1 Interféromètre de FABRY-PEROT. Optique Ondulatoire. Chapitre 7 Interférences à ondes multiples. 1.1) Présentation de l interféromètre

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1 Optique Ondulatoire Plan du cours [1] Aspect ondulatoire de la lumière [2] Interférences à deux ondes [3] Division du front d onde [4] Division d amplitude [5] Polarisation [6] Diffraction [7] Interférences à ondes multiples 1 1 Interféromètre de FABRY-PEROT 1.1) Présentation de l interféromètre S I 0 Réflexion en intensité : Transmission en intensité : Milieu 1 n Milieu 2 Milieu 1 e i r T 3 I L J r T 2 R r i K T 2 R T 2 R 3 Faces traitées En transmission toutes les ondes ont une amplitude comparable Rq: comme pour la lame, les interférences sont localisées à l infini 2

2 1.2) Différence de marche entre deux rayons successifs S I 0 i J Si: Différence de marche entre lesrayons3et2: n e r I r r K L i 2 3 Si onobtientlemêmerésultatà2πprès ) Calcul de l intensité de l onde transmise Calcul du champ transmis: Onde incidente: Déphasage initial: Suite des ondes transmises: 4

3 Onde résultante: or On obtient finalement: 5 Interprétation graphique: ϕ = ϕ = 1.2 Im( a) ϕ = ϕ = 2 ϕ = Re( a) 6

4 Calcul de l intensité transmise: 7 En utilisant la conservation de l énergie: Ona: Enposant: On obtient l expression de l intensité: Remarque : la fonction est appelée fonction d AIRY 8

5 1.4) Etude de la fonction d AIRY Etudedelavisibilitédesfranges: Le maximum d intensité est obtenu lorsque le dénominateur est minimal: Le minimum d intensité est obtenu lorsque le dénominateur est maximal Oncalculealorslavisibilité desfrangespar: Soit encore: 9 avec: Onobtient: 1,0 0,8 0,6 V 0,4 0,2 0,0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 R 10

6 Représentation graphique de la fonction d AIRY: 1,0 0,8 I/I 0 0,6 0,4 0,2 R=0.04 R=0.2 R=0.4 R=0.85 0, ϕ 11 Largeurdespicsdelafonctiond AIRY: Dans ce paragraphe, on se limite aux valeurs de réflectivité élevées Les maxima d intensité sont obtenus pour: On appelle la largeur des pics de la fonction d AIRY L intensité transmise vaut pour: 12

7 Le dénominateur de la fonction d AIRY fait intervenir la quantité: ainsi: 13 On obtient finalement l expression de la largeur des pics de la fonction d AIRY: Remarque : plus la réflectivité est élevée, plus les pics de la fonction d AIRY sont fins. 14

8 1.5) Figure d interférences Expression de l intensité en fonction des paramètres géométriques du système: On obtient alors une intensité qui dépend de l intermédiaire de. l angle d incidence par On observe alors des franges d égales inclinaisons sous forme d anneaux concentriques. Ces anneaux sont localisés à l infini, on les observe au foyer d une lentille de focale. Rayondum ième anneau: 15 Illustration: R = 0.1 V = 0.20 R = 0.2 V = 0.38 R = 0. 4 V = mm R = V = mm 16

9 1.6) Filtre FABRY-PEROT Supposons maintenant que l on éclaire l interféromètre avec une onde plane monochromatique en incidence normale par exemple. Photodiode ΣOnde plane, λ 0 La question que l on se pose est à quelle condition l onde incidente est transmise par le filtre FABRY-PEROT. C est-à-dire pour quelle longueur d onde l anneau centrale (seul anneau observé) est il brillant? 17 Fonction de transfert du filtre: La fonction de transfert du filtre est périodique. La période est appelée intervalle spectral libre(isl): 18

10 Représentation de la fonction de transfert normalisée: 1,0 ISL 0,8 I/I 0 0,6 δf 0,4 0,2 0, f/isl 19 On obtient donc un filtre de largeur : En utilisant les résultats précédents: On définit alors la finesse du résonateur: Onpeutalorscalculerlalargeurdesrésonancespar: 20

11 Commeenélectronique,ondéfinitlefacteurdequalitédufiltrepar: Ainsi: D où Exemple: ) Résonateur FABRY-PEROT Remarque : on se limite au cas de l incidence normaleet d un interféromètre vide. a 0 a+ a ϕ 1 =ϕ/2 a r a x = 0 x = e x Apartirdel expressionduchamptransmisonpeutécrire: 22

