Livraison de colis pour des clients du e-commerce : modèles de Wardrop, et Logit simple ou imbriqué
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- Marie-Josèphe Labranche
- il y a 8 ans
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1 Séminaire du LGI Centrale Paris Livraison de colis pour des clients du e-commerce : modèles de Wardrop, et Logit simple ou imbriqué Y. Hayel 1, D. Quadri 2, T. Jimenez 1, L. Brotcorne 3, B. Tousni 3 LGI, le 14/03/ LIA, Université d Avignon 2 LRI, Université Paris Sud 3 DOLPHIN, INRIA Lille Nord Europe travail financé par l ANR RESPET D. Quadri () LGI, le 14/03/ / 43
2 Plan 1 Introduction 2 Modèle 3 Analyses et résultats 4 Exemples numériques 5 Extension du modèle (Logit) 6 Analyse des données de DHL 7 Conclusions et perspective D. Quadri () LGI, le 14/03/ / 43
3 Plan 1 Introduction 2 Modèle 3 Analyses et résultats 4 Exemples numériques 5 Extension du modèle (Logit) 6 Analyse des données de DHL 7 Conclusions et perspective D. Quadri () LGI, le 14/03/ / 43
4 Contexte de l étude Alliance de 2 domaines (Théorie des Jeux et Programmation Mathématique) Application : e-commerce Approche utilisateur final Etude du comportement des utilisateurs (phase stationnaire) D. Quadri () LGI, le 14/03/ / 43
5 Le problème traité Problématique de livraison de colis achetés sur Internet choix du mode de livraison en fonction de plusieurs paramètres (prix, délai, fiabilité,... ) émergence de nouveaux moyens de livraison de type relais (moins cher mais contrainte de capacité / disponibilité de service!) DHL: Un pourcentage non-négligeable de colis sont refusés par les points relais pour faute de capacité de stockage disponible dans ces centres. impact négatif sur les clients et sur le système logistique en général! D. Quadri () LGI, le 14/03/ / 43
6 Le problème traité 2 services: Relais Colis (RSS) ou Livraison à Domicile (DAH). RSS: avantageux car généralement gratuit, mais stockage limité (rejet de colis) et déplacement du client. LD: avantageux car colis livré en peu de temps et à domicile, mais service onéreux. Comportement du e-client: chaque individu choisit son service de livraison dans le but de minimiser sa fonction d utilité (coût). Etude du compromis à faire (dans ce système) entre coût et bien-être/satisfaction. D. Quadri () LGI, le 14/03/ / 43
7 Méthodologies utilisées RSS: modélisé à l aide d une file d attente dite de Erlang-B (capacité finie et services multiples en parallèle). DAH: modélisé à l aide d une file d attente M/D/1-PS (capacité infinie et un serveur avec processeurs partagés). Chaque client choisit son service de livraison pour optimiser sa propre fonction d utilité. La décision de chaque client impacte indirectement la décision des autres clients (la fonction d utlité dépend de la demande). Le comportement des clients est modélisé à l aide des outils de la théorie des jeux. Problème de congestion étudié via des concepts d équilibre adaptés : Wardrop et Logit. D. Quadri () LGI, le 14/03/ / 43
8 Livraison à un point relais... Livraison à domicile Figure: Le modèle simplifié pour RSS et DAH D. Quadri () LGI, le 14/03/ / 43
9 RSS K p 1 p q 1/D DAH Figure: Le modèle de file d attentes pour RSS et DAH D. Quadri () LGI, le 14/03/ / 43
10 Plan 1 Introduction 2 Modèle 3 Analyses et résultats 4 Exemples numériques 5 Extension du modèle (Logit) 6 Analyse des données de DHL 7 Conclusions et perspective D. Quadri () LGI, le 14/03/ / 43
11 Modèle La demande des clients par unité de temps (jour ou semaine) suit un processus de Poisson de taux λ. Si le client choisit DAH alors il paie un prix fixe q. Chaque individu choisit d utiliser RC avec une probablité p. Hypothèse : la population est homogène et potentiellement infinie. D. Quadri () LGI, le 14/03/ / 43
