Institut Galilée. Optique Géométrique WIT-ISPG. Sciences et technologies. Licence 1 ière année. Yann Charles & Gabriel Dutier

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1 Institut Galilée Sciences et technologies Licence 1 ière année Optique Géométrique WIT-ISPG Yann Charles & Gabriel Dutier c INSTITUT GALILEE, 99 avenue Jean-Baptiste-Clément VILLETANEUSE 2010 /

2 Table des matières 1 Introduction La lumière Les sources Optique géométrique Principes et définitions Le miroir plan Lois de Snell-Descartes Remarques Angles limites Retour inverse de la lumière Construction géométriques des rayons réfléchis et réfractés Réfraction dans des milieux non-homogènes Objets et images Définitions Nature des objets et des images Image d un objet étendu Conditions de Gauss Cas d un objet à une distance infinie Cas d un objet à une distance finie Les conditions de Gauss Les lentilles Définitions Types de lentilles Propriétés des lentilles convergentes et divergentes Distances focales, plan focaux et foyers d une lentille convergente Distances focales, plan focaux et foyers d une lentille divergente Construction d une image pour une lentille convergente Rayons lumineux particuliers Cas général Construction d une image pour une lentille divergente Prolongement d un rayon quelconque Aberrations Aberrations géométriques Aberration chromatique Formules de conjugaison Grandissement linéaire γ Formule de Descartes Vergence de la lentille Miroir sphérique concave L œil Description d un œil Grandeur de l image rétinienne Les défauts de l œil Myopie et hypermétropie L astigmatie La presbytie Correction de la myopie

3 6 Les instruments d optique : associations de lentilles Propriétés des instruments d optique Puissance Grossissement Cas général : association de deux lentilles La loupe Le microscope Les moyens d observations astronomiques La lunette astronomique Le télescope à miroir Principales grandeurs de systèmes d observation astronomiques Annexes Détermination expérimentale de la distance focale d une lentille Autocollimation Méthode de Bessel Méthode de Silbermann Pouvoir séparateur Les fibres optiques Principe Théorie du guidage : réflexion totale interne Théorie du guidage : pertes Lexique

4 1 Introduction L optique est historiquement la science des phénomènes perçus par l œil grâce à la lumière. Celle-ci est émise par la matière jusqu à son absorption par divers récepteurs comme l œil, une pellicule photographique ou une caméra. 1.1 La lumière Une description complète de la lumière nécessite la théorie de la "mécanique quantique". Néanmoins, la lumière peut s interpréter simplement comme des "grains de lumière" appelés photons mais aussi comme étant composée d ondes électromagnétiques de différentes longueur d onde λ. Plusieurs domaines sont définis : inférieur à m : ondes γ, de m à 10 8 m : rayons X, de 10 nm à 400 nm : ultra-violet, de 400 nm à 700 nm : lumière visible (toutes les couleurs), de 1 µm à 500 µm : infra-rouge, de 1 mm à 10 cm : micro-onde et radar, supérieur à 10 cm : ondes radio. 1.2 Les sources Les sources de lumière sont très variées. Il y a deux grandes catégories de sources : primaires et secondaires. Les sources primaires correspondent aux objets qui produisent de la lumière. Ainsi le soleil par fusion thermonucléaire, les ampoules par échauffement électrique, les lasers, les radiateurs par rayonnement thermique,...). Les sources secondaires correspondent aux objets qui réfléchissent la lumière qui vient d une source extérieure (le soleil éclaire la lune,...). 4

5 2 Optique géométrique 2.1 Principes et définitions L optique géométrique repose sur le principe de Fermat (année 1657) : "La lumière suit le trajet le plus court en temps". Définissons un milieu (une zone de l espace) homogène et isotrope : homogène : la vitesse de la lumière est la même en tous points du milieu ; isotrope : la vitesse de la lumière est indépendante de sa direction de propagation. Dans ce milieu, d après le principe de Fermat, la lumière se déplace en ligne droite. On définit alors "le rayon lumineux" comme étant la courbe suivant laquelle se propage la lumière. Les rayons lumineux n interagissent pas entre eux. Dans tout ce cours, sauf précision, nous considérerons uniquement des milieux homogènes isotropes. La vitesse de propagation V de la lumière dépend de sa longueur d onde et de la nature du milieu : où c est la vitesse de la lumière dans le vide V = c n, c = m.s 1. n est appelé indice de réfraction du milieu de propagation. Sa valeur dépend du milieu de propagation mais aussi de la longueur d onde du rayon lumineux. Par exemple : le vide : n=1 ; l air : n= 1,00029 ; l eau : n = 1,33 ; le verre : n= 1,5. Nous appellerons "faisceaux lumineux" un ensemble de rayons lumineux. Si l on considère deux milieux homogènes et isotropes (1) et (2) d indice de réfraction respectivement n 1 et n 2, on dit que le milieu (2) est plus réfringent que le milieu (1) si n 1 < n 2. Nous appellerons dioptre l interface entre deux milieux. Nous appellerons objet l origine de la lumière que l on va observer (source primaire ou secondaire). Nous appellerons image le résultat de la transformation de la lumière venant de l objet à travers une lentille ou un miroir. 2.2 Le miroir plan Un miroir est une surface capable de réfléchir pratiquement la totalité de la lumière incidente quelque soit l angle d incidence. Si cette surface est plane, nous appellerons le miroir un "miroir plan". L image formée par un miroir est le symétrique de l objet par rapport au plan du miroir. (figure 1) L angle de réflexion r est égal à l angle d incidence i par rapport à la normale au miroir. On définit le "champs d un miroir plan" par l ensemble des points de l espace vus par un observateur dans le miroir. C est un cône s appuyant sur le contour du miroir (figure 2). Dans cette configuration le point A est dans le champs du miroir. Les points hors du miroir ne peuvent être vu par l observateur : c est ainsi que l on définit l angle mort lorsque l on est au volant d une voiture. 5

