Partie 1: Gestion de l interférence entre symboles

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1 Partie 1: Gestion de l interférence entre symboles Philippe Ciblat Télécom ParisTech, France

2 Algo de Viterbi Egalisation OFDM Section 11 : Algorithme de Viterbi Philippe Ciblat Gestion de l interférence entre symboles 2 / 5

3 Algo de Viterbi Egalisation OFDM Canal sélectif en fréquence On souhaire décoder une trame (de n =,, N) L y(n) = h(l)s n l + b(n) l= avec s n des symboles d une constellation quelconque Comme y(n) non-indépendants (en raison de l IES), on travaille avec y = [y(),, y(n)] T et s = [s L,, s 1, s,,s N ] T } {{ } connus Philippe Ciblat Gestion de l interférence entre symboles 2 / 5

4 Algo de Viterbi Egalisation OFDM Détecteur ML [ŝ,, ŝ N ] = arg min [s,,s N ] constellation N+1 N y(n) n= L 2 h(l)s n l l= Le problème consiste à trouver le minimum d une forme quadratique sous certaines contraintes Approche exhaustive trop complexe O(M N+1 ) Optimiser sans contrainte et seuiller ensuite mauvaises perfs Solution Algorithme de Viterbi (1973) - optimal mais de complexité réduite Philippe Ciblat Gestion de l interférence entre symboles 3 / 5

5 Algo de Viterbi Egalisation OFDM Préliminaires On souhaite donc minimiser la fonction de coût suivante N J N (s (N) L 2 ) = y(n) h(l)s n l n= l= avec s (N) = [s,, s N ] T Remarque fondamentale J N (s (N) ) = J N 1 (s (N 1) ) + J(s N, E N ) avec L 2 J(s N, E N ) = y(n) h(l)s N l E N l= = [s N 1,, s N L ] T (mémoire/état du filtre) Le calcul va pouvoir se réaliser dynamiquement! Philippe Ciblat Gestion de l interférence entre symboles 4 / 5

6 Algo de Viterbi Egalisation OFDM Notion de treillis Permet de visualiser les vecteurs s (N) via les états {E n } n Représente en fait les transitions entre les états du signal Exemple : M = 2, L = 1 deux états E () = [ 1] et E (1) = [1] E () = 1 1 reçu chemin (un s possible) E (1) = 1 1 reçu instant branche nœud Branche : uniquement caractérisée par s n et E n (à l instant n) J : métrique de branche (combien ça coûte de passer par cette branche?) On cherche donc le chemin optimal Philippe Ciblat Gestion de l interférence entre symboles 5 / 5

7 Algo de Viterbi Egalisation OFDM Principe de l algorithme (I) Pour simplifier : deux états possibles E () = [ 1] et E (1) = [1] Plaçons-nous aux instants n 1 et n E () = 1 s (n 1) E () s n = 1 E (1) = 1 s (n 1) E (1) s n = 1 instant n 1 instant n Parmi les chemins arrivant en E () (et en E (1) ), un minimise J n 1 () s (n 1) opt E () tq J n 1 (s (n 1) opt E () ) J n 1 (s (n 1) E () ) s (n 1) opt E (1) tq J n 1 (s (n 1) opt E (1) ) J n 1 (s (n 1) E (1) ) Philippe Ciblat Gestion de l interférence entre symboles 6 / 5

8 Algo de Viterbi Egalisation OFDM Principe de l algorithme (II) Que se passe-t-il à l instant n en l état E ()? Autrement dit, que savons-nous sur s (n) E () et s (n) opt E () J n 1 (s (n 1) opt E () ) J n 1 (s (n 1) E () ) Philippe Ciblat Gestion de l interférence entre symboles 7 / 5

9 Algo de Viterbi Egalisation OFDM Principe de l algorithme (II) Que se passe-t-il à l instant n en l état E ()? Autrement dit, que savons-nous sur s (n) E () et s (n) opt E () J n 1 (s (n 1) opt E () ) + J( 1, E () ) J n 1 (s (n 1) E () ) + J( 1, E () ) Philippe Ciblat Gestion de l interférence entre symboles 7 / 5

