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1 Activité de recherche : Où sont les prématurés? A la maternité "Bon Jour", il y a eu 57 naissances en janvier 2015; les tailles (en cm) des nouveaux-nés sont données dans le tableau ci contre. A la maternité "Bien Naître", une étude statistique sur la taille (en cm) de 64 nouveau-nés de ce même mois, a donné les indicateurs ci-contre. STATISTIQUES Maternité "Bon Jour" Taille 46 47, , ,5 50 Effectif Taille 50, , ,5 53 Effectif Maternité "Bien Naître" Min Q 1 Médiane Q 3 Max Moyenne Écart -type , ,3 2,62 Parmi les deux maternités "Bon Jour" et "Bien Naître", une seule possède un service pour les naissances prématurées. Préciser laquelle en justifiant la réponse. On reviendra au cours du chapitre pour exploiter d autres pistes. I Rappels : moyenne, médiane et quartiles : Exercice 1. : Le service de contrôle d une usine de meubles mesure la longueur en cm d un élément. On a obtenu les mesures suivantes : Ces mesures constituent une série statistique. La longueur de l élément est le caractère de la série. (Il s agit d un caractère quantitatif puisqu il est mesuré par un nombre). L ensemble des mesures effectuées est appelé la "population". Organiser ces données dans le tableau suivant : Valeurs Effectifs Effectifs cumulés croissants Calculer la moyenne m et la médiane Me de cette série. Déterminer le 1er quartile Q 1 et le 3ème quartile Q 3 et en déduire l écart interquartile. Que trouve-t-on pour ces valeurs en utilisant les fonctions statistiques d une calculatrice? Statistiques (1ESL) Page 1/7

2 Définition : Soit une série statistique ordonnée dans l ordre croissant contenant p valeurs : x 1 x 2 x 3 x p. La moyenne de cette série, notée m est le nombre réel : m = n 1x 1 +n 2 x n p x p n 1 +n n p. Si on appelle f i la fréquence de x i, on a m = f 1 x 1 +f 2 x f p x p. On appelle médiane de cette série la plus petite valeur Me du caractère étudiée telle qu au moins 50 % des valeurs observées soient inférieures à Me. En pratique, Me est la valeur de la série dont le rang est le plus petit entier supérieur ou égal à p 2. Lorsque les données de la série sont rangées dans l ordre croissant. Le premier quartile de la série est la plus petite valeur Q 1 des termes de la série pour laquelle au moins un quart (25%) des données sont inférieures ou égales à Q 1. Le troisième quartile de la série est la plus petite valeur Q 3 des termes de la série pour laquelle au moins trois quarts (75%) des données sont inférieures ou égales à Q 3. L interquartile intervalle est l intervalle [Q 1 ;Q 3 ]. L écart interquartile est l amplitude de l intervalle [Q 1 ;Q 3 ], c est-à-dire le nombre Q 3 Q 1. Remarque(s) La médiane est une valeur du caractère qui partage la population en deux populations qui ont sensiblement le même effectif. La médiane n est pas sensible aux valeurs extrêmes de la série statistique : si les valeurs de x 1 et de x p changent, la médiane est, elle, inchangée. EXEMPLES : - Si la série comporte un nombre impair de termes la médiane correspond à une valeur de la série. 110; 110; 113; 113; 113; 115; 115; 116; 117; 120; 120; 121; 121. Cette série a pour médiane 115. Ici il y a 13 valeurs, 13/2 = 6,5; la médiane est la 7ème valeur de cette série ordonnée. 13/4 = 3,25 ; Q 1 est la 4ème valeur de cette série ordonnée : Q 1 = /4 = 3,25 et 3 3,25 = 9,75 ; Q 3 est la 10ème valeur de cette série ordonnée : Q 3 = Si la série comporte un nombre pair de termes la calculatrice donne comme médiane la demi-somme de deux valeurs. 20; 20; 21; 21; 23; 23; 24 ; 24; 25; 26; 26; 30. Cette série a pour médiane 23,5. Ici il y a 12 valeurs, 12/2 = 6 ; la médiane est la 6ème valeur de cette série ordonnée; soit 23. Ces deux valeurs, bien que différentes, ne contredisent pas la définition de la médiane, c est-àdire qu il y a au moins 50% des valeurs de la série ordonnée qui lui sont inférieures ou égales. Statistiques (1ESL) Page 2/7