6 FIGURE 1 Réflexion sur un miroir plan. Observateur A Conducteur Miroir Angle mort 2.3 Lois de Snell-Descartes FIGURE 2 Champs du miroir. Les lois de Snell-Descartes ont été établies en Angleterre par SNELL en 1621 puis retrouvées indépendamment en 1637 par DESCARTES. Considérons l espace constitué de deux milieux isotropes et homogènes. Nous appellerons "rayon incident" (figure 3) le rayon lumineux se propageant dans le premier milieu. A l interface de ces deux milieux, deux nouveaux rayons sont créés : un "rayon réfléchi" et un "rayon transmis" ou "rayon réfracté". Le rayon réfléchi se propage dans le même milieu que le rayon incident, tandis que le rayon réfracté se propage dans le deuxième milieu. Les rayons incident, réfléchi et réfracté sont alors contenus dans un plan normal à la surface de séparation des deux milieux homogènes et isotropes. Ce plan est appelé "plan d incidence". On considère la normale au plan de séparation (le dioptre), on note : i 1 : l angle que fait le rayon incident avec la normale ; i 2 : l angle que fait le rayon réfracté avec la normale ; r : l angle que fait le rayon réfléchi avec la normale. Les deux lois de Snell-Descartes sont (pour une lumière monochromatique : une seule longueur d onde) : 1) les angles i 1 et r sont égaux ; 6

7 2) les angles i 1 et i 2 sont tels que n 1 sin(i 1 ) = n 2 sin(i 2 ) où n 1 et n 2 sont respectivement les indices de réfraction des milieux où les rayons incident et réfracté se propagent. L intensité du rayon incident est la somme des intensités des rayons réfléchi et réfracté. Par exemple, dans le cas du verre, l intensité du rayon réfléchi est 4 % de celle du rayon incident. milieu 1 n1 i 1 r milieu 2 n2 i 2 Séparation entre les deux milieux FIGURE 3 Rayon incident arrivant sur un dioptre avec ses rayons réfléchi et réfracté. 2.4 Remarques Angles limites Dans le cas général, les rayons réfléchi et réfracté existent. Cependant, dans le cas où le milieu incident d indice n 1 est plus réfringent que le milieu réfracté d indice n 2 (c est à dire n 1 > n 2 ) et si l angle d incidence i 1 est tel que 1 = sin(i 1 ) = n 2 n 1, alors nous aurions sin(i 2 ) = 1, ce qui est impossible. Dans ces conditions, le rayon réfracté n existe pas, il s agit du cas de la "réflexion totale" : la surface de séparation agit comme un miroir (figure 4). A l inverse, si le rayon incident rase la surface de séparation (i 1 = π/2) et que le milieu de réfraction est plus réfringent que le milieu incident, le rayon réfracté fait un angle limite maximal avec la normale au plan de séparation tel que sin(i 2 ) = n 1 n 2. Le rapport n 1 /n 2 est appelé indice relatif du milieu 2 par rapport au milieu 1. Si ce dernier est l air (indice n = 1), alors l indice relatif de tous milieux est 1/n. 7

8 réfléxion totale n 1 i 1 =asin n 2 ( n 1 ) n 1 pas de réfraction n 2 n 1 n 2 n 1 i 2 =asin ( n 1 n 2 ) FIGURE 4 Angles limites. i 1 i 1 n 1 n 2 i 2 Séparation des milieux n 1 n 2 i 2 FIGURE 5 Principe du retour inverse de la lumière Retour inverse de la lumière Le trajet suivit par la lumière est indépendant de son sens de propagation (figure 5). 2.5 Construction géométriques des rayons réfléchis et réfractés Soit un dioptre dont les indices des milieux incident et réfracté sont respectivement n 1 et n 2. Nous nous placerons dans le plan d incidence. Le rayon incident fait un angle i 1 avec la normale à la surface de séparation donc l angle réfléchi fait également un angle i 1 avec la normale. Soit deux demi-cercles de rayon R 1 et R 2 proportionnels aux indices de réfraction n 1 et n 2 (figure 6). Nous savons que n 1 sin(i 1 ) = n 2 sin(i 2 ). Or, nous pouvons exprimer sin(i 1 ) en fonction des données géométriques : sin(i 1 ) = IH IA. 8

9 i 1 i 1 n 1 n 2 I H i 2 A i 2 B n 2 n 1 I H B A FIGURE 6 Construction géométrique des rayons réfractés. et donc sin(i 2 ) = n 1 n 2 IH IA. Comme de plus { R1 = αn 1 R 2 = αn 2, et que IA = R 1, alors et nous en déduisons que R 2 = n 2 n 1 IA, sin(i 2 ) = IH R 2. L angle i 2 est donc l angle au sommet d un triangle dont I et H sont deux points, et qui est rectangle en H. Le troisième point de ce triangle est donc le point B, intersection des droites (AH) et du cercle associé à n 2. Nous pouvons aussi visualiser et dessiner les angles limites en fonction de la réfringence relative du milieu 2 (figure 7). 2.6 Réfraction dans des milieux non-homogènes Dans certains cas, la lumière se propage dans des milieux dont l indice de réfraction varie rapidement (milieux non-homogènes). La lumière est donc déviée au fur et à mesure de sa propagation, et non ponctuellement comme dans le cas des dioptres. Pour comprendre la progression des rayons lumineux dans ces milieux, nous considérerons une succession de milieux homogènes et isotropes d indices différents (figure 8). A chaque changement d indice, le rayon lumineux est dévié, pouvant éventuellement atteindre l angle limite de réfraction et ne produire qu un rayon réfléchi. Ce phénomène est à l origine des mirages : les rayons lumineux sont déviés au voisinage du sol du fait d une variation de l indice de réfraction. L observateur reçoit donc des rayons lumineux qui proviennent d un objet qui n est pas face à lui, bien qu il le "voit" devant lui.. 9

10 I H=A I H=B n 1 n 2 n 2 B n 1 A FIGURE 7 Construction géométrique des angles limites. Objet Observateur n 1 n 2 n 3 n 4 n 5 n variable Mirage FIGURE 8 Propagation dans des milieux non homogènes. 10

