T.D. Systèmes logiques et numériques

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1 T.D. Systèmes logiques et numériques Exercice n 1 : Simplifications d expressions logiques par le calcul. Simplifier les expressions suivantes : A = a c d + a b c + a b c + a c d B = b c d + a b c d + b c + a b c + a b c d C = b c d + a b d + b c d Exercice n 2 : Logigrammes et schémas à contacts. 1 - Représenter sous forme de logigramme, la forme simplifiée de A ainsi que celle de C. 2 - Représenter sous forme de schéma à contacts la forme simplifiée de A ainsi que celle de C. Exercice n 3 : Caractère universel des fonctions NAND et NOR. 1 - Ecrire la table de vérité de chacune des fonctions x. y, x + y, x NOR y, x NAND y. 2 - En déduire comment réaliser, à l aide de fonctions NAND uniquement, les fonctions x, x + y, x. y. 3 - Même question à l aide de fonctions NOR uniquement. 4 - Exprimer X = m + b. c uniquement à l aide de fonctions NAND, puis à l aide fonctions NOR uniquement. 5 - Faire le logigramme de chaque cas. Exercice n 4 : Commande d un monte charge. Un monte charge actionné par un vérin télescopique dessert les deux étages d un rayonnage. La cabine de ce monte charge est assise sur des ressorts installés dans le châssis. Lorsqu elle est vide, elle actionne trois capteurs placés entre le plafond de la cabine et celui du châssis. Ces capteurs servent à évaluer la masse de la charge posée dans le monte charge. L autorisation de départ du monte charge notée V est donnée dans chacun des trois cas suivants : - Le monte charge est à vide, alors les trois contacts a, b et c sont actionnés. - La charge posée a une masse comprise entre 25 kg et 200 kg, alors les contacts b et c sont actionnés et a est relâché. - La charge posée a une masse comprise entre 200 kg et 300 kg, alors le contact c est actionné et a et b sont relâchés. Par sécurité, on ne donnera pas l autorisation de départ pour une combinaison improbable des variables d entrée a, b et c. Deux capteurs de position s 0 et s 1 permettent de détecter la position du monte charge ; s 0 pour la position plancher ; s 1 pour la position étage. s 1 a b c Charge s 0 Le démarrage du mouvement de montée peut être effectué par l action sur le bouton poussoir m à condition que l autorisation de départ V soit vraie et que le monte charge soit au niveau plancher. On appelle Y la fonction logique correspondant au démarrage du mouvement de montée. Le démarrage du mouvement de descente peut être effectué par l action sur le bouton poussoir d à condition que l autorisation de départ V soit vraie et que le monte charge soit au niveau étage. On appelle X la fonction logique correspondant au démarrage du mouvement de descente. 1 - Faire la table de vérité de la fonction V pour toutes les combinaisons des variables d entrée a, b et c. 2 - Donner l expression logique la plus simple de V. 3 - Donner les expressions des fonctions X et Y.