3 Exercice 2. : Lors d un test sur 215 élèves de première d un lycée, on a obtenu la répartition suivante des notes (évaluation sur 10 points). Notes Effectifs Compléter ci-dessous le tableau des fréquences et des fréquences cumulées croissantes (les résultats seront arrondis au millième près). Notes Fréquences Fréquences cumulées croissantes 2. Quel est le pourcentage des élèves ayant une note inférieure ou égale à 8? 3. (a) Calculer la moyenne m et la médiane Me de cette série. (b) Déterminer le 1er quartileq 1 et le 3ème quartileq 3. En déduire l écart interquartile. (c) Que trouve-t-on pour ces valeurs en utilisant le mode statistique d une calculatrice? 4. Représenter la série par un diagramme à barres. Exercice 3. : Une station-service a noté les achats de Gazole pour une journée donnée. Les résultats, répartis en classes (intervalles), sont donnés dans le tableau ci-dessous. Volume en ]0;10] ]10;20] ]20;30] ]30;40] ]40;50] ]50;60] ]60;70] ]70;80] ]80;90] ]90;100] litres Nombre de clients Effectifs cumulées croissantes Fréquences cumulées croissantes 1. Calculer le volume moyen acheté par un client.(on utilisera pour calculer ce volume moyen le centre de chacune des classes et on arrondira le résultat au dixième). 2. (a) Compléter, dans le tableau, la ligne des effectifs cumulés croissants et la ligne des fréquences cumulées croissantes (à 10 3 près). Tracer la courbe des fréquences cumulées croissantes. (b) En utilisant le graphique de la question précédente, déterminer la valeur de la médiane, du 1er quartile et du 3ème quartile de cette série. Statistiques (1ESL) Page 3/7

4 Propriétés de la moyenne : On considère un caractère quantitatif statistique X. 1. Si sur une population d effectif N 1 la moyenne de X et X 1 et sur une population d effectif N 2 disjointe de la première la moyenne est X 2, alors la moyenne de X sur la réunion de ces populations est N 1 X 1 +N 2 X 2 N 1 +N 2 2. Si on fait subir aux valeurs prises par X la fonction affine x ax+b, alors la moyenne de X subit la même transformation. Exercice 4. Dans une classe de 30 élèves, la moyenne à un contrôle et de 12/20. Dans une classe de 28 élèves, la moyenne est de 12,5/20. Quelle est la moyenne dans le groupe formé des 58 élèves? Exercice 5. On relève sur un échantillon les valeurs suivantes : 15; 17; 23; 29; 30; 32. Calculer la moyenne de ces valeurs. On décide par un procédé de doubler ces valeurs et d enlever 5 unités. Calculer la nouvelle moyenne. II Variance, écart type : On considère une série statistique, de moyenne m, donnée par le tableau suivant : Valeurs x 1 x 2 x p Effectifs n 1 n 2 n p La variance de cette série, notée V est le nombre réel : V = n 1(x 1 m) 2 +n 2 (x 2 m) n p (x p m) 2 n 1 +n n p. Si on appelle f i la fréquence de x i, on a V = f 1 (x 1 m) 2 +f 2 (x 2 m) f p (x p m) 2. L écart-type de cette série est : σ = V. Remarque(s) : - L écart-type permet d avoir une idée de la façon dont les valeurs de la série s écartent par rapport à la moyenne. C est une mesure de dispersion (comme l écart interquartile). Un écart-type faible correspond à une série concentrée autour de sa moyenne. - Les calculs de moyenne, de variance et d écart-type sont, pour des séries prenant un grand nombre de valeurs, des calculs compliqués. Mais ils sont facilement réalisés par les calculatrices utilisées en mode statistique et les ordinateurs. Exercice 6. On considère la série : x i Effectifs n i Calculer sa moyenne m. 2. Compléter le tableau suivant et en déduire la variance V et l écart-type σ de la série. x i Effectifs n i (x i m) n i (x i m) 2 3. Retrouver les résultats des questions précédentes en utilisant le mode statistique d une calculatrice. Statistiques (1ESL) Page 4/7