12 RSS Le Relais Colis (RC) est modélisé par une file M/M/K/K où K est la capacité du relais, i.e. le nombre de colis qui peuvent être stockés en attente d être récupérés par le client. Hypothèse : le client récupère son colis selon un processus aléatoire, où µ représente le temps moyen qu un colis reste au relais. π() est la proba. de blockage d un paquet (si relais plein) selon la formule de Erlang-B. Si le paquet est rejeté, le coût de ce rejet est de C pour l utilisateur. D. Quadri () LGI, le 14/03/ / 43
13 RSS DAH Le Relais Colis (RC) est modélisé par une file M/M/K/K où K est la capacité du relais, i.e. le nombre de colis qui peuvent être stockés en attente d être récupérés par le client. Hypothèse : le client récupère son colis selon un processus aléatoire, où µ représente le temps moyen qu un colis reste au relais. π() est la proba. de blockage d un paquet (si relais plein) selon la formule de Erlang-B. Si le paquet est rejeté, le coût de ce rejet est de C pour l utilisateur. La compagnie de transport peut traiter au maximum 1/D colis par unité de temps. La (LD) est modélisée par une file M/D/1 avec une gestion des colis First-In-First-Out (FIFO). D. Quadri () LGI, le 14/03/ / 43
14 Fonctions de coût Coût moyen C r pour utilisateur final choisissant RC: où Π(λ, p, K, µ) = (ρp) K K! K (ρp) i i=0 i! C RC (p) = Π(λ, p, K, µ)c, comme formule de Erlang-B et ρ = λ µ. est la probabilité de blockage, aussi connue Coût moyen C LD pour utilisateur final choisissant LD: ( λ(1 p)d C 2 ) LD (p) = q + A D +. 2(1 λ(1 p)d) Finalement, coût moyen pour un client qui choisit RC avec une probabilité de p: C(p) = p C RC (p) + (1 p) C LD (p), = p C ( λp µ )K K! K i=0 ( λp µ )i i! ( ( λ(1 p)d 2 )) + (1 p) q + A D +. 2(1 λ(1 p)d) D. Quadri () LGI, le 14/03/ / 43
15 Fonction de coût pour le système centralisé? D un point de vue centralisé, i.e. le système ne donne pas le choix à chaque utilisateur,, il est possible de contrôler le système de telle sorte que la proportion p que chaque individu choisisse RSS. La valeur de p est définie par: p : optimale repartition. p = arg min p [0,1] C(p) Degré de liberté des clients Introduction de ce degré. Oberservation de l impact sur la performance du système en terme de coût moyen de chaque utilisateur. D. Quadri () LGI, le 14/03/ / 43
16 Plan 1 Introduction 2 Modèle 3 Analyses et résultats 4 Exemples numériques 5 Extension du modèle (Logit) 6 Analyse des données de DHL 7 Conclusions et perspective D. Quadri () LGI, le 14/03/ / 43
17 Jeux de routage non coopératifs Si le nombre de joueurs tend à être très grand le concept classique de l équilibre de Nash devient difficile à expliciter. On parle de Non-atomic Games. Depuis les années 70, il existe, dans la communauté des transports, un concept d équilibre qui prend en compte ce tr`s grand nombre de joueurs: L équilibre de Wardrop. Un très grand nombre de véhicules choisissent leur route chaque jour. Chaque véhicule à une source et une destination. Objectif classique: minimiser le temps de trajet. D. Quadri () LGI, le 14/03/ / 43
18 Equilibre de Wardrop En se basant sur le 1er principe de Wardrop, la décision d un utilisateur n a pas d influence sur une population de joueurs le coût moyen pour un individu qui choisit RC avec une probablité de p par rapport à une population de joueurs p est donné par: C(p, p ) = p C RC (p ) + (1 p) C LD (p ). Une stratégie p w est un équilibre de Wardrop (dans notre contexte) C RC (p w ) = C LD (p w ). Remarque 1 Dernière égalité en accord avec le 2nd principe de l équilibre de Wradrop i.e. les coûts de chaque lien utilisé par un client sont égaux à l équilibre. D. Quadri () LGI, le 14/03/ / 43
19 Existence et unicité de l équilbre de Wardrop Pour tout K, C, A, D, λ et µ, l équilbre de Wardrop p w existe et est unique. Il est donné par: si q > C ρ K K! K ρ i i=0 i! AD p w = 1 ( tous les clients choisissent RC), sinon p w est solution unique de l équation suivante: avec ρ = λ µ. C (ρp)k K! K (ρp) i i=0 i! ( λ(1 p)d 2 ) = q + A D +, 2(1 λ(1 p)d) D. Quadri () LGI, le 14/03/ / 43