11 3 Objets et images 3.1 Définitions Objet et image : Soit un point A : si tous les rayons lumineux issus de A et passant au travers du système optique arrivent en un point B, alors B est appelé image de l objet A. Du fait du principe de retour inverse, A et B peuvent changer de rôle (l objet devient l image et réciproquement) : on dit que A et B sont conjugués. Stigmatisme : Lorsque tous les rayons issus de A passent en B après un système optique, on dit que l on réalise le "stigmatisme rigoureux" pour le couple AB. Cette propriété est très difficile à obtenir dans la réalité, même pour des systèmes simples. Aplanétisme : Soit un système optique possédant un axe de symétrie ou axe optique ; le système est dit centré si cette symétrie est de révolution. On dit que le système est aplanétiste si tout objet plan orthogonal à l axe optique possède une image plane et normale également à cet axe. En général, les systèmes optiques possèdent cette propriété. 3.2 Nature des objets et des images On distingue, en optique, deux types d objets et d images : "réels" et "virtuels". On prend le sens de propagation de la lumière pour définir "l amont" (le départ) et "l aval" (l arrivé) du système optique (miroir, lentilles,...). Un objet situé en amont du système optique est réel. S il est en aval alors l objet est virtuel. Une image située en aval du système optique est réelle. Si elle est en amont alors elle est virtuelle. Par exemple, les systèmes représentés figure 9. A Sytème optique B A Sytème optique B (1) (2) A Sytème optique I B Sytème optique II C (3) FIGURE 9 Nature des objets et des images. 11

12 Pour le système (1), le point A est un objet réel et le point B une image réelle. Pour le système (2), le point A est un objet réel et le point B une image virtuelle. Pour le système (3-I), le point A est un objet réel et le point B une image réelle. Pour le système (3-II), le point B est un objet virtuel et le point C une image réelle. Pour le système (3-I + 3-II), le point A est un objet réel et le point C une image réelle. 3.3 Image d un objet étendu Dans le cas général, un objet n est pas un point mais un ensemble de points. L image est alors définie comme l ensemble des points images. Prenons l exemple d une chambre noire : toute la lumière passe par un orifice qui constitue le système optique (figure 10). Objet ponctuel Image Image Objet FIGURE 10 Chambre noire. Chaque point de l objet possède un conjugué sur le plan de l image et l ensemble correspond à l image de l objet. Ce dispositif est appelé sténopé ; il a été beaucoup utilisé par les peintres du XVIIème siècle pour définir un guide pour leurs peintures. Si le trou est petit, alors pour chaque point image un seul rayon passera par le trou et l image associée sera ponctuelle. En revanche, la quantité de lumière sera faible au niveau de l image. A l inverse, un trou important illuminera le plan image, mais l image sera flou, car à chaque point objet correspondra une tache (plusieurs rayons peuvent partir de l objet, figure 10). Ce système est astigmate : les rayons issus d un point ne se rencontrent jamais après être passés au travers du système optique. 3.4 Conditions de Gauss Soit un système "optique centré" (qui possède un axe de symétrie) constitué d un dioptre. Nous allons déterminer les conditions pour lesquelles ce système possède un stigmatisme rigoureux et réalise l aplanétisme Cas d un objet à une distance infinie Comme l objet est à l infini, tous les rayons sont parallèles les uns aux autres en arrivant sur la surface de séparation des deux milieux : ils sont donc réfractés de la même manière et resterons parallèles dans le milieu 2. Un observateur verra donc l image de l objet à l infini (figure 11a). Dans ces conditions, tous les rayons issus 12

13 de l objet à l infini se croiserons en un même point image également à l infini : ce système optique réalise un stigmatisme rigoureux. Objet Image B A n 1 n 2 n 1 H i 1 I i 2 n 1 n 2 n 1 Observateur Observateur (a) Objet à une distance inifinie (b) Objet à une distance finie FIGURE 11 Stigmatisme d un dioptre Cas d un objet à une distance finie Soit un objet A situé à une distance donnée de la surface de séparation des deux milieux réfringents (figure 11b). La droite (AH) est normale au dioptre : le rayon lumineux suivant (AH) n est pas dévié lors du passage d un milieu à un autre. L image B du point A est alors nécessairement sur la droite (AH). Considérons à présent un second rayon lumineux issu de A, faisant un angle i 1 avec la normale à la surface de séparation des deux milieux. Soit B le point d intersection du rayon réfracté avec la normale (AH) : si le système possède un stigmatisme rigoureux, alors B doit être indépendant de l angle d incidence du rayon lumineux. Nous pouvons déduire géométriquement les relations entres les différentes distances et nous en déduisons tan i 1 = HI AH tan i 2 = HI BH BH = AH tan i 1 tan i 2. Comme le rapport sin i 1 /sin i 2 est constant d après les lois de Descartes, alors tan i 1 /tan i 2 varie et B n est pas indépendant de l angle d incidence. Le système n a pas de stigmatisme rigoureux pour des points à distance finie de la surface de séparation : il est astigmate., 13

14 3.4.3 Les conditions de Gauss Comme nous l avons vu, les conditions pour qu un système centré vérifie les conditions de stigmatisme et d aplanétisme approchés sont : les points de l objet ne sont pas trop éloignés de l axe optique ; les rayons lumineux sont peu inclinés par rapport à l axe optique. Ces deux conditions constituent les conditions de Gauss.. 14

15 4 Les lentilles 4.1 Définitions Lentille Une lentille est un milieu homogène, isotrope, transparent, dont au moins l une des faces n est pas plane. On peut interpréter une lentille comme une somme de différents prismes (figure 12). Lentille mince Une lentille est dite mince lorsque son épaisseur est faible comparée au rayon de courbure de ses faces. Dans le cadre des conditions de GAUSS, les lentilles minces sphériques réalisent un stigmatisme et un aplanétisme approchés. Centre optique On désigne par centre optique le point de l axe optique au centre de la lentille : c est l axe passant par les deux centres des dioptres formant la lentille. On le note O. Le prisme La lentille vue comme une superposition de prismes FIGURE 12 Une lentille comme plusieurs prismes. 4.2 Types de lentilles Il existe deux types de lentilles optiques : les lentilles convergentes et les lentilles divergentes. Les lentilles convergentes transforment un faisceau de rayons parallèles en un faisceau qui converge vers un point en aval de la lentilles ; les lentilles divergentes transforment un faisceau de rayons parallèles en un faisceau qui converge vers un point en amont de la lentille (figure 13) Axe optique (a) Lentille convergente (b) Lentille divergente FIGURE 13 Lentilles convergentes et divergentes. 15

