Modélisation et identification du comportement non linéaire des cales en caoutchouc

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1 Numéro d ordre : 23-9 Année 23 THÈSE presentée pour obtenir le titre de DOCTEUR DE L ÉCOLE CENTRALE DE LYON Specialité: Mécanique par Patricia SAAD Modélisation et identification du comportement non linéaire des cales en caoutchouc Présentée et soutenue publiquement le 18 février 23, devant le jury d examen : Mme M. BOURGEOIS, Ingénieur R & D,PSA Peugeot Citroën Invitée M. Y. CHEVALIER, Professeur, ISMCM-CESTI Rapporteur M. R. DUFOUR, Professeur, LMS INSA Examinateur M. L. JEZEQUEL, Professeur, École centrale de Lyon Directeur de Thèse M. G. LALLEMENT, Professeur, Université debesançon Rapporteur M. F. MORTIER, Ingénieur R & D, CFGOMMA Rennes Examinateur M. F. THOUVEREZ, Professeur, École Centrale de Lyon Examinateur

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3 Résumé Les propriétés des élastomères (grandes déformations, amortissement) rendent leur utilisation très intéressante d un point de vue industriel. Ces matériaux sont aujourd hui de plus en plus utilisés notamment dans des secteurs de l industrie tels que l automobile ou l aéronautique. Cette utilisation concerne généralement des pièces qui sont soumises à de fortes sollicitations mécaniques (statiques et dynamiques). Le comportement àmodéliser est alors fortement non linéaire, les non linéarités étant aussi bien géométriques (dues aux grandes déformations imposées) que comportementales (les lois de comportement utilisées sont non linéaires). Pour représenter ces aspects, des lois de comportement complexes sont implantées dans des codes de calcul éléments finis. Mais leur utilisation aboutit àdesmodèles coûteux numériquement, et comportant un grand nombre de degrés de liberté. De plus cela ne permet pas d écrire une relation analytique utilisable dans des logiciels multicorps pour simuler le comportement d une pièce en élastomère. Ce travail de thèse propose un modèle simplifié à peu de degrés de liberté pourapproximerla réponse des liaisons élastiques en élastomère utilisées dans l industrie automobile. Pour ce faire on utilise une approximation de Ritz pour décrire les déplacements et la géométrie des pièces. Cela permet d obtenir une approximation des courbes effort déplacement. Des lois de comportement hyperélastiques et viscoélastiques sont prises en compte dans le modèle. Une deuxièmepartieestconsacrée à l extension du modèle pour prendre en compte la dissipation non linéaire des élastomères. De nombreux essais sont réalisés àdifférents niveaux d amplitude d excitation, de fréquence, et de précharge. Pour approcher la dépendance en amplitude du module dynamique, on effectue un développement en séries de Volterra de la relation contraintes déformations. L influence de la précharge est prise en compte par linéarisation d un modèle hyperviscoélastique. Mots Clé élastomères - hyperélasticité -viscoélasticité - grandes déformations -

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5 Abstract We develop a numerical model to compute non linear rubber bush response. The objective is to take into account elasticity, damping, and non linear properties in a simple model dedicated to full vehicle modelling simulation. It is therefore important that the constitutive model accurately capture theses aspects of the mechanical behaviour. To take into account these properties, Finite Element Codes use several complex constitutive laws. All these constituve equations can be integrated in finite element models, and many algorithms are developed for this purpose. The main drawback of this procedure is its complexity. The number of dof is too high to be integrated in a vehicle study. Our work aims at giving a simplified approximation of the force as a function of the displacement and its derivatives, starting from a microscopic constitutive equation. Starting from a finite element model, and a constitutive law, we want to generate an equivalent rheological model, with a few dof. This model aims at predicting the frequency response of the bush, function of its geometry, of the load, of the parameters of the constitutive law. To do so, we approximate the displacement as a linear combination of admissible kinematic displacement fields, according to the Rayleigh-Ritz approximation. Hyperelastic models are used to fit non linear quasi static force deflection curves. Viscoelastic constitutive laws are also developped. In order to predict amplitude dependency observed when we measure steady state harmonic response, we use a Volterra development of the stress strain constitutive equation.to take into account preload effects, we linearize a viscohyperelastic model. The predictions of these models are compared to experimental data. Keywords elastomers - hyperelasticity - viscoelasticity - large deformations - 5

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7 Remerciements Cette étude a été réalisée au sein de l équipe Dynamique des Structures et des Systèmes de l Ecole Centrale de Lyon, dirigée par le Professeur Louis Jézéquel. Je tiens à le remercier chaleureusement de m avoir proposé ce sujet, pour son accueil et les moyens donnés pour réaliser ce travail dans de bonnes conditions. M. le Professeur Fabrice Thouverez a accepté la direction scientifique de cette thèse, et ce malgré ses nombreuses responsabilités. Je ne sais comment le remercier pour sa disponibilité, sa patience, ses conseils et tout ce qu il a pu m apprendre au cours de ces trois années. Ce travail a été réalisé en collaboration avec le service Recherche et Développement de CF GOMMA Barre Thomas. Je tiens à remercier toutes les personnes du service pour leur accueil et leur sympathie. Un grand merci à messieurs Mortier, Leduc et Gillet pour la confiance qu ils m ont toujours témoignée, pour tous les échanges que nous avons eus sur le sujet et pour l aide qu ils m ont toujours apportée. Je remercie vivement M. le Professeur Dufour qui m a fait l honneur de présider le jury. J ai été également sensible à l accueil favorable qu ont réservé messieurs les Professeurs Chevalier et Lallement àmonmémoire et je tiens à leur exprimer ma profonde gratitude. Je remercie très vivement Mme Bourgeois, de la société PSA,etM.Mortier,delasociété CFGOMMA, d avoir accepté d être membre du jury. La mise en place d une partie des expériences de ce travail doit beaucoup à Lionel Charles et Bernard Jeanpierre, merci à tous les deux. Merci aussi à Olivier Dessombz pour la résolution de tous les soucis informatiques et pour sa relecture attentive du mémoire. Si une thèse ne peut se réaliser hors d un environnement scientique, le cadre humain est tout aussi indispensable. A ce titre, j exprime toute ma reconnaissance aux membres de l équipe Dynamique des Structures pour leur soutien qui n a jamais fait défaut. Je voudrais aussi remercier ma famille, et tous mes amis. Témoins de tant de doutes, sans vous ce mémoire n aurait peut être jamais vu le jour. En dernier lieu, je ne sais comment exprimer toute ma gratitude envers M. Jean Pierre Laîné sans lequel ce travail n aurait pu être possible. Il m a toujours offert une aide efficace et de qualité, déployant patience et gentillesse. J ai appris énormément en sa compagnie. Merci Jean Pierre.

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9 Table des matières i Table des matières Introduction 1 I Les élastomères 5 I.1 Qu estcequelecaoutchouc?... 5 I.2 Quelques propriétés mécaniques... 7 I.2.1 Propriétés élastiques... 7 I.2.2 Propriétésdissipatives... 9 I.3 Conclusion II Modélisation du comportement mécanique des élastomères 19 II.1 Rappels de mécanique des milieux continus grandes déformations II.1.1 Descriptiondumouvement... 2 II.1.2 Description des déformations II.1.3 Vitesse de déformation II.1.4 Description des efforts intérieurs-contraintes II.1.5 Equations d équilibre II.1.6 Propriété desloisdecomportement II.1.7 Thermodynamique des milieux continus II.2 Modélisation des propriétés élastiques II.2.1 Matériau hyperélastiqueisotrope... 31

10 ii Table des matières II.2.2 Prise en compte de la condition d incompressibilité II.2.3 Quelques exemples d énergie de déformation II.3 Modélisation des propriétésdissipatives II.3.1 Viscoélasticité linéaire II.3.2 La viscoélasticité en grandes déformations II.3.3 Les modèlesdefrottement IIIModélisation simplifiée pour la dynamique des véhicules 57 III.1 Méthode utilisée III.1.1 Expression approchée du champ de déplacement III.1.2 Détermination des paramètres α i III.2 Application à des lois de comportement hyperélastiques III.2.1 Démarchedecalculdelacourbederigidité III.2.2 Exemple de validation : Cas d une énergie de déformation hyperélastique compressible III.2.3 Exemple de validation : cas d une énergie de déformation hyperélastique incompressible III.2.4 Extention à des sollicitations multidimensionnelles III.3 Cas des lois de comportement viscoélastiques linéaires III.3.1 Démarche associée àlamodélisation simplifiée III.3.2 Application àunmodèle de Maxwell généralisé : cas compressible III.3.3 Application àunmodèle de Maxwell généralisé : cas incompressible III.3.4 Application àunmodèledekelvinvoigtfractionnaire III.4Conclusion IV Prise en compte des non linéarités par un développement en séries de Volterra 97

11 Table des matières iii IV.1 Ecriture de la relation contraintes-déformations àpartird undéveloppement en sériesdevolterra IV.1.1 Développement en séries de Volterra : cas général IV.1.2 Cas des matériauxincompressibles IV.2 Démarche générale de calcul de l effort non linéaire... 1 IV.2.1 Equations d équilibre IV.2.2Ecritureduprincipedestravauxvirtuels IV.2.3 Approximation du champ solution par une méthodederitz IV.3 Calcul de l effort non linéaire IV.3.1 Contribution des termes d ordre 1 du développement en séries IV.3.2Contributiondestermesd ordredeux IV.3.3Contributiondestermesd ordretrois IV.3.4Expressionglobaledel effort IV.4Calculdumoduledynamique IV.4.1Contributiondestermesd ordre IV.4.2Contributiondestermesd ordre2et IV.5 Cas où la non linéarité estuniquementcomportementale IV.5.1 Ecriture de la relation contraintes-déformations IV.5.2Contributiondestermesd ordre IV.5.3Contributiondestermesd ordre IV.5.4Contributiondestermesd ordre IV.5.5Expressionglobaledumoduledynamique IV.6 Confrontation modèle/résultats expérimentaux IV.6.1 Les essais réalisés IV.6.2 Analyse des mesures expérimentales

12 iv Table des matières IV.6.3Analysedelaformedumoduledynamique IV.6.4 Identification des paramètres du modèle IV.7 Etude en utilisant des noyaux de fluage IV.7.1Formulation inverse IV.7.2 Dépendance des efforts et souplesse dynamique vis à vis de l amplitude du débattement IV.7.3 Reconstitution de la force dynamique non linéaire IV.8Conclusion V Linéarisation d un modèle hyperviscoélastique autour d une précharge statique 141 V.1 Introduction V.2 Linéarisation d une loi de comportement viscoélastique en grandes déformations. 142 V.2.1 Ecriture de la relation contraintes déformations V.2.2 Superposition d une petite déformation sur une grande déformation statique143 V.2.3 Linéarisation de la partie élastiquedelacontrainte V.2.4 Linéarisation de la partie viscoélastiquedelacontrainte V.2.5 Hypothèses complémentaires V.2.6 Cas où les petites déformations superposées sont sinusoïdales V.3 Obtention du module dynamique par une discrétisationderitz V.3.1 Ecritureduprincipedestravauxvirtuels V.3.2 Linéarisation des équations découlant du principe des travaux virtuels.. 15 V.3.3 Casharmonique V.4 Expressionsanalytiquespourdeschargementssimples V.4.1 Problématique V.4.2 Cas d un essai de cisaillement

13 Table des matières v V.4.3 Casd unessaidecompression V.4.4 Récapitulatif V.5 Confrontation modèle/résultats expérimentaux V.5.1 Introduction V.5.2 Vérification de la forme du couplage précharge fréquence V.5.3 Vérification que la fonction f 2 (ω, γ) nedépend pas de la fréquence V.5.4 Vérification que la fonction f 1 (ω, γ) nedépend pas de la fréquence V.5.5 Reconstitution du module dynamique pour différents niveaux de précharge 172 V.6 Conclusion Conclusion et Perspectives 175 A Calcul de la relation effort déplacement associée àundéveloppement en série à l ordre A.1 Ecriture des déformations A.2 Calculdelacontrainte A.3 Calculdel effort B Calcul de la relation effort déplacement associée àundéveloppement en série à l ordre B.1 Ecriture des déformations B.2 Calculdelacontrainte B.3 Calculdel effort... 2 C Calcul du module dynamique associéàundéveloppement en séries à l ordre 3 23 C.1 Expression de K 1 (U,β,ω) C.2 Expression de K 2 (U,β,ω)... 26

14 vi Table des matières C.3 Expression de K 3 (U,β,ω) D Calcul des dérivées de l énergie de déformation hyperélastique 211 E Calcul de l expression de la raideur dynamique d un cylindre en traction compression 213 E.1 Equilibre statique E.2 Calculdumoduledynamique F Mesure du module dynamique autour d une précharge : quelques résultats expérimentaux 217 F.1 Cas des essais de cisaillement F.1.1 Résultats expérimentaux pour un essai quasi statique F.1.2 Excitation harmonique autour d une précharge F.1.3 Quelquesremarques F.2 Casdesessaisdecompression F.2.1 Résultats expérimentaux pour un chargement quasi statique F.2.2 Résultat expérimentaux pour les excitations sinusoidales autour d une précharge F.2.3 Quelquesremarques G Exemple d identification du modèle hyperviscoélastique 227 G.1 Identification de la partie ne dépendant que de la précharge G.2 Identification de la partie ne dépendant que de la fréquence

15 Introduction 1 Introduction Contexte de l étude Ce travail s inscrit dans le cadre d un contrat CIFRE entre CFGOMMA BARRE THOMAS et le Laboratoire de Tribologie et de Dynamique des Systèmes de l Ecole Centrale de Lyon. L objectif de la thèse est d améliorer la modélisation des liaisons élastiques en caoutchouc utilisées dans l automobile, et dont le rôle majeur est d assurer un bon filtrage afin d atténuer les vibrations du véhicule induites par la route et le groupe motopropulseur. De par leur utilisation, ces pièces sont ainsi amenées à subir des petits débattements autour d une grande précharge statique. Pour simuler la réponse de ces cales, il faut tenir compte de la complexité ducomportement mécanique des élastomères. Ce comportement est en effet fortement non linéaire, et la réponse de la pièce dépendra entre autres de la précharge, delafréquence et de l amplitude d excitation, les non linéarités intervenant àplusieursniveaux: en quasi statique, le matériau peut subir de très grandes déformations et revenir ensuite à sa configuration initiale, sans déformation permanente. On peut donc imposer des taux de précharge de plusieurs dizaines de pourcent. Pour modéliser alors le comportement de la pièce sous sollicitation quasi statique, on utilise des lois de comportement hyperélastiques. Les non linéarités intervenant sont alors àlafoisgéométriques (le matériau subit une grande déformation) et comportementales (les lois de comportement utilisées permettent d écrire une relation non linéaire entre le tenseur des contraintes et le tenseur des déformations). en dynamique, ces matériaux ont de plus des propriétés amortissantes qui leur permettent de dissiper de l énergie. Ils présentent une rigidification en fréquence sous excitation harmonique : on utilise des lois de comportement viscoélastiques pour représenter ces phénomènes. Il faut toutefois remarquer que la viscoélasticité linéaire est insuffisante pour bien appréhender le comportement de ces pièces : elle ne prend pas en compte d une part l aspect grandes déformations et d autre part les caractéristiques non linéaires du matériau. en dynamique, le comportement est ainsi dissipatif non linéaire : si on impose autour d une configuration préchargée des déformations suffisamment petites pour que le modèle

16 2 Introduction hyperélastique puisse être linéarisé, la réponse en fréquence obtenue sera non linéaire. Le module dynamique dépend en effet fortement de l amplitude de l excitation imposée, même pour de faibles niveaux. Cette dépendance en amplitude est alors comportementale, elle apparaît pour des niveaux de déformation n induisant pas de non linéarités géométriques. Pour représenter le comportement dynamique du caoutchouc, il faut tenir compte des deux aspects : le comportement statique non linéaire àlaprécharge (dû à l appliquation d une grande déformation), et la réponse non linéaire en amplitude (principalement pour de faibles niveaux d excitation vibratoire). Il est ainsi nécessaire de bien maîtriser les phénomènes à prendre en compte pour la simulation du comportement mécanique de ces éléments de liaison en élastomère. A cette difficulté s ajoute l exigence d élaboration de modèles numériques simplifiés : en effet vu le nombre d éléments en élastomère dans un véhicule, on ne peut pas se permettre de modéliser finement chacun de ces éléments pour simuler le comportement routier ou vibratoire. Or les caractéristiques mécaniques de ces pièces ont une influence certaine sur ce comportement. Ce travail de thèse a pour but de proposer une modélisation simplifiée qui permette d approximer la réponse non linéaire de ces pièces soumises à un chargement quelconque. L objectif est d avoir un modèle avec peu de degrés de libertés, qui puisse intégrer les non linéarités aussi bien géométriques que comportementales. Le modèle doit également être prédictif, et donc prendre en compte la géométrie de la pièce. A partir de coefficients identifiés sur des échantillons d élastomère, on désire être capable de prédire le comportement d une cale, soumise à une excitation donnée. Le chargement qui nous préoccupe plus particulièrement dans cette étude est le cas des excitations sinusoidales autour d une précharge. Pour bien le modéliser, il nous faut étudier l influence de la fréquence, de l amplitude de l excitation, et de la précharge statique sur la réponse dynamique de la cale. Plan du mémoire Ce mémoire de thèse est constitué de5chapitres. Le premier chapitre est consacréà un rappel des caractéristiques mécaniques des élastomères. Il s agit d une étude phénoménologique des matériaux type caoutchouc, permettant de passer en revue les spécificités du comportement de ce matériau. Le deuxième chapitre établit un état de l art, non exhaustif, de la modélisation de ce comportement. Ce chapitre s articule autour de 3 points principaux. Dans un premier temps, nous rappelons quelques éléments de mécanique des milieux continus en grandes déformations, puis nous passons en revue les principaux travaux de recherche concernant les modèles de comportement hyperélastique et dissipatif des élastomères. Dans le troisième chapitre, nous présentons une modélisation simplifiée permettant de simuler le comportement de ces cales. Le modèle proposé doit prendre en compte la géométrie ainsi que les propriétés mécaniques des cales. Ce modèle numérique est validé par des confrontations

17 Introduction 3 modèle simplifié/calcul éléments finis complet de la pièce. Les lois de comportement introduites dans cette modélisation sont des lois hyperélastiques et viscoélastiques (modèles rhéologiques ou fractionnaires). Les deux derniers chapitres sont consacrés à l extension du modèle pour prendre en compte la dissipation non linéaire des élastomères. Le quatrième chapitre est plus particulièrement consacré à l aspect comportemental de cette dissipation non linéaire. Pour approcher ce comportement, un développement en séries de Volterra est réalisé. Les prédictions du développement en série sont ensuite comparées à une base de données expérimentales, constituée d essais àdifférents niveaux d amplitude de vibration. Enfin dans le chapitre V nous présentons une approche pour caractériser le comportement dynamique autour d une grande précharge statique. Pour ce faire une loi hyperviscoélastique est linéarisée. Une confrontation entre l expression ainsi obtenue et des résultats expérimentaux à différents niveaux de précharge est ensuite réalisée.

18 4 Introduction

19 5 Chapitre I Les élastomères Ce chapitre introductif a pour but d analyser le comportement des matériaux type caoutchouc d un point de vue phénoménologique. Les applications des élastomères sont en effet multiples tant pour ses propriétés élastiques (plusieurs centaines de pourcent de déformation possible) que pour sa capacité à amortir les vibrations. Sa nature complexe et notamment la présence des chaînes carbonées lui confère des comportements hautement non linéaires. Afin d en comprendre les mécanismes un grand nombre d études ont été réalisées [47, 25, 17]. Nous proposons ici d en donner les principaux résultats en ce qui concerne le comportement physique, l étude des modèles capables de restituer ces comportements faisant l objet du chapitre II. Après avoir évoqué l origine du caoutchouc, nous nous intéresserons à quelques propriétés fondamentalesdecematériau. Nous rappellerons en particulier ses propriétés élastiques et dissipatives ainsi que les grandeurs qui le caractérisent et leurs propriétés. I.1 Qu est ce que le caoutchouc? Le caoutchouc naturel et ses homologues synthétiques, les élastomères, sont fortement répandus dans le domaine de l industrie. La multiplicité des utilisations des élastomères provient de caractéristiques mécaniques très intéressantes : Capacité à subir de grandes déformations Capacité à dissiper de l énergie, phénomène qui permet d obtenir des propriétés d isolation vibratoire et acoustique Des composants en élastomère sont ainsi employés pour les montages et les accouplements entre structures rigides, par exemple dans les joints de porte, les articulations élastiques ou encore les supports moteur. La terminologie élastomère regroupe des matériaux ayant des compositions chimiques

20 6 Chapitre I. Les élastomères différentes, mais une structure moléculaire et des propriétés mécaniques similaires. Le préfixe élasto rappelle les grandes déformations élastiques possibles, tandis que le suffixe mère évoque leur nature de polymères, et donc leur constitution macromoléculaire. La matière première d un élastomère peut être aussi bien naturelle que synthétique : le caoutchouc naturel est le produit de la coagulation du suc de différentes espèces végétales, principalement de l hevea. Du point de vue chimique, le caoutchouc naturel est un produit de polymérisation de l isoprène de formule chimique (C 5 H 8 ) n, n ayant une valeur d environ 1, et C 5 H 8 étant le monomère isoprène. Le caoutchouc naturel est en réalité unmélange de polymères de cet isoprène. La fabrication des caoutchoucs synthétiques s inspire du même principe (polymérisation). Les monomères de départ sont des molécules renfermant au moins une double liaison, ce qui permet un réarrangement des liaisons conduisant à la formation d une longue chaîne macromoléculaire. Cependant, àl état brut, le caoutchouc n a guère de possibilités d emploi pratique : il n est notamment pas résistant au fluage sous contrainte. Pour obtenir un produit présentant de meilleures propriétés, le caoutchouc brut doit subir un traitement chimique : quand on malaxe du caoutchouc brut, qu on y ajoute du soufre et qu on chauffe le mélange, l ensemble se transforme en un matériau élastique, stable dans une gamme de température beaucoup plus large, et résistant au fluage sous contrainte. Ce procédé, appelé vulcanisation, fut découvert accidentellement par GoodYear en 1839 et est encore à la base de l industrie de fabrication du caoutchouc. Au cours de la vulcanisation, les longues molécules en chaîne du caoutchouc se trouvent chimiquement unies àdeschaînes adjacentes par formation de liaisons pontales. Cette réticulation (pontage entre les chaînes) est nécessaire car sans elle le comportement serait de type fluide avec un écoulement libre des molécules les unes par rapport aux autres. Après polymérisation, en présence d un système réticulant, les macromolécules forment un réseau tridimensionnel sans direction privilégiée. La capacité du caoutchouc vulcanisé à subir de forts taux de déformations est due essentiellement à la nature repliée de ces chaînes : elles peuvent être étirées et s orienter elles mêmes dans la direction de l allongement, les liaisons les poussant à revenir àl état initial quand la contrainte est relachée. Le matériau élastomère n est jamais utilisé seul, mais comme composant d un mélange qui peut comporter 1 à2composantsdifférents. Certains sont nécessaires pour la vulcanisation (soufre, oxyde de zinc...), d autres permettent d en accélérer le processus. Certains autres protègent (antioxygènes,...), ramollissent (huiles, graisses, acides gras,...), ou encore colorent le vulcanisat (oxyde de zinc, lithopone,...). Pour faciliter le mélange de ces ingrédients au caoutchouc brut, on peut ajouter une huile de mise en oeuvre. Les caoutchoucs qui ne contiennent que des agents de mise en oeuvre et des produits chimiques destinés à la protection, la coloration et la vulcanisation sont appelés caoutchoucs pure gomme, ounon chargés. Mais la majorité des caoutchoucs utilisés pour les applications mécaniques contiennent une charge : les charges peuvent améliorer l élasticité du produit final sans augmenter sa résistance (ce sont alors des produits à base de carbonate de calcium ou de sulface de baryum) ou améliorer la résistance du produit final (noir de carbone, oxyde de zinc, carbonate de magnésium ou différentes argiles). Le noir de carbone, qui reste la principale charge renforçante du caoutchouc, se présente sous la forme de petites particules de carbones (2 nm, 5 µm) mélangées à la gomme naturelle avant

21 I.2. Quelques propriétés mécaniques 7 vulcanisation. Pour obtenir ces matériaux chargés, on effectue la polymérisation en présence des charges : le polymère constitue alors un réseau continu et les charges forment un agglomérat à l intérieur du réseau. Le caoutchouc est alors un matériau diphasique composé de constituants avec des propriétés mécaniques complètement différentes. I.2 Quelques propriétés mécaniques I.2.1 Propriétés élastiques Une propriété mécanique particulièrement prisée de ces matériaux est leur remarquable élasticité, due à la structure moléculaire des élastomères. Le caoutchouc peut subir des grandes déformations (éventuellement de plusieurs centaines de pour cent) et revenir ensuite àsaconfiguration initiale. On remarque toutefois que le matériau n est pas parfaitement élastique. La figure I.1 présente à titre d illustration le résultat d un essai cyclique, à vitesse de déformation constante, sur un mélange de caoutchouc. On observe une différence entre l effort mesuré au cours de la charge, et l effort mesuré lorsdeladécharge. Pour un chargement cyclique, il y aura donc dissipation d énergie sous forme de chaleur, la quantité d énergie dissipée correspondant à l aire entre les courbes. Cette hystérésis, (ie le travail représenté par la surface comprise entre les courbes d application et de relâchement des contraintes dans un cycle) est présente pour tous les caoutchoucs. Pour le caoutchouc naturel faiblement chargé l hystérésis reste cependant très faible tant que les déformations sont modérées.parcontre,silemélange est chargé, l hystérésis augmente avec les charges [47]. Cycle d hystérésis à très basse fréquence, quatrième cycle Cycle d hystérésis à très basse fréquence, quatrième cycle Effort N Taux de cisaillement γ Effort N Taux de cisaillement γ (a) Cas d un mélange faiblement chargé (b) Cas d un mélange fortement chargé Fig. I.1: Cycle d hystérésis en cisaillement à.2 Hz

22 8 Chapitre I. Les élastomères Il faut également évoquer la quasi incompressibilité de ces matériaux : le module de compressiblité du caoutchouc varie entre 1 et 2 MPa, alors que l ordre de grandeur du module de cisaillement est d environ 1 MPa. Cette différence signifie que le caoutchouc ne varie guère de volume, même sous de fortes contraintes. Son comportement est ainsi quasi incompressible. Pour la plupart des applications, la modélisation suppose donc une incompressiblité complète. Parmi les caractéristiques du caoutchouc on peut également mentionner l effet Mullins : si l on applique un chargement cyclique sur un matériau initialement non précontraint, on observe une diminution de raideur lors des premiers cycles. Il y a stabilisation après 3 à 5 cycles. Si on impose à nouveau une déformation cyclique jusqu à unniveaudedéformation plus élevé, on observe à nouveau une diminution de la contrainte et de l hystérésis jusqu à unnouveléquilibre (figure I.2). Ce comportement provient d une rupture progressive des liaisons moléculaires. Les thèses et publications suivantes [2, 15, 12] proposent des exemples de modélisation de ce phénomène. Ce comportement conditionne les procédures d essai sur éprouvette et pièce en caoutchouc : il est ainsi nécessaire de réaliser au moins 3 cycles avant l aquisition des mesures effort déplacement. Ce conditionnement mécanique de la pièce est communément appelé déverminage. Effort (N) Déplacement (mm) Fig. I.2: Effet Mullins. Chargement cyclique de cisaillement sur mélange amortissant Signalons enfin que parmi les déformations homogènes imposées, les déformations de cisaillement peuvent être considérées comme linéaires ; le coefficient de cisaillement est relativement indépendant du taux de cisaillement, au moins jusqu à des niveaux de déformation modérés. Il peut alors être considéré comme une constante du matériau. Par contre, le module d Young associé àladéformation de traction compression est fonction de l élongation, et les courbes effort déplacement en traction compression sont non linéaires même pour les faibles niveaux de déformation.

23 I.2. Quelques propriétés mécaniques 9 I.2.2 Propriétés dissipatives I Grandeurs caractéristiques L énergie dissipée au cours d un cycle d hystérésis sous forme de chaleur traduit les propriétés d amortissement du matériau : dans le cas d oscillations libres, cet aspect se traduit par une diminution de l amplitude des vibrations au cours du temps. Pour caractériser l amortissement d une structure, on définit les notions fondamentales d angle de perte et de module complexe. L amortissement correspond àl énergie dissipée autour d un cycle. Considérons le cas où unsystème est soumis àdesdéformations sinusoidales cycliques ɛ(t) =ɛ sin(ωt) (I.1) Si on estime que la contrainte transmise répond de façon sinusoidale avec un déphasage δ, ou angle de perte, onpeutécrire : σ(t) =σ sin(ωt + δ) σ (I.2) ɛ Fig. I.3: Contrainte σ(t) =σ sin(ωt + δ) et déformation ɛ(t) =ɛ sin(ωt) représentés dans le plan (ɛ, σ). Cycle d hystérésis. Généralement, cette hypothèse, dite de premier harmonique, n est pas suffisante. Typiquement, la réponse en effort contient des harmoniques d ordre supérieur, et la réponse réelle est du type σ(t) =Σ k σ k sin(kωt + δ k ) Dans le cas de l hypothèse de premier harmonique, l énergie dissipée au cours d un cycle correspond à l aire de l ellipse représentée en figure (I.3) et s exprime comme : U c = T σdɛ = σ ɛ cos(ωt) sin(ωt + δ) dt = πσ ɛ sin(δ)

24 1 Chapitre I. Les élastomères Apartirdelareprésentation complexe des équations (I.1) et (I.2), on définit le module d Young complexe E = σ, qui se calcule comme : ɛ E σ = e iδ = σ (cosδ + isinδ) ɛ ɛ ou encore E = E + ie = E (1 + itgδ) (I.3) Im E δ E Re Fig. I.4: Représentation schématique du module dynamique dans le plan complexe E = σ ɛ est le module dynamique E = E cosδ est la partie réelle du module dynamique. Cette grandeur caractérise la partie de la réponse en phase avec l excitation. On l appelle également module de stockage ( storage modulus ) : c est en effet une mesure de l énergie emmagasinée et restituée au cours d un cycle. E = E sinδ est la partie imaginaire du module dynamique. Cette grandeur caractérise la partie de la réponse en quadrature de phase avec l excitation. On l appelle également moduledeperte( loss modulus ) : c est en effet une mesure de l énergie dissipée sous forme de chaleur pendant le cycle. Les caractéristiques de l amortissement sont donc E ou δ : si ces grandeurs sont petites à température et fréquence données, l amortissement sera faible, et inversement, si ces grandeurs sont importantes l amortissement sera élevé. Un raisonnement similaire peut être fait pour introduire le module de cisaillement complexe G. En ce qui concerne le caoutchouc, l amortissement est principalement dû àunréarrangement moléculaire au niveau de la structure interne du matériau : les chaînes moléculaires glissent les unes par rapport aux autres, entraînant un frottement générateur de perte d énergie. Deux principaux types de mécanismes sont invoqués pour expliquer ces propriétés amortissantes [3] : unmécanisme d origine visqueuse, reposant sur la résistance àlaréorganisation des chaînes moléculaires. Celle ci ne peut pas se produire instantanément, et génère ainsi une dépendance entempsdetypeviscoélastique.

25 I.2. Quelques propriétés mécaniques 11 l amortissement est d autant plus important que le matériau est chargé. Le second mécanisme proposé est précisément dû aux charges : l accroissement de l amortissement serait alors dû à une résistance dans les interfaces caoutchouc-carbone et carbone-carbone. Il faut aussi noter que toutes ces grandeurs caractéristiques (module d Young E ou de Coulomb G complexes) évoluent enfin de façon significative avec la température, la fréquence, ou encore l amplitude de l excitation imposée. I Dépendance en température des propriétés des matériaux polymères La figure I.5 représente l évolution schématique du module dynamique et de l angle de perte en fonction de la température. Le coefficient de cisaillement peut être considéré delamême manière, la forme des courbes obtenues est similaire. Les valeurs numériques données ici correspondent à des ordres de grandeur : elles peuvent entre autres dépendre de l amplitude du débattement, de la fréquence, ou de la composition du polymère. Toutefois, même si les valeurs numériques varient en fonction de ces paramètres, la forme générale schématisée ci dessous reste valable pour tous les polymères. Etat Zone de Etat vitreux transition caoutchoutique E (MPa) E δ δ (rad) 1.2 Température ( C) Fig. I.5: Effets de la température sur la rigidité d un vulcanisat de caoutchouc naturel chargé. Trois zones sont ainsi mises en évidence. Aux basses températures (état vitreux), le caoutchouc est figé et se comporte comme un verre rigide : les macromolécules ne sont pas mobiles. Les mouvements intermacromoléculaires sont ainsi gelés et négligeables àl échelle du temps d observation. Les mouvement moléculaires étant faibles, la dissipation est faible, l amortissement est donc négligeable. Cet état se caractérise par un module module d Young élevé (de l ordre de 1 4 MPa) et peu dépendant de la température. Plus la température augmente, plus les vibrations moléculaires sont importantes et plus les molécules peuvent bouger librement. Pour des températures élevées, des mouvements moléculaires aisés définissent l état caoutchoutique, avec un module d Young peu élevé (de l ordre de 1 MPa).

26 12 Chapitre I. Les élastomères Entre ces deux états se situe la zone de transition vitreuse, centrée autour de la température de transition T g. Dans cette zone, une partie des liaisons commence à se rompre, ce qui permet un glissement d une partie des chaînes les unes par rapport aux autres. Le module dynamique diminue alors brutalement. L amortissement est maximal àlatempérature de transition vitreuse. Dans les conditions d utilisation industrielle, les élastomères sont généralement employés à la fin de la zone de transition, ou au début de la zone caoutchoutique. I Dépendance en fréquence La figure I.6 représente le comportement typique du module de rigidité (E ou G) etde l angle de perte en fonction de la fréquence. Là encore, les valeurs numériques données sont approximatives et dépendent très fortement de l amplitude des déformations et des mélanges d élastomère. La forme générale des courbes est toutefois similaire pour tous les élastomères. E (MPa) E δ δ (rad) 3.2 Fréquence (Hz) Fig. I.6: Effets de la fréquence sur la rigidité d un vulcanisat de caoutchouc naturel chargé A basse fréquence, le module dynamique et le coefficient d amortissement sont faibles. A fréquence nulle, le module dynamique tend vers une valeur limite qui est la raideur statique : si le comportement du matériau est celui d un fluide, cette valeur est nulle. A haute fréquence, le module de rigidité devient important et tend vers une valeur asymptotique. Entre ces deux zones, il existe une fréquence de transition pour laquelle le coefficient d amortissement est maximal, et près de laquelle le coefficient d amortissement et le module de rigidité varient fortement. La comparaison entre les figures I.5 et I.6 mène à l observation suivante : une augmentation de température est équivalente à une diminution en fréquence, du point de vue phénoménologique. Cette caractéristique est une propriété générale valable pour une grande classe de polymères sur une large gamme de température et de fréquence, et a donné lieu au principe de superposition temps-température (ou fréquence température) [25]. Ce principe de superposition permet de considérer qu un changement de température a sur les propriétés mécaniques le même effet que si l on appliquait àl échelle des fréquences un facteur multiplicatif. Ce principe de superposition

27 I.2. Quelques propriétés mécaniques 13 peut se justifier de la manière suivante [17] : on remarque que le module E et le facteur de perte tan(δ) que l on observerait à une température de référence T sont liés aux module et facteur de perte mesurés expérimentalement à une température T par la relation I.4 : E(f,T ) = ρ T ρt E(a T f,t) tan(δ)(f,t ) = tan(δ)(a T f,t) (I.4) où ρ et ρ sont respectivement les densités du matériau aux températures T et T. Cette correction est introduite parce qu en toute rigueur, le volume d un polymère est fonction de la température. Le module, défini par unité desurface,varieenfonctiondelaquantité de matériau contenue par unité de volume. Cette correction est toutefois faible, et est le plus souvent négligée. a T est un coefficient multiplicateur qui dépend de la température. La quantité a T f est appelée fréquence réduite. Une conséquence importante de cette relation est que l on peut obtenir le module et le déphasage sur une large gamme de fréquence à partir d essais dans une gamme de fréquence donnée, àdifférentes températures, en construisant les courbes dites maîtresses du matériau. Une description détaillée sur la construction et l utilisation de ces courbes peut être trouvée dans [17]. Le facteur de décalage en fréquence a T peut être déterminé température par température, de manière à ce que toutes les courbes aux différentes températures d essai se superposent à celles de la température de référence. En pratique, on utilise des fonctions d approximation pour a T. Plusieurs formes sont couramment utilisées dans la littérature, les plus connues étant l équation WLF que l on doit à William Landel Ferry [25], et la loi d Arrhenius. La première s exprime de la manière suivante : log (a T ) = c 1 (T T ) c 2 + T T (I.5) où c 1 et c 2 sont des constantes déterminées à partir des données expérimentales, et T est une température de référence arbitraire. Quand T est remplacée par la température de transition vitreuse T g,l équation (I.5) prend la forme de l équation WLF universelle, où c 1 =17.44 et c 2 =51.6. Cette équation a été développée pour une large base de données de polymères, incluant plusieurs élastomères. Pour certaines gammes de température, le coefficient de décalage en fréquence est mieux approché par une loi d Arrhenius. Dans ce cas, une procédure de minimisation moindre carré sur log (a T )enfonctionde 1 conduit à un coefficient de la forme T log (a T ) = H a R ( 1 T 1 T ) (I.6)

28 14 Chapitre I. Les élastomères où R est la constante des gaz parfaits, H a est une énergie d activation apparente, et T la températurederéférence. La méthode des fréquences réduites décrite ci dessus s avère extrêmement intéressante pour estimer les valeurs des modules en dehors de la gamme de fréquence de mesure : en pratique, même en utilisant des méthodes de mesures dites hautes fréquences, comme les méthodes basées sur la propagation d ondes, l intervalle de mesure ne peut guère dépasser les 1 khz. La mise à profit de la méthode des variables réduites s avère alors indispensable pour estimer la valeur des modules au delà de l intervalle de mesure. Toutefois, il faut être très vigilant lors de son utilisation. En théorie, la méthode des variables réduites ne s applique qu aux données respectant les contraintes suivantes [17] Les courbes adjacentes doivent avoir exactement la même forme. Cela signifie que, si la courbe de réponse en fonction de la température se translate en fonction de la fréquence, la forme de la courbe doit rester indépendante de la fréquence. Lesmêmes valeurs de a T doivent permettre de superposer toutes les fonctions viscoélastiques (coefficient d amortissement, module, module de stockage et de perte) La dépendance en température de a T doit avoir une forme compatible avec l expérience, en d autres termes, l équation WLF ou une autre équation similaire doit s appliquer. Quand on remplace T par T g, des valeurs raisonnables de c 1 et c 2 sont celles de l équation WLF universelle. I Dépendance en amplitude Pour les élastomères chargés, en plus de la rigidification en fréquence évoquée précédemment, on observe que : Le module dynamique diminue avec l amplitude de l excitation imposée. L amortissement augmente dans un premier temps en fonction de l amplitude, puis diminue. Cet effet est nettement visible sur la figure (I.7). La diminution de la rigidité enfonctionde l amplitude est souvent appelée effet Payne.

29 I.2. Quelques propriétés mécaniques 15 Evolution du module dynamique en fonction de l amplitude à 2 Hz Evolution du déphasage en fonction de l amplitude à 2 Hz K en N/mm Mélange amortissant Mélange faiblement amortissant déphasage (degrés) Mélange amortissant Mélange faiblement amortissant Amplitude mm Amplitude (mm) (a) Influence de l amplitude sur le module dynamique (b) Influence de l amplitude sur le déphasage Fig. I.7: Variation du module dynamique en fonction de l amplitude d excitaiton sinusoidale, pour deux mélanges. Cas d un essai de cisaillement. Les mécanismes associés àcephénomène sont les suivants : Les élastomères sont constitués de longues chaînes macromoléculaires repliées sur elles-même et flexibles. L augmentation de l hystérésis due à l adjonction de charges renforçantes s explique par le frottement des chaînes par rapport aux particules, et celui des éléments libres des chaînes les uns sur les autres. De nombreux auteurs ont observé expérimentalement et commenté cephénomène. Les premières explications ont été fournies par Payne en Parmi les travaux plus récents, citons Austrell [3], Coveney et al [2], Lion [48]. Le degré dedépendance en amplitude varie en fonction du type et de la quantité de charges [32], mais la forme qualitative des courbes reste la même (voir aussi la figure (I.7)). Harris et Stevenson [32] ont ainsi observé queladépendance en amplitude était due à l ajout de charges de noir de carbone. Si le matériau est chargé, ses propriétés dynamiques deviennent dépendantes de l amplitude de déformation imposée. Leurs observations expérimentales se résument de la manière suivante : la diminution de raideur aux faibles amplitudes est d autant plus importante que le matériau est chargéennoirdecarbone.de même, les propriétés amortissantes sont plus importantes dans le cas où l élastomère est chargé. Ce sont ces mêmes propriétés que l on peut visualiser sur la figure I.7. Les données présentées sur cette figure concernent des essais de cisaillement, sur des échantillons d élastomère produits par CF Gomma. Ce type de comportement est bien évidemment fortement non linéaire, et il s agit alors d une non linéarité comportementale : en effet les expériences de Harris et Stevenson ainsi que celles représentées figure I.7 sont faites dans le cas d un chargement de cisaillement, qui est le cas de chargement le plus linéaire (par rapport à des chargements de traction compression). On constate que la diminution de raideur est plus importante pour les faibles amplitudes de déplacement.

30 16 Chapitre I. Les élastomères I Expériences de relaxation, de fluage, et effet mémoire Comme signalé ci-dessus, les élastomères présentent des propriétés dissipatives associées à leur élasticité. Nous avons vu qu une partie de ces propriétés amortissantes étaient dues à une dissipation visqueuse. Par visqueux, on exprime le fait que, à chaque instant, le tenseur des contraintes dépend non seulement du niveau de la sollicitation à cet instant, mais également des valeurs de la sollicitation aux instants antérieurs. On peut ainsi dire que de tels matériaux ont une forme de mémoire qui leur permet de se souvenir des sollicitations auxquelles ils ont été soumis dans le passé. Cette dépendance en fonction du temps a justifié l appellation de matériaux àmémoire pour les matériaux viscoélastiques. L existence de cette mémoire se traduit par l apparition de mécanismes différés, mis en évidence par des essais de fluage et de relaxation [45]. Lorsque le caoutchouc vulcanisé est maintenu sous déformation constante, les tensions qui s y sont développées diminuent avec le temps au fur et à mesure que le réseau approche d une condition d équilibre. C est ce qu on appelle la relaxation des contraintes. Un processus de relaxation similaire se produit lors de la suppression de la déformation ou de la contrainte imposée. Cette expérience de relaxation est représentée en figure I.9. Un déplacement de 21.2 mm est appliqué à un plot cylindrique de compression, schématisé figure I.8. U (t) D = 43 mm Caoutchouc L = 6 mm Fig. I.8: Plot de compression en élastomère L effort mesuré est représenté en figure (I.9b). déplacement (mm) temps (s) Effort (N) temps (a) Déplacement l armature mobile imposé à (b) Effort mesuré Fig. I.9: Essai de relaxation sur un plot de compression

31 I.3. Conclusion 17 Le phénomène dual est appelé fluage : le caoutchouc continue àsedéformer sous une contrainte donnée. Ces expériences de relaxation et de fluage mettent en évidence le comportement viscoélastique du matériau, comportement intermédiaire entre un ressort pur (solide élastique, pour lequel la réversibilité est instantanée). La relation contrainte déformation est alors σ = f(ɛ). et un amortisseur pur (fluide visqueux pour lequel il y a écoulement pour toute valeur de la contrainte). La relation associée est ɛ = f(σ) Pour les matériaux viscoélastiques, la réversibilité est retardée et n intervient qu après un temps infini [45]. La relation contrainte déformation est ainsi σ = f(ɛ, ɛ) I.3 Conclusion Nous avons évoqué au cours de cette introduction les propriétés suivantes : Les élastomères peuvent subir de grandes déformations Ils possèdent une grande capacité d amortissement Les caractéristiques aussi bien élastiques que dissipatives sont fortement non linéaires Le comportement dynamique dépend fortement de la température, delafréquence, et de l amplitude. Les quelques propriétés mécaniques présentées rendent la modélisation mathématique des élastomères très complexe. Le chapitre suivant présente certaines techniques utilisées pour cette modélisation.