20 Remarque 2 Selon les paramètres du système (si le prix q est trop grand), il est possible d obtenir un équilibre trivial (p w = 1) : tous les clients choisissent RSS. Remarque 3 Si p w (équilibre non trivial) existe (i.e. p w ]0, 1[) alors p w peut être déterminé en résolvant un polynôme de degré K + 1. D. Quadri () LGI, le 14/03/ / 43
21 Existence et unicité de l équilbre de Wardrop Hypothèse forte: les clients sont totalement rationnels (i.e. chaque client joue l équilibre avec une connaissance totale du problème). Hypothèse plus réaliste: la décision de chaque client ne peut pas être totalement rationnelle i.e. chaque individu peut faire des erreurs de perception, de décision, etc... Solution: notion de rationnalité bornée ( Discrete Choice Models). D. Quadri () LGI, le 14/03/ / 43
22 Discrete Choice Models (DCM) Logit: si l erreur suit une loi de distribution de Gumbel le DCM est appelé modèle de Logit. Dans ce cas, la stratégie mixte d un individu choisissant RC est explicitement donnée par: e γ C RC (p) e γ C RC (p) + e γ C LD (p). Le paramètre γ représente le niveau de rationnalité d un client. L équilibre du Logit p l est une stratégie mixte solution de l équation de point fixe: p l = e γ C r (p l ) e γ C r (p l ) + e γ C l (p l ). D. Quadri () LGI, le 14/03/ / 43
23 Existence et unicité de l équilibre du Logit Pour tout K, C, A, D, q, λ, γ and µ, l équilibre du Logit p l existe et est unique. Comparaison avec l équilibre de Wardrop En considérant notre système de livraison, nous avons la relation suivante entre la proportion de clients qui choisissent LD quand les clients sont totalement rationnels en comparaison avec les clients qui ne sont pas totalement rationnels: if p w 1/2 then p w p l 1/2, else p l < p w. D. Quadri () LGI, le 14/03/ / 43
24 Existence et unicité de l équilibre du Logit Pour tout K, C, A, D, q, λ, γ and µ, l équilibre du Logit p l existe et est unique. Comparaison avec l équilibre de Wardrop En considérant notre système de livraison, nous avons la relation suivante entre la proportion de clients qui choisissent LD quand les clients sont totalement rationnels en comparaison avec les clients qui ne sont pas totalement rationnels: if p w 1/2 then p w p l 1/2, else p l < p w. Comparaison des coûts moyens à l équilibre? D. Quadri () LGI, le 14/03/ / 43
25 Prix de la rationnalité Le prix de la rationnalité est défini par: PoR = max p L C(p) max p W C(p). Résultats Voici des bornes du prix de la rationnalité : si p w < 1/2 PoR ] C l (p l ) C l (p w ), [, si p w > 1/2 PoR [0, C l (p l ) C l (p w ) [, si p w = 1/2 PoR = 1. D. Quadri () LGI, le 14/03/ / 43
26 Plan 1 Introduction 2 Modèle 3 Analyses et résultats 4 Exemples numériques 5 Extension du modèle (Logit) 6 Analyse des données de DHL 7 Conclusions et perspective D. Quadri () LGI, le 14/03/ / 43
27 Génération des exemples Paramètres fixés : C = 8, q = 5, A = 5, λ = 40. Paramètres de contrôle du système : K et 1/D. Pour chaque illustration 3 valeurs de γ : γ = 1, γ = 10 et γ = 50. Utilisation de MATLAB. D. Quadri () LGI, le 14/03/ / 43
28 K varie: Equilibres de Wardrop, de Logit et la répartition optimale par rapport à K 1 Equilibrium p w p l with γ=1 p l with γ=10 p l with γ=50 p * K D. Quadri () LGI, le 14/03/ / 43
29 K varie: Prix de la rationnalité selon K Price of Rationality γ=1 γ=10 γ= K D. Quadri () LGI, le 14/03/ / 43
30 1/D varie (K = 6): Equilibres de Wardrop, de Logit et la répartition optimale par rapport à 1/D Equlibrium p w p l with γ=1 p l with γ=10 p l with γ=50 p * /D D. Quadri () LGI, le 14/03/ / 43
31 1/D varie (K = 6) : Prix de la rationnalité selon 1/D γ=1 γ=10 γ=50 Price of Rationality /D D. Quadri () LGI, le 14/03/ / 43
32 Plan 1 Introduction 2 Modèle 3 Analyses et résultats 4 Exemples numériques 5 Extension du modèle (Logit) 6 Analyse des données de DHL 7 Conclusions et perspective D. Quadri () LGI, le 14/03/ / 43