16 Ces deux types de lentilles se décomposent en plusieurs sous-types selon la forme de leurs deux faces (figure 14). Cependant, chaque sous-type est schématisé de la même manière. FIGURE 14 Différents types de lentilles. 4.3 Propriétés des lentilles convergentes et divergentes Distances focales, plan focaux et foyers d une lentille convergente "Distance focale objet" : OF. Tous les rayons qui passent par F ("foyer objet") ressortent parallèles. (figure 15) #"!" FIGURE 15 Distance focale objet d une lentille convergente. "Distance focale image" : OF. Tous les rayons qui arrivent parallèles passent par F ("foyer image"). (figure 16) 16

17 !" #$" FIGURE 16 Distance focale image d une lentille convergente. "Plan focal image". Tous rayons qui arrivent parallèles se croisent sur le plan focal image. (figure 17) "Plan focal objet". Tous rayons qui se croisent dans le plan focal objet repartent parallèles entres eux.!" #$" %&'(")!*'&"" +,'-." FIGURE 17 Plan focal image d une lentille convergente. On notera les deux distances focales ainsi (valable pour les lentilles convergentes et divergentes) : f = OF. f = f = OF OF est ici la "distance algébrique" entre les points O et F ; cette distance est positive si F est en aval de O, et négative sinon. Pour les systèmes optiques dont les milieux d entrée et de sortie sont identiques, les distances focales deviennent égales en valeur absolue : F est donc le symétrique de F par rapport à O Distances focales, plan focaux et foyers d une lentille divergente "Distance focale objet" : OF. Tous les rayons qui passent par F ("foyer objet") ressortent parallèles. (figure 18) "Distance focale image" : OF. Tous les rayons qui arrivent parallèles passent par F ("foyer image"). (figure 19) "Plan focal image". Tous rayons qui arrivent parallèles se croisent sur le plan focal image. (figure 20) "Plan focal objet". Tous rayons qui se croisent dans le plan focal objet repartent parallèles entres eux. 17

18 !" #" FIGURE 18 Distance focale objet d une lentille divergente. #$"!" FIGURE 19 Distance focale image d une lentille divergente.!" FIGURE 20 Plan focal objet d une lentille divergente. 4.4 Construction d une image pour une lentille convergente Rayons lumineux particuliers Il existe trois types de rayons lumineux aux propriétés simples que l on utilisera pour la modélisation graphique pour une lentille convergente. Tous les rayons incidents passant par O ne sont pas déviés. Tous les rayons incidents parallèles à l axe optique passent par F (foyer image). Tous les rayons incidents passant par F (foyer objet) ressortent parallèle à l axe optique. 18

19 %$" %" #"!" #$" FIGURE 21 Rayons particuliers pour la construction de l image A de A (lentille convergente) Cas général Soit un objet en amont de la lentille. Pour un point quelconque de l objet, tous les rayons issus de ce point convergent en un point de l image. C est vrai pour deux rayons particuliers : le rayon passant par le centre optique ; le rayon parallèle à l axe optique. Le premier ne sera pas dévié par la lentille, et le second passe par le foyer image F (figure 22). Le point d intersection de ces deux rayons est le point image du point objet. A F O F B B A F O F FIGURE 22 Construction d une image dans un cas général. 4.5 Construction d une image pour une lentille divergente La construction des images pour une lentille divergent est similaire à celle des lentilles convergentes sauf que les foyers images et objets sont inversés (figure 23). 19

20 A F B O F A F B O F FIGURE 23 Construction d une image avec une lentille divergente. 4.6 Prolongement d un rayon quelconque La méthode pour déterminer le prolongement d un rayon se déduit des méthodes de construction des images. En effet, un faisceau de rayons parallèles réfracté converge vers un même point situé sur le plan focal image. Ce point sera donc l image d un objet à l infini dans la direction du rayon incident que l on souhaite prolonger. Cette prolongation est donc le rayon passant par ce point image (figure 24). 4.7 Aberrations Les lentilles optiques ne forment pas des images parfaites : l image d un point n est généralement pas un point, mais une tache (un paquet de points). Ces défauts sont des aberrations ; il y a les aberrations chromatiques et les aberrations géométriques. Ces aberrations n existent pas pour les miroirs car la lumière n est que réfléchie et ne passe pas par des milieux différents Aberrations géométriques Ces aberrations sont dues à l écart des conditions de Gauss : à mesure que les rayons s éloignent de l axe optique, le système optique devient astigmate et le foyer image disparaît. Un faisceau de rayons parallèles venant d un objet placé à l infini ne donnera pas une image ponctuelle sur le plan focal image, mais une tache (figure 25). 20

21 F O F F O F B FIGURE 24 Prolongation d un rayon. Plan focal image FIGURE 25 Aberration géométrique Aberration chromatique Dans les matériaux usuels, tel que le verre, l indice de réfraction vu par un rayon lumineux dépend de sa longueur d onde, comme représenté sur la figure 26. La loi de variation de n en fonction de λ est connue sous le nom de "loi de Cauchy" : où A et B sont des constantes dépendant du matériaux. n(λ) = A + B λ 2, On constate que, si un rayon polychromatique est réfracté par une lentille, les différentes longueurs d ondes ne suivront pas le même trajet : à chaque longueur d onde correspondra un foyer et un plan focal image différent. Si l on considère le plan focal image idéal, au lieu d un point, nous verrons une tâche colorée (figure 27). 21