2 Exercice n 5 : Fonction identité. Justifier que la cellule ci-contre réalise la fonction nommée identité = 1 Exercice n 6 : Feux tricolores. Des capteurs p 1, p 2, s 1 et s 2 détectant la présence de voitures, ont été placés à l intersection d un axe principal et d un axe secondaire. Ces capteurs donnent une information binaire, 0 quand il n y a pas de voiture et 1 en présence de voitures. Les feux de circulation se trouvant à cette intersection sont commandés de la façon suivante : - Les feux F 1 sont verts quand : - il y a des voitures sur les deux voies de l axe principal - il y a des voitures sur l une des deux voies de l axe principal sans qu il y ait des voitures simultanément sur les deux voies de l axe secondaire - il n y a pas de voiture du tout. - Les feux F 2 sont verts quand : - il y a des voitures sur l une des deux voies de l axe secondaire sans qu il y ait des voitures sur les voies de l axe principal - il y a des voitures sur les deux voies de l axe secondaire et il y a des voitures sur au maximum une seule des deux voies de l axe principal. La priorité est donnée à l axe principal quand il y a simultanément des voitures sur une des voies de l axe principal et sur une des voies de l axe secondaire. Un circuit logique commande ces feux de circulation. Ce circuit possède les quatre entrées correspondant aux capteurs et deux sorties binaires F 1 et F 2 ( valeurs à 1 si feux verts ). 1 - Etablir les équations logiques donnant F 1 et F 2. Simplifier ces équations. 2 - Compléter le chronogramme ci-contre. F 2 Axe principal F1 p 1 p 1 p 2 s 1 s 2 F 1 F 2 Axe secondaire s 1 s 2 p 2 F 1 F 2 Exercice n 7 : Presse d imprimerie. Dans une presse d imprimerie, des systèmes de transfert permettent le passage des feuilles une à une pour l impression avant de les empiler en sortie sur une table élévatrice. Le contrôle de marge (position) des feuilles est effectué par deux détecteurs situés à l entrée du premier groupe d impression. Un détecteur est composé de deux capteurs optiques : d 1 et d 2 pour le détecteur d placé à droite, g 1 et g 2 pour le détecteur g placé à gauche. En raison du sens de passage du papier, celui-ci couvre d abord les capteurs d 1 et g 1. Un capteur délivre une information qui vaut 1, lorsqu il détecte du papier, 0 dans le cas contraire. Un codeur placé sur le premier cylindre de transfert permet d avoir une information sur sa position angulaire. Chaque cylindre de transfert comporte une pince qui attrape le papier. Il faut donc synchroniser l arrivée du papier avec la position de la pince ( position 0 sur le cylindre ). 1 er cylindre de transfert 0 pince d 2 d 1 feuille g 2 g 1

3 Nous allons nous intéresser aux différents types de défauts rencontrés lors de la prise de feuille : - Avance de feuille : il y a avance de feuille lorsque celle-ci couvre les capteurs d 1 ou g 1 avant la position -5 du cylindre transfert ( feuille en avance sur l arrivée de la pince ). - Retard de feuille : il y retard de feuille lorsque celle-ci couvre les capteurs d 1 ou g 1 après la position +5 du cylindre transfert ( feuille en retard sur l arrivée de la pince ). - Travers de feuille : il y a travers de feuille lorsque les deux capteurs d un même coté sont couverts sans que les autres ne le soient. A chacun de ces défauts sont associés des voyants sur le pupitre de commande, respectivement A, R et T pour respectivement avance de feuille, retard de feuille et travers de feuille. Le codeur du cylindre de transfert renvoie deux informations binaires a et r suivant les lois représentées ci-contre. 1 - Donner les équations logiques définissant les voyants A et R. 2 - Donner l équation logique définissant le voyant T. a r angle cylindre de transfert Exercice n 8 : Numération. 1 - Donner en binaire puis en hexadécimal les nombres et Effectuer l addition dans chacune des trois bases. Exercice n 9 : Capteur et son transcodeur. Un codeur de position absolue est un capteur qui permet de mesurer la position angulaire dans un repère absolu d un axe en rotation sur une plage angulaire d un tour. Un disque constitué de n pistes transparentes, est lié à l axe de rotation du capteur et n fourches optiques (constituées d une LED et d une photo-diode de part et d autre du disque) liées à la partie extérieure fixe permettent de lire les pistes. Le codage des pistes pourrait être réalisé en binaire naturel. Cependant, en cas de désalignement des n fourches optiques, l information décodée pourrait être erronée. Un autre codage est utilisé : Le code Gray. Le disque du capteur, composé dans cet exercice de 3 pistes représentées ci-contre, permet d illustrer le code Gray ( En pratique il y a de l ordre de 12 pistes ). Afin de décoder l information renvoyée par le codeur absolu, il est nécessaire de réaliser un transcodage pour passer du code Gray au code binaire naturel. Soit G le mot binaire renvoyé par le capteur. Il est composé de trois bits, c est à dire G = ( g 2, g 1, g 0 ). ( bit à 1 si blanc, à 0 si gris (bleu) ) Soit B le mot binaire recherché correspondant au numéro du secteur angulaire codé en binaire naturel. Il est composé également de trois bits, c est à dire B = ( b 2, b 1, b 0 ). 1 - Compléter la table de vérité ci-contre 2 - Exprimer les fonctions logiques b 2, b 1 et b 0 en fonction de g 2, g 1, g 0. g Numéro secteur g 2 g 1 g 0 b 2 b 1 b g g 1

