Propriétés électriques des semiconducteurs

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1 Chapitre 1 Propriétés électriques des semiconducteurs De nombreux composants électroniques mettent à profit les propriétés de conduction électrique des semiconducteurs. Ce chapitre décrit comment un semiconducteur conduit un courant électrique et en quoi il se distingue d un métal. L influence de la température et celle de la concentration des impuretés sur la résistivité électrique sont également abordées. 1.1 Définition des semiconducteurs Notion de résistivité électrique Considérons un fil métallique de longueur l et de section droite S, parcouru par un courant continu d intensité I. D après la loi d Ohm, la différence de potentiel V apparaissant entre les bornes du fil vaut V = R I, (1.1) où R, la résistance du fil, dépend de l et S, du matériau constituant le fil, mais ne dépend ni du courant I, ni de la tension V. Pour caractériser la conduction électrique du fil, il est utile d introduire une quantité physique propre au matériau, c est-à-dire une quantité qui ne dépend pas de la géométrie du fil. Cette quantité est la résistivité électrique ρ, elle apparaît dans la relation entre le champ électrique E en un point du matériau et la densité du courant électrique en ce même point : E = ρ J. (1.2) 1

2 2 Propriétés électriques des semiconducteurs Cette relation, appelée loi d Ohm locale, est souvent exprimée en termes de la conductivité électrique σ σ 1 ρ J = σ E. (1.3) Rappelons que la densité de courant J est un vecteur : son intensité mesure la quantité de charges électriques traversant, par unité de temps, une section droite du fil métallique; J est parallèle à la vitesse des charges. Ainsi, J = I S. (1.4) Etablissons à présent la relation entre R et ρ. Pour un fil de longueur l, la chute de potentiel V s écrit V = E l. Par conséquent, les éqs. (1.1) et (1.4) donnent E l = R J S. En éliminant E à l aide de l éq. (1.2), on obtient R = ρ l S. (1.5) Cette relation est connue sous le nom de loi de Pouillet. Elle exprime la résistance du fil en termes d une grandeur propre au matériau, la résistivité ρ, et de ses dimensions géométriques, l et S. Unités : Grandeur unité(s) symbole(s) I Ampère A V Volt V R Ohm Ω E Volt par mètre V/m J Ampère par mètre carré A/m 2 ρ Ohm mètre Ω m σ emens par mètre S/m Résistivité des semiconducteurs Nous avons pris comme exemple un fil métallique, mais la notion de résistivité électrique peut être généralisée à de nombreux matériaux. Les matériaux employés en électronique sont classés en trois catégories. La première catégorie contient les métaux, qui sont de très bons conducteurs électriques et ont par conséquent une résistivité électrique faible, typiquement ρ 10 6 Ω cm. Une deuxième catégorie regroupe les isolants, dont la résistivité électrique est très grande et peut atteindre Ω cm. On trouve des valeurs

3 1.1 Définition des semiconducteurs 3 intermédiaires de ρ pour les semiconducteurs, dont la résistivité varie typiquement entre 10 3 et 10 9 Ω cm. Remarquez que la résistivité électrique des semiconducteurs couvre un domaine de près de douze ordres de grandeurs! Dans ce chapitre, nous nous intéressons aux matériaux capables de conduire un courant électrique d intensité appréciable (typiquement le ma). Dès lors, nous nous concentrons sur les métaux et les semiconducteurs. Deux propriétés distinguent ces matériaux : 1. sur une gamme importante de la température, incluant la température ambiante (T = 300 K), la résistivité électrique des métaux augmente avec T alors que celle des semiconducteurs diminue si T augmente; 2. la résistivité électrique des semiconducteurs peut varier de façon considérable en fonction de la concentration en impuretés. Cette dernière propriété est d un intérêt fondamental pour la technologie, car la concentration des impuretés peut être contrôlée lors de la fabrication des composants électroniques. C est le dopage dont nous parlerons dans la section Semiconducteurs usuels Les semiconducteurs usuels sont essentiellement constitués d éléments de la colonne IV et des colonnes voisines du tableau périodique de Mendeleev. On en distingue plusieurs types : les semiconducteurs élémentaires sont des cristaux constitués d un seul élément chimique. On rencontre des structures cristallines dites simples si l élément constituant est de la colonne IV 1. Les deux éléments les plus importants pour l électronique sont le silicium () et le germanium (Ge), qui se cristallisent en engageant des liaisons covalentes. Le premier est l élément le plus utilisé dans l industrie des composants. Le germanium, quant à lui, a été largement utilisé lors de fabrication des premières diodes et des premiers transistors, mais a été ensuite remplacé par le silicium. Il est néanmoins utilisé dans quelques applications (détection infrarouge, hétérostructures,...). On rencontre également des semiconducteurs dits élémentaires complexes comme le sélénium (Se, colonne VI), notamment employé pour ses propriétés photovoltaïques. Cet élément se cristallise selon une structure différente de celle du, mais toujours avec des liaisons à prédominance covalente. Les semiconducteurs composés sont constitués de plusieurs éléments. Par exemple, les composés binaires peuvent être constitués de deux éléments distincts de la colonne IV (C, Ge), d éléments des colonnes III et V (composés III-V tels que le GaAs et le GaN) ou encore des éléments des colonnes II et VI (composés II-VI tels que le ZnS et le CdS). Les composés GaAs, GaP et GaN sont fréquemment utilisés 1 Tous les cristaux constitués d éléments de la colonne IV ne sont pas semiconducteurs à la température ambiante : le carbone (sous la forme cristalline du diamant) est un isolant et le plomb est un métal.