22 Indice n 400 (bleu) 800 (rouge) Longueur d onde (mm) FIGURE 26 Variation de l indice optique en fonction de la longueur d onde. Lumière blanche 4.8 Formules de conjugaison Grandissement linéaire γ FIGURE 27 Aberration chromatique. Le "grandissement γ" est le rapport entre les longueurs algébriques des images BB et des objets AA (figure 28). #"!"!$" #$" FIGURE 28 Détermination du grandissement d une lentille. 22

23 D après le théorème de Thalès pour les triangles (OAB) et (OA B ) : A B AB = OA OA = γ. γ est le grandissement ; sa valeur est positive ou négative car les longueurs sont algébriques Formule de Descartes Soient un objet et son image (figure 29). Le raisonnement suivant est vrai pour des lentilles convergentes ou divergentes. Objet B A F O F A B Image soit D après le théorème de Thalès : FIGURE 29 Formule de Descartes. A B AB = F A F O A B F A = AB F O. Or, nous pouvons écrire plus simplement FO = f, soit avec γ De plus et donc On en déduit donc que f = AB A B F A = F A γ. F A = OA OF = OA f, f = OA f γ f (OA OA ) = OA OA. La formule de Descartes donne la position de l image sur l axe optique en fonction de la position de l objet : 1 OA 1 OA = 1 f. 23

24 4.8.3 Vergence de la lentille La vergence V est l inverse de la distance focale ; elle s exprime en dioptrie (ou m 1 ). On peut montrer que V = 1 f = n 1 R 1 R 2, avec n l indice de la lentille, et R i = OC i, où C i est le centre du cercle de la face i (avec i = 1 pour la face amont et i = 2 pour la face aval). Soit les lentilles représentées figure 30 : les rayons des deux faces sont de 12 mm, donc R 1 = OC 1 = 12 et R 2 = OC 2 = 12. Avec n = 1.67, nous obtenons pour la lentille divergente : 1 f 1 90, soit f 90mm. Il s agit du même calcul dans le cas de la lentille convergente avec le signe opposé. C 1 O C 2 C 2 O C 1 FIGURE 30 Calcul de la distance focale d une lentille. 4.9 Miroir sphérique concave Les miroirs sphériques concaves sont des portions de sphères creuses dont le centre est C. On positionne le miroir sur l axe optique pour être dans les conditions de Gauss, c est à dire passant par C. Le point S est l intersection de l axe optique et du miroir. Un rayon qui arrive sur le miroir est réfléchi avec un angle Θ identique à l angle d incidence par rapport à la normale au point d impact (figure 31). Les rayons qui arrivent parallèles à l axe optique passent par le foyer image qui est confondu avec le foyer objet (figure 32). On a par construction : FS = CS 2 Pour les miroirs sphériques tous les phénomènes sont identiques à ceux des lentilles minces (formules de conjugaison) sauf que les rayons changent de sens de propagation.. 24

25 FIGURE 31 Miroir concave : principe. FIGURE 32 Miroir concave ; foyers. 25

26 5 L œil 5.1 Description d un œil L œil est un système optique convergent permettant de former sur une membrane photosensible, la rétine, une image réelle renversée des objets vus par l observateur. La rétine est tapissée de cellules sensibles à la lumière (les cônes et les bâtonnets) qui transmettent les informations au cerveau via le nerf optique. L ensemble rétine-nerf optique code cette image sous forme d influx nerveux et le transmet au cerveau qui l interprète : retournement de l image, correction de la distorsion, impression de relief grâce aux informations transmises par les deux yeux. Plus le nombre de cellules touchées par la lumière est grand, plus l information transmise au cerveau est précise. L œil n est sensible qu à certaines radiations du spectre visible, dont les longueurs d onde sont comprises approximativement entre 0,4 et 0,7 µm. Sa sensibilité varie avec la longueur d onde dans ce domaine (maximum de sensibilité à λ=0,557 µm). La pupille joue le rôle d un diaphragme en limitant l intensité lumineuse pénétrant dans l œil. FIGURE 33 Description d un œil. Nous assimilerons l œil à un système optique composé d une lentille mince convergente, le cristallin, et d un écran, la rétine. La distance cristallin-rétine est constante (voisine de 1,5 cm). Pour former l image d un objet, dont la position varie, à distance constante d une lentille, il faut que la vergence de celle-ci varie : c est le phénomène d accommodation. L augmentation de la vergence de l œil se fait par déformation du cristallin à l aide des muscles qui l entourent. On appelle Punctum Remotum (PR), le point le plus éloigné visible par l œil sans accommodation. On appelle Punctum Proximum (PP), le point le plus proche de l œil pouvant être perçu nettement. L œil à ce moment accommode et la vergence du cristallin est maximum. La distance du Punctum Proximum à l œil s appelle la distance minimum de vision distincte (dm). Le Punctum Remotum et le Punctum Proximum varient avec l œil de chaque observateur. Pour un œil normal, dit emmétrope, le Punctum Proximum est à 25 cm et le Punctum Remotum est à l infini. La rétine est alors dans le plan focal de l œil (cristallin non déformé). Pour une observation à l infini, l œil est au repos ce qui correspond à la situation la plus souhaitable pour le confort de l observateur : il faudra donc toujours s arranger pour former une image à l infini quand on observera à travers un instrument Grandeur de l image rétinienne Nous définissons le "diamètre apparent", ou diamètre angulaire, l angle sous lequel est vu un objet. Si l objet est à l infini, le diamètre apparent sera fonction de la distance, de la taille réelle de l objet, et de sa forme. 26

