2) Par lecture graphique, donner le tableau de signes de f(x) 3) Par lecture graphique, donner le tableau de variations de f(x)

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1 2 Automath - Savoir lire graphiquement Vocabulaire Langage des fonctions antécédent x image f(x) pour les points de la courbe y = f(x) Langage des graphiques abscisse x ordonnée y Exercice 1 1) Sans calculatrice, représenter graphiquement la fonction f définie sur [ 3 ; 3] par f(x) = 4 x 2 2) Par lecture graphique, donner le tableau de signes de f(x) 3) Par lecture graphique, donner le tableau de variations de f(x) Exercice 2 Dans un repère orthogonal, 1) Colorier tous les points d abscisses 4. Donner une équation de l ensemble de points obtenu. 2) Colorier tous les points d ordonnée 3. Donner une équation de l ensemble de points obtenu. 3) Tracer la droite d équation y = 2 4) Tracer la droite d équation x = 5 5) Colorier les points M(x ; y) tels que : y 4 6) Colorier les points M(x; y) tels que : 1 x 2 Exercice 3 f et g sont deux fonctions. a, b et c sont des nombres. Donner les coordonnées des points F, P, R H, K, Q en utilisant : Soit des nombres connus Soit les réels notés a, b, c ainsi que les images notées f(a), f(b) Exercice 4 Soit f une fonction dont la représentation C f est donnée ci-après : toutes les questions se font par lectures graphiques. 2 Automath - Lectures graphiques Toussaint.docx F. de Verclos (lycée Saint-Marc) Page 1 sur 9

2 1) Donner l ensemble de définition de f 2) Donner l image de 3 par la fonction f 3) Donner les antécédents de 2 par la fonction f 4) Donner le maximum et le minimum de f sur [ 9 ; 11 ] 5) Donner le maximum et le minimum de f sur [ 8 ; 3 ] 6) Décrire par des phrases, les variations de f 7) Donner le tableau de variation de f 8) Sachant que 9 a 11, encadrer f(a) 9) Sachant que 2 b 7, encadrer f(b) 10) Résoudre f(x) = 3 11) Résoudre f(x) > 4 12) Résoudre g(x) f(x) Vigilance de vocabulaire Il faut veiller à ce que les objets dont on parle soient bien définis : f étant une fonction numérique, «les antécédents d un point par f», «l image du point par f» n existent pas de même pour «l abscisse de f», «l ordonnée de f», Bien faire attention à la nature des objets : nombre, point, fonction, courbe x, f(x), y sont des nombres Parler du point 2 est incorrect (x ; f(x)) sont les coordonnées d un point pas le point Il vaut mieux dire «le point de coordonnées (2 ; 3) est sur C f» ou encore «A(2 ; 3) est sur C f» plutôt que «(2 ; 3) est sur C f» C f est une courbe : c est-à-dire un ensemble de points. C f n a ni abscisse, ni ordonnée. Ce sont les points de C f qui ont des abscisses et des ordonnées. f est une fonction (procédé de transformation, une boite noire de calcul) Ecrire la «fonction f(x)» est incorrect car f(x) désigne seulement la formule qui permet la transformation pas la transformation. Par exemple, si f(x) = 4x 7, la fonction est le procédé qui «à un nombre fait correspondre quatre fois ce nombre moins 7» 2 Automath - Lectures graphiques Toussaint.docx F. de Verclos (lycée Saint-Marc) Page 2 sur 9

3 f n a pas de point, pas d abscisse, pas d ordonnée, Eviter un langage trop imagé : «On se met sur le point», «on se met sur la courbe» «On lit le point». Comment lire ce point là Exercice 1 : Pour se corriger Question 1 On «balaye» [ 3 ; 3 ] avec des nombres. Par exemple : On calcule l image de chacun de ces nombres par la fonction f Voici le détail des calculs (on ne les mets sur une copie que s ils sont explicitement demandés) f( 3) = 4 ( 3) 2 = 4 9 = 5 f( 2) = 4 ( 2) 2 = 4 4 = 0 f( 1) = 4 ( 1) 2 = 4 1 = 3 f( 0,5) = 4 ( 0,5) 2 = 4 0,25 = 3,75 f(0) = = 4 0 = 4 f(0,5) = 4 0,5 2 = 4 0,25 = 3,75 f(1) = = 4 1 = 3 f(2) = = 4 4 = 0 f(3) = = 4 9 = 5 Parfois, on met les résultats dans un tableau appelé «tableau de valeurs» x ,5 0 0, f(x) ,75 4 3,75 4-0,25-5 Après on place les points obtenus un graphique sur on relit le plus régulièrement possible et on obtient l allure de la courbe 2 Automath - Lectures graphiques Toussaint.docx F. de Verclos (lycée Saint-Marc) Page 3 sur 9