4 4 Propriétés électriques des semiconducteurs dans la fabrication de diodes électroluminescentes. Enfin, on peut également trouver des alliages de types ternaire (AlGaAs) et quaternaire (GaInAsP), employés par exemple dans la fabrication de diodes lasers. Ces matériaux sont des semiconducteurs solides inorganiques. On peut également rencontrer des semiconducteurs organiques, notamment utilisés pour la fabrication d écrans souples. 1.2 Conduction électrique dans les métaux Prenons comme exemple d un très bon conducteur électrique un fil de cuivre. Par quels processus microscopiques un courant continu peut-il s écouler dans ce fil? Comment la température influence-t-elle ces processus? En 1900, le physicien allemand Paul Drude a proposé un modèle de la conduction électrique dans les solides qui s applique relativement bien aux métaux. Ce modèle s inspire de la théorie cinétique des gaz et considère que les électrons participant à la conduction électrique se déplacent dans un volume occupé par des ions immobiles chargés positivement. La dynamique des électrons est régie par trois hypothèses : 1. un électron donné subit des collisions qui sont instantanées et qui modifient sa vitesse de déplacement de façon abrupte, 2. entre deux collisions, un électron donné ne subit pas l influence du cristal, 3. les électrons, au travers des collisions, atteignent un état d équilibre. Le mouvement incessant qui en résulte, l agitation thermique, s intensifie si la température augmente. Cette dynamique nous permet de comprendre l action du champ électrique Champ électrique nul En l absence d un champ électrique, les vecteurs vitesse des électrons ont des directions et des intensités réparties aléatoirement; les collisions modifient celles-ci de façon aléatoire. Ainsi, en dépit du mouvement d agitation thermique, le courant net transporté par les électrons est nul. Par exemple, la figure 1.1 montre la trajectoire suivie par un électron donné ayant subi trois collisions. Celles-ci ne conduisent pas à un déplacement total important. On peut facilement s imaginer que si l on suit le mouvement d un grand nombre d électrons, le déplacement net de chaque électron étant faible et s effectuant dans une direction arbitraire, le déplacement de l ensemble des électrons est nul en moyenne.

5 1.2 Conduction électrique dans les métaux E = 0 Fig. 1.1 Trajectoire suivie par un électron subissant trois collisions, en l absence d un champ électrique Champ électrique non nul Champ E x Fig. 1.2 Trajectoire suivie par un électron subissant trois collisions, en présence d un champ électrique. La trajectoire en pointillés est celle de la fig Supposons à présent qu un champ constant E est appliqué dans la direction ˆx (ˆx est un vecteur unitaire), c est-à-dire E = E x ˆx avec E x > 0. La figure 1.2 montre la trajectoire suivie par un électron subissant le même nombre de collisions qu à la fig. 1.1, cette fois en présence du champ E. Entre chaque collision, l électron est accéléré par la force de Coulomb s il se déplace vers les x négatifs (mouvements 1, 2 et 3), et est freiné lorsqu il se déplace vers les x positifs (mouvement 4). Dans l ensemble, l électron est entraîné