27 Soit un objet, placé à une distance D de la lentille. α est l angle d incidence selon lequel le rayon passant par le centre optique est tangent à l objet. L image du point de tangence est alors à une distance d en aval de la lentille, de hauteur h (figure 34). F h α h O B D d Nous pouvons écrire : FIGURE 34 Diamètre apparent. tan α = h 2D = h 2d, avec tan α α (approximation de Gauss). Le diamètre apparent est deux fois α, soit 5.2 Les défauts de l œil Myopie et hypermétropie 2α = D apparent = h D = h d. La myopie et l hypermétropie sont deux défauts comparables dans la mesure où ils sont liés à un défaut de convergence du cristallin. L œil myope est un œil dont le cristallin est trop convergente (distance focale au repos trop courte), ce qui fait que l image d un objet à l infini se forme avant la rétine. Inversement, l œil myope peut être un œil trop grand (distance cristallin-rétine trop importante) avec un cristallin normal. Un œil myope ne peut pas voir à l infini ; son punctum remotum est inférieur à l infini. Cependant, un œil myope peut voir des objets placés très près si ses capacités d adaptations sont normales. Son punctum proximum est plus faible que celui d un œil normal. L œil hypermétrope est un œil dont le cristallin est trop peu convergent (distance focale au repos trop grande), ce qui fait que l image d un objet à l infini, lorsque l œil n accommode pas, se forme après la rétine. Inversement, l œil hypermétrope peut être un œil trop petit (distance cristallin-rétine trop faible) avec un cristallin normal. Un œil hypermétrope doit ainsi accommoder pour voir nettement un objet situé à l infini. Son punctum remotum reste infini, mais s il n accommode pas, il voit flou. S il possède des capacités d accommodation moyennes, la distance focale minimale (à accommodation maximale) de l œil hypermétrope, c est-à-dire la valeur de son punctum proximum, est plus grande que celle d un œil normal : il voit flou des objets proches qu un individu normal ou myope voit nettement L astigmatie Un œil astigmate est un œil qui a perdus sa symétrie de révolution : la cornée est en forme d ellipsoïde et possède deux axes principaux : le cristallin possédera donc des foyers images différents pour chaque angles. 27

28 Myopie Hypermetropie FIGURE 35 Myopie et hypermétropie Cela entraîne une vision brouillée, déformée, imprécise pour toute les distances, avec un brouillage sélectif des lignes verticales ou horizontales ou obliques et la confusion de lettres proches comme le H le M et le N le E et le B ou le 8 et le 0. FIGURE 36 Astigmatie La presbytie La presbytie est un trouble de la vision qui rend difficile l adaptation de la focale image du cristallin pour voir de près. En effet, pour un objet proche, le cristallin se courbe pour augmenter la réfraction et permettre que l image se forme sur la rétine ; un œil presbyte ne permet plus cette accommodation. Ce n est pas un défaut de l œil mais un processus de vieillissement normal du cristallin qui se sclérose en se durcissant. Ce phénomène touche en général les gens de plus de quarante-cinq ans, car le cristallin commence alors à perdre de sa souplesse Correction de la myopie La myopie se corrige en insérant avant l œil une lentille divergente. Le système optique équivalent est un système convergent de longueur focale image plus importante que la longueur focale image de l œil (figure 28

29 37). F d F c FIGURE 37 Correction de la myopie. La position du foyer image de la lentille correctrice F d doit être déterminée de façon à compenser la mauvaise position du foyer image de l œil F c. 29

30 6 Les instruments d optique : associations de lentilles Nous allons décrire le fonctionnement de systèmes optiques destinés à transformer un objet réel en une image virtuelle aussi grande que possible. Le but recherché est d obtenir l image d un objet qu il est difficile d observer directement, de manière la plus la plus fidèle possible. Le choix d un instrument dépendra essentiellement de l objet lui-même (objet rapproché ou éloigné, petit ou grand). 6.1 Propriétés des instruments d optique Les instruments d otiques peuvent être classés en deux catégories : les systèmes optiques donnant une image réelle, tels que les objectifs des appareils photos, les systèmes de projection, les caméras ; les systèmes optiques donnant une image virtuelle ayant un diamètre apparent plus grand que l objet observé à l œil nu, comme les loupes, les microscopes, ou les systèmes astronomiques. Nous nous intéresseront aux systèmes de la deuxième catégorie Puissance La puissance P d un instrument est le rapport de l angle sous lequel on voit l image virtuelle donnée par l instrument et de la longueur de l objet (figure 38) : P = α AB, où AB est la longueur algébrique de l objet, et α l angle d observation de l image virtuelle. Cet angle varie selon la position de l observateur. La puissance s exprime en dioptries, α en radians et AB en mètres. B F A B A O α' F FIGURE 38 Puissance d un système optique : P = α /AB Grossissement Le grossissement est le rapport entre les diamètres apparents sous lequel on voit l objet à l œil nu α et sous lequel on voit l image virtuelle α G = α α. 30

31 Cette grandeur est sans dimension. Le grossissement caractérise l amplification du système optique : on voit G fois plus gros. Dans le cas d un objet proche et de petite dimension, on détermine le diamètre apparent de l objet à la distance minimum de vision distincte égale par convention à 25 cm. Alors tan α = AB 0,25. On peut alors définir le grossissement commercial G c défini par α G c = ( ). AB arctan 0,25 Si α est faible, alors et Comme alors α AB 0,25. G c = 0,25α AB. P = α AB, G c = P Cas général : association de deux lentilles Pour résoudre un système à deux lentilles quelconques, il faut considérer que l image de la première lentille est l objet de la seconde lentille : image de L 1 = objet de L 2. Considérons deux lentilles (figure 39), et déterminons le résultat final. Sur l exemple de la figure 39, le résultat final est équivalent à une lentille divergente. 6.3 La loupe Le système le plus simple de grossissement est constitué d une lentille épaisse convergente, la loupe. Ce système permet l observation d objets rapprochés de faibles dimensions. Nous considérerons que la lentille de la loupe est mince. L idéal est de placer l objet dans le plan focal objet pour que l observation se fasse sans accommodation de l œil (les rayons transmis étant alors parallèles) (figure 40) ; dans ces conditions, l image virtuelle est à l infini. Soit α et α les diamètres apparents respectivement de l objet et de l image. Calculons le grossissement commercial d un tel dispositif. La puissance de ce dernier est, comme nous l avons vu, P = α AB, 31

32 F F 1 2 F 2 F F 1 O O F F F 2 1 F F 1 O O F 2 F Système optique global F f f FIGURE 39 Détermination de la position des foyers d un système composé de plusieurs lentilles. F B A O α' F FIGURE 40 Principe de la loupe. avec ici, tan α = AB f, où f est la distance focale objet. Si α est petit, alors AB f α et donc P = 1 f. 32