32 18 Chapitre I. Les élastomères

33 19 Chapitre II Modélisation du comportement mécanique des élastomères Ce chapitre fait le point sur les modélisations fréquemment proposées pour rendre compte des aspects de comportement du caoutchouc décritsdanslechapitreprécédent. Nous avons en effet signalé que ce comportement fait intervenir des grandes déformations élastiques incompressibles et de la viscoélasticité : pour prendre en compte les grandes déformations, cette viscoélasticité doit être décrite dans le cadre d une modélisation mécanique en grandes transformations. L approximation qui consiste, en hypothèse des petites perturbations, à superposer la configuration initiale et la configuration déformée, n est plus valable dès que l on considère des taux de déformations très importants. Quelques rappels sur le formalisme utilisé en grandes déformations sont présentés dans le premier paragraphe. Les paragraphes qui suivent décrivent quelques lois de comportement utilisées pour modéliser le comportement hyperélastique et les propriétés dissipatives du matériau. La présentation de la prise en compte des propriétés dissipatives est accompagnée d un rappel de viscoélasticité linéaire, à partir duquel nous présentons l approche fonctionnelle utilisée pour introduire la viscoélasticité non linéaire. L approche par variables internes, également utilisée pour la modélisation de la viscoélasticité en grandes déformations, est enfin présentée. II.1 Rappels de mécanique des milieux continus grandes déformations Nous introduisons dans cette partie les résultats essentiels du formalisme grandes déformations [36, 69]. En mécanique des grandes transformations, il est important de distinguer la configuration initiale et la configuration actuelle déformée. Les différentes mesures de déformation et de contrainte seront précisées dans chacune de ces configurations, puis nous reviendrons brièvement sur l écriture des équations d équilibre dans les différentes configurations. Nous rappelons ensuite certaines propriétés qu une loi de comportement doit nécessairement vérifier, telles que

34 2 Chapitre II. Modélisation du comportement mécanique des élastomères l objectivité etlecaséchéant l isotropie. Enfin, nous rappelons l inégalité de Clausius Duhem qui est àlabasedel élaboration des modèles avec variables internes. II.1.1 Description du mouvement Soit un solide déformable S, évoluant dans un repère R. L ensemble des particules P constituant le solide déformable occupe, à chaque instant, un ensemble de positions dans l espace (voir figure (II.1)). C est la configuration du système à l instant t. Nous utiliserons le même repère pour la configuration initiale et la configuration déformée. χ dx P ω U dx P Ω C X X 2 x 1 e2 x C t e1 O X 3 x 1 e3 X 1 x 1 Fig. II.1: Configurations initiale et déformée. On note C la configuration initiale (où le solide S occupe le volume Ω ), et C t la configuration actuelle à l instant t (ou déformée), où le solide S occupe le volume ω. Le vecteur position de la particule P Sà l instant initial est noté X.Onnote x le vecteur position de cette particule à l instant t. Le mouvement du milieu continu est alors défini par la donnée de la fonction χ : C C t χ : (II.1) X x = χ( X,t) L équation II.1 définit la transformation faisant passer de la configuration de référence C àla configuration C t. Pour caractériser la déformation au voisinage de la particule, on introduit l application linéaire tangente au mouvement, ou tenseur tangent (voir figure (II.1)). Considérons un vecteur dx dans la configuration initiale, son transformé dans la configuration actuelle s obtient par la relation (II.2) dx = F dx (II.2)

35 II.1. Rappels de mécanique des milieux continus grandes déformations 21 ou encore, en notation indicielle dx a = F aa dx A (II.3) où F est le tenseur tangent. Ce tenseur tangent transporte, localement, un espace tangent à C vers l espace tangent associé àlamême particule suivie dans son mouvement. On a en effet La relation (II.4) s écrit également F aa = x a X A = Grad XA x a (II.4) F = Grad x (II.5) où l on a introduit le tenseur gradient des déplacements Grad défini par rapport à la configuration initiale non déformée. F est inversible, et son inverse permet de transporter un vecteur tangent de la configuration actuelle vers la configuration initiale : dx = F 1 dx (II.6) soit dx A = F 1 Aa dx a (II.7) On en déduit l expression de l inverse du tenseur gradient, en notation tensorielle puis indicielle F 1 = grad X F 1 Aa = X (II.8) a x A Le tenseur grad désignera le tenseur gradient par rapport à la configuration déformée. Les variations de volume entre une configuration et une autre sont caractérisées par J = det(f). La déformation est dite homogène si le tenseur F ne dépend pas des coordonnées X. Toutesles particules se déforment alors de la même manière. Les échantillons de caoutchouc servant àcaractériser les propriétés matériaux sont dimensionnés de manière àavoirdesétats de déformation aussi homogènes que possible, au moins sur une partie du matériau bien définie (il faudra souvent négliger les effets de bord). Ainsi, les éprouvettes de compression, traction simple, cisaillement utilisées pour les essais de caractérisation des mélanges de caoutchouc seront dimensionnées de manière à avoir un état de déformation aussi homogène que possible. Il est commode d introduire le vecteur déplacement, défini de la manière suivante : U ( X,t) = x ( X,t) X (II.9) En combinant le tenseur gradient des déformations (II.5) avec le vecteur déplacement (II.9), on introduit le tenseur gradient des déplacements. Une première possibilité estdeledéfinir dans la configuration initiale, par rapport aux grandeurs non déformées (description lagrangienne) Grad U = Grad x Grad X = F I (II.1)

36 22 Chapitre II. Modélisation du comportement mécanique des élastomères Le tenseur tangent sera alors, en fonction du gradient du déplacement F aa = δ aa + U a X A (II.11) où δ désigne le symbole de Kronecker. Le tenseur gradient peut également être défini dans la configuration déformée, par rapport aux coordonnées spatiales x i ce qui donne, pour l inverse du tenseur tangent grad u = grad x grad X = I F 1 (II.12) F 1 Aa = δ Aa U A x a (II.13) II.1.2 Description des déformations Pour caractériser les changements de forme entre les configurations C et C t, il faut caractériser les variations de longueur et les variations d angle, soit, en fait, les variations de produit scalaire. On forme donc le produit scalaire de deux vecteurs matériels dx et dy, eton examine sa variation en fonction des vecteurs initiaux dx et dy. Selon la configuration privilégiée, plusieurs mesures des déformations sont possibles : Description lagrangienne (configuration C ) En configuration lagrangienne, on introduit le tenseur de Cauchy Green droit C = F T F, symétrique et défini positif, qui caractérise les dilatations. Dans le cas où le milieu ne subit aucune transformation, C = I. Le tenseur de déformation de Green Lagrange, purement lagrangien, symétrique, relié à C par E = 1 (C I) 2 traduit la différence des produits scalaires entre les deux configurations. Si l on introduit le vecteur déplacement, E s exprime en fonction du gradient des déplacement de la manière suivante E ij = 1 ( ui + u j + u ) k u k 2 X j X i X j X i Description eulérienne (configuration C t ) De la même manière dans la configuration actuelle on introduit le tenseur de Cauchy Green gauche b = FF T, symétrique et défini positif. Le tenseur de déformation associé, lié à la différence de produit scalaire, est le tenseur d Euler-Almansi A : A = 1 ( I b 1 ) 2

37 II.1. Rappels de mécanique des milieux continus grandes déformations 23 II.1.3 Vitesse de déformation Pour caractériser les vitesses, on introduit le vecteur v = dx, dérivée par rapport au temps du vecteur position x (X,t). On a dx = Ḟ dx = l dx (II.14) La relation II.14 montre que Ḟ mesure la vitesse de déformation entre la configuration C et C t. l = ḞF 1 est le tenseur eulérien gradient des vitesses. On a en effet, en notation indicielle La relation entre l et F s obtient comme suit dx i = l ij dx j l ij = v i x j = v i X k X k x j (II.15) = F ik F 1 kj La décomposition de l en partie symétrique et antisymétrique permet de définir le tenseur taux de déformation d, etletenseurtaux de rotation w. d = 1 ( l + l T ) 2 w = 1 ( l l T ) (II.16) 2 Le tenseur w correspond au rotationnel du champ des vitesses v,etdécrit donc la vitesse de rotation du solide, tandis que d décrit la vitesse de déformation. En effet, on peut écrire : d ( dx ). dy =2 dx. d dy (II.17) dt L équation II.17 montre que d mesure la vitesse de déformation dans C t. La vitesse de déformation dans la configuration initiale s obtient par différentiation du produit scalaire. On obtient ainsi d ( dx ). dy = 2 dx. dt Ė dy Les vitesses de déformation sont ainsi mesurées par Ḟ entre la configuration C et C t Ė = FT dfdans la configuration C d dans la configuration C t Ces deux derniers tenseurs sont les transportés l un de l autre par la relation Ė = FT d F

38 24 Chapitre II. Modélisation du comportement mécanique des élastomères II.1.4 Description des efforts intérieurs - Contraintes Les contraintes sont caractérisées à partir des efforts intérieurs à travers un élément de surface relatif à une configuration donnée (figure II.2). Suivant le choix de la configuration pour la mesure de l effort et de la surface, on pourra avoir une description eulérienne, mixte, ou lagrangienne des contraintes. N n ds T ds t Ω e3 O ω C e1 e2 C t Fig. II.2: Vecteur contrainte dans les différentes configurations. II Description eulérienne Le tenseur des contraintes le plus naturel est le tenseur σ, qui est un tenseur eulérien. Il est défini par t = σ n (II.18) t est l effort mesuré par unité desurfacedéfinie dans la configuration actuelle, s appliquant sur l élément de surface ds de normale extérieure n.l effortrésultant (actuel) agissant sur l élément de surface est noté df. Cet effort est lié au vecteur contrainte par df = tds= σ nds Le tenseur de Cauchy σ est symétrique. On peut également introduire le tenseur de Kirchhoff τ = Jσ, qui n a pas de signification physique particulière mais qui est souvent utilisé pourles calculs numériques. II Description mixte On peut également lier la force élémentaire df de la configuration actuelle àl élément d aire ds de la configuration initiale, par la relation df = TdS

39 II.1. Rappels de mécanique des milieux continus grandes déformations 25 Il s agit alors d une description mixte. Le vecteur T représente le vecteur contrainte de Piola Kirchhoff 1 (ou vecteur de Boussinesq). Il mesure la force par unité desurfacedéfinie dans la configuration de référence. Le vecteur T agit sur la région actuelle Ω. Contrairement au vecteur contrainte de Cauchy, il est fonction des positions X et de la normale N àlafrontière Ω.Le tenseur de contrainte associé est le premier tenseur de Piola Kirchhoff P tel que df = TdS= P NdS Tout comme F, cetenseurp n est ni lagrangien, ni eulérien. On parle de tenseur mixte : la notation indicielle T a = P aa N A contient un indice relatif à une composante actuelle x a,etun autre indice qui décrit une composante non déformée X a. P est relié au tenseur de Cauchy par la relation : Jσ = PF T (II.19) où J = det(f). P n est pas symétrique, il aura dans le cas général 9 composantes indépendantes. II Description lagrangienne Pour avoir un tenseur complètement défini en fonction des variables lagrangiennes, on transporte la force df agissant sur le volume actuel vers la configuration initiale non déformée, suivant (II.2) : df = F 1 df (II.2) On a alors une force fictive, df, agissant sur la surface initiale. Le tenseur de Piola Kirchhoff 2 est alors défini de la manière suivante df = S N ds (II.21) S n a aucune signification physique mais il est symétrique, et purement lagrangien. On a la relation suivante entre le tenseur de Cauchy et le tenseur de Piola Kirchhoff 2 : Jσ = FSF T (II.22) II.1.5 Equations d équilibre Les équations d équilibre sont obtenues à partir du bilan de la quantité demouvement. L écriture des grandes transformations impose la distinction entre les configurations initiale et actuelle. Nous rappelons dans ce paragraphe la formulation du problème d équilibre dans les deux configurations. Le solide considéré occupe un domaine noté Ω dans la configuration initiale non déformée et ω dans la configuration déformée (voir figure II.3). La frontière du domaine est notée Ω (respectivement ω). Cette frontière est décomposée classiquement en deux parties disjointes, Ω u (respectivement ω u )et Ω σ (respectivement ω σ ) (figure II.3). Les conditions aux limites s écrivent { u = u sur ωu t = σ n = t sur ωσ (II.23)

40 26 Chapitre II. Modélisation du comportement mécanique des élastomères De manière symétrique, ces conditions limites s expriment dans la configuration initiale en fonction des transformées de ces différentes grandeurs u = u sur Ωu (II.24) T = PN = T sur Ωσ Ω σ Ω ω σ ω Ω ω Ω u ω u C C t Fig. II.3: Formulation du problème d équilibre. II Configuration eulérienne Le bilan de la quantité de mouvement dans la configuration actuelle s écrit ρf i dω+ t i ds = ργ i dω ω ω ω (II.25) En utilisant ensuite la définition du vecteur contraintes, et le théorème de la divergence, on obtient l équation d équilibre dans la configuration actuelle σ ij + ρf i = ρ ü dans ω x j (II.26) u = u sur ωu σ n = t sur ω σ Le bilan du moment cinétique permet d obtenir la symétrie de σ. II Configuration lagrangienne Dans la configuration initiale, le bilan de la quantité demouvements écrit ρ f i dω+ T i ds = ρ γ i dω Ω On en déduit l écriture mixte P ij + ρ f i = ρ ü dans Ω x J u = u sur Ωu P N = T sur Ω σ Ω Ω (II.27) (II.28)

41 II.1. Rappels de mécanique des milieux continus grandes déformations 27 Le bilan du moment cinétique permet d écrire PF T = FP T (II.29) II Remarque sur l hypothèse des petites perturbations L hypothèse des petites perturbations consiste à supposer que le déplacement u est petit. On peut donc confondre C et C t, X et x. On suppose de plus que Grad u est petit, ce qui conduit ànégliger les termes du second ordre dans le gradient des déplacements. Les différents tenseurs de déformation se réduisent alors à E = 1 (C I) équivalent à ɛ 2 A = 1 ( I b 1 ) (II.3) équivalent à ɛ 2 où ɛ ij = 1 2 ( ui + u ) j X j X i correspond àlapartielinéaire du tenseur des déformations. De même, les différents tenseurs des contraintes P, S ou σ s identifient, en petites perturbations, au tenseur des contraintes de Cauchy σ, etleséquations d équilibre utilisées sont (II.26). II.1.6 Propriété des lois de comportement Rappelons que la loi de comportement doit permettre de relier le tenseur des contraintes à l instant t au tenseur des déformations en tout point du solide, quel que soit l instant considéré. D une façon générale, la loi de comportement s exprime comme une fonctionnelle de réponse dépendant du tenseur gradient des déformations F [69] : S(t) = F τ<=t { F (τ) } P(t) = C τ<=t { F (τ) } σ(t) = M { F (τ) } (II.31) τ<=t où F, C ou M sont des fonctionnelles de réponse. Cette loi de comportement doit vérifier le principe d objectivité ou d indifférence matérielle, qui s énonce comme suit : la loi de comportement doit être invariante dans tout changement de référentiel. On écrit le changement de référentiel sous la forme : { x + = c(t)+q(t) x (II.32) t + = t + a où Q(t) est une matrice de rotation. L exposant + caractérise les variables après changement de référentiel. La relation (II.32) traduit le fait que les distances entre deux points sont préservées lors d un changement d observateur. De même, les intervalles de temps entre les événements

42 28 Chapitre II. Modélisation du comportement mécanique des élastomères sont préservés. (II.32) traduit égalementlefaitquelespropriétés matériau ne doivent pas être affectées par un mouvement de corps rigide. On montre alors qu un scalaire Φ, un vecteur v ou un tenseur A sont objectifs s ils se transforment lors du changement d observateur (II.32) de la façon suivante : A + ( x +,t + ) = Q(t) A ( x,t) Q T (t) v + ( x +,t + ) = Q(t) v ( x,t) Φ + ( (II.33) x +,t + ) = Φ( x,t) En utilisant la relation (II.32), on trouve les lois de transformation des différents tenseurs de déformation, lagrangien, mixte, et eulérien : C + = C E + = E F + = QF b + = QbQ T (II.34) En utilisant ensuite le fait que le vecteur contrainte t est objectif, on en déduit la relation de transformation de σ σ + = Q σ Q T (II.35) Les relations de passage (II.19) et (II.22) permettent alors d obtenir la forme suivante pour la transformation des tenseurs des contraintes P et S P + = QP S + = S (II.36) En reportant (II.34) (II.35) et (II.36) dans les fonctionnelles (II.31), on obtient des conditions nécessaires et suffisantes sur les fonctions réponses dans les différentes configurations. Ainsi, en configuration eulérienne, σ(t) = M { F (τ) } est indépendant de l observateur si la fonctionnelle M satisfait la condition d invariance τ<=t (II.37) Q M{F (τ) } Q T = M (QF) (II.37) En configuration mixte, cette relation d invariance s écrit QC (F(τ)) = C (QF) (II.38) La configuration de référence n est pas affectée par un mouvement de corps rigide (on a S + = S et C + = C). En utilisant aussi les relations de passage entre σ et S on trouve que la forme S(t) = F τ<=t { E (τ) } (II.39) est objective. En général, pour obtenir une loi objective, il suffit donc de travailler en description lagrangienne. C est ainsi cette configuration qui sera privilégiée au cours de ce travail. Remarque : Ladérivation par rapport au temps de grandeurs lagrangiennes objectives conserve l objectivité. Ce n est pas le cas pour les grandeurs eulériennes. Dans ce cas, il faudra utiliser des dérivées objectives (dérivée de Jaumann, de Truesdell...) dont l intérêt principal est d éliminer les rotations parasites en dérivant le tenseur dans un repère adapté.

43 II.1. Rappels de mécanique des milieux continus grandes déformations 29 La loi de comportement doit également vérifier les symétries matérielles. Si le matériau est isotrope (ce qui est le cas des élastomères considérés dans ce travail), la loi de comportement doit être invariante par rotation de la configuration de référence (cela traduit simplement le fait que les propriétés du matériau sont identiques dans toutes les directions). Par un raisonnement analogue à celui présenté dans le paragraphe précédent, on trouve des conditions restrictives sur les fonctionnelles (II.31). En configuration eulérienne, cette condition se traduit notamment par Q M{b (τ) } Q T = M ( QbQ T ) (II.4) La relation (II.4) montre que la fonction M est isotrope au sens mathématique du terme. On peut alors utiliser les théorèmes de représentation donnant la forme générale des fonctions tensorielles isotropes. Ces théorèmes permettent notamment d écrire en configuration eulérienne σ(b) =α I + α 1 b + α 2 b 2,oùlesα i sont fonctions uniquement des invariants de b. II.1.7 Thermodynamique des milieux continus L inégalitédeclaudius Duhem est obtenue en utilisant le premier principe (bilan d énergie mécanique et thermique du système) puis le second principe (inégalité fondamentale du bilan d entropie). En introduisant ensuite l énergie libre spécifique de Helmoltz, on obtient l expression de l inégalité de Clausius Duhem dans les différentes descriptions mixte, lagrangienne et eulérienne : ( ) Φ = P ij F ij ρ Ψ +η T Q. Grad T } {{ } } {{ T } Φ int Φ th ( ) Φ = S ij Ė ij ρ Ψ +η T Q. Grad T } {{ } } {{ T } (II.41) Φ int Φ th ( ) Φ = σ ij d ij ρ Ψ +η T q. gradt } {{ } } {{ T } Φ int Φ th où Φ est la dissipation, qui peut se décomposer en une dissipation intrinsèque mécanique, et une dissipation thermique. Ψ est l énergie libre Q est le flux de chaleur T est la température absolue η est l entropie

44 3 Chapitre II. Modélisation du comportement mécanique des élastomères Les équations (II.41) sont un outil incontournable pour construire des modèles de comportement par la méthode de l état local [45]. Il s agit d une méthode thermodynamique phénoménologique qui consiste àécrire l énergie libre en fonction de variables introduites pour représenter les phénomènes observés. En appliquant alors les différentes étapes mentionnées ci dessous on aboutit àl écriture de la loi de comportement du matériau. Cela se fait en suivant le cheminement suivant : Définir des variables d état : l axiome de l état local postule en effet que l état du matériau est entièrement défini par la connaissance à cet instant des valeurs de ces variables. Parmi ces variables, on distingue : les variables observables (température, déformations F, E ou b suivant la description privilégiée) les variables internes ω k : celles-ci sont introduites pour décrire des phénomènes complexes tels que la dissipation (plasticité, viscosité, viscoplasticité...)ouentreautres l endommagement. Postuler l existence d un potentiel thermodynamique duquel dérivent les lois d état. Le potentiel thermodynamique sera le plus souvent l énergie libre spécifique Ψ : elle dépendra des variables observables et des variables internes, et on écrira dans le cas général Ψ=Ψ(F,ω k,...) On définit alors les variables flux généralisés J α associées aux variables internes par Ψ J α = ρ. On leur associe les affinités A α de manière àécrire le potentiel de dissipation ω α sous la forme Φ = J α A α. La loi de comportement va consister à trouver des relations α entre les affinités et les flux généralisés. Pour décrire l évolution des variables associées aux processus dissipatifs, il faut postuler l existence d un pseudo potentiel de dissipation ϕ, fonction des variables flux. On suppose de plus que les relations entre les J α et les A α sont linéaires (relations de symétrie de Onsager) et qu il y a découplage entre la dissipation intrinsèque et la dissipation thermique (ce qui n implique pas que les mécanismes correspondants soient découplés). L ensemble de ces hypothèses conduit àunsystème d équations dont la résolution donne l écriture de la loi de comportement. Tout le problèmedelamodélisation des phénomènes réside dans la détermination analytique des potentiels thermodynamiques Ψ et du pseudo potentiel de dissipation ϕ. Nous verrons dans les paragraphes qui suivent des exemples d application de cette méthode pour l écriture des lois de comportement hyperélastique et viscoélastique en grandes déformations.

45 II.2. Modélisation des propriétés élastiques 31 II.2 Modélisation des propriétés élastiques II.2.1 Matériau hyperélastique isotrope Un matériau est élastique si le tenseur des contraintes de Cauchy à l instant t dépend uniquement de l état de déformation àcemême instant, ainsi la contrainte ne dépend pas du chemin suivi par la déformation, mais par contre le travail fourni par cette contrainte dépend généralement du chemin suivi. Un matériau élastique est dit hyperélastique si le tenseur des contraintes dérive d une fonction d énergie du matériau. Ceci implique que le travail mis en jeu pour aller d un état de déformation à un autre ne dépend pas du chemin suivi. Pour écrire une loi de comportement hyperélastique, on postule ainsi l existence d une énergie libre Ψ définie par unité de volume dans la configuration de référence. Pour respecter le principe d objectivité énoncé plus haut, on montre que l énergie peut toujours être considérée comme une fonction du tenseur des déformations E. Sidepluslematériau est isotrope (la loi de comportement doit être invariante par rotation de la configuration de référence), on pourra exprimer Ψ en fonction des invariants des tenseurs C ou b. Cette énergie est également appelée énergie de déformation, et souvent notée W dans la littérature. L obtention de la loi de comportement àpartirdes équations (II.41) se fait comme suit : On écrit que la dissipation interne est nulle (le matériau est élastique). On néglige les effets thermiques (on ne s intéresse qu au comportement mécanique). En exprimant alors le potentiel de dissipation dans les différentes configurations (lagrangienne, mixte, eulérienne)onendéduit la loi de comportement dans chacune de ces configurations par dérivation de l énergie de déformation volumique. Cette démarche est appliquée dans les expressions (II.42) pour les écritures lagrangienne, mixte puis eulérienne. Les égalités ainsi écrites sont vraies en tous points du milieu continu, et pour tous les temps. On en déduit la relation entre les contraintes et les déformations dans chacune des configurations. ( Φ = S ij E ij Ψ = S Ψ ) : Ė = S ij = Ψ =2 Ψ E E ij C ij Φ = P ij F ij Ψ = Φ = Jσ ij d ij Ψ = ( P Ψ F ) ( Jσ 2b Ψ b ) : Ḟ = P ij = Ψ F ij : d = σ ij = 2 J b Ψ ik = 2 Ψ b kj b kj J b ik (II.42) Le matériau étant isotrope, l énergie de déformation s exprime également en fonction des invariants I 1, I 2 et I 3 des tenseurs b ou C. b et C ayant les mêmes valeurs propres, on a de plus I 1 (b) =I 1 (C), I 2 (b) =I 2 (C), I 3 (b) =I 3 (C). Ces invariants s expriment de la manière suivante

46 32 Chapitre II. Modélisation du comportement mécanique des élastomères I 1 = trace(c) = λ λ2 2 + λ2 3 I 2 = 1 2 [I2 1 trace(c 2 )] = λ 2 1 λ2 2 + λ2 1 λ2 3 + λ2 2 λ2 3 (II.43) I 3 = det(c) = λ 2 1 λ2 2 λ2 3 où λ 1, λ 2 et λ 3 correspondent aux élongations dans les directions principales de b et C. La relation contrainte déformation est alors obtenue en dérivant ces invariants par rapport aux tenseurs b et C. Ona I 1 C = I I 2 C = I 1I C (II.44) D où, en injectant (II.44) dans (II.42) I 3 C = I 3C 1 S = 2 Ψ C =2 = 2 3 a=1 Ψ I a I a C [( ) Ψ Ψ + I 1 I Ψ ] Ψ C + I 3 C 1 I 1 I 2 I 2 I 3 (II.45) En configuration eulérienne, la relation contrainte déformation est obtenue en utilisant la relation de passage (II.22) σ = 1 J FSFT = 2 J [( ) Ψ Ψ + I 1 b Ψ ] (II.46) b 2 Ψ + I 3 I I 1 I 2 I 2 I 3 II.2.2 Prise en compte de la condition d incompressibilité Nous avons mentionné parmi les propriétés à prendre en compte la quasi incompressiblité des élastomères (le rapport entre le coefficient de dilatation volumique et le coefficient de cisaillement est de l ordre de 1). Les déformations se font ainsi à volume presque constant. Si les élastomères subissent une contrainte hydrostatique, les déformations engendrées sont négligeables. On pourra pour les modéliser faire l hypothèse d incompressibilité complète. La conservation de volume au cours de la déformation se traduit par les relations suivantes, toutes équivalentes : dv = constante J = det(f) =1 trace(d) = J = F T : Ḟ = (II.47) Il s agit de conditions nécessaires et suffisantes pour qu une transformation soit isochore. En ce qui concerne la loi de comportement, on voit que les seules déformations qui peuvent

47 II.2. Modélisation des propriétés élastiques 33 avoir lieu sont celles qui conservent le volume du solide : les déformations ne sont ainsi pas entièrement libres. Quand, comme c est le cas ici, la cinématique de déformation est soumise à certaines restrictions, on parle de liaisons internes. Dans ce cas, il faut rajouter àla forme générale de la loi de comportement (II.31) une contrainte indéterminée ne travaillant pas dans tout mouvement compatible avec la liaison. On écrira alors, par exemple en configuration eulérienne σ(t) =M (F(τ)) + σ (II.48) Le travail w de la contrainte indéterminée est donné parw = σ : d, et la liaison interne impose : d =. L incompressibilité se traduit par ailleurs par la condition trace(d) =.Cesdeux σ conditions donnent finalement à la loi de comportement la forme suivante : σ(t) =M (F(τ)) pi (II.49) où p est une pression indéterminée, qui pourra être calculée en écrivant les conditions aux limites. La condition d incompressibilité peutêtre introduite de façon directe dans l écriture de l énergie de déformation en écrivant celle ci sous la forme : Ψ =Ψ(C) p(j 1) (II.5) où Ψestdéfinie pour J = det(f) = 1. Seuls interviennent dans Ψ les deux premiers invariants du tenseur des déformations (puisque I 3 = 1). On a ainsi Ψ(C) =Ψ(I 1,I 2 ). p est un multiplicateur de Lagrange indéterminé, qui peut être identifié à la pression hydrostatique. Par dérivation de l énergie de déformation, on obtient alors Φ = P ij F ij Ψ ( = P Ψ ) F + pf T : Ḟ = P ij = Ψ F ij pf T (II.51) De manière analogue, on retrouve la forme de la relation contrainte déformation en formulation lagrangienne, dans le cas isotrope incompressible [( ) Ψ Ψ S = 2 + I 1 I Ψ ] C p C 1 (II.52) I 1 I 2 I 2 En formulation eulérienne, on a alors σ = FSF T = 2 [( ) Ψ Ψ + I 1 b Ψ ] b 2 p I I 1 I 2 I 2 (II.53) II.2.3 Quelques exemples d énergie de déformation Par définition, une loi de comportement doit être représentive de tous les chargements mécaniques appliqués. Afin d établir l expression de la densité d énergie de déformation la

48 34 Chapitre II. Modélisation du comportement mécanique des élastomères plus adaptée, il est nécessaire de construire une base de données expérimentales constituée d essais uni et multiaxiaux. Dans le cas d élastomères supposés incompressibles, les bases de données expérimentales sont généralement établies à partir d essais de traction uniaxiale, de cisaillement simple et de traction biaxiale [34]. Pour chaque type d essai retenu, on relève des couples contrainte-déformation. Ensuite, un algorithme de minimisation moindres carrés est utilisé pour calculer les coefficients élastiques de différentes énergies de déformation préalablement sélectionnées. Ces coefficients sont calculés de manière à minimiser l écart entre les valeurs expérimentales de la base de données et la forme analytique prédite par les énergies de déformation choisies. On sélectionne ensuite la loi de comportement représentant le meilleur compromis entre la qualité du lissage, la complexité et la stabilité numérique des modèles. De nombreuses formes de l énergie de déformation ont été proposées dans la littérature. Certaines se basent sur une théorie statistique, d autres sont purement phénoménologiques. Il existe plusieurs manières de classer les différentes énergies de déformation. On peut par exemple séparer celles qui s expriment en fonction des invariants, et celles qui s expriment en fonction des élongations principales. Une autre manière d établir une séparation est de considérer celles dont les coefficients interviennent sous forme linéaire (c est le cas notamment pour le modèle de Rivlin généralisé) et celles dont les coefficients interviennent sous forme de lois puissance (comme par exemple pour le modèle d Ogden). Nous ne présentons dans cette partie que les énergies de déformation polynomiales, ainsi que l énergie de déformation d Ogden. Elles figurent parmi les énergies de déformation les plus utilisées. Dans le premier cas (lois polynomiales), l énergie de déformation dépend linéairement des paramètres de la loi de comportement, et celle-ci s exprime en fonction des invariants I 1 et I 2. Ces lois polynomiales sont d identification aisée. Elles permettent en général un bon lissage des résultats expérimentaux jusqu à destaux de déformation modérés. Pour des taux de déformation plus élevés, il faudra souvent augmenter l ordre du polynome. Toutefois, le fait de travailler avec un nombre de coefficients élevé conduit à des instabilités numériques aux limites du domaine d investigation en déformation. Pour les modèles qui s expriment sous forme de lois puissance comme le modèle d Ogden, les coefficients interviennent sous forme non linéaire (exposant). Ces modèles permettent en général d avoir un bon lissage avec peu de paramètres pour des niveaux de déformations plus élevés. Toutefois leur identification est moins aisée. On pourra trouver une revue plus complète des différentes énergies de déformation dans les thèses [3, 39, 8]. II Forme polynomiale Le modèle de Rivlin généralisé, implanté dans la plupart des codes de calcul éléments finis, est donné parledéveloppement en série suivant : Ψ = N C ij (I 1 3) i (I 2 3) j (II.54) i+j=1 Ce type de loi est généralement le plus utilisé. L énergie de déformation est développée àun ordre proportionnel àlaplagededéformation souhaitée (pour N=3, on a généralement une

49 II.2. Modélisation des propriétés élastiques 35 bonne corrélation avec les mesures expérimentales). En pratique, la plupart des lois polynomiales utilisées correspondent à un cas particulier du développement de Rivlin. Par exemple, en ne gardant que le premier terme du développement, on obtient la loi Néo Hookéenne Ψ = C 1 (I 1 3) (II.55) qui a d abord été élaborée àpartirdelathéorie statistique en considérant que le caoutchouc vulcanisé estunréseau tridimensionnel de longues chaînes moléculaires connectées en quelques points. Le modèlenéo Hookéenpermet d avoirune bonne corrélationpourdes tauxde déformation modérés (jusqu à 5%), mais n est pas adapté à la prise en compte des grandes déformations. Le second cas particulier du développement de Rivlin correspond au modèle phénoménologique de Mooney Rivlin, très utilisé dans l industrie des élastomères. On prend alors les 2 premiers termes du développement de Rivlin, ce qui permet d écrire Ψ = C 1 (I 1 3) + C 1 (I 2 3) (II.56) Cette fois, on obtient une bonne corrélation avec les résultats expérimentaux jusqu à destaux de déformation de l ordre de 15%. Par contre, dans le cas d élastomères chargés en noir de carbone, son utilisation peut donner de moins bonnes corrélations. Le modèle phénoménologique de Yeoh [78], appliqué àdesélastomères chargés en noir de carbone, est issu de la constatation expérimentale que Ψ est négligeable dans le cas de ces I 2 mélanges. Yeoh a alors fait l hypothèse simplificatrice Ψ =, et a proposé une énergie de I 2 déformation à 3 coefficients, où le second invariant n apparaît pas. L énergie de déformation proposée s écrit alors Ψ = C 1 (I 1 3) + C 2 (I 1 3) 2 + C 3 (I 1 3) 3 (II.57) II Développement en fonction des élongations principales Ogden [57] a proposé une énergie de déformation qui s exprime en fonction des élongations principales et décrit les variations de ces dernières de la configuration de référence à la configuration actuelle : Ψ=Ψ(λ 1,λ 2,λ 3 ) = N k=1 µ k α k ( λ α k 1 + λ α k 2 + λ α k 3 3) (II.58) où Ndésigne le nombre de termes de l énergie de déformation, les µ k désignent des coefficients de cisaillement et les α k sont des constantes sans dimension. Par linéarisation, on obtient la relation suivante entre le coefficient de cisaillement linéaire µ (pente à l origine lors de l essai de cisaillement) et les coefficients de l énergie de déformation d Ogden 2µ = N µ k α k µ k α k > k =1...N (II.59) k=1

50 36 Chapitre II. Modélisation du comportement mécanique des élastomères En général il est possible d obtenir une très bonne corrélation avec les résultats expérimentaux pour N=3. Le modèle d Ogden donne une identification plus stable par rapport au modèle polynomial, et un meilleur lissage des résultats expérimentaux est obtenu jusqu à des taux de déformation assez élevés. Il ne peut en général pas être comparé à une expression d énergie polynomiale, sauf dans le cas particulier N =2,α 1 =2,α 2 = 2. Dans ce cas, on retrouve le modèle de Mooney Rivlin évoqué précédemment avec les coefficients c 1 = µ 2, c 2 = µ 2 (on utilise aussi la condition d incompressibilité λ 1 λ 2 = 1 ). De même, le modèle Neo Hookéen est obtenu pour N =1,α 1 =2etonaalors λ 3 c 1 = µ 2. Un autre exemple d énergie de déformation écrite en fonction des élongations est l expression proposée par Valanis et Landel [77] : ils ont postulé que l énergie de déformation peut être écrite comme une somme de 3 fonctions séparables w(λ k ), k =1...3: Ψ=w(λ 1 )+w(λ 2 )+w(λ 3 ) Les fonctions w pouvant être développées sous forme logarithmique w =2µ k λ k (logλ k 1 ) Apartirdesénergies de déformation exprimées en fonction des élongations principales, on peut calculer les contraintes dans les directions principales, de la manière suivante P a = Ψ λ a S a = 1 Ψ (II.6) λ a λ a σ a = λ a Ψ λ a On peut aussi recalculer les dérivées par rapport aux invariants I k,k=1...3, pour utiliser les relations (II.52) et (II.53). On inverse alors la relation suivante Ψ I 1 I 2 Ψ λ 1 Ψ = λ 1 λ 1 I 1 I 1 I 2 Ψ (II.61) λ 2 λ 2 λ 2 I 2 enayantprissoinaupréalable de remplacer λ 3 par en compte la relation d incompressibilité. 1 λ 1 λ 2 dans (II.43) et (II.58) pour prendre II Remarque sur les modèles faiblement compressibles et incompressibles Dans le cas de matériaux faiblement compressibles, le comportement est très différent en cisaillement et en dilatation volumique. Il est alors commode d introduire la décomposition des

51 II.2. Modélisation des propriétés élastiques 37 déformations. Les tenseurs F et C sont alors décomposés en une partie sphérique, et une partie isochore, de la manière suivante : F = J 1 3 F C = J 2 3 C (II.62) Les termes J 1 3 I et J 2 3 I sont associés àdesdéformations induisant des variations de volume. Les tenseurs F et C sont eux associés àdesdéformations isochores. Cette décomposition, introduite à l origine par Flory (1961), a été par la suite largement utilisée, notamment par Sidoroff [65, 66, 67, 68] pour introduire la notion d état intermédiaire. On introduit alors les invariants réduits, invariants des tenseurs F et C, reliés aux invariants définis en (II.43) de la manière suivante I 1 = J 2 3 I1 (II.63) I 2 = J 4 3 I2 Cela conduit à une expression de l énergie de déformation volumique sous forme découplée : Ψ = Ψ(I 1, I 2 )+Ψ vol (J) (II.64) oùψ vol (J)nedépend que de la variation de volume. Cette fonction doit être strictement convexe, avec pour seul minimum J=1. Le cas incompressible correspond alors àψ vol (J) =.Dansce cas, l énergie de déformation s écrit Ψ = Ψ (I 1, I 2 )=Ψ(I 1,I 2 ) (II.65) et on utilise un multiplicateur de Lagrange dans l expression de l énergie de déformation pour imposer la contrainte J =1 Ψ=Ψ(I 1, I 2 ) p ( J 1) Plusieurs forme de la fonction Ψ vol (J) existent dans la littérature. Citons par exemple celle due àogden: Ψ vol (J) = α ) (βln(j)+j β β 2 1 (avec α coefficient de dilatation volumique, et β paramètre empirique) [57] ou encore à Simo et Miehe Ψ vol (J) =α 1 ( J 2 1 2ln(J) ) 4 Dans les codes éléments finis, la forme généralement employée est la suivante [1] Ψ vol (J) = N i=1 1 D i ( J 1) 2i (II.66) le module de compressibilité étant donné park = 2. Dans le cas où lematériau est très D 1 faiblement compressible, ces différentes formes sont quasi équivalentes [51].

52 38 Chapitre II. Modélisation du comportement mécanique des élastomères II.3 Modélisation des propriétés dissipatives Nous avons signalé dans l introduction les propriétés dissipatives des élastomères. L objet de cette partie est de rappeler les approches généralement utilisées pour prendre en compte ces aspects. La dépendance de la contrainte en fonction de l histoire de la sollicitation relève du caractère viscoélastique du matériau. Un premier paragraphe est consacré àunrappeldeviscoélasticité linéaire. La loi de comportement viscoélastique est rappelée, ainsi que les principaux modèles rhéologiques utilisés pour approximer le comportement dissipatif. Le second paragraphe présente quelques modèles rencontrés lors de la prise en compte de la viscoélasticité en grandes déformations. On distingue pour cela deux types d approches, les approches fonctionnelles et les approches par variables internes. Le dernier paragraphe est consacré àlamodélisation de la dissipation non visqueuse. En effet, l hystérésis observée à basse fréquence est expliquée par certains auteurs par du frottement sec. Les modèles rhéologiques associés seront ainsi présentés. Ces modèles sont actuellement très prisés par les constructeurs automobiles pour modéliser les phénomènes de dépendance en amplitude [2, 3]. Leur principale restriction est d être en général unidimensionnels, mêmesiunetentativedegénéralisation aux sollicitations tridimensionnelles est faite dans [19]. II.3.1 Viscoélasticité linéaire II Loi de comportement viscoélastique linéaire Les effets de fluage (évolution de la déformation en réponse àunéchelon de contrainte) et de relaxation (évolution de la contrainte en réponse àunéchelon de déformation) évoqués dans l introduction font appel àlanotionde mémoire des matériaux viscoélastiques. Le comportement d un matériau viscoélastique linéaire peut être défini à partir uniquement de la donnée de l une de ces fonctions réponse. Les hypothèses de linéarité du comportement, ainsi que le principe de superposition de Boltzmann ( Si l on superpose deux histoires de sollicitations, la réponse est la superposition des réponses ) permettent alors d écrire la réponse à toute histoire de sollicitation à partir de la connaissance des fonctions de retard ou de relaxation. Les hypothèses retenues pour établir la formulation fonctionnelle d un problèmedeviscoélasticité linéaire sont les suivantes : La contrainte σ(t) (respectivement déformation) est une fonctionnelle de toute l histoire des déformations (respectivement contraintes) Le matériau est non vieillissant (les fonctions de retard et de relaxation ne dépendent que d une seule variable temporelle) La fonctionnelle est linéaire

53 II.3. Modélisation des propriétés dissipatives 39 De plus, l hypothèse d isotropie permet de ramener à deux le nombre de coefficients indépendants. Finalement la loi de comportement du matériau viscoélastique linéaire, supposé isotrope, s écrit en fonction d une intégrale héréditaire liant les contraintes à l histoire des déformations : σ(t) = t λ(t τ) tr( ɛ)(τ)dτ I + t 2 µ(t τ) ɛ (τ)dτ (II.67) Les variations de volume étant en général très faibles devant le comportement en cisaillement, il est commode de séparer les contributions des parties déviatoriques et sphériques. s(t) = σ(t) 1 3 trσ(t)i e(t) = ɛ(t) 1 (II.68) 3 trɛ(t)i e(t)(respectivement s(t)) est la partie déviatorique du tenseur des déformations (respectivement contraintes). En fonction de ces paramètres, la loi de comportement devient t s(t) = 2 µ(t τ) ė (τ)dτ (II.69) t trσ(t) = 3 K(t τ)tr ɛ(τ)dτ où K est le bulk modulus, ou coefficient de dilatation volumique, relié aux coefficients de Lamé par 3 K(t) = 3λ(t) + 2µ(t) Une forme équivalente de la relation (II.67) est alors t t σ(t) = 2 µ(t τ) ė (τ)dτ + K(t τ)tr ɛ(τ)dτ (II.7) Les paramètres K(t) etµ(t) sont les fonctions de relaxation. La loi de comportement peut également s exprimer en fonction de fonctions de fluages. Si l on considère que le matériau est complètement incompressible, seule la partie déviatorique des contraintes est à prendre en compte. L incompressibilité se traduit par l introduction d une pression hydrostatique indéterminée, et on écrit σ(t) = t 2 µ(t τ) ė (τ)dτ p(t) I (II.71) En appliquant la transformée de Laplace, définie pour une fonction f par à (II.69) on obtient : L(f) = + f(t)e st dt s(p) = 2pµ(p) e(p) trσ(p) = 3pK(p) trɛ(p)

54 4 Chapitre II. Modélisation du comportement mécanique des élastomères ou encore σ(p) = pa(p) ɛ(p) avec A = λ(p)+2µ(p) λ(p) λ(p) λ(p) λ(p)+2µ(p) λ(p) λ(p) λ(p) λ(p)+2µ(p) µ(p) µ(p) µ(p) µ(p) etλ(p) désignant respectivement les transformées de Laplace de µ(t) etdeλ(t). On voit ainsi que pour résoudre un problème de viscoélasticité, on peut se placer en transformée de Laplace, effectuer les calculs algébriques nécessaires àlarésolution, puis revenir aux grandeurs temporelles par la transformation inverse. Pour pouvoir facilement intégrer la loi de comportement viscoélastique dans des calculs prédictifs, il est préférable de disposer d un modèle pour approximer les fonctions de relaxation ou de fluage. Pour ce faire, on utilise des modèles rhéologiques ou fractionnaires qui seront présentés dans les paragraphes suivants. II Les modèles rhéologiques en viscoélasticité linéaire Le comportement viscoélastique est intermédiaire entre celui du solide élastique modélisé par un ressort et celui du fluide visqueux, modélisé par un amortisseur. Ce sont ces éléments qui vont servir de base àlamodélisation du comportement viscoélastique. Le comportement élastique sera dû aux ressorts, le comportement visqueux aux amortisseurs (figure II.4). ɛ σ ɛ σ σ = µɛ σ = η ɛ Fig. II.4: Schématisation des éléments rhéologiques usuels en viscoélasticité. On désigne par σ la force agissant sur l élément et par ɛ l allongement de celui ci. Nous allons écrire les relations dans le cadre de sollicitations de cisaillement. On pourrait faire intervenir de même le module d Young ou le coefficient de compression volumique K. Toutefois,même dans le cas compressible, les effets dus à la variation de volume sont en général supposés indépendants du temps.

55 II.3. Modélisation des propriétés dissipatives 41 Pour avoir la fonction de relaxation associée àchaqueélément, on résoud l équation correspondante en imposant un échelon de déformation ɛ = ɛ t ɛ = t< (II.72) De même, pour avoir la fonction de fluage, on impose un échelonencontrainte σ = σ t σ = t< (II.73) Afin de représenter correctement le comportement complexe d un matériau, on assemble ces différents éléments en série ou en parallèle. Pour des éléments en parallèle, la fonction de relaxation de l ensemble est la somme des fonctions de relaxation des éléments (tous les éléments subissent la même déformation, la contrainte totale est la somme de la contrainte sur chaque élément). Pour les éléments en série, la fonction de fluage de l ensemble est la somme des fonctions de fluage des éléments (la même force est supportée par tous les éléments, mais la déformation totale est la somme des déformations de chaque élément). Nous rappelons brièvement dans le paragraphe suivant les fonctions de relaxation associées aux modèles les plus classiquement rencontrés. a Le modèle de Maxwell Il est constitué d un ressort en série avec un amortisseur : σ ɛ 1 ɛ 2 s σ(t) =µɛ 1 (t) σ(t) =ηɛ 2 (t) ɛ(t) =ɛ 1 (t)+ɛ 2 (t) L équation différentielle associée est ainsi Fig. II.5: Modèle de Maxwell σ + µ η σ = µ ɛ (II.74) avec la condition initiale σ = µɛ. En posant τ = η µ, on a ainsi le noyau de relaxation associé t µ(t) =µe τ L élasticité instantanée est donnée par σ = µɛ. A l infini, il y a relaxation complète des contraintes. C est pourquoi ce modèle est généralement utilisé avec un ressort pour avoir une élasticité infinie.

56 42 Chapitre II. Modélisation du comportement mécanique des élastomères Pour avoir la réponse en fréquence associée, on résoud (II.74) pour une excitation du type ɛ = ɛ e iωt. En cherchant la réponse sous la forme σ = σ e iωt, on obtient le module dynamique σ associé àunmodèle de Maxwell ɛ µ (ω) = iωµ 1 τ + iω Remarque : Le module dynamique peut également être obtenu àpartirdelaformeintégrale de la relation contraintes déformations σ(t) = t µ(t τ) ɛ(τ)dτ (II.75) En insérant une excitation du type ɛ = ɛ e iωt dans (II.75), et après changement de variable t τ = X, on retrouve t σ(t) = iωɛ µ(x) e iωx dx e iωt (II.76) = iωɛ g (ω) e iωt en notant g (ω) la transformée de Fourier de µ(t), définie pour une fonction f par On retrouve ainsi µ (ω) =iωg (ω) L(f) = + f(t)e iωt dt b Le modèle de Zener Il s agit de la mise en parallèle d un élément de Maxwell avec un ressort assurant l élasticité infinie : µ σ(t) =σ 1 (t)+σ 2 (t) η ɛ2 µ ɛ 1 σ 1 (t) =µ ɛ(t) σ 2 (t) =µɛ 1 (t)+ηɛ 2 (t) ɛ(t) =ɛ 1 (t)+ɛ 2 (t) Fig. II.6: Modèle de Zener. Le noyau de relaxation associé est t µ(t) = µ + µe τ = µ 1+ µ t e τ µ (II.77)

57 II.3. Modélisation des propriétés dissipatives 43 La réponse àunéchelon de déformation ɛ est donnée par σ(t) =µ(t)ɛ. Aux temps longs (t ), on retrouve σ = µ ɛ, ce qui justifie la dénomination d élasticité infinie donnée au premier ressort. Pour calculer la réponse en fréquence, on écrit la relation contrainte déformation sous la forme t σ(t) = µ 1+ µ t s e τ ɛ(τ)dτ (II.78) µ En notant g (ω) la transformée de Fourier du module normalisé t g µ (ω) = e τ e iωt dt µ on obtient le module dynamique associé aumodèle de Zener µ (ω) = σ ɛ =(µ + iωg (ω)) = µ + iωµ 1 τ + iω (II.79) Le modèle de Zener est un modèle rhéologique simple, avec peu de paramètres. De façon qualitative, la fonction de relaxation obtenue est cohérente avec le comportement solide. C est également le cas pour la fonction fluage. Par contre il est caractérisé par un temps de relaxation unique. Il ne peut ainsi pas rendre compte du comportement sur un large domaine en vitesse. La même remarque est valable pour le comportement en fréquence régi par l équation (II.79). Généralement pour augmenter le domaine de validité temporeloufréquentieldecemodèle, on utilise un modèle de Maxwell généralisé. c Le modèle de Maxwell généralisé Ce modèle est formé d un assemblage en parallèle de N modèles de Maxwell et d un élément élastique. µ ɛ η 1 µ 1 z 1 η 2 ɛ 1 µ 2 z 2 ɛ 2.. η N µ N z n ɛ n Fig. II.7: Modèle de Maxwell généralisé.

58 44 Chapitre II. Modélisation du comportement mécanique des élastomères Cela conduit àunmodèle ayant les mêmes propriétés qualitatives que le modèle de Zener, mais plus àmême de lisser les données expérimentales. Le noyau de relaxation associé semet sous la forme N t µ(t) = µ + µ i e τ i = µ i=1 1+ t N µ i e τ i µ i=1 (II.8) où τ i = η i.ledéveloppement précédent est communément appelé série de Prony. µ i Pour une excitation harmonique, on obtient de la même manière que précédemment le module dynamique, en prenant la transformée de Fourier du module normalisé N t g µ i (ω) = e τ i e iωt dt µ i=1 ce qui conduit au module dynamique suivant µ (ω) = σ ɛ =(µ + iωg (ω)) = µ + N i=1 iωµ i 1 τ i + iω (II.81) II Les modèles fractionnaires Comme nous l avons mentionné précédemment, il est possible de lisser les fonctions fluage et relaxation (ou le module dynamique) à l aide des modèles rhéologiques généralisés présentés précedemment. L inconvénient de ce type d approche est le nombre de paramètres à prendre en compte pour pouvoir représenter correctement le comportement du matériau. L utilisation de la dérivée fractionnaire pour la modélisation des élastomères répond initialement àunsoucide réduction du nombre de paramètres de la loi de comportement mécanique du matériau. Bagley et Torvik [5] ont également démontré qu elle avait un fondement thermodynamique. On trouvera une étude bibliographique détaillée des origines et des domaines d application de la dérivation non entière àlamodélisation des élastomères dans la thèsedesoula[72].demême, une étude de différents modèles rhéologiques fractionnaires est menée dans la thèsedecosson[18]. a L élément rhéologique spring-pot Les modèles rhéologiques présentés dans la section précédente sont constitués de ressorts ou d amortisseurs. En introduisant l opérateur différentiel non entier D α qui sera défini plus spécifiquement dans le prochain paragraphe, ces modèles peuvent s exprimer sous la forme : σ(t) = kd α ɛ(t) (II.82)

59 II.3. Modélisation des propriétés dissipatives 45 En prenant α = on retrouve le comportement d un ressort pur, et α = 1 correspond àun amortisseur pur (figure II.4). Pour α 1 on peut introduire un nouvel élément nommé spring-pot (figure II.8). c, α σ(t) =cd α ɛ(t) ɛ Fig. II.8: Schématisation de l élément spring-pot L association de cet élément à un ressort en série ou en parallèle conduit àdesmodèles rhéologiques fractionnaires. Ainsi le modèle de Kelvin Voigt fractionnaire est constitué d un ressort en parallèle avec un spring-pot. La loi correspondante est σ = µ α (ɛ + ad α ɛ) (II.83) De même, le modèle de Zener fractionnaire peut être schématisé demanière identique àlafigure (II.6), et conduit àl écriture σ + bd α σ = µ ( ɛ + ad β ɛ ) (II.84) Bagley et Torvik ont fait l étude thermodynamique d un tel modèle et ont montré qu avoir une énergie de déformation positive impose sur les coefficients les restrictions suivantes a b µ a b 1 α = β (II.85) ce qui restreint considérablement le domaine de recherche des paramètres. L élasticité infinie de ce modèle étant donnée par le coefficient µ,etl élasticité instantanée par le rapport a µ = µ b [43]. Remarque : les deux modèles précédents constituent des cas particuliers de la relation contrainte déformation généralisée proposéeparbagleyettorvikdans[6] σ + k b k D α k σ = µ ɛ + k a k D β k ɛ (II.86) Leurs observations expérimentales, ainsi que celles de KOELLER [43], de SOULA [73] ont toutefois conclu que les modèles à3paramètresetà5paramètres permettent déjà une très bonne représentativité du module dynamique des élastomères.

