STATISTIQUES. La population est l ensemble des individus sur lesquels portent l étude statistique

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1 Chapitre 4 : STATISTIQUES I Définitions et vocabulaire des statistiques La population est l ensemble des individus sur lesquels portent l étude statistique Le caractère (ou variable statistique) d une série statistique est une propriété étudiée sur chaque individu. Lorsque le caractère ne prend que des valeurs numériques, on dit qu il est quantitatif. Sinon, on dit qu il est qualitatif. Quand il est quantitatif, il est dit discret s il ne prend que des valeurs isolées et il est dit continu dans le cas contraire, et dans ce cas on effectue souvent un regroupement de valeurs par classes. Exemple : Valeurs possibles du Situation étudiée Population Caractère caractère Type du caractère note des élèves (en nb entier de 0 à 0) de la classe de nde Prix des appartements dans Paris Couleur des yeux des Français L avis des élèves du lycée NDB sur le self Les élèves de la classe de seconde La note 0 ; ; ; ; 0 Quantitatif discret Les appartements ; Le prix de Paris Quantitatif continu Les français La couleur des yeux Bleu, marron Qualitatif Les élèves de NDB ayant mangé au self Leur avis sur le self Bon ; Très bon Qualitatif A chaque valeur (ou classe) est associée un effectif n : c est le nombre d individus associés à cette valeur. L effectif cumulé croissant (respectivement décroissant) d une valeur est la somme des effectifs des valeurs qui lui sont inférieures (respectivement supérieures) ou égales. De même, à chaque valeur (ou classe) est associée une fréquence f : c est la proportion d individus associée à cette valeur. f est un nombre compris entre 0 et, que l on peut écrire en pourcentage. La fréquence d une valeur (ou classe) est donnée par la formule : Fréquence = Effectif associé à la valeur Effectif total La fréquence cumulée croissante (respectivement décroissante) d une valeur est la somme des fréquences des valeurs qui lui sont inférieures (respectivement supérieures) ou égales.

2 Exemple : Voici la série des notes obtenues par une classe à un devoir. Notes Total Effectif ECC / ECD / Fréquence FCC / FCD / II Représentation graphique d une série statistique a) Pour une série statistique à caractères quantitatifs On utilise principalement deux types de représentations. Pour les caractères discrets, on peut utiliser les diagrammes en «bâtons». La hauteur de chaque bâtons est alors proportionnelle à l effectif (ou à la fréquence) associée à chaque valeur. Exemple : Voici le diagramme en bâtons de la série statistique étudiée dans l exemple précédent. Lorsque le caractère étudié est quantitatif et continu et que les valeurs sont regroupées en classe, on peut représenter la série par un histogramme : l aire de chaque rectangle est alors proportionnelle à l effectif (ou à la fréquence) associée à chaque classe. Lorsque les classes ont la même amplitude, c est la hauteur de chaque rectangle qui est proportionnelle à l effectif.

3 Exemple : Voici deux séries statistiques et les histogrammes associées à ces séries. ) Classe [0 ; 0[ [0 ; 0[ [0 ; 30[ [30 ; 40[ Effectif 4 3 Amplitude de la classe On remarque que l amplitude de chaque classe est la même. Dans ce cas, tous les rectangles de l histogramme ont la même base. Ainsi, pour que l aire soit proportionnelle à l effectif, il suffit que la hauteur du rectangle le soit. L histogramme associé est donc : ) Classe [0 ; 00[ [00 ; 50[ [50 ; 50[ [50 ; 400[ [400 ; 700[ Effectif Amplitude de la classe Ici, toutes les classes n ont pas la même amplitude. Il faut donc que l aire des rectangles soit proportionnelle à l effectif et non la hauteur. Pour cela : - On commence par choisir une unité pour l axe des abscisses (valeur des caractères) et une unité d aire. - On détermine la hauteur de chaque rectangle connaissant son aire et sa longueur de base Unités : - cm pour 00 en abscisses - cm² pour un effectif de 0 Classe [0 ; 00[ [00 ; 50[ [50 ; 50[ [50 ; 400[ [400 ; 700[ Effectif Amplitude de la classe Longueur de la base en cm Aire du rectangle en cm² Hauteur en cm ,5, , hauteur rectangle = aire base