33 Nous en déduisons que G c = 1 4 f. 6.4 Le microscope Le microscope sert à l observation de très petits objets ; sa puissance est donc beaucoup plus grande que celle d une loupe, soit de l ordre de 100 à 6000 dioptries. FIGURE 41 Description d un microscope. Un microscope est composé de deux lentilles convergentes. La première, devant laquelle est placée l objet à observer, est appelée objectif. Elle donne une image réelle de l objet. La seconde est l oculaire, elle est placée de telle manière que les rayons lumineux transmis par l objectif soient parallèles entre eux afin d éviter l accommodation de l œil (image virtuelle à l infini). La première image est placée dans le plan focal objet de l oculaire (figure 42). La distance entre l oculaire et l objectif est fixée pour que l intervalle entre le foyers image de l objectif et le foyer objet de l oculaire soit fixée à 15 cm par les constructeurs. Calculons le grossissement commercial d un tel instrument : G c = 0,25α AB, 33

34 Image virtuelle à l infinis Objet F 1 Objectif F 1 F 2 Image réelle inversée Oculaire F 2 α' FIGURE 42 Principe d un microscope. si α est le diamètre apparent de l image au travers du microscope, et AB la longueur de l objet. Cette grandeur peut se réécrire comme G c = 0,25α A B A B AB, où A B est la longueur de l image par l objectif. Nous pouvons alors dissocier G c en deux. Nous avons le grandissement de l objectif γ 1 = A B AB, et le grossissement commercial de l oculaire Ainsi, nous pouvons écrire : G c2 = 0,25α A B, G c = γ 1.G c Les moyens d observations astronomiques La lunette astronomique Une lunette astronomique est dédiée à l observation d objets situés à l infini, et à augmenter la luminosité des objets sans diamètres apparent (comme les étoiles). Une lunette astronomique simple est constituée de deux lentilles convergentes, un objectif à grande distance focale et un oculaire à faible distance focale ; le foyer image de la première correspond au foyer objet de la seconde (la lunette est alors dite afocale). Les rayons en provenance de l objet arrivent parallèles et ressortent du télescope parallèles entre eux, ce qui permet une observation sans accommodation de l œil (figure 43). Un tel dispositif possède un rôle de collecteur de lumière, afin de pouvoir observer des objets faiblement lumineux. C est pour cela que le diamètre de l objectif doit être le plus grand possible. Calculons le grossissent de ce système optique. Le diamètre apparent de l objet au travers de la lunette est α, tandis que son diamètre apparent sans la lunette est α très faible. Le grossissement est alors le rapport de 34

35 Objet à l infinis Image virtuelle à l infinis α F 1 =F 2 F 2 α' Objectif Image réelle inversée Oculaire FIGURE 43 Principe d une lunette astronomique. ces deux diamètres. On peut écrire que et tan α α = A B f 1, tan α α = A B f 2, où f et f sont les distances focales respectivement de l objectif et de l oculaire et A B la longueur de l image due à l objectif. On en déduit le grossissement G = α α = f 1 f 2. Pour augmenter le grossissement, il faut donc diminuer la focale de l oculaire ou augmenter celle de l objectif. Les lunettes modernes ont toutes des objectifs et des oculaires composés de plusieurs lentilles d indices différents, de manière à corriger certains défauts, tels les aberrations chromatiques Le télescope à miroir Comme pour les lunettes astronomiques, les télescopes à miroir servent à observer des objets à de très grandes distances ; les rayons incidents sont parallèles entre eux. Les télescopes sont constitués de deux systèmes optiques : l objectif et l oculaire. L objectif est un miroir concave, souvent parabolique, où la surface réfléchissante est située en avant (de manière à ne pas faire transiter la lumière par le milieu support). Cette partie permet de concentrer les rayons lumineux arrivant parallèles au niveau du foyer image du miroir, rayons qui peuvent être déviés par un autre miroir vers l objectif. L oculaire permet d agrandir l image produite par l objectif au niveau du foyer image de ce dernier. Les oculaires sont interchangeables, ce qui permet de modifier les caractéristiques du télescope (figure 45). De manière théorique, un tel instrument est afocal ; son grand avantage est surtout que la lumière est simplement réfléchie et non réfractée, ce qui supprime les aberrations chromatiques. L achromatisme des télescopes est total. 35

36 (a) (b) FIGURE 44 Exemple de télescope à miroir : (a) réplique du télescope de Newton, (b) télescope moderne. Objet à l infinis F 1 Miroir secondaire F 2 Oculaire Miroir primaire Observateur FIGURE 45 Principe d un télescope à miroir (de type Newton) Principales grandeurs de systèmes d observation astronomiques Le diamètre : Il correspond à la dimension de l objectif ou du miroir primaire. C est lui qui conditionne la quantité de lumière qui va rentrer dans l instrument et par conséquent dans notre œil ou dans le capteur photographique. La distance focale : Il s agit de la distance qui sépare le centre de la lentille ou de la surface du miroir et du point appelé 36

37 Foyer Image. Celui-ci étant le point de convergence des rayons lumineux. On peut également appeler ce point, point de netteté. Cette grandeur est inhérente à toute lentille ou miroir. La distance focale entre pour partie dans la puissance de grossissement de l instrument. Ce qu il faut retenir, c est que plus la distance focale est grande, plus les grossissements sont théoriquement grands. Bien s r, il existe des limites à ces grossissements que nous aborderons un peu plus loin. Le rapport f /D : C est le rapport de deux grandeurs, à savoir la focale et le diamètre. Ce rapport nous indique la luminosité de l instrument. Autrement dit sa capacité à "voir" les faibles luminosités. D une manière générale, un rapport F/D faible indique un instrument adapté à l observation du ciel profond, car très lumineux ; un rapport f /D important désigne les instruments adaptés aux observations planétaires. Le grossissement : Le grossissement d un instrument d astronomie se détermine tout simplement par le rapport des distances focales de l objectif et de l oculaire. Prenons une lunette type de 60 mm de diamètre d objectif et de 900 mm de longueur focale. Si on l équipe d un oculaire "fort", de 6 mm de focale par exemple, le grossissement obtenu sera de : 900/6, soit 150 fois. Par contre, un oculaire "faible" de 30 mm de focale on aura seulement : 900/30, soit 30 fois. On voit par conséquent que pour un objectif donné, le grossissement varie suivant l oculaire choisi. 37