60 46 Chapitre II. Modélisation du comportement mécanique des élastomères b Définition de l opérateur àdérivée non entière Nous rappelons ici la définition de la dérivée généralisée d une fonction causale. L opérateur de dérivation non entière peut être défini à partir de deux expressions différentes, une expression mathématique et une approximation numérique [58]. b.1 Définition exacte L opérateur de dérivation non entière généralise l opération de dérivation à des valeurs fractionnaires. C est l inverse de l opération d intégration fractionnaire attribuée à Riemann et Liouville. La dérivée d ordre α est ainsi définie par D α 1 d t f(t τ) f(t) = Γ(1 α) dt τ α dτ α (II.87) où Γ est la fonction Γ(β) = x β 1 e x dx. On montre qu avec cette définition de l opérateur fractionnaire, l équation (II.82) s écrit également sous forme d une intégrale de convolution, le noyau de relaxation associé étant donné par[6] c µ(t) = Γ(1 α) t α (II.88) On voit ainsi que les modèles fractionnaires expriment les noyaux de relaxations sous forme de puissance fractionnaire, au lieu des exponentielles décroissantes des modèles rhéologiques classiques. La définition (II.87) n est toutefois pas toujours aisée à mettre en oeuvre, et on lui préférera souvent son expression numérique. b.2 Approximation numérique Une deuxième définition de la dérivée généralisée d une fonction f(t), plus générale que la précédente (elle s applique à une fonction causale ou non), peut être obtenue àpartirdela généralisation de la dérivée d ordre entier. On obtient alors : D α f(t) = C n (k)f[(t kh)] k= (II.89) C n (k) = 1 n(n 1)(n 2)...(n k +1) h n ( 1)k k! avec h infiniment petit. L expression (II.89) montre que la dérivation non entière d une fonction prend en compte les valeurs de cette fonction aux valeurs passées. Notons que dans le cas particulier d une fonction nulle pour t<, la somme étendue de k =à k = se réduit àlasommedek =à k = N, avec t = Nh, h étant le pas d échantillonnage. c Module dynamique associé La définition temporelle conduit à des algorithmes coûteux numériquement. Malgré cet inconvénient, cette approche reste très prisée des caoutchoutiers pour la simplicité delaréponse

61 II.3. Modélisation des propriétés dissipatives 47 en fréquence associée. En effet, par transformée de Fourier de la relation (II.86), on a σ(ω) + k (iω) α k b k σ = µ ɛ + k (iω) β k a k ɛ (II.9) ce qui donne la forme suivante pour le module dynamique µ (ω) = µ + (iω) β k a k k 1+ (iω) α k b k k (II.91) En tenant compte des observations expérimentales mentionnées précédemment, on pourra se restreindre aux premiers termes. Nous donnons ci dessous le module dynamique associé àun modèle de Kelvin Voigt fractionnaire µ (ω) = µ α (1 + a (iω) α ) (II.92) Et pour le modèle de Zener fractionnaire, on aura µ (ω) = µ 1 +(iω) α a 1+(iω) α b (II.93) II.3.2 La viscoélasticité en grandes déformations La prise en compte des grandes déformations en viscoélasticité fait encore l objet de nombreuses recherches, et les approches utilisées peuvent être différentes. L objectif de ce paragraphe n est donc pas de faire un inventaire bibliographique exhaustif de tous les modèles qui ont été proposés et nous nous contenterons de présenter les approches les plus couramment rencontrées. On séparera ainsi deux types d approche : L approche fonctionnelle, qui généralise l intégrale héréditaire aux grandes déformations. Ce type d approche est largement discuté danslathèse de A. SOULIMANI [75]. Dans certains cas, cette approche s appuie également sur la formulation thermodynamique énoncée plus haut, c est le cas par exemple des modèles de SIMO [7] et de HOLZAPFEL [35] que nous allons présenter. L approche par variables internes, qui utilise les résultats de thermodynamique rappelés au paragraphe II.1.7. Cette approche n a pas été utilisée dans le cadre de cette étude, mais elle fait par ailleurs l objet de nombreux développements [26, 51, 2] et se doit donc d être signalée. D un point de vue modélisation, quelle que soit l approche utilisée, il apparaît plus judicieux de séparer ces modélisations en fonction de la forme de la dissipation : la non linéarité peuten

62 48 Chapitre II. Modélisation du comportement mécanique des élastomères effet être purement géométrique (correspondant simplement à la prise en compte des grandes déformations), la dépendance par rapport à l histoire des déformations étant linéaire. Ces approches sont quelquefois regroupées sous le terme de viscoélasticité linéaire finie. Letermede viscoélasticité finie regroupe les modélisations pour lesquelles les effets dissipatifs peuvent être non linéaires. Ces modèles sont ainsi plus généraux [6]. Pour chacune de ces catégories, des approches aussi bien fonctionnelles que thermodynamiques sont possibles. II Viscoélasticité linéaire en grandes déformations a Le modèledesimo Le modèle proposé par Simo est basé sur un découplage entre les réponses déviatorique et isochore. Ceci est réalisé à l aide d une décomposition classique du gradient des déformations F = J 1 3 F. De plus, le tenseur des contraintes est décomposé en une partie élastique et une partie dissipative, la réponse élastique dérivant d une énergie de déformation hyperélastique, et la réponse visqueuse étant due à une équation différentielle linéaire. Cette représentation conduit à une intégrale de convolution qui généralise les modèles viscoélastiques linéaires aux grandes déformations. Le modèle peut inclure également une modélisation de l endommagement, toutefois nous ne présentons ici que l approche ayant pour but la prise en compte de la viscoélasticité. Ce modèle aboutit à une formulation fonctionnelle, tout en s appuyant sur une approche par variables internes. L énergie libre postulée est de la forme : Ψ = Ψ vol (J)+Ψ (I 1, I 2 ) Q : E +Ψ 1 (Q) (II.94) où Q est une variable interne qui modélise la viscoélasticité. On suppose que cette variable interne obéit à une équation différentielle linéaire semblable aux équations d évolution de la viscoélasticité linéaire. A partir de l inégalité de Clausius Duhem, on aboutit finalement à une expression fonctionnelle en configuration lagrangienne égale à S = JpC 1 + J 2 3 DEV [H ] H = t γ +(1 γ) e t s d Ψ τ ds E ds (II.95) où p est une pression hydrostatique qui vaut Ψ vol dans le cas compressible, et qui est indéterminée J quand on suppose une incompressibilité complète. DEV représente l opérateur déviateur exprimé en configuration lagrangienne. (En appliquant la composition des dérivations, on montre que DEV ( Ψ E )= Ψ ). τ est le temps de relaxation, et γ un coefficient adimensionnel γ [, 1]. E Par analogie avec les modèles rhéologiques, on voit que γ =correspondaumodèle de Maxwell simple, et que γ = 1 correspond à un solide élastique. Le passage en formulation eulérienne se fait en utilisant les relations de passage. On a ainsi la forme eulérienne associée [ σ = JpI + dev F H F T] (II.96)

63 II.3. Modélisation des propriétés dissipatives 49 où dev désigne l opérateur déviatorique en configuration eulérienne. ( On montre également que dans le cas d une énergie de déformation hyperélastique, dev F Ψ ) E FT = 2 J b Ψ b,cequi correspond bien à la contrainte de Cauchy associée à une énergie de déformation déviatorique hyperélastique. b Le modèle de Holzapfel Holzapfel propose un modèle très similaire à celui de Simo. Le même découplage en énergie déviatorique, énergie volumique est adopté, simplement cette fois plusieurs variables internes sont considérées, ces variables jouant le rôle des contraintes en dehors de l état d équilibre statique. La contrainte qui en résulte s exprime comme une somme d une contrainte hyperélastique et d une contrainte viscoélastique S = JpC 1 + Ψ E + N α=1 Q α (II.97) Les équations d évolution des variables internes postulées correspondent àunmodèle de Maxwell généralisé, et s écrivent Q α + 1 d Ψ Q α = β α τ α dt E (II.98) Q α () = Q α où lesβ α sont des facteurs adimensionnels associés au temps de relaxation τ α.enreportantla résolution de l équation différentielle (II.98) dans (II.97), on voit apparaître la généralisation du modèle de Maxwell de la viscoélasticité linéaire. La seule différence provient du fait que l élasticité infinie n est plus due à une élasticité linéaire, mais à une énergie de déformation hyperélastique donnée par une partie déviatorique Ψ et éventuellement une énergie de déformation volumique Ψ vol dans le cas compressible. On remarque qu en remplaçant dans le modèle (II.95) la fonction γ +(1 γ) e t s τ par un noyau de relaxation de la forme G + G k e t τ k on retrouve de k même les noyaux de relaxation du modèle de Maxwell généralisé. On pourrait de même envisager d utiliser un modèle fractionnaire sans restreindre en rien la généralité. c Formulation utilisée dans le code de calcul ABAQUS Le modèle implanté danslecodedecalculabaqusesttrès similaire aux deux modèles présentés précédemment. L approche est simplement eulérienne au lieu d être lagrangienne, et la formulation proposée se fait directement en partant d une généralisation de la viscoélasticité linéaire sans passer par la thermodynamique. Cette approche part de l équation classique de la viscoélasticité linéaire (II.71). Pour éviter les confusions, nous noterons dans cette partie G le coefficient de cisaillement écrit µ dans (II.71), la partie déviatorique des contraintes étant toujours notée

64 5 Chapitre II. Modélisation du comportement mécanique des élastomères classiquement s. En rajoutant la relation e(t) = 1 G s(t) et après intégration par parties, l équation (II.71) s écrit t σ(t) = p(t)i + G e(t) + Ġ(τ) G s(t τ) dτ (II.99) La fonction G choisie est de plus approximée à l aide d une série de Prony, conformément au modèledemaxwellgénéralisé présenté plushaut. G(t) =G + k G k e t τ k ce qui permet d écrire (II.99) sous la forme σ(t) = p(t)i + s e k g t k τ k s e (t τ) e τ τ k dτ (II.1) s e désignant la partie déviatorique de la contrainte élastique à l instant t, etlesg k étant les modules admimensionnels, g k = G k.lagénéralisation aux grandes déformations se fait en G supposant que le noyau de relaxation est toujours indépendant de la déformation. Pour étendre la formulation (II.1) aux grandes déformations, il faut de plus transporter la contrainte σ exprimée à l instant t vers sa valeur à l instant t τ. Cela est fait en introduisant le tenseur gradient à l instant t τ, relatifàladéformation à l instant t, et qui s écrit Finalement, la formulation complète s écrit σ(t) = p(t)i + s e k F t (t τ) =F(t τ) F 1 (t) g t k τ k M(t τ) = F 1 t (t τ)s e (t τ)f t (t τ) s e = 2 Ψ b b sym [M(t τ)] e τ τ k dτ (II.11) où sym désigne la partie symétrique du tenseur M(t τ). Si l on ramènecemodèle au modèle rhéologique de Maxwell généralisé présenté plus haut, on constate que les contraintes dans les cellules contenant un ressort et un amortisseur correspondent aux contraintes g t k sym [M(t τ)] dτ τ k de l équation (II.11) et que la contrainte dans le ressort non relié à un amortisseur correspond àlaréponse hyperélastique infinie du matériau. Pour les trois modèles qui viennent d être présentés, le comportement est entièrement déterminé par la donnée de l énergie de déformation hyperélastique et de la fonctionnelle de relaxation.

65 II.3. Modélisation des propriétés dissipatives 51 La non linéarité quiaété introduite est purement géométrique, elle ne permet pas de rendre compte des effets dissipatifs non linéaires. Nous allons illustrer le type de réponse que l on peut obtenir dans le cas de chargements simples, àpartirdumodèle (II.11). Considérons un chargement de cisaillement simple, et notons γ le taux de cisaillement (figure II.9). U L e θ tan θ = γ = U L e L Fig. II.9: Schématisation du cisaillement. Le tenseur gradient des déplacements associé s écrit 1 γ 1 γ F(t) = 1 F 1 (t) = I 1 = 3+γ 2 I 2 = 3+γ 2 (II.12) La contrainte hyperélastique instantanée est donnée par la relation (II.53). A titre d illustration, considérons le cas où l énergie de déformation hyperélastique ne dépend que du premier invariant des déformations, par exemple un modèle de Yeoh (II.57). La contrainte déviatorique associée s exprime alors suivant s = 2 Ψ 2Ψ 1 γ(t) 2 2Ψ 1 γ(t) b = 2Ψ 1 γ(t) (II.13) I 1 Avec Ψ 1 (t) = Ψ I 1 = c 1 γ(t)+2c 2 γ(t) 3 +3c 3 γ(t) 5 dans le cas du modèle de Yeoh (II.57). Le calcul de sym(m(t τ)) suivant la composante σ 12 conduit à l expression analytique suivante sym (M (t τ)) 12 =Ψ 1 (t τ)(1+(1/2) (γ (τ)) (γ (t τ) γ (τ))) La convolution est alors évaluée pour un chargement sinusoidal. Les paramètres de la simulation sont les suivants c 1 = 1.3 MPa c 2 =.39 MPa c 3 =.219 MPa g 1 =.215 g 2 =.27 g 3 =.185 (II.14) τ 1 =.37 s 1 τ 2 =.14 s 1 τ 3 =.15 s 1 Ce modèle est également comparé aumodèle viscoélastique linéaire équivalent, (modèle de Maxwell généralisé), de coefficient µ =2c 1, pour un faible taux de déformation (1%), et pour

66 52 Chapitre II. Modélisation du comportement mécanique des élastomères un taux de déformation plus important de 5%. Le chargement imposé estundéplacement sinusoidal de fréquence 2Hz. 25 Hystérésis à 2 Hz 15 Hystérésis à 2 Hz Effort (N) o = linéaire = Visco hyperélastique Effort (N) Viscoélastique linéaire Visco hyperélastique déplacement (mm) déplacement (mm) (a) Amplitude de déformation = 1% (b) Amplitude de déformation = 5% Fig. II.1: Comparaison du modèle de Maxwell généralisé linéaire et du modèle hyperviscoélastique de Yeoh pour un chargement de cisaillement. On voit clairement que le comportement aux faibles taux de déformation est similaire au comportement viscoélastique linéaire, par contre la non linéarité apparaît figure II.1b dès que le niveau de déformation est élevé, et correspond à un effet purement géométrique. II Viscoélasticité non linéaire en grandes déformations Dans le cas de grandes déformations viscoélastiques, et plus généralement quand la dissipation est non linéaire, il est possible d approximer le comportement non linéaire par un développement en série fonctionnelle. Nous avons vu que d une manièreassezgénérale, la loi de comportement s exprime en configuration lagrangienne sous forme d une fonctionnelle de la forme S(t) = F { F (τ) } (II.15) τ<=t Pour les matériaux viscoélastiques, la relation fonctionnelle peut être considérée comme continue, et être approchée à l aide d une série fonctionnelle de Volterra [27, 28, 29] S(t) = N S n (t) n=1 (II.16) oùless n peuvent être développées en série d intégrales multiples. Par exemple pour un développement à l ordre 2, on aura S 2ij (t) = K ijkl (τ 1,τ 2 ) Ėij(t τ 1 ) Ėkl(t τ 2 ) dτ 1 dτ2 (II.17)

67 II.3. Modélisation des propriétés dissipatives 53 Pipkin [59] a utilisé la contrainte d incompressibilité pour supprimer certains termes du développement et pour rassembler tous les termes liés à la trace dans une pression hydrostatique indéterminée. Il aboutit alors à la forme suivante du développement : S(t) = p(t) C t t t t t t t t r 1 (t τ)ė(τ)dτ + t r 2 (t τ 1,t τ 2 )Ė(τ 1)Ė(τ 2)dτ 1 dτ 2 r 3 (t τ 1,t τ 2,t τ 3 )Tr(Ė(τ1 )Ė(τ 2)) Ė(τ3 )dτ 1 dτ 2 dτ 3 r 4 (t τ 1,t τ 2,t τ 3 )Ė(τ 1)Ė(τ 2)Ė(τ 3)dτ 1 dτ 2 dτ (II.18) où lesr i désignent les noyaux de Volterra d ordre i, qui doivent être choisis de manière à assurer le caractère viscoélastique. Ainsi, des noyaux constants permettront d obtenir un comportement purement élastique. Si les noyaux contiennent des multiples de la fonction dirac δ(t), on aura dans le développement de la contrainte la contribution de termes en Ėij, et donc une résistance visqueuse. Le comportement réel se situe bien entendu entre ces deux extrêmes. Remarquons que le développement au premier ordre généralise l intégrale héréditaire linéaire au cas où les déformations ou les rotations sont grandes. L équation (II.18) correspond àundéveloppement en série de Volterra à l ordre 3. Les termes d ordre supérieurs peuvent également être calculés à partir de l hypothèse d isotropie. Toutefois, plus on augmente le nombre de noyaux, plus la procédure d identification des paramètres devient complexe. Généralement on se borne à l utilisation des séries jusqu à l ordre 3 du développement. Lockett [5] a proposé des techniques d identification expérimentale pour caractériser les noyaux jusqu à cet ordre, à partir d essais de relaxation dans différentes directions. Il a noté qu il était illusoire de pousser le développement à des ordres supérieurs, compte tenu de la précision escomptée sur S et E. Le modèle précédent est général et permet de faire apparaître les non linéarités aussi bien géométriques que dissipatives. II L approche par variables internes L approche fonctionnelle s appuie le plus souvent sur une généralisation empirique de la relation contrainte déformation de la viscoélasticité linéaire. Une autre démarche de modélisation consiste à employer l approche par variables internes ; celle-ci utilise la méthode de l état local décrite au paragraphe II.1.7. Elle a été notamment utilisée pour étendre aux grandes déformations les comportements décrits par des variables d état, comme par exemple les modèles rhéologiques. Ainsi, une étude comparative des modèles de Zener et de Poynting Thompson en grandes déformations est menée dans la thèse de CARPENTIER [26], et également par HUBER et al. [37]. Cette généralisation se fait en utilisant la notion d état intermédiaire introduite par SIDOROFF [67, 68]. L idée générale est de postuler l existence d un état intermédiaire C i pour passer de l état de référence C àl état actuel C t.letenseurf se décompose alors suivant

68 . 54 Chapitre II. Modélisation du comportement mécanique des élastomères F = F e F a,où F e désigne la déformation élastique et F a la déformation anélastique. L énergie libre s écrira alors suivant Ψ = Ψ(C)+Ψ(C e )+Ψ(C a ).Lamodélisation passe ainsi par un choix adéquat des différents potentiels. Les lois de comportement associées aux modèles rhéologiques classiques en viscoélasticité linéaire peuvent être obtenues à l aide de ce formalisme. Cela est largement discuté dans [18]. On fait de même en grandes déformations. Toutefois, si en hypothèse des petites déformations la décomposition du gradient des déformations F = F e F a conduit à une décomposition additive des déformations ɛ = ɛ e +ɛ a, ce n est plus le cas en grandes déformations. Toute la démarchedemodélisation réside alors dans le choix des potentiels. Avec ce type de formulation on pourrait envisager une dissipation non linéaire. La principale limitation provient de l identification du modèle : pour décrire un comportement complexe, il faut en fait multiplier le nombre de variables internes, ce qui rend la démarche d identification assez lourde. De plus, dans le cas de matériaux àmémoire, la formulation fonctionnelle semble plus intuitive, puisqu il est très difficile dans l approche par variables internes de donner une interprétation physique à ces variables. II.3.3 Les modèles de frottement Pour prendre en compte la dépendance en amplitude, certains auteurs [2, 19] proposent de rajouter des modèles de frottement, le frottement considéré étant une amélioration du modèle de Coulomb schématisé ci dessous. σ ɛ Y ɛ e E ɛ p Y Y ɛ Fig. II.11: Frottement de Coulomb en série avec un ressort. Ce type de modélisation aboutit dans le cas unidirectionnel àlamodélisation rhéologique suivante : F 4 Fig. II.12: Modèle élasto visco plastique.

69 II.3. Modélisation des propriétés dissipatives 55 Dans ce modèle, la combinaison du ressort (2) et de l amortisseur (3) permet d obtenir les effets de relaxation, et plus généralement la dépendance temporelle ou fréquentielle du comportement. L amortissement est obtenu à l aide de l action de l amortisseur (3) et du frotteur (4). L hystérésis observée à basse fréquence est alors identifiée à l aide de l effort de friction. Cela permet, àfréquence fixée, d identifier la dépendance en amplitude du module dynamique. La rigidification en fréquence est identifiée à une amplitude de débattement fixé [62,3].La dépendance en fréquence peut bien entendu être améliorée en remplaçant le ressort/amortisseur par un modèle de Maxwell généralisé ouparunmodèle fractionnaire. L effort total du modèle (II.12) est obtenu suivant F = F e + F v + F f. Plusieurs formes de l effort de friction ont été proposées dans la littérature. Ainsi, Coveney [2, 19] a proposé unmodèle résultant de la mise en série du modèle II.11, tous les ressorts ayant même raideur. L effort résultant est obtenu en faisant tendre le nombre de ressorts vers l infini. Berg a proposé la forme suivante pour l effort de frottement ɛ ɛ s F f = F fs + x 2 (1 µ)+(ɛ ɛ s ) (F fmax F s ) ɛ croissant F f = F fs + ɛ ɛ s x 2 (1 + µ) (ɛ ɛ s ) (F fmax + F s ) ɛ décroissant (II.19) où F fmax et x 2 sont les paramètres du modèle, et µ = F fs. F fmax correspond au maximum F fmax de l effort de friction, et x 2 est la déformation nécessaire pour obtenir la moitié def fmax.les paramètres F fs et ɛ s sont initialisés aux valeurs d effort et de déformation au début de chaque cycle d hystérésis,etsontréactualisés au fur et à mesure. La figure (II.13) schématise une boucle d hystérésisobtenueaveclemodèle de Berg associé à une raideur élastique en parallèle, pour un chargement sinusoidal de fréquence 1Hz, pour deux niveaux d amplitude, les paramètres de simulation étant K e = 315N/mm, F fmax = 175N/mm, x 2 =.13mm Force ε Fig. II.13: Simulation d un cycle d hystérésis à l aide du modèledefrottement(ii.19). On voit clairement apparaître l intérêt de l approche : la raideur diminue en effet quand l amplitude du débattement augmente, ce qui est observé expérimentalement dans les caoutchoucs. Lambertz [62] a également proposé la forme suivante de l effort frictionnel : F f = Rln(1 + ρ ɛ)

70 56 Chapitre II. Modélisation du comportement mécanique des élastomères où ɛ correspondaudéplacement relatif, et change de signe après le point changeant. L inconvénient principal de ces modèles est que les effets dissipatifs associés à l amplitude et ceux associés àlaviscosité se trouvent découplés, ce qui peut être mis en défaut expérimentalement. On trouvera en référence [2] une proposition d amélioration, en considérant le même modèle de frottement continu obtenu par mise en série du modèle (II.11), mais cette fois l effort dans chaque patin dépend de la vitesse de chargement. Un autre inconvénient est qu il s agit de modèles macroscopiques unidimensionnels. Les caractéristiques doivent ainsi être identifiées à nouveau dès que l on change la géométrie d une pièce, ou la nature de la sollicitation (cisaillement, compression), ce qui limite grandement leur utilité en particulier d un point de vue industriel.

71 57 Chapitre III Modélisation simplifiée pour la dynamique des véhicules L étude bibliographique présentée précedemment nous a permis de passer en revue différents modèles de comportement pour les aspects grandes déformations et dissipatifs des élastomères. Cette bibliographie n est bien entendu pas exhaustive. Nous n avons notamment pas abordé les modèles de prise en compte de l endommagement, ni les couplages effets mécaniques/effets thermiques. Des propositions de modélisation de l endommagement, principalement de l effet Mullins, peuvent être trouvées par exemple dans [2, 52]. Quant au couplage avec les effets thermiques, il est largement discuté dans [51]. Dans ce document, nous nous intéresserons uniquement àlamodélisation des effets mécaniques, conservatifs et dissipatifs. Dans les différents modèles présentés précedemment, nous avons évoqué aussi bien des lois de comportement microscopiques que des modèles rhéologiques dont la généralisation aux chargements muldimensionnels est encore dans le domaine de l investigation [19]. C est notamment le cas pour les modèles de frottement sec continu. Pour analyser des systèmes de suspension qui contiennent des cales en caoutchouc, on fait appel en général à des logiciels multicorps. Dans ce type de logiciels, les plots sont modélisés en utilisant un système d équations force déplacement. Le plus souvent, les paramètres de ces équations sont des coefficients macroscopiques, recalés à partir d essais sur pièce. En ce sens, ils ne sont souvent pas prédictifs pour d autres types de sollicitation, ou pour un changement de géométrie. Pour obtenir des courbes effort déplacement prédictives pour toutes les géométries et toutes les sollicitations, il faut s appuyer sur la loi de comportement du matériau. Dans le cas de géométries ou de chargements complexes, on peut par exemple calculer la réponse de chacune de ces pièces à l aide d un code éléments finis. Le problème àrésoudre est fortement non linéaire, et ne permet pas d avoir une expression analytique effort déplacement. Ce type de démarche est très lourd à mettre en oeuvre numériquement, et inadapté si on veut simuler le comportement global du véhicule. Remarquons par ailleurs que toutes les lois mentionnées précédemment ne sont en général pas implantées dans les codes éléments finis standards.

72 58 Chapitre III. Modélisation simplifiée pour la dynamique des véhicules A partir des deux considérations évoquées ci dessus, nous avons cherché àdévelopper une modélisation permettant d obtenir des courbes effort déplacement, en temporel ou en fréquentiel, de manière analytique. L objectif final de la démarche est d insérer ces modèles dans des simulations de réponse de cale. Le modèle développé doitêtre prédictif et physique, il faut donc partir d une loi de comportement représentant au mieux le comportement de la pièce. Par ailleurs, le nombre de degrés de liberté doitêtre réduit pour permettre d obtenir une approximation analytique utilisable. Ce chapitre a pour objet de présenter la démarche de modélisation retenue, ainsi que des applications dans le cas conservatif et dans le cas dissipatif. On se limitera dans ce chapitre àdesmodèles viscoélastiques linéaires, la modélisation des effets dissipatifs non linéaires sera discutée dans les chapitres ultérieurs. Une premièrepartieprésente la méthode utilisée, une deuxième partie montre des applications pour des lois de comportement hyperélastiques, et la dernière partie montre des applications à des lois de comportement viscoélastiques linéaires. III.1 Méthode utilisée III.1.1 Expression approchée du champ de déplacement Afin d avoir le modèle le plus simple possible, nous avons choisi d approximer uniquement le champ de déplacement. On définit une approximation du déplacement suivant le principe de Rayleigh-Ritz, en posant : { u(m) } = N { α i Φ i (M) } M(x, y, z) (III.1) i=1 avec : u 1 (M) { u(m) } = u 2 (M) u 3 (M) Les { Φ i (x, y, z) } Φ i 1 (M) = Φ i 2 (M) Φ i 3 (M) sont des fonctions choisies de manière à satisfaire les conditions aux limites cinématiques. Par exemple, dans le cas de géométries simples, il pourra s agir de fonctions analytiques. Pour des géométries plus complexes, on utilisera des champs de déplacement issus d un calcul éléments finis. Remarquons par ailleurs que les cales ont en général des géométries relativement simples. Il s agit bien souvent de formes cylindriques, avec des armatures rigides en acier, l intérieur étant constitué de caoutchouc. Cette considération nous permet d espérer obtenir une bonne approximation de la réponse avec peu de champs si ceux ci sont judicieusement choisis. Les seules inconnues de notre problème sont les paramètres cinématiques α i. Elles seront déterminées

73 III.1. Méthode utilisée 59 en appliquant le principe des travaux virtuels, écrit en configuration lagrangienne, au système. Dans le cas conservatif, le principe des travaux virtuels est équivalent à l utilisation du principe de l extremum de l énergie potentielle [36, 8]. III.1.2 Détermination des paramètres α i III Cas conservatif Pour la résolution d un problème quasi statique, nous considérons que le matériau obéit à une loi de comportement hyperélastique. Dans ce cas, la contrainte dérive d une fonction énergie de déformation, et la résolution du problème passe par l écriture du principe d extremum de l énergie totale. On cherchera alors le minimum de la fonctionnelle suivante : t2 ( Ψ(α i )+W ext (α i )) dt = (III.2) t 1 où: Ψestl énergie de déformation élastique W ext est le travail des efforts extérieurs La détermination des paramètres de Ritz se fait alors en reportant l approximation (III.1) dans (III.2). On aura ainsi àrésoudre le système suivant W ext Ψ = dω α i (III.3) α i α i Ω On peut également, pour un jeu de paramètres α i fixé, calculer l effort résultant de manière analytique. III Cas dissipatif Pour prendre en compte la dissipation, nous utiliserons le principe des travaux virtuels écrit en configuration lagrangienne [38]. L obtention de cette forme variationnelle se fait classiquement àpartirdeséquations (II.28), que l on multiplie par une fonction test. L intégration sur le volume non déformé Ω conduit, après intégration par parties, à la forme scalaire suivante : u i P ij dω = f i u idω + T i u ids ρ γ i u idω (III.4) Ω X j Ω Ω Ω u étant un champ de déplacement virtuel défini dans la configuration de référence non déformée, et cinématiquement admissible. Les lois de comportement étant plus généralement écrites en fonction de S, nous exprimons III.4 en fonction du second tenseur de Piola Kirchhoff. On note W int le travail virtuel des efforts intérieurs, W ext le travail virtuel des efforts extérieurs, et W acc

74 6 Chapitre III. Modélisation simplifiée pour la dynamique des véhicules le travail virtuel des quantités d accélération. On a alors Wacc = Wint + W ext Wint u i u i u i = S ij dω S kj dω Ω X j Ω X k X j Wext = f i u idω + T i u ids Ω Ω Wacc = ρ γ i u idω Ω (III.5) Enfin, dans le cas où l on applique une force F (t) sur l une des armatures de la cale, et en négligeant les effets d inertie, le travail virtuel des efforts extérieurs se réduit à W ext = F (t)u (III.6) où U désigne le déplacement virtuel de l armature mobile. L expression du principe des travaux virtuels est une forme variationnelle générale, pour laquelle nous n avons pas particularisé un matériau. Il faudra ainsi remplacer S par son expression en fonction des déformations, pour chacune des lois de comportement considérées, pour avoir l expression de l effort associé à l approximation de Ritz. Les champs de déplacement utilisés sont de la forme : {u(x, t)} = { } α k (t) Φ k (X) k {u (X, t)} = } αk {Φ (t) (III.7) k (X ) k On aura alors une expression du principe des travaux virtuels, en fonction des tenseurs de déformation connus E kl et E knl, associés au champ de Ritz { Φ k},où l on a noté, pour chaque champ Φ k ( ) Eij k = 1 Φ k i + Φk j + 1 Φ k l Φ k l ) 2 X j X i 2 X j X i } {{ } } {{ } (III.8) Eij kl Eij knl Si l on interpole la cinématique avec uniquement un seul champ {Φ}, l équation (III.5a) s écrit en fonction du paramètre de Ritz Wint = α (t) S ij (t)eij L dv 2 α (t) α(t) Ω S ij (t)eij NL dv Ω (III.9) où E L et E NL sont les déformations associées au champ {Φ}. Pour avoir l approximation de l effort en fonction du temps, on reporte cette dernière expression dans l égalité (III.5a), en ayant utilisé aupréalable (III.6). Cela permet d écrire F (t)u C.A = S ij (t)eij L dv +2α(t) V S ij (t)eij NL dv V (III.1) où u C.A est le déplacement appliqué sur l armature mobile. L expression (III.1) est la forme générale de l effort non linéaire. Pour avoir l expression complète de l effort associé à une loi

75 III.2. Application à des lois de comportement hyperélastiques 61 de comportement donnée, il suffit de remplacer le tenseur S par son expression en fonction de E L et E NL.L écriture précédente est faite uniquement pour un seul champ, le fait d augmenter le nombre de champs fait intervenir des produits croisés entre les déformations associées aux différents champs de Ritz. Les paragraphes qui suivent détaillent l application de la démarche pour la détermination des relations efforts/déformations d une cale en caoutchouc àcomportement hyperélastique puis viscoélastique. La réponse obtenue avec la modélisation simplifiée est ensuite comparée à un calcul complet éléments finis. III.2 Application à des lois de comportement hyperélastiques On cherche dans un premier temps àévaluer la validité delaméthode proposée pour reconstituer les courbes de rigidité pour des grandes déformations statiques. La première partie de ce paragraphe donne un exemple d obtention de courbe de rigidité, pour une forme simple de potentiel de déformation. Cette forme a été choisie pour sa simplicité dans l expression analytique de la courbe de rigidité. Une comparaison a ensuite été faiteavecun calcul éléments finis (ABAQUS), pour une cale de géométrie simple. Dans le cas de sollicitations unidirectionnelles, nous nous limitons dans un premier temps à un seul champ de déplacement. Nous avons également testé l amélioration introduite par la prise en compte de plusieurs champs de déplacement. Dans la dernière partie, nous chercherons àétendre notre démarche au couplage des sollicitations dans plusieurs directions. III.2.1 Démarchedecalculdelacourbederigidité Pour une sollicitation unidirectionnelle, nous utilisons un seul champ de déplacement Φ 1 {Φ} = Φ 2 et nous cherchons la solution du problème sous la forme {u(m)} = α {Φ(M)}. L énergie de déformation Ψ pourra alors s exprimer simplement en fonction de α, seule inconnue du problème. En effet, cette énergie de déformation pour un matériau isotrope dépend des invariants I 1, I 2 et J des tenseurs de déformation. Or ces invariants se calculent en fonction du champ {u(m)} connu et du paramètre α, comme l illustrent les calculs qui suivent. On écrit d abord le tenseur gradient des déformations en fonction de α et de Φ : Φ 1 Φ 1 Φ 1 1 X Y Z F = 1 + α Φ 2 Φ 2 Φ 2 X Y Z 1 Φ 3 Φ 3 Φ (III.11) 3 X Y Z = I + α GradΦ Φ 3

76 62 Chapitre III. Modélisation simplifiée pour la dynamique des véhicules On note A la matrice GradΦ. L expression des invariants est donnée dans (II.43), nous pouvons l exprimer sous forme polynomiale en fonction du champ connu, et du paramètre α. Eneffet,à partir de III.11, on peut avoir l approximation du tenseur de déformation C. On a ainsi C = F T F = I + α(a + A T )+α 2 A T A C 2 = I +2α(A + A T )+α 2 [2 A T A +(A + A T )(A + A T )] (III.12) + α 3 [(A + A T ) A T A + A T A (A + A T )] + α 4 A T AA T A On en déduit l expression des invariants en fonction du paramètre de Ritz I 1 = tr(c) = 3 +2 αtr(a)+ α 2 tr(a T A) (III.13) = i + i 1 α + i 2 α 2 I 2 = 1 [ I tr(c 2 ) ] = [ 3 +2 αtr(a + A T ) + α 2 2tr(A T A)+ 1 2 tr(a + AT ) tr(a + A T ) 1 2 tr { (A + A T )(A + A T ) }] + 1 [ 2 α3 tr(a + A T )tr(a T A)+tr(A T A)tr(A + A T ) tr { (A + A T )A T A } tr { A T A(A + A T ) }] + 1 ( 2 α4 tr(a T A) tr(a T A) tr(a T AA T A) ) = ii + ii 1 α + ii 2 α 2 + ii 3 α 3 + ii 4 α 4 (III.14) On peut de même exprimer le déterminant de la transformation en fonction des dérivées intervenant dans (III.11). En notant A ij la composante A[i, j] intervenant dans (III.11), on aura J = 1 + αtr(a)+α 2 (A 11 A 22 + A 11 A 33 + A 22 A 33 A 23 A 32 + A 21 A 12 A 31 A 13 ) + α 3 ( A 11 A 22 A 33 + A 21 A 13 A 32 + A 31 A 12 A 23 A 11 A 23 A 32 A 21 A 12 A 33 A 31 A 13 A 22 ) = j + j 1 α + j 2 α 2 + j 3 α 3 (III.15) La courbe de rigidité est alors ensuite obtenue par minimisation de l énergie potentielle. Nous aurons ainsi δ (Ψ(α) W ext (α))dω = (III.16) Ω

77 III.2. Application à des lois de comportement hyperélastiques 63 Pour une sollicitation simple (par exemple un déplacement de cisaillement, de compression radiale,... sur une armature de la cale), le travail des efforts extérieurs vaut : W ext = F.u imp = αf.u imp u imp est le déplacement imposé sur l armature mobile, on le recherche sous la forme αu imp, U imp étant le déplacement de l armature mobile associé auchamp{φ}. La courbe de rigidité sera alors obtenue par résolution du système Ψ Ω α dω = FU imp (III.17) soit ( ) 1 Ψ I 1 F = U imp Ω I 1 α dω Ψ I 2 + Ω I 2 α dω Ψ J + Ω J α dω (III.18) où les expressions de I 1 (α), I 2 (α) etj(α) sont données en (III.14) et (III.15). Par exemple dans le cas d une énergie de déformation de Mooney Rivlin compressible Ψ = c 1 (I 1 3) + c 1 (I 2 3) + 1 D ( J 1)2, l expression analytique de (III.18) sera { F ( α ) U imp I 1 = c 1 Ω α dω I 2 + c 1 Ω α dω + 2 (J(α) 1) J D Ω α dω = c 1 i 1 dω + c 1 i 2 dω Ω Ω [ + α c 1 2 i 2 dω + c 1 2 ii 2 dω + Ω 2 ] j 1 j 1 dω Ω D Ω [ + α 2 c 1 3 ii 3 dω + 2 ] 3 j 1 j 2 dω Ω D Ω [ + α 3 c 1 4ii 4 dω + 2 ] ( 4 j1 j 3 +2j 2 ) 2 dω Ω D Ω + α 4 5j 2 j 3 dω + α 5 3j 3 j 3 dω Ω Ω (III.19) Pour toutes les valeurs de α, on a ainsi une forme polynomiale, qui prend en compte la géométrie de la pièce, et les coefficients matériau. Le même calcul peut être fait pour toutes les formes d énergies de déformation polynomiale du paragraphe II.2.3.1, et utilise de la même manière l approximation des invariants (III.14) et (III.15). On voit par contre apparaître dans (III.19), par l intermédiaire des coefficients i 1 dω et i 2 dω, une limitation due au choix de Ω Ω l énergie de déformation. En effet, si l on n utilise pas les invariants réduits, on a un état de contrainte non nul quand la déformation est nulle. Pour prévenir ce problème sans utiliser les invariants réduits, il faut rajouter àl énergie de déformation hyperélastique des termes correctifs de manière à assurer la nullité des contraintes à l origine des déformations [16]. A partir des expressions développées précédemment, on voit que, dans le cas d une énergie de déformation s exprimant sous forme polynomiale en fonction des invariants, on aura une expression polynomiale très simple de la courbe de rigidité, les coefficients du polynôme dépendant des

78 64 Chapitre III. Modélisation simplifiée pour la dynamique des véhicules coefficients de l énergie de déformation (paramètre matériau), du champ de déplacement choisi pour l interpolation et des caractéristiques géométriques de la pièce. Nous avons choisi de corréler le modèleavecuncalculéléments finis complet. Pour ne pas pénaliser le modèle, nous adopterons la même énergie de déformation que celle utilisée dans le code de calcul. Celle ci s exprimera en fonction d une énergie de déformation écrite sous forme découplée (partie déviatoire, partie volumique), la partie déviatoire étant donnée par une forme de Mooney Rivlin : Ψ=C 1 (I 1 3) + C 1 (I 2 3) + 1 (J 1)2 (III.2) D Avec : I 1 = J 2 3 I1 I 2 = J 4 3 I2 (III.21) D est relié au paramètre de compressibilité K par K = 2. L utilisation des invariants réduits D nous interdit ainsi d avoir une expression analytique polynomiale. Toutefois, la démarche est toujours valide mais conduira à une évaluation numérique des coefficients. L objectif est de tester notre démarche en la comparant àuncalculéléments finis équivalent. Nous adoptons ainsi l algorithme suivant pour l évaluation de la courbe de rigidité: Choix d un champ cinématiquement admissible et calcul éléments finis pour récupérer la déformée Boucle B 1 sur les valeurs de α : pour chaque valeur de α Boucle B 2 sur les éléments. Pour chaque élément du maillage Récupération des déplacements nodaux {U nod }, {V nod },{W nod }, et des coordonnées des noeuds X, Y, Z Boucle B 3 sur les points d intégration. Pour chaque point de Gauss Calcul des dérivées des fonctions d interpolation {N x } t,{n y } t,{n z } t. Calcul de la matrice GradΦ. Calcul des coefficients i k, ii k, j k intervenant dans (III.14), et (III.15). Calcul de I 1 α = 2 J 3 α J 5 3 I1 + J 2 3 I 2 α = 4 J 3 α J 7 3 I2 + J 4 3 Ψ vol α = 2 (J 1) J D α I 1 α I 2 α (III.22)

79 III.2. Application à des lois de comportement hyperélastiques 65 Calcul de Ψ Ω α dω = e NPI p=1 w p Ψ α (ξ p,η p,τ p ) = C 1 e NPI p=1 w p I 1 α + C 1 e NPI p=1 I 2 w p α + 2 NPI w p (J 1) J D α p=1 (III.23) où NPIestlenombredepointsd intégration répartis dans Ω e,(ξ p,η p,τ p ) sont les coordonnées paramétriques du point d intégration p, w p est le poids associé au point d intégration p. Fin de la boucle B 3 sur les points d intégration Fin de la boucle B 2 sur les éléments Calcul du déplacement associé U = αu imp ABQ Calcul de l effort associé F = 1 Ψ U imp ABQ Ω α dω Fin de la boucle B 1 sur α On voit dans cet algorithme la contrainte introduite par l utilisation des invariants réduits. En effet, dans les expressions (III.22), les fonctions J(α) 5 3 dépendent de α de manière non polynomiale, et les expressions doivent être évaluées numériquement pour chaque valeur de ce paramètre.toutefois,lerésultat est obtenu de façon très rapide. III.2.2 Exemple de validation : Cas d une énergie de déformation hyperélastique compressible III Comparaison modèle/calcul éléments finis Pour vérifier si l approximation retenue n est pas trop grossière, les formes analytiques doivent être comparées à une solution de référence. Cette solution est obtenue par un calcul éléments finis complet, avec le code de calcul ABAQUS. La pièce utilisée pour la validation est schématisée en figure (III.1). D int D ext L Fig. III.1: Schématisation du plot cylindrique utilisé pour la validation.

80 66 Chapitre III. Modélisation simplifiée pour la dynamique des véhicules Il s agit d un plot cylindrique creux, de longueur L =6mm, dediamètre interne D int = 18mm, dediamètre externe D ext = 34mm. Au niveau des diamètres internes et externes, il y a une armature en acier, supposée infiniment rigide. Nous allons comparer les résultats obtenus par la modélisation simplifiée àunrésultat obtenu par un calcul éléments finis complet, et ce pour plusieurs cas de chargement rencontrés dans l utilisation pratique de ces pièces. Pour chacun de ces chargements, l armature interne est fixe. Un déplacement de cisaillement, de compression radiale, de torsion ou de rotation conique est appliqué sur l armature externe. Les paramètres de l énergie de déformation hyperélastique utilisée sont les suivants c 1 =.448 MPa c 1 =.137 MPa (III.24) Ces coefficients correspondent à des coefficients de la loi de Mooney Rivlin identifiés àpartir d essais de cisaillement, de traction simple, et de traction biaxiale sur des échantillons d un mélange produit par CFGOMMA. Nous allons tester la validité de notre algorithme pour plusieurs valeurs du paramètre de compressibilité K = 2. Le calcul de l effort se fera en utilisant D l algorithme (III.2.1). Pour chaque cas de chargement, nous comparons les résultats obtenus quand le champ utilisé est un champ petites déformations, et quand le champ utilisé estun champ grandes déformations (dernier point de calcul). Le résultat sera comparé àuncalcul éléments finis, obtenu avec un maillage de 88 noeuds, et 64 éléments hexaédriques. a Chargement en compression radiale Pour ce type de chargement, l armature interne est fixe. On impose un déplacement dans la direction X à tous les noeuds de l armature externe, conformément àlafiguresuivante: F F F F Fig. III.2: Schématisation du chargement de compression radiale. Les figures qui suivent montrent les résultats obtenus pour plusieurs valeurs du paramètre K. On a une très bonne corrélation pour le cas de mélanges compressibles (figures III.3 à III.6). Par ailleurs, pour ces valeurs du module de compressibilité, on arrive à reproduire la non linéarité delacourbeà partir d un champ cinématiquement admissible initial, jusqu à des taux de déformation assez élevés. On constate figures III.3a et III.3b que le choix de la fonction d interpolation {Φ} peut influencer l estimation de la courbe de rigidité. En effet l utilisation

81 III.2. Application à des lois de comportement hyperélastiques 67 d un champ correspondant au dernier point de calcul figure III.3b fournit une meilleure interpolation, ceci étant lié à la bonne prise en compte des effets de compressibilité plus importants dans cette zone. 5 Essai de compression radiale, D=1 45 Essai de compression radiale, D= Effort N Déplacement mm Effort N Déplacement mm (a) On utilise un champ petites déformations en compression (b) On utilise un champ grandes déformations en compression Fig. III.3: Comparaison modèle/calcul éléments finis pour un chargement de compression, module de compressibilité K=.2 MPa (D=1), o = modèle, - = calcul éléments finis. 35 Essai de compression radiale, D=5 35 Essai de compression radiale, D= Effort N 2 15 Effort N Déplacement mm Déplacement mm (a) On utilise un champ petites déformations en compression (b) On utilise un champ grandes déformations en compression Fig. III.4: Comparaison modèle/calcul éléments finis pour un chargement de compression, module de compressibilité K=.4 MPa (D=5), o = modèle, - = calcul éléments finis.

82 68 Chapitre III. Modélisation simplifiée pour la dynamique des véhicules 4 Essai de compression radiale, D=1 4 Essai de compression radiale, D= Effort N 2 15 Effort N Déplacement mm Déplacement mm (a) On utilise un champ petites déformations en compression (b) On utilise un champ grandes déformations en compression Fig. III.5: Comparaison modèle/calcul éléments finis pour un chargement de compression, module de compressibiliték=2mpa(d=1),o = modèle, - = calcul éléments finis. 7 Essai de compression radiale, D=.5 8 Essai de compression radiale, D= Effort N Effort N Déplacement mm Déplacement mm (a) On utilise un champ petites déformations en compression (b) On utilise un champ grandes déformations en compression Fig. III.6: Comparaison modèle/calcul éléments finis pour un chargement de compression, module de compressibilité K=1 MPa (D=.5), o = modèle, - = calcul éléments finis. b Chargement en rotation conique Les mêmes comparaisons sont faites dans un cas de rotation conique. Ce chargement consiste

83 III.2. Application à des lois de comportement hyperélastiques 69 à faire subir aux noeuds appartenant à l armature externe une rotation autour de l axe Y, l armature interne étant fixe. α Fig. III.7: Schématisation du chargement de rotation conique Comme pour le chargement précédent la corrélation obtenue est satisfaisante tant que les ordres de grandeurs des coefficients de compressibilité et de cisaillement sont semblables (figures III.8 et III.9). La non linéarité de la courbe est bien reproduite jusqu à des angles de rotations de.2 radians (figures III.8a et III.9a). Les effets étant plus fortement non linéaires, le résultat obtenu est bien meilleur dans le cas où le champ interpolé est le champ final (voir les figures III.8b et III.9b). 14 x 14 Essai de rotation conique, D=1 12 x 14 Essai de rotation conique, D= Couple N/rad Couple (N/rad) Angle (radians) Angle (radians) (a) On utilise un champ petites déformations en rotation conique (b) On utilise un champ grandes déformations en rotation conique Fig. III.8: Comparaison modèle/calcul éléments finis pour un chargement de rotation conique, module de compressibilité K=.2 MPa (D=1), o = modèle, - = calcul éléments finis.

84 7 Chapitre III. Modélisation simplifiée pour la dynamique des véhicules 16 x 14 Essai de rotation conique, D=1 16 x 14 Essai de rotation conique, D= Couple N/rad Couple N/rad Angle (radians) Angle (radians) (a) On utilise un champ petites déformations en rotation conique (b) On utilise un champ grandes déformations en rotation conique Fig. III.9: Comparaison modèle/calcul éléments finis pour un chargement de rotation conique, module de compressibiliték=2mpa(d=1),o = modèle, - = calcul éléments finis. c Chargement en torsion Lesfiguresquisuiventprésentent les résultats obtenus dans un cas de chargement en torsion. Cette fois l armature interne est encastrée, les noeuds de l armature externe se déplacent d un angle θ autour de l axe du cylindre Z. θ Fig. III.1: Schématisation du chargement de torsion. Les mêmes remarques qu en cisaillement ou rotation conique s appliquent (voir figures (III.11) et (III.12)).

85 III.2. Application à des lois de comportement hyperélastiques 71 2 x 14 Essai de torsion, D=1 champ initial Abaqus 2 x 14 Essai de torsion, D=1 champ final Abaqus Effort N 1 Effort N Angle (radians) Angle (radians) (a) On utilise un champ petites déformations en torsion (b) On utilise un champ grandes déformations en torsion Fig. III.11: Comparaison modèle/calcul éléments finis pour un chargement en torsion, module de compressibilité K=.2 MPa (D=1), o = modèle, - = calcul éléments finis. 2.5 x 14 Essai de torsion, D=1 champ initial Abaqus 2 x 14 Essai de torsion, D=1 champ final Abaqus Effort N Effort N Angle(radians) Angle (radians) (a) On utilise un champ petites déformations en torsion (b) On utilise un champ grandes déformations en torsion Fig. III.12: Comparaison modèle/calcul éléments finis pour un chargement en torsion, module de compressibiliték=2mpa(d=1),o = modèle, - = calcul éléments finis. III Conclusion sur les modèles compressibles Dans le cas de mélanges compressibles, il est possible de reproduire correctement la courbe de rigidité du plot, pour toutes les directions de sollicitation. De meilleurs résultats sont obtenus quand le champ utilisé est le champ final obtenu par un calcul grandes déformations, dès que le module de compressibilité augmente. Par contre, pour les valeurs du module de compressibilité

86 72 Chapitre III. Modélisation simplifiée pour la dynamique des véhicules élevées par rapport au coefficient de cisaillement, nous n avons pas obtenu une bonne corrélation. Il est alors nécessaire d utiliser une formulation qui permet d assurer la quasi incompressibilité à l aide par exemple d une pénalisation ou d un multiplicateur de Lagrange, et donc d augmenter le nombre de champs. En effet, dans le cas où le module de compressibilité devient important par rapport au module de cisaillement, la formulation utilisée pose des problèmes de convergence, l algorithme utilisé n est alors plus adapté. Il faudra alors utiliser une énergie de déformation incompressible. III.2.3 Exemple de validation : cas d une énergie de déformation hyperélastique incompressible III Algorithme de calcul de la courbe de rigidité L algorithme de résolution est en tout point semblable à celui exposé au paragraphe (III.2.1). La seule différence provient de l énergie de déformation, qui est cette fois purement déviatoire dans le cas incompressible. Pour une énergie de déformation de Mooney Rivlin, elle s exprime sous la forme : Ψ=C 1 (I 1 3) + C 1 (I 2 3) (III.25) En toute rigueur, pour forcer la condition d incompressibilité, il faudrait rajouter un multiplicateur de Lagrange à l expression : Ψ=C 1 (I 1 3) + C 1 (I 2 3) + p(j 1) (III.26) où p est une inconnue supplémentaire. La courbe de rigidité serait alors obtenue en résolvant, pour chaque valeur de F i,lesystème suivant 1 Ψ F i = U imp ABQ Ω α dω Ψ p = (III.27) les paramètres de l optimisation étant α et p, demanière à s assurer que pour toutes les valeurs de α, onaitbienj(α) = 1. Cependant, nous avons fait le choix d approximer les courbes avec un seul paramètre de Ritz. Il est illusoire, à partir d une approximation àunseulchamp,d espérer vérifier la condition (III.27) pour tous les chargements. Nous choisissons donc d interpoler un champ incompressible en un point du chargement, et d utiliser le potentiel défini par la relation (III.25). En ce point, la condition J(α) =1seradoncbienvérifiée, ce qui ne sera pas le cas pour les autres niveaux de chargement. III Comparaison modèle/calcul éléments finis Afindevalidernotredémarche dans le cas incompressible, nous reprendrons l ensemble des exemples traités dans le paragraphe III Les courbes qui suivent montrent les résultats de

87 III.2. Application à des lois de comportement hyperélastiques 73 corrélation pour les différents types de chargement simple pour lesquels la pièce est généralement calculée. Pour des sollicitations relativement linéaires, on a évidemment une bonne approximation à partir d un champ initial (voir figures III.13 et III.16). Quand les non linéarités intervenant sont plus importantes, comme par exemple pour le chargement de compression ou de rotation conique, l interpolation du champ initial donne des résultats satisfaisants jusqu à des taux de déformation modérés (figures III.14 et III.15). Pour avoir une meilleure corrélation pour des taux de déformation élevés, il est nécessaire d utiliser le champ final. 4 Essai de cisaillement, cas incompressible modèle EF 4 Essai de cisaillement, cas incompressible modèle EF Effort N 2 Effort N Déplacement mm Déplacement mm (a) On utilise un champ petites déformations en cisaillement (b) On utilise un champ grandes déformations en cisaillement Fig. III.13: Comparaison modèle/calcul éléments finis pour un chargement de cisaillement, loi de Mooney Rivlin incompressible, o = modèle, - = calcul éléments finis. 4 x 14 Essai de compression, cas incompressible modèle EF 3.5 x 14 Essai de compression, cas incompressible modèle EF Effort N 2 Effort N Déplacement mm Déplacement mm (a) On utilise un champ petites déformations en compression (b) On utilise un champ grandes déformations en compression Fig. III.14: Comparaison modèle/calcul éléments finis pour un chargement de compression, loi de Mooney Rivlin incompressible, o = modèle, - = calcul éléments finis.