4 b) Autre représentation Pour représenter une série statistique, nous pouvons aussi utiliser des diagrammes circulaires. Dans ce type de diagramme, les aires ou les angles des secteurs sont proportionnels aux effectifs ou aux fréquences. On a donc pour un diagramme circulaire : Effectif de la valeur Angle du secteur Effectif total 360 Remarque : Pour un diagramme semi-circulaire, l effectif total correspond à un angle de 80 Exemple : La série statistique suivante nous donne la fréquence (en pourcentage) de l âge des élèves de terminale dans un lycée. Représenter son diagramme circulaire. Age total f,5 3,5 37,5 7, angle III Les indicateurs d une série statistique a) Les indicateurs de position ) La moyenne Définitions : - La moyenne arithmétique d une série de valeurs d une variable statistique est égale à la somme de ces valeurs divisé par leur nombre. On la note x. - Si pour une population donnée, on a p valeurs du caractère x, x,, x p d effectifs respectifs n, n,, n p alors la moyenne pondérée de cette série est donnée par : x = x n + x n + x 3 n x p n p n + n + n n p Exemple : Si dans une classe, 4 élèves ont obtenu la note de 8, 3 élèves ont obtenus la note de 0 et 3 élèves ont obtenus la note de 3. Quelle est la moyenne? Note Effectif x = = 0,

5 Propriété : Si pour une population donnée, on a p valeurs du caractère x, x,, x p de fréquences respectives f, f,, f p alors la moyenne pondérée de cette série est donnée par : x = x f + x f + x 3 f x p f p Exemple : Si dans une classe, 5% élèves ont obtenu la note de 8, 30% élèves ont obtenu la note de 0 et 45% élèves ont obtenu la note de 3. Quelle est la moyenne? Note Fréquence 0,5 0,3 0,45 x = 8 0, , , 45 = 0, 85 ) La médiane Définition : La médiane d une série statistique est la valeur du caractère qui partage l effectif total en deux parties égales, c'est-à-dire telle qu il y ait autant d observations ayant une valeur supérieure ou égale à la médiane que d observations ayant une valeur inférieure ou égale à la médiane. On la note souvent Me Dans une série statistique, il y a donc au moins 50% des observations qui sont inférieures ou égales à la médiane et au moins 50%. des observations qui sont supérieures ou égales à la médiane Méthode : - Si le caractère est quantitatif continu, pour trouver la médiane nous traçons la représentation graphique des fréquences (ou effectifs) cumulées croissantes et la médiane est la valeur du caractère correspondant à une fréquence cumulée croissante de 0,5. - Si le caractère est quantitatif discret, on distingue deux cas : - Si l effectif N est impair alors la médiane est la N+ ème valeur. - Si l effectif N est pair alors la médiane est la moyenne entre la N ème valeur et N + ème valeur. Exemple : Donner la médiane de chacune des 3 séries statistiques suivantes. ) On donne la série de note : 7 ; 8 ; 8 ; 9 ; ; ; ; 5 ; 9 Ici, le caractère est quantitatif discret. Il y a 9 notes donc l effectif total est de 9 donc impair. N+ = 9+ = 5 Donc la médiane sera la valeur de la 5ème valeur de la série donc Me=

