9 J. Le travail de la force F est moteur alors que celui de la masse m est résistant. En pratique, l'égalité des valeurs absolues n'est pas vérifié à cause des pertes par frottements. Exercice II En 68, à la demande de Blaise Pascal, Florin Périer mesure la hauteur de mercure dans l'expérience de Torricelli à Clermont Ferrand (altitude 60 m) et trouve 7, cm. Il recommence en haut du Puy de Dôme (altitude 65 m) et trouve 6,7 cm. Calculer la pression atmosphérique à Clermont Ferrand puis en haut du Puy de Dôme. La pression dans la partie supérieure du tube est nulle (vide), la pression atmosphérique obtenue par la relation p=ρ g Δ h avec Δ h la hauteur de mercure. À Clermont Ferrand : En haut du Puy de Dôme : p=ρ gδ h=356 9,8 7,.0 =90 hpa p=ρ gδ h=356 9,8 6,7.0 =88 hpa La pression atmosphérique diminue lorsque l'altitude augmente. Exercice III On considère le tube en U représenté ci contre. Le liquide dans le tube est de l'eau, la différence d'altitude entre les points A et B est notée h et égale à 5 cm. Quelle est la valeur de la pression au point A? La surface au point A est libre donc sa pression est la pression atmosphérique.. Quelle est la relation entre les pressions aux points B et C? Les points B et C sont sur le même plan horizontal, leurs pressions sont donc égales. p A g z A = p B g z B soit p B =p A g z A z B. 3. Calculer la pression en B et en déduire la pression du gaz. Application numérique : p B =, ,8.0,5=, Pa.. L'eau est remplacée par de l'alcool (800 kg/m 3 ), calculer la hauteur entre les points A et B. p est donc Corrigé mécanique des fluides Page /9 TS ET 0 05

3 Si l'eau est remplacée par de l'alcool alors Application numérique : Exercice IV. Dimensionnement d'une turbine z A z B = p B p A g z A z B =,08, =0,9 m 800.9,8 avec =800 kg.m 3. a. Exprimer l'énergie potentielle E p d'une masse m d'eau placée à une altitude h. Cours «Aspect énergétique» : E p =m g h b. Cette eau est turbinée pendant une durée t et l'énergie produite l'est avec une puissance notée P et un rendement supposé égal à un. Rappeler la relation entre l'énergie, la puissance et la durée. En déduire l'expression de P en fonction du débit masse, de l'accélération de la pesanteur et de la hauteur de chute. Relation entre énergie, puissance et durée : E p =P. t soit P= m g h t l'expression précédente et comme q m = m t alors P=q m gh c. Calculer la puissance pour un dénivelé de 98 m et un débit de 9,5 m 3.s. Application numérique : P=9, ,8 98=76 MW. Le texte encadré ci contre est un extrait de la notice d'une «turbine hydro électrique de 000 W à 500 W» ( Calculer la puissance mécanique disponible puis la puissance mécanique utile maximale. Les indications commerciales sont elles raisonnables? en remplaçant E p par «Pour bien fonctionner, une turbine type "PELTON" a besoin de :. Un bon dénivelé de 5 mètres. Un débit de 750 à 900 litres / minute 3. Une tuyauterie d'un diamètre suffisant (Ø 5 à 50 mm). D'un design de la turbine permettant un rendement d'au moins 50 à 60 %» D'après la relation P=q m gh, P = 750 9,8 5=80 W. Avec un rendement de 60% (maximal), 60 on obtient P =η. P =0,6 80=0W. Les indications commerciales sont un peu optimistes puisqu'il faudra enlever les pertes de l'alternateur à ces 0 W. Exercice V Le débit en entrée d'une canalisation est égal à 0 L/min, la section est égale à 3 cm. Calculer la vitesse du fluide en entrée de la canalisation. À l'autre extrémité, la section est égale à 0,5 cm. Calculer la vitesse du fluide La vitesse peut être calculée à partir de la relation q v =v moy. S soit v moy = q v 60 = =0,56m. s S 3.0 La vitesse en sortie de la canalisation peut être calculée à partir de l'équation de continuité : S 3 v moy =v moy =0,56. =3,36m.s S 0,5 Corrigé mécanique des fluides Page 3/9 TS ET 0 05

4 Exercice VI : étude d un siphon Un siphon permet l écoulement de l eau d un réservoir de grandes dimensions. Il est constitué par un tuyau de 0,0 m de diamètre dont la ligne centrale s élève à m au dessus du niveau de la surface libre. On souhaite que le débit soit maximal. La pression atmosphérique, notée P 0, est égale à 03 hpa. On prendra g = 9,8 m.s. Quelle est la plus petite valeur possible de la pression au point M? Cette valeur correspond au débit maximum. La relation de Bernoulli v A g h A p A = v M gh M p M donne : v A v M g h A h M p A p M =0 Les débits en A et M sont égaux donc q v =v A.S A =v M. S M soit q v S A S = g h h p p =0 M A M A M = = q v = g h M h A p M p A g h M h A p M p A g h A h M p A p M S q A S donc v M S A S M S M S A Dans cette expression, h M, h A, S M, S A et p A sont fixés, le débit est maximal si p M est minimale c'est à dire nulle. En pratique, si la pression devient très faible, le liquide peut se vaporiser et entraîner le phénomène de cavitation.. Exprimer le théorème de Bernoulli aux points A et M, simplifier cette relation pour une pression P M nulle. En déduire la vitesse de l eau au point M. Avec p M nulle, l'équation de Bernoulli devient v A g h A p A = v M gh M. La vitesse du fluide à la surface du liquide est très proche de zéro car sa section est très grande devant celle du tube, l'équation se simplifie encore : g h A p A = v M gh M v M = [ g h A h M p A ] soit v M = g h A h M. p A = 03 0 v M 9,8 ( )+ =, m.s 000 Remarque : la cote du point M est plus grande que celle du point A d'où h A h M = m. 3. Calculer le débit maximal. Le débit est donné par q v =v M. S M et la section S M du tube peut être calculée à partir de son diamètre d M = 0, m. On obtient q v =v M. π. d M π 0, =,. =0,086 m 3. s soit 86, L.s.. Calculer la cote de la sortie S. Relation de Bernoulli aux points A et S : v A g h A p A = v S g h S p S. Elle peut être simplifiée car les pressions statiques sont égales en ces deux points (p A et p S sont égales à la pression atmosphérique) et que la vitesse au point A est très proche de zéro : h A h S =. g v S g h A = v S gh S soit Corrigé mécanique des fluides Page /9 TS ET 0 05