88 74 Chapitre III. Modélisation simplifiée pour la dynamique des véhicules 2.5 x 15 Essai de rotation conique, cas incompressible 2.5 x 15 Essai de rotation conique, cas incompressible modèle EF 2 2 Effort N modèle Abaqus Effort N Angle (radians) Angle (radians) (a) On utilise un champ petites déformations en rotation conique (b) On utilise un champ grandes déformations en rotation conique Fig. III.15: Comparaison modèle/calcul éléments finis pour un chargement de rotation conique, loi de Mooney Rivlin incompressible, o = modèle, - = calcul éléments finis. 8 7 Essai de torsion, cas incompressible modèle EF 8 7 Essai de torsion, cas incompressible modèle EF 6 6 Effort N Effort N Angle (radians) Angle (radians) (a) On utilise un champ petites déformations en torsion (b) On utilise un champ grandes déformations en torsion Fig. III.16: Comparaison modèle/calcul éléments finis pour un chargement de torsion, loi de Mooney Rivlin incompressible, o = modèle, - = calcul éléments finis. Les corrélations présentées dans les paragraphes III et III montrent que la démarche employée semble pertinente et donne de bons résultats aussi bien en modélisation compressible qu en modélisation incompressible. La corrélation a été faite avec un code éléments finis qui utilise des énergies de déformations exprimées en fonction des invariants réduits. La présence de cette puissance fractionnaire qui intervient dans la loi de comportement ne nous permet pas d obtenir une forme analytique polynomiale de la courbe de rigidité. Cette courbe effort déplacement est alors calculée numériquement de façon àêtre comparée au résultat éléments

89 III.2. Application à des lois de comportement hyperélastiques 75 finis. Si on veut obtenir une forme polynomiale, on peut utiliser des énergies de déformation ne faisant pas intervenir les invariants réduits, comme celle définie dans le paragraphe III.2.1. III.2.4 Extention à des sollicitations multidimensionnelles Nous cherchons àprésent àprédire le comportement de notre pièce pour un chargement complexe de nature multidimensionnelle. Le choix des fonctions Φ k est alors assez délicat, plusieurs stratégies sont envisageables. Nous avons choisi d introduire l ensemble des champs calculés de façon unidirectionnelle. On cherchera donc u sous la forme : u = k α k Φ k Pour améliorer la prise en compte des couplages non linéaires entre les différentes directions de sollicitation, on pourra rajouter des champs supplémentaires, la présence de plusieurs champs permettant de réintroduire une pénalisation sur l incompressibilité sinécessaire. III Expression des invariants Pour calculer le potentiel dans ce cas, il est nécessaire de connaître les invariants en fonction des produits croisés des α k. A partir de l expression du tenseur gradient des déformations, le même développement que celui exposé précédemment permet d exprimer les invariants du tenseur des déformations en fonction des α k. En notant A j la matrice GradΦ j, on aura l expression suivante pour l approximation du tenseur des déformations C : F = I + j α j GradΦ j C = F T F = I + i α i (A i + A i T )+ i,j (III.28) α i α j A i T A j On en déduit l expression des invariants en fonction des paramètres de Ritz. I 1 = 3 +2 α i tr(a i )+ α i α j tr(a T i A j ) i i,j I 2 = 3 +4 i α i tr(a i ) + i,j α i α j [ tr(ai T A j )+ 2tr(A i )tr(a j ) tr(a i A j ) ] + [ α i α j α k 2tr(Ai )tr(a j A T k ) tr(a ia T j A k + A i A j A T k )] i,j,k + 1 α i α j α k α l tr(a i A T j )tr(a k A T l ) tr(a i A T j A k A T l ) 2 i,j,k,l (III.29)

90 76 Chapitre III. Modélisation simplifiée pour la dynamique des véhicules On peut de mêmeexprimerledéterminant de la transformation en fonction des dérivées intervenant dans III.28. En notant A k ij la composante A[i, j] delamatricea k, on aura J = 1 + α i tr(a i )+ ) α i α j (A i 11A j 22 + Ai 11A j 33 + Ai 22A j 33 Ai 23A j 32 Aj 21 Ai 12 A j 31 Ai 13 i i,j + ( ) α i α j α k A i 11A j 22 Ak 33 + A k 21A k 13A j 32 + Ak 31A i 12A j 23 Ai 11A j 23 Ak 32 A 21 A 12 A 33 A k 31A j 13 Ai 22 i,j,k (III.3) Dès lors la démarchederésolution est la même que celle présentée dans le paragraphe III.2.1. Nous présentons ci dessous un exemple de résultat obtenu pour un couplage compression cisaillement sur le plot cylindrique, dans le cas d une énergie de déformation hyperélastique incompressible (loi de Mooney Rivlin). La courbe de rigidité en compression est très bien corrélée. En cisaillement, le modèle aboutit à une rigidification àpartirde4mmdedéplacement. Force (N) Effort en cisaillement Effort (N) x 14 Effort en compression Déplacement (mm) Déplacement (mm) (a) Comparaison sur l effort de cisaillement (b) Comparaison sur l effort de compression Fig. III.17: Comparaison modèle/calcul éléments finis pour essai de couplage de sollicitation (compression/cisaillement) = modèle, o = calcul éléments finis III.3 Cas des lois de comportement viscoélastiques linéaires Nous souhaitons àprésent prendre en compte dans le modèle l aspect dissipatif du matériau. Dans une première partie, nous cherchons àévaluer la validité denotredémarche pour des matériauxviscoélastiques. Une première phase a donc consisté à introduire dans notre modélisation simplifiée les lois de comportement viscoélastiques linéaires évoquées dans le paragraphe c pour la modélisation des plots. L algorithme d approximation de champ de déplacement a ensuite été appliqué à un cas de chargement simple, et nous avons comparé nosrésultats à ceux obtenus par un calcul éléments finis. Pour la comparaison avec le calcul éléments finis, nous avons utilisé une loi viscoélastique linéaire type Maxwell généralisé. Comme dans la partie précédente, les

91 III.3. Cas des lois de comportement viscoélastiques linéaires 77 réponses sont calculées pour un mélange compressible, ou en supposant l incompressibilité dela réponse. III.3.1 Démarche associée à la modélisation simplifiée Nous allons appliquer la méthodologie exposée au paragraphe III.1 dans le cas d une loi de comportement viscoélastique linéaire. La différence par rapport àlaméthodologie exposée en (III.1.2.2) est la simplification induite par la linéarité du comportement. En effet, ces lois s appliquent tant que les déformations restent petites. Aucune distinction ne sera donc faite dans ce paragraphe entre la configuration initiale non déformée, et la configuration déformée. Les déformations étant supposées infinitésimales, les différents tenseurs de contrainte et de déformation sont égaux au premier ordre. Dans ces conditions, le problème à traiter se formule d un point de vue local sous la forme : avec σ ij x j + f i = ρ ü dans Ω (III.31) σ(t) = s(t)+ 1 3 trσ(t)i s(t) = t t trσ(t) = 3 2 µ(t τ) ė(τ)dτ K(t τ)tr ɛ(τ)dτ et ɛ ij = 1 ( ui + u ) j 2 X j X i Les conditions aux limites sur les bords sont donnés par : (III.32) U i = U i sur Σ u σ ij n j = t i sur Σ σ (III.33) avec Σ la surface extérieure, Σ u Σ la partie sur laquelle sont imposés des déplacements, et Σ σ Σ la partie sur laquelle sont appliqués les efforts. Pour appliquer notre méthode nous utilisons le principe des travaux virtuels. On considère donc un champ de déplacement virtuel cinématiquement admissible. Le principe des travaux virtuel est obtenu en multipliant les équations d équilibre (III.31) par ce champ virtuel. En utilisant le théorème de la divergence, et les conditions aux limites (III.33), on obtient la formulation suivante : σ ij ɛ ij dω + ρü i u i dω = t i u i dω+ f i u i dω (III.34) Ω Ω Σ σ Ω En séparant les contraintes et les déformations en partie sphérique et déviatorique, et en utilisant les relations trace(s) = (III.35) trace(e) =

92 78 Chapitre III. Modélisation simplifiée pour la dynamique des véhicules (III.34) s exprime sous la forme s ij e ij dω + 1 tr(σ) tr(ɛ ) dω + Ω 3 Ω Ω ρü i u i dω = t i u i dω+ Σ σ Ω f i u i dω (III.36) Enfin, en introduisant les relations de comportement (III.32) dans (III.36), on obtient ( t { } ) {e } T [D ] µ(t τ) e(τ) dτ dω + Ω Ω {ɛ } T {T } ( t { } ) K(t τ) {T } T ɛ(τ) dτ où nous avons noté [D ] = {T } T = dω+ ρü i u i dω = t i u i dω+ f i u i dω Ω Σ σ Ω (III.37) [ ] Les déformations étant écrites sous forme vectorielle de la manière suivante e 11 ɛ 11 (III.38) {e} = e 22 e 33 2 e 23 {ɛ} = ɛ 22 ɛ 33 2 ɛ 23 (III.39) 2 e 13 2 e 12 2 ɛ 13 2 ɛ 12 Nous appliquons àprésent la démarche exposée au paragraphe III.1. Notre méthode de résolution va consister à approximer le champ solution par une méthode de Ritz. Pour des sollicitations unidirectionnelles, nous chercherons le champ solution de la manière suivante {u(x, t)} = α(t) {Φ(X)} {u (X, t)} = α (t) {Φ(X}) (III.4) {Φ} désignant un champ cinématiquement admissible. On note F (t) l effort appliqué sur l armature du plot qui se déplace. Dans ce cas, le travail virtuel des efforts extérieurs se réduit à Wext = F (t)u,où u est le déplacement obtenu au point d application de la force. On notera {ũ} = {Φ} u {ẽ} = {e} u { ɛ} = {ɛ} u

93 III.3. Cas des lois de comportement viscoélastiques linéaires 79 Dans ces conditions, le modèle simplifié permettant d obtenir la fonction réponse du plot est obtenu en reportant l approximation (III.4) dans (III.37) ( t ) F (t) = Ü(t) ρ {ũ} T {ũ} dω+ {ẽ} T [D ] {ẽ} dω µ(t τ) U(τ) dτ Ω Ω ( t ) + { ɛ} T {T }{T } T { ɛ} dω K(t τ) U(τ) dτ Ω (III.41) Le champ {Φ} sera généralement issu d un calcul éléments finis. Les intégrales de volume seront ainsi calculées par sommation sur les éléments du maillage et sur les points d intégration de Gauss de la manière suivante F (t) = Ü(t) e + e + e NPI p=1 NPI p=1 NPI p=1 { q} T { q} T ρ { q} T [N] T [N] { q} [C] T [D ][C] { q} ( t { T }{ T } T { q} ( t ) µ(t τ) U(τ) dτ ) K(t τ) U(τ) dτ (III.42) Avec [ C ]= 2 3 Nx 1 3 Ny 1 3 Nz 1 3 Nx 2 3 Ny 1 3 Nz 1 3 Nx 1 3 Ny 2 3 Nz Nz Ny Nz Nx Ny Nx {T } T = [ Nx Ny Nz ] (III.43) La relation (III.42) donne une expression analytique de l effort associé à une direction de chargement. Les coefficients de l équation différentielle intègrent les effets de volume, et les paramètres matériau. Pour pouvoir réaliser une simulation du comportement, il faut choisir un modèle pour µ(t) etk(t). Des exemples de simulation avec un développement en série de Prony, puis avec un modèle fractionnaire, sont présentés dans les paragraphes qui suivent.

94 8 Chapitre III. Modélisation simplifiée pour la dynamique des véhicules III.3.2 Application à un modèle de Maxwell généralisé : cas compressible III Algorithme de résolution Nous avons cherchéàvaliderl implantationdes loisviscoélastiqueslinéairesdans lamodélisation simplifiée en comparant avec un résultat complet éléments finis obtenu avec le code de calcul ABAQUS. Nous allons donc simuler un matériau viscoélastique linéaire compressible. Les modules de cisaillement et de compression volumique seront approchés à l aide d une série de Prony, cequicorrespondaumodèledemaxwellgénéralisé n t ( µ(t) = µ + µ i e τ i = µ 1 ) N t g i + µ g i e τ i i=1 k i=1 p t ( K(t) = K + K i e τ i = K 1 ) N t (III.44) k i + K k i e τ i i=1 k i=1 Dans l expression (III.44), nous avons introduit les modules adimensionnels : i=1 g k = µ k µ et k k = K k K Le champ de déplacement interpolé sera issu d un calcul élastique linéaire, les coefficients de la loi linéaire étant donnés par l élasticité instantanée du matériau : n E µ = µ + µ i = 2(1+ν i=1 ) ν = 3K 2µ 2(µ +3K ) p (III.45) E 9K K = K + k i = µ E 3(1 2ν ) = µ +3K En reportant (III.44) dans (III.42), nous obtenons F (t) = mü(t)+(a + b )U(t) + n t s t U a i i=1 s e τ µ p t s t (III.46) U i ds + b i i=1 s e τi k ds avec b i = K i { q} T T }{ T } T { q} dω ai = µ i { q} T [C] T [D ][C] { q} dω Ω Ω m = ρ { q t} [N t ][N] { q} dv V (III.47) L équation (III.46) peut se ramener àunsystème d équations différentielles linéaires en posant : t s t U p i (t) = s e τ µ i ds t s t U q i (t) = s e τi k ds (III.48)

95 III.3. Cas des lois de comportement viscoélastiques linéaires 81 En utilisant (III.48) dans (III.46), on a F (t) = mü(t)+(a + b )U(t)+ p i t + 1 τ µ p i = U i t q i t + 1 τi k q i = U t n a i p i (t)+ i=1 q b i q i (t) i=1 (III.49) Le système précédent peut alors être résolu en utilisant des algorithmes numériques d intégration temporelle. Remarquons toutefois que la forme obtenue étant simple, il est possible d obtenir directement une expression analytique de la réponse. III Validation numérique A titre de validation, une comparaison est faite entre le modèle analytique exposéprécédemment, et un calcul complet éléments finis, pour les cas de chargements simples sur le plot cylindrique. Les coefficients d élasticité dumatériau utilisé sont les suivants : E =.1MPa ν =.2 (III.5) Les fonctions de relaxation en cisaillement et en compression volumique utilisés pour la simulation sont : g 1 =.2 g 2 =.1 k 1 =.1 k 2 =.2 (III.51) τ 1 =.1s 1 τ 2 =.2s 1 Le champ de Ritz interpolé est issu d un calcul élastique linéaire. Nous comparons le résultat obtenu avec l approximation de Ritz à un paramètre (equations III.49), avec un résultat complet issu d un calcul éléments finis, pour des essais caractéristiques de la viscoélasticité linéaire : essai de relaxation, cycle d hystérésis et module dynamique. a Comparaison pour des essais de relaxation Nous appliquons un déplacement constant sur une armature, soit U(t) =U H(t), où H(t) est la fonction de Heaviside. La force résultante est obtenue par résolution de (III.49), avec les conditions initiales p i () = q i () = U. On obtient ainsi la forme analytique approximée recherchée n t F (t) = (a + b )U(t)+ a i U e τ µ q t i + b i U e τi k (III.52) i=1 i=1

96 82 Chapitre III. Modélisation simplifiée pour la dynamique des véhicules Les figures suivantes montrent une comparaison entre l effort issu de l approximation de Ritz, et l effort calculé parunmodèle éléments finis, pour les différents types de chargement (cisaillement, compression, torsion et rotation conique) du paragraphe III Effort (N) Essai de relaxation chargement en cisaillement temps(secondes) Fig. III.18: Comparaison modèle/calcul éléments finis pour un chargement de cisaillement, cas d un essai de relaxation, matériau viscoélastique linéaire compressible, o = calcul éléments finis, -=modèle Essai de relaxation, chargement en compression 7 Effort (N) temps(secondes) Fig. III.19: Comparaison modèle/calcul éléments finis pour un chargement de compression, cas d un essai de relaxation, matériau viscoélastique linéaire compressible, o = calcul éléments finis, -=modèle.

97 III.3. Cas des lois de comportement viscoélastiques linéaires 83 6 Essai de relaxation, chargement de torsion 5 4 Effort (N) temps(secondes) Fig. III.2: Comparaison modèle/calcul éléments finis pour un chargement de torsion, cas d un essai de relaxation, matériau viscoélastique linéaire compressible, o = calcul éléments finis, - = modèle. Couple (N.rad) Essai de relaxation, chargement en rotation conique temps(secondes) Fig. III.21: Comparaison modèle/calcul éléments finis pour un chargement de rotation conique, cas d un essai de relaxation, matériau viscoélastique linéaire compressible, o = calcul éléments finis, - = modèle. Pour tous les cas de chargement, l approximation a permis une excellente corrélation. On peut donc remplacer un modèle éléments finis compliqué etcoûteux numériquement par un modèle analytique relativement simple. b Comparaison sur des cycles d hystérésis Pour ce type de chargement, une force est exercée sur l armature mobile du cylindre. L effort imposé est cette fois sinusoidal F (t) =F sin(ωt) Le déplacement est obtenu en résolvant le système (III.49). Nous présentons ci dessous des exemples d hystérésis obtenus en simulant un effort sinusoidal à une pulsation de 5 rad.s 1.

98 84 Chapitre III. Modélisation simplifiée pour la dynamique des véhicules Force (N) Hystérésis chargement en cisaillement ω=5rad/s Force (N) Hystérésis chargement en compression, ω=5rad/s Déplacement (mm) Déplacement (mm) (a) Chargement en cisaillement (b) Chargement de compression Fig. III.22: Comparaison modèle/calcul éléments finis cas d une excitation sinusoidale à ω = 5rad.s 1, =modèle, o = calcul abaqus. Couple (N.rad) Hystérésis chargement de torsion ω=5rad/s Angle (radians) Couple (N.rad) Hystérésis chargement en rotation conique, ω=5rad/s Angle (radians) (a) Chargement en torsion (b) Chargement en rotation conique Fig. III.23: Comparaison modèle/calcul éléments finis cas d une excitation sinusoidale à ω = 5rad.s 1, =modèle, o = calcul abaqus.

99 III.3. Cas des lois de comportement viscoélastiques linéaires 85 Les résultats sont exactement similaires au cas de l essai de relaxation. On pourra donc utiliser ce modèle analytique simplifiédanslesmodèles multicorps pour simuler le comportement d une cale. c Comparaison pour des excitations harmoniques Afin de connaître de façon plus globale les caractéristiques d un plot on réalise en général des études harmoniques. Les propriétés des cales sont alors caractérisées par la définition du module de stockage K,etdumoduledeperteK, respectivement partie réelle et imaginaire du rapport F (ω),où F désigne l effort et U le déplacement. Pour approximer ces grandeurs, U(ω) nous considérons le cas où ledéplacement imposé est de la forme U(t) =U e iωt. Par ailleurs, on ne s intéresse qu au régime permanent (les oscillations sont imposées depuis suffisamment longtemps pour avoir disparition du régime transitoire). L effort associé est alors calculé àpartir des équations (III.41), en faisant ( intervenir ) les transformées ( de ) Fourier des noyaux de relaxation adimensionnels g(t) = 1,etk(t) = 1 (voir rappels de viscoélasticité µ(t) K(t) µ K linéaire, partie II.3.1.2). On aura ainsi, par transformée de Fourier des équations (III.49), la forme suivante pour le module dynamique K(ω) = mω 2 + a + iωa k k iω+ 1 + b + iωb k τ µ k iω+ 1 (III.53) i τi k On voit alors apparaître le module dynamique classique associéàunmodèle de Maxwell généralisé (voir paragraphe II.3.1.2), l approximation de Ritz à un champ permettant de prendre en compte la géométrie de la pièce, ainsi que les coefficients matériau, dans l expression du module dynamique associé. Comme pour les chargements précédents, une comparaison est faite avec un code éléments finis. Nous représentons ci dessous comme exemple le module dynamique obtenu en cisaillement, sur le plot simple (figure III.24).

100 86 Chapitre III. Modélisation simplifiée pour la dynamique des véhicules K (N/mm) fréquence (Hz) K (N/mm) fréquence (Hz) (a) Partie réelle du module dynamique (b) Partie imaginaire du module dynamique Fig. III.24: Comparaison modèle/calcul éléments finis pour un chargement de cisaillement, cas du module dynamique, = modèle, o = calcul abaqus. III.3.3 Application à un modèle de Maxwell généralisé : cas incompressible L algorithme de résolution est en tout point semblable à celui détaillé dans le paragraphe (III.3.2.1). La seule différence provient du fait que seul le coefficient de cisaillement est développé en série de Prony. Le bulk modulus est remplacé par une pression hydrostatique indéterminée : ainsi la relation (III.32b) est remplacée par l expression tr(σ)(t) = p(t)i (III.54) Supposons que le champ utilisé vérifie au mieux la condition d incompressibilité. On aura donc trace(ɛ) =. En utilisant une approximation avec un seul champ incompressible, le tenseur des déformations virtuelles vérifiera trace(ɛ )=α (t)trace(ɛ) =.Onvérifie ainsi que la contrainte due aux variations de volume ne travaille pas pour un mouvement incompressible. L équation (III.36) se réduit à s ij e ij dω = t i u i dω+ Ω Σ σ Ω f i u i dω (III.55) En déroulant alors le même raisonnement que celui exposéprécédemment, le système d équations différentielles àrésoudre est le système (III.49), avec la simplification b =, b k =. En pratique, le champ récupéré paréléments finis ne sera pas totalement incompressible (l incompressibilité estréalisée localement pour chaque élément en introduisant un multiplicateur de Lagrange). Il y aura une contribution de l énergie de déformation associée aux variations de volume. Mais cette contribution est négligeable, puisque les variations de volume sont minimisées par l utilisation du multiplicateur. En pratique, nous négligerons les termes associés àlapartie non déviatorique de l énergie de déformation.

101 III.3. Cas des lois de comportement viscoélastiques linéaires 87 III Validation numérique Pour valider notre modèle, une comparaison est faite avec un calcul éléments finis, pour une loi viscoélastique linéaire incompressible. Le matériau simulé a un module d Young de 26.7MPa, les temps de relaxation et les modules adimensionnels sont les mêmes que dans le paragraphe III { g 1 =.2 g 2 =.1 τ 1 =.1s 1 τ 2 =.2s 1 (III.56) Les mêmes chargements sont appliqués, et on cherche à reproduire la relaxation, l hystérésis, et le module dynamique. a Comparaison pour des essais de relaxation Essai de relaxation, chargement de cisaillement 15 1 Effort (N) temps(secondes) Fig. III.25: Comparaison modèle/calcul éléments finis pour un chargement de cisaillement, cas d un essai de relaxation, matériau viscoélastique linéaire incompressible, o = calcul éléments finis, - = modèle.

102 88 Chapitre III. Modélisation simplifiée pour la dynamique des véhicules 15 Essai de relaxation chargement de compression radiale Effort (N) temps(secondes) Fig. III.26: Comparaison modèle/calcul éléments finis pour un chargement de compression, cas d un essai de relaxation, matériau viscoélastique linéaire incompressible, o = calcul éléments finis, - = modèle. 9 x Essai de relaxation, chargement de torsion 14 8 Couple (N/radians) temps(secondes) Fig. III.27: Comparaison modèle/calcul éléments finis pour un chargement de torsion, cas d un essai de relaxation, matériau viscoélastique linéaire incompressible, o = calcul éléments finis, - =modèle.

103 III.3. Cas des lois de comportement viscoélastiques linéaires 89 7 x 1 5 Essai de relaxation chargement de rotation conique 6 Angle (rad) temps(secondes) Fig. III.28: Comparaison modèle/calcul éléments finis pour un chargement de rotation conique, cas d un essai de relaxation, matériau viscoélastique linéaire incompressible, o = calcul éléments finis, - = modèle. Nous avons obtenu une excellente corrélation pour tous les cas de chargements. b Comparaison sur cycle d hystérésis Les conclusions du paragraphe précédent sont confirmées en regardant la corrélation sur les cycles d hystérésis Effort.2 (N) x 14 Hystérésis chargement de cisaillement ω=5rad/s Déplacement (mm) Effort (N) x 14 Hystérésis chargement de compression ω=5rad/s Déplacement (mm) (a) Comparaison pour un chargement en cisaillement (b) Comparaison pour un chargement en compression Fig. III.29: Comparaison modèle/calcul éléments finis, cas d une excitation sinusoidale à ω = 5rad.s 1,matériau viscoélastique linéaire incompressible = modèle, o = calcul abaqus.

104 9 Chapitre III. Modélisation simplifiée pour la dynamique des véhicules 4 Couple 2 N.rad 8 x 14 Hystérésis 6 chargement de torsion ω=5rad/s Angle (radians) 5 x 15 4 Hystérésis chargement de rotation conique 3 ω=5rad/s 2 Couple 1 N.rad Angle (radians) (a) Chargement en torsion (b) Chargement en rotation conique Fig. III.3: Comparaison modèle/calcul éléments finis, cas d une excitation sinusoidale à ω = 5rad.s 1,matériau viscoélastique linéaire incompressible = modèle, o = calcul abaqus. Nous obtenons ainsi une excellente corrélation aussi bien en relaxation que pour simuler l hystérésis, et ce pour toutes les directions de sollicitation. c Comparaison pour des excitations harmoniques On voit également sur les figures (III.31) à (III.34) que le passage au régime permanent permet toujours d avoir une excellente approximation du module dynamique.

105 III.3. Cas des lois de comportement viscoélastiques linéaires 91 6 x 14 5 Partie réelle du module dynamique Chargement de cisaillement 6 5 Partie imaginaire du module dynamique Chargement de cisaillement K (N/mm) K" (N/mm) fréquence (Hz) fréquence (Hz) (a) Partie réelle du module dynamique (b) Partie imaginaire du module dynamique Fig. III.31: Comparaison modèle/calcul éléments finis, module dynamique, matériau viscoélastique linéaire incompressible, chargement de cisaillement, = modèle, o = calcul abaqus. K (N/mm) 6 x fréquence (Hz) K (N/mm) 7 x fréquence (Hz) (a) Partie réelle du module dynamique (b) Partie imaginaire du module dynamique Fig. III.32: Comparaison modèle/calcul éléments finis, module dynamique, matériau viscoélastique linéaire incompressible, chargement de compression, = modèle, o = calcul abaqus.

106 92 Chapitre III. Modélisation simplifiée pour la dynamique des véhicules K (N/mm) 7 x fréquence (Hz) K (N/mm) 9 x fréquence (Hz) (a) Partie réelle du module dynamique (b) Partie imaginaire du module dynamique Fig. III.33: Comparaison modèle/calcul éléments finis, module dynamique, matériau viscoélastique linéaire incompressible, chargement de torsion, = modèle, o = calcul abaqus. K (N/mm) 9 x fréquence (Hz) K (N/mm) 12 x fréquence (Hz) (a) Partie réelle du module dynamique (b) Partie imaginaire du module dynamique Fig. III.34: Comparaison modèle/calcul éléments finis, module dynamique, matériau viscoélastique linéaire incompressible, chargement de rotation conique, = modèle, o = calcul abaqus. Les corrélations obtenues sont très bonnes pour tous les cas de chargement (cisaillement, compression radiale, rotation conique ou encore torsion). Nous disposons ainsi d un modèle avec un seul degré de liberté par direction de sollicitation. Ce modèle est prédictif dans le sens où les coefficients de l équation différentielle prennent en compte la géométrie et la loi de comportement du matériau. La seule limitation du modèle provient du comportement même du matériau. En effet, comme nous l avons signalé au paragraphe II.3.1.2, pour prendre en compte le comportement viscoélastique sur une plus large gamme de fréquence ou de temps, il faut utiliser

107 III.3. Cas des lois de comportement viscoélastiques linéaires 93 un grand nombre de cellules, ce qui rend le problème difficilement identifiable. Une meilleure corrélation avec des données expérimentales est obtenue en utilisant des modèles fractionnaires. Il nous a donc sembléintéressant de développer des algorithmes de résolution adaptés pour pouvoir prendre en compte les modèles rhéologiques fractionnaires exposés au paragraphe II III.3.4 Application à un modèle de Kelvin Voigt fractionnaire III Algorithme de résolution La relation contrainte déformation utilisée dans ce paragraphe correspond au modèle de Kelvin Voigt fractionnaire présenté au paragraphe c. De plus, la relation contrainte déformation sera supposée incompressible. Dans ce cas, les équations (III.32) se réduisent à une équation différentielle fractionnaire qui s exprime sous forme matricielle de la manière suivante d n {s} = µ [ D ] {e} + µ n [ D ] dt n {e} (III.57) En déroulant alors le même calcul que celui exposé au paragraphe III.3.2.1, et en normant le vecteur déplacement {q} par rapport au déplacement au point d application de la force, l équation (III.46) devient F (t) = mü(t)+a d n U(t)+a n dt n U(t) (III.58) Le système d équations différentielles linéaires (III.49) est ainsi remplacé par une équation différentielle à paramètre fractionnaire, dont la résolution se fait en utilisant l expression numérique de l opérateur àdérivées fractionnaires (II.89). La variable temporelle t est échantillonnée, on écrit t = Kh où h est le pas d échantillonnage. En utilisant alors la définition (II.89), ainsi que la loi de récurrence (III.59) entre les coefficients C n (k) etc n (k 1) C n () = 1 h n C n (k) = C n (k 1) k n 1 (III.59) k on est amené àrésoudre pour chaque pas de temps le système suivant ( m h 2 + a n h n + a )U(Kh) = F (Kh) (a n C n (1) 2m h 2 )U[(K 1)h] (a n C n (2) m )U[(K 2)h] h2 K a n C n (k)u[(k k)h] k=3 U() = U U() = U (III.6) Ce type d algorithme a été appliqué avecsuccès dans [64] pour implanter les lois de comportement viscoélastiques fractionnaires dans des codes éléments finis. Toutefois, dans la plupart

108 94 Chapitre III. Modélisation simplifiée pour la dynamique des véhicules des codes commerciaux, ces lois ne sont pas encore introduites et nous nous contenterons donc pour ces modèles de simuler le comportement associé àlamodélisation simplifiée. A titre d exemple, nous représentons la forme de comportement qui peut être obtenue avec ce modèle. Le chargement considéré dans la suite est un chargement de cisaillement, le champ statique interpolé sera ainsi issu d une déformée de cisaillement. Les paramètres du modèle fractionnaire utilisés sont les suivants : µ =.173 et µ n =.177, n =.162. Ils correspondent àdes paramètres de modèle fractionnaire identifiés à partir d essais dynamiques sur une éprouvette de cisaillement. A titre d illustration, nous représentons également les formes obtenues pour n = (ressort pur), et pour n =1(modèle de Kelvin Voigt classique). III Simulations des réponses Nous reprenons dans cette partie les essais de validation étudiés précédemment sur un modèle de Maxwell généralisé pour connaître les réponses des modèles fractionnaires. a Simulation d un essai de relaxation par le modèle fractionnaire 8 F(t) 7 6 F (N) n =.162 n = temps(s) Fig. III.35: Effort de relaxation obtenu avec le modèle de Kelvin Voigt fractionnaire. La réponse obtenue est à rapprocher de la courbe expérimentale donnée au chapitre I (figure I.9). Un modèle fractionnaire permet, avec un seul coefficient non entier, de reproduire la dépendance en fonction du temps observée pour les élastomères. Pour arriver au même résultat avec un modèle type séries de Prony, il faudrait augmenter le nombre de cellules.

109 III.3. Cas des lois de comportement viscoélastiques linéaires 95 b Simulation d un cycle d hystérésis Déplacement (mm) U(t) n= n=.162 n=.5 n=1 Force N cycle d hystérésis n= n=.162 n=.5 n= temps(s) U (mm) (a) Chargement de cisaillement, modèledekelvin Voigt fractionnaire,solution en déplacement (b) Chargement de cisaillement, hystérésis Fig. III.36: Exemple de réponse obtenue par un modèle de Kelvin Voigt fractionnaire pour un chargement sinusoidal. On voit ainsi que l amortissement augmente avec le paramètre fractionnaire. c Calcul du module dynamique K (N/mm) K (N/mm) Fréquence (Hz) Fréquence (Hz) (a) Chargement de cisaillement, modèle de Kelvin Voigt fractionnaire, partie réelle du module dynamique (b) Chargement de cisaillement, modèledekelvin Voigt fractionnaire, partie imaginaire du module dynamique Fig. III.37: Exemple de réponse obtenue par un modèle de Kelvin Voigt fractionnaire dans le cadre d une excitation harmonique.

110 96 Chapitre III. Modélisation simplifiée pour la dynamique des véhicules La réponse en fréquence représentée en figure (III.37) est obtenue en prenant la transformée de Fourier de III.58. On obtient alors classiquement la forme suivante pour le module dynamique K(ω) = a + a n (iω) n (III.61) On voit apparaître sur ce graphe le fait qu il est plus facile de reproduire avec un modèle fractionnaire la forte rigidification en fréquence pour les faibles niveaux en fréquence observée expérimentalement, ainsi que le comportement en plateau aux fréquences élevées, et ce avec peu de paramètres. En effet pour obtenir le même résultat avec un modèle rhéologique classique, il faudrait multiplier les cellules de Maxwell de façon très importante. III.4 Conclusion Dans cette partie, nous avons vu qu il était possible de réduire considérablement le nombre de degrés de liberté dans le cas de la modélisation d un plot en élastomère. En appliquant une approximation de Ritz à un champ, la réponse du plot peut être obtenue pour différentes lois de comportement. Nous avons montré des exemples de corrélation pour des lois hyperélastiques et viscoélastiques linéaires : la modélisation simplifiée a permis de retrouver le même résultat qu un modèle complet éléments finis, avec un temps de calcul bien moindre. Ces modèles simplifiés sont de plus facilement implantables dans des logiciels de simulation du comportement routier. Par exemple dans le cas d une loi viscoélastique linéaire, la réponse du plot peut être obtenue par résolution d un système d équations différentielles linéaires. Dans le cas de l utilisation de modèles fractionnaires, ce système d équations différentielles est remplacé par une équation fractionnaire, dont la résolution se fait en utilisant la définition de Grunwald de l opérateur de dérivation généralisée. On peut alors reproduire aussi bien le comportement des pièces en relaxation qu en fluage. Dans le cas d excitations harmoniques stationnaires, le comportement peut être caractérisé par un module complexe. Le module dynamique obtenu dans le cadre de la modélisation simplifiée est fonction des paramètres du modèle rhéologique utilisé (Modèle de Maxwell généralisé oumodèle fractionnaire par exemple), et des effets de volume. Ce modèle suppose néanmoins une linéarité aussi bien matérielle que géométrique : son utilisation est donc limitée au cas où lesdéformations mises en jeu restent petites. Par ailleurs, la linéarité matérielle fait que le module complexe obtenu dépend de la fréquence, mais est indépendant de l amplitude du débattement. De même, les noyaux de relaxation et de fluage considérés sont indépendants de l amplitude de la fonction échelon imposée. Or, même quand la précharge imposée reste dans le cadre des petites déformations, on observe au niveau du module dynamique une dépendance en amplitude, d autant plus marquéequelemélange est chargé en noir de carbone (voir chapitre I). Ce sont ces non linéarités qui vont nous intéresser dans les parties suivantes.

111 97 Chapitre IV Prise en compte des non linéarités par un développement en séries de Volterra Nous avons vu qu il était possible dans le cadre d une approche grande déformation, d obtenir une approximation très satifaisante de la courbe de rigidité non linéaire avec un seul champ de Ritz (paragraphe III.2). De même, on peut introduire très facilement la dissipation, quand celle ci est d origine viscoélastique linéaire (paragraphe II.3.1.2). L objectif de cette partie est d aboutir à une forme complète, qui rende compte àlafois des aspects grandes déformations et dissipation non linéaire. Dans ce but, nous appliquons une démarche d approximation du champ de déplacement, en utilisant un développement en séries d intégrales multiples pour l écriture de la relation contraintes-déformations. Dans une premier temps, nous rappelons l écriture de cette relation contraintes-déformations. Ensuite nous détaillons la démarche utilisée pour calculer la réponse non linéaire. Dans un troisième paragraphe nous donnons l expression de l effort non linéaire, puis nous calculons le module dynamique associé à cette représentation. Le cinquième paragraphe est consacré aucas où la non linéarité est uniquement comportementale, et nous donnons les expressions simplifiées de l effort et du module dynamique sous cette hypothèse. Les prédictions du modèle sont finalement comparées àdesrésultats expérimentaux, ce qui permet de proposer dans un dernier paragraphe une nouvelle formulation pour approcher la dépendance en amplitude du module dynamique.

112 98 Chapitre IV. Prise en compte des non-linéarités IV.1 Ecriture de la relation contraintes-déformations àpartir d un développement en séries de Volterra IV.1.1 Développement en séries de Volterra : cas général Cette écriture a pour point de départ la relation fonctionnelle qui lie les contraintes et les déformations en configuration lagrangienne (paragraphe II.1.6) S(t) = F τ<=t { E (τ) } (IV.1) Pour les matériaux viscoélastiques, cette relation fonctionnelle peut être considérée comme continue (ce n est pas le cas par exemple si l on a affaire à un comportement plastique [59]). Par application du théorème de Stone-Weierstrass, on sait que toute fonction continue sur un intervalle [a, b] peutêtre approchée aussi près que l on veut par un polynôme sur cet intervalle, et les travaux de Volterra et de Fréchet sur la représentation des fonctionnelles continues àvaleurs scalaires ont permis d étendre ce théorème pour les fonctionnelles. Ainsi, on écrira, pour une fonctionnelle F de fonctions f continues dans un intervalle [a, b] F(f) = F n (f) n=1 (IV.2) b b F n (f) =... h n (τ 1,...,τ n ) f(τ 1 )...f(τ n ) dτ 1...dτ n a a où lesh n sont des fonctions continues indépendantes de f et la somme (IV.2), à priori infinie, peut être tronquée à un ordre N fini, suivant la précision souhaitée. Green et Rivlin [27] ont utilisé des arguments similaires à ceux employés par Fréchet pour approximer les fonctionnelles tensorielles à valeurs tensorielles. Ils écrivent ainsi la relation (IV.1) conformément à: N S pq (t) = S pq n (t) (IV.3) où Sn pq est une intégrale d ordre n. On donne ci-dessous la forme générique du développement, en adoptant la notation utilisée par Pipkin [59] S 1 pq (t) =... S n pq (t) = n=1 t Krs(τ) pq Ėrs(t τ) dτ =... K pq rs(t τ) Ėrs(τ) dτ K pq r 1 s 1...r n s n (τ 1,...,τ n ) Ė r1 s 1 (t τ 1 )... Ė rn s n (t τ n ) dτ 1... dτ n (IV.4) Green et Rivlin ont également simplifié la forme précédente pour prendre en compte la condition d isotropie dans l état non déformé. Ils donnent alors la forme la plus générale que peuvent prendre les intégrales S n. Cette forme générique a été reprise et donnée explicitement jusqu à

113 IV.1. Ecriture de la relation contraintes-déformations àpartird undéveloppement en séries de Volterra 99 l ordre 3 par Pipkin [59] et Lockett [5]. Elle s exprime sous la forme t [ ] S(t) = f 1 (t τ 1 ) tr Ė (τ 1) I + f 2 (t τ 1 ) Ė(τ 1) dτ 1 t t { [ ] + f 3 (t τ 1,t τ 2 ) tr Ė (τ 1) tr Ė (τ 2) I + f 4 (t τ 1,t τ 2 ) tr Ė (τ1 ) Ė (τ 2) I } + f 5 (t τ 1,t τ 2 ) tr Ė (τ 1)Ė (τ 2)+f 6 (t τ 1,t τ 2 ) Ė (τ 1)Ė (τ 2) dτ 1 dτ 2 t t t { [ [ ] + f 7 tr Ė (τ1 ) Ė (τ 2) 3)] Ė (τ I + f 8 tr Ė (τ 1) tr Ė (τ2 ) Ė (τ 3) I avec [ ] + f 9 tr Ė (τ 1) tr Ė (τ 2) Ė (τ 3)+ f 1 tr Ė (τ1 ) Ė (τ 2) Ė(τ3 ) } + f 11 tr Ė (τ 1) Ė (τ 2) Ė (τ 3)+ f 12 Ė (τ 1 ) Ė (τ 2) Ė (τ 3) dτ 1 dτ 2 dτ 3 (IV.5) f 1 et f 2, les noyaux d ordre 1, sont des fonctions de t τ 1. f 3 à f 6, les noyaux d ordre 2, sont des fonctions des deux arguments (t τ 1 )et(t τ 2 ). f 7 à f 12, les noyaux d ordre 3, sont des fonctions de (t τ 1 ),(t τ 2 ), et (t τ 3 ). IV.1.2 Cas des matériaux incompressibles A partir de (IV.5) on voit que l hypothèse d isotropie permet de ramener à2lenombre de noyaux indépendants dans l approximation au premier ordre, tout comme en viscoélasticité linéaire. On remarquera par ailleurs que le développement à l ordre 1 constitue une extension de la viscoélasticité linéaire, pour permettre de prendre en compte les grandes déformations. Le développement aux ordres supérieurs permet de prendre en compte aussi bien les grandes déformations que les non linéarités comportementales. L écriture précédente est ainsi une généralisation de la loi de comportement intégrale de la viscoélasticité linéaire. Cette généralisation se fait en rajoutant des termes d ordre 2 et plus dans l histoire des déformations, ces termes étant introduits dans la relation contraintes-déformations sous forme d intégrales multiples. Toutefois, même dans le cas isotrope, on voit apparaître 2 noyaux au premier ordre de l approximation, 4depluspourledéveloppement au second ordre, et encore 6 noyaux pour l approximation à l ordre 3. Il est déraisonnable d espérer identifier ou gérer numériquement une théorieavecune douzaine de noyaux : en fait, on trouve dans [5] une procédure expérimentale de détermination des noyaux, à partir d essais de relaxation ou de fluage. Dans sa thèse, A. Soulimani [75] a calculé que, en faisant toutes les expérimentations proposées, il faudrait réaliser plus de 4 essais pour le cas tridimensionnel isotrope mentionné précedemment! Toutefois, Pipkin [59] a repris ce développement de fonctionnelles tensorielles isotropes, et a pris en compte la condition

114 1 Chapitre IV. Prise en compte des non-linéarités d incompressibilité, ce qui lui permet d écrire : S pq (t) = p(t) C 1pq + S pq dev {E(t τ)} τ= (IV.6) p est la pression hydrostatique indéterminée, qui ne génère pas de travail dans le cas d un mouvement incompressible. S dev correspond ici àlapartiedéviatorique du tenseur des contraintes, en configuration lagrangienne. En prenant en compte l hypothèse d incompressibilité det(f) =1, on montre que S dev peut s écrire conformément à: où S ij dev (t) = t t t r 1 (t τ)ėij(τ)dτ t t t t t t r 2 (t τ 1,t τ 2 ) Ėik(τ 1 )Ėkj(τ 2 )dτ 1 dτ 2 { r 31 (t τ 1,t τ 2,t τ 3 ) tr (Ėik (τ 1 )Ėkl(τ 2 )) Ėlj (τ 3 ) dτ 1 dτ 2 dτ 3 r 32 (t τ 1,t τ 2,t τ 3 ) Ė ik (τ 1 )Ė kl (τ 2 )Ė lj (τ 3 ) } dτ 1 dτ 2 dτ 3 (IV.7) r 1 est le noyau de relaxation d ordre 1. r 2 est le noyau de relaxation d ordre 2. r 31 et r 32 sont les noyaux d ordre 3. Le nombre de noyaux indépendants pour un matériau isotrope incompressible est ainsi réduit de 12 à 4 noyaux, pour un développement à l ordre 3. En prenant en compte la contrainte d incompressibilité, l équation IV.6 s écrira en configuration lagrangienne S(t) = p(t)c 1 + S 1 (t)+s 2 (t)+s 31 (t)+s 32 (t) (IV.8) où less k correspondent aux intégrales de convolution intervenant dans (IV.7). IV.2 Démarche générale de calcul de l effort non linéaire IV.2.1 Equations d équilibre La démarche employée pour obtenir l expression de la réponse est similaire à celle présentée dans la partie III.3.1. Les différences proviennent de la prise en compte des non linéarités géométriques : les équations d équilibre intervenant seront les équations (II.28). Nous nous pla-

115 IV.2. Démarche générale de calcul de l effort non linéaire 11 cerons dans une formulation lagrangienne totale, les volumes considérés seront donc les volumes dans la configuration initiale non déformée. Le problème àtraiters écrira donc P ij x j + ρ f i = ρ ü dans Ω (IV.9) avec : Sur S U U i = U i Sur S σ P ij n j = T i (IV.1) Pour prendre en compte les non linéarités, la relation fonctionnelle sera développée en séries jusqu à l ordre 3, conformément à (IV.8), le tenseur des déformations de Green-Lagrange étant donné par E ij = 1 ( Ui + U ) j + 1 U k U k 2 X j X i 2 X j X i } {{ } } {{ } (IV.11) Eij L Eij NL IV.2.2 Ecriture du principe des travaux virtuels La détermination des paramètres de Ritz intervenant dans notre démarche se fera par application du principe des travaux virtuels pour la prise en compte à la fois des grandes déformations et de la dissipation (étant donnée la gamme de fréquence envisagée, on négligera là encoreles effets d inertie) : u i P ij dω = T i u i Ω X dω + f i u i dω (IV.12) j S σ Ω En utilisant la relation de passage P = FS, (IV.12) s exprime de manière équivalente en fonction du tenseur des contraintes purement lagrangien S. Le travail virtuel des efforts internes s écrira ainsi suivant Wint (u, u ) = (FS) : Gradu dω = S : ( F T Gradu ) dω (IV.13) Ω Ω Enfin, en introduisant les relations de comportement (IV.8) dans (IV.13), le principe des travaux virtuels se met sous la forme = Wint (u, u )+Wext(u, u ) Wint (u, u ) = p(t)c 1 : F T GradU dω + S dev : F T GradU dω Ω Ω Wext(u, u ) = T i u i dω + f i u i dω S σ Ω En utilisant la relation (IV.14) A 1 : (A 2 A 3 ) = ( A 2 T A 1 ) : A3 = ( A 1 A 3 T ) : A 2

116 12 Chapitre IV. Prise en compte des non-linéarités et les relations de passage entre les différentes configurations, on a C 1 : F T GradU = F 1 F T : F T GradU = F T : GradU = I : GradU F 1 = I : gradu (IV.15) où Grad désigne le tenseur gradient dans la configuration non déformée, et grad désigne le tenseur gradient dans la configuration déformée. le travail associé à la pression hydrostatique s écrit alors p(t)c 1 : F T GradU dω = p(t)divu dω= p(t) J divu dω Ω Ω Ω (IV.16) Le matériau étant supposé complètement incompressible, la pression hydrostatique est une inconnue du problème. Pour prendre en compte la contrainte supplémentaire introduite par l hypothèse d incompressibilité, une approche cinématique où ledéplacement est la seule inconnue du problème n est pas suffisante : il faut alors employer une formulation variationnelle àplu- sieurs champs, dans laquelle des variables additionnelles sont rajoutées. En introduisant un champ de pression virtuelle arbitraire p, le problème précédent peut être découplé en2parties. On cherche alors un champ de déplacement U(X) cinématiquement admissible et un champ de pression p(x), qui vérifient simultanément l équation (IV.14), à laquelle on rajoute l équation : p (J (U) 1) dω = (IV.17) Ω Les équations (IV.17) et (IV.14) doivent être vérifiées pour tout p, et pour tout U cinématiquement admissible. Ce problème est généralement résolu à l aide d une méthode en Lagrangien augmenté [36, 39]. Cette méthode est trop coûteuse numériquement, et sa mise en oeuvre ne nous permettrait pas d avoir une expression analytique simple. Nous supposons donc dans la suite que le champ retenu vérifie au mieux la condition d incompressibilité J(U) =1. Seule la partie déviatorique de la contrainte contribue à l expression de l effort, et (IV.14) se réduit à S dev : F T GradU dω = T i u i dω + f i u i dω (IV.18) Ω S σ Ω C est cette formulation que nous adopterons dans la suite, en négligeant la contribution de l énergie de déformation volumique. IV.2.3 Approximation du champ solution par une méthode de Ritz Pour exprimer l effort non linéaire associé audéveloppement en séries, nous approchons le champ solution en utilisant une méthode de Ritz. On cherchera donc le champ de déplacement sous la forme (voir chapitre III) { {u(x, t)} = α(t) {Φ(X)} {u (X, t)} = α (IV.19) (t) {Φ(X)}

117 IV.3. Calcul de l effort non linéaire 13 où {Φ} est un champ cinématiquement admissible. Nous négligeons les termes dus à la pression hydrostatique (pour un mouvement réellement incompressible, cette contribution est nulle), et conservons uniquement le travail dû àlapartie déviatorique des contraintes. Notons u le déplacement associé auchamp{φ} au point d application de la force, et F (t) l effort appliqué sur l armature du plot qui se déplace. La relation (IV.18) permet d écrire F (t)u = S dev u i u i ij dω + S dev u i kj dω (IV.2) Ω X j Ω X k X j puis, en utilisant l approximation de Ritz, nous obtenons l expression de l effort fonction du champ de déplacement choisi au départ F (t)u = S ij (t)eij L dω +2α(t) S ij (t)eij NL dω (IV.21) Ω Ω où E L (respectivement E NL )désigne la partie linéaire (respectivement non linéaire) du tenseur des déformations associé auchamp{φ}, les expressions de E L et E NL étant données par les équations (IV.11). Pour normer l expression (IV.21), on posera {Φ} = u {ũ} [ E L ] ] = u [Ẽ1 [ E NL ] ] = u 2 [Ẽ2 Le modèle simplifié permettant d obtenir la fonction réponse du plot s exprime en fonction de ces paramètres et du déplacement U(t) dans la direction de chargement de la manière suivante F (t) = S ij (t)ẽ1ij dω +2U(t) S ij (t)ẽ2ij dω (IV.22) Ω Ω Cette expression permet de calculer l effort pour n importe quel type de loi de comportement, en remplaçant la contrainte S ij par son expression en fonction des déformations. Dans le paragraphe qui suit, nous utilisons un développement en séries de Volterra de la relation contraintesdéformations, et nous recherchons l effort associé. IV.3 Calcul de l effort non linéaire La forme générale de l effort non linéaire lorsqu on développe la contrainte sous forme de séries de Volterra est obtenue en reportant (IV.7) dans (IV.22). On aura ainsi : F (t) =F 1 (t)+f 2 (t)+f 31 (t)+f 32 (t) (IV.23) où F 1 (respectivement F 2,(F 31, F 32 )) correspond à l effort associé audéveloppement en séries de Volterra à l ordre 1 (respectivement à l ordre 2 et 3). D après l approximation (IV.22), pour

118 14 Chapitre IV. Prise en compte des non-linéarités chacun des termes de (IV.23), on aura une contribution due àlapartielinéaire des déformations, et une contribution due à la partie non linéaire, soit : F n (t) = S nij (t)ẽ1ij dω +2U(t) S nij (t)ẽ2ij dω Ω } Ω {{ } (IV.24) } {{ } partie linéairedee partie non linéaire de E La démarche de calcul de l effort associé àundéveloppement en séries de Volterra à l ordre 3 de la loi de comportement se décline alors comme suit : 1. Approximation des déformations E ij (t), en utilisant le champ de Ritz. On écrira : E ij (t) = [ α(t)eij L + α 2 (t)eij NL ] H(t) (IV.25) En utilisant les expressions normées introduites au paragraphe IV.2.3, on écrira cette approximation comme suit : [ ] E ij (t) = U(t)Ẽ1ij + U 2 (t)ẽ2ij H(t) (IV.26) On en déduit E ij (t) = [ U(t)Ẽ1 ij +2U(t) U(t)Ẽ2 ij] H(t) + [ ] U(t)Ẽ1 ij + U 2 (t)ẽ2 ij où nous avons noté H(t) la fonction heaviside et δ(t) la fonction dirac. δ(t) (IV.27) 2. Pour chaque ordre du développement, la contrainte est obtenue en reportant (IV.27) dans l expression générale de S k donnée en (IV.7). 3. Enfin, en rassemblant les expressions précédentes en fonction des ordres de la non linéarité, on obtient l expression finale de l effort, qui sera fonction : Du champ {Φ} choisi au départ. Du déplacement U(t). Des noyaux de relaxation choisis r 1, r 2, r 31, r 32. Dans le paragraphe qui suit, nous donnerons les expressions analytiques de la force résultante F n (t) pour chacun des ordres du développement en séries de Volterra. IV.3.1 Contribution des termes d ordre 1 du développement en séries En arrêtant le développement au premier ordre, la relation contrainte déformation s écrit S 1ij (t) = t r 1 (t τ) E ij (τ)dτ (IV.28)