12 Lechamptotalinterneestdonnépar: 100 I int /I ,1 0,01 Temps de stockage de l énergie: 1E-3 1E-4 1E-5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 x en µm ϕ = 0 [2π] et F = 100 ϕ = π/4 [2π] et F = 100 ϕ = 0 [2π] et F = 20 La densité d énergie interne est proportionnelle à la finesse. 23 Illustration du«stockage d énergie» Microcavité FABRY-PEROT: a 0 a r a in a Miroir 1 Miroir 2 x 24

13 1.8) Applications Exemple 1: Spectrométrie(exemple traité en TP S3) Principe: balayage des fréquences de résonances d une cavité FABRY-PEROT Si on fait varier très faiblement la longueur de la cavité FABRY-PEROT : avec et Les fréquences de résonances s écrivent maintenant : 25 Fabry-Pérot d analyse d ISL connu Photodiode U(t) Laser à analyser Spectre du Laser : f? f e(t) PZT Générateur HT V(t) Oscilloscope R=65% : LASER Résonances Longueur de la cavité e(t) : Signal transmis par la cavité U(t) : 26

14 R=95% : 27 Spectre mesuré dans le domaine temporel : ISL f t La connaissance de ISL nous permet de calculer f par une simple règle de trois La résolution δf est donnée par la finesse des pics de résonance du Fabry-pérot d analyse Exemple:pour un ISL de 7.5 GHz et une finesse de 100 on obtient : δf=7.5 GHz/100=75 MHz Si l on suppose que la fréquence optique vaut f 0 = Hz, on a : δf/f 0 = !! 28

15 Exemple2:LELASER Oscillateur Electronique Oscillateur Optique Energie Energie R max R min Gain V s Gain I s Rétroaction LASER 29 2 Réseaux de Diffraction 2.1) Description d un réseau de diffraction y a N motifs x Motif périodique Définition :pupille diffractante présentant une périodicité spatiale (de période a) dans une seule direction (ici x). 30

16 2.2) Calcul de l intensité diffractée par le réseau Déphasage ϕentre deux rayons successifs x Les points Oet P sont sur le même plan d onde : a θ i P P θ i θ P θ Les points Oet P sont sur le même plan d onde : S,θ i O z M,θ Donc 31 x a θ i P P θ i θ P θ O z Ainsi : S,θ i M,θ 32

17 Amplitude diffractée totale Réseau Expression de la p-ième onde partielle diffractée : N a N Amplitude totale :somme des N ondes interférant à l infini : p a p 2 1 Onde incidente dans la direction θ i a 2 a 1 Onde diffractée dans la direction θ 33 L amplitude est la somme des termes d une suite géométrique de raison : Finalement : 34

18 Intensité diffractée totale Intensité lumineuse due aux interférences à N ondes : Soit : Et en tenant compte de la largeur de chaque fente : ) Figure de diffraction La figure de diffraction présente des maxima d autant plus fins que N est grand. Image géométrique : Diffraction par une fente 0.6 I/I Diffraction par le réseau θ en degrés 36

19 Les maxima de la figure de diffraction sont obtenus pour : Rayon unité λ 0 a Construction graphique permettant d obtenir les directions des maxima de diffraction. θi θ Les directions de diffraction dépendent de la longueur d onde. Le réseau est dispersif ) Application à la spectroscopie Dispersion d un faisceau polychromatique par un réseau : λ 1 <λ 2 <λ 3 λ 1 k = +1 λ 1 a k = 0 Faisceau incident λ 1 λ2,, λ 3 θi λ 2 λ 3 a a λ λ 1 λ 2 λ 3 1 λ2,, λ 3 k = 1 réseau λ 3 λ 1 λ 2 k = 2 38

20 Illustration k =0 1.0 rouge λ k =+1 3 = 633nm vert λ 2 = 514nm 0.8 bleu λ 1 = 440nm I/I k = k = θ en degrés 39 Pouvoir de résolution d un spectromètre à réseau : plus petit écart spectral discernable ordre de diffraction considéré Exemple : Doublet du sodium : λ 1 =589nm et λ 2 =589.6nm I/I λ=589nm λ=589.6nm I/I λ=589nm 0.6 λ=589.6nm θ en degrés θ en degrés N=300 N=

21 Valeur typique du pouvoir de résolution : Nombre de fentes par mm: Longueur totale du réseau : D où une pouvoir de résolution à l ordre 1 : Ce qui conduit à un écart spectral minimal pour une longueur d'onde : 41