5 h A h S =. 9,8, =6,7 m. Le point A est plus haut de 6,7 m que le point S. Comme le point M est quatre mètres plus haut que le point A, on retrouve les dix mètres de colonne d'eau correspondant à la pression atmosphérique. Exercice VII. Déterminer le régime d écoulement (laminaire ou turbulent) dans les deux cas suivants : tube de verre, diamètre cm, vitesse m.s, rugosité uniforme équivalent 0, µm. tuyauterie de fonte, diamètre 60 cm, vitesse 3 m.s, rugosité uniforme équivalent 0,3 mm. Ces deux conduites véhiculent de l eau dont la viscosité cinématique ν = 0,0 CGS. Dans le système CGS, les longueurs s expriment en cm et les vitesses en cm.s. Le nombre de Reynolds est donné par Re= v D. La viscosité cinématique s'exprime en Pa.s (ou kg/m.s) dans le système international et en Poise (ou g/cm.s dans le système CGS). Pour le tube de verre : Re=.0. 0,0 =0000, le régime est turbulent Pour la tuyauterie de fonte : Re= ,0 =,8.06, le régime est turbulent. Une installation domestique d'eau potable présente un débit de 0 L/min. Calculer le diamètre minimal D max de la conduite d'eau pour que l'écoulement soit laminaire. Le débit est donné par q v =v.s avec S=. D donc v= q v. D Nombre de Reynolds : Re= v D = D. q v.d = q v. D soit D= q v. Plus Re est faible, plus D est. Re grand, pour être en régime laminaire, il faut Re < 000 soit 60 Dmin =, =0, m Exercice VIII On pompe de l'huile de densité 0,86 par un tuyau horizontal de diamètre D = 5,0 cm, de longueur L = 300 m,avec un débit volume de,0 L/s ; la différence de pression entre les extrémités du tuyau vaut 0,6.0 Pa. Pour un écoulement laminaire, le débit volume q v est relié aux dimensions du tuyau, rayon intérieur r et longueur l, à la viscosité cinématique h et aux pressions p et p en début et fin de tuyau par q v = π.r 8.η.l.( p p ) (loi de Poiseuille). Les viscosités cinématique h et dynamique n sont reliées par η=ρ ν avec r la masse volumique.. Calculer les viscosités cinématique et dynamique de l'huile en supposant un écoulement laminaire. D'après la loi de Poiseuille q v =.r 8..l. p p donc =.r 8. q v.l. p p =.,5.0 8., ,6.0 =87,8.0 3 Pa.s. La viscosité cinématique est donné par = et ρ = 860 kg.m 3 donc =87, =.0 m. s Corrigé mécanique des fluides Page 5/9 TS ET 0 05

6 . Calculer le nombre de Reynolds et justifier l'hypothèse de l'écoulement laminaire. Nombre de Reynolds : Re=.v.D Re=.. q v.860.,.0 3 =. D ,8.0 3=99 et v= q v S et S=. d Exercice IX : étude économique du revêtement d une galerie donc, on vérifie que l'écoulement est laminaire. Re=.. q v. D. D. Une galerie de section circulaire dont la longueur L est de km est destinée à amener en charge un débit q V de 50 m 3.s d eau à une centrale hydroélectrique. Brute de perforation, elle présente un diamètre moyen égal à D = 6 m et des aspérités dont les dimensions moyennes sont de k = 0,60 m. On envisage de la revêtir de béton, ce qui ramènerait son diamètre à D =,80 m. En éliminant les aspérités, le coefficient de perte de charge serait alors égal à λ = 0,0.. Calculer les vitesses V et V de l eau dans la galerie avant et après le bétonnage. On utilise la relation entre le débit, la vitesse d'écoulement et la section soit V = q v =. q v S π. D = 50 =,76 m.s et V = q v =. q v π 6 S π. D = 50 π,8 =,76 m.s Les pertes de charge Δ H en mcf en fonction des caractéristiques de la galerie (longueur L et diamètre D), de la vitesse v et du coefficient λ de perte de charge linéaire sont obtenues par Δ H=λ v L g D On note Δ H les pertes de charge en mcf et λ le coefficient de perte de charge linéaire avant le bétonnage de la galerie.. Si la rugosité est importante, la formule empirique de Karman Prandtl permet de déterminer la valeur de λ : =,7 log D avec k la dimension équivalente des rugosités. k Calculer la valeur numérique λ du coefficient de perte de charge linéaire avant le bétonnage. D D'après les données de l'énoncé =,7+ log λ k =,7+ log 6 =3,38 donc =0,0 0,6 3. En déduire la valeur numérique des pertes de charge H en mcf puis en Pa. Pertes de charge avec la conduite «brute» Δ H =0,0, =0,6 mcf 9,8 6 soit Δ p =ρ gδ H =000 9,8 0,6=00 hpa. Rappeler la relation entre les pertes de charge, la puissance hydraulique correspondante et le débit volumique. Calculer la perte de puissance due à ces pertes de charge. La puissance est notée P ce qui donne. g. H = P soit q v P =ρ. g.δ H.q v =000 9,8 0,6 50=5, MW 5. Dans le cas où la galerie est revêtue de béton, calculer les nouvelles pertes de charge H en mcf puis en Pa. On utilise le nouveau coefficient de perte de charge (voir énoncé) et on obtient Δ H =0,0, =6,7 mcf ce qui donne une puissance équivalente 9,8,8 P =ρ. g. Δ H.q v =000 9,8 6,7 50=3,7 MW 6. Sachant que la durée annuelle de fonctionnement est égale à 3000 heures, en déduire l énergie qui serait économisée. L'énergie économisée est égale à la différence entre les deux puissances multipliée par la durée de Corrigé mécanique des fluides Page 6/9 TS ET 0 05