10 Algo de Viterbi Egalisation OFDM Principe de l algorithme (II) Que se passe-t-il à l instant n en l état E ()? Autrement dit, que savons-nous sur s (n) E () et s (n) opt E () J n ([s (n 1) opt E (), 1]) J n ([s (n 1) E (), 1]) Tout chemin sous-optimal à l instant n 1 reste sous-optimal Philippe Ciblat Gestion de l interférence entre symboles 7 / 5

11 Algo de Viterbi Egalisation OFDM Principe de l algorithme (II) Que se passe-t-il à l instant n en l état E ()? Autrement dit, que savons-nous sur s (n) E () et s (n) opt E () J n ([s (n 1) opt E (), 1]) J n ([s (n 1) E (), 1]) Tout chemin sous-optimal à l instant n 1 reste sous-optimal Au final, s (n) opt E () = [s (n 1) opt E (), 1] ou [s (n 1) opt E (1), 1] selon les valeurs respectives de J n Philippe Ciblat Gestion de l interférence entre symboles 7 / 5

12 Complexité Algo de Viterbi Egalisation OFDM Algorithme de mise en œuvre du détecteur ML avec complexité raisonnable (1973) Complexité en O((N + 1)M L+1 ) - linéaire en N - polynômiale en M - exponentielle en L Donc M et L doivent être suffisamment petits Rappel : max k τ k = LT s, D b = log 2 (M)/T s et B = 1/T s Augmenter le débit revient soit à augmenter M mauvais pour Viterbi soit à augmenter B et donc L mauvais pour Viterbi Philippe Ciblat Gestion de l interférence entre symboles 8 / 5

13 Algo de Viterbi Egalisation OFDM Illustrations numériques Filtre h(z) = z 1 et absence de bruit Début : 1 Séquence de données : 1, 1, 1, 1 Fin : 1 Vecteur recherché : [ 1, s?, s 1?, s 2?, s 3?, 1] Vecteur reçu : [y( 1)?, 75, 75, 125, 75, 75, y(5)?] Métrique de branche (à l instant n) J = y(n) s n 25s n 1 2 Philippe Ciblat Gestion de l interférence entre symboles 9 / 5

14 Instant Algo de Viterbi Egalisation OFDM Philippe Ciblat Gestion de l interférence entre symboles 1 / 5

15 Instant 1 Algo de Viterbi Egalisation OFDM Philippe Ciblat Gestion de l interférence entre symboles 11 / 5

16 Instant 2 Algo de Viterbi Egalisation OFDM Philippe Ciblat Gestion de l interférence entre symboles 12 / 5

17 Instant 3 Algo de Viterbi Egalisation OFDM Philippe Ciblat Gestion de l interférence entre symboles 13 / 5

18 Instant 4 Algo de Viterbi Egalisation OFDM Philippe Ciblat Gestion de l interférence entre symboles 14 / 5

19 Algo de Viterbi Egalisation OFDM Section 12 : Egalisation linéaire Philippe Ciblat Gestion de l interférence entre symboles 15 / 5

20 Principe Algo de Viterbi Egalisation OFDM Objectif Viterbi trop complexe si débit élevé Construire un récepteur simple (mais sous-optimal) b(n) Fitlre global q s n h y(n) Egaliseur p v(n) ŝ n IES e IES s Question : comment choisir le filtre p (de taille infinie)? Philippe Ciblat Gestion de l interférence entre symboles 15 / 5

21 Algo de Viterbi Egalisation OFDM Egaliseur ZF On annule entièrement l IES q = δ p ZF h = δ p ZF (z) = 1 h(z) Ainsi avec v(n) = s n + b (n) b (n) = p ZF b(n) Problème : le bruit b (n) a été augmenté! Philippe Ciblat Gestion de l interférence entre symboles 16 / 5