6 6 Propriétés électriques des semiconducteurs par le champ électrique vers les x négatifs et gagne de l énergie cinétique. Par contre, à chaque collision, l électron subit un choc et cède une partie de son énergie cinétique au cristal. Suivons à présent un grand nombre d électrons. Après un temps suffisamment long, les gains et les pertes individuels d énergie cinétique se compensent en moyenne. Le groupe d électrons se déplace alors avec une vitesse moyenne constante dans la direction opposée à celle de E. Pour modéliser ce comportement, Drude a fait l hypothèse qu un électron donné subit des collisions à un taux 1/τ, où τ est le temps de relaxation. En d autres mots, τ représente le temps moyen qui s écoule entre deux collisions. L équation du mouvement d un groupe constitué d un grand nombre d électrons s écrit alors dv x dt = e m E x v x τ, (1.6) où v x est la vitesse moyenne de déplacement, e = C est la charge électrique de l électron et m = kg est sa masse. Le premier terme du membre de droite de l éq. (1.6) représente l accélération due à la force de Coulomb (ce terme est exact) et le deuxième terme, qui ressemble à une force de friction, modélise l effet des collisions (ce terme est une approximation, un modèle). Nous venons d argumenter qu après un temps suffisamment long, c està-dire t τ, les effets du champ électrique et des collisions se compensent en moyenne. On atteint alors un régime stationnaire avec dv x /dt = 0 et v x constante. De l expression (1.6), on obtient la vitesse moyenne Cette relation est parfois écrite sous la forme v x = eτ m E x. (1.7) v x = µ E x (1.8) où µ = eτ/m est la mobilité des électrons dans le métal. La densité du courant électrique transporté par les électrons s écrit (voir appendice A) J x = nev x, (1.9) où n est la densité des électrons. En éliminant v x au moyen de l éq. (1.7) et en exprimant la loi d Ohm J x = σ E x, nous obtenons finalement σ = ne2 τ m. (1.10)

7 1.3 Semiconducteurs intrinsèques 7 L ordre de grandeur de la densité n mérite quelques explications. Nous allons suivre Drude et supposer que lors de la formation d un cristal métallique, chaque atome libère Z électrons de valence dans le volume du cristal; les atomes dépourvus de leurs Z électrons sont alors des ions de charge positive +Z. Les électrons libérés peuvent se déplacer librement dans le cristal. Ce sont des porteurs libres, capables de véhiculer un courant électrique. Les ions, quant à eux, sont ancrés au réseau cristallin et ne conduisent pas le courant électrique. Dans le cas du cuivre, ce modèle est suffisant pour expliquer les effets de la température sur ρ. Pour le cuivre, nous prendrons Z = 1. Estimons la densité n. Etant donné que la densité de masse du cuivre solide vaut ρ m = 8.94 g cm 3 et que la masse atomique de l élément Cu vaut A = g, la densité des électrons de conduction est égale à n = Z n Cu = Z N A ρ m A cm cm 3, (1.11) où n Cu est la densité des atomes de cuivre et N A = atomes/mole est le nombre d Avogadro. Regardons à présent l effet d une augmentation de la température sur ρ. La densité n varie peu avec T. Par contre, une augmentation de T conduit à des collisions plus fréquentes. Les théories modernes de l état solide nous indiquent en effet que ces collisions ont essentiellement lieu avec les vibrations thermiques du réseau des atomes de cuivre, qui s intensifient avec T. Dès lors, si T augmente, le temps de relaxation τ diminue et, en vertu de l éq. (1.10), σ diminue. La conduction électrique est plus difficile et la résistivité ρ = 1/σ augmente. 1.3 Semiconducteurs intrinsèques Porteurs de charges Considérons un cristal de silicium de très grande pureté, qualifié de semiconducteur intrinsèque. Les atomes constitutifs ont quatre électrons périphériques. La couche de valence peut en contenir huit (comme l argon), elle n est donc pas saturée. Dans le cristal, un atome donné met ses électrons en commun avec les quatre atomes voisins pour établir des liaisons covalentes. Une liaison résulte ainsi de la mise en commun de deux électrons issus de deux atomes voisins. Les électrons sont attirés par les deux noyaux et sont donc liés. (Approximativement, on peut dire que dans le cristal, un atome donné est entouré de huit électrons liés, ce qui sature sa couche de valence). La structure cristalline du silicium est illustrée à la fig La densité des atomes du cristal peut être évaluée par un raisonnement similaire à celui qui a conduit à l éq. (1.11). On a n cm 3, soit le même ordre de grandeur que celui de la densité des atomes d un fil de cuivre.