7 fonctionnement soit W= P P. h= 5, 3,7.3000=650 MWh 7. Le coût du bétonnage est de 80 euros le m 3, le prix du kwh est de 0, euro. En déduire la durée du retour sur investissement. Conclusions? Calcul du volume de béton nécessaire : la section est passée de 6 m à,8 m sur 000 m soit V béton =. 6,8 =075 m 3 le coût total du bétonnage : =7,33 M L'énergie économisée pendant un an engendre une économie de 65 k. Il faut donc 7, ans pour le retour sur investissement. Exercice X : installation de turbinage Une installation hydroélectrique est constituée d'une retenue amont, d'une conduite forcée de section 0,5 m et d'une turbine située 500 m plus bas que le niveau de la retenue. Le débit dans la conduite forcée est de 500 L/s. Toutes les pertes de charge sont négligées.. Vitesses a. Calculer la vitesse de l'eau dans la conduite forcée. D'après la relation de continuité v S =v S =q v avec v la vitesse dans le réservoir et v celle dans la canalisation. v = q v S = = m/s b. Rappeler l'équation reliant les sections du réservoir, notée S, et de la conduite forcée, notée S, et les vitesses de l'eau dans la retenue, notée v, et dans la conduite, notée v (équation de continuité). La section du réservoir étant très grande devant celle de la conduite, en déduire que la vitesse de l'eau dans le réservoir est négligeable. Puisque v S =v S =q v et que S est très grande devant S alors v est très faible devant v.. Puissance échangée La relation de Bernoulli pour l'écoulement de l'eau du réservoir (repéré par l'indice ) vers la turbine (repéré par l'indice ) s'écrit : p + ρ v +ρ. g. z + P = p q + v ρ v +ρ. g. z ρ est la masse volumique de l'eau : ρ = 000 kg.m, z et z représentent les cotes de la retenue et de la turbine, v et v sont les vitesses de l'eau au niveau de la retenue et de la turbine, p et p sont les pressions statiques au niveau de la retenue et de la turbine. Elles sont égales à la pression atmosphérique. P est la puissance échangée par l'eau entre le réservoir et la turbine. q v est le débit volumique. Pour les calculs, l'accélération de la pesanteur g est égale à 0 m.s. a. Récrire l'équation de Bernoulli en supprimant les termes nuls ou négligeables. D'après ce qui précède v 0 et p = p, l'équation de Bernoulli devient ρ. g. z + P = q v ρv +ρ. g. z b. Exprimer la puissance P en fonction de g, ρ, q v, S, z et z. Corrigé mécanique des fluides Page 7/9 TS ET 0 05

8 D'après la question précédente ρ. g. z + P = q v ρ v +ρ. g. z donc P=q v [ ρ v +ρ. g.( z z )] et comme c. Calculer P. v = q v alors P=q S v [ ρ( q v ) +ρ. g.(z S z )] P= [ ( ) (0 500)]= 500 kw cette puissance est négative car l'eau 0,5 cède de l'énergie à la turbine. 3. Puissance et énergie potentielle a. Rappeler la relation donnant l'énergie potentielle d'une masse m placée à une altitude h. L'énergie potentielle est donnée par E p =m gh b. Calculer l'énergie potentielle d'une masse d'eau de 000 kg placée à 500 m. D'après la question précédente E p = =5.0 6 J c. Cette quantité d'eau descend avec un débit de 500 L/s ( L d'eau a une masse de kg). Calculer la durée de l'écoulement. On note Δ t la durée de l'écoulement : Δ t= Δ v avec Δ v=000 L donc Δ t= 000 q v 500 = s d. Calculer la puissance correspondante et comparer avec le résultat de la question.c. La puissance correspondante est résultat de la question.c. P= E p Δ t Exercice XI : installation de turbinage soit P= 5.06 =500 kw ce qui est cohérent avec le Une installation hydroélectrique comporte une retenue d'eau amont, trois conduites forcées parallèles de diamètre 300 cm chacune, un ensemble de turbines, un bassin aval selon le schéma donné ci dessous. Lors du turbinage, le débit volume total est q v = 7 m 3 /s. On supposera nulles les vitesses de l'eau dans les retenues aval () et amont (3).. Calculer la vitesse d'écoulement de l'eau dans les conduites forcées. q v =v.s et S=3. D avec D le diamètre d'une conduite donc d'écoulement de l'eau est v=. q v D = =0, m.s 3..3 q v =3. v.. D. La vitesse. Calculer le nombre de Reynolds pour l'écoulement de l'eau dans une conduite forcée ; l'écoulement est il laminaire ou turbulent? Re= v.d =0, =30,6.06, l'écoulement est turbulent. 3. Calculer les pertes de charge dans une conduite forcée entre les points et. L'eau s'écoule de la retenue () vers la turbine (), la vitesse de l'eau au niveau de la retenue est supposée nulle. La relation de Bernoulli s'écrit p.g.z = p. g.z v p ; p : pertes de charge. p= p p. g. z z v = , , =,.0 5 Pa. Calculer la puissance échangée entre l'eau et le milieu extérieur dans l'ensemble des turbines entre les points et 3 en supposant qu'il n'y a pas de pertes de charge lors de cet échange. Puissance reçue par l'eau lors de l'écoulement à travers la turbine : passage de () vers (3). La vitesse est supposée nulle en (3), les cotes en () et (3) sont égales, la puissance reçue par l'eau est notée P. La relation Corrigé mécanique des fluides Page 8/9 TS ET 0 05