38 7 Annexes 7.1 Détermination expérimentale de la distance focale d une lentille Il existe différentes méthodes expérimentales de focométrie parmi lesquelles on peut citer : la méthode d autocollimation ; la méthode de Bessel pour déterminer la focale d une lentille convergente ; la méthode de Silbermann ; la méthode de Badal pour déterminer la focale d une lentille divergente Autocollimation L autocollimation permet de déterminer la distance focale objet d une lentille convergente. Cette méthode consiste à utiliser une source de lumière ponctuelle et un miroir en aval d une lentille. Les rayons issus de la source seront réfractés puis réfléchis sur le miroir. Si la source correspond au foyer objet de la lentille, les rayons réfractés seront parallèles entre eux et parallèles à l axe optique : ils arriveront orthogonalement au miroir et seront donc renvoyés par le même chemin. Sur le plan objet, l image finale se superposera à la source exactement (figure 46). Image Source F O F Distance variable Mirroir Image Source F O F Mirroir FIGURE 46 Méthode d autocollimation pour déterminer le point focal objet Méthode de Bessel Cette méthode permet de déterminer la distance focale image d une lentille convergente. On considère un objet et un écran placés à une distance D l un de l autre. Entre les deux, nous plaçons une lentille convergente dont on ne connais pas la longueur focale image. En faisant varier la position de la lentille, nous pouvons trouver deux positions où l image sur l écran est nette. Ces deux positions sont distantes de d 38

39 (figure 47). Nous savons que AA est une constante et égale à D. D après la formule de Descartes, nous avons A F O F A D Ecran d Ecran A F O F A et donc FIGURE 47 Méthode de Bessel pour déterminer la distance focale image. Si l image est réelle, cela signifie que OA < f. 1 OA 1 OA = 1 f, OA OA = D. Cherchons les positions du point O telles que A et A soient conjuguées ; pour cela, posons x = OA. Nous pouvons donc écrire 1 D x 1 x = 1 f, soit x 2 Dx D f = 0. Le discriminent de cette équation est = D 2 4D f, qui doit être positif (ce qui est vrai si D > 4 f. Les solutions sont donc x = D ± D 2 4D f. 2 La différence entre les deux solutions est telle que et on en déduit donc x + x = d = D 2 4D f, f = D2 d 2 4D. 39

40 7.1.3 Méthode de Silbermann Cette méthode est un cas particulier de la méthode de Bessel. On considère une lentille convergente placée à mi-chemin entre un objet et un écran (figure 48). Soit D la F O F D variable Ecran F O A F A D variable Ecran FIGURE 48 Méthode de Silbermann pour déterminer la distance focale image. distance entre l objet et la lentille telle que l image est nette sur l écran. Dans ces conditions, on sait que la distance entre la lentille et l image est également D. D après la formule de Descartes, nous avons avec On en déduit donc que 1 OA 1 OA = 1 f, OA = OA = D. f = D Pouvoir séparateur Le pouvoir séparateur qualifie l aptitude d un système optique à discerner des détails sur les objets observer : il est caractérisé par par la plus petite distance entre deux points de l objet que l on peut voir séparément sur l image. Cette distance est linéaire si l objet est à une distance finie du système optique, et angulaire si il est une distance infinie. Un système optique parfait doit réaliser le stigmatisme approché pour les objets observés. Le pouvoir séparateur est alors limité par la limite de résolution de l œil ou par la diffraction. En effet, dans ce dernier cas, le point image est remplacé par une tache circulaire dont le rayon est fonction de la longueur d onde de l onde lumineuse, de l indice de réfraction du milieu image et de l angle d incidence du rayon lumineux. Si ce rayon 40

41 Taches distinctes Plan image Plan objet Taches indistinctes Plan image FIGURE 49 Pouvoir séparateur d un système optique en fonction du rayon des taches de diffraction. est plus grand que la distance entre les centre des taches, alors ces dernières deviennent indifférenciées dans le plan image (figure 49). Pour un système optique de diamètre D, le pouvoir de séparation maximum θ, en radian, est θ = 1,2λ D, où λ est la longueur d onde du rayon de lumière incident. Ainsi, pouvoir séparateur de l œil est au maximum de 0,5 minutes d arc (1 minute d arc est égale à un soixantième de degré) pour une pupille dilatée à 5 mm de diamètre, soit environ 1/7000 de radian. Cela implique que la distance minimum entre deux points qu un œil peut distinguer est L/7000, si L est la distance de l objet par rapport à l œil. Cependant, en pratique, le pouvoir séparateur de l œil est plus proche de 1/3000 rd ou 1/1500 rd. 7.3 Les fibres optiques Principe Une fibre optique est un guide d ondes lumineuses basée sur la propriété de réflexion totale de la lumière. Elle est constituée d un fil en verre ou en plastique très fin. Une fibre optique est habituellement constituée d un cœur entouré d une gaine de plusieurs indices de réfraction différents assurant le confinement de la lumière au voisinage du centre ; la différence d indice entre le cœur n c et la gaine n g, notée = n c n g, est très faible (environs 10 3 ). Dans une fibre optique la lumière est confinée dans la zone centrale et guidée grâce à la gaine optique. Le plus souvent le cœur et la gaine optique sont en silice ou en verre spécial tandis que la gaine de protection est plus généralement en plastique. Pour obtenir des indices de réfraction différents entre le cœur et la gaine on procédera le plus souvent par dopage (injection d impuretés pour augmenter légèrement l indice dans le cœur). On distingue deux types de fibres selon la manière dont la lumière est déviée (figure 50) : 41