Jean-Jacques Calmelet IEN de Marcq en Baroeul Mathématiques

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1 Jean-Jacques Calmelet IEN de Marcq en Baroeul Mathématiques Nombre et calcul - Nombre, numération, dénombrement. - Faits numériques - Procédures - Techniques opératoires - Calculatrice 1

2 Distinguer dénombrement et calcul : ce n est pas un «saut» naturel GLASERSFELD L aperception globale est liée à une opération unifiantequi participe à la construction de l unité Les patrons figuraux (fingers stratégies) Le calcul n est pas une mentalisation du comptage. (vers 2/3ans, les «mots» des petites quantités indépendamment des dispositions spatiales, seraient liées à des patrons figuraux) Les «faits numériques» C est en mémoire Les procédures spécifiques de calcul mental C est un apprentissage progressif et structuré 2

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9 Du nombre à la numération 9

10 - Numération : des passages incontournables Situations d échanges (travail sur l écriture chiffrée du nombre) : «jeu du banquier» Situation de groupements (de très nombreux objets à dénombrer : des «paquets») Articulation groupements/échanges (nombre de dizaines ) : calcul ou numération? (carnets de 10 : 260 timbres, 238 timbres ) Point de vue algorithmique (écrit) Lien numération orale / numération de position (combien de chiffres, combien de mots?) Du dénombrement à la numération : On n abandonne pas facilement les connaissances qui ont fait leurs preuves 10

11 CP : du nombre à la numération

12 CP : du nombre à la numération

13 explorer les règles numération orale / chiffrée régularités / irrégularités du système o Enseigner la numération orale (au-delà de la dictée de nombres) Dictionnaire des nombres dès le CP Cartes des chiffres (combien )/ Cartes des mots (combien ) Ex. deux compteurs à faire fonctionner en parallèle 7 0 soixante dix 7 1?? Simuler un «compteur manuel» (cartes à changer pour écrire le prédécesseur, n+10, n+100) trois cent vingt Combien de chiffres / combien de mots ( ) 13

14 p43 - matériel «groupements» / matériel «échanges» 1. Groupements (quantité dénombrement) o Bâtonnets et élastiques sachets transparents cubes, barres plaques 2. Echanges (numération - calcul) o Jetons de couleur / monochromes o Plaques identiques avec valeurs (monnaie) o Abaques o Bouliers chinois Pas de «dépendance» à unereprésentation, un matériel 14

15 Mémoriser les «faits numériques»

16 Enseigner les tables! 2 x 3 = 6 3 x 3 = 9 4 x 3 = 12 5 x 3 = 15 6 x 3 = 18 7 x 3 = 21 8 x 3 = 24 9 x 3 = x 3 = 30 2x 3 = 6 3 x 3 = 9 4x 3 = 12 5 x 3 = 15 6x 3 = 18 7 x 3 = 21 8x 3 = 24 9 x 3 = x 3 = 30 Doubles : 2 x 3 = 6 4 x 3 = 12 8 x 3 = x 3 = x 3 = 60 Triples : 3 x 3 = 9 9 x 3 = 27 2 x 3 = 6 6 x 3 = x 3 = 90 16

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19 Exemple d un outil d élève : table en cours d apprentissage au CP ou CE1 (seul les résultats «résistants» apparaissent)

20 Interroger sur les tables (addition) : Alterner : Oral(sans écrit) Ecrit(sans oral) 6 + 7? + 7 = 13 et? + 6 = et ? = 7 et 13 -? = 6 Combien manque-t-il à 6 (ou 7) pour aller à 13 Complète 6 (ou 7) pour arriver à 13 Enseigner les analogies :

21 Interroger sur les tables (multiplication) : Alterner : Oral(sans écrit) Ecrit(sans oral) 2 x 7? x 7 = 14 et 2 x? = : 2 (dès le CE1) et 14 : 7 En 14 combien de fois 2 (de fois 7) 20 x 7 2 x : 2 Suite des nombres de en (croissante, décroissante) QCM 2 x 7 = 9? 14? 5? 21