9 de Bernoulli s'écrit p v P = p q 3 ce qui donne P=q v p 3 p v v P=7, , = W= 57 MW a transmis de la puissance à la turbine., la puissance reçue est négative, l'eau 5. La puissance utile fournie par les turbines est de 00 MW. Calculer le rendement des turbines. Relation donnant le rendement des turbines : On donne : viscosité cinématique de l'eau :, m²/s p = p 3 = 00 mbar p = 73 bar z = 695 m z = z 3 = 70 m bar = 0 5 Pa = P u P avec P u la puissance utile : = =76, % Exercice XII : installation de turbinage Une communauté de commune d'une région de montagne a décidé d'implanter une station d'épuration 700 m plus bas qu'une agglomération. Pour récupérer l'énergie des eaux usées, une turbine Pelton accouplée à un alternateur a été installée. Les caractéristiques de l'installation sont les suivantes : Dénivelé de 680 m, débit 95 L/s, puissance turbinée 58 kw, diamètre des canalisations 30 cm. La relation de Bernoulli pour un fluide se déplaçant d'une position vers une position en recevant une puissance P et avec des pertes de charge p s'écrit : p v g z p P = p q v v gz avec z et z les cotes des positions et ; v et v les vitesses du fluide aux positions et ; p et p les pressions du fluide aux positions et et q v le débit volumique.. Calculer la différence de pression atmosphérique entre l'amont et l'aval de la canalisation. Par la suite, cette différence est négligée. Cette différence est calculée par Δ P a =ρ gδ h avec ρ=, kg/m 3, g=9,8m/s et Δ h=680 m ce qui donne Δ P a =, 9,8 680=870 Pa. La vitesse initiale de l'eau est supposée nulle, on néglige les pertes de charge et la différence de pression. a. Simplifier la relation de Bernoulli et établir l'expression de la puissance La vitesse au niveau du réservoir supérieur est supposée nulle donc v =0 ; Δ p=0 d'après l'énoncé et p = p d'après la question précédente. L'équation de Bernoulli devient ρ g z + P = q v ρ v +ρ gz ce qui donne P=q v [ ρ v +ρg(z z )] b. Quel doit être le signe de P dans ce cas? Le signe doit être négatif car c'est le fluide qui fournit de l'énergie lors de son déplacement de vers. c. Montrer que la puissance turbinée est plus élevée lorsque la vitesse de l'eau à l'arrivée est nulle. Dans l'expression de la puissance trouvée au.a, on observe que la valeur absolue de P augmente si v =0 car le terme ρ v est positif alors que ρ g( z z ) est négatif. 3. Calculer la puissance P sans tenir compte des pertes de charge et en supposant nulle la vitesse de l'eau à l'arrivée. Corrigé mécanique des fluides Page 9/9 TS ET 0 05

10 L'équation P=q v [ ρ v +ρg(z z )] devient P=q v ρ g( z z ) ce qui donne P= ,8 680=63 kw. En comparant la puissance turbinée avec celle calculée à la question précédente, évaluer la valeur des pertes de charge (résultat à donner en Pa). On note P t la puissance turbinée (soit 58 kw), la puissance perdue dans la canalisation est P p =P P t soit P p =6 kw Cette puissance correspond aux pertes de charge Δ p= P p q v = =,.05 Pa g = 9,8 m/s ; pression atmosphérique : 0 5 Pa ; masse volumique de l'eau : 000 kg/m 3 ; masse volumique de l'air :, kg/m 3. Exercice XIII : dimensionnement d une pompe Une pompe débite 9000 L d eau par minute. Sa conduite d aspiration horizontale a un diamètre de 0,30 m. Sur l axe règne une pression p de 0,0 m de mercure au dessous de la pression atmosphérique. Sa conduite de refoulement, horizontale a un diamètre de 0,0 m. Sur l axe, situé, m plus haut que le précédent règne une pression p de 0,7 bar supérieure à la pression atmosphérique. Dans les équations, l'indice est utilisé pour l'aspiration et l'indice pour le refoulement.. Exprimer p et p en pascal par rapport à la pression atmosphérique. À l'aspiration : Δ p =Δ h.ρ. g=0,0 9,8 356=6580 Pa. La pression est inférieure à la pression atmosphérique soit p = p atm p = =7800 Pa. Au refoulement : bar correspond à 0 5 Pa, la surpression au refoulement est p =70000 Pa soit une pression p = p atm p = =7300 Pa. En déduire la différence de pression p p. D'après ce qui précède p p = =96500 Pa 3. Calculer les vitesses de l eau au niveau de la conduite d aspiration et de la conduite de refoulement. On utilise la relation entre le débit, la section et la vitesse de l'écoulement : q v =v. S =v.s et S =.D v =. q v. D =.9/60. 0,0 =,77 m.s et S =. D donc v =.q v. D =.9/60 =, m.s.0,30 et. On suppose que les pertes de charge sont nulles, calculer l énergie volumique développée par la pompe. L'énergie volumique, notée E, s'exprime en J.m 3. Relation de Bernoulli : v g z p E= v gz p donc E= v v g z z p p E=.000.,77, 000.9,8., 96500=7830 J. m 3 5. En déduire la puissance hydraulique correspondante. Elle est donnée par la relation P h =E.q v = =7,7 kw En supposant que le rendement de la pompe soit égal à 80%, calculer la puissance électrique absorbée par la pompe. Corrigé mécanique des fluides Page 0/9 TS ET 0 05