4 Exercice n 10 : Système de pesée embarquée (d après Ecole l Air). Pour quantifier le poids d ordures ménagères déposé par chaque foyer, on place sur chaque conteneur un code barres pour l identifier. Le code du conteneur de la ville de Bretigny sur Orge est donné en exemple ci-contre. C est un code de type 128 qui est utilisé. Ce code est à très haute densité et permet de représenter les 128 premiers caractères ASCII avec une très grande fiabilité. Il nécessite n+3 caractères pour coder un message de n caractères proprement dits. En effet un premier caractère donne le START en précisant le sous type (A, B ou C) de ce code, les n suivants sont ceux du message proprement dit, l avant dernier est une clé de contrôle d erreur et le dernier donne le STOP. Chaque caractère est composé de 3 barres B noires et de trois espaces E blancs disposés sur une largeur constante divisée en 11 parties ou modules. Une barre B ou un espace E occupent donc de un à quatre modules. Seul le caractère STOP se distingue par 4 barres B, 3 espaces E en 13 modules. Chaque caractère a une valeur comprise entre 0 et 105 (en base décimale). Cette valeur est utilisée pour calculer la clé de contrôle. Pour en obtenir sa valeur, il faut additionner la valeur du caractère START au produit de chaque valeur de caractère par sa position, ensuite il faut calculer le reste de la division par 103. La position d un caractère est comptée à partir du premier caractère utile (ici, le B de BRETIG ). 1 - Déterminer le code du jeu de caractère utilisé. 2 - Déterminer la valeur de la clé de contrôle 3 - Représenter sur le document réponse ci-contre la forme graphique de la clé de contrôle. 4 - Expliquer comment une erreur peut être détectée avec ce code barres.

5 Exercice n 11 : Code 2D DataMatrix (d après ICNA 2011). Le code DataMatrix est un code bidimensionnel à haute densité, permettant de représenter une quantité importante d'informations sur une surface réduite. Il se compose d un motif extérieur permettant le repérage des lignes et des colonnes et d une matrice de données située à l intérieur. Grâce à l écriture redondante des informations, il offre un niveau de sécurité maximal : lecture possible d un symbole partiellement effacé jusqu à environ 20% de la surface totale, au contraire d un code unidimensionnel qui n offre aucune sécurité si le symbole est dégradé. La taille du DataMatrix dépend du nombre de caractères numériques à coder. Pour un message de 6 chiffres, la matrice intérieure sera constituée d un carré de 10 lignes et 10 colonnes. La surface totale du DataMatrix pour un message de 6 chiffres sera alors de 10 mm 2, alors que le même message codé avec le code barre linéaire 39 occuperait plus de 30 mm 2. En étudiant l exemple simple du message de 6 chiffres « », le message de données sera constitué de 3 octets, chaque octet codant une paire de caractères : Octet = (valeur numérique de la paire) Ainsi «12» = = «34» = = 164 «56» = = Ainsi la séquence de données après encodage sera en décimal. Cette séquence sera complétée par 5 octets de correction d erreurs, calculés par un algorithme adéquat, non étudié ici. Ces 5 octets représentent des informations redondantes par rapport aux données initiales La séquence complète sera constituée des 8 octets suivants, donnés ici en décimal : La séquence complète sera placée dans la matrice binaire du DataMatrix suivant les emplacements définis ci-contre : 1.1 correspond au premier bit du premier octet 1.2 au 2 eme bit du premier octet Et ainsi de suite Un «1» correspond à une cellule noire, un «0» à une cellule blanche. 1 - Donner l écriture binaire codée sur 8 bits de chacun des 3 premiers octets de données seulement. Compléter les cellules élémentaires correspondantes du DataMatrix sur le document réponse ci-contre. 2 - Donner l écriture hexadécimale (base 16) des 3 premiers octets de données étudiés.