8 8 Propriétés électriques des semiconducteurs Fig. 1.3 Structure cristalline du silicium. Les sphères représentent les atomes de silicium et les segments de droite représentent les liaisons covalentes. Le paramètre de maille a vaut a 5.5 Å. A une température proche du zéro absolu, les quatre électrons de valence des atomes participent aux liaisons covalentes. Aucun électron n est disponible pour la conduction électrique. Le cristal est alors un isolant électrique. Lorsque la température augmente, certaines liaisons se brisent et libèrent des électrons dans le cristal, ceux-ci deviennent des porteurs de charge libres. La concentration des électrons libérés à la température T est appelée la concentration intrinsèque n i (T), et varie de la façon suivante avec la température : n i (T) = B T 3/2 e Eg/(2kT), (1.12) où B est une constante propre au matériau, E g est l énergie du gap et k = J/K est la constante de Boltzmann. Pour le silicium, B = cm 3 K 3/2 et E g = 1.12 ev. A la température ambiante (T = 300 K), cela donne n i cm 3, ce qui représente seulement une paire brisée sur 10 13! Les électrons libérés ne sont pas les seuls porteurs de charge participant à la conduction électrique. L ensemble des électrons de valence (c està-dire ceux participant aux liaisons covalentes) peut également véhiculer un courant. A chaque fois qu un électron est libéré d une liaison, il laisse derrière lui une vacance électrique appelée trou, dont la charge électrique est égale et opposée à celle de l électron. On peut montrer que le mouvement collectif des électrons de valence (en concentration de l ordre de cm 3 ) peut être décrit par celui de l ensemble des trous (en concentration n i, donc beaucoup

9 1.3 Semiconducteurs intrinsèques 9 plus faible). De ce point de vue, les trous peuvent être assimilés à des porteurs de charge indépendants et distincts des électrons de conduction Diagramme de bandes d énergie La situation peut être résumée au moyen du diagramme de bandes d énergie illustré à la fig Celle-ci montre les niveaux énergétiques que peuvent occuper les électrons périphériques issus des atomes du cristal. Les niveaux sont répartis en deux bandes : la bande inférieure, appelée bande de valence est réservée aux électrons participant aux liaisons covalentes; la bande supérieure, ou bande de conduction, est occupée par les électrons de conduction. Les bandes sont séparées par une région inoccupée appelée bande interdite, dont la largeur correspond à l énergie du gap E g, cf. éq. (1.12). Au zéro absolu de la température, les électrons participent tous E E g bande de conduction T 0 bande de valence E T > 0 (a) (b) Fig. 1.4 Diagramme de bandes d énergie du silicium. Vue (a) : à la température zéro, la bande de valence est totalement occupée (en grisé), la bande de conduction est vide (en clair). Vue (b) : pour T > 0, un certain nombre d électrons de valence sont excités vers les niveaux de conduction et laissent derrière eux des vacances de charge positive, dans la bande de valence. aux liaisons covalentes et occupent la bande de valence, cf. fig. 1.4 (a). La bande de conduction est vide et le matériau ne peut conduire un courant électrique. Lorsque la température augmente, des paires électron-trou sont générées : plusieurs électrons de la bande de valence gagnent de l énergie et transitent vers la bande de conduction. Les vacances de charge résultantes dans la bande de valence correspondent aux trous, cf. fig. 1.4 (b). Sous l action d un champ électrique, les électrons de conduction peuvent gagner de l énergie cinétique : ils transitent alors, au sein de la bande de conduction, vers des niveaux