11 La puissance absorbée P a = P h =7,7 =, kw 0,8 Exercice XIV : installation de pompage L'installation de pompage schématisée ci contre refoule un débit Q = 00 m 3.h d eau depuis un lac à la cote z A, dont le niveau est constant, jusqu'à la côte z B = 5 m, pour alimenter un réservoir. On prendra : ρ eau = 000 kg.m 3, g = 9,8 m.s ; pression atmosphérique p air =.0 5 Pa. Les conduites en fonte à l'aspiration et au refoulement ont un diamètre D = 0,3 m ; la longueur totale de conduites est L tot = 550 m. Elles provoquent une perte de charge linéique j = 7,5.0 3 m de liquide par mètre de conduite droite. La conduite comporte divers organes, mentionnés sur le schéma, avec leur coefficient K de pertes de charge provenant de la formule h=k v g. K crépine = 8 ; K vanne = ; K clapet = 3 ; K coude à 90 = 0,5.. Calculer la vitesse d écoulement v dans la conduite en régime permanent. On utilise la relation q v =v.s donc v= q v S = =0,39 m.s.0,3. Calculer les pertes de charge régulière J R puis les pertes de charge singulière J S dans la conduite. En déduire les pertes de charge totale J tot. Les pertes de charge régulière est due à la canalisation : J R = j. L tot =7, =,5 mce Les pertes de charge singulière est du à la crépine (K cr ), aux trois vannes (K va ), au clapet (K cl ) et aux deux coudes (K co ) : q v q v J S =K cr.. g.s 3. K. q v va.g.s K. cl. g.s. K. q q v co. g.s = v.g.s K 3.K. K K cr va co cl 0,39 J S =. 9, ,5 3 =,97 mce.0,3 Les pertes de charge totales sont la somme des pertes de charge régulière et singulière : J tot =,97,5=6,099 mce 3. En appliquant le théorème de Bernoulli entre les points A et B, déterminer la puissance absorbée par le moteur électrique d' entraînement de la pompe, le rendement global du groupe motopompe étant de 70 %. La relation de Bernoulli v A g z A p A P h = q v v B gz B p B avec P h la puissance hydraulique, p A = p B et v A =0 donne g z A P h = q v v B g z B donc P h =q v.[ v B g z B z A ] P h = , ,8.5 =7 kw La puissance absorbée par le moteur est liée à la puissance hydraulique par P a = P h =7 =0 kw 0,7 Corrigé mécanique des fluides Page /9 TS ET 0 05

12 Exercice XV : installation de pompage L'alimentation en eau d'une localité isolée se fait à partir d'un puits de 50 m de profondeur. Une pompe placée au fond du puits permet de remplir un réservoir situé à 0 m au dessus du sol. L'énergie électrique nécessaire au fonctionnement de la pompe est fournie par des panneaux photovoltaïques. Pour éviter l'utilisation de batteries (coûts d'achat et d'entretien), l'eau est stockée dans le réservoir lorsque l'énergie électrique fournie par les panneaux est suffisante. Les besoins quotidiens sont estimés à 0 m 3 et l'on souhaite une autonomie de cinq jours consécutifs (en cas d'ensoleillement insuffisant). Le circuit de remplissage du réservoir est représenté ci contre. Sa longueur totale est de 50 m et la canalisation a un diamètre égal à 5 cm. Le constructeur indique des pertes de charge de,8 mcf pour 00 m. D'autre part pour les pertes singulières, il conseille de rajouter 0 m de tuyau fictif pour une crépine ou un clapet, m de tuyau fictif pour un coude à 90 ou une vanne.. Calculer la taille minimale du réservoir. D'après l'énoncé, il faut 0 m 3 pour une journée et 5 jours d'autonomie, le réservoir doit donc avoir une capacité de 50 m 3.. Calculer le débit dans la canalisation de remplissage pour que le réservoir soit plein en dix heures, donner le résultat en m 3 /h puis en m 3 /s. En déduire la vitesse de l'eau dans la canalisation. Pour remplir le réservoir en 0 heures, il faut un débit q v = ΔV avec Δ=50 m 3 et Δ t=0 h ce Δ t qui donne q v =5 m 3 /h ou q v =, m 3 /s (en divisant par 3600). La vitesse v est obtenue à partir du débit et de la section S de la canalisation par v= q v S section de la canalisation S= π D ( D est le diamètre de la canalisation) d'où la vitesse :. La v = q v, π D = =0,7 m/s π Calculer les pertes de charge en mcf puis en Pa (ne pas oublier de tenir compte de tous les «accidents» de la canalisation). Pertes de charge régulières : Δ h =,8,50=,70 mcf Pertes de charge signulières : Crépine : 0 m, clapet : 0 m, coude à 90 : 3 =6 m et vannes : = m Soit Δ h =(0 +6+).,8 =0,5 mcf 00 Pertes de charge totales : Δ h=δ h +Δ h =,70+0,5=3, mcf ce qui donne Δ p=ρ g Δ h= ,=300 Pa La relation de Bernoulli pour un fluide se déplaçant d'une position vers une position en recevant une puissance P et avec des pertes de charge p s'écrit : p + ρ v +ρ g z Δ p+ P = p q + v ρ v +ρ g z avec z et z les cotes des positions et ; v et v les vitesses du fluide aux positions et ; p et p les pressions du fluide aux positions et et q v le débit volumique. Corrigé mécanique des fluides Page /9 TS ET 0 05