4 Question 2 Le tableau de signes (par lectures graphiques) semble être Valeurs de x signe de f(x) Cela s interprète par : Pour un nombre entre 3 et 2, le résultat de la formule 4 x 2 est un nombre négatif (on obtient 0 quand x vaut -2) Pour un nombre entre 2 et 2, le résultat de la formule 4 x 2 est un nombre positif (on obtient 0 quand x vaut -2 et quand x vaut 2) Pour un nombre entre 2 et 3, le résultat de la formule 4 x 2 est un nombre négatif (on obtient 0 quand x vaut 2) Question 3 Le tableau de variations (par lectures graphiques) semble être : Valeurs de x variations 4 de f(x) 5 5 Cela s interprète par : Quand les antécédents augmentent de 3 à 0, les images augmentent de 5 à 4 On dit que f est croissante sur [ 3 ; 0] Quand les antécédents augmentent de 0 à 3, les images augmentent de 5 à 4 On dit que f est décroissante sur [ 0 ; 3] Exercice 2 Question 1 Question 2 Question 3 Tous les points de la droite ont pour abscisse 4 Une équation de la droite est : x = 4 Tous les points de la droite ont pour ordonnée 3 Une équation de la droite est y = 3 Tous les points de la droite ont pour ordonnée -2 Une équation de la droite est y = 2 2 Automath - Lectures graphiques Toussaint.docx F. de Verclos (lycée Saint-Marc) Page 4 sur 9

5 Question 4 Question 5 Question 6 Tous les points de la droite ont pour abscisse 5 Une équation de la droite est : x = 5 Tous les points M(x; y) pour lesquels: y 4 sont au-dessus de la droite ou sur la droite. Tous les points M(x; y) pour lesquels 1 x 2 sont sur les droites ou entre les droites. Exercice 3 Une équation de D 2 est : y = a. Cela veut dire que les points de la droite D 2 sont ceux qui ont pour ordonnée a Donc y F = y H = y Q = a Une équation de D 1 est : x = b. Cela veut dire que les points de la droite D 1 sont ceux qui ont pour abscisse b Donc x R = x P = x H = x K = b Chaque point de la courbe C f a son ordonnée qui est l image de son abscisse. En particulier y R = f(x R ) Comme R est sur C f, x R = b Donc R(b ; f(b)) Chaque point de la courbe C g a son ordonnée qui est l image de leur abscisse. En particulier y K = g(x K ) Comme K est sur D 1, x K = b Donc K(b ; g(b)) D après le graphique, x F = c Comme F est sur D 2, y F = a Donc F(c ; a) Les points de l axe des abscisses ont pour ordonnée 0. Comme P est sur l axe des abscisses, x P = 0 Donc P(b ; 0) Comme P est sur l axe des ordonnées : x P = 0 Comme P est sur l axe des ordonnées : y P = 0 Donc Q(0 ; 0) Comme H est sur D 1, x H = b Comme H est sur D 2, y H = a donc H(b ; a) 2 Automath - Lectures graphiques Toussaint.docx F. de Verclos (lycée Saint-Marc) Page 5 sur 9