119 IV.3. Calcul de l effort non linéaire 15 Nous remplaçons le tenseur des déformations Ė par son approximation (IV.27), ce qui donne pour la contribution du premier noyau [ t ] S 1ij (t) = r 1 (t τ) U(t)dτ + r 1 (t)u() Ẽ 1ij [ t ] (IV.29) + 2 r 1 (t τ) U(τ) U(τ)dτ + r 1 (t)u 2 () Remarquons que ce comportement n est pas linéaire, car il prend en compte la non linéarité géométrique. Cette non linéarité se traduit par les termes d ordre 2 en U(t) associés àlapartie quadratique du tenseur des déformations Ẽ 2. D où Nous allons introduire la notation suivante associée à l ordre de la non linéarité enu(t) t K 1 (U, t) = r 1 (t τ) U(t)dτ + r 1 (t)u() t (IV.3) K 2 (U, t) = 2 r 1 (t τ) U(τ) U(τ)dτ + r 1 (t)u 2 () Ẽ 2ij S 1ij (t) = K 1 (U, t)ẽ1ij + K 2 (U, t)ẽ2ij (IV.31) L effort associé est obtenu en reportant (IV.31) dans (IV.24), ce qui donne : F 1 (t) = a 1 K1 (U, t) +a 21 K2 (U, t) +2a 22 U(t) K 1 (U, t)+2a 3 U(t) K 2 (U, t) (IV.32) où nous avons noté Ordre 1 Ordre 2 Ordre 3 a 1 = Ẽ 1ij Ω Ẽ 1ij dω a 21 = Ẽ 2ij Ω Ẽ 1ij dω a 3 = Ω Ẽ 1ij Ẽ 2ij dω a 22 = Ẽ 2ij Ẽ 1ij dω Ω Tab. IV.1: Contributions associées au développement à l ordre 1 Les coefficients a ij intègrent les effets de volume et sont aussi fonction du champ de Ritz choisi. On a de plus a 21 = a 22. Nous avons regroupé ces termes en fonction de l ordre de la non linéarité enu à laquelle ils sont associés (tableau (IV.1)). IV.3.2 Contribution des termes d ordre deux De façon analogue, nous déterminons F 2 (t) en calculant tout d abord la valeur de : S 2ij (t) = t t r 2 (t τ 1,t τ 2 ) Ėik(τ 1 )Ėkj(τ 2 )dτ 1 dτ 2 (IV.33)

120 16 Chapitre IV. Prise en compte des non-linéarités Puis, en réalisant les substitutions de (IV.27) dans (IV.33) et en reportant dans (IV.24), on obtient : F 2 (t) = b 2 P2 (U, t) +b 31 P3 (U, t) +b 32 P3 (U, t)+2b 33 U(t) P 2 (U, t)+ b 41 P4 (U, t) + 2b 42 U(t) P 3 (U, t)+2b 43 U(t) P 3 (U, t) +2b 5 U(t) P 5 (U, t) (IV.34) où les coefficients b k correspondent aux intégrations sur le volume des produits croisés du tenseur des déformations, et les fonctions P k (U, t) correspondent aux intégrales de convolution associées à l expression (IV.33) (annexe A), l indice k désignant l ordre de la non linéarité enu. IV.3.3 Contribution des termes d ordre trois Le développement à l ordre trois va faire apparaître deux types de contributions, l une associée àlatracedesdéformations, et l autre au produit des déformations. On a donc : S 3ij (t) = S 31 ij (t)+s 32 ij (t) (IV.35) Avec Sij 31 (t) = S 32 ij (t) = t t t t t t r 31 (t τ 1,t τ 2,t τ 3 ) tr (Ėik (τ 1 )Ėkl(τ 2 )) Ėlj (τ 3 )dτ 1 dτ 2 dτ 3 r 32 (t τ 1,t τ 2,t τ 3 ) Ėik(τ 1 )Ėkl(τ 2 )Ėlj(τ 3 )dτ 1 dτ 2 dτ 3 (IV.36) Une démarche similaire à celle présentée en IV.3.1 et IV.3.2 permet d obtenir, à l ordre 3, l expression de l effort non linéaire F 3 (t) = c 3 Q3 (U, t)+c 41 Q4 (U, t)+c 42 Q4 (U, t)+c 43 Q4 (U, t)+2c 44 U(t) Q 3 (U, t)+c 51 Q5 (U, t) + c 52 Q5 (U, t)+c 53 Q5 (U, t)+2c 54 U(t) Q 4 (U, t)+2c 55 U(t) Q 4 (U, t)+2c 56 U(t) Q 4 (U, t) + c 61 Q6 (U, t)+2c 62 U(t) Q 5 (U, t)+2c 63 U(t) Q 5 (U, t)+2c 64 U(t) Q 5 (U, t) + 2c 7 U(t) Q 6 (U, t) (IV.37) où les coefficients c k intègrent la géométrie de la pièce et les fonctions Q k (U, t) proviennent des intégrales de convolution (annexe B), l indice k étant associé à l ordre de la non linéarité enu. IV.3.4 Expression globale de l effort Finalement, l expression complète de l effort résultant basé sur un développement de Fréchet à l ordre 3 peut s écrire en séparant les différentes contributions les unes par rapport aux autres, en fonction du coefficient de la non linéarité et de l ordre du noyau considéré.lescolonnesdu tableau IV.2 correspondent à tous les termes provenant d un même noyau, les lignes àtous les termes provenant d un même ordre de non linéarité. On a en tout des non linéarités allant

121 IV.3. Calcul de l effort non linéaire 17 jusqu à l ordre 7 en U. F (t) = Noyau 1 Noyau 2 Noyau 3 linéaire a 1 K1 (U, t) quadratique +a 21 K2 (U, t) +b 2 P2 (U, t) +2a 22 U(t) K 1 (U, t) cubique +2a 3 U(t) K 2 (U, t) +b 31 P3 (U, t)+b 32 P3 (U, t) +c 3 Q3 (U, t) +2b 33 U(t) P 2 (U, t) ordre 4 +b 41 P4 (U, t) +c 41 Q4 (U, t) +2b 42 U(t) P 3 (U, t) +c 42 Q4 (U, t)+c 43 Q4 (U, t) +2b 43 U(t) P 3 (U, t) +2c 44 U(t) Q 3 (U, t) ordre 5 +2b 5 U(t) P 4 (U, t) +c 51 Q5 (U, t) +c 52 Q5 (U, t)+c 53 Q5 (U, t) +2c 54 U(t) Q 4 (U, t) +2c 55 U(t) Q 4 (U, t) +2c 56 U(t) Q 4 (U, t) ordre 6 +c 61 Q6 (U, t) +2c 62 U(t) Q 5 (U, t) +2c 63 U(t) Q 5 (U, t) +2c 64 U(t) Q 5 (U, t) ordre 7 +2c 7 U(t) Q 6 (U, t) Tab. IV.2: Expression de l effort total basé surundéveloppement de Fréchet à l ordre 3 L effort non linéaire s exprime en fonction de 3 coefficients de volume connus, calculés à partir du champ cinématiquement admissible choisi au départ, de la géométrie de la pièce, et de 4 fonctions de relaxation. Il reste maintenant à choisir la forme des noyaux de relaxation. On se basera sur les relations développées en viscoélasticité linéaire pour prendre une forme type séries de Prony pour le noyau d ordre un : N r 1 (t) = G + G k e φ kt k=1 (IV.38) Nous prendrons des relations du type : r 2 (t 1,t 2 ) = l 2 + m 2 e c 2(t 1 + t 2 ) r 31 (t 1,t 2,t 3 ) = l 31 + m 31 e c 31(t 1 + t 2 + t 3 ) r 32 (t 1,t 2,t 3 ) = l 32 + m 32 e c 32(t 1 + t 2 + t 3 ) (IV.39)

122 18 Chapitre IV. Prise en compte des non-linéarités pour les noyaux d ordre 2 et 3 conformément à [75]. IV.4 Calcul du module dynamique En pratique, les pièces considérées sont amenées à subir une précharge importante due au poids du moteur, autour de laquelle se superposent des oscillations sinusoidales pour un faible niveau d amplitude. Dans la suite, nous nous limiterons à ce type de chargement, et nous nous intéresserons àlaprédiction de la réponse en fréquence associée au développement en séries pour un tel chargement. Nous écrivons ainsi le déplacement sous la forme : U(t) = U + δu(t) (IV.4) et nous poserons β(t) = δu(t). Les petites déformations superposées étant sinusoidales, on écrira : δu(t) = β(t) = 1 ( β e iωt + β e iωt) (IV.41) 2 L effort associé est alors obtenu en reportant (IV.4) dans l expression donnée dans le tableau (IV.2), et s écrira : N 1 ( F (t) = F + F k e kiωt + F k e kiωt) (IV.42) 2 k=1 où chacundesparamètres F, F k k =1...N, pourra être exprimé enfonctiondelaprécharge U, de l amplitude de débattement β, et des noyaux de relaxation. L effort F (t) prendra en compte deux types de non linéarités : les non linéarités géométriques provenant de la prise en compte des termes quadratiques des déformations, et celles liées à la loi de comportement non linéaire. Si nous nous limitons à la contribution du premier harmonique dans (IV.42), alors F (t) peut être approché par: F (t) = F + 1 ( Fdyn e iωt + F dyn e iωt) (IV.43) 2 et le module dynamique non linéaire est formé en rapportant l effort F dyn à l amplitude du déplacement sinusoidal. On aura ainsi K dyn (ω, U,β ) = F dyn(ω) β (IV.44) Une démarche similaire à celle présentée au paragraphe (IV.3) conduit à l expression complète du module dynamique K(U,β,ω) = K 1 (U,β,ω)+K 2 (U,β,ω)+K 3 (U,β,ω) (IV.45) où K 1 (respectivement K 2, K 3 ) correspond à la contribution due au développement des contraintes à l ordre 1 (respectivement 2 et 3). En fait, à l ordre 3, on aura une contribution due à S 31 et une autre due à S 32. Dans ces conditions on écrira K 3 (U,β,ω)=K 31 (U,β,ω)+K 32 (U,β,ω)

123 IV.4. Calcul du module dynamique 19 La dépendance en fréquence des fonctions K 31 et K 32 sont exactement similaires : ils s expriment dans un cas en fonction des paramètres indicés 31 dans l expression (IV.39) pourk 31,eten fonction des paramètres indicés 32 pour K 32. Par contre, les coefficients de volume intervenant dans chacune de ces contributions seront différents (annexe B). Les différentes étapes de calcul du module dynamique sont développées en annexe C. IV.4.1 Contribution des termes d ordre 1 Remplaçons le déplacement U(t) par son expression (IV.4) dans (IV.3), cela donne : t K 1 (U, t) = r 1 (t τ) β(τ)dτ + r 1 (t)u() t K 2 (U, t) = 2 U r 1 (t τ) β(τ)dτ +2 t r 1 (t τ) β(τ) β(τ)dτ + r 1 (t)u 2 () (IV.46) Utilisons àprésent le fait que les débattements sont sinusoidaux. On a ainsi β(t) = 1 ( β e iωt + β e iωt) (IV.47) 2 Pour calculer la réponse en fréquence associée au développement à l ordre 1, nous choisissons la forme du noyau de relaxation N r 1 (t) = G + G k e φ kt k=1 (IV.48) En ne conservant que les termes au premier harmonique, le module dynamique s écrit sous la forme (voir calculs en annexe C) : K 1 (U,β,ω) = a 1 K1 1(U,β,ω)+a 21 K2 1(U,β,ω)+a 22 K3 1(U, U, ω)+a 3 K4 1(U,β,ω) (IV.49) Avec K 1 1 (U,β,ω) = ( G + N k=1 K 1 2 (U,β,ω) = 2U (G + K 1 3 (U,β,ω) = 2 U (2 G + K 1 4 (U,β,ω) = [ 2U 2 i ωg k φ k +iω N k=1 ( 3 G + ) i ωg k φ k +iω N k=1 N k=1 ) i ωg k φ k +iω ) 2iωG k φ k +iω ) ( + β β 3 G + 2 N k=1 2iωG k φ k +2iω )] (IV.5)

124 11 Chapitre IV. Prise en compte des non-linéarités Dans l expression (IV.49), seule la fraction rationnelle associée à a 1 correspond à l hypothèse des petites perturbations. Dans ce cas en effet, tous les coefficients de volume faisant intervenir les déformations au second ordre sont négligés, et on retrouve ) N K 1 i ωg k (U,β,ω) = a 1 (G + (IV.51) φ k +iω cequicorrespondaumodèle classique de Maxwell généralisé delaviscoélasticité linéaire. Le modèle non préchargé correspond à U =. On retrouve alors une dépendance en amplitude : K 1 (U,β,ω) = a 1 (G + N k=1 iωg k φ k +iω ) k=1 ( β β + a 3 3 G + 2 N k=1 2iωG k φ k +2iω (IV.52) Cette dépendance en amplitude est alors géométrique, puisqu elle est liée à l existence de déformations au second ordre. Elle correspond à une rigidification, le module augmentant avec l amplitude du débattement. Or, en pratique, la rigidification n est observée que pour des très fortes amplitudes de débattement ; pour de faibles niveaux, on constate une chute du module dynamique avec l amplitude. Ce dernier phénomène ne peut clairement pas être pris en compte par un développement à l ordre 1, puisqu à l ordre 1 la dépendance en amplitude est purement géométrique. Pour pouvoir approcher la non linéarité comportementale, il est ainsi nécessaire de pousser le développement à un ordre supérieur. ) IV.4.2 Contribution des termes d ordre 2 et 3 En utilisant exactement la même démarche, à l ordre 2, le module dynamique fera intervenir 8 coefficients de volume et 8 fractions rationnelles, et on écrira : K 2 (U,β,ω) = b 2 K1 2 + b 31K2 2 + b 32K3 2 + b 33K4 2 + b 41K5 2 + b 42K6 2 + b 43K7 2 + b 5K8 2 (IV.53) où les fonctions K1 2 à K2 8 sont des fractions rationnelles en ω, calculées en adoptant la même méthodologie que celle exposée en IV.4.1. Ils sont ainsi obtenus en remplaçant U(t) parson expression (IV.4) dans les fonctions P k (U, t) (Annexe A). L expression du module dynamique est reportée en annexe C. A l ordre 2, le développement aboutit à des non linéarités polynomiales allant jusqu à l ordre 4 en U et en β. De la même manière, à l ordre 3, en regroupant les contributions de S 31 et de S 32,ilyaura(en prenant en compte les simplifications sur les coefficients de volume et les fractions rationnelles) 19 coefficients de volume à calculer, et 9 fractions rationnelles (annexe C). On a alors des non linéarités jusqu à l ordre 6 en U et β.

125 IV.5. Cas où la non linéarité est uniquement comportementale 111 IV.5 Cas où la non linéarité est uniquement comportementale A partir des expressions précédentes, on peut reconstituer la forme complète du module dynamique, de manière similaire àcequiestprésenté en (IV.2). Cet exemple montre que la démarche simplifiée permet d obtenir une expression analytique, même quand l approche utilisée pour représenter le comportement microscopique est complexe. Toutefois, on se rend compte dans les expressions précédentes de la difficulté qui va apparaître lors de l identification des coefficients. En effet, l expression obtenue est certes très complète : elle prend en compte àlafois les effets de précharge, d amplitude de débattement, de rigidification en fréquence, et permet de coupler les non linéarités géométriques et comportementales. Mais même en ne conservant que le premier harmonique dans le calcul du module dynamique, il faut évaluer dans le cas général quatre termes à l ordre 1, 6 à l ordre 2, et 9 pour chacune des contributions à l ordre 3, soit 28 fonctions qui dépendent chacune de la précharge, de l amplitude de débattement, et de la fréquence d excitation. De plus, la dépendance en amplitude étant très importante pour les plus faibles niveaux d amplitude, on ne peut pas la négliger lors d essais à bas niveaux, pour identifier par exemple la fonction K1 1 autour de la précharge nulle, à faible amplitude. Pour faciliter le processus d identification, il semble donc plus judicieux de nous intéresser dans un premier temps uniquement aux effets comportementaux, et identifier ainsi un jeu de paramètres qui pourra être optimisé ensuite par l introduction des effets géométriques. C est pourquoi dans un premier temps, nous nous intéressons àlaprédiction du modèle dans le cas où la non linéarité est uniquement comportementale. Les déformations seront supposées petites, mais la relation contraintes-déformations sera non linéaire, de manière à approcher la dépendance en amplitude. Le premier paragraphe de cette partie présente les simplifications obtenues pour le calcul du module dynamique sous ces nouvelles hypothèses. De plus, l expression analytique étant plus simple, la forme des noyaux peut être enrichie pour introduire des modèles fractionnaires. Les paragraphes qui suivent traitent de la comparaison entre les résultats analytiques ainsi obtenus et des résultats expérimentaux réalisés au laboratoire et à CFGOMMA. IV.5.1 Ecriture de la relation contraintes-déformations En se basant sur les hypothèses décrites précédemment, nous négligeons tous les termes du second ordre intervenant dans l expression des déformations, ce qui permet d écrire : σ(t) = p(t)i t t t t t t t r 1 (t τ) ɛ(τ)dτ + t t r 2 (t τ 1,t τ 2 ) ɛ(τ 1 ) ɛ(τ 2 )dτ 1 dτ 2 r 31 (t τ 1,t τ 2,t τ 3 )tr ( ɛ(τ 1 ) ɛ(τ 2 )) ɛ(τ 3 )dτ 1 dτ 2 dτ 3 r 32 (t τ 1,t τ 2,t τ 3 ) ɛ(τ 1 ) ɛ(τ 2 ) ɛ(τ 3 )dτ 1 dτ 2 dτ 3 (IV.54) L application de la démarche exposée en IV.2 se trouve ainsi considérablement simplifiée. En effet seuls les termes linéaires des déformations sont à prendre en compte, aussi bien dans

126 112 Chapitre IV. Prise en compte des non-linéarités l équation (IV.22) que dans les expressions des contributions des contraintes. Ainsi, en adoptant les notations du paragraphe précédent, l effort associé à la seule non linéarité comportementale s écrira : ( t ) ( t t ) F (t) = a 1 r 1 (t τ) U(τ)dτ + b 2 r 2 (t τ 1,t τ 2 ) U(τ 1 ) U(τ 2 )dτ 1 dτ 2 ( t t t ) + c 31 r 3 (t τ 1,t τ 2,t τ 3 ) U(τ 1 ) U(τ 2 ) U(τ 3 )dτ 1 dτ 2 dτ 3 + c 32 ( t t t r 4 (t τ 1,t τ 2,t τ 3 ) U(τ 1 ) U(τ 2 ) U(τ 3 )dτ 1 dτ 2 dτ 3 ) = F 1 (t)+f 2 (t)+f 31 (t)+f 32 (t) (IV.55) En s appuyant sur le calcul du module dynamique détaillé dans le paragraphe IV.4, nous estimerons la contribution de chacun des noyaux de Volterra (ordre 1, 2 et 3), en supposant que la précharge U est nulle. IV.5.2 Contribution des termes d ordre 1 En posant V (t) = U(t), on a ( 1 + ) 2 F 1(ω) = a 1 r 1 (X)V (t X)dX + ( ) 1 = a 1 r 1 (X) 2 V e iω(t X) + V e iω(t X) dx (IV.56) = 1 2 V K 1 (ω)e iωt V K 1 ( ω)e iωt où nous avons noté K 1 (ω) = + r 1 (X)e iωx dx V (t) = U(t) = 1 2 iω(β e iωt β e iωt ) V = iωβ a 1 = Ẽ ijẽ1 1 ijdω Ω On a ainsi à l ordre 1 un seul terme associé au premier harmonique.

127 IV.5. Cas où la non linéarité est uniquement comportementale 113 IV.5.3 Contribution des termes d ordre 2 A l ordre 2, en utilisant la même démarche, on obtient : 1 2 F 2(ω) = 1 4 b 2 où K 2 (ω 1,ω 2 )= [ ] V 2 K 2 (ω, ω)e 2iωt 2 + V V ( K 2 (ω, ω) +K 2 ( ω, ω)) V K2 (ω, ω)e 2iωt (IV.57) + + r 2 (X 1,X 2 )e iω 1X 1 e iω 2X 2 dx 1 dx 2 b 2 = Ω (Ẽ1 ik Ẽ 1 kj ) Ẽ1 ij dω On constate que la contribution au premier harmonique associé audéveloppement à l ordre 2 est nulle. IV.5.4 Contribution des termes d ordre 3 Un calcul identique aux deux précédents conduit à l ordre trois à l expression suivante : 1 2 F 3k(ω) = 1 8 c 3k { V 3 K 3k (ω, ω, ω)e 3iωt + V 2 V e iωt [ K 3k (ω, ω, ω)+k 3k (ω, ω, ω) où: + K 3k ( ω, ω, ω)]+v 2 V e iωt [ K 3k (ω, ω, ω)+k 3k ( ω, ω, ω)+k 3k ( ω, ω, ω)] + V 3 K3k ( ω, ω, ω)e 3iωt } (IV.58) K 3k (ω 1,ω 2,ω 3 ) = k = 1, 2 c 31 = c 32 = Ẽ Ω plẽ1 1 lpẽ1 ijẽ1 ij dω Ω Ẽ 1 ikẽ1 kpẽ1 pjẽ1 ijẽ1 ij dω r 3k (X 1,X 2,X 3 )e iω 1X 1 e iω 2X 2 e iω 3X 3 dx 1 dx 2 dx 3 On remarque que F 3k est composé d harmoniques d ordre 3, d ordre 1 et d ordre. Dans notre cas seul l harmonique fondamental sera retenu, et F 3k (ω) est approximé par: F 3k (ω) = 1 4 c 3k V 2 V [ K 3k (ω, ω, ω)+k 3k (ω, ω, ω)+k 3k ( ω, ω, ω)] IV.5.5 Expression globale du module dynamique En remplaçant V par iωβ, et en ne conservant que le premier harmonique, le module dynamique prend la forme : K dyn (ω) = F (ω) β = a 1 iωk 1 (ω) ( iω)(iω)2 β 2 [c 31 K 31 (ω)+c 32 K 32 (ω) ] (IV.59)

128 114 Chapitre IV. Prise en compte des non-linéarités où nous avons noté K 3k (ω) =[K 3k (ω, ω, ω)+k 3k (ω, ω, ω)+k 3k ( ω, ω, ω)] l expression IV.59 peut s écrire sous forme condensée : K dyn (ω) =K lin (ω)+ β 2 K nonlin (ω) (IV.6) avec K lin (ω) = iωk 1 (ω) K nonlin (ω) = 1 4 ( iω)(iω)2 [c 31 K 31 (ω)+c 32 K 32 (ω)] (IV.61) IV Cas de noyaux de relaxation exponentiels Si nous choisissons des noyaux de relaxation du type : r 1 (t) = G + k G k e φ kt r 3k (t 1,t 2,t 3 ) = l 3k + m 3k e δ 3k(t 1 +t 2 +t 3 ) (IV.62) alors la symétrie du noyau r 3k permet d écrire : K 3k (ω, ω, ω) =K 3k (ω, ω, ω) =K 3k ( ω, ω, ω) En reportant (IV.62) dans (IV.61), on obtient la forme du module dynamique associée àdes noyaux de relaxation exponentiels : ( K lin (ω) = a 1 G + ) ω 2 +iωφ k G k ω 2 +(φ k k ) 2 ( ) ( ) (IV.63) K nonlin (ω) = 3 4 c ω 4 +iω 3 δ l 31 + m 31 ( ω 2 + δ31 2 ) c ω 4 +iω 3 δ l 32 + m 32 ( ω 2 + δ32 2 ) 2 IV Cas de noyaux de relaxation fractionnaires De la même manière, en prenant pour premier noyau un modèle àdérivation fractionnaire à 3 paramètres, on aura K lin (ω) =a 1 iωk 1 (ω) = a 1 G 1 (1 + ξ 1 (iω) α 1 ) (IV.64) On peut aussi prendre des noyaux fractionnaires pour approximer les termes non linéaires. Considérons un noyau d ordre 3 sous la forme : r 3 (t 1,t 2,t 3 ) = f(t 1 )f(t 2 )f(t 3 ) (IV.65)

129 IV.6. Confrontation modèle/résultats expérimentaux 115 avec iω f(x)e iωx dx = G 3 (1 + ξ 3 (iω) α 3 ) (IV.66) En reportant les deux expressions précédentes dans (IV.61), on obtient (iω)(iω) 2 K 3 (ω, ω, ω) = (iω)(iω) 2 K 3 (ω, ω, ω) = (iω)(iω) 2 K 3 ( ω, ω, ω) = [G 3 (1 + ξ 3 (iω) α 3 )] 2 G 3 (1 + ξ 3 (iω) α 3 ) (IV.67) d où = G 3 (1 + ξ 3 (iω) α 3 ) 2 G 3 (1 + ξ 3 (iω) α 3 ) K nonlin (ω) = 3 4 c 31 G 31 (1 + ξ 31 (iω) α 31 ) 2 G 31 (1 + ξ 31 (iω) α 31 ) c 32 G 32 (1 + ξ 32 (iω) α 32 ) 2 G 32 (1 + ξ 32 (iω) α 32 ) (IV.68) pour un modèle avec des noyaux fractionnaires. IV.6 Confrontation modèle/résultats expérimentaux L équation (IV.2) donne l expression complète de l effort non linéaire, pour une direction de sollicitation, fonction de toutes les non linéarités (effets de volume, non linéarités géométriques et comportementales). La simplification de cette forme pour ne prendre en compte que les non linéarités comportementales conduit à (IV.6). Dans cette dernière expression, la direction de chargement ainsi que les effets de volume sont pris en compte dans les coefficients a 1, c 31, c 32.Un résultat intéressant de la forme (IV.6) est que la dépendance en amplitude a qualitativement la même forme quels que soient la direction de chargement et les effets de géométrie. De plus, l expression (IV.6) avec les modélisations associées (IV.63), (IV.64-IV.68) donne l expression analytique du module dynamique dans une direction en fonction de la fréquence et de l amplitude du débattement. L objectif de cette partie est de vérifier ces deux dernières hypothèses, àsavoir: La dépendance en amplitude a-t-elle la même forme pour toutes les sollicitations, et ceci indépendamment de la géométrie de la pièce? L équation (IV.6) est elle suffisante pour approcher le comportement observé? Pour vérifier ces hypothèses, des expériences ont été menées au laboratoire et à CF GOMMA Barre Thomas, l objectif étant de mesurer le module dynamique pour plusieurs cas de chargement et de géométrie. Dans un premier temps, on s intéresse uniquement au modèle simplifié exposé dans le paragraphe IV.5, toutes les expériences présentées dans cette partie seront donc réalisées sans précharge.

130 116 Chapitre IV. Prise en compte des non-linéarités IV.6.1 Les essais réalisés Les paragraphes qui suivent présentent les essais type réalisés pour identifier les paramètres du modèle. IV Essais de traction compression sur éprouvette Afin de pouvoir réaliser un essai de traction compression autour de l état non déformé, on utilise le plot suivant (figure IV.1) : U (t) D = 43 mm Caoutchouc P L = 6 mm Fig. IV.1: Plot utilisé pour l essai de traction compression Ce plot est constitué d un cylindre en élastomère vulcanisé de6mmdehauteuret43mm de diamètre. Le mélange utilisé estunmélange très peu chargé en noir de carbone, noté Y 573. Aux deux extrémités, sont adhérisées des armatures métalliques. Si l on considère que l une des armatures reste fixe pendant que l autre se déplace de U(t) suivant l axe du plot, le rapport F (force transmise au plot) F ( accélération de l armature ) (IV.69) est une fonction de transfert qui caractérise le comportement du plot en traction compression. Pour déterminer expérimentalement cette fonction de transfert, on utilise le dispositif expérimental représenté figures IV.2a et IV.2b.

131 IV.6. Confrontation modèle/résultats expérimentaux 117 BATI FIXE Capteur de Force Plot en caoutchouc Accelerometre Tige d excitation EXCITATEUR Preamplificateur de charge B&K ANALYSEUR AMPLIFICATEUR DE PUISSANCE (a) Banc d essai (b) Montage du plot sur le banc d essai Fig. IV.2: Dispositif expérimental Une excitation sinusoïdale àdifférentes fréquences (sinus balayé) est imposée à l une des armatures métalliques du plot par l intermédiaire d un excitateur électrodynamique. Un des accéléromètres sert à mesurer l accélération de l armature mobile. L autre, reliéàunpréamplificateur de charge, puis à l analyseur, permet d assurer l asservissement en déplacement. Le capteur de force placé entrelebâti et l armature fixe permet de mesurer la force transmise au plot. Les signaux mesurés par l accéléromètre et le capteur de force sont envoyés sur un analyseur de réponses en fréquence qui réalise le rapport (IV.69). Plusieurs séries de mesure sont réalisées, où l on fait varier l amplitude du débattement imposé, de ±.1 mm à ±1. mm, et pour chaque valeur de l amplitude plusieurs acquisitions sont faites pour vérifier la reproductibilité delaréponse. La fréquence d excitation utilisée se situe entre 1 et 5 Hz. IV Essais de cisaillement sur éprouvette Des essais de cisaillement ont également été réalisés au LRCCP (Laboratoire de Recherches et de Contrôle des Caoutchoucs et des Plastiques). Les pièces utilisées dans ce but sont des éprouvettes bicouche élastomère métal (éprouvettes de double cisaillement), constituées de deux plaques en élastomère vulcanisé de4mm de hauteur, et 2 mm de largeur. Aux extrémités de chacune des plaques, sont adhérisées des armatures métalliques (figure IV.3).

132 118 Chapitre IV. Prise en compte des non-linéarités Plaque métallique U (t) e = 4 mm Caoutchouc Caoutchouc L = 25 mm U (t) Fig. IV.3: Eprouvette de double cisaillement Si l on considère que l armature centrale est fixe, et qu un déplacement est imposé aux deux armatures externes, l éprouvette subit un chargement de cisaillement. Avant de commencer les mesures, un déverminage est effectué. Il consiste à effectuer un chargement cyclique jusqu à stabilisation de la réponse. On s affranchit ainsi de l effet Mullins. Tous les essais sont réalisés pour une température de 23. Pour la caractérisation dynamique, le déplacement imposé estun sinus balayé d amplitude fixée : U(t) =β sin(2πft) (IV.7) Le balayage en fréquence se fait pour des valeurs de f =1Hz à f = 1Hz, l asservissement est réalisé surledéplacement. Les mesures sont faites pour les valeurs suivantes du déplacement imposé β : ±.1 mm ±.5 mm ±.1 mm ±.5 mm ± 1 mm Pour chaque valeur de la fréquence, on mesure le module dynamique K(ω, β )= F (ω, β ). β Deux types de mélange sont testés : un mélange faiblement chargé en noir de carbone, noté Y 573, et un mélange assez fortement chargé, noté Y 672. IV Essais sur pièce complexe Pour passer du modèle microscopique au modèle macroscopique, seuls interviennent des coefficients de volume, prenant en compte la géométrie de la pièce et les champs de déplacement admissibles choisis. Il est donc important de s assurer que la forme de la non linéarité d amplitude reste la même pour des pièces ayant des géométries plus complexes. C est pourquoi des essais sont également réalisés à CF GOMMA Barre Thomas, sur la cale représentée figure (IV.4).

133 IV.6. Confrontation modèle/résultats expérimentaux 119 X Z Y Fig. IV.4: Pièce complexe Deux cales constituées des deux mélanges précédents (Y573 et Y672) sont réalisées pour les besoins de l étude. Cette fois, la pièce peut être sollicitée suivant plusieurs directions, le déplacement imposé pourra donc être radial en compression (direction X) (perpendiculairement aux alvéoles) axial (direction Y) radial en cisaillement (direction Z) (parallèlement aux alvéoles) Pour chacune de ces directions de chargement, une excitation sinusoidale d amplitude β est imposée. Les amplitudes de mesure sont récapitulées dans le tableau IV.3 ±.1 mm ±.1 mm ±.3 mm ±.5 mm ±.7 mm ± 1. mm Tab. IV.3: Amplitude du débattement imposé, pour chacune des directions de chargement La fréquence d excitation varie de 1 à 1 Hz. IV.6.2 Analyse des mesures expérimentales IV Phénomène de rigidification en fréquence Lesfiguresquisuiventmontrentlesalluresdeladépendance en fréquence observée pour les essais de compression, de cisaillement sur éprouvette, et sur pièce.

134 12 Chapitre IV. Prise en compte des non-linéarités Re(K) N/mm 71 7 β Im(K) N/mm 3.5 β Fréquence Hz Fréquence Hz (a) Partie réelle fonction de la fréquence (b) Partie imaginaire fonction de la fréquence Fig. IV.5: Essai de compression (plot IV.1) sur un mélange faiblement chargé. Evolution du module dynamique en fonction de la fréquence. Re(K) en N/mm Partie réelle, mélange peu amortissant β ±.1 mm ±.5 mm ±.1 mm ±.5 mm ± 1. mm Fréquence (Hz) Im(K) en N/mm Partie imaginaire, mélange peu amortissant ±.5 mm ±.1 mm ±.5 mm Fréquence (Hz) ±.1 mm ± 1. mm (a) Partie réelle fonction de la fréquence (b) Partie imaginaire fonction de la fréquence Fig. IV.6: Essai de cisaillement sur éprouvette, matériau peu amortissant (Y573), pas de précharge. Evolution du module dynamique en fonction de la fréquence.

135 IV.6. Confrontation modèle/résultats expérimentaux 121 Re(K)(N/mm) ±.1mm ±.1mm ±.3mm ±.5mm ±.7mm ± 1mm Fréquence Im(K)(N/mm) ±.3 mm ±.5 mm ±.7 mm ± 1 mm Fréquence (Hz) (a) Partie imaginaire fonction de la fréquence (b) Partie imaginaire fonction de l amplitude Fig. IV.7: Essai radial (cisaillement selon Z) sur cale T5, matériau peu amortissant (Y573), pas de précharge. Evolution du module dynamique en fonction de la fréquence. Quelle que soit la nature de la sollicitation, on observe une rigidification en fréquence. Cela est illustré sur les figures (IV.5), (IV.6) et (IV.7) (cas du mélange le moins amortissant). Il est important de noter que la caractéristique observée sur éprouvette (rigidification en fonction de la fréquence) se retrouve de manière similaire sur pièce (figure IV.7). On constate aussi que les formes de dépendance en fréquence observée sur pièce complexe ou sur éprouvette sont équivalentes (figures IV.6 et IV.7). Des résultats analogues (pour la dépendance en fréquence) ont été obtenus pour un mélange plus amortissant. IV Phénomène d assouplissement en fonction de l amplitude dynamique De manière similaire, la diminution de raideur avec l amplitude du débattement imposé est constatée aussi bien sur éprouvette que sur pièce complète. Cela est illustré sur les figures IV.8, IV.9 et IV.1. Là encore, on voit que les modules ont même tendance d évolution en fonction de l amplitude, la seule différence par rapport à des essais sur éprouvette provient d un facteur de forme, lié àlagéométrie.

136 122 Chapitre IV. Prise en compte des non-linéarités Re(K) N/mm Im(K) N/mm x = 1 Hz o = 5 Hz x = 1 Hz o = 5 Hz Amplitude (mm) Amplitude (mm) (a) Partie réelle fonction de l amplitude (b) Partie imaginaire fonction de l amplitude Fig. IV.8: Essai de compression (plot IV.1) sur un mélange faiblement chargé. Evolution du module dynamique en fonction de l amplitude. 1 9 Re(K) en N/mm Partie réelle, mélange amortissant 1 Hz 5 Hz 1 Hz Im(K) en N/mm Partie imaginaire, mélange amortissant 1 Hz 5 Hz 1 Hz Amplitude mm Amplitude mm (a) Partie réelle fonction de l amplitude (b) Partie imaginaire fonction de l amplitude Fig. IV.9: Essai de cisaillement sur éprouvette, matériau amortissant (Y672), pas de précharge. Evolution du module dynamique en fonction de l amplitude du débattement imposé.

137 IV.6. Confrontation modèle/résultats expérimentaux Hz Re(K) (N/mm) Hz Im(K) (N/mm) Hz Hz Amplitude (mm) Amplitude (mm) (a) Partie réelle fonction de l amplitude (b) Partie imaginaire fonction de l amplitude Fig. IV.1: Essai radial (compression) sur cale T5, matériau amortissant (Y672). Evolution du module dynamique en fonction de l amplitude. On observe ainsi que les variations sont très rapides surtout pour pour les faibles valeurs de l amplitude pour la partie réelle. On retrouve la même forme pour la dépendance en amplitude sur le mélange Y 573, toutefois l évolution du module dynamique avec le niveau de l excitation est alors moins importante (puisque cet amortissement augmente avec les charges, voir chapitre I). Cela est mis en évidence par exemple sur la figure IV Re(K) en N/mm Y573 Y672 Im(K) (N/mm) Y573 Y Amplitude mm Amplitude (mm) (a) Partie réelle fonction de l amplitude (b) Partie imaginaire fonction de l amplitude Fig. IV.11: Evolution du module dynamique sur éprouvette de cisaillement à 5Hz, comparaison entre un mélange amortissant (Y672) et un mélange faiblement amortissant (Y573).

138 124 Chapitre IV. Prise en compte des non-linéarités IV Bilan des constations expérimentales A partir des courbes précédentes, on voit que les principales caractéristiques observées sur éprouvette se retrouvent sur pièces, àsavoir: Rigidification dynamique en fonction de la fréquence. Diminution du module dynamique en fonction de l amplitude. Le déphasage commence à augmenter avec l amplitude d excitation, puis il diminue. Quels que soient la préchargeetlemélange considérés, ces observations restent vérifiées. Au vu des résultats précédents (les résultats dynamiques sur pièces montrent les mêmes tendances d évolution en fonction de la fréquence et de l amplitude que les résultats sur échantillon), l approximation de Ritz pour calculer le module complexe avec peu de degrés de liberté apparaît pertinente. En effet les modules ont la même tendance d évolution, la seule différence entre un essai sur éprouvette et un essai sur pièce est une fonction de forme qui sera recalée àpartird un calcul éléments finis pour prendre en compte la géométrie de la pièce. IV.6.3 Analyse de la forme du module dynamique Le développement de la relation contraintes-déformations en séries de Volterra tronquée à l ordre 3 prédit la forme suivante pour le module dynamique : K(ω, β ) = K lin (ω) + β 2 K nonlin (ω) (IV.71) où K lin (ω) etk nonlin (ω) sont des fonctions (par exemple des fractions rationnelles dans le cas d un modèle rhéologique classique) indépendantes de l amplitude d excitation, et β désigne l amplitude du débattement imposé. On voit ainsi que le modèle prédit une dépendance quadratique en fonction de l amplitude du débattement imposé. Nous cherchons dans cette partie àvérifier en utilisant les résultats expérimentaux qu il est effectivement possible de séparer la dépendance en fréquence et en amplitude, en d autres termes on cherche àsavoirsionpeut effectivement dans le cas du matériau non préchargé, écrire le module dynamique sous la forme : K(ω) = K lin (ω) + f(β )K nonlin (ω) (IV.72) où f(β ) est une fonction de l amplitude d excitation. Pour vérifier que les influences de l amplitude et de la fréquence sont bien séparables, quelle que soit la précharge, nous allons tracer les fonctions suivantes : g k (ω, n) = K n(ω) K p (ω) K k (ω) K p (ω) = f(β n) f(β p ) f(β k ) f(β p ) (IV.73) où β n, β k et β p représentent des amplitudes différentes d excitation. k et p sont choisis arbitrairement, et on trace la courbe précédente en fonction de ω, pour plusieurs valeurs de n. p sera pris à l amplitude d excitation la plus faible pour laquelle on peut s affranchir des bruits de

139 IV.6. Confrontation modèle/résultats expérimentaux 125 mesure, dans notre cas on prendra p = ±.5 mm pour les essais de cisaillement sur éprouvette, p = ±.2 mm pour les essais sur le plot de compression, et p = ±.1 mm pour les essais sur pièce. IV Essai de compression Les essais de compression ont été réalisés uniquement sur un mélange très faiblement amortissant. Nous montrons donc l évolution de la fonction IV.73 uniquement pour la partie réelle, en effet au niveau de la partie imaginaire la différence est de l ordre du bruit de mesure. 1 n=±.9 mm.9 Re(g 1 (ω,n)) n=±.8 mm n=±.7 mm n=±.6 mm n=±.5 mm n=±.4 mm n=±.3 mm Frequence (Hz) Fig. IV.12: Essai de compression sur mélange peu amortissant, pas de précharge Evolution de la fonction g 1 (ω, n) = K n(ω) K.2 (ω) K 1 (ω) K.2 (ω) On constate sur la figure IV.12 que la fonction tracée semble effectivement indépendante de la fréquence, pour toutes les valeurs de débattement, ce qui semble justifier la forme IV.72 au moins pour les essais de compression. IV Essai de cisaillement En ce qui concerne les essais de cisaillement sur éprouvette, nous montrons ci dessous la forme obtenue dans le cas du mélange le plus amortissant. Une forme similaire est obtenue pour le mélange Y 573.

140 126 Chapitre IV. Prise en compte des non-linéarités n = ±.5 mm.1.2 n = ±.5 mm.7.3 Re(g 1 (ω,n) n = ±.1 mm Im(g 1 (ω,n) n = ±.1 mm Fréquence (Hz) Fréquence (Hz) (a) Partie réelle de g 1 (b) Partie imaginaire de g 1 Fig. IV.13: Essai de cisaillement sur éprouvette, matériau amortissant (Y672), pas de précharge Evolution de la fonction g 1 (ω, n) = K n(ω) K.5 (ω) K 1 (ω) K.5 (ω) Là encore, on constate une indépendance en fonction de la fréquence : par exemple, pour n = ±.1mm, on constate un écart maximal en fréquence de 7% sur la partie réelle, et de 1.9% sur la partie imaginaire. Pour des valeurs supérieures de n, cet écart est encore plus faible : 1.4% sur la partie réelle et.9% pour n = ±.5mm, ce qui semble également justifier la forme IV.72. IV Pièce complexe (cale T5) La même étude est faite pour les essais sur pièce complète, pour chacune des directions de sollicitation (radial en compression (direction X), radial en cisaillement (direction Z), et axial (direction Y)).

141 IV.6. Confrontation modèle/résultats expérimentaux 127 Re(g 1 (ω,n)) n= ± 1. mm n= ±.5 mm n= ±.3 mm Im(g 1 (ω,n)) n= ± 1 mm n= ±.5 mm n= ±.3 mm Fréquence (Hz) Fréquence (Hz) (a) Partie réelle de g 1 (b) Partie imaginaire de g 1 Fig. IV.14: Essai radial en compression sur cale T5, matériau amortissant (Y672), pas de précharge Evolution de la fonction g 1 (ω, n) = K n(ω) K.1 (ω) K 1 (ω) K.1 (ω) Re(g 1 (ω,n)) n=±.7 mm n=±.5 mm Im(g 1 (ω,n)) n=±.7 mm n=±.5 mm Fréquence (Hz) Fréquence (Hz) (a) Partie réelle de g 1 (b) Partie imaginaire de g 1 Fig. IV.15: Essai axial sur cale T5, matériau amortissant (Y672), pas de précharge Evolution de la fonction g 1 (ω, n) = K n(ω) K.1 (ω) K 1 (ω) K.1 (ω)

142 128 Chapitre IV. Prise en compte des non-linéarités Re(g 1 (ω,n)) n=±.5 mm n=±.3 mm Im(g 1 (ω,n)) n=±.5 mm n=±.3 mm Fréquence (Hz) Fréquence (Hz) (a) Partie réelle de g 1 (b) Partie imaginaire de g 1 Fig. IV.16: Essai radial en cisaillement sur cale T5, matériau amortissant (Y672), pas de précharge Evolution de la fonction g 1 (ω, n) = K n(ω) K.1 (ω) K 1 (ω) K.1 (ω) Les écarts observés en fonction de la fréquence sont encore négligeables, et de plus en plus faibles quand n augmente. On constate sur les figures précédentes que la fonction g k tracée est quasiment constante en fonction de la fréquence (aussi bien sur éprouvette que sur pièce complète). Cette propriété est vraie pour tous les mélanges testés, et à toutes les précharges. Nous considérerons donc dans la suite que le module dynamique non linéaire peut bien s exprimer sous la forme : K(ω, β ) = K lin (ω) + f(β )K nonlin (ω) (IV.74) IV.6.4 Identification des paramètres du modèle La forme de l expression précédente étant validée, il reste maintenant à identifier les coefficients intervenant dans l expression précédente, ce qui conduit àdéterminer pour chaque fréquence la valeur des fonctions K lin (ω) etk nonlin (ω), puis à les lisser à l aide de noyaux adaptés. Si nous nous intéressons à l effort dynamique, nous écrivons la relation (IV.71) de la manière suivante : F (ω i,β k ) = K lin (ω i )β k + K nonlin (ω i ) β k 2 β k 1 i m 1 k N (IV.75)

143 IV.6. Confrontation modèle/résultats expérimentaux 129 où F (ω i,β k )désigne l effort dynamique mesuré. L identification des paramètres K lin et K nonlin se traduit alors par la recherche du minimum d une fonction quadratique ζ définie par : ζ = N [Re (F theor (ω, β k )) Re (F exp (ω, β k ))] 2 (IV.76) k=1 + [ Im(F theor (ω, β k )) Im(F exp (ω, β k ))] 2 Pour chaque fréquence, le nombre de points de mesure est bien entendu supérieur au nombre d inconnues (5 dans le cas de l éprouvette de cisaillement, 1 pour le plot de compression, 6 dans le cas de chacun des essais sur la cale T5). La recherche du minimum de ζ conduit àlarésolution d un problème de type optimisation moindre carrés de la forme : Px = f (IV.77) où P est une matrice n x 2 correspondant aux n niveaux d excitation β 1 β1 3 [P ] =.. β n β 3 n (IV.78) et x est un vecteur de dimension 2, où x 1 = K lin (ω) etx 2 = K nonlin (ω). Quant à f il est donné par F exp (ω, β 1 ) f(ω) =. (IV.79) F exp (ω, β N ) ce qui donne : P T Px = P T f (IV.8) Comme P et f sont connus pour chaque valeur de la fréquence de mesure, les valeurs des inconnues K lin (ω) etk nonlin (ω) recherchées seront alors données par : [ ] K lin (ω) = ( P T P ) 1 P T f(ω) (IV.81) K nonlin (ω) IV Dépendance en fréquence Une fois connues les valeurs des fonctions K lin (ω) etk nonlin (ω) ainsi calculées, ces fonctions sont identifiées à l aide de l un des modèles (IV.63) ou (IV.64-IV.68), par un algorithme de type moindre carré. La fonctionnelle étant cette fois ( ) N ζ = Re Klin theor 2 ( ) (ω k ) 1 + Im K theor 2 lin (ω k ) 1 Re (K lin (ω k )) Im(K lin (ω k )) k=1 pour identifier K lin (ω) et ( ) N ζ = Re Knonlin theor (ω k) Re (K nonlin (ω k )) 1 k=1 2 ( ) + Im Knonlin theor (ω k) Im(K nonlin (ω k )) 1 2

144 13 Chapitre IV. Prise en compte des non-linéarités pour identifier K nonlin (ω). A titre d illustration les figures qui suivent montrent des exemples d identification des fonctions K lin (ω) etk nonlin (ω) pour les essais sur éprouvette de cisaillement, matériau amortissant. 7 Lissage de la partie linéaire 15 6 Partie réelle Partie imaginaire 1 5 linéaire calculée linéaire lissée DF linéaire lissée Maxwell 1 linéaire calculée linéaire lissée DF linéaire lissée Maxwell Fréquence Fréquence (a) Lissage de la partie réelle de K lin (ω) (b) Lissage de la partie imaginaire de K lin (ω) Fig. IV.17: Lissage de K lin (ω) 1 Lissage de la partie non linéaire 1 2 Partie réelle non linéaire calculée non linéaire lissée DF non linéaire lissée exp Fréquence Partie imaginaire non linéaire calculée 9 non linéaire lissée DF non linéaire lissée exp Fréquence (a) Lissage de la partie réelle de K nonlin (ω) (b) Lissage de la partie imaginaire de K nonlin (ω) Fig. IV.18: Lissage de K nonlin (ω) L identification par modèledemaxwellprésenté figure IV.17 est faite avec une seule cellule (3 paramètres à identifier). On voit clairement qu une seule cellule n est pas suffisante pour modéliser le comportement sur toute la gamme de fréquence de mesures. Pour arriver avec un modèle de Maxwell à identifier le comportement sur toute la gamme de fréquence, il faudrait augmenter le nombre de cellules, et donc le nombre de paramètres à identifier. Par contre le modèle àdérivation non entière a permis une bonne identification pour toutes les fréquences de

145 IV.6. Confrontation modèle/résultats expérimentaux 131 mesure, avec seulement 3 paramètres. De même, le modèle fractionnaire a permis une bonne représentation du comportement en fréquence de la fonction K nonlin (ω). Par contre le modèle avec un seul noyau de relaxation exponentiel ne donne pas de bons résultats (figure IV.18). Là encore on pourrait améliorer ce résultat en augmentant le nombre de termes dans la série de Prony. En prenant le meilleur résultat d identification (modèle fractionnaire), on peut alors reconstituer l évolution de l effort complexe pour tous les niveaux de fréquence et d amplitude d excitation, à l aide de la relation : F (ω, β) = K lin (ω)β + K nonlin (ω) β 2 β (IV.82) La figure IV.19 et le tableau IV.4 montre une comparaison entre l effort complexe ainsi identifié et les valeurs expérimentales : 1 β=±.1 mm 38 β= ±.5 mm 1.1 β=±.1 mm 6.5 β= ±.5 mm F F F" F" Fréquence Fréquence Fréquence Fréquence (a) Partie réelle (b) Partie imaginaire 65 β= ±.1 mm 3 β= ±.5 mm 13 β= ±.1 mm 5 β= ±.5 mm F F F" F" Fréquence Fréquence Fréquence Fréquence (c) Partie réelle (d) Partie imaginaire Fig. IV.19: Comparaison entre les valeurs expérimentales et identifiées de l effort dynamique pour plusieurs valeurs de l amplitude, - = expérimental, - - =identifié

146 132 Chapitre IV. Prise en compte des non-linéarités Re(F id ) Re(F exp ) Re(F exp ) Im(F id ) Im(F exp ) Im(F exp ) Amplitude ±.1 mm ±.5 mm ±.1 mm ±.5 mm ±1. mm 36 % 17 % 4% 33 % 7.5 % 2.7 % 22 % 17 % 15 % 11 % Tab. IV.4: Erreur relative sur l effort dynamique (valeur moyenne sur toutes les fréquences) On constate que l erreur entre les valeurs mesurées et identifiées est très importante. Or le lissage de la dépendance en fréquence à l aide du modèle fractionnaire était satisfaisante (figures IV.17 et IV.18). Il semble donc que la forme de la dépendance en amplitude retenue n est pas suffisante pour reproduire le comportement observé expérimentalement. Pour un développement en séries de Volterra à l ordre 3, cette dépendance s exprimait conformément à: F (ω, β ) = K lin (ω)β + f(β )β K nonlin (ω) (IV.83) f(β ) = β 2 les fonctions K lin (ω) etk nonlin (ω) étant identifiées à l aide de (IV.81). Dans la suite, nous allons analyser cette dépendance en amplitude en nous plaçant àfréquence fixée. IV Analyse de la dépendance en amplitude La figure IV.2 montre une comparaison entre l effort dynamique expérimental pour une fréquence de mesure (ici 5 Hz) et l effort identifié àpartirde(iv.83). 35 Partie réelle à 5 Hz 6 Partie imaginaire à 5 Hz 3 5 Force (N) o = expérimental = identifié Force (N) o = expérimental = identifié Amplitude (mm) Amplitude (mm) (a) Partie réelle de F (b) Partie imaginaire de F Fig. IV.2: Lissage de l effort à 5 Hz pour l essai de cisaillement par le modèle IV.75