13 La pressions dans la partie vide du réservoir est égale à la pression atmosphérique.. Justifier les affirmations suivantes : a. les pressions à la surface de l'eau du puits et dans le réservoir sont peu différentes. La différence d'altitude entre la surface de l'eau dans le puits et celle dans le réservoir est trop petite pour avoir une influence notable sur les pressions, les deux pressions sont donc égales à la pression atmosphérique. b. la vitesse de l'eau au fond du puits est nulle. La taille du puits est suffisamment importante pour que la vitesse de l'eau soit très faible. 5. Simplifier la relation de Bernoulli et exprimer la puissance P en fonction du débit volumique, de la vitesse de l'eau dans la canalisation, de la différence d'altitude entre le puits et le réservoir, des pertes de charge et de l'accélération de la pesanteur. Calculer P. D'après ce qui précède p = p et la vitesse v de l'eau au fond du puits est supposée nulle donc ρ g z Δ p+ P = q v ρ v +ρ g z On obtient P=q v [ ρ v +ρ g(z z )+Δ p]=, [ 000 0, (50 ( 0))+300] P=, ( )=08 W 6. Le groupe motopompe utilisé a un rendement de 75%, calculer la puissance électrique nécessaire. Puissance électrique notée P e et rendement noté η : η= P P e d'où P e = P η = 08 0,75 =360 W 7. Les pertes de charge d'une canalisation de diamètre 3 cm sont égales à 9 mcf pour 00 m. Calculer la longueur fictive (tenant compte des «accidents» de la canalisation) maximale de la canalisation entre le réservoir et un utilisateur si la pression de l'eau en sortie du robinet d'utilisation doit être égale à,5 fois la pression atmosphérique pour un débit de 5 L/min. Pression à la sortie du robinet : P =,5.0 5 Pa Vitesse de l'eau à la sortie du robinet : v = q v S avec S = π D et D = 0,03 m et q v =5 L/min Conversion du débit en m 3 /s : q v = =,5.0 m 3 /s 60 D'où la vitesse v = q v,5.0 π D = =0,35 m/s π 0,03 La vitesse dans le réservoir est supposée nulle car sa section est très importante devant celle de la canalisation, la puissance reçue ou transmise par le liquide est nulle (P = 0). L'équation de Bernoulli devient p +ρ gz Δ p= p + ρ v +ρ g z D'où l'expression des pertes de charge : Δ p= p p +ρ g(z z ) ρ v Ce qui donne Δ p=0 5, (0 0) 000 0,35 =,5.0 5 Pa Pour 00 m de canalisation Δ p 00 =ρ gδ h= =90000 Pa d'où la longueur maximale de canalisation l max = Δ p Δ p 00 =, =67 m Corrigé mécanique des fluides Page 3/9 TS ET 0 05

14 Pression atmosphérique : 0 5 Pa ; masse volumique de l'eau : 000 kg/m 3 ; g = 0 m/s Exercice XVI : rendement d un ventilateur Un ventilateur à l air libre reçoit d un moteur une puissance électrique de 7 kw et produit un courant d air uniforme de vitesse 0 m/s. Le tube cylindrique de diamètre D = 0,80 m est ouvert à l air libre. La masse volumique de l air est égale à,5 kg.m 3. L'indice est utilisé pour l'entrée du ventilateur et l'indice pour la sortie.. Calculer la puissance hydraulique fournie par le ventilateur. Relation de Bernoulli : v g z p E= v gz p et z =z et p = p (pression atmosphérique). La vitesse de l'air à l'entrée du ventilateur est très inférieure à celle en sortie, la relation de Bernoulli devient E= v =.,5. 0 =000 J. m 3 La puissance hydraulique P h =E.q v et q v =v. S=v.. D. Calculer le rendement de l installation. Le rendement du ventilateur = P h P a = 0, 7 =0,7 Exercice XVII : ventilation mécanique contrôlée donc P h =E.v.. D.0,8 = =0, kw Cet exercice porte sur le dimensionnement d'une installation de renouvellement d'air : son objectif est d'extraire l'air vicié de deux salles d'un restaurant pour le remplacer par un air sain. Le nombre de renouvellements par heure préconisé est égal à 0 (le volume d'air de la pièce doit être renouvelé 0 fois par heure). Pour limiter le bruit, la vitesse de l'air dans les canalisations ne devra pas dépasser 5 m/s. Le schéma ci dessous représente l'installation : Les salles ont les dimensions suivantes : salle : hauteur sous plafond égale à 3,5 m ; longueur égale à 0 m et largeur égale à 8 m. salle : hauteur sous plafond égale à 3,5 m ; longueur égale à 0 m et largeur égale à 6 m. Les conduites de l'installation sont circulaires, le tronçon 3 a une longueur de 5 m, le tronçon une longueur de 6 m et le tronçon une longueur de m. La relation de Bernoulli pour un fluide réel s'écoulant d'un point A vers un point B s'écrit : ρ(v B v A )+ρ g(z B z A )+p B p A = P Δ p avec v Q B et v A les vitesses du fluide aux points B et A, v z B et z A, les cotes des points B et A, p B et p A les pressions statiques aux points B et A, P la puissance reçue par le fluide, Q v le débit volumique du fluide et Dp les pertes de charge. La masse volumique de l'air sera prise égale à, kg/m 3. Les pertes de charge régulières sont obtenues à partir de l'abaque de la page 5. Corrigé mécanique des fluides Page /9 TS ET 0 05