22 Algo de Viterbi Egalisation OFDM Défaut : Rehaussement du bruit RSB e = E s 2N 1 h(e 2iπf ) 2 df D après inégalité de Cauchy-Schwartz, d où 1 = 1 h(e 2iπf ) h(e 2iπf ) df 1 RSB s = E s 1 2N 1 h(e 2iπf ) 2 df 1 1 h(e 2iπf ) 2 df 1 h(e 2iπf ) 2 df RSB s RSB e Philippe Ciblat Gestion de l interférence entre symboles 17 / 5

23 Algo de Viterbi Egalisation OFDM Egaliseur de Wiener (MMSE) On choisit p tq p Wiener = arg min p E[ v(n) s n 2 ] Alors p Wiener (e 2iπf E s h(e ) = 2iπf ) E s h(e 2iπf ) 2 + 2N Remarques : Fort RSB : p Wiener p ZF Faible RSB : p Wiener h(e 2iπf ) (filtre adapté) Philippe Ciblat Gestion de l interférence entre symboles 18 / 5

24 Calculs Algo de Viterbi Egalisation OFDM Soit p(z) = k p kz k J(p) = E[ v(n) s n 2 ] = E s + k,k p k p k r yy (k k) k p k r ys (k) k p k r ys (k) avec r ys = E[s n+τ y(n)] l, J p l = k p k r yy (l k) = r ys (l) d où p Wiener (e 2iπf ) = S ys(e 2iπf ) S yy (e 2iπf ) De plus S ys (e 2iπf ) = E s h(e 2iπf ) et S yy (e 2iπf ) = E s h(e 2iπf ) 2 + 2N Philippe Ciblat Gestion de l interférence entre symboles 19 / 5

25 Algo de Viterbi Egalisation OFDM Egaliseur DFE Egaliseur non-linéaire Egaliseur à retour de décision (Decision Feedback Equalizer) b(n) Filtre DFE s n h y(n) Filtre transverse T v(n) ŝ n Filtre récursif R ZF-DFE MMSE-DFE Philippe Ciblat Gestion de l interférence entre symboles 2 / 5

26 Algo de Viterbi Egalisation OFDM Illustrations numériques Canaux testés : Proakis A, Proakis B, Proakis C Module du spectre en fonction de ω = 2πf Reponse frequentielle du Proakis A Reponse frequentielle du Proakis B Reponse frequentielle du Proakis C Amplitude Amplitude 1 1 Amplitude e-5 1e-5 1e-6 1 1e-6 1e w w w Peu sélectif (A) Sélectif (B) Très sélectif (C) Philippe Ciblat Gestion de l interférence entre symboles 21 / 5

27 Algo de Viterbi Egalisation OFDM Performances de l algorithme de Viterbi 1 Taux Erreur Symbole en fonction du Eb/No (recepteur optimal) BBGA Selectif (B) Tres selectif (C) 1 Taux Erreur Symbole e Eb/No (en db) Philippe Ciblat Gestion de l interférence entre symboles 22 / 5

28 Algo de Viterbi Egalisation OFDM Performances de l égaliseur de Wiener Probabilite d erreur avec Wiener BBGA A B C Pe Eb/N Philippe Ciblat Gestion de l interférence entre symboles 23 / 5

29 Algo de Viterbi Egalisation OFDM Comparaison des performances (canal B) Taux Erreur Binaire (Canal B) BBGA Viterbi DFE MMSE TEB Eb/N Philippe Ciblat Gestion de l interférence entre symboles 24 / 5

30 Algo de Viterbi Egalisation OFDM Comparaison des performances (canal C) Taux Erreur Binaire (Canal C) BBGA Viterbi DFE MMSE TEB Eb/N Philippe Ciblat Gestion de l interférence entre symboles 25 / 5

31 Algo de Viterbi Egalisation OFDM Exemple : données réelles Transmission sur canal sélectif (B) avec MDP-2 et RSB=1dB Originale BBGA Wiener Non égalisé Philippe Ciblat Gestion de l interférence entre symboles 26 / 5

32 Algo de Viterbi Egalisation OFDM Exemple : données réelles Transmission sur canal très sélectif (C) avec MDP-2 et RSB=1dB Originale BBGA Wiener Non égalisé Philippe Ciblat Gestion de l interférence entre symboles 27 / 5