147 IV.6. Confrontation modèle/résultats expérimentaux 133 Les coefficients identifiés sont ensuite reportés dans l expression du module dynamique K(ω i,β )=K lin (ω i )+ K nonlin (ω i ) β 2. Nous comparons alors l évolution du module dynamique en fonction de l amplitude prédit par le modèle au module dynamique expérimental, et ce pour toutes les fréquences de mesure. La figure IV.21 illustre un exemple d application sur l éprouvette de cisaillement à5hz,leserreursobservées entre les valeurs identifiées et expérimentales étant récapitulées dans le tableau IV.5. 1 Partie réelle de K à 5 Hz 12 Partie imaginaire de K à 5 Hz K (N/mm) o = expérimental = identifié Amplitude (mm) K (N/mm) o = expérimental = identifié Amplitude (mm) (a) Partie réelle de K (b) Partie imaginaire de K Fig. IV.21: Lissage du module à 5 Hz pour l essai de cisaillement par le modèle IV.75 Amplitude ±.1 mm ±.5 mm ±.1 mm ±.5 mm ±1. mm Re(K id ) Re(K exp ) Im(K id ) Im(K exp ) Re(K id ) Re(K exp ) Re(K exp ) 37 % 17 %.29 % 33% 7% Im(K id ) Im(K exp ) Im(K exp ).5 % 16 % 12.4 % 21% 5% Tab. IV.5: Erreur absolue et relative sur le module dynamique à 5Hz obtenue par le modèle IV.81 L erreur relative obtenue est très importante. De plus, on observe clairement que le module dynamique expérimental n a pas la même convexité que le module dynamique identifié (figure IV.21). En fait une forme polynomiale en β 2 ne peut en aucun cas approcher la convexité des courbes expérimentales. On voit ainsi que la séparation fréquence amplitude dans la partie non linéaire du module dynamique semble certes pertinente au vu des résultats expérimentaux. Par contre une forme quadratique en déplacement est clairement insuffisante pour approcher la dépendance en ampli-

148 134 Chapitre IV. Prise en compte des non-linéarités tude. On peut donc dire qu un développement à l ordre 3 est insuffisant pour prendre en compte la non linéarité observée, il faudrait pousser le développement à un ordre supérieur. Mais cela augmenterait le nombre de paramètres àidentifier,etdonclenombred essaisnécessaires pour pouvoir avoir une identification fiable des paramètres, ce qui rendrait l approche extrêmement lourde. IV.7 Etude en utilisant des noyaux de fluage IV.7.1 Formulation inverse Nous avons exclu le développement en séries au-delà de l ordre trois. En effet, augmenter l ordre du développement et tronquer la réponse au premier harmonique reviendrait à approcher le module par une fonction du type : K(ω, β) = K (ω)+ k β 2k K 2k (ω) (IV.84) Pour chaque fréquence, les fonctions K 2k (ω) peuvent être identifiées en utilisant la même démarche que celle exposée au paragraphe IV.6.4, mais il faudra ensuite choisir une forme pour chacun des noyaux de relaxation, et le nombre de paramètres du modèle deviendrait ainsi très élevé. De plus, au vu des courbes expérimentales IV.8, IV.9 et IV.1, il semble difficile d approcher cette forme de non linéarité par un polynôme, à moins que l ordre du polynôme ne soit assez élevé. En fait d après la forme des courbes montrant la dépendance en amplitude, il semblerait qu une non linéarité en β serait plus appropriée. A partir de cette constatation, nous avons développé une formulation inverse de la relation (IV.55) qui se base sur des noyaux de fluage. Cela conduit àl écriture suivante pour V (t) = U(t): ( + ) ( + + ) V (t) = h 1 (X)F (t X)dX + h 2 (X 1,X 2 )F (t X 1 )F (t X 2 )dx 1 dx 2 ( ) + h 3 (X 1,X 2,X 3 )F (t X 1 )F (t X 2 )F (t X 3 )dx 1 dx 2 dx 3 = V 1 (t)+v 2 (t)+v 3 (t) (IV.85) la même démarche qu au paragraphe (IV.5) permet d exprimer la souplesse dynamique H(ω) en fonction des transformées de Fourier des noyaux h 1 et h 3. Il n y a pas de contribution au premier harmonique pour le noyau h 2. En tronquant la réponse au premier harmonique, on obtient : H(ω) = U(ω) F (ω) = U 1(ω)+U 3 (ω) F (ω) = H lin (ω)+ F (ω) 2 H NL (ω) (IV.86)

149 IV.7. Etude en utilisant des noyaux de fluage 135 avec H lin (ω) = H 1 (ω) = H 1(ω) iω H NL (ω) = 1 ( H3 (ω, ω, ω)+ 4 H 3 ( ω, ω, ω)+ H 3 (ω, ω, ω)) (IV.87) H 3 (ω, ω, ω) = H 3 (ω, ω, ω) iω où H 1 et H 3 désignent les transformées de Fourier des noyaux de fluage h 1 et h 3. IV.7.2 Dépendance des efforts et souplesse dynamique vis à vis de l amplitude du débattement Les fonctions H lin (ω) eth NL (ω) sontensuiteidentifiées à partir des courbes expérimentales effort déplacement à une fréquence donnée, en utilisant un algorithme similaire à celui exposé en IV.6.4, ce qui donne : [ ] H lin (ω i ) = ( P T P ) 1 P T U(ω i ) (IV.88) H NL (ω i ) Avec [U](ω) = [ β1 et F (ω i,β 1 ) F (ω i,β 1 ) 2 F (ω i,β 1 ) P =.. F (ω i,β n ) F (ω i,β n ) 2 F (ω i,β n ).β n ] (IV.89) (IV.9) Les valeurs optimales de H lin et H NL ainsi déterminées sont ensuite utilisées pour calculer la valeur absolue de U(ω) obtenue par le modèle (IV.88). La figure IV.22 montre une comparaison entre l effort expérimental et l effort identifié dans le cas de l essai de cisaillement, pour une fréquence de 6Hz :

150 136 Chapitre IV. Prise en compte des non-linéarités Re (F) N 2 15 Im (F) N o = expérimental + = identifié o=expérimental +=identifié Amplitude (mm) Amplitude (mm) (a) Partie réelle de F (b) Partie imaginaire de F Fig. IV.22: Lissage de l effort à 6 Hz pour l essai de cisaillement par le modèle IV.85. On voit que l ordre de grandeur de l erreur ainsi obtenue est beaucoup plus acceptable que dans le cas du développement en noyaux de relaxation. Pour réduire l erreur pour les faibles niveaux d amplitude, la fonctionnelle de minimisation est normée, ce qui permet d obtenir le lissage suivant : Re (F) N o = expérimental + = identifié Im (F) N o = expérimental + = identifié Amplitude (mm) Amplitude (mm) (a) Partie réelle de F (b) Partie imaginaire de F Fig. IV.23: Lissage de l effort à 6 Hz pour l essai de cisaillement par le modèle IV.85. Amplitude ±.1 mm ±.5 mm ±.1 mm ±.5 mm ± 1. mm U id U exp Tab. IV.6: Erreur absolue sur le module du déplacement, en mm

151 IV.7. Etude en utilisant des noyaux de fluage 137 L erreur maximale observée est ainsi beaucoup plus acceptable que celle obtenue dans le cas du développement direct. De plus, la convexité de la courbe souplesse fonction de l amplitude est cette fois bien appréhendée par le modèle (figures IV.24 et IV.25) : x x 1 4 Re(H) (mm/n) o = expérimental + = identifié Amplitude (mm) Im(H) (mm/n) o = expérimental + = identifié Amplitude (mm) (a) Partie réelle de H (b) Partie imaginaire de H Fig. IV.24: Comparaison des valeurs expérimentales et identifiées pour les souplesses dynamiques, exemple sur l éprouvette de cisaillement, fréquence = 6 Hz (modèle IV.86). 3 x 1 3 x Re(H) (mm/n) o = expérimental + = identifié Im(H) (mm/n) o = expérimental + = identifié Amplitude (mm) Amplitude (mm) (a) Partie réelle de H (b) Partie imaginaire de H Fig. IV.25: Comparaison des valeurs expérimentales et identifiées pour les souplesses dynamiques, exemple sur l éprouvette de cisaillement, fréquence = 6 Hz (modèle IV.86) normé.

152 138 Chapitre IV. Prise en compte des non-linéarités IV.7.3 Reconstitution de la force dynamique non linéaire La partie précédente explique le calcul des parties linéaires et non linéaires de la souplesse dynamique. Les essais dont nous disposons se font à amplitude de débattement fixé. Nous cherchons àprésent à reconstituer l effort dynamique fonction de la fréquence et de l amplitude du débattement imposé, à partir de notre identification des souplesses dynamiques. Nous recalculons alors, pour chaque fréquence, l effort dynamique correspondant : U impose = H lin F + H NL F 2 F où H lin et H NL sont calculés conformément àlaprocédure détaillée au paragraphe précédent. En posant F = F e iθ et en multipliant l équation précédente par son conjugué, on arrive à une expression polynomiale de degré 3à coefficients réels dont le module de F est la seule racine réelle U 2 impose = H lin 2 F 2 + ( H lin H NL + H lin H NL ) F 4 + H NL 2 F 6 La résolution de cette équation pour chaque valeur de la fréquence nous permet d obtenir l évolution de l effort dynamique fonction de la fréquence, pour chaque niveau d amplitude. F en N = recalculé + = expérimental Fréquence Effort (N) = expérimental = recalculé Fréquence (Hz) (a) Amplitude de débattement = ±.1mm (b) Amplitude de débattement = ±1mm Fig. IV.26: Module de l effort fonction de la fréquence pour différents niveaux d amplitude. On voit ainsi qu il est possible avec le développement en séries inverses d approcher aussi bien le comportement en amplitude que le comportement en fréquence. Toutefois, même si les résultats fournis par cette modélisation sont bons, son utilisation dans une formulation déplacement est problématique. En effet, pour arriver à l expression (IV.86), il faut écrire la loi de comportement en fonction des noyaux de fluage non linéaires (relations déformations-contraintes). Son utilisation dans une approche élémentsfinisestalorsplusdélicate à mettre en oeuvre.

153 IV.8. Conclusion 139 IV.8 Conclusion Le développement en séries présenté dans cette partie permet d un point de vue théorique de prendre en compte aussi bien les effets géométriques dus aux grandes déformations, que non linéaires introduits par la loi de comportement. Toutefois même dans le cas incompressible, la forme du module dynamique obtenu est très complexe. De plus, expérimentalement, la non linéarité observée lors de la dissipation est plutôt comportementale puisqu elle apparaît pour les faibles niveaux d amplitude. Par conséquent, il semble plus judicieux dans un premier temps d approcher uniquement ces non linéarités comportementales. Un développement en séries de Volterra à l ordre 3 de la relation contraintes-déformations mené dans ce but s avère toutefois insuffisant pour lisser les résultats expérimentaux. Par contre, la série inverse converge plus rapidement : àpartird undéveloppement en noyau de fluage non linéaire, on peut reproduire avec une bonne précision le comportement expérimental en amplitude et en fréquence. Cette nouvelle formulation présente toutefois un inconvénient majeur : elle est donnée de façon inverse, ce qui nécessite d avoir une formulation éléments finis en contraintes plutôt qu en déplacement. Comme nous cherchons pour notre part à travailler en formulation déplacement, nous pourrons donc utiliser les 3 noyaux de fluage pour calculer tous les noyaux de relaxation conformément à la procédure exposée en [53], mais l écriture finale ainsi obtenue serait très lourde à mettre en oeuvre. Elle semble alors plus adaptée au modèle macroscopique, pour approcher un comportement global en amplitude et fréquence.

154 14 Chapitre V. Linéarisation d un modèle hyperviscoélastique

155 141 Chapitre V Linéarisation d un modèle hyperviscoélastique autour d une précharge statique V.1 Introduction Le développement en séries évoqué au chapitre précédent donne l expression générale de la réponse non linéaire d une pièce en élastomère soumise à un chargement quelconque. L expression qui en résulte permet de prendre en compte les non linéarités géométriques et comportementales ainsi que le couplage entre ces deux types de non linéarités. Cependant l expression finale obtenue est très complexe, et il n est pas facile de faire le lien avec les modèles de comportement en grandes déformations. Par ailleurs, les pièces concernées sont destinées à amortir les vibrations et, lorsqu elles sont sollicitées, elles sont soumises à des petites vibrations autour d une configuration préchargée. Leurs propriétés dynamiques peuvent alors être obtenues par linéarisation autour d une configuration préchargée [46, 54, 79, 41, 49]. Au vu du comportement non linéaire du caoutchouc sous l effet de grandes déformations, il semble naturel que ces propriétés dynamiques linéarisées dépendent fortement de la précharge. L objectif de ce chapitre est donc de présenter dans un premier temps le modèle de comportement linéarisé le plus utilisé dans le cas de la modélisation des petits débattements autour d une configuration préchargée. Ensuite nous adopterons une démarche d approximation de Ritz afin d évaluer le module dynamique associé àcetypedelinéarisation. Les principales caractéristiques du modèle seront alors illustrées dans le cas d une application des chargements simples (cisaillement et compression). Enfin, à partir d essais expérimentaux réalisés pour ces deux sollicitations, une comparaison sera faite entre le module dynamique mesuré expérimentalement et le module prédit par le modèle linéarisé.

156 142 Chapitre V. Linéarisation d un modèle hyperviscoélastique V.2 Linéarisation d une loi de comportement viscoélastique en grandes déformations V.2.1 Ecriture de la relation contraintes déformations Lianis [46] considère le modèle viscoélastique en grandes déformations issu de la théoriedela viscoélasticité linéaire finie développée par Coleman et Noll. L écriture utilisée est une écriture eulérienne. En prenant en compte l hypothèse d isotropie, la relation contrainte déformation est écrite sous la forme : où σ(t) = h(b) + Γ(s, b) { J(s) } ds } {{ } contrainte élastique } {{ } contrainte viscoélastique (V.1) b = FF T est le tenseur de Cauchy Green gauche, et h(b) caractérise la contrainte aux temps infinis, lors d un essai de relaxation. En pratique, ce terme caractérise le comportement en grandes déformations pour des chargements infiniments lents, et h(b) = lim t σ(t) est la contrainte élastique après relaxation. Cette contrainte dérive d une énergie de déformation hyperélastique Ψ [54], dans le cas incompressible on a ainsi : h(b) = pi +2(Ψ 1 + I 1 Ψ 2 ) b 2Ψ 2 b 2 (V.2) = pi + σ dev où nous adoptons la notation Ψ k = Ψ ( et où nousavonsposé σ dev = 2 Ψ ) I k b b, partie déviatoire des contraintes. Cette contrainte est associée àl énergie de déformation ne dépendant pas de la variation de volume Ψ(I 1,I 2 ). J(s) =C t (t s) I, où C t désigne le tenseur de Cauchy Green droit réactualisé à l instant t: C t = F T t F t,avec F tij (τ) = x i(τ) x j (t) La fonction Γ(s, b) { J(s) } ds traduit l effet mémoire et donc le caractère viscoélastique du matériau. L hypothèse d isotropie permet alors d écrire cette fonctionnelle en fonction de fonctions tensorielles isotropes f k (s, b) k =1...4 Γ(s, b) { J(s) } = f 1 (s, b) J(s) +J(s) f 1 (s, b) +I trace [J(s) f 2 (s, b)] + b trace [J(s) f 3 (s, b)] + b 2 trace [J(s) f 4 (s, b)] (V.3)

157 V.2. Linéarisation d une loi de comportement viscoélastique en grandes déformations 143 avec f k (s, b) = f k (s, I 1,I 2,I 3 ) I + 1 f k (s, I 1,I 2,I 3 ) b + 2 f k (s, I 1,I 2,I 3 ) b 2 (V.4) où f k, 1 f k,et 2 f k sont des fonctions des invariants I 1, I 2, I 3 de b. V.2.2 Superposition d une petite déformation sur une grande déformation statique Considérons un matériau préchargé (figure V.1). Configuration actuelle Configuration préchargée Configuration initiale X u x ζ u x(τ) e2 e3 e1 Déformation statique Fig. V.1: Superposition d un petit débattement sur un état préchargé On note X les coordonnées d un point matériel dans la configuration initiale non déformée et x les coordonnées dans la configuration préchargée après relaxation complète des déformations. Cette transformation est caractérisée par F ij = x i X j Après relaxation complète de la déformation, on atteint un état de déformation défini par un tenseur b = F F T, la contrainte de précharge associée étant bien entendu σ = h(b )= p I + σ dev (V.5) Toutes les déformations supplémentaires peuvent être exprimées en prenant la configuration préchargée comme nouvelle configuration de référence. On prend une nouvelle origine du temps τ =après relaxation complète de la déformation de précharge. Soit ζ u i (X, τ) unpetitdéplacement que l on va superposer àlaprécharge. ζ est ici un petit paramètre, au sens où les termes en ζ 2 sont négligeables. On a alors, à l instant τ : x i (τ) = x i (X)+ζ u i (X, τ) (V.6) Cet incrément de déplacement va se traduire dans (V.1) par un incrément de la contrainte. Cet incrément se sépare en deux contributions, une contribution de la contrainte élastique σ, et une contribution de la partie viscoélastique. Dans la suite, nous calculons successivement chacun de ces deux incréments.

158 144 Chapitre V. Linéarisation d un modèle hyperviscoélastique V.2.3 Linéarisation de la partie élastique de la contrainte L expression du tenseur des contraintes de Cauchy dû àlaprécharge et au déplacement superposé est alors obtenu en faisant un développement limité eno(ζ 2 )dev.5.onécrit ainsi : σ + σ hyper = p I + σ dev pi + σ dev + o(ζ 2 ) (V.7) Pour calculer σ dev, nous allons utiliser la notion de dérivée directionelle [41] ainsi que le tenseur tangent défini dans la configuration de référence. Pour cela, on écrit : σ dev = FS dev F T (V.8) où S dev est la contrainte de Piola Kirchoff 2, reliée àl énergie de déformation hyperélastique par : Sij dev = Ψ =2(Ψ 1 + I 1 Ψ 2 ) δ ij 2Ψ 2 Cij (V.9) E ij La linéarisation de V.8 s écrit alors : σ dev = ( FS dev F T ) = F( S dev )F T +( F) S dev F T + FS dev ( F) T (V.1) Chacun des termes F et S dev s obtient en utilisant la notion de dérivée directionnelle. On écrit ainsi : F = d dɛ F(u + ɛ u) ɛ = = d dɛ ( I + Grad(u )+ɛgrad u ) ɛ = (V.11) = Grad( u)+o(ζ 2 ) Dans ce qui précède, nous avons noté Grad l opérateur gradient par rapport à la configuration initiale non préchargée. L opérateur gradient par rapport à la configuration préchargée sera noté grad, ces deux opérateurs étant reliés par la relation Grad u = u i X j = u i x k x k X j = grad( u)f (V.12) En introduisant les parties symétrique et antisymétrique de grad( u), on écrit grad( u) = ɛ + ω ɛ = 1 ( ) grad( u) +[grad( u)] T 2 ω = 1 ( ) grad( u) [ grad( u)] T 2 (V.13) D où F = grad U F =( ɛ + ω) F, et ( F) S dev F T + FS dev ( F) T = ɛσ dev + σ dev ɛ + ωσ dev σ dev ω (V.14)

159 V.2. Linéarisation d une loi de comportement viscoélastique en grandes déformations 145 La linéarisation du tenseur de Piola Kirchhoff 2 s obtient en utilisant la notion de dérivée directionnelle utilisée plus haut, ainsi que la composition des dérivations. On a ainsi S dev = S dev [E(u)] = Sdev (E(u)) : E = C dev : E (V.15) E où C dev désigne le tenseur tangent en configuration lagrangienne : CABCD dev = Sdev AB 2 Ψ =4 (V.16) E CD C AB C CD Cette expression se calcule en utilisant la composition des dérivées et la relation (II.44). Pour une énergie de déformation incompressible Ψ = Ψ(I 1,I 2 ), on aura [36] 2 Ψ C ABCD = 4 C AB C CD = 4 [( Ψ 11 +2I 1 Ψ 12 +Ψ 2 + I 2 1 Ψ 22) (δab δ CD ) 4(Ψ 12 + I 1 Ψ 22 )(δ AB C CD + C AB δ CD ) (V.17) +4Ψ 22 C AB C CD 4Ψ 2 δ AC δ BD ] = Φ 1 (δ AB δ CD ) + Φ 2 (δ AB C CD + C AB δ CD ) + Φ 4 C CD +Φ 8 δ AC δ BD La linéarisation du tenseur de Green Lagrange se fait en utilisant (V.11). On a ainsi E = = 1 ( F T F + F T F ) 2 = 1 ( [F T Grad( u) ] ) T + F T Grad( u) 2 = sym ( F T Grad U ) (V.18) Le transport de (V.15) autour de la configuration préchargée conduit alors à F S dev F T = F ( C dev : = c dev : grad U ( F T grad U F )) F T (V.19) où c dev abcd =4F 2 Ψ aaf bb F cc F dd désigne le tenseur tangent défini dans la configuration C AB C CD préchargée [71]. En utilisant la symétrie de c dev abcd et de ɛ, l expression V.19 s écrit F S dev F T = c dev : ɛ (V.2) Finalement, en reportant (V.2) et (V.14) dans (V.1), puis cette nouvelle expression dans (V.7), on obtient la linéarisation de la partie élastique de la contrainte : σ hyper ij = pδ ij σ dev ik ω kj + ω ik σ dev kj +Ω ijkl (b ) ɛ kl (V.21) où Ω ijkl est le tenseur tangent hyperélastique de Jaumann, et : Ω ijkl (b ) ɛ kl = c dev ijkl : ɛ kl + ɛ ik σkj dev + σdev ik ɛ kj (V.22) On a ainsi une relation qui relie les contraintes σ hyper en fonction des déformations pour une précharge donnée, et ce pour une loi de comportement hyperélastique.

160 146 Chapitre V. Linéarisation d un modèle hyperviscoélastique V.2.4 Linéarisation de la partie viscoélastique de la contrainte De la même manière, la linéarisation de la contrainte viscoélastique se fait par un développement de Taylor en o(ζ 2 )de montre [46] que : Γ(s, b) { J(s) } ds. En reportant (V.6) dans la définition de C t,on { J(s) } =2 ɛ(t s) 2 ɛ(t)+o ( ζ 2) (V.23) D où, en prenant en compte (V.3) : Γ(s, b) { J(s) } = Γ(s, b ) { J(s) } + O(ɛ) = 2Γ(s, b ) { ɛ(t s) ɛ(t)} + o ( ζ 2) (V.24) ce qui permet de linéariser la contrainte viscoélastique suivant : Γ(s, b) { J(s) } ds = 2 Γ(s, b )ds ɛ(t) +2 Γ(s, b ) ɛ(t s) ds + o(ζ 2 ) (V.25) Dans le cas général isotrope, il faut remplacer Γ(s, b ) {}par son expression en fonction des k f i (V.3) et (V.4), on obtient ainsi des intégrales de convolution dépendant de douze fonctions de relaxation. Nous donnons ci dessous l expression complète telle que donnée par Lianis [46] : Γ(s, b ) { ɛ(t s)} = 2 f 1 (s) ɛ(t s)+ 1 f 1 (s) [ b ɛ(t s) + ɛ(t s)b ] [ ] + 2 f 1 (s) b 2 ɛ(t s) + ɛ(t s)b [ f 2 (s)i + f 3 (s)b + f 4 (s)b 2 ] trace( ɛ(t s)) [ 1 f 2 (s)i + 1 f 3 (s)b + 1 f 4 (s)b 2 ] trace(b ɛ(t s)) [ 2 f 2 (s)i + 2 f 3 (s)b + 2 f 4 (s)b 2 ] trace(b 2 ɛ(t s)) (V.26) En posant ensuite k f i (s)ds = k Φ i (s), soit k f i (s)ds = k Φi (s), on écrit la contrainte viscoélastique sous la forme : Γ(s, b) { J(s) } ds = 2Φ ijkl (, b ) ɛ kl (t)+2 Φ ijkl (s, b ) ɛ(t s) ds + o(ζ 2 ) (V.27) où Φ ijkl est une transformation linéaire issue de (V.26) en remplaçant k f i par k Φ i,et Φ ijkl est la transformation obtenue en remplaçant k f i par k Φ i.uneintégration par parties, puis le changement de variables t s = τ permet finalement d écrire l incrément de contrainte viscoélastique suivant : t σij visc (t) =2 Φ ijkl [(t τ);b ] ɛ kl (τ) dτ (V.28) A partir des expressions V.28 et V.21, on peut àprésent donner l expression du développement de Taylor en o(ɛ 2 ) de la contrainte totale, somme de la partie statique et de la partie viscoélastique :

161 V.2. Linéarisation d une loi de comportement viscoélastique en grandes déformations 147 σ ij (t) = p δ ij + σij dev + σhyper ij + σij visc (t) = σij p δ ij σik dev ω kj + ω ik σkj dev +Ω ijkl (b ) ɛ kl t + 2 Φ ijkl [(t τ);b ] ɛ kl (τ) dτ + o ( ζ 2) (V.29) V.2.5 Hypothèses complémentaires Si l on ne fait pas d hypothèse supplémentaire, Φ ijkl introduit des fonctions de relaxation dépendant de la précharge et du temps. En suivant les travaux de Morman et Nagtegaal [54], nous allons supposer pour simplifier cette expression que les effets de temps et de précharge sont séparables et que l on peut écrire Φ ijkl [τ; b ]=g(τ)k ijkl [b ] (V.3) où g(t) est une fonction de relaxation, et K ijkl un tenseur tangent dépendant de la précharge. En pratique, une forme communément admise pour K ijkl est [79] K ijkl [b ]=Ω ijkl (b ) (V.31) Cette hypothèse implique que le comportement viscoélastique autour d une précharge donnée dépend de cette précharge de la même manière que la raideur tangente hyperélastique calculée au même point de précharge. On suppose enfin que la fonction de relaxation g(t) estreliée au module de cisaillement de la viscoélasticité linéaire de la manière suivante : g(t) = 1 ( ) G(t) 1 (V.32) 2 G En prenant en compte les hypothèses (V.3) et (V.31), le petit déplacement rajouté se traduit sur la contrainte par un incrément de la forme : [ t ] σ ij = pδ ij σik dev ω kj + ω ik σkj dev +Ω ijkl (b ) ɛ kl (τ)+2 g (t τ) ɛ kl (τ) dτ (V.33) L expression (V.33) donne l expression finale de l incrément de contrainte pour la loi hyperviscoélastique considérée. V.2.6 Cas où les petites déformations superposées sont sinusoïdales En pratique, les cales sont souvent soumises à des petites déformations sinusoïdales. Ceci nous permet alors d écrire : u i = ũ i e iωt ɛ ij = ɛ ij e iωt ω ij = ω ij e iωt (V.34) p = pe iωt

162 148 Chapitre V. Linéarisation d un modèle hyperviscoélastique où ũ désigne l amplitude du déplacement imposé autour de la configuration préchargée. De plus, la condition d incompressibilité impose également que les petites déformations rajoutées vérifient trace( ɛ) =. L incrément de contrainte associé à ces petits débattements sinusoidaux s obtient sous ces conditions en reportant (V.34) dans (V.29) : σ ij = σ ij exp(iωt) σ ij = p δ ij σik dev ω kj + ω ik σkj dev +Ω ijkl (b ) ɛ kl +2iω Φ ijkl [ω; b ] ɛ kl } {{ } } {{ } comportement tangent hyperélastique comportement dissipatif (V.35) où Φ ijkl désigne la transformée de Fourier de Φ ijkl Φ ijkl [ω; b ] = Φ ijkl [τ; b ] e iωτ dτ (V.36) En prenant en compte les hypothèses (V.3) et (V.31), on obtient l expression de l incrément de contrainte associé àlaloihyperviscoélastique, quand les petites déformations superposées sont sinusoïdales : σ ij = p δ ij σ ik dev ω kj + ω ik σ kj dev +Ω ijkl (b )(1+2iωg ) ɛ kl (V.37) En notant g (ω) la transformée de Fourier de g(t), on a 1+2iωg = G + i G G G (V.38) G et G désignant respectivement les parties réelle et imaginaire du module de cisaillement complexe G(ω). Tout comme en viscoélasticité linéaire, g(t) peut être approximé par des exponentielles décroissantes (modèledemaxwellgénéralisé), ou par des modèles fractionnaires. Par exemple, si on utilise un modèle de Maxwell généralisé pour l approximation de la réponse en fréquence, on aura G 1 = 1+ G 1 g k τk 2 ω2 g k 1+ω 2 τ k k 2 k G 1 = G 1 (V.39) g k τ k ω g k 1+ω 2 τ 2 k k k et pour une approximation de la réponse en fréquence par un modèle àdérivation fractionnaire, on écrira : G = 1+bω n cos(n π G 2 ) G = bω n sin(n π (V.4) G 2 ) Nous disposons ainsi d un modèle hyperviscoélastique permettant de caractériser les propriétés dynamiques de l élastomère autour d une configuration préchargée. Il s agit en fait d une loi de comportement incrémentale, qui s exprime en fonction d une énergie de déformation hyperélastique et d une dissipation viscoélastique introduite par l intermédiaire d une fonction de relaxation. Pour pouvoir caractériser le comportement macroscopique (effort, module dynamique

163 V.3. Obtention du module dynamique par une discrétisation de Ritz 149 d une pièce complexe fonction de la préchargeetdelafréquence) à partir d une approximation du champ de déplacement, nous utiliserons le principe des travaux virtuels, puis une discrétisation de Ritz. Le paragraphe qui suit détaille cette formulation, dans le cas où l on s intéresse à des excitations harmoniques. V.3 Obtention du module dynamique par une discrétisation de Ritz A partir de la formulation (V.33), nous souhaitons calculer le module dynamique d une pièce de géométrie quelconque, soumise à une grande déformation statique à laquelle se superposent des oscillations sinusoïdales. Pour cela, nous utiliserons une méthode d approximation des champs de déplacement. Pour calculer les efforts, nous emploierons le principe des travaux virtuels écrit en configuration lagrangienne. L approximation de champs de déplacement permettra ensuite de calculer l effort statique associé àlaprécharge, soit la réponse élastique du matériau après relaxation. Ensuite, la linéarisation de la forme obtenue permettra de prendre en compte le comportement de la pièce si l on superpose un petit débattement à cet état préchargé. Dans un premier temps, nous allons rappeler l écriture du principe des travaux virtuels en grandes déformations pour le calcul de l effort àlaprécharge, puis la linéarisation de la formulation variationnelle. Enfin, nous donnerons cette expression dans le cas où les petites oscillations superposées sont sinusoïdales. V.3.1 Ecriture du principe des travaux virtuels Nous cherchons ici à trouver l équilibre statique d un matériau viscoélastique. Cet équilibre statique correspond àl état d équilibre après relaxation des contraintes. En formulation lagrangienne, la contrainte associée est obtenue àpartirdel équation (V.5), en utilisant les relations de passage entre σ et S. Onécrira ainsi : S ij = p C 1 ij + S dev ij (V.41) En appliquant alors le principe des travaux virtuels (équations (III.5), nous négligeons toujours les effets d inertie vue la gamme de fréquence envisagée), on obtient : = Wint + W ext Wint(U, u u i ) = P ij dω Ω X j = (FS) : Gradu dω = S : ( F T Gradu ) dω Ω Ω Wext(U, u ) = f i u idω + T i u ids Ω Ω (V.42)

164 15 Chapitre V. Linéarisation d un modèle hyperviscoélastique où le champ de déplacement u appartient à l espace des déplacements cinématiquement admissibles, et le champ de déplacement virtuel u appartient à l espace des variations cinématiquement admissibles autour de u. Nous remplaçons ensuite S par son expression (V.41), ce qui donne : Wint ) = p C 1 : E (U, u ) dω + Ω Ω S dev ij : E (U, u ) dω (V.43) E étant le tenseur des déformations virtuelles E (U, u )= F T (U) Gradu (V.44) Afin d assurer l hypothèse d incompressibilité (la liaison d incompressibilité ne travaille par pour tout mouvement compatible avec cette liaison), nous ajoutons la condition suivante pour le champ virtuel u : div(u )=I : gradu = Le premier terme de l expression (V.43) est alors nul. On a en effet : C 1 : F T GradU = C 1 : F T GradU = I : GradU F 1 = I : gradu (V.45) Enfin, dans le cas où l on applique une force F sur l une des armatures d une cale, le travail virtuel des efforts extérieurs se réduit à W ext(u, u ) = F (U)U (V.46) où U désigne le champ virtuel au point d application de la force, exprimé dans la configuration de référence non déformée. Finalement, en utilisant (V.46) et (V.43), l effort associé àl équilibre statique est donné par: S dev ij : E (U, u ) dω = F (U)U (V.47) Ω V.3.2 Linéarisation des équations découlant du principe des travaux virtuels Afin d établir les équations linéarisées, nous considérons la fonction : Π(U, u )=W int(u, u )+W ext(u, u ) (V.48) Supposons àprésent que nous imposons une petite perturbation autour de la configuration préchargée, le déplacement total s exprimant dans la configuration initiale sous la forme : U ζ (X) =u(x)+ζ u(u(x)) (V.49) où u est l incrément de déplacement par rapport à la configuration préchargée, et ζ est un petit paramètre. Les équations linéarisées, qui approximent les conditions d équilibre dans la configuration perturbée, sont alors obtenues àpartird undéveloppement de Taylor en o(ζ 2 )de (V.48). Ce développement s écrit : Π(U, u )+ d dζ Π(U + ζ u) ζ = = (V.5)

165 V.3. Obtention du module dynamique par une discrétisation de Ritz 151 La résolution se fait classiquement par un schéma de Newton Raphson. L égalité Π(U, u )= est assurée par l équation (V.47) et correspond à la position d équilibre statique. Le second terme de (V.5) va permettre d approximer l incrément de l effort dû audéplacement superposé ζ u (V.49). Pour cela, il faut linéariser chacune des expressions intervenant dans (V.42). Dans la suite, nous linéarisons successivement le travail des efforts internes puis le travail des efforts extérieurs. Pour le travail des efforts intérieurs, il faut calculer : Wint (U, u ) = d dζ W int(u + ζ u) ζ = = S : F T Grad u dω Ω (V.51) On peut intervertir l intégrale et la dérivée puisque le domaine d intégration ne varie pas. La linéarisation de S et E aété détaillée au paragraphe V.2.3. Il est important de noter que le champ de déplacement virtuel u est défini dans la configuration préchargée. u écrit dans cette configuration ne dépend donc pas du déplacement àlaprécharge, et les termes en gradu ne seront donc pas affectés par la linéarisation. On écrit alors : [ S : F T Grad u ] = [ S : F T grad u F ] = [ FSF T ] : grad u = σ : grad u (V.52) σ correspond à l incrément de contrainte dû àcedéplacement superposé. Il se compose de la contribution d une partie élastique et d une partie viscoélastique, son expression a été établie en (V.33). Remarquons que la partie hydrostatique n engendrera pas de contribution pour un champ virtuel vérifiant I : grad u =. L incrément de déplacement ζ u (V.49) va engendrer sur l effort un incrément de la forme : F ζ (U + ζ u) =F(U)+ζ F(U, u) (V.53) En reportant cette approximation dans V.46, nous obtenons par un développement de Taylor en o(ζ 2 ): Wext(U, u ) = d dζ W ext(u + ζ u) ζ = (V.54) = F (U) U + U F (U) où U est le transporté deu dans la configuration de référence, et dépend ainsi de U àla précharge. Finalement, en reportant (V.54) et (V.51) dans (V.5), nous pouvons calculer la variation de l effort associée au petit déplacement superposé, ce qui donne : F (U) U = S : F T Grad u dω F (U) U (V.55) Ω où F (U) correspond à la position d équilibre statique obtenue lors de la précharge (V.47), et (S : F T Grad u )= σ : grad u,où σ est la variation de la contrainte autour de l état préchargé, associée à l incrément de déplacement (V.49).

166 152 Chapitre V. Linéarisation d un modèle hyperviscoélastique V.3.3 Cas harmonique Supposons àprésent que nous superposons des petits débattements sinusoïdaux à une précharge statique, et que nous voulons prendre en compte les propriétés viscoélastiques. Le module dynamique complexe résultant est alors fonction de la préchargeetdelafréquence. L amplitude du débattement imposé étant supposée petite par rapport àlaprécharge, les propriétés dynamiques sont caractérisées par les équations linéarisées vues dans les paragraphes précédents. Cette théorie linéarisée prend en compte les caractéristiques viscoélastiques linéaires et grandes déformations statiques, toute dépendance du module obtenu en fonction de l amplitude du débattement imposé est ainsi exclue du modèle. Pour obtenir les équations associées au régime permanent, nous utilisons une représentation complexe des déplacements, des contraintes et des déformations (équations (V.34)). Nous cherchons également la variation de l effort (V.53) sous forme harmonique : F = F e iωt En utilisant alors les résultats du paragraphe V.2.6, (V.55) devient alors : F (U) U = + Ω Ω Dans la suite, nous poserons : Fv 1 = ( [ ] F S F T + ɛ σ dev + σ dev ɛ : gradu G dω + i G } {{ } G Ω ijkl ɛ kl ( ) ω σ dev σ dev ω : gradu dω F (U) U F 2 v = F 1 g = Ω [ F S F T ] : gradu dω ( ɛ σ dev + σ dev ɛ) : gradu dω Ω ( ) ω σ dev σ dev ω : gradu dω Ω F 2 g = F (U) U G ) (V.56) (V.57) En choisissant une approximation pour les champs de déplacement U(X) etu (x) onpeut,à partir de (V.56), approximer l effort dynamique autour d une précharge, pour n importe quelle géométrie (chapitre III). Notre souci premier dans ce chapitre est de comparer les résultats prédits par ce modèle linéariséàdesrésultats expérimentaux sur des éprouvettes de caractérisation (chargements de cisaillement ou de compression). Nous allons donc appliquer (V.56) pour obtenir une solution analytique à ce type de chargement. Pour les chargements simples mentionnés précédemment, les champs de déplacement peuvent être obtenus de manière analytique. L extension àdesgéométries plus complexes se fera en utilisant des champs calculés par éléments finis (chapitre III).

167 V.4. Expressions analytiques pour des chargements simples 153 V.4 Expressions analytiques pour des chargements simples V.4.1 Problématique L équation (V.56) donne un modèle pour prendre en compte àlafoislaprécharge en grandes déformations et la dissipation viscoélastique. Cette expression est issue comme nous l avons vu d un grand nombre d hypothèses simplificatrices. Son établissement suppose en particulier que : Les effets de temps et de précharge sont séparables et qu on peut écrire la contribution viscoélastique sous la forme 1 2 g(t)k ijkl (V.3) où g(t), fonction de relaxation du matériau, ne dépend pas de la précharge. La fonction de relaxation est semblable aux fonctions utilisées en viscoélasticité linéaire (séries de Prony ou modèles fractionnaires). Les propriétés d amortissement viscoélastiques sont proportionnelles au tenseur tangent élastique (puisque K ijkl =Ω ijkl, tenseur tangent de Jaumann). L objectif de ce paragraphe est d analyser les prédictions du modèle pour des cas très simples de chargement. Pour clarifier les résultats du paragraphe précédent, les différentes étapes des paragraphes V.2 et V.3 sont appliquées pour obtenir des expressions analytiques pour les modules dynamiques en cisaillement et en compression pour des cales de géométrie simple. Ces cas correspondent en effet à des sollicitations couramment rencontrées dans l utilisation des pièces en élastomère. La formulation analytique va nous permettre de dégager les tendances prédites par le modèle pour le couplage précharge fréquence. Un paragraphe ultérieur confrontera ces tendances àdesrésultats expérimentaux. V.4.2 Cas d un essai de cisaillement Dans cet exemple nous considérons une éprouvette parallélépipédique, de longueur initiale L, d épaisseur e, et de largeur l (dans la direction Z). Elle est constituée d un matériau hyperviscoélastique. Elle est soumise à un chargement de cisaillement, par déplacement dans la direction X de l armature supérieure (figure V.2).

168 154 Chapitre V. Linéarisation d un modèle hyperviscoélastique U(t) Y e θ(t) X tan θ(t) = γ(t) = U(t) e Fig. V.2: Schématisation d un essai de cisaillement Le matériau est d abord précontraint, le taux de cisaillement àlaprécontrainte étant donné par γ. Quand les contraintes dans le matériau sont complètement relaxées, une excitation harmoniquedefréquence ω et de petite amplitude est appliquée. Nous cherchons à obtenir une solution analytique à l aide de la démarche exposée précédemment, pour approcher la contrainte quasi statique àlaprécharge, puis le module dynamique fonction de la précharge et de la fréquence. Les effets d inertie dans le matériau sont négligés. A titre d exemple, la loi de comportement utilisée pour la dépendance en précharge est une loi de Mooney Rivlin provenant d une identification à partir d essais de traction simple, compression simple, et cisaillement pour un mélange de caoutchouc naturel chargé à 5 parts de noir de carbone (Heuillet et al.[34]) : Ψ= C 1 (I 1 3) + C 2 (I 2 3) L C 1 C 1.25 MPA.16 MPA Tab. V.1: Coefficients de Mooney Rivlin pour un mélange de caoutchouc naturel V Equilibre statique Nous approchons le champ de déplacement àlaprécharge à l aide d un champ vérifiant les conditions limites cinématiques et les conditions d incompressibilité: U (X, Y, Z) = γy V (X, Y, Z) = (V.58) W (X, Y, Z) = ce qui conduit à l expression du tenseur gradient des déformations 1 γ I 1 = 3+γ 2 F = 1 (V.59) 1 I 2 = 3+γ 2

169 V.4. Expressions analytiques pour des chargements simples 155 On en déduit par application directe de (II.52) 2Ψ 1 +2(3+γ 2 )Ψ 2 2Ψ 2 2Ψ 2 γ S dev = 2Ψ 2 γ 2Ψ 1 +2(3+γ 2 )Ψ 2 2Ψ 2 (γ 2 +1) 2Ψ 1 +2(3+γ 2 )Ψ 2 2Ψ 2 (V.6) Nous choisissons ensuite un champ de déplacement virtuel défini dans la configuration préchargée et vérifiant les conditions d incompressibilité u (x, y, z) = β e y 1 β v (x, y, z) = ɛ 2 e = 1 β w 2 e (x, y, z) = (V.61) On en déduit l expression du champ virtuel dans la configuration non préchargée, ainsi que l expression du tenseur des déformations virtuels E U (x, y, z) = β e Y V (x, y, z) = W (x, y, z) = β E = F T (U) GradU = 1 e β 2 2 β γ e e Le travail virtuel des efforts extérieurs (lors de la précharge) s exprime alors comme (V.62) W ext = β F x (e) (V.63) où F x désigne l effort associé au chargement quasi statique. Cet effort est calculé par application directe de V.47. En remplaçant S dev et E par leurs expressions respectives (V.6) et (V.62), on retrouve l expression analytique de l effort dans la direction de chargement : F x (e) =2Ll γ(ψ 1 +Ψ 2 ) (V.64) Cet effort correspond à l effort non linéaire, obtenu à l aide d une énergie de déformation hyperélastique, pour la modélisation d une grande précharge statique. Pour une énergie de déformation hyperélastique représentée à l aide d un développement de Rivlin Ψ = N i+j=1 C ij (I 1 3) i (I 2 3) j (V.65) il faut pousser le développement jusqu à i + j = 2 pour avoir des non linéarités dans un chargement de cisaillement. Pour une loi de Mooney Rivlin comme celle identifiée par Heuillet et al, le comportement en cisaillement est linéaire, comme l illustre la figure V.3

170 156 Chapitre V. Linéarisation d un modèle hyperviscoélastique Effort (N) Pourcentage de prédéformation Fig. V.3: Effort quasi statique en cisaillement simple obtenu avec une loi de Mooney Rivlin (coefficients récapitulés dans le tableau V.1) V Calcul du module dynamique Autour de cette configuration préchargée, on impose un débattement sinusoidal ζ u = δue iωt,où δu désigne l amplitude du débattement imposé. Pour calculer grad u qui intervient dans les expressions linéarisées, on effectue un développement de Taylor du champ de déplacement autour de la précharge, ce qui permet d exprimer l incrément sur les différents tenseurs de déformation comme suit 1 δu 1 δu 1 δu 2 e E = 1 δu δu 2 e e γ ɛ = 2 e 1 δu 2 e ω = 2 e 1 δu 2 e (V.66) On en déduit chacune des expressions intervenant dans (V.57) : Fv 1 = lle [ F SF T ] : grad (u ) Fv 2 = lle [ ɛ σ dev + σ dev ɛ ] : grad (u ) (V.67) Fg 1 = lle ( ωσ dev σ dev ω ) : grad (u ) On a de plus Fg 2 = puisque U (X) nedépend pas de U.Onendéduit l incrément de l effort dû à la petite oscillation autour de la précharge : f = 1 β [ F 1 v + F 2 v + F 1 g + F 2 g ] F(U ) = δu (V.68) U

171 V.4. Expressions analytiques pour des chargements simples 157 L expression du module dynamique est alors : K(ω, γ) = F(U ) U = Kg 1 (γ)+kg 2 (γ) } {{ } Rigidité élastique = h 1 (γ)+h 2 (γ) G(ω) G + [ K 1 v (γ)+k 2 v (γ) ] } {{ } Rigidité visqueuse ( ) G (ω)+i G (ω) G G (V.69) Finalement, en reportant la définition du tenseur tangent (V.17), l expression de la contrainte (V.6) et l expression de l incrément des déformations (V.66) dans (V.67), on obtient l expression analytique de chacun des termes de (V.69) en fonction des dérivées de l énergie de déformation hyperélastique, pour le cas du chargement de cisaillement : Kg 1 (γ) = Kg 2 (γ) = ll e γ2 (Ψ 1 +Ψ 2 ) K 1 v (γ) = ll e K 2 v (γ) = 1 2 ll e [ Ψ1 ( γ 2 +2 ) +Ψ 2 ( γ 2 +4 )] [ 2 γ 2 Φ 1 +Φ 2 ( 8 γ 2 +4γ 4) + Φ 4 ( 2 γ 6 +8γ 4 +8γ 2 ) +Φ 8 ( 1+2γ 2 ) ] (V.7) Lesexpressionsdesdérivées de l énergie de déformation hyperélastique Ψ k et Φ k sont rappelées en annexe D. Le couplage précharge/fréquence est pris en compte par les termes en h 2 (γ)g(ω). h 1 (γ) correspond à la rigidité associée àlapartieélastique et h 2 (γ) correspond à la rigidité associée à la partie visqueuse. Dans le cas où lematériau n est pas préchargé, on a h 1 (γ) =, h 2 (γ) = ll e G,où G est le module de cisaillement à l origine, relié aux coefficients de Mooney Rivlin par G =2(c 1 + c 1 ) on retrouve alors les résultats classiques de la viscoélasticité linéaire en petites déformations : K (ω, ) = ll ( ) G (ω)+ig (ω) (V.71) e Il est important de noter que les hypothèses introduites permettent d aboutir à un couplage précharge fréquence. En théorie, à partir des expressions (V.69), il est possible de déterminer complètement le comportement viscoélastique d un élastomère en grandes déformations àpartir uniquement d un essai quasi statique (pour identifier l énergie de déformation hyperélastique), puis d un essai vibratoire autour de la précharge nulle (pour identifier le nombre de cellules de Maxwell ou les coefficients du modèle fractionnaire). Nous verrons qu en pratique il est nécessaire de prendre en compte les essais dynamiques pour les différents niveaux de précharge pour mener cette identification.