6 Réponses F(c ; a) on a bien sûr : F(c ; g(c)) ou encore F(c ; f(c)) mais f(c) = g(c) = a R(b ; f(b)) P(b ; 0) H(b ; a) K(b ; g(b)) Q(0 ; a) Exercice 4 Question 1 On lit tous les abscisses des points de C f. L ensemble de définition est [ 9 ; 11] Question 2 Première explication : On cherche le point de la courbe d abscisse 3. On lit son ordonnée. L image de 3 par f est 2 Seconde explication : On trace la droite d équation x = 3. Elle coupe la courbe au point A. On lit l ordonnée de A L image de 3 par f est 2 Question 3 Première explication : On cherche les points de la courbe d ordonnée 2. On lit leurs abscisses. 2 a trois antécédents. Environ : 8 2,2 10 Seconde explication : On trace la droite d équation y = 2. Elle coupe la courbe en trois points. On lit les abscisses de ces points. 2 a trois antécédents. Environ : 8 2,2 10 Question 4 On cherche le point le plus haut de la courbe. On lit son ordonnée. Le maximum de f sur [ 9 ; 11] est 6 On cherche le point le plus bas de la courbe. On lit son ordonnée. Le minimum de f sur [ 8 ; 3] est 6 2 Automath - Lectures graphiques Toussaint.docx F. de Verclos (lycée Saint-Marc) Page 6 sur 9

7 Question 5 On limite la lecture aux points dont l abscisse est comprise entre 8 et 3. On ne tient pas compte des zones grisées. On cherche le point le plus haut de la portion de courbe. On lit son ordonnée. Le maximum sur [ 8 ; 3] est 2 On cherche le point le plus bas de la portion de courbe. On lit son ordonnée. Le minimum sur [ 8 ; 3] est 6 Question 6 Quand x augmente de 9 à 5 f(x) diminue de 1 à 6 Les variations sont de sens contraire. L ordre est inversé f est décroissante sur [ 9 ; 5] Quand x augmente de 5 à 5 f(x) augmente de 6 à 6 Les variations sont de même sens L ordre est conservé f est croissante sur [ 5 ; 5] Quand x augmente de 5 à 11 f(x) diminue de 6 à 3 Les variations sont de sens contraire. L ordre est inversé. f est décroissante sur [5 ; 11] Question 7 Valeur de x Variations de f Automath - Lectures graphiques Toussaint.docx F. de Verclos (lycée Saint-Marc) Page 7 sur 9

8 Question 8 En se référant au tableau de variation : 6 est le minimum de f sur [ 9 ; 11] : pour tout réel a de [ 9 ; 11], 6 f(a) 6 est le maximum de f sur [ 9 ; 11] : pour tout réel a de [ 9 ; 11], f(a) 6 Ainsi : 6 f(a) 6 Question 9 Première idée : En se référant au graphique, et en le limitant aux abscisses dans l intervalle [ 8 ; 3] : 6 est le minimum de f sur [ 8 ; 3] : pour tout réel b de [ 8 ; 3], 6 f(b) 2 est le maximum de f sur [ 8 ; 3] : pour tout réel b de [ 8 ; 3], f(b) 2 Ainsi : pour tout b [ 8 ; 3] 6 f(b) 2 Seconde idée : En se référant au tableau de variations Pour tout b [ 8 ; 3] 6 f(b) 2 Question 10 Première explication : On cherche les points de la courbe d ordonnée 3. On lit leurs abscisses. L équation f(x) = 3 a deux solutions : 3,2 et 7,5 Seconde explication : On trace la droite d équation y = 3. Elle coupe la courbe en deux points. On lit les abscisses de ces points. 3 a deux antécédents. Environ : 3,2 et 7,5 2 Automath - Lectures graphiques Toussaint.docx F. de Verclos (lycée Saint-Marc) Page 8 sur 9

9 Question 11 Première explication : On cherche les points de la courbe dont l ordonnée est supérieure à 4. On lit leurs abscisses. L ensemble des solutions de l inéquation f(x) 4 est : [ 9 ; 7,1 ] [ 1,2 ; 11] Seconde explication : On trace la droite d équation y = 4. On cherche les points de la courbe situés au-dessus de la droite. On lit les abscisses de ces points. L ensemble des solutions est : [ 9 ; 7,1 ] [ 1,2 ; 11] Question 12 On cherche les points de C g situés au-dessus de C f ou situés sur C f. On lit leurs abscisses. L ensemble des solutions de l inéquation g(x) f(x) est : [ 7,4 ; 3 ] 2 Automath - Lectures graphiques Toussaint.docx F. de Verclos (lycée Saint-Marc) Page 9 sur 9