33 Algo de Viterbi Egalisation OFDM Principe Détection Performances Section 13 : OFDM Philippe Ciblat Gestion de l interférence entre symboles 28 / 5

34 Plan Algo de Viterbi Egalisation OFDM Principe Détection Performances OFDM Modèle matriciel du signal Quelques lemmes fondamentaux Déduction de l OFDM Dimensionnement Quelques défauts Détection en OFDM Quelques résultats généraux Application à l OFDM Philippe Ciblat Gestion de l interférence entre symboles 28 / 5

35 Algo de Viterbi Egalisation OFDM Principe Détection Performances Modèle matriciel Entrée/Sortie (I) Travaillons avec des versions échantillonnées des signaux au temps-symbole Soient x(n) le signal émis y(n) le signal reçu {h(l)} l=,,l le filtre associé au canal de propagation L y(n) = h(l)x(n l) l= Considérons des blocs de signaux de taille N Y = [y(n 1),, y()] T X = [x(n 1),, x()] T X = [x( 1),, x( L)] T Philippe Ciblat Gestion de l interférence entre symboles 29 / 5

36 Algo de Viterbi Egalisation OFDM Principe Détection Performances Modèle matriciel Entrée/Sortie (II) Y = T 1 X + T 2 X avec T 1 une matrice dont la k ème ligne est donnée par [ k 1, h(), h(1),, h(l), N L k ] (si k N L) [ k 1, h(), h(1),, h(n k 1)] (si k > N L) T 2 une matrice dont la k ème ligne est donnée par L (si k N L) [h(l), h(l 1),, h(n k + 1), N k ] (si k > N L) Remarque : T 1 une matrice Toeplitz de taille N N T 2 une matrice Toeplitz de taille N L Philippe Ciblat Gestion de l interférence entre symboles 3 / 5

37 Algo de Viterbi Egalisation OFDM Principe Détection Performances Lemme 1 (I) Considérons la relation Entrée/Sortie suivante Y = WX avec W une matrice quelconque de mélange (d où, interférence) MIMO IES si W = T 1 et X =, ie, si présence d un intervalle de garde entre les blocs IES si X s écrit linéairement en fonction de X, ie, l intervalle de garde n est pas vide mais dépend du bloc courant POLMUX (optique) etc Question : comment créer un système sans interférence au niveau du récepteur (en modifiant l émetteur)? Philippe Ciblat Gestion de l interférence entre symboles 31 / 5

38 Algo de Viterbi Egalisation OFDM Principe Détection Performances Lemme 1 (II) Hypothèse : connaissance parfaite de W à l émetteur (CSIT) Soit la décomposition en valeur singulière de W, W = U H ΛV avec U et V deux matrices unitaires Λ = diag(λ,, λ N 1 ) Soit un vecteur S de taille N composé de symboles d information Au lieu d envoyer X = S, on envoie X = V H S Au lieu de détecter sur Y, on détecte sur Z = UY Remarque : Z = ΛS On place l information dans les vecteurs propres (qui, par définition, n interfèrent pas entre eux!) Les vecteurs dépendent généralement de W Problème : CSIT irréaliste en sans fil, moins en optique Philippe Ciblat Gestion de l interférence entre symboles 32 / 5

39 Lemme 2 Algo de Viterbi Egalisation OFDM Principe Détection Performances Soit C une matrice circulante de taille N N associée au canal {h(l)} l=,,l C = h() h(1) h(l) h() h(1) h(l) h(1) h(l) h() Propriété : les vep de C sont les vecteurs de Fourier (et donc indépendants du canal!) les vap sont les réponses du filtre aux fréquences de Fourier avec C = F H ΛF F matrice de FFT (d où, F H = F 1 ) λ n = H(e 2iπn/N ) = L ln l= h(l)e 2iπ N Philippe Ciblat Gestion de l interférence entre symboles 33 / 5