10 10 Propriétés électriques des semiconducteurs d énergie E plus élevés. Les trous peuvent également gagner de l énergie cinétique en transitant au sein de la bande de valence. Notez que le processus inverse à la génération thermique de paires existe également : un électron et un trou peuvent subir une recombinaison, au cours de laquelle l électron transite de la bande de conduction à la bande de valence pour aller combler une vacance de charge dans la bande de valence. La différence d énergie entre le niveau initial et le niveau final est restituée au cristal sous forme de chaleur ou de rayonnement. A titre de comparaison, un diagramme des bandes d énergie simplifié du cuivre est illustré à la fig Dans ce cas, les électrons périphériques issus des atomes de cuivre occupent la bande supérieure, qui est partiellement remplie. Ces électrons sont disponibles pour la conduction électrique. E bande de conduction T 0 bande inférieure Fig. 1.5 Diagramme de bandes d énergie (simplifié) d un métal montrant les dernières bandes, la bande de conduction étant partiellement occupée Conductivité électrique Sous l application d un champ électrique E = E x ˆx, le courant électrique est transporté à la fois par les électrons et par les trous. A une température T donnée, les deux types de porteurs sont animés d une agitation thermique et subissent des collisions (à température ambiante, les collisions sont essentiellement provoquées par les vibrations thermiques du réseau). Ces deux mécanismes s équilibrent, ce qui conduit, à l instar des électrons du métal, à une situation où les porteurs se déplacent avec des vitesses moyennes constantes : v n pour les électrons et v p pour les trous. Pour des champs électriques modérés (typiquement, E < 10 4 V cm 1 ), les vitesses sont proportionnelles à l intensité du champ électrique : v n = µ n E x, (1.13) v p = µ p E x. (1.14)

11 1.4 Semiconducteurs extrinsèques 11 Le coefficient µ n est la mobilité des électrons et µ p est la mobilité des trous. Celles-ci diminuent si les collisions sont plus fréquentes. Pour le silicium à température ambiante, on a µ n = 1350 cm 2 V 1 s 1 µ p = 480 cm 2 V 1 s 1. (1.15) La densité de courant électrique totale comporte une contribution de chacun des deux types de porteurs libres : J x = J n + J p, (1.16) J n = e n v n = e µ n n E x, (1.17) J p = e p v p = e µ p p E x, (1.18) où n et p représentent les concentrations des électrons de conduction et des trous et où les éqs. (1.13) et (1.14) ont été utilisées pour éliminer les vitesses. La conductivité a donc pour expression σ = J x E x = e (µ n n + µ p p), (1.19) qui, dans le cas d un semiconducteur intrinsèque se réduit à σ = e n i (µ n +µ p ). Nous avons à présent tous les éléments nécessaires pour comprendre l influence de la température sur la résistivité d un semiconducteur intrinsèque. La concentration de chaque type de porteurs libres est n = p = n i (T). la température augmente, les collisions sont plus fréquentes, ce qui se traduit par une diminution des mobilités µ n et µ p. Par ailleurs, une augmentation de T entraîne également la génération de paires électron-trou en nombre important : remarquez que le terme exponentiel dans le membre de droite de l éq. (1.12) conduit à une augmentation considérable de n i (T) avec T. L augmentation de n et p (tous deux égaux à n i ) l emporte largement sur la diminution des mobilités. Par conséquent, la conductivité électrique augmente et ρ diminue si T augmente. 1.4 Semiconducteurs extrinsèques L introduction d impuretés dans un semiconductuer peut considérablement modifier les populations de ses porteurs de charge, et par conséquent, la résistivité électrique. Ceci est d un intérêt fondamental pour la technologie des semiconducteurs, car il est possible de couvrir pratiquement tout la gamme de résistivité s étendant des isolants aux métaux en contrôlant la concentration en impuretés.

12 12 Propriétés électriques des semiconducteurs D une façon générale, on parle de semiconducteur extrinsèque quand les populations des électrons et des trous sont contrôlées par les impuretés. A l opposé, un semiconducteur est qualifié d intrinsèque si les électrons et les trous sont essentiellement générés par voie thermique Dopage Deux types de dopage sont possibles : par donneurs ou par accepteurs. Considérons par exemple un cristal hôte de silicium (valence IV) dans lequel 5 e électrons As noyau immobile chargé positivement Fig. 1.6 Représentation schématique de la substitution d un atome d arsenic à un atome de silicium. on introduit des atomes de valence V, par exemple des atomes d arsenic. Dans le cristal, un atome d arsenic peut se substituer à un atome de silicium et engager des liaisons covalentes avec ses quatre voisins. L atome d arsenic étant de valence V, il lui reste un électron qui ne participe pas aux liaisons. L énergie de liaison de cet électron avec l arsenic est faible; à la température ambiante, le cinquième électron est libéré de son atome parent. Il occupe alors un niveau de la bande de conduction. L arsenic est chargé positivement, c est un ion As +, voir fig Le dopage par atomes d arsenic conduit donc à un apport d électrons de conduction. On parle de dopage par atomes donneurs et d un semiconducteur de type n. Le second type de dopage conduit au contrôle de la population des trous. Considérons par exemple l insertion d un atome de bore dans un cristal de silicium. L atome de bore, se substituant à un atome de silicium, établit des liaisons covalentes avec ses quatre voisins. Le bore ne possédant que trois