6 ) Note Effectif ECC Ici, le caractère est quantitatif discret. L effectif total est de 80 donc pair. N = 80 = 40 et N 80 + = + = 4 La médiane est donc la moyenne entre la 40ème et la 4 ème valeur Donc Me = +3 = 3) Valeur [0 ; 5[ [5 ; 5[ [5 ; 5[ [5 ; 30[ [30 ; 40[ Effectif Fréquence 0,08 0,6 0,44 0, 0, FCC 0,08 0,4 0,68 0,88 A Je fais la représentation graphique des FCC (ou ECC) B- Je cherche l antécédent de 0,5 Abs : Valeur de la série Ord : FCC (ou ECC) Donc Me 3) Les quartiles Définition : - Dans une série statistique, le premier quartile est la valeur du caractère tel qu au moins 5% des observations y sont inférieures ou égales. On le note Q. - Dans une série statistique, le troisième quartile est la valeur du caractère tel qu au moins 75% des observations y sont inférieures ou égales. On le note Q 3.

7 Méthode : - Si le caractère est quantitatif continu, pour trouver les quartiles nous traçons la représentation graphique des fréquences (ou effectifs) cumulées croissantes alors le premier quartile est la valeur du caractère correspondant à une fréquence cumulée croissante de 0,5 et le troisième quartile est la valeur du caractère correspondant à une fréquence cumulée croissante de 0,75. - Si le caractère est quantitatif discret, alors pour une série statistique à N observation - Nous pouvons utiliser les fréquences cumulées croissantes comme précédemment pour trouver les deux quartiles - Nous prenons la valeur du N 0,5ème (respectivement.. N 0,75ème) caractère arrondie à l unité par excès pour trouver Q (respectivement Q 3 ) Exemple : Donner les quartiles de chacune des 3 séries statistiques suivantes. ) On donne la série de note : 7 ; 8 ; 8 ; 9 ; ; ; ; 5 ; 9 Ici, l effectif total est de 9. Or 0,5 9=,5 donc Q est la 3 ème valeur de la série donc Q = 8 Et 0,75 9=6,75 donc Q 3 est la 7 ème valeur de la série donc Q 3 = ) Note Effectif ECC Ici, l effectif total est de 80. Or 0,5 80=0 donc Q est la 0 ème valeur de la série donc Q = 0 Et 0,75 80=60 donc Q 3 est la 60 ème valeur de la série donc Q 3 = 3 3) Valeur [0 ; 5[ [5 ; 5[ [5 ; 5[ [5 ; 30[ [30 ; 40[ FCC Voici la représentation graphique des FCC associée : donc Me - Pour lire la médiane, je cherche l antécédent de 0,5 - Pour lire le premier quartile, je cherche l antécédent de 0,5 donc Q 5, 5 - Pour lire le troisième quartile, je cherche l antécédent de. 0,75 donc Q 3 6, 5

8 b) Les indicateurs de dispersion ) L étendue Définition : L étendue d une série statistique est la différence entre la plus grande valeur de la série et la plus petite valeur de la série. On la note souvent e Exemple : Donner l étendue des deux séries suivantes : ) 5 ; 8 ; 7 ; 9 ; 7 ; 9 ; 0 ; 5 ; 4 ; ; 4 ; 5 ; 4 ; ; 6 ; 4 ; 5 ; ; ; 3 ; 5 ; 0 ; ; 3 e = 0 = 8 donc l étendue de cette série est de 8 ) Note Effectif e = 9 5 = 4 donc l étendue de cette série est de 4 ) L écart et l intervalle interquartile Définition : quartile - L écart interquartile d une série statistique est la différence entre le troisième quartile et le premier - L intervalle interquartile d une série statistique est l intervalle [Q ; Q 3 ] Exemple : Calculer l écart et l intervalle interquartile de la série suivante ( les quartiles ont déjà été calculer dans l exemple de la définition des quartiles) Note Effectif On a déjà vu que Q = 0 et Q 3 = 3 or Q 3 Q = 3 0 = 3 donc l écart interquartile est de 3. L intervalle interquartile est l intervalle [Q ; Q 3 ] donc, ici, [0 ; 3]