40 Algo de Viterbi Egalisation OFDM Principe Détection Performances Principe de l OFDM Si X = [x(n 1),, x(n L)] T, alors Y = T 1 X + T 2 X Y = CX Donc avec Z = FY et X = F 1 S Z = ΛS Ainsi, pour le bloc k et la porteuse n, on a z k (n) = H(e 2iπn/N )s k (n) n, k Remarque : le préfixe cyclique transforme une Toeplitz en une Circulante (qui diagonalise dans une base indépendante du canal!) Philippe Ciblat Gestion de l interférence entre symboles 34 / 5

41 Algo de Viterbi Egalisation OFDM Principe Détection Performances Approche alternative A cause du canal, on reçoit : y(n 1) = h()x(n 1) + h(1)x(n 2) + + h(l)x(n L 1) y() = h()x() + h(1)x( 1) + + h(l)x( L) y(n) = L l= h(l)x(n l) PrCyclique = y(n) = L h(l)x(n l mod N) Transformation d une convolution en une convolution circulaire l= Si convolution (T 1, T 2 ), Y(e 2iπn/N ) H(e 2iπn/N )X(e 2iπn/N ) Si convolution circulante (C), Y(e 2iπn/N ) = H(e 2iπn/N )X(e 2iπn/N ) Philippe Ciblat Gestion de l interférence entre symboles 35 / 5

42 Algo de Viterbi Egalisation OFDM Principe Détection Performances Approche alternative Grâce au préfixe cyclique, on reçoit en fait : y(n 1) = h()x(n 1) + h(1)x(n 2) + + h(l)x(n L 1) y() = h()x() + h(1) x( 1) + + h(l) x( L) y(n) = L l= h(l)x(n l) PrCyclique = y(n) = L h(l)x(n l mod N) Transformation d une convolution en une convolution circulaire l= Si convolution (T 1, T 2 ), Y(e 2iπn/N ) H(e 2iπn/N )X(e 2iπn/N ) Si convolution circulante (C), Y(e 2iπn/N ) = H(e 2iπn/N )X(e 2iπn/N ) Philippe Ciblat Gestion de l interférence entre symboles 35 / 5

43 Algo de Viterbi Egalisation OFDM Principe Détection Performances Approche alternative Grâce au préfixe cyclique, on reçoit donc : y(n 1) = h()x(n 1) + h(1)x(n 2) + + h(l)x(n L 1) y() = h()x() + h(1)x(n 1) + + h(l)x(n L) y(n) = L l= h(l)x(n l) PrCyclique = y(n) = L h(l)x(n l mod N) Transformation d une convolution en une convolution circulaire l= Si convolution (T 1, T 2 ), Y(e 2iπn/N ) H(e 2iπn/N )X(e 2iπn/N ) Si convolution circulante (C), Y(e 2iπn/N ) = H(e 2iπn/N )X(e 2iπn/N ) Philippe Ciblat Gestion de l interférence entre symboles 35 / 5

44 Algo de Viterbi Egalisation OFDM Principe Détection Performances Schéma récapitulatif TX RX s FFT 1 x Add CP Canal h Remove CP y FFT z Freq EQ (typ ZF) s Convolution Toeplitz matrix Circular convolution / Circulant matrix Le préfixe cyclique est fondamental! Philippe Ciblat Gestion de l interférence entre symboles 36 / 5

45 Algo de Viterbi Egalisation OFDM Principe Détection Performances Dimensionnement : règles N doit être suffisamment grand L N LT s NT s T d NT s N B/B c f B c N doit être suffisamment petit (L + N)T s T c NT s T c N B/B d f B d car aussi Désynchronisation des VCO (qq dizaines de ppm en sans fil) Complexité de la FFT (en N log(n)) Temps de latence Philippe Ciblat Gestion de l interférence entre symboles 37 / 5

46 Algo de Viterbi Egalisation OFDM Principe Détection Performances Dimensionnement : exemples DAB Wifi ADSL Fréquence porteuse 9 MHz 52 GHz 6 MHz Bande 2 MHz 2 MHz 11 MHz Temps d échantillonnage 5 µs 5 ns 9 µs Longueur filtre 3 à 6 µs 8 ns 135µs Degré filtre 6 à Préfixe cyclique Perte efficacité spectrale 2% 2% 125 % Nb de porteuses Durée symbole OFDM 32 µs 4 µs 256 µs Ecart entre porteuses 39 khz 3125 khz 431 khz Bande de cohérence 166 khz 125 MHz 74kHz Bande Doppler 11 Hz (14m/s) 52Hz (3m/s) Remarque : en ADSL, on introduit un Time Equalizer (TEQ), ie, un «raccourcisseur de canal» (channel shortening) Philippe Ciblat Gestion de l interférence entre symboles 38 / 5