5 Consulter les bons indicateurs : - Moyenne et médiane mesurent la tendance centrale d une série. - Étendue, écart interquartile, écart-type en mesurent la dispersion. Exercice 7. Reprendre l activité de recherche et compléter le tableau suivant : Maternité Tendance centrale Dispersion Série BJ Me=... Étendue e=...; Q 3 Q 1 =... "Bon Jour" m=... σ =... Série BN Me =... Étendue e =...; Q 3 Q 1 =... "Bien Naître" m =... σ =... Que peut-on en déduire? III Diagramme en boîte : Soit une série statistique ordonnée contenant p valeurs : x 1 x 2 x 3 x p. Définition [Déciles] : Le premier décile d une série statistique est la plus petite valeur prise par la série telle que...% au moins des valeurs de la série lui soient inférieures ou égales. On note D 1 cette valeur. Le deuxième décile d une série statistique est la plus petite valeur prise par la série telle que...% au moins des valeurs de la série soient inférieures ou égales. On note D 2 cette valeur.... Le neuvième décile d une série statistique est la plus petite valeur prise par la série telle que...% au moins des valeurs de la série lui soient inférieures ou égales. On note D 9 cette valeur. En pratique, D 1 est la valeur de la série dont le rang est le plus petit entier supérieur ou égal à p, et D 10 2 la valeur dont le rang est le plus petit entier supérieur ou égal à 2p etc. 10 On appelle écart interdécile le nombre D 9 D 1. Remarque(s)Dans une série statistique, on peut donc calculer... déciles. L écart interdécile contient au moins...% de la population. Exercice 8. Déterminer D 1 et D 9 pour la maternité "Bon Jour". Exercice 9. On peut aussi calculer les centiles d une série statistique : proposer une définition du 60e centile. Comment appelle-t-on notamment le 50e centile? le 75e? le 90e? Statistiques (1ESL) Page 5/7

6 Définition [Boîte à moustaches] : C est un diagramme permettant de résumer la dispersion d une série statistique autour de sa médiane. Il en existe de deux sortes : 1. On veut représenter l ensemble des données : Min. Q 1 Médiane Q 3 Max On choisit d ignorer les valeurs de la série statistique inférieures au premier décile et supérieures au 9e décile : D 1 Q 1 Médiane Q 3 D On place alors parfois des points représentant les valeurs minimales et maximales observées dans la série. Exercice 10. Réaliser les diagrammes en boites pour les deux maternités. Exercice 11. Une machine produit des pièces dont le diamètre doit être de 5 cm. On observe malgré tout de petites différences sur les diamètres. Pour savoir si la machine est bien réglée et fonctionne correctement, on observe un échantillon de 40 pièces et on obtient les résultats suivants : La machine est correctement réglée si : - environ 95% des données de l échantillon appartiennent à l intervalle [m 2σ;m+2σ], où m = 5 est la moyenne théorique et σ est l écart type de l échantillon. - environ 68% des données de l échantillon appartiennent à l intervalle [m σ;m+σ]. La machine est-elle bien réglée? Statistiques (1ESL) Page 6/7

7 Exercice 12. Lors d une étude clinique, on a constitué deux groupes A et B, de patients de plus de 30 ans. On a donné un médicament contre le cholestérol au groupe A et un placébo au groupe B. Voici les résultats d analyse du taux de cholestérol en g/l pour chaque groupe. Groupe A : Groupe B : En représentant les diagrammes en boite associés aux deux séries, comparer l efficacité du médicament par rapport au placébo. Exercice 13. On considère l algorithme suivant : Variables : n, i sont des nombres entiers naturels. x 1 ; x 2 ;...; x n est une liste de nombres réels S ; et m sont des nombres réels Entrée : Saisir n, x 1 ; x 2 ;...; x n Traitement : Affecter à S la valeur 0 Pour i allant de 1 à n, Affecter à S la valeur S +xi Fin Pour Affecter à m la valeur S n 1. Faire fonctionner cet algorithme avec les valeurs n = 5 ; et la liste 8; 12; 5; 9; Que fait cet algorithme? 3. Compléter-le afin qu il calcule et affiche la variance et l écart-type de cette série. Sortie : Afficher m Statistiques (1ESL) Page 7/7