172 158 Chapitre V. Linéarisation d un modèle hyperviscoélastique V Dépendance en précharge La dépendance en fréquence prédite par le modèle linéarisé est exactement semblable à celle de la viscoélasticité linéaire. La dépendence en précharge provient des fonctions h 1 (γ) eth 2 (γ). Le module dynamique dépendant de ces fonctions de la manière suivante : K(ω, γ) =h 1 (γ)+h 2 (γ) G(ω) (V.72) G Pour l énergie de déformation de Mooney Rivlin évoqué précédemment, l évolution des fonctions h 1 (γ), h 2 (γ) et h 1(γ) est représentée sur les figures (V.4), (V.5) et (V.6) : h 2 (γ) 5 h 1 (γ) Pourcentage de prédéformation Fig. V.4: Fonction h 1 (γ) (en N/mm) fonction du taux de déformation h 2 (γ) Pourcentage de prédéformation Fig. V.5: Fonction h 2 (γ) (en N/mm) fonction du taux de déformation

173 V.4. Expressions analytiques pour des chargements simples 159 h 1 (γ)/h 2 (γ) Pourcentage de prédéformation Fig. V.6: Fonction h 1(γ) h 2 (γ) fonction du taux de déformation On voit ainsi que, même dans le cas où la courbe effort déplacement statique est quasi linéaire (figure (V.3)), la dépendance en fonction de la précharge du module dynamique sera non linéaire (figures (V.4) et (V.5)). On constate également que la rigidité associée àlapartieélastique h 1 (γ) est négligeable pour les faibles taux de déformation devant la rigidité visqueuse, (figure (V.6)), elle devient de plus en plus importante au fur et à mesure que la précharge augmente. V.4.3 Cas d un essai de compression Dans cet exemple nous considérons un cylindre de longueur initiale L, derayonr. Onvient comprimer ce cylindre entre deux plaques de métal (figure (V.7)). Si nous négligeons le frottement entre le caoutchouc et les plaques de métal, nous avons un état de déformation homogène : D Z U(t) L Y X Fig. V.7: Schématisation d un essai de compression On définit alors l élongation àpartirdudéplacement de l extrémité du cylindre : λ(t) =1+ U(t) L

174 16 Chapitre V. Linéarisation d un modèle hyperviscoélastique (λ >1 correspond à un essai de traction, et λ<1 correspond à un essai de compression). Les élongations dans les deux autres directions principales sont alors égales et déterminées à l aide de la condition d incompressibilité λ 1 λ 2 λ 3 = 1. Une précontrainte jusqu à l élongation λ est d abord imposée. Après relaxation, un déplacement harmonique de fréquence ω et de petite amplitude est imposé. V Equilibre statique La même démarche que celle détaillée au paragraphe V permet de retrouver l effort dans la direction de chargement associé àl élongation de précharge (voir annexe E) : On retrouve ainsi ( F (λ) = 2πR 2 λ 1 )( Ψ λ I 1 λ ) Ψ I 2 (V.73) L équation (V.73) correspond à l effort quasi statique prédit pour un chargement de traction compression uniaxial. On voit immédiatement à partir de cette expression que l on ne peut pas définir un module d Young constant pour un matériau hyperélastique incompressible : le module d Young associé est en effet fonction de l élongation λ, etdoncdelaprécharge. Toutefois, le module d Young à l origine E peut être calculé à partir de (V.73) autour de la précharge nulle : ( F (λ) Ψ E = lim λ 1 λ πr 2 =6 + Ψ ) (V.74) I 1 I 2 Ainsi, dans le cas d une énergie de déformation polynomiale, le module d Young à l origine s exprimera suivant : E = 6 (c 1 + c 1 ) (V.75) et seules les deux premières constantes du développement de Rivlin interviennent dans l expression du module. Effort (N) Pourcentage de prédéformation Fig. V.8: Effort quasi statique en compression simple obtenu avec la loi V.1

175 V.4. Expressions analytiques pour des chargements simples 161 V Calcul du module dynamique Le développement en séries de Taylor évoqué précédemment permet de retrouver les expressions analytiques pour le module dynamique en compression (annexe E) : ( ) K(ω, λ) = F(U ) = K U g 1 (λ)+kg 2 (λ) + Kv 1 (λ)+k 2 G v (λ) (ω)+i G (ω) } {{ } } {{ } G G Rigidité élastique Rigidité visqueuse (V.76) avec : = h 1 (λ)+h 2 (λ) G(ω) G K 1 g (λ) = 2 πr2 L ( )( 1 λ 3 1 Ψ ) λ Ψ 2 Kg 2 (λ) = ( ) ( Kv 1 (λ) = 2 [Ψ πr2 1λ 1 1 L Ψ 2 λ )] λ 2 ( Kv 2 (λ) = πr2 1λ [2Φ 1 2 L 4 2λ ) ( 1 + λ2 +4Φ 2 λ 5 1 ) λ 2 λ + λ4 ( ) ( )] Φ 4 λ 6 2+λ6 +Φ 8 λ 4 +2λ2 (V.77) où les expressions des Ψ k et Φ k sont données en annexe D. Le couplage précharge fréquence est pris en compte par les termes en h 2 (λ)g(ω). Dans le cas où lematériau n est pas préchargé, on a h 1 (λ =1)=,h 2 (λ =1)= πr2 L E, E étant le module d Young tangent à l origine. En remarquant que pour un matériau incompressible, le module d Young est relié au coefficient de cisaillement par la relation E =3G, on retrouve autour de la précharge nulle le résultat de la viscoélasticité linéaire en petites déformations : K(ω, λ =1)= πr2 L 3(G (ω)+ig (ω)) V Dépendance en précharge Nous traçons l évolution de la rigidité associée à la partie élastique et de la rigidité associée à la partie visqueuse pour la loi de Mooney Rivlin identifiée par Heuillet et al (tableau (V.1)). L évolution des fonctions h 1 (λ), h 2 (λ) est représentée sur les figures V.9, V.1 :

176 162 Chapitre V. Linéarisation d un modèle hyperviscoélastique h 1 (λ) Pourcentage de prédéformation Fig. V.9: Fonction h 1 (λ) (en N/mm) fonction du taux de déformation h 2 (λ) Fig. V.1: Fonction h 2 (λ) (en N/mm) fonction du taux de déformation On voit ainsi que la dépendance en fonction de la précharge est non linéaire. V.4.4 Récapitulatif Les hypothèses qui ont été faites (viscoélasticité linéaire en grandes déformations) permettent d aboutir à une expression générale du module dynamique autour d une configuration préchargée de la forme K(ω, U ) = h 1 (U )+h 2 (U ) G(ω) G (V.78) Cette forme s appuie sur un certain nombre d hypothèses simplificatrices. Elle suppose notamment que La seule source de dissipation envisagée est d origine viscoélastique La fonction de relaxation du matériau ne dépend pas de la précharge Les petits débattements imposés sont négligeables devant la précharge, ce qui justifie l obtention des équations linéarisées par un développement en séries de Taylor Nous avons vu sur des exemples simples les formes analytiques prises par les fonctions h 1 et h 2. Pour des chargements plus complexes, la même démarche d approximation de Ritz peut être

177 V.5. Confrontation modèle/résultats expérimentaux 163 utilisée pour approcher ces fonctions. Au vu des résultats analytiques obtenus, la rigidité due àla partie élastique h 1 semble faible devant la rigiditévisqueuseh 2, au moins pour les faibles niveaux de précharges. Ces tendances vont maintenant être confrontées àdesrésultats expérimentaux. V.5 Confrontation modèle/résultats expérimentaux V.5.1 Introduction L intérêt principal de cette étude est de montrer que, moyennant un certain nombre d hypothèses simplificatrices, il est possible d exprimer le module dynamique d un matériau hyperviscoélastique en fonction d une énergie de déformation hyperélastique, et d une fonction de relaxation semblable à celles utilisées en viscoélasticité linéaire. Le module dynamique ainsi obtenu s exprime très simplement en fonction de chacun de ces paramètres (équation (V.78)). Pour arriver à cette expression, il a fallu faire un certain nombre d hypothèses simplificatrices. Pour vérifier si la forme théorique obtenue est suffisante et en adéquation avec le comportement réel des élastomères lors d essais vibratoires àdifférentes précharges, une comparaison doit être faite avec des essais expérimentaux. V Essais réalisés Pour cela, des mesures du module dynamique pour différents niveaux de précharge et de fréquence sont réalisés. Ces essais sont effectués sur des éprouvettes de caractérisation de géométrie simple (figure (V.11)). Plaque métallique U (t) e = 4 mm Caoutchouc Caoutchouc D = 18 mm L = 25 mm U (t) L = 25 mm (a) Eprouvette de double cisaillement (b) Eprouvette de compression Fig. V.11: Eprouvettes de caractérisation en double cisaillement et compression Nous disposons de trois éprouvettes constituées d un même mélange de caoutchouc pour chacune des expériences de caractérisation (cisaillement et compression). Pour chacune des deux sollicitations, des essais sont faits àtrès faible vitesse de chargement. Les mesures sont alors

178 164 Chapitre V. Linéarisation d un modèle hyperviscoélastique faites lors du quatrième cycle de montée/descente en charge pour s affranchir de l effet Mullins (chapitre I). Ensuite, un excitation harmonique de fréquence ω est imposée, le déplacement final s exprime sous la forme : U(t) =U + δu sin(ωt) On trouvera en annexe F quelques résultats expérimentaux en quasi statique et dynamique. Si nous négligeons les effets de bord lors des essais de cisaillement, l expression théorique pour le module dynamique en cisaillement est donnée par les équations (V.7). De même, si nous négligeons le frottement entre le caoutchouc et les plaques de métal lors de l essai de compression, le module dynamique en compression est donné par (V.77). Dans la suite, nous noterons γ le taux de prédéformation, aussi bien en cisaillement qu en compression. On aura ainsi pour les essais de cisaillement, et pour les essais de compression. γ = U e γ = U L = λ 1 V Problèmes associés à la relaxation de la contrainte statique Au niveau expérimental, il faut remarquer que le modèle s appuie sur une première hypothèse qui s est avérée difficile à obtenir expérimentalement. En effet, la forme (V.78) suppose qu il y a eu relaxation complète des déformations, avant d appliquer les excitations sinusoïdales. Or, si l on mesure l effort de précharge avant d imposer l excitation harmonique, on constate que cet effort ne se situe pas sur la courbe quasi statique réalisée àtrès faible fréquence (figure V.12) Effort mesuré avant l excitation harmonique Effort (N) Hystérésis à f =.2 Hz Effort mesuré avant l excitation harmonique Effort (N) Hystérésis à f=.1 Hz Taux de cisaillement γ Taux de compression γ (a) Cas du cisaillement (b) Cas de la compression Fig. V.12: Dispersion des mesures sur la courbe effort déplacement. Superposition de l hystérésis mesurée àtrès faible fréquence, avec l effort mesuré avant l excitation dynamique

179 V.5. Confrontation modèle/résultats expérimentaux 165 Il y a de plus une dispersion très importante sur cet effort, qui est due aux effets de relaxation non maîtrisés. Cela veut simplement dire que, contrairement aux hypothèses du modèle, il n y a pas relaxation complète avant l excitation sinusoïdale. En pratique, expérimentalement, cette relaxation s est avérée extrêmement longue à obtenir : nous nous contenterons donc de cette approximation. Toutefois, pour ne pas introduire d erreurs supplémentaires lors de l identification, les fonctions dues àlaprécharge ne seront pas identifiées comme on le voit classiquement [79] à l aide de la courbe dite quasi statique. Ces effets de relaxation induisent également une dispersion importante sur la mesure du module dynamique. Tous ces résultats expérimentaux sont résumés en annexe F. V Problèmes associés à la forme de la dissipation La deuxième hypothèse du modèle concerne la forme même de la dissipation : nous avons en effet supposé que la dissipation était viscoélastique linéaire, le module dynamique associé ne dépend donc pas de l amplitude du débattement imposé dans la limite de validité de linéarisation de la loi hyperviscoélastique. Or, pour les élastomères chargés en noir de carbone, on ne peut pas négliger la dépendance en amplitude du module dynamique (chapitres I et IV). A titre d illustration, la figure V.13 montre l évolution du module dynamique pour un élastomère chargé en fonction de l amplitude du débattement imposé (cas des essais de compression), pour les différents niveaux de précharge (5%, 1% et 3%) : % 1% 3 % % 1% 3 % Re(K) en N/mm Im(K) en N/mm Amplitude mm Amplitude mm (a) Partie réelle du module dynamique fonction de l amplitude (b) Partie imaginaire du module dynamique fonction de l amplitude Fig. V.13: Evolution du module dynamique à 5 Hz en fonction de l amplitude du débattement, cas des essais de compression On constate que dans le domaine de variation des paramètres γ et δu, les variations de raideur dues à l amplitude du débattement sont plus importantes que celles dues àlaprécharge.

180 166 Chapitre V. Linéarisation d un modèle hyperviscoélastique Pour analyser nos résultats expérimentaux, il nous a donc semblé important d introduire une mesure des déformations qui caractérise cette dépendance en amplitude. En effet, si on prend en compte les dimensions des éprouvettes (figure V.11), ainsi que la différence de direction de sollicitation, un débattement de ±.1mm en cisaillement n induit pas la même non linéarité qu une amplitude de débattement identique en compression. Nous allons donc émettre une hypothèse supplémentaire quant à la forme de la dépendance en amplitude : celle-ci est supposée être fonction des invariants du tenseur des petites déformations superposées ɛ. Or, pour assurer l incompressibilité, nous avons De même, au premier ordre, nous avons I 1 = trace ( ɛ) = J =1+trace ( ɛ) =1 Les invariants I 1 et J étant complètement déterminés, nous allons supposer que la dépendance en amplitude intervient par l intermédiaire de la fonction G(ω), et que cette fonction dépend également du second invariant des déformations I 2 de ɛ. Cette hypothèse permet d affirmer que les fonctions h 1 et h 2 sont indépendantes de l amplitude du débattement imposé. On écrira alors K(ω, γ) = h 1 (γ)+h 2 (γ) G(ω, I 2) (V.79) G Si l invariant I 2 ( ɛ) est identique, on peut considérer qu on a la même dépendance en amplitude en cisaillement et en compression. La linéarisation des équations intervenant pour un chargement de cisaillement conduisait àla forme suivante de ɛ 1 δu 2 e ɛ = 1 δu I 2 = 1 ( ) δu 2 (V.8) 2 e 4 e Dans le cas du chargement de cisaillement, I 2 est indépendant de la précharge. On peut donc se placer à une amplitude de débattement fixée pour le dépouillement des résultats expérimentaux. Dans le cas du chargement de compression, on avait 1 δu 2 λ L ɛ = 1 δu 2 λ L I 2 = 3 ( ) δu 2 ( ) 1 1 δu 4 L λ 2 (V.81) λ L On voit ainsi apparaître un couplage supplémentaire entre les effets d amplitude et de précharge. Pour les essais de compression, prendre une même amplitude ne permet donc pas d éviter les effets non linéaires. Donc pour évaluer la validité dumodèle hyperviscoélastique, on ne peut à

181 V.5. Confrontation modèle/résultats expérimentaux 167 priori pas se placer à une amplitude de débattement fixée (puisque dans ce cas, G(ω, I 2 )dépendra également du niveau de précharge). On remarque toutefois qu au delà de±.5mm d amplitude de débattement, la dérivée du module dynamique par rapport à I 2 devient négligeable (figure V.13). Nous allons donc considérer que dans cette zone, le module dynamique est presque constant par rapport à I 2. Nous exploiterons donc les essais en compression autour de ±.5mm d amplitude de vibrations. (Nous avons exclu les essais pour ±1mm d amplitude de vibrations, car l amplitude du débattement n est plus négligeable par rapport àlaprécharge, du moins pour les faibles niveaux de précharge). V.5.2 Vérification de la forme du couplage précharge fréquence Les hypothèses faites ont conduit à la forme suivante du module dynamique, fonction de la précharge et de la fréquence (en séparant partie réelle et partie imaginaire) : K re (ω, γ) = h 1 (γ)+h 2 (γ) G re(ω, I 2 ) G (V.82) K im (ω, γ) = h 2 (γ) G im(ω,i 2 ) G Autour de la précharge nulle, les expressions précédentes se réduisent à K re (ω, ) = h 2 () G re(ω, I 2 ) G K im (ω, γ) = h 2 () G im(ω,i 2 ) G (V.83) En cisaillement, pour fixer le paramètre I 2 il suffit de se placer à une amplitude de débattement fixée. En compression, en prenant les essais autour de ±.5 mm d amplitude, les variations de I 2 sont très faibles pour les niveaux de précharge dont nous disposons, nous allons donc les négliger. Il faut àprésent vérifier si la forme (V.82) est réaliste par rapport aux résultats expérimentaux. C est pourquoi nous allons introduire les fonctions f 2 (ω, γ) etf 1 (ω, γ) qui seront calculées à partir des données expérimentales de la manière suivante : f 2 (ω, γ) = K im (ω, γ) K im (ω, ) (V.84) f 1 (ω, γ) = K re(ω, γ) f 2 (ω, γ)k re (ω, ) Ces fonctions dépendent àprioridelafréquence ω et du taux de précharge γ ;silemodèle (V.82) est valide, alors f 2 (ω, γ) = h 2(γ) h 2 () f 1 (ω, γ) = h 1(γ) et les deux fonctions introduites ne devraient pas dépendre de la fréquence. Dans l expression précédente, f 2 (ω, γ) est adimensionnel, alors que f 1 (ω, γ) a la dimension d une raideur. Pour pouvoir comparer les ordres de grandeur de ces deux fonctions, il faut rapporter f 1 (ω, γ) à la raideur tangente autour de la précharge nulle. Par exemple en cisaillement on aura h 2 () = ll e G.Pourévaluer cette raideur tangente, on constate figure V.12a qu on ne peut pas négliger

182 168 Chapitre V. Linéarisation d un modèle hyperviscoélastique l hystérésis, même àtrès faible fréquence. De plus sur cet essai, la pente autour de l origine est perturbée par l inversion du signe de la vitesse de déplacement, elle ne doit donc pas être prise en compte pour le calcul de la raideur tangente. Nous approximerons donc h 2 () à l aide de la raideur dynamique pour la plus faible fréquence de mesure dont nous disposons, et nous noterons f 1 (ω, γ) lafonctionf 1 (ω, γ) ainsi normée. En procédant de cette manière, on aura f 1 (ω, γ) f 2 (ω, γ) = h 1(γ) h 2 (γ) Une première vérification du modèle consiste par conséquent àvérifier que les fonctions f 2 (ω, γ) et f 1 (ω, γ) sont effectivement indépendantes de la fréquence. Remarque : d un point de vue technologique, il n est pas possible de mesurer le plot représenté en figure V.11 pour une sollicitation de traction. Nous ne disposons donc pas d essais autour de la précharge nulle pour les éprouvettes de compression, ce qui pose un problème pour évaluer la fonction f 1 (ω, γ) à partir uniquement des essais de compression. Nous allons donc nous servir de la fonction G(ω, I 2 ) provenant des essais de cisaillement sur un même mélange. Il faut alors choisir un niveau d amplitude en cisaillement et un niveau d amplitude en compression tel que I 2 ait la même valeur : En compression, on a I 2 = 3 ( ) 2 δucomp 1 4 L λ 2 et en cisaillement I 2 = 1 4 δu cis ( ) 2 δucis ce qui nous donne δu comp = λ comp. Vus les niveaux d amplitude dont nous disposons, on L 3 e prendra les essais de compression à.5 mm et les essais de cisaillement à.1 mm. On a alors K re comp (ω, γ comp ) = h comp 1 (γ comp ) + hcomp 2 (γ comp ) h cis 2 () Kre cis (ω, ) K comp im (ω, (V.85) γcomp ) Kim cis = hcomp 2 (γ comp ) G im (ω, I 2 ) (ω, ) h cis 2 ()G im(ω, I 2 ) A partir des données expérimentales (K(ω, γ)pourdifférents niveaux de préchargeetdefréquence), nous allons donc introduire les fonctions suivantes, qui seront calculées uniquement àpartirdes mesures : f comp 2 (ω, γ) = Kcomp im (ω, γ) Kim cis (ω, ) (V.86) f comp 1 (ω, γ) = Kre comp (ω, γ comp ) f comp 2 (ω, γ) Kre cis (ω, ) Pour pouvoir comparer les ordres de grandeur, nous rapportons f comp 1 (ω, γ) à la raideur obtenue en cisaillement pour la plus faible fréquence de mesure, et nous appelons f comp 1 (ω, γ) lavaleur de la fonction f comp 1 (ω, γ) ainsi normée. Si le modèle (V.82) est valide, alors f comp 2 (ω, γ) = hcomp 2 (γ comp ) h cis 2 () f comp f comp 1 (ω, γ) 2 (ω, γ) e = hcomp h comp 1 (γ comp ) 2 (γ comp )

183 V.5. Confrontation modèle/résultats expérimentaux 169 Il faut àprésent nous assurer que les fonctions f 2 (ω, γ), f 1 (ω, γ), f comp 2 (ω, γ), f comp 1 (ω, γ) sont indépendances de la fréquence, c est l objet des deux paragraphes qui suivent. V.5.3 Vérification que la fonction f 2 (ω, γ) ne dépend pas de la fréquence V Cas du cisaillement La figure (V.14) montre l évolution de f 2 (ω, γ) = K im (ω, γ) K im (ω, ) pour les essais de cisaillement, pour plusieurs valeurs de la précharge. f 2 (ω,γ) % 2% 3% fréquence Fig. V.14: Evolution de f 2 (ω, γ) en fonction de la fréquence et de la précharge Le tableau V.2 récapitule les valeurs minimales, moyennes et maximales en fréquence de la fonction f 2,pourlesdifférents niveaux de précharge. On constate figure V.14 et tableau V.2 que la variation de la fonction f 2 (ω, γ) aveclafréquence est négligeable. γ Valeur minimale Valeur moyenne Valeur maximale (max - min) /max % % % Tab. V.2: Dépendance de f 2 (γ) vis à vis de la fréquence, cisaillement sur matériau amortissant, amplitude =.1 mm Au vu de ces résultats, on peut effectivement considérer que la fonction f 2 (γ)estindépendante de la fréquence.

184 17 Chapitre V. Linéarisation d un modèle hyperviscoélastique V Cas de la compression La figure V.15 montre l évolution de la fonction f comp 2 (ω, γ) pour toutes les valeurs de précharge et de fréquence de mesure. On voit ainsi que l hypothèse que cette fonction ne dépend pas de la fréquence est également vérifiée % 1% 3% (ω,γ) f comp fréquence Fig. V.15: Evolution de f comp 2 (ω, γ) en fonction de la fréquence et de la précharge γ Valeur minimale Valeur moyenne Valeur maximale max err Kim % % % Tab. V.3: Dépendance de f comp 2 (ω, γ) vis à vis de la fréquence, compression sur matériau amortissant, amplitude de compression=.5 mm, amplitude de cisaillement =.1 mm V.5.4 Vérification que la fonction f 1 (ω, γ) ne dépend pas de la fréquence V Cas du cisaillement La figure V.16 montre l évolution de f 1 (ω, γ) enfonctiondelafréquence pour différents niveaux de précharge. Ces résultats expérimentaux sont consignés dans le tableau V.4.

185 V.5. Confrontation modèle/résultats expérimentaux % 2% 3% f 1 (ω,γ) fréquence Fig. V.16: Evolution de f 1 (ω, γ) en fonction de la fréquence et de la précharge γ Valeur minimale Valeur moyenne Valeur maximale Maximum d erreur sur Re(K) f 2 f % % % 9.9 Tab. V.4: Dépendance de f 1 (γ) vis à vis de la fréquence, cisaillement sur matériau amortissant, amplitude =.1 mm L écart relatif en fréquence est beaucoup plus important que pour la fonction f 2.Toutefois, mêmedanslecasleplusdéfavorable, l écart induit sur la reconstitution de la partie réelle du module dynamique est négligeable. En prenant en compte la remarque sur la dispersion des mesures, nous considérerons donc cette approximation (f 1 indépendant de la fréquence) valable. V Cas de la compression Ontracedelamême manière l évolution de la fonction f comp 1 (ω, γ)enfonctiondelaprécharge et de la fréquence :

186 172 Chapitre V. Linéarisation d un modèle hyperviscoélastique.1 5% 1% 3% (ω,γ) f comp fréquence Fig. V.17: Evolution de h 1 (ω, γ) en fonction de la fréquence et de la précharge On voit sur le tableau V.5 et la figure V.17 que l indépendance en fréquence est vérifiée. γ Valeur minimale Valeur moyenne Valeur maximale Tab. V.5: Dépendance de f comp 1 (γ) vis à vis de la fréquence, compression sur matériau amortissant, amplitude de compression =.5 mm, réponse en fréquence prise sur le chargement de cisaillement à.1mm V.5.5 Reconstitution du module dynamique pour différents niveaux de précharge A partir des valeurs des fonctions h 1 (γ) eth 2 (γ), identifiées pour différents niveaux de précharge, on peut reconstituer avec une bonne précision l évolution du module dynamique fonction de la fréquence et de la précharge, comme en témoignent les courbes qui suivent :

187 V.6. Conclusion Pas de précharge 1% précharge 12 Pas de précharge Re(K) (N/mm) % précharge 2% précharge expérimental * recalculé Im(K) N/mm % de précharge 3% précharge 2% de précharge expérimental * recalculé fréquence (Hz) fréquence (Hz) (a) Partie réelle du module dynamique fonction de la préchargeetdelafréquence (b) Partie imaginaire du module dynamique fonction de la précharge et de la fréquence Fig. V.18: Evolution du module dynamique en N/mm avec la fréquence pour les différents niveaux de précharge, cas du cisaillement à ±.1mm d amplitude \% de précharge \% de précharge Re(K) \% de précharge 1 \% de précharge Im(K) \% de précharge 5 \% de précharge fréquence fréquence (a) Partie réelle du module dynamique fonction de la préchargeetdelafréquence (b) Partie imaginaire du module dynamique fonction de la précharge et de la fréquence Fig. V.19: Evolution du module dynamique en N/mm avec la fréquence pour les différents niveaux de précharge, cas de la compression à ±.5mm d amplitude V.6 Conclusion Cette étude met ainsi en évidence que le découplage K(ω, γ) =h 1 (γ) +h 2 (γ) G(ω, I 2) G

188 174 Chapitre V. Linéarisation d un modèle hyperviscoélastique est qualitativement bien adapté pour la prise en compte de la dissipation autour d une grande précharge statique. En effet, à partir de données expérimentales, on vérifie que les fonctions h 1 et h 2 ne dépendent effectivement que du niveau de précharge imposé. Dans le cas d essais sur éprouvettes, les fonctions h 1 (γ) eth 2 (γ) peuventêtre identifiées uniquement à partir d essais dynamiques àdifférents niveaux de précharge. De plus, la formulation développée a été appliquée ici àdeséprouvettes de géométrie très simple, l objectif étant de vérifier si ce modèle est en adéquation avec les résultats expérimentaux. Bien entendu, l extension àdesgéométries complexes est possible : il suffit pour cela d utiliser des champs calculés par éléments finis comme nous l avons présenté au chapitre III. L obtention du module dynamique pour n importe quelle géométrie se fera alors en utilisant l équation (V.57). Nous disposons ainsi d un modèle simplifié de simulation du comportement dissipatif autour d une précharge statique. Le modèle présenté dans ce chapitre peut prédire la rigidification en fréquence autour d une grande déformation élastique. La géométrie de la pièce ainsi que la non linéarité géométrique et les effets de dissipation visqueuse sont bien appréhendés. Par contre le modèle suppose une source de dissipation uniquement viscoélastique linéaire, il n est alors pas adapté pourprendreencomptedefaçon prédictive la dépendance en amplitude observée lors de la mesure du module dynamique (voir chapitre IV).

189 Conclusion et Perspectives 175 Conclusion et Perspectives Une modélisationsimplifiéeaétéproposée enpremierlieupourappréhenderlecomportement des liaisons élastiques en élastomère utilisées dans l industrie automobile. A partir d une approximation des déplacements par une méthode de Rayleigh Ritz, nous avons construit un modèle simplifié prenant en compte la géométrie de la cale et la loi de comportement du matériau pour évaluer les réponses de ces pièces pour différentes sollicitations : chargements quasi statiques fortement non linéaires, effets d hystérésis ou de relaxation. Ce modèle a été validé numériquement en comparant les résultats ainsi prédits àuncalculéléments finis complet, dans le cas de lois de comportement hyperélastiques ou viscoélastiques linéaires. La démarche proposée peut intégrer d autres types de lois de comportement : c est ainsi que la réponse non linéaire associée àun développement en série de Volterra est également calculée. On pourrait également y intégrer des effets d endommagement ou de couplage thermo mécanique. La deuxième difficulté abordée dans ce manuscrit concerne le comportement même des matériaux élastomères. En effet pour être le plus prédictif possible, la loi de comportement doit approcher au mieux les résultats observés expérimentalement. La deuxièmepartiedecetravail (chapitre IV et V) s appuie donc sur de nombreux résultats expérimentaux sur éprouvettes de caractérisation et sur pièces complètes. L objectif est en effet de proposer une modélisation qui appréhende aussi bien la non linéaritégéométrique due à la possibilitédetrès grandes déformations, que la dépendance vis à vis de l amplitude de débattement dynamique. Cette dépendance apparaît pour les très faibles niveaux et n est donc pas due à la non linéarité géométrique. Une tentative d approche de cette dépendance à l aide d un développement en série de Volterra a été menée au chapitre IV. L analyse des résultats expérimentaux a permis de mettre en évidence un couplage entre les effets de dissipation viscoélastique et les effets de perte de rigidité en amplitude. Ce couplage est prédit par le développement en séries de Volterra. Toutefois le développement en séries prédit une dépendance polynomiale des raideurs en fonction de l amplitude du débattement dynamique, et au vu des résultats expérimentaux il faudrait pousser le développement à un ordre très élevé pour approcher la chute de raideur aux très faibles valeurs du débattement. Nous montrons alors qu une approche inverse converge plus vite, et permet de reproduire aussi bien la rigidification en fréquence (dissipation viscoélastique) que la dépendance en amplitude. Enfin, afin de prendre en compte simultanément la grande précharge statique et la dissipation viscoélastique, un modèle hyperviscoélastique linéariséaétéproposé. Les expressions analytiques

190 176 Conclusion et Perspectives associées à cette modélisation ont ensuite été comparées àdesrésultats expérimentaux (mesure du module dynamique pour différents niveaux de précharge). Cette modélisation introduit un couplage entre les effets de précharge et les effets de dissipation viscoélastique; la forme du couplage est validée par rapport àdesrésultats expérimentaux. Par contre la dissipation proposée dans ce dernier modèle est uniquement viscoélastique linéaire : une perspective intéressante de ce travail de thèse serait donc de coupler le modèle hyperviscoélastique avec un développement en séries semblable à celui proposé au chapitre IV, pour simuler de façon prédictive les deux types de non linéarités mises en évidence expérimentalement, à savoir non linéarité géométrique due à la grande précharge statique, et dissipation non linéaire. Il faudra alors apporter un soin particulier au choix de l ordre du développement ou àlaforme des noyaux de relaxation. En effet si l on tronque le développement à l odre 3, seule l approche par noyaux de fluage non linéaire a permis de représenter correctement le comportement observé expérimentalement. Or le calcul analytique des coefficients de ces noyaux de fluage àpartird un choix de noyau de relaxation mène à des expressions analytiques très complexes, il est alors illusoire d espérer identifier de façon robuste les coefficients mis en jeu. Par contre, nous pourrions envisager de choisir à priori la forme des noyaux de fluage, par exemple sous forme d exponentielles décroissantes comme c est le cas pour les modèles de type Kelvin Voigt généralisé, et de calculer alors en utilisant la même démarche la forme complète du module dynamique associé à cette représentation.

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197 Table des figures 183 Table des figures I.1 Cycle d hystérésis en cisaillement à.2hz... 7 I.2 Effet Mullins. Chargement cyclique de cisaillement sur mélange amortissant... 8 I.3 Contrainte σ(t) =σ sin(ωt + δ) etdéformation ɛ(t) =ɛ sin(ωt) représentés dans le plan (ɛ, σ). Cycle d hystérésis I.4 Représentation schématique du module dynamique dans le plan complexe I.5 Effets de la température sur la rigidité d un vulcanisat de caoutchouc naturel chargé I.6 Effets de la fréquence sur la rigidité d un vulcanisat de caoutchouc naturel chargé 12 I.7 Variation du module dynamique en fonction de l amplitude d excitaiton sinusoidale, pour deux mélanges. Cas d un essai de cisaillement I.8 Plot de compression en élastomère I.9 Essaiderelaxationsurunplotdecompression II.1 Configurations initiale et déformée... 2 II.2 Vecteur contrainte dans les différentesconfigurations II.3 Formulation du problème d équilibre II.4 Schématisation des éléments rhéologiques usuels en viscoélasticité II.5 ModèledeMaxwell II.6 ModèledeZener II.7 Modèle de Maxwell généralisé II.8 Schématisation de l élémentspring-pot... 45

198 184 Table des figures II.9 Schématisation du cisaillement II.1 Comparaison du modèle de Maxwell généralisé linéaire et du modèle hyperviscoélastique de Yeoh pour un chargement de cisaillement II.11 Frottement de Coulomb en sérieavecunressort II.12 Modèle élastovisco plastique II.13 Simulation d un cycle d hystérésis à l aide du modèle de frottement (II.19) III.1 Schématisation du plot cylindrique utilisé pourlavalidation III.2 Schématisationduchargementdecompressionradiale III.3 Comparaison modèle/calcul éléments finis pour un chargement de compression, module de compressibilité K=.2 MPa (D=1), o = modèle, - = calcul éléments finis III.4 Comparaison modèle/calcul éléments finis pour un chargement de compression, module de compressibilité K=.4 MPa (D=5), o = modèle, - = calcul éléments finis III.5 Comparaison modèle/calcul éléments finis pour un chargement de compression, module de compressibilité K=2 MPa (D=1), o = modèle, - = calcul éléments finis. 68 III.6 Comparaison modèle/calcul éléments finis pour un chargement de compression, module de compressibilité K=1 MPa (D=.5), o = modèle, - = calcul éléments finis III.7 Schématisationduchargementderotationconique III.8 Comparaison modèle/calcul éléments finis pour un chargement de rotation conique, module de compressibilité K=.2 MPa (D=1), o = modèle, - = calcul élémentsfinis III.9 Comparaison modèle/calcul éléments finis pour un chargement de rotation conique, module de compressibilité K=2 MPa (D=1), o = modèle, - = calcul élémentsfinis... 7 III.1Schématisationduchargementdetorsion III.11Comparaison modèle/calcul éléments finis pour un chargement en torsion, module de compressibilité K=.2 MPa (D=1), o = modèle, - = calcul éléments finis... 71

199 Table des figures 185 III.12Comparaison modèle/calcul éléments finis pour un chargement en torsion, module de compressibilité K=2 MPa (D=1), o = modèle, - = calcul éléments finis.. 71 III.13Comparaison modèle/calcul éléments finis pour un chargement de cisaillement, loi de Mooney Rivlin incompressible, o = modèle, - = calcul éléments finis III.14Comparaison modèle/calcul éléments finis pour un chargement de compression, loi de Mooney Rivlin incompressible, o = modèle, - = calcul éléments finis III.15Comparaison modèle/calcul éléments finis pour un chargement de rotation conique, loi de Mooney Rivlin incompressible, o = modèle, - = calcul éléments finis. 74 III.16Comparaison modèle/calcul éléments finis pour un chargement de torsion, loi de Mooney Rivlin incompressible, o = modèle, - = calcul élémentsfinis III.17Comparaison modèle/calcul éléments finis pour essai de couplage de sollicitation (compression/cisaillement) = modèle, o = calcul élémentsfinis III.18Comparaison modèle/calcul éléments finis pour un chargement de cisaillement, cas d un essai de relaxation, matériau viscoélastique linéaire compressible, o = calcul éléments finis, - = modèle III.19Comparaison modèle/calcul éléments finis pour un chargement de compression, cas d un essai de relaxation, matériau viscoélastique linéaire compressible, o = calcul éléments finis, - = modèle III.2Comparaison modèle/calcul éléments finis pour un chargement de torsion, cas d un essai de relaxation, matériau viscoélastique linéaire compressible, o = calcul éléments finis, - = modèle III.21Comparaison modèle/calcul éléments finis pour un chargement de rotation conique, cas d un essai de relaxation, matériau viscoélastique linéaire compressible, o = calcul éléments finis, - = modèle III.22Comparaison modèle/calcul éléments finis cas d une excitation sinusoidale à ω = 5rad.s 1, =modèle,o=calculabaqus III.23Comparaison modèle/calcul éléments finis cas d une excitation sinusoidale à ω = 5rad.s 1, =modèle,o=calculabaqus III.24Comparaison modèle/calcul éléments finis pour un chargement de cisaillement, cas du module dynamique, = modèle,o=calculabaqus III.25Comparaison modèle/calcul éléments finis pour un chargement de cisaillement, cas d un essai de relaxation, matériau viscoélastique linéaire incompressible, o = calcul éléments finis, - = modèle

200 186 Table des figures III.26Comparaison modèle/calcul éléments finis pour un chargement de compression, cas d un essai de relaxation, matériau viscoélastique linéaire incompressible, o = calcul éléments finis, - = modèle III.27Comparaison modèle/calcul éléments finis pour un chargement de torsion, cas d un essai de relaxation, matériau viscoélastique linéaire incompressible, o = calcul éléments finis, - = modèle III.28Comparaison modèle/calcul éléments finis pour un chargement de rotation conique, cas d un essai de relaxation, matériau viscoélastique linéaire incompressible, o = calcul éléments finis, - = modèle III.29Comparaison modèle/calcul éléments finis, cas d une excitation sinusoidale à ω = 5rad.s 1,matériau viscoélastique linéaire incompressible = modèle, o = calcul abaqus III.3Comparaison modèle/calcul éléments finis, cas d une excitation sinusoidale à ω = 5rad.s 1,matériau viscoélastique linéaire incompressible = modèle, o = calcul abaqus III.31Comparaison modèle/calcul éléments finis, module dynamique, matériau viscoélastique linéaire incompressible, chargement de cisaillement, = modèle, o = calcul abaqus. 91 III.32Comparaison modèle/calcul éléments finis, module dynamique, matériau viscoélastique linéaire incompressible, chargement de compression, = modèle, o = calcul abaqus. 91 III.33Comparaison modèle/calcul éléments finis, module dynamique, matériau viscoélastique linéaire incompressible, chargement de torsion, = modèle, o = calcul abaqus.. 92 III.34Comparaison modèle/calcul éléments finis, module dynamique, matériau viscoélastique linéaire incompressible, chargement de rotation conique, = modèle, o = calcul abaqus III.35Effort de relaxation obtenu avec le modèle de Kelvin Voigt fractionnaire III.36Exemple de réponse obtenue par un modèle de Kelvin Voigt fractionnaire pour unchargementsinusoidal III.37Exemple de réponse obtenue par un modèle de Kelvin Voigt fractionnaire dans le cadred uneexcitationharmonique IV.1 Plot utilisé pourl essaidetractioncompression IV.2 Dispositif expérimental

201 Table des figures 187 IV.3 Eprouvette de double cisaillement IV.4 Piècecomplexe IV.5 Essai de compression (plot IV.1) sur un mélange faiblement chargé. Evolution du module dynamique en fonction de la fréquence IV.6 Essai de cisaillement sur éprouvette, matériau peu amortissant (Y573), pas de précharge. Evolution du module dynamique en fonction de la fréquence IV.7 Essai radial (cisaillement selon Z) sur cale T5, matériau peu amortissant (Y573), pas de précharge. Evolution du module dynamique en fonction de la fréquence IV.8 Essai de compression (plot IV.1) sur un mélange faiblement chargé. Evolution du moduledynamiqueenfonctiondel amplitude IV.9 Essai de cisaillement sur éprouvette, matériau amortissant (Y672), pas de précharge. Evolution du module dynamique en fonction de l amplitude du débattement imposé.122 IV.1Essai radial (compression) sur cale T5, matériau amortissant (Y672). Evolution du module dynamique en fonction de l amplitude IV.11Evolution du module dynamique sur éprouvette de cisaillement à5hz, comparaison entre un mélange amortissant (Y672) et un mélange faiblement amortissant (Y573) IV.12Essai de compression sur mélange peu amortissant, pas de précharge Evolution de la fonction g 1 (ω, n) = K n(ω) K.2 (ω) K 1 (ω) K.2 (ω) IV.13Essai de cisaillement sur éprouvette, matériau amortissant (Y672), pas de précharge Evolution de la fonction g 1 (ω, n) = K n(ω) K.5 (ω) K 1 (ω) K.5 (ω) IV.14Essai radial en compression sur cale T5, matériau amortissant (Y672), pas de précharge Evolution de la fonction g 1 (ω, n) = K n(ω) K.1 (ω) K 1 (ω) K.1 (ω) IV.15Essai axial sur cale T5, matériau amortissant (Y672), pas de précharge Evolution de la fonction g 1 (ω, n) = K n(ω) K.1 (ω) K 1 (ω) K.1 (ω) IV.16Essai radial en cisaillement sur cale T5, matériau amortissant (Y672), pas de précharge Evolution de la fonction g 1 (ω, n) = K n(ω) K.1 (ω) K 1 (ω) K.1 (ω) IV.17Lissage de K lin (ω)... 13

202 188 Table des figures IV.18Lissage de K nonlin (ω) IV.19Comparaison entre les valeurs expérimentales et identifiées de l effort dynamique pour plusieurs valeurs de l amplitude, - = expérimental, - - =identifié IV.2Lissage de l effort à 5 Hz pour l essai de cisaillement par le modèle IV IV.21Lissage du module à 5 Hz pour l essai de cisaillement par le modèle IV IV.22Lissage de l effort à 6 Hz pour l essai de cisaillement par le modèle IV IV.23Lissage de l effort à 6 Hz pour l essai de cisaillement par le modèle IV IV.24Comparaison des valeurs expérimentales et identifiées pour les souplesses dynamiques, exemple sur l éprouvette de cisaillement, fréquence = 6 Hz (modèle IV.86) IV.25Comparaison des valeurs expérimentales et identifiées pour les souplesses dynamiques, exemple sur l éprouvette de cisaillement, fréquence = 6 Hz (modèle IV.86) normé IV.26Module de l effort fonction de la fréquence pour différents niveaux d amplitude V.1 Superposition d un petit débattement sur un état préchargé V.2 Schématisation d un essai de cisaillement V.3 Effort quasi statique en cisaillement simple obtenu avec une loi de Mooney Rivlin (coefficients récapitulésdansletableauv.1) V.4 Fonction h 1 (γ) (en N/mm) fonction du taux de déformation V.5 Fonction h 2 (γ) (en N/mm) fonction du taux de déformation V.6 Fonction h 1(γ) h 2 (γ) fonction du taux de déformation V.7 Schématisationd unessaidecompression V.8 Effort quasi statique en compression simple obtenu avec la loi V V.9 Fonction h 1 (λ) (en N/mm) fonction du taux de déformation V.1 Fonction h 2 (λ) (en N/mm) fonction du taux de déformation V.11 Eprouvettes de caractérisation en double cisaillement et compression

203 Table des figures 189 V.12 Dispersion des mesures sur la courbe effort déplacement. Superposition de l hystérésis mesurée àtrès faible fréquence, avec l effort mesuré avant l excitation dynamique 164 V.13 Evolution du module dynamique à5hz en fonction de l amplitude du débattement, casdesessaisdecompression V.14 Evolution de f 2 (ω, γ) enfonctiondelafréquence et de la précharge V.15 Evolution de f comp 2 (ω, γ) enfonctiondelafréquence et de la précharge V.16 Evolution de f 1 (ω, γ) enfonctiondelafréquence et de la précharge V.17 Evolution de h 1 (ω, γ) enfonctiondelafréquence et de la précharge V.18 Evolution du module dynamique en N/mm avec la fréquence pour les différents niveaux de précharge, cas du cisaillement à ±.1mm d amplitude V.19 Evolution du module dynamique en N/mm avec la fréquence pour les différents niveaux de précharge, cas de la compression à ±.5mm d amplitude E.1 Schématisationd unessaidecompression F.1 Eprouvette de double cisaillement F.2 Courbe effort déplacement. Cas d un déplacement triangulaire de fréquence.2hz218 F.3 Dispersion des mesures sur la courbe effort déplacement sur éprouvette de cisaillement. Superposition de l hystérésis mesurée à.2 Hz à l effort mesuré avantles essaisdynamiques F.4 Dispersion des mesures sur 3 éprouvettes de cisaillement, amplitude =.1 mm. 22 F.5 Evolution du module dynamique en fonction de la précharge àfréquence fixée, pour une amplitude de débattementde.1mm F.6 Eprouvettededecompression F.7 Courbe effort déplacement en compression. Cas d un déplacement triangulaire de fréquence.1hz F.8 Dispersion des mesures sur la courbe effort déplacement sur éprouvette de compression. Supersposition de l hystérésis mesurée à.1 Hz à l effort mesuré avant lesessaisdynamiques F.9 Dispersion des mesures sur 3 éprouvettes de compression, amplitude = ±.1mm 224

204 19 Liste des tableaux F.1 Evolution du module dynamique en fonction de la précharge àfréquence fixée, pour une amplitude de débattementde.1mm G.1 Evolution de f 1 (γ) enfonctiondelaprécharge G.2 Evolution de f 2 (γ) enfonctiondelaprécharge G.3 Identification de la fonction ne dépendantquedelaprécharge par un modèle hyperélastiquedeyeoh G.4 Identification de la fonction G(ω), comparaison à 1% de précharge G.5 Identification de la fonction G(ω), comparaison à 1% de précharge G.6 Identification de la fonction G(ω), comparaison à 2% de précharge G.7 Identification de la fonction G(ω), comparaison à 3% de précharge

205 Liste des tableaux 191 Liste des tableaux IV.1 Contributions associées au développement àl ordre IV.2 Expression de l effort total basé sur un développement de Fréchet à l ordre IV.3 Amplitude du débattement imposé, pour chacune des directions de chargement. 119 IV.4 Erreur relative sur l effort dynamique (valeur moyenne sur toutes les fréquences) 132 IV.5 Erreur absolue et relative sur le module dynamique à5hz obtenue par le modèle IV IV.6 Erreur absolue sur le module du déplacement,enmm V.1 Coefficients de Mooney Rivlin pour un mélange de caoutchouc naturel V.2 Dépendance de f 2 (γ) visà vis de la fréquence, cisaillement sur matériau amortissant,amplitude=.1mm V.3 Dépendance de f comp 2 (ω, γ) visà vis de la fréquence, compression sur matériau amortissant, amplitude de compression=.5 mm, amplitude de cisaillement =.1 mm V.4 Dépendance de f 1 (γ) visà vis de la fréquence, cisaillement sur matériau amortissant,amplitude=.1mm V.5 Dépendance de f comp 1 (γ)visà vis de la fréquence, compression sur matériau amortissant, amplitude de compression =.5 mm, réponse en fréquence prise sur le chargement de cisaillement à.1mm A.1 Contributions associées au développement àl ordre B.1 Contribution àl ordre B.2 Contribution àl ordre

206 192 Liste des tableaux B.3 Contributions associées au développement àl ordre F.1 Partie réelle (tableau a) et imaginaire (tableau b) de la raideur tangente en N/mm pour différents niveaux de précharge, amplitude de débattement =.1 mm F.2 Partie réelle et imaginaire de la raideur tangente en N/mm pour différents niveaux de précharge, amplitude de débattement=.1mm G.1 Evolution de h 1 h 2 identifié enfonctiondelaprécharge

207 Annexe A 193 Annexe A Calcul de la relation effort déplacement associée àun développement en série à l ordre 2 Nous cherchons à calculer l effort associéàundéveloppement en série de Volterra à l ordre 2. Dans le cadre d une approximation de Ritz à un champ, nous recherchons le déplacement sous la forme {u(x, t)} = α(t) {Φ(X)} (A.1) où {Φ(X)} est un champ de déplacement cinématiquement admissible. Cette approximation permet d exprimer l effort non linéaire sous la forme : F 2 (t) = S 2ij (t)ẽ1ij dω +2U(t) S 2ij (t)ẽ2ij dω Ω } Ω {{ } (A.2) } {{ } partie linéaire de E partie non linéairedee où Ẽ1ij et Ẽ2ij correspondent à la partie linéaire (respectivement non linéaire) du tenseur des déformations calculé àpartirduchamp{φ(x)} (paragraphe IV.3). A.1 Ecriture des déformations L approximation (A.1) permet d écrire les déformations sous la forme [ ] E ij (t) = U(t)Ẽ1ij + U 2 (t)ẽ2ij H(t) (A.3) On en déduit Ė ij (t) = [ U(t)Ẽ1 ij +2U(t) U(t)Ẽ2 ij] H(t) + [ ] U(t)Ẽ1 ij + U 2 (t)ẽ2 ij δ(t) (A.4) (paragraphe IV.3).