6 Exercice n 12 : Porte de garage. Une porte de garage basculante est mise en mouvement par un moteur électrique à deux sens de rotation, Ouvrir et Fermer. Deux butées de fonctionnement (une haute, une basse) indiquent la fin de mouvement par la détection d une surintensité moteur. Une télécommande manuelle embarquée permet, avec un appui bref sur son unique bouton, le fonctionnement suivant : ouvrir la porte si elle est fermée, fermer la porte si elle est ouverte, inverser le sens de mouvement si la porte est en mouvement. Un boîtier mural de commande est installé à l intérieur du garage, il possède deux boutons : Ouvrir et Fermer. Le bouton Ouvrir permet d ouvrir la porte si elle est fermée. Le bouton Fermer permet l inverse. 1 - Ce système est-il séquentiel ou combinatoire? 2 - Etablir un chronogramme du fonctionnement avec la seule télécommande (sans le boîtier mural) fonctionnement. 3 - Etablir un diagramme d Etat SysML de l ensemble du Exercice n 13 : Diagramme d état compteur et temporisation. Soient les deux diagrammes d Etat SysML ci-contre. V et V1 sont deux voyants et i est une information tout ou rien qui passe de 0 à 1 et de 1 à 0 de manière cyclique, mais irrégulière. 1 - Quelle est la condition qui fait passer le voyant V de 0 à 1? Tracer le chronogramme correspondant à ce cas. 2 - Quelle est la condition qui fait passer le voyant V1 de 0 à 1? Tracer le chronogramme correspondant à ce cas. Etat 1 Entry/ V := 0 [i] Etat 2 Etat 3 Etat 4 [/i] Entry/ V := 1 [après 10 s] [après 2 s] [i] [C = 5] Etat 1 Entry/ C := 0 et V1 := 0 Etat 2 Entry/ C := C +1 Etat 4 Entry/ V1 := 1 [i] Etat 3 [après 10 s] [/i] [i] Exercice n 14 : Mouvement d un treuil Le déplacement du chariot d un treuil est défini par les variables de sortie G et D ( G = 1 pour un déplacement à gauche, D = 1 pour un déplacement à droite ). (G,D) = (1,1) est une combinaison interdite et (G,D) = (0,0) signifie que le chariot est à l arrêt. Les variables d entrée sont dcy = 1 pour départ de cycle, cg = 1 pour le chariot est à gauche et cd = 1 pour le chariot est à droite. Initialement, le chariot est à gauche. L appui sur dcy n a d effet que si le chariot est à gauche. Le cycle nominal comprend un déplacement à droite, puis un retour à gauche. Diagramme 1 Diagramme 2

7 1 - Dresser la table de vérité du système décrit ci-dessus. 2 - Le système est-il combinatoire ou séquentiel? 3 - Indiquer le nombre d états possibles du système. 4 - Compléter le diagramme d états ci-contre du système. Arrêt du chariot Exercice n 15 : Système de correction d inclinaison de phares de véhicule L assiette d un véhicule se modifie avec la charge. Cette modification entraîne une variation d inclinaison de l axe du faisceau lumineux produit par les phares du véhicule. Ceux-ci peuvent alors éblouir d autres conducteurs ou mal éclairer la chaussée. Certaines voitures, équipées d un système de correction de la portée des phares, utilisent des capteurs d assiette reliés aux essieux avant et arrière du véhicule. Le dispositif étudié est un correcteur de portée statique, qui ne corrige la portée que lorsque le véhicule est à l arrêt. Il conserve cette correction lorsque le véhicule roule. Les capteurs d assiette donnent des informations sur la variation d inclinaison du châssis de la voiture. Le calculateur détermine l angle de correction de portée qui correspond à l angle du véhicule. Il s agit de codeurs rotatifs opto-électroniques de type incrémentaux comportant : - un disque optique mobile avec deux pistes A et B comportant chacune une succession de parties opaques et transparentes. - deux cellules fixes, pour chaque piste : une cellule émettrice de lumière d un coté et une réceptrice de l autre. Lorsqu une modification d assiette se produit, les signaux a et b émis par le codeur présentent l allure suivante. Ils sont en quadrature de phase (déphasage de 90 ) Il est donc possible pour le calculateur de connaître non seulement l amplitude de la correction à apporter ( nombre de changements d états des variables a et b ) mais aussi dans quel sens ( fonction logique S, avance de phase ou retard de phase ).