15 Les pertes de charge singulières sont obtenues par la relation du fluide et v sa vitesse. Δ p s =K ρv Pour les coudes de la canalisation, K est déterminé à partir du tableau suivant : avec r la masse volumique R/d 0,5 0,75,5 K 0,5 0,30 0,0 0,0 R est le rayon de courbure de la conduite. Le «Té» assurant la jonction entre des tronçons et avec le tronçon 3 présente un coefficient K =,. Chaque bouche d'extraction présente un coefficient K = 0,7.. Calcul des sections de conduites de l'installation a. Calculer le volume de chaque salle et en déduire les débits Q v et Q v dans les canalisations des tronçons et. Volume de la salle : V salle =3,5 0 8=560 m 3 Volume de la salle : V salle =3,5 0 6=0 m 3 L'air des salles devant être renouvelé 0 fois par heure, cela correspond à un débit Q v = 5600 m 3 /h pour la salle et Q v = 00 m 3 /h pour la salle. b. En déduire les sections S et S de ces canalisations pour que la vitesse maximale admissible ne soit pas dépassée. Le débit Q v, la vitesse v et la section S sont reliées par Q v =v.s ce qui donne S= Q v v débit doit être exprimé en m 3 /s). Pour la conduite reliée à la salle (tronçon ) : S = Q v v /3600 =5600 =0,3 m 5 (attention : le Pour la conduite reliée à la salle (tronçon ) : S = Q v v =00/3600 =0,7 m 5 c. Calculer le débit Q v3 dans la canalisation principale (tronçon 3) et en déduire sa section. Le débit dans ce tronçon est égal à la somme des débits dans les deux autres tronçons soit Q v3 =Q v +Q v = =7700 m 3 /h d'où la section S 3 = Q v3 v = 7700/3600 =0,3 m 5 Les sections calculées précédemment n'étant pas disponibles, on prendra des canalisations de diamètres D = 630 mm (tronçon ), D = 00 mm (tronçon ) et D 3 = 800 mm (tronçon 3). d. Calculer la vitesse de l'air dans le tronçon avec le diamètre de canalisation choisi. Le cahier des charges est il respecté en ce qui concerne la vitesse maximale dans cette conduite? La section est donnée par la relation S =π D d'où Le cahier des charges est respecté pour la vitesse dans cette canalisation. Pour la suite, la vitesse de l'air dans les conduites est prise égale à 5m/s. v= Q v = Q v S π D = Q v π D = 5600/3600 =,99 m/ s π 0,63 Corrigé mécanique des fluides Page 5/9 TS ET 0 05

16 . Pertes de charge pour le tronçon a. Utiliser l'abaque de la page suivante pour déterminer les pertes de charge régulières dans la conduite du tronçon. À l'intersection du débit de 5600 m 3 /h (graduation de gauche), de la droite correspondant à 5m/s et de la droite correspondant au diamètre de 630 mm, on lit sur la graduation horizontale une valeur de 0, Pa/m ce qui donne Δ p r =6 0,=, Pa pour tenir compte des six mètres de conduite. b. Le tronçon comprend deux coudes de rayons égaux à 00 cm et une bouche d'extraction. Calculer la somme des pertes singulières pour ce tronçon. Pour les deux coudes, le calcul de R/d donne R/d = 000/630 =,58 soit une valeur proche de,5 donc K c = 0,5. Pour la bouche d'extraction K b = 0,7 d'après l'énoncé. Les pertes singulières s'écrivent donc : ρv Δ p s = K c +K ρ v b =( K + K ) ρv, 5 c b =( 0,+0,7) =6,5 Pa c. Déduire de ce qui précède les pertes de charge totales Dp pour le tronçon. Elles sont égales à la somme des pertes de charge régulières et singulières soit : 3. Pression au point E Δ p =,+6,5=8,9 Pa Le point E est le point du tronçon juste avant la jonction avec le tronçon. On souhaite appliquer la relation de Bernoulli sur le tronçon pour un filet d'air partant de la salle (qui est à la pression atmosphérique) et allant à la pompe. a. Justifier que la vitesse de l'air dans la salle est supposée nulle. La section de la salle S salle est très grande devant celle de la canalisation et comme v salle. S salle =v. S (avec v salle la vitesse de l'air dans la salle) alors la vitesse de l'air dans la salle est très faible devant celle dans la canalisation. b. La conduite est horizontale, comment est modifiée la relation de Bernoulli? Les cotes z A et z B sont égales ce qui donne ρ(v B v A )+ p B p A = P Δ p. Q v c. Déduire des questions précédentes que p E = Δ p + p atm ρ v avec p E la pression au point E et p atm la pression atmosphérique. Calculer la différence entre la pression atmosphérique et p E. En remplaçant le point B par E et le point A par un point dans la salle à la pression atmosphérique (et vitesse nulle) et en se rappelant qu'il n'y a aucune «machine» (pompe ou turbine) sur le tronçon, on obtient ρ v + p E p atm = Δ p soit en isolant p E : p E = p atm Δ p ρ v ce qui correspond à la relation proposée. p atm p E =Δ p + ρ v =7,9+, 5 =,9 Pa. Puissance de la pompe La pression en sortie du «Té» de jonction des tronçons et avec le tronçon 3 est de 70 Pa en dessous de la pression atmosphérique, les pertes de charge dans le tronçon 3 sont égales à 5 Pa. Cette conduite est horizontale. a. Quelle est la vitesse de l'air à travers la pompe? Elle est égale à la vitesse de l'air dans la conduite. Corrigé mécanique des fluides Page 6/9 TS ET 0 05