208 194 Annexe A A.2 Calcul de la contrainte Pour calculer la contrainte associée au développement en série de Volterra à l ordre 2 issue de l approximation de Ritz, nous remplaçons Ėij(t) par son expression (A.4) dans l écriture de la contrainte : t Sij 2 (t) = On fait ainsi apparaître des termes non linéaires : r 2 (t τ 1,t τ 2 ) Ėik(τ 1 )Ėkj(τ 2 )dτ 1 dτ 2 (A.5) d ordre 2 en U associés au produit B2 ij = Ẽ1 ik Ẽ1 kj. d ordre 3 en U associés au produit B31 ij = Ẽ1 ik Ẽ2 kj et B32 ij = Ẽ2 ik Ẽ1 kj. d ordre 4 en U associés au produit B4 ij = Ẽ2 ikẽ2 kj et on écrira Avec S 2 ij (t) = P 2 (U, t)b2 ij + t t P 2 (U, t) = r 2 (t τ 1,t τ 2 ) U(τ 1 ) U(τ 2 ) dτ 1 dτ 2 ( t ) + 2U() r 2 (t τ 1,t) U(τ 1 )dτ 1 + r 2 (t, t) U() 2 ( P31 (U, t)b31 ij + P 32 (U, t)b32 ij ) + P 4 (U, t)b4 ij (A.6) P 31 (U, t) = P 32 (U, t) = P 3 (U, t) { t t = 2 r 2 (t τ 1,t τ 2 ) U(τ 1 ) U(τ 2 ) U(τ 2 ) dτ 1 dτ 2 ( t ) ( t ) + U() 2 r 2 (t τ 1,t) U(τ 1 )dτ U() r 2 (t, t τ 1 ) U(τ 2 ) U(τ 2 ) dτ 2 + r 2 (t, t) U() 3 { t t P 4 (U, t) = 4 r 2 (t τ 1,t τ 2 ) U(τ 1 ) U(τ 2 ) U(τ 1 ) U(τ 2 ) dτ 1 dτ 2 ( t ) } + 4 U 2 () r 2 (t τ 1,t) U(τ 1 ) U(τ 1 ) dτ 1 + r 2 (t, t) U() 4 ce qui permet d écrire la contrainte à l ordre 2 conformément à: Sij 2 (t) = P ( 2 (U, t)b2 ij + P31 (U, t)b31 ij + P ) 32 (U, t)b32 ij + P 4 (U, t)b4 ij (A.7) = P 2 (U, t)b2 ij + P 3 (U, t)(b31 ij + B32 ij )+ P 4 (U, t)b4 ij (A.8)

209 Annexe A 195 A.3 Calcul de l effort En reportant (A.8) dans l approximation de l effort F 2 (t) = S 2ij (t)ẽ1ij dω +2U(t) S 2ij (t)ẽ2ij dω Ω } Ω {{ } } {{ } partie linéaire de E partie non linéairedee (A.9) on voit apparaître des coefficients de volume associés à des non linéarités en U jusqu à l ordre 5. On écrira ainsi : F 2 (t) = b 2 P2 (U, t) +b 31 P3 (U, t) +b 32 P3 (U, t) + 2b 33 U(t) P 2 (U, t)+ b 41 P4 (U, t) +2b 42 U(t) P 3 (U, t) + 2b 43 U(t) P 3 (U, t) +2b 5 U(t) P 4 (U, t) (A.1) où les coefficients b k sont des coefficients de volume, l indice k désignant l ordre de la non linéarité en U. Ces coefficients sont récapitulés dans le tableau ci dessous : b 2 = Ω Ordre 2 Ordre 3 Ordre 4 Ordre 5 (Ẽ1 ik Ẽkj 1 ) Ẽ1 ij dω b 31 = (Ẽ1 ik Ẽ 2 ) kj Ẽ1 ij dω b 41 = (Ẽ2 ik Ẽ 2 ) kj Ẽ1 ij dω b 5 = (Ẽ2 ik Ẽ 2 ) kj Ẽ2 ij dω Ω Ω Ω b 32 = (Ẽ2 ik Ẽ 1 ) kj Ẽ1 ij dω b 42 = (Ẽ1 ik Ẽ 2 ) kj Ẽ2 ij dω Ω Ω ) ) b 33 = (Ẽ1 Ω ikẽ1 kj Ẽ2 ij dω b 43 = (Ẽ2 Ω ikẽ1 kj Ẽ2 ij dω Tab. A.1: Contributions associées au développement à l ordre 2

210

211 Annexe B 197 Annexe B Calcul de la relation effort déplacement associée àun développement en série à l ordre 3 Le développement à l ordre trois va faire apparaître deux types de contributions, l une due aux effets de trace, et l autre l autre au produit des déformations. On a en effet S 3 ij(t) = S 31 ij (t)+s 32 ij (t) (B.1) Avec Sij 31 (t) = S 32 ij (t) = t t t t t t r 31 (t τ 1,t τ 2,t τ 3 ) trace (Ėik (τ 1 )Ėkl(τ 2 )) Ėlj (τ 3 )dτ 1 dτ 2 dτ 3 r 32 (t τ 1,t τ 2,t τ 3 ) Ėik(τ 1 )Ėkl(τ 2 )Ėlj(τ 3 )dτ 1 dτ 2 dτ 3 (B.2) B.1 Ecriture des déformations Nous recherchons le déplacement sous la forme {u(x, t)} = α(t) {Φ(X)} (B.3) où {Φ(X)} est un champ de déplacement cinématiquement admissible. Cela conduit àl écriture suivante pour les déformations : [ ] E ij (t) = U(t)Ẽ1ij + U 2 (t)ẽ2ij H(t) (B.4)

212 198 Annexe B où Ẽ1ij et Ẽ2ij correspondent à la partie linéaire (respectivement non linéaire) du tenseur des déformations calculé àpartirduchamp{φ(x)} (paragraphe IV.3). On en déduit [ [ ] Ė ij (t) = U(t)Ẽ1 ij +2U(t) ij] U(t)Ẽ2 H(t) + U(t)Ẽ1 ij + U 2 (t)ẽ2 ij δ(t) (B.5) (paragraphe IV.3). B.2 Calcul de la contrainte Pour approcher la contrainte à l ordre 3, nous reportons l approximation (B.5) dans les expressions (B.2). Cela va faire apparaître les produits croisés des tenseurs Ẽ1 et Ẽ2. Nous regroupons ces termes en fonction de l ordre de la non linéarité enu. Nous allons noter C3 ij la matrice associée à la non linéarité cubique. On a a ainsi C3 ij = Ẽ1 plẽ1 lpẽ1 ij contribution de S 31,etẼ1 ikẽ1 kpẽ1 pjẽ1 ij pour la contribution de S 32. pour la C4k ij les matrices associées à la non linéarité d ordre 4. Elles sont au nombre de 3 Contribution de S 31 Contribution de S 32 C41 ij C42 ij C43 ij Ẽ 1 plẽ1 lpẽ2 ij Ẽ 1 plẽ2 lpẽ1 ij Ẽ 2 plẽ1 lpẽ1 ij Ẽ 1 ikẽ1 kpẽ2 pj Ẽ 1 ikẽ1 kpẽ2 pj Ẽ 2 ikẽ1 kpẽ1 pj Tab. B.1: Contribution à l ordre 4 C5k ij les matrices associées à la non linéarité d ordre 5. Elles sont au nombre de 3 Contribution de S 31 Contribution de S 32 C51 ij C52 ij C53 ij Ẽ 1 plẽ2 lpẽ2 ij Ẽ 2 plẽ1 lpẽ2 ij Ẽ 2 plẽ2 lpẽ1 ij Ẽ 1 ikẽ2 kpẽ2 pj Ẽ 2 ikẽ1 kpẽ2 pj Ẽ 2 ikẽ2 kpẽ1 pj Tab. B.2: Contribution à l ordre 5 C6 ij la matrice associée à la non linéarité d ordre 6. On a a ainsi C6 ij = Ẽ2 plẽ2 lpẽ2 ij pour la contribution de S 31,etC6 ij = Ẽ2 ikẽ2 kpẽ2 pj pour la contribution de S 32. Cela permet d écrire la contrainte à l ordre 3 conformément à: S 3 ij (t) = Q 3 (U, t)c3 ij +(Q 32 (U, t)c41 ij + Q 42 (U, t)c42 ij + Q 43 (U, t)c43 ij ) + (Q 51 (U, t)c51 ij + Q 52 (U, t)c52 ij + Q 53 (U, t)c53 ij )+ Q 6 (U, t)c6 ij = Q 3 (U, t)c3 ij + Q 4 (U, t)[c41 ij + C42 ij + C43 ij ] (B.6) + Q 5 (U, t) [C51 ij + C52 ij + C53 ij ]+ Q 6 (U, t)c6 ij

213 Annexe B 199 où les fonctions Q k (U, t) s expriment suivant Ordre 3 Ordre 4 Q 3 (U, t) = = t t t t t t + 3 U() + 3 U 2 () t t t + r 3 (t, t, t) U 3 () r 3 (t τ 1,t τ 2,t τ 3 ) U(τ 1 ) U(τ 2 ) U(τ 3 ) dτ 1 dτ 2 dτ 3 r 3 (t τ 1,t τ 2,t τ 3 ) U(τ 1 ) U(τ 2 ) U(τ 3 ) dτ 1 dτ 2 dτ 3 r 3 (t τ 1,t τ 2,t) U (τ 1 ) U (τ 2 )dτ 1 dτ 2 r 3 (t τ,t,t) U (τ) dτ (B.7) Q 4 (U, t) = Q 32 (U, t) =Q 42 (U, t) =Q 43 (U, t) Ordre 5 = = t t t t t t + U 2 () + 4 U() + 2U 3 () + 2U 2 () t t t t r 3 (t τ 1,t τ 2,t τ 3 )2 U(τ 1 ) U(τ 2 ) U(τ 3 ) U(τ 3 ) dτ 1 dτ 2 dτ 3 r 3 (t τ 1,t τ 2,t τ 3 )2 U(τ 1 ) U(τ 2 ) U(τ 3 ) U(τ 3 ) dτ 1 dτ 2 dτ 3 t t + r 3 (t, t, t) U 4 () r 3 (t τ 1,t τ 2,t) U (τ 1 ) U (τ 2 ) dτ 1 dτ 2 r 3 (t τ 1,t τ 2,t) U (τ 1 ) U (τ 2 ) U(τ 2 )dτ 1 dτ 2 r 3 (t τ,t,t) U (τ)dτ r 3 (t τ,t,t) U (τ) U (τ)dτ (B.8) Q 5 (U, t) = z 51 (t) =z 52 (t) =z 53 (t) = = t t t t t t + 4 U 2 () + 4 U() + U 4 () + 4 U 3 () t t r 3 (t τ 1,t τ 2,t τ 3 )4 U(τ 1 ) U(τ 2 ) U(τ 3 ) U(τ 2 ) U(τ 3 )dτ 1 dτ 2 dτ 3 r 3 (t τ 1,t τ 2,t τ 3 )4 U(τ 1 ) U(τ 2 ) U(τ 3 ) U(τ 2 ) U(τ 3 )dτ 1 dτ 2 dτ 3 t t t t + r 3 (t, t, t) U 5 () r 3 (t τ 1,t τ 2,t) U (τ 1 ) U (τ 2 ) U(τ 2 )dτ 1 dτ 2 r 3 (t τ 1,t τ 2,t) U (τ 1 ) U (τ 2 ) U(τ 1 ) U(τ 2 )dτ 1 dτ 2 r 3 (t τ,t,t) U (τ) dτ r 3 (t τ,t,t) U (τ) U(τ)dτ (B.9)

214 2 Annexe B Ordre 6 Q 6 (U, t) = = 8 t t t t t t + 12 U 2 () + 6 U 4 () t t t r 3 (t τ 1,t τ 2,t τ 3 )8 U(τ 1 ) U(τ 2 ) U(τ 3 ) U(τ 1 ) U(τ 2 ) U(τ 3 ) dτ 1 dτ 2 dτ 3 r 3 (t τ 1,t τ 2,t τ 3 ) U(τ 1 ) U(τ 2 ) U(τ 3 ) U(τ 1 ) U(τ 2 ) U(τ 3 ) dτ 1 dτ 2 dτ 3 r 3 (t τ 1,t τ 2,t) U (τ 1 ) U (τ 2 ) U(τ 1 ) U(τ 2 )dτ 1 dτ 2 r 3 (t τ,t,t) U (τ) U(τ)dτ + r 3 (t, t, t) U() 6 (B.1) B.3 Calcul de l effort En reportant (B.6) dans l expression de l effort non linéaire F 3 (t) = S 3ij (t)ẽ1ij dω +2U(t) S 3ij (t)ẽ2ij dω Ω } Ω {{ } } {{ } partie linéairedee partie non linéaire de E (B.11) on fait apparaître les coefficients dus au champ cinématiquement admissible, et àlagéométrie considérée. On voit ainsi que la non linéarité enu sera d ordre 3 à 7, et l effort s exprimera suivant : F 3 (t) = c 3 Q3 (U, t)+c 41 Q4 (U, t)+c 42 Q4 (U, t) + c 43 Q4 (U, t)+2c 44 U(t) Q 3 (U, t) + c 51 Q5 (U, t)+c 52 Q5 (U, t)+c 53 Q5 (U, t) + 2c 54 U(t) Q 4 (U, t)+2c 55 U(t) Q 4 (U, t)+2c 56 U(t) Q 4 (U, t) (B.12) + c 61 Q6 (U, t)+2c 62 U(t) Q 5 (U, t) + 2c 63 U(t) Q 5 (U, t)+2c 64 U(t) Q 5 (U, t) + 2c 7 U(t) Q 6 (U, t) où les coefficients c k intègrent la géométrie de la pièce, ils sont calculés à partir des tenseurs de déformation connus Ẽ1 et Ẽ2 de la manière suivante : Ordre 3 Ordre 4 Ordre 5 Ordre 6 Ordre 7 c 3 = C3 ij Ẽ 1ij dω c 41 = C41 ij Ẽ 1ij dω c 51 = C51 ij Ẽ 1ij dω c 61 = C6 ij Ẽ 1ij dω Ω Ω Ω Ω c 7 = C6 ij Ẽ 2ij dω Ω c 42 = C42 ij Ẽ 1ij dω c 52 = C52 ij Ẽ 1ij dω c 62 = C51 ij Ẽ 2ij dω Ω Ω Ω c 43 = C43 ij Ẽ 1ij dω c 53 = C53 ij Ẽ 1ij dω c 63 = C52 ij Ẽ 2ij dω Ω Ω Ω c 44 = C3 ij Ẽ 2ij dω c 54 = C41 ij Ẽ 2ij dω Ω Ω c 64 = C53 ij Ẽ 2ij dω Ω c 55 = C42 ij Ẽ 2ij dω Ω c 56 = C43 ij Ẽ 2ij dω Ω Tab. B.3: Contributions associées au développement à l ordre 3

215 Annexe B 21 Par ailleurs, les conditions de symétrie sur les tenseurs Ẽ 1 et Ẽ 2, ainsi que la relation trace(ab)=trace(ba) permettent d aboutir aux simplifications suivantes c 41 = c 42 = c 43 = c 44 c 51 = c 52 = c 54 = c 55 c 53 = c 56 c 61 = c 62 = c 63 = c 64 (B.13) pour la contribution de S 31,et c 44 = c 42 c 55 = c 52 c 63 = c 61 (B.14) pour la contribution de S 32. Pour la contribution de S 31, on aura 6 coefficients de volume à calculer. Pour la contribution de S 32, il y en aura 13.

216

217 Annexe C 23 Annexe C Calcul du module dynamique associé àundéveloppement en séries à l ordre 3 Nous cherchons l expression générale du module dynamique, fonction de la précharge, de l amplitude de vibration et de la fréquence. Pour calculer ce module, nous utilisons un développement en série de Volterra à l ordre 3 de la relation contrainte déformation. Cela conduit à l expression du module dynamique conformément à: K(U,β,ω) = K 1 (U,β,ω)+K 2 (U,β,ω)+K 3 (U,β,ω) (C.1) où K 1 (respectivement K 2, K 3 ) correspond à la contribution due au développement des contraintes à l ordre 1 (respectivement 2 et 3). C.1 Expression de K 1 (U,β,ω) Pour une excitation harmonique autour d une précharge, on recherche le déplacement U(t) sous la forme: U(t) =U + β(t) (C.2) La contrainte à l ordre 1 s écrit (voir paragraphe (IV.3.1)) : S 1ij (t) = K 1 (U, t) Ẽ1 ij + K 2 (U, t) Ẽ2 ij (C.3) où nous avons introduit les fonctions t K 1 (U, t) = r 1 (t τ) U(t)dτ + r 1 (t)u() K 2 (U, t) = 2 t r 1 (t τ) U(τ) U(τ)dτ + r 1 (t)u 2 () (C.4)

218 24 Annexe C En remplaçant U(t) par son expression C.2 dans C.4 on obtient t K 1 (U, t) = r 1 (t τ) β(τ)dτ + r 1 (t)u() t K 2 (U, t) = 2 U r 1 (t τ) β(τ)dτ +2 t r 1 (t τ) β(τ) β(τ)dτ + r 1 (t)u 2 () Utilisons àprésent le fait que les débattements sont sinusoidaux. On a ainsi (C.5) β(t) = 1 ( β e iωt + β e iωt) (C.6) 2 Pour calculer la réponse en fréquence associéaudéveloppement à l ordre 1, nous allons introduire la fonction H 1,définie comme suit: H 1 (ω) = t r 1 (X)e iωx dx (C.7) En reportant C.6 dans C.5, et en utilisant C.7, on va faire apparaître les produits iωh 1 (ω) et leurs conjugués. On a ainsi, après changement de variable t τ = X: t r 1 (t τ) β(τ)dτ = 1 2 iωβ H 1 (ω)e iωt 1 2 iωβ H 1 (ω)e iωt t r 1 (t τ)β(τ) β(τ)dτ = 1 4 iωβ2 H 1 (2ω)e 2iωt 1 (C.8) 4 iωβ 2 e 2iωt H 1 (2ω) ce qui permet d écrire K 1 (U, t) = 1 2 iωβ H 1 (ω)e iωt 1 2 iωβ H 1 (ω) e iωt + ( U + 1 ( ) ) β + β r 1 (t) 2 K 2 (U, t) = U iωβ H 1 (ω)e iωt U iωβ H 1 (ω) e iωt iωβ2 H 1 (2ω)e 2iωt 1 2 iωβ 2 e 2iωt H 1 (2ω) ( + U 2 ( ) 1 ( ) ) + U β + β + β β +2β β r 1 (t) 4 (C.9) Le calcul de l effort se fait ensuite en reportant l expression (C.9) dans l expression de F 1 (t) donnée au chapitre IV au paragraphe IV.3.1. F 1 (t) = a 1 K1 (U, t) +a 21 K2 (U, t) +2a 22 U(t) K 1 (U, t)+2a 3 U(t) K 2 (U, t) (C.1) Si nous nous limitons à la contribution du premier harmonique, alors F 1 (t) peutêtre approché par : F 1 (t) =F (F 1(ω)e iωt + F 1 (ω)e iωt ) Nous nous intéressons uniquement au calcul du module dynamique, pour ce faire, on ne garde donc que les termes harmoniques intervenant dans K 1 et K 2. L amplitude du premier harmonique de l effort s exprimera alors selon : 1 2 F 1(ω) = a 1 F1 1(ω) +a 21 F1 2(ω) +a 22F1 3(ω) +a 3 F1 4 (ω) (C.11)

219 Annexe C 25 où F1 1(ω) correspond aux termes harmoniques intervenant dans le calcul de K 1 (U, t), et s écrit F1 1(ω) = 1 2 iωβ H 1 (ω)e iωt 1 2 iωβ H 1 (ω) e iωt (C.12) F1 2(ω) correspond aux termes harmoniques intervenant dans le calcul de K 2 (U, t), en utilisant (C.9) on a F 2 1 (ω) = U iωβ H 1 (ω)e iωt U iωβ H 1 (ω) e iωt iωβ2 H 1 (2ω)e 2iωt 1 2 iωβ 2 e 2iωt H 1 (2ω) (C.13) F1 3(ω)etF 1 4 (ω) correspondent respectivement aux termes harmoniques intervenant dans le calcul de 2U(t) K 1 (U, t) etde2u(t) K 2 (U, t), pour les calculer on remplace U(t) par son expression C.2 dans (C.9), et on ne conserve que les termes harmoniques. On obtient de cette manière F1 3(ω) = { } NL 11 + NL 12 + NL 11 + NL 12 F1 4(ω) = { } (C.14) NL 21 + NL 22 + NL 21 + NL 22 où nousavonsposé NL 11 = iω U β H 1 (ω)e iωt NL 12 = 1 2 iωβ2 H 1 (ω)e 2iωt 1 2 iωβ β H 1 (ω)+ ( U β + 1 ( ) ) β β β r 1 (t)e iωt NL 21 = 2U 2 iωβ H 1 (ω)e iωt + U iωβ 2 H 1 (2ω)e 2iωt NL 22 = U iωβ 2 H 1 (ω)e 2iωt U iωβ β H 1 (ω) iωβ3 H 1 (2ω)e 3iωt 1 2 iωβ β 2 H1 (2ω)e iωt ( + β U 2 ( ) + U β 2 1 ( ) ) + β β + β β β +2β 2 4 β r 1 (t)e iωt (C.15) Il faut àprésent calculer K 1 (U,β,ω)= F 1(ω) (C.16) β Cela se fait en calculant analytiquement la fonction H 1 (ω). Il suffit pour celà de remplacer r 1 (t) par son expression dans (C.7), ce qui donne iω H 1 (ω) = G ( 1 e iωt ) + N i=1 iωg ( i 1 e φ i t e iωt ) (C.17) φ i + iω Cette expression est ensuite reportée dans (C.12), (C.13), (C.15), et nous ne gardons que les termes au premier harmonique. Reportant les expressions ainsi obtenues dans (C.16), le module dynamique associé audéveloppement en série de Volterra à l ordre 1 s écrira K 1 (U,β,ω) = a 1 K1 1(U,β,ω)+a 21 K2 1(U,β,ω)+a 22 K3 1(U, U, ω)+a 3 K4 1(U,β,ω) (C.18)

220 26 Annexe C Avec K 1 1 (U,β,ω) = ( G + N i=1 K 1 2 (U,β,ω) = 2U (G + K 1 3 (U,β,ω) = 2 U (2 G + K 1 4 (U,β,ω) = [ 2U 2 iωg i φ i + iω N i=1 ( 3 G + ) iωg i φ i + iω N i=1 N i=1 ) iωg i φ i + iω ) 2 iωg i φ i + iω ) ( + β β 3 G + 2 N i=1 2 iωg i φ i +2iω )] (C.19) C.2 Expression de K 2 (U,β,ω) En utilisant exactement la même démarche, à l ordre 2, le module dynamique fera intervenir les 8 coefficients de volume listés en annexe B K 2 (U,β,ω) = b 2 K1 2 + b 31K2 2 + b 32K3 2 + b 33K4 2 + b 41K5 2 + b 42K6 2 + b 43K7 2 + b 5K8 2 (C.2) où les fonctions K1 2 à K2 8 sont des fractions rationnelles en ω, calculées en adoptant la même méthodologie que celle exposée dans le paragraphe précédent. Ils sont ainsi obtenus en remplaçant U(t) par son expression (C.2) dans les fonctions P k (U, t) (Annexe A). Leur calcul fera intervenir H 2 (ω 1,ω 2,t) = Ĥ 2 (ω, t) = t t t r 2 (X 1,X 2 )e iω 1X 1 e iω 2X 2 dx 1 dx 1 r 2 (X, t)e iωx dx (C.21) la fonction r 2 (t 1,t 2 )étant supposée être de la forme r 2 (t 1,t 2 ) = l 2 + m 2 e c 2 (t 1 +t 2 ) (C.22)

221 Annexe C 27 En déroulant alors les mêmes étapes de calcul que précédemment, et en ne gardant que les termes associés au premier harmonique, les fonctions intervenant dans K 2 s écriront K1 2 = 2U m 2 ( ) K2 2 1 = m 2 2 β β β +3U 2 K 2 3 = K 2 2 K4 2 = 6 m 2 U 2 + β β g1 4(ω) ( ) K5 2 2 = m 2 U 2 β + β β +4U 2 ) K6 2 = 8 m 2 U 3 + U ( m 2 β m 2 2 β + β β g1 6(ω) (C.23) 1 2 β β m β 3 m2 + β 2 β g 6 2(ω)+β β 2 g 6 3 (ω) K 2 7 = K 2 6 K 2 8 = 1m 2 U 4 + U 2 (5m 2 β 2 2 m2 β + β β g 8 1 (ω) ) + U { β 4 β g 8 2(ω)+β 2 β g 8 3(ω) m 2 β 3 2m2 β β +2m 2 β 2 } + β 2 β 2 g 8 4 (ω)+c 1β 3 β + C 2 β 4 + C3 β 2 β + C 4 β β 2 + C5 β 3 où les coefficients C i désignent des constantes (fonction de l 2 ). g i (ω) sont des fractions rationnelles, fonctions des paramètres m 2, c 2 et ω. Dans le cas du modèle non préchargé (U =),ladépendance en amplitude s exprimera sous forme polynomiale en β, avec des degrés de polynome d ordre 2 à 4. Toutefois, si l on néglige les effets géométriques et qu on ne garde que les termes associés au premier ordre des déformations, il n y pas de contribution au premier harmonique. Dans le cas le plus général, à l ordre 2, il faudra évaluer 7 fractions rationnelles, qui dépendent des coefficients choisis dans l écriture de r 2. C.3 Expression de K 3 (U,β,ω) De la même manière, à l ordre 3, le calcul complet fera intervenir 16 coefficients de volume, ces derniers étant listés en annexe B: K 3 (U,β,ω) = c 3 K c 41K c 42K c 43K c 44K c 51K c 52K c 53K c 54 K c 55K c 56K c 61K c 62K c 63K c 64K c 7K 3 17 (C.24)

222 28 Annexe C où chacune des fonctions Kk 3 est calculée en reportant (C.2) dans l expression analytique de Q(U, t) donnée en annexe B. Ce calcul utilisera les définitions suivantes (pour le passage en fréquentiel): t t t H 3k (ω 1,ω 2,ω 3,t) = r 3k (X 1,X 2,X 3 )e iω 1X 1 e iω 2X 2 e iω 3X 3 dx 1 dx 2 dx 3 ˆ H 3k (ω 1,ω 2,,t) = ˆ H 3k (ω, t, t) = la fonction r 3k s écrivant t t t r 3k (X 1,X 2,t)e iωx 1 e iω 1X 2 dx 1 dx 2 r 3k (X, t, t)e iωx dx r 3k (t 1,t 2,t 3 )=l 3k + m 3k e c 3k(t 1 +t 2 +t 3 ) (C.25) r 3k est ainsi un noyau symétrique, ce qui permet d avoir les simplification suivantes dans les expressions fréquentielles K3 3 = K2 3 K 3 7 = K 3 6 K 3 8 = K 3 6 K 3 1 = K 3 9 K 3 11 = K 3 9 K 3 14 = K 3 13 K 3 15 = K 3 13 A l ordre 3, nous aurons ainsi 9 fractions rationnelles, et 19 coefficients de volume à calculer (les coefficients de volume étant connus). En déroulant les mêmes étapes de calcul que à l ordre 1,

223 Annexe C 29 le module dynamique associé au noyau d ordre 3 s exprime selon K1 3 = 3U 2l β β f1 1(ω) K2 3 = D1 2 + U β β f1 2(ω) K3 3 = K2 3 K4 3 = D1 4U 3 + U β β f1 4(ω) K5 3 = U 3D5 1 + U β 2 f2 5(ω) K6 3 = D1 6U 4 + U 2β β f1 6(ω)+β2 β 2 f 6 2 (ω) K 3 7 = K 3 6 K 3 8 = K 3 6 K 3 9 = U 4 D9 1 + U 2 β 2 f 9 1 (ω)+ β 4 f 9 2 (ω) (C.26) K 3 1 = K 3 9 K 3 11 = K 3 9 K 3 12 = U 5 D U 3 β β f 12 1 (ω)+u β 4 f 12 2 (ω) K 3 13 = U 5 D U 3 β 2 f 12 1 (ω)+u β 4 f 13 2 (ω) K 3 14 = K 3 13 K 3 15 = K 3 13 K 3 16 = U 6 D U 4 β 2 f 16 1 (ω)+u 2 β 4 f 16 2 (ω)+ β 6 f 16 3 (ω) où lesd i désignent des constantes (qui dépendent de l 3 ). Les f(ω) sont des fractions rationnelles, calculées en fonction de m 3, c 3, ω. Dans le cas du matériau non préchargé, U =,ilne reste que 4 fractions rationnelles àévaluer, et la dépendance en amplitude s exprime sous forme polynomiale d ordre 6 en β, ce polynome ne faisant intervenir que des ordres pairs. Enfin, si on néglige tous les termes liés au second ordre (E 2 = ), seul reste K1 3,etladépendance en amplitude est en β 2.

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225 Annexe D 211 Annexe D Calcul des dérivées de l énergie de déformation hyperélastique Pour calculer le module dynamique autour d une configuration préchargée (chapitre V), nous avons besoin des dérivées première et seconde de l énergie de déformation hyperélastique par rapport aux invariants (équations V.7 et V.77). Ces dérivées se calculeront comme suit : Ψ 1 = Ψ I 1 Ψ 2 = Ψ I 2 Φ 1 = 4 ( Ψ 11 +2I 1 Ψ 12 +Ψ 2 + I1 2Ψ ) 22 Φ 2 = 4 (Ψ 12 + I 1 Ψ 22 ) Φ 4 = 4Ψ 22 Φ 8 = 4Ψ 2 où nous avons noté et Ψ k = Ψ I k 2 Ψ Ψ ij = I i I j Par exemple, dans le cas où l énergie de déformation hyperélastique est donnée par une loi polynomiale à l ordre 3 Ψ(I 1,I 1 )=c 1 (I 1 3) + c 1 (I 2 3) + c 2 (I 1 3) 2 + c 3 (I 1 3) 3

226 212 Annexe D les expressions précédentes conduisent à: Ψ 1 = Ψ I 1 = c 1 +2c 2 (I 1 3) + 3c 3 (I 1 3) 2 Ψ 2 = Ψ I 2 = c 1 Φ 1 = 4 ( Ψ 11 +2I 1 Ψ 12 +Ψ,2 + I 2 1 Ψ 22) = 4(2c2 +6c 3 (I 1 3) + c 1 ) Φ 2 = 4 (Ψ 12 + I 1 Ψ 22 ) = Φ 4 = 4Ψ 22 = Φ 8 = 4Ψ 2 = 4c 1 Les cas particuliersdes énergiesde déformationde Yeoh, MooneyRivlinou encore Néo Hookéenne sont obtenus à partir des deux expressions précédentes en faisant c 1 = (respectivement c 2 = et c 3 = pour Mooney Rivlin et c 1 =,c 2 =etc 3 = pour un modèle Néo Hookéen).

227 Annexe E 213 Annexe E Calcul de l expression de la raideur dynamique d un cylindre en traction compression Dans cet exemple nous considérons un cylindre de longueur initiale L, derayonr. Onvient comprimer ce cylindre entre deux plaques de métal (figure (E.1)). Si nous négligeons le frottement entre le caoutchouc et les plaques de métal, nous avons un état de déformation homogène : D Z U(t) L Y X Fig. E.1: Schématisation d un essai de compression On définit alors l élongation àpartirdudéplacement de l extrémité du cylindre : λ(t) =1+ U(t) L (λ >1 correspond à un essai de traction, et λ<1 correspond à un essai de compression). Les élongations dans les deux autres directions principales sont alors égales et déterminées à l aide de la condition d incompressibilité λ 1 λ 2 λ 3 = 1. Une précontrainte jusqu à undéplacement U, soit une élongation λ est d abord imposée. Après relaxation, un déplacement harmonique de fréquence ω et de petite amplitude δu est imposé.

228 214 Annexe E E.1 Equilibre statique En négligeant les frottement, et en considérant que nous avons un état de déformation homogène, le champ de déplacement réel vérifiant les conditions aux limites cinématiques et la condition d incompressibilité s écrit : ( ) 1 U(X, Y, Z) = 1+ U L +1 X ( ) 1 V (X, Y, Z) = 1+ U L +1 Y (E.1) W (X, Y, Z) = U L Z On en déduit l expression des tenseurs gradient des déformations, ainsi que l expression des invariants: 1 1 λ F = 1 λ I 1 = λ b = C = 1 λ λ λ λ λ 2 I 2 = 2 λ + 1 (E.2) λ 2 L état de contrainte associé est alors calculé conformément à (II.52): ( 2Ψ λ ) + λ2 Ψ 2 2Ψ 2 λ ( S dev = 2Ψ λ ) + λ2 Ψ 2 2Ψ 2 λ ( 2Ψ λ ) + λ2 Ψ 2 2Ψ 2 λ 2 (E.3) Nous choisissons ensuite un champ de déplacement virtuel défini dans la configuration préchargée suivant: u (x, y, z) = β 2 L x 1 β v (x, y, z) = β 2 L y ɛ 2 L = 1 β 2 L (E.4) β w (x, y, z) = β L z L Ces grandeurs sont ensuite transportées dans la configuration de référence, ce qui conduit à U (X, Y, Z) = β 1 β X 2 L λ V (X, Y, Z) = β 1 Y E = F T (U) GradU = 1 λ 2 L λ 2 β λ W (X, Y, Z) = β L λz 2 β λ 2 L (E.5) Le travail virtuel des efforts extérieurs (lors de la précharge) s exprime alors suivant W ext = F (λ)w (Z = L) =β λf(λ) (E.6)

229 Annexe E 215 où Fdésigne l effort dans la direction de la traction associé au chargement quasi statique. Cet effort est calculé enégalant les travaux virtuels des efforts intérieurs et extérieurs Wext = Wint = S dev : E Ω D où: ( F (λ) = 2πR 2 λ 1 )( Ψ λ I 1 λ ) Ψ I 2 (E.7) E.2 Calcul du module dynamique Autour de cette configuration préchargée, on impose un débattement sinusoidal ɛ u = δue iωt,où δu désigne l amplitude du débattement imposé. Pour calculer grad u qui intervient dans le calcul de la linéarisation des travaux virtuels, on effectue un développement de Taylor du champ de déplacement autour de la précharge. A partir de l expression du champ de déplacement (E.1) le développement de Taylor permet d exprimer l incrément sur les différents tenseurs de déformation comme suit : λ 2 1 δu L E = λ 2 L λ ɛ = 2 λ L 1 δu 2 λ L ω = (E.8) 1 δu L λ L On en déduit l expression de chacun des termes intervenant dans la linéarisation du travail des efforts intérieurs: Wint ( = F SF T + ɛ σ dev + σ dev ɛ ) ( ) : gradu G dω + i G Ω G G + ( ω σ dev σ dev ω ) : gradu dω Ω (E.9) puis la linéarisation du travail des efforts extérieurs: [ ( F Wext = β (U ) L + 1+ U ) ] F(U ) δu L U Et finalement en égalant les incréments sur le travail virtuel interne et externe on a β F (U ) L δu + β F(U ) U δu = Ω ( F SF T + ɛ σ dev + σ dev ɛ ) : gradu dω 1+ U L Le module dynamique vaut alors ( ) K(ω, λ) = F(U ) = K U g 1 (λ)+kg 2 (λ) + Kv 1 (λ)+k 2 G v (λ) (ω)+i G (ω) } {{ } } {{ } G G Rigiditéélastique Rigidité visqueuse = h 1 (λ)+h 2 (λ) G(ω) G ( G (E.1) G + i G (E.11) (E.12) G )

230 216 Annexe E où chacun des termes de l expression précédente se calcule en utilisant l expression de la contrainte (E.3) et des incréments de déformation (E.8): ( )( Kg 1 (λ) = 2 πr2 1 L λ 3 1 Ψ ) λ Ψ 2 Kg 2 (λ) = ( ) ( Kv 1 (λ) = 2 [Ψ πr2 1λ 1 1 L Ψ 2 λ )] λ 2 ( Kv 2 (λ) = πr2 1λ [2Φ 1 2 L 4 2λ ) ( 1 + λ2 +4Φ 2 λ 5 1 ) λ 2 λ + λ4 ( ) ( )] Φ 4 λ 6 2+λ6 +Φ 8 λ 4 +2λ2 (E.13) où les expressions des Ψ,k et Φ k sont données en annexe D.

231 Annexe F 217 Annexe F Mesure du module dynamique autour d une précharge : quelques résultats expérimentaux F.1 Cas des essais de cisaillement Les éprouvettes utilisées sont des éprouvettes de double cisaillement, schématisées ci dessous : Plaque métallique U (t) e = 4 mm Caoutchouc Caoutchouc L = 25 mm U (t) Fig. F.1: Eprouvette de double cisaillement L armature centrale est fixe, un déplacement est imposé sur les deux armatures externes. F.1.1 Résultats expérimentaux pour un essai quasi statique Pour la caractérisation quasi-statique, le déplacement imposé est un signal triangulaire, de fréquence f =.2 Hz (figure F.2a). L amplitude maximale du déplacement imposé est de 4 mm, ce qui correspond à un taux de cisaillement de 1%.

232 218 Annexe F Trois éprouvettes constituées d un même mélange de caoutchouc sont testées. Pour chacune de ces éprouvettes, les mesures sont faites lors du quatrième cycle de montée/descente en charge pour s affranchir de l effet Mullins (figure F.2b). Déplacement (mm) Déplacement imposé temps (s) Effort N Cycle d hystérésis à très basse fréquence, quatrième cycle Montee en charge Descente en charge Eprouvette 1 Eprouvette 2 Eprouvette γ (a) Déplacement imposé sur l armature mobile (b) Cycle d hystérésis obtenu lors du quatrième cycle de charge Fig. F.2: Courbe effort déplacement. Cas d un déplacement triangulaire de fréquence.2hz On observe sur la courbe (F.2b) les phénomènes suivants La dispersion au niveau des résultats expérimentaux est négligeable: les trois éprouvettes testées donnent sensiblement le même cycle d hystérésis. Nous prendrons donc comme essai quasi statique la moyenne des essais sur ces trois éprouvettes. Même àtrès basse fréquence, l effet d hystérésis n est pas négligeable: en effet, les courbes de montée et de descente en charge ne se superposent pas et il y a dissipation d énergie. Cet effet peut être dû soità une cellule viscoélastique très basse fréquence, soit à une source de dissipation non visqueuse, liée notamment aux forces de frottement entre les charges. Cette dernière hypothèse est l explication la plus communément proposée [2, 52]. Si l on exclut les premières valeurs expérimentales, qui sont dues au changement du signe de la sollicitation, la courbe statique en déplacement est quasiment linéaire pour un taux de déformation allant de de 2 % à 6 %, et ce aussi bien pour la courbe de montée en charge que pour la courbe de descente en charge. On commence à observer la rigidification due à la non linéarité géométrique au dela de 6% de déformation.

233 Annexe F 219 F.1.2 Excitation harmonique autour d une précharge On applique ensuite sur les mêmes éprouvettes des excitations sinusoidales autour d une configuration préchargée. Cette fois, le déplacement imposé est de la forme U(t) =U + δusin(2πft) (F.1) Ces essais dynamiques se font dans le sens des précharges croissantes: on impose le déplacement qui correspond au taux de précharge voulu. On mesure l effort statique correspondant àce déplacement avant de commencer à imposer le déplacement harmonique. Pour chaque niveau de précharge, on dispose de la mesure de cet effort statique. On impose successivement des taux de précharge de γ =, γ = 1%, γ = 2%, γ = 3%. Pour chacun de ces niveaux de précharge, l asservissement se fait ensuite sur l amplitude du déplacement sinusoidal imposé: on teste les valeurs suivantes de l amplitude: β =.1mm, β =.5mm, β =.1mm, β =.5mm, et β =1.mm. Pour chaque taux de cisaillement de précharge, on dispose ainsi de 5 mesures de l effort statique avant l application de l excitation sinusoidale, et ce pour chacune des 3 éprouvettes. Si l on superpose ces résultats à la courbe quasi statique vue précédemment, on constate que l effort mesuré ne se situe pas sur la courbe de montée en charge (voir figure F.3). Par ailleurs, il y a une dispersion très importante au niveau de la valeur de cet effort. 8 7 Effort (N) Hystérésis à f =.2 Hz Effort mesuré avant l excitation harmonique Taux de cisaillement γ Fig. F.3: Dispersion des mesures sur la courbe effort déplacement sur éprouvette de cisaillement. Superposition de l hystérésis mesurée à.2 Hz àl effortmesuré avant les essais dynamiques Cette dispersion est probablement due aux effets de relaxation. On retrouve une dispersion similaire pour la mesure du module dynamique:

234 22 Annexe F 65 6 pas de précharge éprouvette 1 éprouvette 2 éprouvette % de précharge éprouvette 1 éprouvette 2 éprouvette 3 Re (K) (N/mm) % de précharge 2% de précharge Im (K) (N/mm) % de précharge 2 % de précharge 45 3% de précharge % de précharge Fréquence Hz Fréquence Hz (a) Dispersion des mesures sur la partie réelle (b) Dispersion des mesures sur la partie imaginaire Fig. F.4: Dispersion des mesures sur 3 éprouvettes de cisaillement, amplitude =.1 mm On observe notamment une dispersion très importante pour l essai autour de la précharge nulle: en effet autour de l état non déformé, le matériau est très sensible au moindre écart en déplacement. La dispersion augmente ensuite avec la précharge, ce qui est probablement dû aux effets de relaxation du matériau. On a notamment un chevauchement des résultats expérimentaux pour 2% et 3% de précharge. En pratique, nous considérerons la moyenne des essais sur les 3 éprouvettes. F.1.3 Quelques remarques A partir de l essai à.2hz,onévalue numériquement la raideur tangente quasi statique, définie de la manière suivante K(ω )= F U Cette dérivée est évaluée numériquement pour chacun des N points expérimentaux. On peut alors comparer les valeurs numériques de la raideur dynamique pour plusieurs valeurs de la fréquence et de la précharge. Ces résultats expérimentaux sont résumés dans le tableau F.1 et sur la figure F.5. Ils concernent tous une amplitude de débattement de ±.1 mm

235 Annexe F % 2% 3%.2 Hz Hz Hz Hz % 2% 3% 1Hz Hz Hz Tab. F.1: Partie réelle (tableau a) et imaginaire (tableau b) de la raideur tangente en N/mm pour différents niveaux de précharge, amplitude de débattement =.1 mm Re(K) Hz 1 Hz 5 Hz 1 Hz Précharge (mm) Im(K) Hz 1 Hz 5 Hz 1 Hz Précharge (mm) (a) Evolution de la partie réelle du module en fonction de la précharge (b) Evolution de la partie imagianire du module en fonction de la précharge Fig. F.5: Evolution du module dynamique en fonction de la précharge àfréquence fixée, pour une amplitude de débattement de.1 mm On constate ainsi que la variabilité du module dynamique avec la fréquence est du même ordre de grandeur que la variabilité dumoduleaveclaprécharge (dans le domaine de variation de ces paramètres). En effet, àfréquence fixée on a en moyenne une augmentation de raideur de 23 % entre la précharge nulle et 3 % de précharge. Cette augmentation de raideur est en moyenne de 2 % entre 1 Hz et 1 Hz,àprécharge fixée (tableau F.1a). En ce qui concerne l amortissement, l influence de la précharge est également non négligeable. En effet, la partie imaginaire du module dynamique diminue en moyenne de 25 % entre et 3% de précharge, pour une fréquence donnée. A précharge fixée, la partie imaginaire augmente d environ 45% entre 1Hz et 1Hz. Ces premières constatations nous permettent de dire qu on ne peut pas négliger l influence de la précharge dans l évaluation du module dynamique. En ce qui concerne l évolution du module dynamique avec la fréquence, on constate que l augmentation du module dynamique entre.2 Hz et 1 Hz ( + 6% ) est plus importante que l augmentation du module entre 1 Hz et 1 Hz (+2%). Dans l identification des

236 222 Annexe F fonctions ne dépendantquedelafréquence, il faudra donc utiliser au moins une cellule très basse fréquence si on utilise un modèle de Maxwell généralisé. Nous avons signalé que les modèles fractionnaires étaient plus àmême de représenter cette forte variation de raideur pour les très faibles fréquences de mesure, le lissage par un modèle fractionnaire devrait donc donner de meilleurs résultats. F.2 Cas des essais de compression Afin de pouvoir caractériser le comportement en compression de l élastomère, on utilise les plots suivants (figure F.6) D = 18 mm L = 25 mm Fig. F.6: Eprouvette de de compression Ces plots sont constitués d un cylindre en élastomère vulcanisé de25mmdehauteur,et 18 mm de diamètre. Ces plots sont comprimés entre deux plaques de métal, de sorte qu une extrémité est fixe, et l autre se déplace de U(t) suivant l axe du plot. Comme pour les essais de cisaillement, des caractérisations quasi statique et dynamique autour d une précharge sont réalisées. F.2.1 Résultats expérimentaux pour un chargement quasi statique Ces essais sont faits à une fréquence de f =.1 Hz (figure F.7a). L amplitude maximale du déplacement imposé est de 7.5 mm, ce qui correspond à un taux de compression de 3%.

237 Annexe F Déplacement imposé 35 Cycle d hystérésis à très basse fréquence, quatrième cycle Déplacement (mm) Effort N éprouvette 1 o éprouvette 2 > éprouvette temps (s) γ (a) Déplacement imposé sur l armature mobile (b) Cycle d hystérésis obtenu lors du quatrième cycle de charge Fig. F.7: Courbe effort déplacement en compression. Cas d un déplacement triangulaire de fréquence.1hz Les mêmes remarques que dans le cas du cisaillement peuvent être faites àpartirdela courbe (F.7b), à savoir dispersion négligeable et hystérésis même àtrès basse fréquence. Le chargement de compression est de plus beaucoup plus fortement non linéaire que le chargement de cisaillement: les non linéarités géométriques sont en effet visibles dès 1% de précharge. F.2.2 Résultat expérimentaux pour les excitations sinusoidales autour d une précharge Ensuite, on réalise sur les mêmes éprouvettes des excitations sinusoidales autour d une configuration préchargée. Le déplacement imposé est conforme à(f.1),laprocédure expérimentale est la même que celle employée pour les essais de cisaillement, les taux de précharge imposés étant cette fois γ =5% γ = 1% et γ = 3%. Pour chacun de ces niveaux de précharge, on teste les valeurs suivantes de l amplitude de débattement imposé: β =.5mm, β =.1mm, β =.5mm, etβ =1.mm. Comme pour le cas du chargement du cisaillement, on peut constater que la relaxation des efforts n est pas vraiment maîtrisée. On observe en effet que l effort mesuré avant d imposer l excitation harmonique ne se situe pas sur la courbe de montée en charge quasi statique (figure F.8).

238 224 Annexe F 4 35 Effort mesuré avant l excitation harmonique 3 Effort (N) Hystérésis à f=.1 Hz Taux de compression γ Fig. F.8: Dispersion des mesures sur la courbe effort déplacement sur éprouvette de compression. Supersposition de l hystérésis mesurée à.1 Hz àl effortmesuré avant les essais dynamiques Les fonctions ne dépendantquedelaprécharge ne pourront donc pas être identifiées àpartir de l essai àtrès basse fréquence. On retrouve une dispersion similaire pour la mesure du module dynamique: % de précharge % de précharge Re (K) en N/mm % de précharge 1% de précharge Im (K) en N/mm % de précharge 1% de précharge 14 éprouvette 1 éprouvette 2 éprouvette Fréquence Hz 2 18 éprouvette 1 éprouvette 2 éprouvette Fréquence Hz (a) Dispersion des mesures sur la partie réelle (b) Dispersion des mesures sur la partie imaginaire Fig. F.9: Dispersion des mesures sur 3 éprouvettes de compression, amplitude = ±.1mm Cette dispersion augmente avec la précharge, on peut donc penser qu elle est due à l effet mémoire du matériau, et que les mesures sont faites avant d avoir relaxation complète.

239 Annexe F 225 F.2.3 Quelques remarques On cherche àévaluer dans quelle mesure la raideur dynamique est influencée lorsqu on applique une précharge. A partir de l essai àtrès basse fréquence, on évalue numériquement la raideur tangente quasi statique. Le tableau F.2 ainsi que les figures F.1 donnent les valeurs expérimentales du module, fonction de la précharge et de l amplitude 5% 1% 24% 3% 1 % 2% 3%.1Hz Hz Hz Hz Hz Hz Hz Tab. F.2: Partie réelle et imaginaire de la raideur tangente en N/mm pour différents niveaux de précharge, amplitude de débattement =.1 mm Hz 1 Hz 3 25 Re(K) N/mm Hz.1 Hz 1 Hz Im(K) en N/mm Hz 1 Hz 5 Hz 1 Hz Taux de compression γ Taux de compression γ (a) Evolution de la partie réelle du module en fonction de la précharge (b) Evolution de la partie imagianire du module en fonction de la précharge Fig. F.1: Evolution du module dynamique en fonction de la précharge àfréquence fixée, pour une amplitude de débattement de.1 mm Tout comme en cisaillement on trouve qu on ne peut pas négliger l influence de la précharge sur la variation du module dynamique. La préchargejoueeneffetunrôle tout aussi important que la fréquence dans l évolution du module dynamique. On a ainsi, àprécharge fixée, une augmentation de raideur d environ 25 % entre 1 Hz et 1 Hz sur la partie réelle. A fréquence fixée, cette augmentation de raideur est de 22 % entre 5 % et3 % de précharge.

240

241 Annexe G 227 Annexe G Exemple d identification du modèle hyperviscoélastique L étude menée au chapiter V a permis de valider la forme suivante pour le module dynamique autour d une configuration préchargée : K(ω, γ) =h 1 (γ)+h 2 (γ)g(ω) où les fonctions h 1 et h 2 dépendent uniquement de l énergie de déformation hyperélastique. En cisaillement, on avait par exemple (voir chapitre V) : h 1 (γ)(γ) = ll e γ2 (Ψ 1 +Ψ 2 ) h 2 (γ)(γ) = ll e [ Ψ1 ( γ 2 +2 ) +Ψ 2 ( γ 2 +4 )] ll e [ 2 γ 2 Φ 1 +Φ 2 ( 8 γ 2 +4γ 4) + Φ 4 ( 2 γ 6 +8γ 4 +8γ 2 ) + Φ 8 ( 1+2γ 2 ) ] où lesfonctionsψ k et Φ k correspondent aux dérivées de l énergie par rapport aux invariants. Leur expression est donnée en annexe D. Par exemple, dans le cas où l énergie de déformation hyperélastique est donnée par une loi polynomiale à l ordre 3 Ψ(I 1,I 1 )=c 1 (I 1 3) + c 1 (I 2 3) + c 2 (I 1 3) 2 + c 3 (I 1 3) 3 les expressions précédentes prédisent la forme suivante pour le module dynamique h 1 (γ) = ll e [ (c1 + c 1 ) γ 2 +2c 2 γ 4 +3c 3 γ 6] h 2 (γ) = ll e [ (c1 + c 1 ) ( 2+γ 2) + ( 12 γ 2 +2γ 4) c 2 + ( 3 γ 4 +3γ 6) c 3 ]

242 228 Annexe G L étude menée au chapitre V a permis de calculer les valeurs moyennes suivantes pour les fonctions f 1 (ω, γ) = h 1(γ) h 2 ) et f 2(ω, γ) = h 2(γ) h 2 ) :.8 1 f 1 (γ) γ f 2 (γ) γ Fig. G.1: Evolution de f 1 (γ) en fonction de la précharge Fig. G.2: Evolution de f 2 (γ) en fonction de la précharge On vérifie ainsi que la valeur de h 1 augmente effectivement avec la précharge, ce qui est en adéquation avec le modèle. On vérifie également que pour les niveaux de précharge qui nous intéressent, on a bien h 1 << h 2.Parcontre,lesvaleursainsidéterminées sont positives. Or, vue l expression analytique de h 1 donnée précédemment, il faudrait aller à des niveaux de déformation assez élevés avec un potentiel hyperélastique classique pour obtenir h 1 >. C est impossible pour une énergie type Néo-Hookéenne ou pour une énergie de Mooney Rivlin. Pour un modèle de Yeoh par exemple, il est nécessaire d avoir c 1 >, c 2 < etc 3 > pour avoir une énergie de déformation définie positive [36], et le comportement précédent ne peut être obtenu que pour des valeurs de c 2 très grandes devant c 1 ou c 3. En remarquant que pour les niveaux de déformation considérés, les valeurs de h 1 restent négligeables devant h 2,on peut dans un premier temps négliger cette contribution pour l identification des paramètres du modèle, du moins pour les niveaux de précharge dont nous disposons. Cette hypothèse conduit à 3% d erreur pour 1% de précharge, 7% d erreur pour 2%de précharge, et 9.5% d erreur pour 3% de précharge. Ceci est en accord avec le modèle dans le sens où la rigidité due àlapartie élastique h 1 joue un rôle de plus en plus important au fur et à mesure que la précharge augmente. G.1 Identification de la partie ne dépendant que de la précharge Une fois les fonctions h 1 et h 2 ainsi déterminées, le lissage des coefficients de la loi hyperélastique se fait par un algorithme de moindre carrés. En prenant en compte la remarque sur h 1, l identification se fera uniquement sur la fonction h 2 (γ). Dans le cas du cisaillement, la forme théorique complète est donnée par : h 2 (γ) = ll [ (c1 + c 1 ) ( 2+γ 2) + ( 12 γ 2 +2γ 4) c 2 + ( 3 γ 4 +3γ 6) ] c 3 e

243 Annexe G 229 On voit ainsi qu une forme Neo Hookéenne serait insuffisante pour reproduire le résultat expérimental de la figure G.2 (puisqu elle suppose c 1 >, et conduirait ainsi à une fonction h 2 croissante, ce quiestcontreditparlesrésultats expérimentaux dont nous disposons). On peut faire la même remarque àproposd unmodèle de Mooney Rivlin (en effet lors de l identification d un tel modèle, on a en général c 1 <c 1, ce qui conduirait au même problème que dans le cas de l énergie de déformation Néo Hookéenne). Le modèle polynomial avec le plus faible nombre de coefficients possibles nous a ainsi semblé être le modèle de Yeoh, et l identification qui suit correspond àun tel modèle. Remarquons toutefois que les résultats d identification sont forcément approximatifs, puisque nous ne disposons que de 4 niveaux de précharge, et qu il est donc possible de trouver plusieurs polynomes passant par ces points. La démarche d identification est quand même menée jusqu au bout, et la fonction h 2 est approchée à l aide du modèle de Yeoh de coefficients c 1 =.19 MPa, c 2 =.2 MPa et c 3 =.5 MPa h 2 (γ)/h 2 () = identifié o = expérimental γ Fig. G.3: Identification de la fonction ne dépendant que de la précharge par un modèle hyperélastique de Yeoh On vérifie de plus qu avec cette identification, on retrouve bien l hypothèse h 1 (γ) << h 2 (γ), etquelerapport h 1(γ) augmente avec la précharge: h 2 (γ) Précharge 1 % 2 % 3 % h 1 h Tab. G.1: Evolution de h 1 h 2 identifié enfonctiondelaprécharge G.2 Identification de la partie ne dépendant que de la fréquence Une fois connus les paramètres de la loi hyperélastique, la fonction G(ω) est identifiée en minimisant l écart entre les valeurs théoriques et expérimentales pour le module dynamique en

244 23 Annexe G fonction de la précharge et de la fréquence. Plusieurs formes de la fonction G(ω) sonttestées: G(ω) =1+(iω) n b (G.1) pour un modèle de Kelvin Voigt fractionnaire, G(ω) = 1+(iω)n b 1 1+(iω) n b 2 (G.2) pour un modèle de Zener fractionnaire, et G(ω) =1+ k 1 1 k g k iωg k iω + 1 τ k (G.3) pour un modèle de Maxwell généralisé. On voit ainsi qu on peut reproduire le comportement en fréquence et en précharge de la pièce mesurée, l identification en fréquence donnant les résultats les plus satisfaisants étant celle utilisant un modèle de Zener fractionnaire: 7 Pas de précharge 15 Pas de précharge 6 Re K (N/mm) expérimental Zener KV Maxwell Im K (N/mm) 1 5 expérimental Zener KV Maxwell fréquence (Hz) fréquence (Hz) (a) Partie rélle à%deprécharge (b) Partie imaginaire à%deprécharge Fig. G.4: Identification de la fonction G(ω), comparaison à 1% de précharge

245 Annexe G % de précharge 15 1% de précharge 6 Re K (N/mm) expérimental Zener KV Maxwell fréquence (Hz) Im K (N/mm) 1 5 expérimental Zener KV Maxwell fréquence (Hz) (a) Partie rélle à 1% de précharge (b) Partie imaginaire à 1% de précharge Fig. G.5: Identification de la fonction G(ω), comparaison à 1% de précharge 7 2% de précharge 15 2% de précharge 6 Re K (N/mm) expérimental Zener KV Maxwell fréquence (Hz) Im K (N/mm) 1 5 expérimental Zener KV Maxwell fréquence (Hz) (a) Partie rélle à 2% de précharge (b) Partie imaginaire à 2% de précharge Fig. G.6: Identification de la fonction G(ω), comparaison à 2% de précharge

246 232 Annexe G 7 3% de précharge 15 3% de précharge Re K (N/mm) expérimental Zener KV Maxwell Im K (N/mm) 1 5 expérimental Zener KV Maxwell fréquence (Hz) fréquence (Hz) (a) Partie rélle à 3% de précharge (b) Partie imaginaire à 3% de précharge Fig. G.7: Identification de la fonction G(ω), comparaison à 3% de précharge