47 Algo de Viterbi Egalisation OFDM Principe Détection Performances Principe de la détection optimale On suppose que Y = WS + B avec B un bruit blanc gaussien de variance σ 2 (de taille N W 2) Objectif : A la donnée de Y et W, on souhaite détecter S avec la probabilité d erreur la plus faible possible Résultat fondamental Si les vecteurs S sont équiprobables, alors le détecteur du Maximum de Vraisemblance (ML : Maximum Likelihood) est optimal Ŝ ML = arg max S p(y S) ŜML = arg min Y WS S Philippe Ciblat Gestion de l interférence entre symboles 39 / 5

48 Algo de Viterbi Egalisation OFDM Principe Détection Performances Détecteur optimal Ŝ ML = arg min S Y WS Problème simple en l absence de contrainte sur S Approche ML : (cf COM941) Décodeur par sphère Décodeur de Schnorr-Euchner Bien adapté au MIMO ou POLMUX (car N W petit) Mal adapté à l IES (car N W grand) utilisation de la structure de la matrice W = T 1 algorithme de Viterbi filtrage sous-optimal ZF, MMSE, DFE Philippe Ciblat Gestion de l interférence entre symboles 4 / 5

49 Algo de Viterbi Egalisation OFDM Principe Détection Performances Détecteur optimal Ŝ ML = arg min S C N Y WS Problème complexe en raison de la contrainte sur S Approche ML : (cf COM941) Décodeur par sphère Décodeur de Schnorr-Euchner Bien adapté au MIMO ou POLMUX (car N W petit) Mal adapté à l IES (car N W grand) utilisation de la structure de la matrice W = T 1 algorithme de Viterbi filtrage sous-optimal ZF, MMSE, DFE Philippe Ciblat Gestion de l interférence entre symboles 4 / 5

50 Algo de Viterbi Egalisation OFDM Principe Détection Performances Détecteurs sous-optimaux Y Q + Ŝ R ZF : Q = W 1, R = (rehaussement du bruit) MMSE : Q = W H (WW H + σ 2 I) 1, R = DFE : R Cas particulier (IES) Matrices trop grandes Mise en place de ces principes par des filtres Philippe Ciblat Gestion de l interférence entre symboles 41 / 5

51 Algo de Viterbi Egalisation OFDM Principe Détection Performances Cas particulier : OFDM (SISO) Propriété : la matrice W est diagonale On peut donc raisonner porteuse par porteuse (car pas d interférence) On a donc, sur la porteuse n, avec z(n) = H(n)s(n) + b(n) z(n) le signal scalaire reçu en aval de la FFT s(n) le symbole émis en amont de l IFFT H(n) le canal pour la porteuse n Détecteur optimal Détecteur à seuil sur le signal H(n) 1 z(n) Philippe Ciblat Gestion de l interférence entre symboles 42 / 5

52 Algo de Viterbi Egalisation OFDM Principe Détection Performances Cas particulier : OFDM (MIMO) On considère N H le nombre d antennes à l émission et à la réception z(n) = H(n)s(n) + b(n) avec z(n) le signal vectoriel (de taille N H 1) reçu en aval de la FFT s(n) les symboles émis en amont de l IFFT sur les N H antennes H(n) le canal MIMO (de taille N H N H ) pour la porteuse n Modèle «flat-fading channel» par porteuse (cf COM941) Détection Appliquer les résultats du transparent 4 (car N H est petit) Philippe Ciblat Gestion de l interférence entre symboles 43 / 5