33 Extension Plusieurs alternatives agissent de façon similaires (ne sont pas indépendantes ou corrélées), alors: Modèle de Logit imbriqué Objectif Etudier un modèle de comportement stratégique dans un système avec files d attente et un modèle de choix de type Logit imbriqué. D. Quadri () LGI, le 14/03/ / 43
34 Zone Urbaine Livraison à un point relais Zone Industrielle... Livraison à domicile Figure: Le modèle simplifié pour RSS (2 choix) et DAH D. Quadri () LGI, le 14/03/ / 43
35 Extension Zone urbaine: capacité petite mais trajet limité Zone industriel: grande capacité mais trajet important Modèle de Logit imbriqué avec ces deux alternatives corrélées. Equilibre de Logit est un cas particulier du Quantal Response Equilibrium (QRE). Il est obtenu par résolution d une équation de point fixe de type: p=q(p), avec Q(.) est la fonction de réponse quantale (BR, Logit,...). D. Quadri () LGI, le 14/03/ / 43
36 Etude de l équilibre Dans notre cas du Logit imbriqué, la fonction de réponse quantale implique un système non-linéaire à résoudre. Plusieurs solutions envisagées: Linéarisations, Approximation, Etude numérique. D. Quadri () LGI, le 14/03/ / 43
37 Plan 1 Introduction 2 Modèle 3 Analyses et résultats 4 Exemples numériques 5 Extension du modèle (Logit) 6 Analyse des données de DHL 7 Conclusions et perspective D. Quadri () LGI, le 14/03/ / 43
38 Analyse des données fournies par DHL Données issues des commandes de livraison d un site de e-commerce. Etudes de l évolution des commandes sur un intervalle de 3 mois (Janvier, Février, Mars) Format initial des données sous EXCEL Calcul et traitement des données sous EXCEL et MATLAB. Test du Khi-2 pour valider les demandes de type Poisson. D. Quadri () LGI, le 14/03/ / 43
39 Analyse de l étape out D. Quadri () LGI, le 14/03/ / 43
40 Analyse des données L étape du processus qui nous intéresse est l étape out, plus précisément la partie préparation. Nombre de commandes total par jour toutes catégories confondues. Les commandes regroupées le Lundi sont réparties sur tout le week-end et compris le Lundi. Pour une meilleure représentation, on regroupe les données dans des classes par pas de 50. D. Quadri () LGI, le 14/03/ / 43
41 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0, Comparaison des histogrammes: nombre de commandes / Poisson Nombre de jours Histogramme des données Proba d'apparition Histogramme de Poisson D. Quadri () LGI, le 14/03/ / 43
42 Test du Khi-2 Test du Khi-2: Tester l adéquation d une série de données aléatoires à une famille de lois de probabilités. Etapes: Rassembler les données aléatoire X Définir la loi X de probabitilité à rapprocher Hypothèse nulle, H0: X X. Définir un risque α (1 5%) Déterminer un degré de liberté ( dll = nb classes). Calcul de la statistique Dn. Vérification et comparaison des résultats avec le tableau de Khi-2 D. Quadri () LGI, le 14/03/ / 43
43 Validation de l utilisation du processus de Poisson dans notre système 0,18 0,16 Pourcentage / Probabilités 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 Pourcentage d'apparition Probabilités de Poisson 0 31/12/ /01/ /01/1900 Classes de données Notre test valide la demande journalière suivant un processus de Poisson. (Dn=15,43 et seuil à 5% est 34,8) D. Quadri () LGI, le 14/03/ / 43
44 Plan 1 Introduction 2 Modèle 3 Analyses et résultats 4 Exemples numériques 5 Extension du modèle (Logit) 6 Analyse des données de DHL 7 Conclusions et perspective D. Quadri () LGI, le 14/03/ / 43
45 Conclusions Contributions de notre travail: Un 1er modèle simple pour 2 services de livraison basé sur la théorie des files d attente et la théorie des jeux. Une étude théorique des équilibres de Wardrop et Logit Equilibrium. Une comparaison des 2 équilibres. L utilisation du prix de la rationnalité pour mesurer l écart de performance du système. Extension : Logit imrbiqué (Etude en cours). Perspective Optimisation du revenu du fournisseur en fonction de l équilibre sous-jacent des usagers (MPEC). D. Quadri () LGI, le 14/03/ / 43
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