17 b. Déterminer la puissance de la pompe (l'air à sa sortie est à la pression atmosphérique). La relation de Bernoulli devient p p p 3 = P Q v Δ p 3 (indice «p» pour la pompe et «3» pour la sortie du «Té») soit P=(p p p 3 +Δ p 3 )Q v =(70+5)7700/3600=8 W Abaque pour la détermination des pertes de charge dans les conduites («velocidad del aire» signifie «vitesse de l'air») Corrigé mécanique des fluides Page 7/9 TS ET 0 05

18 Exercice XVIII. Calculer le diamètre des pales d'une hydrolienne dont la puissance maximale est égale à MW placée dans un courant marin de trois noeuds. La masse volumique de l'eau est égale à 000 kg.m 3. Un nœud correspond à un mille marin par heure et un mille est égal à 85 m. On utilise la relation P= 6 7 ρ S v3 avec ρ la masse volumique de l'eau, S la surface balayée par les pales de l'hydrolienne ( S= π D avec D le diamètre) et v la vitesse de l'eau qu'il faut convertir en m/s. La relation P= 6 7 ρ S v3 devient P= 6 7 ρ π D v3 qui donne D= 7 P. 6ρ π v 3 La vitesse v= =,5 m/s d'où D= π,5 3 =8,5 m. En 0, la parc d'éoliennes français a produit,9 TWh d'énergie électrique pour une puissance installée de 79 MW (source Calculer le facteur de charge (rapport entre la production annuelle effective et ce qui aurait pu être produit au maximum sur un an) du parc éolien français. La production maximale correspond à la puissance maximale h sur pendant 366 jours (0 est une année bissextile) ce qui donne W max = =, MWh soit,98 TWh. Le facteur de charge est donc Exercice XIX,9,98 =0,35 Un constructeur d'éolienne annonce une puissance électrique de 5 MW pour une éolienne de 6 m de diamètre lorsque la vitesse du vent est égale à 3 m/s (rated speed). La vitesse du vent pour que l'éolienne démarre (cut in wind) est égale à 3,5 m/s. Si la vitesse du vent dépasse 30 m/s, l'éolienne est arrêtée. En fonctionnement normal, la vitesse du moyeu est comprise entre 6,9 et, tr/min ; celle de la génératrice électrique est comprise entre 670 et 70 tr/min.. Calculer les facteurs de correction de puissance pour la vitesse minimale et pour la vitesse maximale. On note P 0 et P e les puissances «éolienne» et électrique. Le coefficient de correction de puissance C p est tel que P e =C p. P 0. La puissance P 0 est donnée par la relation P 0 =.. S. v 3 par le rotor, v la vitesse du vent «avant» l'éolienne et ρ la masse volumique de l'air. S=. d avec d = 6 m le diamètre du rotor donc P 0 =.d... v 3 Coefficient de correction de puissance : C p = = 8P e. d 3..d 3.v...v À la vitesse nominale : C p =,5. π.6 3 3=0,9 À la vitesse maximale : C p =,5. π =0,038 P e avec S la surface balayée. Calculer le moment du couple sur l'arbre de la génératrice si la vitesse de rotation est maximale et le rendement de la génératrice égal à 95%. Le moment du couple est donné par C= P m avec P m la puissance sur l'arbre (mécanique). Les puissances Corrigé mécanique des fluides Page 8/9 TS ET 0 05

19 mécanique (absorbée) et électrique (utile) sont reliées par C= P e. = =3 kn.m..70 0, La masse volumique de l'air est prise égale à,5 kg.m 3. Exercice XX = P e P m avec η le rendement.. L'éolienne dont la caractéristique est représentée ci dessous a un rotor de diamètre égal à 90 m (Extrait de la documentation de l'éolienne Nordex N90/500LS). a. Quelle est sa puissance nominale? À quelle vitesse de vent cette puissance est elle atteinte? D'après le graphique, la puissance nominale est égale à 500 kw (soit,5 MW). Cette puissance est atteinte pour des vents dont la vitesse est supérieure à m/s (soit 50 km/h). b. Calculer le facteur de correction de puissance pour des vitesses de vent égales à 7 m/s, 5 m/s et m/s. Comparer les valeurs obtenues avec les indications du constructeur. Pour 7 m/s, la puissance donnée par le constructeur est de 580 kw. La puissance du vent est donnée par P 0 = ρ S v3 = π ,5 73 =36 kw soit un facteur de correction =0,5 qui est 36 cohérent avec la valeur donnée par le constructeur. Pour 5 m/s, la puissance donnée par le constructeur est de 500 kw. La puissance du vent est donnée par P 0 = ρ S v3 = π 90, =39 kw soit un facteur de correction =0,86 qui est 39 cohérent avec la valeur donnée par le constructeur. Pour m/s, la puissance donnée par le constructeur est de 500 kw. La puissance du vent est donnée par P 0 = ρ S v3 = π 90, =337 kw soit un facteur de correction =0,059 qui 337 est cohérent avec la valeur donnée par le constructeur. Le facteur de correction est ajusté en modifiant l'orientation des pales, la surface «utile» est diminuée lorsque le vent augmente. Corrigé mécanique des fluides Page 9/9 TS ET 0 05