53 Algo de Viterbi Egalisation OFDM Principe Détection Performances Problème du PAPR (I) Soit {x(n)} un signal numérique, on définit le facteur de crête par F = max n={,,n 1} x(n) 2 E[ x(n) 2 ] PAPR : Peak to Average Power Ratio Si F grand, on sort de la plage linéaire des amplificateurs Signal OFDM x(n) = 1 N 1 N m= F max = N si BPSK s(m)e 2iπmn/N x(n) tend vers un signal gaussien (si N ) Pourcentage de PAPRs trouvés par rectangle (pour 1 tests) Histogramme de PAPR en OFDM avec N=256 et en mono avec 16QAM OFDM mono PAPR Philippe Ciblat Gestion de l interférence entre symboles 44 / 5

54 Algo de Viterbi Egalisation OFDM Principe Détection Performances Problème du PAPR (II) Défaut de saturation de l amplificateur : input back-off (IBO) IBO = 1 log 1 (P max /P x ) P max la puissance maximale admise par l amplificateur P x la puissance moyenne du signal entrant dans l amplificateur Loss in performance for QPSK OFDM (N=256) [Deumal 27] perfect amplifier IBO=6dB IB=4dB IBO=2dB 1 3 BER Eb/N Philippe Ciblat Gestion de l interférence entre symboles 45 / 5

55 Algo de Viterbi Egalisation OFDM Principe Détection Performances Problème de synchronisation Soit y a (t) = (h a x a )(t τ)e 2iπδφt L OFDM admet une sensiblité plus grande aux erreurs : Temps de retard (sauf si inclus dans l intervalle de garde) Résidu de fréquence porteuse et/ou fréquence d échantillonnage Y = CX avec = diag(1, e 2iπδφTs,, e 2iπδφTs(N 1) ) Exemple Si canal plat (Λ = Id) Z OFDM = F F 1 S Z mono = S Pas d IEP/ICI en mono BER BER avec Doppler post compensé pour différentes vitesses v en km/h (SNR=5dB) 1 v= v=5 v=1 v=3 v= N Philippe Ciblat Gestion de l interférence entre symboles 46 / 5

56 Algo de Viterbi Egalisation OFDM Principe Détection Performances Allocation de ressources : canal connu à l émetteur Contexte filaire Voie de retour nécessaire (canal lentement variable) Maximiser le débit à probabilité d erreur identique sur chaque porteuse Adapter les constellations M-MAQ pour chaque porteuse Si RSB élevé sur la porteuse k, alors M grand Si RSB faible sur la porteuse k, alors M petit s! 3E b log P e = N min Q 2 (M) N (M 1) Puissance totale constante attribution intelligente des puissances par porteuse augmente la capacité («waterfilling») Philippe Ciblat Gestion de l interférence entre symboles 47 / 5

57 Algo de Viterbi Egalisation OFDM Principe Détection Performances Allocation de ressources : canal inconnu à l émetteur Contexte radio-mobile Sur chaque porteuse, on a un canal de Rayleigh (cf COM941) Si évanouissement fréquentiel, détection peu fiable Adaptation du système : Codage Entrelacement fréquentiel temporel On parle alors de COFDM En pratique, code convolutif Philippe Ciblat Gestion de l interférence entre symboles 48 / 5

58 Algo de Viterbi Egalisation OFDM Principe Détection Performances Performances DAB Radio-numérique DAB (199) MDP-4 et Code convolutif de rendement 1/2 1 MDP 4 / Canal BBGA non codé MDP 4 / Canal BBGA codé OFDM / Canal DAB non codé OFDM / Canal DAB codé 1 1 TES Eb/No Philippe Ciblat Gestion de l interférence entre symboles 49 / 5

59 Conclusion Algo de Viterbi Egalisation OFDM Principe Détection Performances Avantages : Bonne gestion de l IES Bien adapté au MIMO Inconvénients : Sensibilité accrue à la désynchronisation Facteur de crête Bibliographie : R van Nee, «OFDM for wireless multimedia communications», 2 A Burr, «Modulation and coding for wireless communication», 21 A Molisch, «Wideband wireless digital communication», 21 D Tse, «Fundamentals of wireless communications», 25 Philippe Ciblat Gestion de l interférence entre symboles 5 / 5