22 Apprendre le calcul mental : des procédures Paradoxe de l automatisation : calculer = =55+7= = =50+12= = =50+12= = =60+2= = =2+60= = =65-3=62 Quel automatisme? Connaissances mobilisées Coût en mémoire Coût en calcul?? Algorithme écrit = Algorithme mental «Poser dans sa tête» / apprendre des procédures spécifiques Calculer par la droite / calculer par la gauche Recours à un ensemble de procédures installées en mémoire Mobilisation quasi systématique d une seule procédure 22

23 Enseigner le calcul mental : Une semaine sur la procédure 1 Une semaine sur la procédure 2 ADAPTATION Une semaine où l élève a le choix de l utilisation 23

24 Une séquence d enseignement du calcul mental : exemple : complément à 100 semaine 1: automatiser le passage par la dizaine supérieure dans l'addition semaine 2: automatiser la décomposition dans la soustraction Semaine 3 : choix des procédures Consigne : calculer l écart entre 48 et 100 semaine 1 : Semaines 1 et 2 : une séance longue (on découvre, on repère, on formalise) ; trois séances courtes, on entraîne sous des formes variées Modélisation sous forme d écriture symbolique: = 100 semaine 2 : = soit = = 52 semaine 3 : choix entre une ou l autre des procédures On pourra montrer que : - la soustraction plus pratiques pour retirer des «petits nombres» -le complément (procédure additive) est plus indiqué avec les plus grands nombres 52 EDUSCOL : aide personnalisée CE1-mathématiques Étapes suivantes : Écart 90 / 129 Ecart 87 /

25 Aide personnalisée en mathématiques 25

26 JJC2 26

27 Diapositive 26 JJC2 CALCUL MENTAL: L'ajout et le retrait : même champ conceptuel Enlever peu / enlever bcp : incidence sur les représentations mentales et opérations mentales CALCUL POSE: La + et la - étudiées quasi simultanément On n'attend pas d'avoir maîtrisé l'une pour passer à l'autre! Les choix de techniques et de langue dans la technique de la soustraction (cycle 2 et 3) JJCalmelet; 23/11/2007

28 Repères pour le calcul mental D Butlen«Le nombre au cycle 2» Compléter à 10 à la dizaine supérieure Compléter à 100 à la centaine supérieure Trouver le complément quand il s agit de 10, multiples de 10, 100 Ajouter, retirer 10, 100 Calculer des additions en ligne Décomposition additive d un nombre Exprimer un nombre en faisant intervenir la dizaine ou centaine supérieure Compléter des égalités de type : =

29 Apprentissage de l approximation : Le calcul posé Différer le papier/crayon Techniques : retour à la numération (arrondi/ troncature) Ce que veut le maître Ce que fait l élève

30 Les techniques opératoires «Il est essentiel de fixer une technique de calcul et de s y tenir durablement.» Exemple : Exemple : trois manières de poser ( ) trois manières de poser ( ) 29

31 Quelques repères - rappels : Séances courtes / séance longue o Emploi du temps Reprises régulières o Entraînement : variété brassage Ecrits formalisés (procédures) Interrogations (orales/ écrites) o Ardoise ou cahier o Corrections? Mises en commun? Une technique opératoire durable 30

32 Des entiers au décimaux : RAPIDEMENT au CM1 : des fractions aux décimaux Situation de découverte sans lien avec les mesures Une rupture importante avec tous les apprentissages antérieurs DEBUT DU CM2 : tout le travail du calcul se reprend avec les décimaux On ne diffère pas en attendant que les naturels soient «acquis»(?) La notion : la densité Les écritures : 6,23 = 6 + 0,2 + 0,03 ou 6,23 = 6 + 2/10 + 3/100 = /100 31

33 Des entiers aux décimaux CONSOLIDATION : Enseigner les décimaux sous forme de fractions décimales ; 14/10 = 1 + 4/10 = 1,4 Associer longtemps l écriture décimale et l écriture fractionnaire retour constant aux fractions 2,34 = 2 + 3/10 + 4/100 faire oraliser les dixièmes, centièmes Préférer «deux virgule trente quatre centièmes» à «2,34» Difficultés les plus courantes : dans la liste entoure les écritures qui représentent 14/ , /10 1,04 1,4 0,14 de 6,9 et de 7,08 quel est le nombre le plus proche de 7 Eviter la formulation trop rapide de «règles» : mise au «gabarit» dans les opérations, dans les calculs multiplication et division par 10, 100 et