8 1 - Dresser la table de vérité de la fonction logique S = f(a,b). 2 - Le système permettant de déterminer la fonction S est-il séquentiel ou combinatoire? 3 - Donner les condition 1 et condition 2 du diagramme d états défini ci-contre. On pourra utiliser des fronts montants ( ) sur les variables a et b. 4 - Modifier le diagramme d états pour que : - le système retourne en état d attente une seconde après avoir détecté le sens de rotation - l entrée dans un état caractérisant le sens de rotation ne peut se faire qu à partir de l état d attente. [condition 2] Attente Sens2 S = 1 [condition 1] [condition 1] Sens1 S = 0 [condition 2] Exercice n 16 : Algorithme de commande en vitesse trapézoïdale. La plupart des cartes de commande de moteur proposent l option a de commande trapézoïdale pour un déplacement en boucle ouverte. La carte est configurée à la base avec l accélération maximale a max et la vitesse maximale v max de l axe. Ensuite pour une consigne de déplacement demandé d, la carte a max 0 t 1 t 2 t f t doit calculer les positions intermédiaires x 1 et x 2 de fin d accélération - a max et de début de décélération, les temps t 1, t 2 et t f correspondant aux déplacements x 1, x 2 et d. La loi d accélération et la loi de vitesse sont données sur les deux v premières figures ci-contre. v max 1 - Représenter la loi de position sur la troisième figure ci-contre et placer les déplacements x 1, x 2 et d. 2 - Calculer les grandeurs t f, x 1 et x 2 en supposant que le déplacement d est suffisamment grand pour que la vitesse v max soit atteinte. 3 - En déduire l algorithme transformationnel qui réalise le calcul de ces grandeurs. ( On choisira une configuration de base v max = 2 m/s et a max = 1,5 m/s 2 ) 4 - Proposer une variante de cet algorithme incluant, en plus du précédent, le cas où le déplacement d demandé est insuffisant pour atteindre la vitesse maximale v max. 0 t x t 1 0 t t 1 t 2 t 2 t f t f

9 Exercice n 17 : Système de simulation de trajectoire ( d après Concours Mines Ponts 1997 ) Lors du largage d une charge par un avion porteur ( missile, réservoir ), la trajectoire réelle de la charge s écarte parfois considérablement de la trajectoire souhaitée. Du fait des phénomènes fortement non linéaires qui caractérisent les écoulements aérodynamiques, il se peut que la charge larguée soit prise dans les turbulences engendrées par l avion et revienne percuter celui-ci. Pour étudier ces phénomènes, il est en principe possible de former un modèle théorique (par exemple basé sur les équations de la mécanique du solide et de la mécanique des fluides) implanté sur un système informatique qui résout numériquement ces équations. Mais dans les cas complexes, ce calcul numérique est encore hors de portée des meilleurs codes de calcul et des meilleurs ordinateurs actuels. On a donc recours à ce que les ingénieurs utilisent depuis l Antiquité : un modèle matériel, une maquette. Celle ci consiste en une maquette d avion à l échelle 1/6, larguant une maquette de la charge à la même échelle. Chacune est portée par un bras articulé, doté de nombreux degrés de liberté et pouvant ainsi reproduire tous les mouvements tridimensionnels des objets portés. Pour reproduire les efforts aérodynamiques, on place l ensemble dans une soufflerie. Les phénomènes de mécanique des fluides obéissent à des similitudes : A partir des grandeurs physiques observées à une certaine échelle, on peut en déduire la valeur de ces mêmes grandeurs à une autre échelle. Le respect des règles de similitude conduit cependant à une échelle de maquette proche de l avion réel. Ceci explique l importance des moyens matériels mis en jeu : La partie centrale de la soufflerie a 8 m de diamètre sur une longueur de 14 m. La fonction du système de trajectographie est d observer une trajectoire représentative de la trajectoire réelle de la charge larguée par rapport à celle de l avion en vol. Le système sert de moyen de mesure et de commande. La simulation se fait de façon statique, pas à pas. L avion et la charge sont placés par le système de commande de chaque bras en une position donnée. Les efforts aérodynamiques sur la charge sont alors mesurés. On en déduit, par les équations de la mécanique du solide, la position de la charge après un incrément de temps ( c est à dire une durée δ t finie, choisie à l avance, et faible par rapport à la durée totale du largage ). On commande alors le déplacement jusqu à la nouvelle position, et on itère. A la fin de l essai, la suite mémorisée des positions successives est analysée. Cette manière de procéder, par petits incréments de temps, permet de s affranchir des non linéarités des équations. Dans ce sujet, on s intéressera à une sous partie du système automatisé de déplacement de la charge par son bras robotisé. Etablir la description séquentielle d un essai, présenté ci avant par une structure algorithmique.