13 1.4 Semiconducteurs extrinsèques 13 vacance de charge B noyau immobile chargé négativement Fig. 1.7 Représentation schématique de la substitution d un atome de bore à un atome de silicium. électrons de valence, une des liaisons n est pas saturée ce qui conduit à un déficit d électron. A la température ambiante, l électron manquant est facilement cédé par une liaison voisine, ce qui crée un trou dans la bande de valence. L atome d impureté est à présent entouré d un électron supplémentaire par rapport à sa configuration élémentaire : le bore est devenu un ion B, chargé négativement, voir fig Ce type de dopage entraîne l augmentation de la concentration des trous dans la bande de valence. On parle de dopage par atomes accepteurs et d un semiconducteur de type p. Notez qu un atome d impureté donné joue le rôle de donneur ou d accepteur selon qu il possède une valence supérieure ou inférieure à celle des atomes du cristal hôte. Le type de dopage obtenu est donc conditionné à la fois par les éléments introduits et par les éléments du cristal hôte Populations des porteurs de charge dans le régime extrinsèque Les populations des porteurs de charge sont régies par deux équilibres : 1. l équilibre entre la création et la recombinaison de paires électron-trou, qui est exprimé par la loi d action des masses, n p = n 2 i = B2 T 3 e Eg/kT, (1.20) où n et p sont respectivement les densités volumiques des électrons et des trous;

14 14 Propriétés électriques des semiconducteurs 2. l équilibre électrique (ou neutralité électrique), qui conduit à la relation p + N d = n + N a, (1.21) où N a et N d représentent les concentrations en atomes accepteurs et donneurs ionisés. Prenons l exemple du silicium dopé à la température ambiante avec des atomes d arsenic en concentration N d = cm 3 (nous supposons que N a = 0). A la température ambiante, la majorité des atomes d arsenic sont ionisés. Etant donné que N d n i = cm 3, les électrons issus de l ionisation des donneurs sont beaucoup plus nombreux que ceux générés thermiquement. Par ailleurs, les trous ne pouvant être créés que par génération thermique, leur concentration est largement inférieure à celle des électrons. Avec N a = 0 et n p, l éq. (1.21) donne alors et, de l éq. (1.20), on obtient n N d, (1.22) Numériquement cela donne, p = n2 i n n2 i N d. (1.23) n cm 3, (1.24) p 10 4 cm 3. (1.25) Dans ce cas, les électrons sont appelés les porteurs majoritaires et les trous sont les porteurs minoritaires. A l opposé, considérons le dopage à la température ambiante d un cristal de silicium par des atomes accepteurs en concentration N a = cm 3 (avec N d = 0). A présent, en suivant un raisonnement similaire à celui de l exemple précédent, les trous sont majoritaires (p cm 3 ) et les électrons sont minoritaires, (n 10 4 cm 3 ). Gardons bien à l esprit que le dopage n est effectif que lorsque N d ou N a est très supérieur à n i. Ainsi, à haute température, la génération thermique peut l emporter sur les dopages couramment employés. A titre d exemple, la fig. 1.8 montre que du silicium dopé avec N d = cm 3 retourne dans un régime intrinsèque lorsqu il est porté à des températures supérieures à T 400 K.

15 1.4 Semiconducteurs extrinsèques 15 1e+14 n 1e+12 1e+10 n i 1e+08 1e p T(K) Fig. 1.8 Concentration des porteurs en fonction de la température pour du silicium de type n dopé avec une concentration de donneurs N d = cm 3. Remarquez l échelle logarithmique! Densités de courant et conductivité électrique Les expressions des densités de courant sont identiques à celles du cas intrinsèque : J x = J n + J p, J n = e n v n = e µ n n E x, J p = e p v p = e µ p p E x, où n et p représentent les concentrations des électrons de conduction et des trous. La conductivité s écrit Dans le cas extrinsèque, n p. σ = J x E x = e (µ n n + µ p p).

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